2020年上海市松江区高考数学一模试卷

2o 若c = 2 ⇒ M ≥ 2
，综上 M ≥ 2 ，选 B
3o 若c > 4, M无最小值
16. 包含 1 的子集有 29 个； 包含 2 不包含 1 的子集有 28 个； 包含 3 不包含 1,2 的子集有 27 个；
...... 包含 10 的子集有 1 个；
则 S10 = 1× 29 + 2 × 28 + 3× 27 + ... +10 ×1 = 2036 ，选 C
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20．（16 分）设抛物线 Γ : y2 = 4x 的焦点为 F ，经过 x 轴正半轴上点 M (m,0) 的直线 l 交 Γ 于不同的两点 A, B ；
（1）若| FA |= 3 ，求点 A 的坐标； （2）若 m = 2 ，求证：原点 O 总在以线段 AB 为直径的圆的内
=
f
(0)或f (4)或f
(− b) 2
要使 M 最小，则必有对称轴在区间[0,4]的中间，即 b = −4 ⇒ 4c < b2 = 16 ⇒ c < 4
f (2) =| c − 4 |= 4 − c
此时
f (0) = f (4) =| c |
1o若2 < c < 4 ⇒ M ≥| c |⇒ M ≥ 4
（3）① 0 < m < 1
此时| FA |= xA +1 > 1,| FM |= 1− m < 1，矛盾，舍去 ②m >1
设点 A(x0 , y0 ) ，则点 M (x0 + 2,0)
则 AB : x = − 2 y0
y + x0 + 2
；
l1 : x
=
−
2 y0
y+b
x
=
−
2
y+b
联立
21.（1） a1 = 0, a3 = 0 /1, a9 = 0 /1 ； （2）115； （3）略.
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这里给一下 11,12,15,16,20,21 题的详细过程
11.解法一：令 a = cosα ,b = sinα ,α ∈ (0, π ) ， 2
则c
=
a+b ab −1
2020 年上海市松江区高考数学一模试卷
安逸数学工作室 2019.12
一、填空题（本题满分 54 分)本大题共有 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，要求在答 题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分。
1. 已知集合 A = {x | x −1 ≥ 0}, B = {0,1,2} ，则 A I B = ________.
部；
（3）若 | FA |=| FM | ，且直线 l1 // l ， l1 与 Γ 有且只有一个公共 点 E，问：∆OAE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小
值；若不存在，请说明理由.
21．（18
分）已知数列{an}满足：① an
∈
N ∗(n ∈
N∗)
；②当 n
=
2k
(k
∈
N ∗ ) 时，an
20.（1）由抛物线定义知 xA +1 =| FA |⇒ xA = 2
∴ yA = ±2 2
∴ A(2,±2 2)
（2） M (2,0) ⇒ 设 AB : x = ty + 2, A(x1, y1), B(x2 , y2 )
x = ty + 2 联立
y2 = 4x
⇒
y2
−
4ty
−
8
=
0
⇒ y1 + y2 = 4t, y1 y2 = −8
M = {a | a = Ai Aj (i, j = 1,2,3,4,5,6,i ≠ j)} ，在 M 中任取两个元素 m, n ，则 m ⋅ n = 0 的概
率为__________.
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二、选择题（本题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5 分，否则一律 得零分.
2. 若角α 的终边过点 P(4,−3) ，则 sin(3π + α ) = _________. 2
3. 设 z = 1− i + 2i ，则| z |= __________. 1+ i
4. (x2 + 2 )5 的展开式中 x4 的系数为_________. x
5.
已知椭圆
x2 9
+
y2 4
= 1 的左、右焦点分别为 F1, F2 ，若椭圆上的点 P 满足| PF1 |= 2 | PF2
y0
y2 = 4x
⇒ y2 + 8 y − 4b = 0 y0
∴∆
=
64 y0 2
+ 16b
=0⇒b
=
−
4 y02
∴l1 : x
=
−
2 y0
y+−
4 y02
再与抛物线方程联立可求
E(
4 y02
,−
4 y0
)
0 01
∴ S∆OAE
=wk.baidu.com
1 2
19．（14 分）汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆 与前方障碍物之间的距离（并结合车速转化为所需时间），当次距离等于报警距离就开始 报警提醒，等于危险距离就自动刹车，某种算法（如下图所示）将报警时间划分为 4 段，
分别为准备时间 t0 ，人的反应时间 t1 ，系统反应时间 t2 ，制动时间 t3 ，相应的距离分别 为 d0 , d1, d2 , d3 ，当车速为 v （米/秒），且 v ∈[0,33.3] 时，通过大数据统计分析得到下 表（其中系数 k 随底面湿滑程度等路面情况而变化， k ∈[0.5,0.9] ）.
点，点 D 是母线 PA 的中点，
（1）求圆锥的侧面积与体积；
（2）求异面直线 CD 与 AB 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
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18．（14 分）已知函数 f (x) = 2 3 sin x cos x − 2sin 2 x （1）求函数 f (x) 的最大值； （2）在 ∆ABC 中，内角 A, B,C 对应的边分别为 a,b, c ，若 f ( A) = 0 ，b, a, c 成等差数列， 且满足 AB ⋅ AC = 2 ，求边 a 的长.
(0,−1), (−4,3) 两点，且 x = −1 和 y = 2 是其两条渐近线，则
a : b : c : d = ___________. 11. 若实数 a,b > 0 ，满足 abc = a + b + c, a2 + b2 = 1 ，则实数 c
的最小值为__________.
12. 记边长为 1 的正六边形的六个顶点分别为 A1, A2 , A3, A4 , A5 , A6 ，集合
则函数 y = f −1(x) + log2 x 的图像必过点__________.
9.
在无穷等比数列{an}中， lni→m∞(a1 + a2
+ ... + an ) =
1 3
，则
a1
的取值范围是_________.
10. 函 数 y = ax + b 的 大 致 图 像 如 图 ， 若 函 数 图 像 经 过 cx + d
日期：2019/3/16 13:33:55；
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参考答案
1.{1,2} ； 2. − 4 ； 3. 1； 4. 40； 5. 4； 5
6. − 2 ； 7. − 2 ； 8. (4,3) ； 9. (0, 1) U (1 , 2) ；
3
3 33
11. − 2 2 ； 12. 8 ； 51
（1）请写出报警距离 d （米）与车速 v（米/秒）之间的函数关系式 d (v) ，并求 k = 0.9 时，
若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，任以此速度行驶，求汽车撞上 固定障碍物的最短时间（精确到 0.1 秒）； （2）若要求汽车无论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于 80 米，则汽车的行驶速度应 限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时（精确到 1 千米/小时）
|，
则 | PF1 |= __________. 6. 若关于 x, y 的方程组 mx + 4 y = m + 2 无解，则实数 m = _________.
x + my = m
7. 已知向量 a = (1,2),b = (m,−3) ，若向量 (a − 2b) // b ，则实数 m = _________. 8. 已知函数 y = f (x) 的反函数为 y = f −1(x) ，若函数 y = f (x) + 2x 的图像经过点 (1,6) ，
2
2
2
则
2 ab −
1
≥ −2 2 （两个不等式等号可以同时成立，在 a = b 时）
ab
12.（这个题主要难在结合了集合元素互异性和向量相等的概念）
集合 M 中任取有顺序的两点有 P62 = 30 种， 但如图所示向量 FB, EC 为同一向量， FE, BC 为同一向量，加上反向向量一个矩形中有
13.B
10. 2：-1：1：1
14.A
15.B
16.C
17.（1）8π ；（2） arctan 13(即arccos 14 ) ； 14
18.（1）
f
( x) max
= 1，此时x
=
kπ
+
π 6
；
（2） a = 2 ；
19.（1）3.1；（2）72 千米/小时；
20.（1） A(2,2 2)或(2,−2 2) ； （2）略（只需证 OA⋅OB < 0 ）； （3） S min= 2
A．充分非必要条件 C．充要条件
B．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件
15．已知 b, c ∈ R ，若| x2 + bx + c |≤ M 对任意的 x ∈[0,4] 恒成立，则
A．M 的最小值为 1 B．M 的最小值为 2 C．M 的最小值为 4 D．M 的最小值为 8
16．已知集合 M = {1,2,3,...,10}，集合 A ⊆ M ，定义 M ( A) 为集合 A 中元素的最小值，当
OA⋅ OB = x1x2 + y1 y2 = (ty1 + 2)(ty2 + 2) + y1 y2 = (t 2 +1) y1 y2 + 2t( y1 + y2 ) + 4
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= −8t 2 − 8 + 8t 2 + 4 = −4 < 0
∴点 O 必然在以 AB 为直径的圆内；
13．已知 l 是平面α 的一条斜线，直线 m ⊂ α ，则 A．存在唯一的一条直线 m ，使得 l ⊥ m B．存在无数多条直线 m ，使得 l ⊥ m C．存在唯一的一条直线 m ，使得 l // m D．存在无数多条直线 m ，使得 l // m
14．设 x, y ∈ R ，则“ x + y > 2 ”是“ x, y 中至少有一个数大于 1”的（ ）
=
n 2
；
当 n ≠ 2k (k ∈ N ∗ ) 时， an < an+1 ；记数列{an}的前 n 项和为 Sn ；
（1）求 a1, a3, a9 的值；
（2）若 Sn = 2020 ，求 n 的最小值；
（3）求证： S2n = 4Sn − n + 2 的充要条件是： a2n +1 = 1(n ∈ N ∗ )
4 组大小与方向相同的向量，正六边形中共有 3 个矩形，
∴集合 M 中共有 30 −12 = 18 个不同向量 m, n 总取法： C128 = 153
垂直情况总数：
①边与对角线：如 FB, EF ，一条边对应两个垂直的对角线，有 6×2=12 种 ②对角线与对角线： FB, EC与AD或DA ，3 条对角线（双向），有 6×2=12 种 ∴ P = 24 = 8
=
sin α sin α
+ cosα cosα -1
，
令 t = cosα + sinα = 2 sin(α + π ) ∈ (1, 2] 4
∴c
=
2t t2 −3
=
t
2 −3
≤
2 2− 3
= −2
2
t
2
解法二： c = a + b ≥ 2 ab = ab −1 ab −1
2 ab −
1
，
ab
又 ab ≤ ( a + b )2 = 1 ,∴ ab ≤ 2
A 取遍 M 中的所有非空子集时，对应的 M ( A) 的和记为 S10 ，则 S10 =（ ）
A．45
B．1012
C．2036
D．9217
三、解答题（本题满分 76 分）本大题共有 5 题，解答下列名题必须在答题纸的规定区域（对
应的题号）内写出必要的步骤。
17．（14 分）如图，圆锥的底面半径 OA = 2 ，高 PO = 6 ，点 C 是底面直径 AB 所对弧的中
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15.①若 ∆ ≤ 0 ，此时抛物线在 x 轴上方，
要使 M 最小，则必有对称轴在区间[0,4]的中间，即 b = −4
且抛物线要越下越好，则 ∆ = 0 得 c = 4 ，此时 M ≥ 4
②若 ∆
> 0 ⇒ b2
− 4c
> 0 ，则由图像可知，
f (x)max