2021上海市松江区高三数学一模(参考答案)

2020.12松江区高三数学一模试卷参考答案

一、填空题

1． 1 ； 2． {}1,2 ； 3． 1 ； 4． 7

9- ；5． 1x = ； 6． 2log 3；

7．

1

15 ；

8． 240 ；9． 56π ；10． 2cos x x +；11．233；12．222+

二、选择题

13．C 14．B 15．A 16．C

17.如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC .过1A 、1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）． （1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）． （2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积． 解：（1）∵11//AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线

1BC 与1AA 所成的角， ………2分

∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ， ∴ 190C CB ∠=︒， ∵22112,CB AB AC =

+=+=12CC = ………5分

∴ 12tan 2C CB ∠=

∴ 12

tan 2

C CB arc ∠=， 即异面直线1BC 与1AA 所成的角为 2

tan 2

arc . ………7分

(或 3arcsin 3， 或6

arccos 3 )

（2） 1112

1233

B AC

C A V -=⋅⋅= ……………10分

111111BAC BAA BA C BC C CAA C S S S S S S ∆∆∆∆=++++全

1111151112152212122222222=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=++++ 75222=++

……………14分 18.已知2

()3sin cos cos 1f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期和值域；

（2）若对任意的x R ∈，2

()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．

解：（1）2()cos cos 1

f x x x x =

++

cos21133212cos2sin(2)2222262

x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22

T π

π=

=， ………5分 值域为 15()[,]22

f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22

t ∈ ，…………………8分

由2

()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即2

2kt t ≥-恒成立，

∵0t > ∴ 222

t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15

[,]22t ∈时单调递增

max 55417()()22510g t g ==-= ∴k 的取值范围是17

10

k ≥……………14分

19. 某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31

k

x t -=

+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．

（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?

（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+

x

（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?

解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x =，得2k = ∴ 2

31

x t -=+ ……………4分

由 20.11

t ≤+ 解得19t ≥ ……………7分

（2）网店的利润y (万元)，由题意可得：

332(

1.5)(332)2x t

y x x t x x

+=⋅+-++ ……………10分

9932321

50()21212t t t t +=--=-+++5042≤-=

……………12分 当且仅当321

12

t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件). ……………14分

20. 已知椭圆122

22=+Γb

y a x ： （0>>b a ）的右焦点的坐标为)0,2(，且长轴长为短轴长的2倍.

直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． （1）求椭圆Γ的方程；

（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆

的面积为，求直线l 的方程；

（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠， 点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN 、M N ' 分别与x 轴交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅ 为定值.

解：（1）由题意得 ，422=-b a ， ……… ……2分

解得 22=a ，2=b ， 所以椭圆Γ的方程为 14

82

2=+y x . …………4分 （2）设点M 、N 的坐标为11(,)M x y 、),(22y x N ，直线l 的方程为4+=kx y . …5分

由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=148

4

22y x kx y ，得 02416)21(2

2=+++kx x k

所以， ………7分

12142OMN S x x ∆=⋅⋅-==

解得k ∴直线l

的方程为42y x =±+

…………10分

（3）由题意知M '点的坐标为 11(,)M x y '-

…………11分

将y kx t =+，代入

1482

2=+y

x

得：0824)12(2

22=-+++t ktx x k ，

1

28

2,1242221221+-=+-=+∴k t x x k kt x x

12122()221t

y y k x x t k +=++=+

…………13分

对于直线y kx t =+， 令0y = 得t

x k

=- ∴ t OP k =- …………14分

对于直线 M N '：212221

()y y

y y x x x x +-=--， 令0y =

得221122112212212121()()()

y x x x y x y x kx t x kx t x x y y y y y y --++++=+==+++

1212212()8kx x t x x k y y t ++=

=-+，∴8k

OQ t

=-

88t k

OP OQ k t ⋅=-

⋅-=

…………16分 b a 2=

2212116k k x x +-=+2

212124

k x x +=