2017学年(2018届)上海高三数学一模(松江卷)(含答案)
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松江区2017学年度第一学期期末质量监控试卷
高三数学
(满分150分,完卷时间120分钟) 2017.12
一.填空题(本大题满分54分)本大题共有12题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,第1~6题每个空格填对得4分,第7~12题每个空格填对得5分,否则一律得零分. 1.计算:2lim
31
n n
n →∞=- ▲ .
2.已知集合{|03}A x x =<<,2
{|4}B x x =≥,则A B =I ▲ .
3.已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,若1918a a +=,47a =,则10S = ▲ . 4.已知函数)(log )(2a x x f +=的反函数为)(1
x f
y -=,且1)2(1
=-f ,则实数a = ▲ .
5.已知角α的终边与单位圆2
2
1x y +=交于点01(,)2
P y ,则cos2α= ▲ . 6.右图是一个算法的程序框图,当输入值x 为8时,则其
输出的结果是 ▲ .
7.函数sin 2y x =的图像与cos y x =的图像在区间[]0,2π
上交点的个数是 ▲ .
8.若直线03=+-y ax 与圆4)2()1(2
2
=-+-y x 相交于
A 、
B 两点,且AB =a = ▲ .
9.在ABC ∆中,90A ∠=︒,ABC ∆的面积为1.若
BM =,4=,则⋅的最小值为
▲ .
10. 已知函数()21f x x x a =--有三个零点,则实数a 的取值范围为 ▲ .
11. 定义,(,),a a b
F a b b a b
≤⎧=⎨
>⎩,已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ,则下列四个命题中
为真命题的是 ▲ .(写出所有真命题的序号 )
① 若(),()f x g x 都是奇函数,则函数((),())F f x g x 为奇函数. ② 若(),()f x g x 都是偶函数,则函数((),())F f x g x 为偶函数. ③ 若(),()f x g x 都是增函数,则函数((),())F f x g x 为增函数. ④ 若(),()f x g x 都是减函数,则函数((),())F f x g x 为减函数.
12.已知数列{}n a 的通项公式为*2(0,)n n a q q q n N =+<∈,若对任意*
,m n N ∈都有
1
(,6)6
m n a a ∈,则实数q 的取值范围为 ▲ .
二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生必须在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.
13.若i -2是关于x 的方程02
=++q px x 的一个根(其中i 为虚数单位,R q p ∈,),则
q 的值为
A. 5-
B. 5
C. 3-
D. 3
14.已知()f x 是R 上的偶函数,则“120x x +=”是“12()()0f x f x -=”的
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
15.若存在[0,)x ∈+∞使
221x
x
m x
<成立,则实数m 的取值范围是 A. (,1)-∞
B. (1,)-+∞
C. (,1]-∞-
D. [1,)+∞
16. 已知曲线1:2C y x -=与曲线22
2:4C x y λ+=恰好有两个不同的公共点,则实数λ
的取值范围是 A. (,1][0,1)-∞-U B. (1,1]-
C. [1,1)-
D. [1,0](1,)-+∞U
三.解答题(本大题满分76分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
在ABC ∆中,6,AB AC ==18AB AC ⋅=-u u u r u u u r
.
(1)求BC 边的长; (2)求ABC ∆的面积.
18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分
已知函数 ()1,(0a
f x x x
=-
≠,常数)a R ∈ . (1)讨论函数()f x 的奇偶性,并说明理由;
(2)当0a >时,研究函数()f x 在(0,)x ∈+∞内的单调性.
19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分
松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中,通车后将给市民出行带来便利.已知某条线路通车后,电车的发车时间间隔t (单位:分钟)满足202≤≤t .经市场调研测算,电车载客量与发车时间间隔t 相关,当2010≤≤t 时电车为满载状态,载客量为400人,当102<≤t 时,载客量会减少,减少的人数.....与)10(t -的平方成正比,且发车时间间隔 为2分钟时的载客量为272人.记电车载客量为()p t .
(1)求()p t 的表达式,并求当发车时间间隔为6分钟时,电车的载客量; (2)若该线路每分钟的净收益为6()1500
60p t Q t
-=
-(元),问当发车时间间隔为多
少时,该线路每分钟的净收益最大?