2021上海市松江区高三数学一模(参考答案)
2021-2022学年上海市松江区高三(上)期末数学试卷(一模)(附详解)
2021-2022学年上海市松江区高三（上）期末数学试卷（一模）一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知角α的终边经过点P(3,4)，将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边，则tanβ等于( )A. −43B. −34C. 45D. −542. 已知正六边形ABCDEF 的边长为2，当λi ∈{−1,1}(i =1，2，3，4，5)时，|λ1AB⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AF⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 8+4√33. 如图，已知点A ∈平面α，点O ∈α，直线a ⊂α，点P ∉α且PO ⊥α，则“直线a ⊥直线OA ”是“直线a ⊥直线PA ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 某校有高一学生390人，高二学生360人，高三学生345人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取部分学生作为样本．若从高二学生中抽取的人数为24人，则高一学生和高三学生应抽取的人数分别为( )A. 高一学生26人、高三学生23人B. 高一学生28人、高三学生21人C. 高一学车多于24人、高三学生少于24人即可D. 高一、高三学生人数都不限二、单空题（本大题共12小题，共54.0分） 5. 计算：n →∞limn 2+2n(n−1)=______．6. 关于x ，y 的方程组{x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为______．7. 第24届冬奥会将于2022年2月4日～20日在北京——张家口举行，某大学从7名志愿者中选出4人分别从事对外联络、场馆运行、文化展示、赛会综合这四项服务中的某一项工作，则不同的选派方案共有______种．8. 已知函数f(x)=√3sinωx +cosωx(ω>0)，若f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______．9. 若抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是______． 10. 已知a >0，b >0，且1a+2+2b =23，则2a +b 的最小值为______． 11. 已知集合A ={1,2,3,4,5}，B ={x|2x −6<0}，则A ∩B =______． 12. 二项式(x 2+1x )5的展开式中含x 4的项的系数是______(用数字作答)．13. 已知等差数列{a n }的首项a 1=2，且对任意m ，n ∈N ∗(m ≠n)，存在k ∈N ∗，使得a m +a n =a k 成立，则a 1+a 2+a 3+a 4+a 5的最小值为______． 14. 已知圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，则这个圆锥的体积为______． 15. 已知函数f(x)={x −8x x <0|x −a|x ≥0，若对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在x 2∈[−2,−1]，使得f(x 1)⋅f(x 2)≥a ，则实数a 的取值范围为______． 16. 已知复数z =1+i(其中i 是虚数单位)，则z 2+z = ______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，已知AB =BC =BB 1=2，AB ⊥BC ，D 为AB的中点．(1)求异面直线BC 1与DC 所成角的大小(用反三角函数表示)； (2)求证：BC 1//平面A 1CD ．18. 已知双曲线Γ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的焦距为2√3，渐近线方程为y =±√22x. (1)求双曲线Γ的方程；(2)若对任意的m ∈R ，直线y =kx +m 与双曲线Γ总有公共点，求实数k 的取值范围；(3)若过点(1,0)的直线l 与双曲线Γ交于M 、N 两点，问在x 轴上是否存在定点P ，使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数？若存在，求出点P 的坐标及此常数的值，若不存在，请说明理由．19. 以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽、零碳排放等优点．近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015−2020年全国各类发电装机容量统计表(单位：万万千瓦)》．请根据如表提供的数据，解决课题小组的两个问题：(1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦(精确到0.01)？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少(精确到0.1%)？(2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为20%，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%？20.在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，已知csinC−bsinB=a(sinA−sinB)．(1)求角C的值；(2)若c=3，求△ABC周长的最大值．21.已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数k和A，对任意的x∈R，都有|f(x)−kx|≤A成立，则称函数f(x)为“拟线性函数”，其中数组(k,A)称为函数f(x)的拟合系数．(1)数组(2,1)是否是函数g(x)=2x3的拟合系数？1+x2(2)判断函数s(x)=xsinx是否是“拟线性函数”，并说明理由；(3)若奇函数ℎ(x)在区间[0,p](p>0)上单调递增，且ℎ(x)的图像关于点(p,q)成中心对称(其中p，q为常数)，证明：ℎ(x)是“拟线性函数”．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点P(3,4)，所以tanα=43，cotα=34 将角α的终边绕原点O 逆时针旋转π2得到角β的终边， 所以tanβ=tan(π2+α)=−cotα=−34． 故选：B ．直接利用三角函数关系式的变换和三角函数的诱导公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，三角函数的诱导公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：以A 为原点，AD 为x 轴建立如图所示平面直角坐标系，正六边形的边长为2，所以：B(1,−√3)，F(1,√3)，C(3,−√3)，E(3,√3)，D(4,0)， |λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AF⃗⃗⃗⃗⃗ | =|λ1(1,−√3)+|λ2(3,−√3)+λ3(4,0)+λ4(3,√3)+λ5(1,√3)| =|(λ1,−√3λ1)+(3λ2,−√3λ2)+(4λ3,0)+(3λ4,√3λ4)+(λ5,√3λ5)| =|(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5,−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)| =√(λ1+3λ2+4λ3+3λ4+λ5)2+(−√3λ1−√3λ2+√3λ4+√3λ5)2 =√4λ12+12λ22+16λ32+12λ42+4λ52+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5)=√4+12+16+12+4+2(6λ1λ2+4λ1λ3−2λ1λ5+12λ2λ3+6λ2λ4+12λ3λ4+4λ3λ5+6λ4λ5) =√48+4(3λ1λ2+2λ1λ3−λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5)令t=3λ1λ2+2λ1λ3−λ1λ5+2λ3λ5+6λ2λ3+6λ3λ4+3λ2λ4+3λ4λ5，下用例举法求得t的所有可能取值．由表格数据可知t 的最大值为24，所以|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√48+4×24=12， 故选：B ．建立平面直角坐标系，由坐标法表示出|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AF ⃗⃗⃗⃗⃗ |，并利用列举法求得最大值．本题考查平面向量的数量积运算及坐标表示，考查学生的运算能力，属于难题．3.【答案】C【解析】解：已知点A ∈平面α，点O ∈α，直线a ⊂α，点P ∉α且PO ⊥α，直线a ⊥直线OA ，PO ∩OA =O ，可知直线a ⊥平面POA ，PO ⊂平面POA ，所以直线a ⊥直线PA ；直线a ⊥直线PA ，PA ∩OA =A ，可知直线a ⊥平面POA ，OA ⊂平面POA ，所以直线a ⊥直线OA ，所以“直线a ⊥直线OA ”是“直线a ⊥直线PA ”的充要条件． 故选：C ．利用直线与平面垂直的判断定理，推出结果，即可判断选项．本题考查直线与平面的位置关系的判断，三垂线定理与逆定理的应用，充要条件的判断，是中档题．4.【答案】A【解析】解：∵高二学生360人，抽取人数为24人， 360÷24=15，∴高一学生抽取人数为390÷15=26人，高三学生抽取人数为345÷15=23人． 故选：A ．根据已知条件，结合分层抽样的定义，即可求解． 本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．5.【答案】1【解析】解：n →∞limn 2+2n(n−1)=n →∞lim1+2n 1−1n=1．故答案为：1． n →∞limn 2+2n(n−1)=n →∞lim1+2n 1−1n，可求．本题主要考查了∞∞型极限的求解，属于基础题．6.【答案】(1−2131−1)【解析】解：由增广矩阵的定义可知，关于x ，y 的方程组{x −2y =13x +y =−1的增广矩阵为(1−2131−1)，故答案为：(1−2131−1)．直接由增广矩阵的定义得答案． 本题考查增广矩阵的概念，属于基础题．7.【答案】840【解析】解：由已知得：不同的选派方案共有A 74=840(种)． 故答案为：840．显然，这是一个从7个不同元素中任意选出4个不同元素的排列数问题，结合公式容易求解．本题考查排列数公式的应用，属于基础题．8.【答案】43【解析】解：∵f(x)=√3sinωx +cosωx =2sin(ωx +π6)， ∵f(x)≤f(π4)对任意的实数x 都成立，∴f(π4) 是函数f(x)的最大值， ∴π4ω+π6=π2+2kπ，k ∈Z ， ∴ω=43+8k,k ∈Z ，∵ω>0， ∴ω的最小值为43． 故答案为：43．由已知条件可得，f(π4) 是函数f(x)的最大值，再结合正弦函数的性质，即可求解． 本题主要考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，属于基础题．9.【答案】5【解析】解：因为抛物线y 2=4x 上一点P 到y 轴的距离是4， 则点P 的横坐标为4，又抛物线的准线为x=−1，所以点P到抛物线准线的距离为4+1=5，由抛物线的定义可知，点P到该抛物线焦点的距离是5．故答案为：5．由题意得到点P的横坐标，从而求出点P到抛物线准线的距离，由抛物线的定义求解即可．本题考查了抛物线标准方程的理解与应用，抛物线定义的理解与应用，属于基础题．10.【答案】8【解析】解：因为a>0，b>0，且1a+2+2b=23，则2a+b=2a+4+b−4=32(2a+4+b)(1a+2+2b)−4=32(4+ba+2+4(a+2)b)−4≥3 2(4+2√ba+2⋅4a+8b)−4=8，当且仅当ba+2=4a+8b且1a+2+2b=23，即a=1，b=6时取等号，此时2a+b取得最小值8．故答案为：8．2a+b=2a+4+b−4=32(2a+4+b)(1a+2+2b)−4，展开后利用基本不等式即可求解．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是利用乘1法配凑基本不等式的应用条件，属于基础题．11.【答案】{1,2}【解析】解：A={1,2,3,4,5}，B={x|2x−6<0}={x|x<3}，则A∩B={1,2}．故答案为：{1,2}．先求出集合B，然后结合集合的交集运算即可求解．本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．12.【答案】10)5的展开式中通项公式为T r+1=C5r x10−2r x−r=C5r x10−3r．【解析】解：二项式(x2+1x令10−3r=4，可得r=2，∴展开式中含x4的项的系数是C52=10，故答案为10．)5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得先求出二项式(x2+1x展开式中含x4的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．13.【答案】−10【解析】解：对任意m，n∈N∗(m≠n)，存在k∈N∗，使得a m+a n=a k成立，所以令m=1，n=5，则a k=a1+a5，又a k=a1+(k−1)d=2+(k−1)d，a1+a5=2+2+4d=4+4d，所以2+(k−1)d=4+4d，所以(k−5)d=2，显然k≠5，所以d=2，k−5单调递减，当1≤k≤4时，d=2k−5所以当k=4时，d min=−2，>0，当k≥6时，d=2k−5所以d min=−2，=10+10d，因为a1+a2+a3+a4+a5=5(a1+a5)2所以当d最小时，a1+a2+a3+a4+a5有最小值10−20=−10，故答案为：−10．由条件可令m=1，n=5，得a k=a1+a5，进一步代入化简可得d=2，分析k的取k−5值范围，可得d的最小值，而a1+a2+a3+a4+a5=10+10d，故d最小时，S5最小．本题考查了等差数列的通项公式，前n项和公式，属于基础题．14.【答案】√33π【解析】解：设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ，因为圆锥的轴截面是边长为2的等边三角形，所以r=1，l=2，ℎ=√22−12=√3，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13×π×12×√3=√33π．故答案为：√33π．设圆锥的底面半径为r，母线为l，高为ℎ，利用轴截面，求出底面半径和圆锥的高，由锥体的体积公式求解即可．本题考查了圆锥的体积的求解，涉及了圆锥轴截面的理解与应用，锥体体积公式的应用，属于基础题．15.【答案】(−∞,43]【解析】解：当x<0时，x2∈[−2,−1]时，f(x2)∈[2,7]，①当a≤0时，如图①所示，f(x)=|x−a|，x≥0，当x1∈[2,+∞)时，f(x)min=f(2)>0，此时f(x1)⋅f(x2)>0>a，满足题意，②当0<a<2时，如图②所示，f(x)=|x−a|，x≥0，当x1∈[2,+∞)时，f(x)min=f(2)=|2−a|>0，要使f(x1)⋅f(x2)≥a恒成立，只需f(x1)min⋅f(x2)min≥a即|2−a|×2≥a，即4−2a≥a，解得a≤43，③当a>2时，当x1∈[2,+∞)时，f(x1)min=f(a)=0，∴f(x1)⋅f(x2)的最小值可以取0，而0<a，∴不满足f(x1)⋅f(x2)≥a恒成立，综上，a的取值范围为(−∞,43].故答案为：(−∞,43].由函数解析式，再对a进行分类讨论，即可得到a的范围．本题考查分段函数的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．16.【答案】1+3i【解析】解：由z=1+i，得z2+z=(1+i)2+(1+i)=1+2i+i2+1+i=1+3i．故答案为：1+3i．把复数z=1+i直接代入z2+z，然后利用复数的平方和加法运算求解．本题考查复数的基本概念，复数代数表达式及其几何意义，是基础题．17.【答案】解：(1)连结AC1，交A1C于点O，连结OD，因为D是AB的中点，所以BC1//OD，易知∠CDO即为异面直线BC1与DC所成角，因为AB=BC=BB1=2，AB⊥BC，D为AB的中点，CD=√12+22=√5，OD=12BC1=12×√22+22=√2，又因为该三棱柱是直三棱柱，A1C=√22+(2√2)2=2√3，OC=12A1C=√3，∴在△ODC中，cos∠CDO=√2)2√5)2√3)22×√2×√5=√105，∴∠CDO=arccos√105；(2)证明：连结AC 1，交A 1C 于点O ，连结OD ， 因为D 是AB 的中点，所以BC 1//OD ， 因为BC 1⊄平面A 1CD ，OD ⊂平面A 1CD ， 所以BC 1//平面A 1CD ．【解析】(1)根据异面直线所成角的定义进行求解即可； (2)根据线面平行的判定定理即可证明BC 1//平面A 1CD ．本题主要考查线面平行的判定以及异面直线所成角的求解，利用相应的判定定理以及异面直线所成角的定义是解决本题的关键．18.【答案】解：(1)因为2c =2√3，所以c =√3，又渐近线方程为y =±√22x ，则ba =√22， 又c 2=a 2+b 2， 解得a 2=2，b 2=1， 所以双曲线的方程为x 22−y 2=1；(2)当k =0时，y =m 对于任意的实数m 与双曲线不是总有公共点，不符合题意； 当k ≠0时，直线y =kx +m 与双曲线方程联立，可得(1−2k 2)x 2−4kmx −2m 2−2=0，则Δ=16k 2m 2−4(1−2k 2)(−2m 2−2)≥0对于任意的m 恒成立， 即2k 2≤(m 2+1)min ，所以2k 2≤1，解得−√22≤k ≤√22，故实数k 的取值范围为[−√22,√22]；(3)设存在点P(a,0)，设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a,y 1),PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2−a,y 2)， 所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1−a)(x 2−a)+y 1y 2=x 1x 2−a(x 1+x 2)+y 1y 2+a 2， 设直线l 的方程为y =k(x −1)，将直线l 的方程与双曲线的方程联立，可得(1−2k 2)x 2+4k 2x −2k 2−2=0， 所以x 1+x 2=4k 22k 2−1,x 1x 2=2k 2+22k 2−1， 故y 1y 2=k 2(x 1−1)(x 2−1)=k 2[x 1x 2−(x 1+x 2)+1]=k 21−2k 2，故PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a 2−4a+3)k 2+2−a 2)2k 2−1，若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数， 则2a 2−4a+32=a 2−21，解得a =74，故存在点P(74,0)，使得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数1716．【解析】(1)利用焦距以及渐近线方程，结合c 2=a 2+b 2，求出a ，b 的值，即可得到答案；(2)当k =时不合题意，当k ≠0时，将直线与双曲线联立方程，则Δ=16k 2m 2−4(1−2k 2)(−2m 2−2)≥0对于任意的m 恒成立，求解即可；(3)设存在点P(a,0)，设直线l 的方程与双曲线方程联立，得到韦达定理，利用向量的坐标运算表示出PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，分析求解即可． 本题考查了双曲线标准方程的求解、直线与双曲线位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．19.【答案】解：(1)由表可知，我国2015年发电总装机容量为15.27万万千瓦，2020年发电总装机容量为22.00万万千瓦， 则2015～2020年平均每年增加22.00−15.275=1.35万万千瓦，且2015年新能源装机容量为(0.43+1.31)=1.74万万千瓦， 2020年新能源装机容量为(2.53+2.82)=5.35万万千瓦， 设年平均增长率为x ， ∴1.74(1+x)5=5.35， ∴(1+x)5≈3.075， 解得x =0.252，故同期新能源发电装机容量年平均增长率为0.252，(2)由(1)可知，我国2021年发电总装机容量为：22.00+1.35=23.35万万千瓦， 新能源发电装机容量为：5.35+0.7=6.05万万千瓦，设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%， ∴6.05(1+0.2)n 23.35+2n>0.6，其中当n =7时，6.05(1+0.2)n 23.35+2n=0.580<0.6，当n =8时，6.05(1+0.2)n 23.35+2n=0.661>0.6，∴n ≥8，∴2021+8=2029即2029年我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%．【解析】(1)由题意直接求2015～2020年平均每年增加的容量即可，再设出平均增长率，列出指数形的方程，再求解即可；(2)设n 年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的60%，列出不等式6.05(1+0.2)n 23.35+2n>0.6，代入n =7与n =8时，验证即可．本题考查函数的实际应用，考查学生的综合能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)已知csinC −bsinB =a(sinA −sinB)，利用正弦定理：c 2−b 2=a 2−ab ， 整理得cosC =a 2+b 2−c 22ab=12，由于C ∈(0,π)， 故C =π3；(2)由于c =3，C =π3，利用余弦定理：c 2=a 2+b 2−2abcosC ， 所以9=(a +b)2−3ab ， 利用基本不等式的应用：3×(a+b 2)2≥3ab =(a +b)2−9，整理得：(a +b)2≤36，(当且仅当a =b =3时，等号成立) 所以3<a +b ≤6，故三角形的周长的最大值为3+6=9．【解析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出C 的值； (2)利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值．本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)因为g(x)−2x=2x31+x2−2x=−2x1+x2，所以当x=0时，g(x)−2x=0，当x≠0时，g(x)−2x=−2x1+x2=−21x+x，因为1x +x≥2或1x+x≤−2，所以|g(x)−2x|≤1，所以数组(2,1)是函数g(x)=2x31+x2的拟合系数；(2)①当x=π2+2nπ(n∈N∗)时，|s(x)−kx|=|π2+2nπ−k(π2+2nπ)|≤A对于n∈N∗恒成立，所以k=1成立，②当x=π2+2nπ(n∈N∗)时，|s(x)−kx|=|2nkπ|≤A恒成立，所以k=0成立，由①②可知，k不能同时满足，所以函数s(x)=xsinx不是“拟线性函数”；(3)∵ℎ(x)的图像关于点(p,q)成中心对称，∴ℎ(p+x)+ℎ(p−x)=2q，令x=0，得：ℎ(p)=q，由于ℎ(x)在区间[0,p](p>0)上单调递增，∴ℎ(p)>ℎ(0)，∴q>0，又∵ℎ(x)为奇函数，∴ℎ(0)=0，∴x∈[0,p]时，ℎ(x)∈[0,q]，记H(x)=ℎ(x)−q p x，下面证明对一切x∈R，都有|H(x)|≤q，∵ℎ(x)为奇函数，∴ℎ(−x)=−ℎ(x)，∴ℎ(p+x)+ℎ(p−x)=ℎ(x+p)−ℎ(x−p)=2q，即ℎ(x+2p)=ℎ(x)+2q，由于H(x+2p)=ℎ(x+2p)−q p(x+2p)=[ℎ(x)+2q]−q p x−2q=ℎ(x)−q p x=H(x)，∴H(x)是周期函数，且一个周期为T=2p，因为当x∈[0,p]时，0≤q p x≤q，∴−q≤−qpx≤0，又因此时0≤ℎ(x)≤q，∴当x∈[0,p]时，H(x)=ℎ(x)−qpx∈[−q,q]，∴|H(x)|≤q，由于y=ℎ(x)，y=q p x均为奇函数，∴H(x)也为奇函数，当x∈[−p,0]时，−x∈[0,p]，∴|H(x)|=|H(−x)|≤q也成立，综合得：当x∈[−p,p]时，|H(x)|≤q，当x∈[(2n−1)p,(2n+1)p](n∈Z)时，x−2np∈[−p,p]，∴|H(x)|=|H(x−2np)|≤q，因此，对一切x∈R，都有|H(x)|≤q，即|ℎ(x)−q p x|≤q恒成立，所以ℎ(x)是“拟线性函数”．【解析】(1)根据所给新定义推出|g(x)−2x|≤1即可得出结论；(2)根据新定义，利用特例法可知不存在(k,A)使|s(x)−kx|≤A成立，即可得出结论；x，利用周期定义可得H(x)为周期(3)根据所给函数的性质可构造函数H(x)=ℎ(x)−qp函数，先证明H(x)在x∈[−p,p]时，|H(x)|≤q，再利用周期证明对一切x∈R，都有|H(x)|≤q即可得证．根据所给新定义，理解“拟线性函数”，并选取恰当的拟合系数是解题的关键所在，证明ℎ(x)是“拟线性函数”，需要根据所给函数的奇偶性，单调性，对称性进行充分推理，为探求拟合系数准备，找到合适的拟合系数(q p,q)，是解决问题的难点，探求出拟合系数后根据定义推导即可，属于难题．。
上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)
一、单选题1. 如图，长方体中，，点为线段的中点，，，分别为线段和棱上任意一点，则的最小值为（）A．B ．5C．D ．22. 记函数（）的最小正周期为，且，将的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．53. 半圆的直径AB ＝4, O 为圆心，C 是半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC上的动点，则的最小值是A ．2B ．0C．D．4.如图，在四面体中，、分别是、的中点，过的平面分别交棱、于、（不同于、、、），、分别是棱、上的动点，则下列命题错误的是（）A ．存在平面和点，使得平面B ．存在平面和点，使得平面C ．对任意的平面，线段平分线段D ．对任意的平面，线段平分线段5. 在公比为等比数列中，是数列的前n 项和，若，则下列说法不正确的是（ ）A．B ．数列不是等比数列C．D．6. 如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图像．由图像可知，下列说法中错误的是( )上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)上海市松江区2022届高三一模数学试题(1)二、多选题A ．这天15时的温度最高B ．这天3时的温度最低C ．这天的最高温度与最低温度相差13℃D ．这天21时的温度是30℃7.已知数列满足，且，则（ ）A ．-3B ．3C．D．8.若圆与轴相切，则（ ）A ．1B．C ．2D ．49. 已知，且，则下列不等式正确的（ ）A．B．C．D．10. 某单位为了更好地开展党史学习教育，举办了一次党史知识测试，其200名职工成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（）A．图中的B ．成绩不低于80分的职工约80人C ．200名职工的平均成绩是80分D ．若单位要表扬成绩由高到低前25%职工，则成绩87分的职工A 肯定能受到表扬11. 记A ，B 为随机事件，下列说法正确的是（ ）A ．若事件A ，B互斥，，，则B ．若事件A ，B 相互独立，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则12. 以下说法正确的是（ ）三、填空题四、解答题A ．数据1，2，4，5，6，8，9的60%分位数为5B ．相关系数的绝对值接近于0，两个随机变量没有相关性C．决定系数越小，模型的拟合效果越差D ．若，则13. 设，则______．14. 若过定点恰好可作曲线的两条切线，则实数a 的取值范围是__________．15. 在三棱锥中，，，，二面角的平面角大小为，则此三棱锥的外接球表面积为________.16. 已知数列{a n }对任意的n ∈N *都满足．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝，求数列{b n }的前n 项和为T n ．17. 在中，角的对边分别是，，，且(1)求角A ；(2)若，且面积为，求的周长．18. 已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当，是方程的两根，，证明：．19.如图，点在以为直径的圆上，垂直于圆所在的平面，为的重心.(1)求证：平面平面；(2)若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20. 法国数学家加斯帕尔·蒙日是19世纪著名的几何学家，他创立了画法几何学，推动了空间解析几何学的独立发展，奠定了空间微分几何学的宽厚基础.根据他的研究成果，我们定义：给定椭圆，则称圆心在原点，半径是的圆为“椭圆的伴随圆”，已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到焦点的距离为.（1）求椭圆和其“伴随圆”的方程；（2）若点是椭圆的“伴随圆”与轴正半轴的交点，是椭圆上的两相异点，且轴，求的取值范围；（3）在椭圆的“伴随圆”上任取一点，过点作直线､，使得､与椭圆都只有一个交点，试判断､是否垂直?并说明理由.21. 已知椭圆C：，右焦点为F(，0) ，且离心率为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)设M，N是椭圆C上不同的两点，且直线MN与圆O：相切，若T为弦MN的中点，求|OT||MN|的取值范围．。
2020-2021上海市松江数学一模(学生版)
1松江区2020学年度第一学期高三年级模拟质量调研数学学科试卷 2020.12.考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.2． 本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果.1.3lim 32nn nn →∞=+_________; 2.若集合{13},{1,2,3,4},A xx B =−<<=∣则A B ⋂=_________;3.已知复数z 满足1 (1)z i i i ⋅−=+（为虚数单位），则||z =_________;4.若1sin ,3α=则cos(2)πα−=_________; 5.抛物线24y x =−的准线方程是_________;6.已知函数()f x 图像与函数()2x g x =的图像关于y x = 对称,则(3)f =_________;7.从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本, 则学生甲被抽到的概率为________;8.在622x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项等于_________;9.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,220,1c aB +=则角A =_________;10.从以下七个函数：221,,,2,log ,x y x y y x y y x x=====sin ,cos y x y x ==中选取两个函数记为()f x和(),g x 构成函数()()(),F x f x g x =+若()F x 的图怡如图所示,则()F x =_________;杨浦数学教研团队211.已知向量||||||1,a b c ===若1,2a b ⋅=且,c xa yb =+则x y +的最大值为_________; 12.对于定义城为D 的函数(),f x 若存在12,x x D ∈且12,x x ≠使得()()()2212122,f x f x f x x ==+则称函数()f x 具有性质M.若函数2()log 1g x x =−(0,]x a ∈具有性质M ，则实数a 的最小值为_________;二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知两条直线12,l l 的方程分别为1:10l ax y +−=和2:210,l x y −+=则“2a ="是“直 线12"l l ⊥的 （ ） (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件14.在正方体1111ABCD A B C D −中,下列四个结论中错误的是 （ ）(A)直线1B C 与直线AC 所成的角为60︒(B)直线1B C 与平面1AD C 所成的角为60︒ (C)直线1B C 与直线1AD ,所成的角为90︒(D)直线1B C 与直线AB 所成的角为90︒15.设0,0,x y >>若121,x y+=则y x 的 （ ）(A)最小值为8 (B)最大值为8 (C)最小值为2 (D)趣大值为2 16.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知点(),n n a 在直线102y x =−上、若有且只有两个正整数n 满足n S k ≥，则实数k 的取值范围是 （ ） (A)(8,14] (B)(14,18] (C)(18,20] (D)8118,4⎛⎫ ⎪⎝⎭杨浦数学教研团队3三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图1,在三棱柱111ABC A B C −中,已知1,1,2,AB AC AB AC AA ⊥===且1AA ⊥ 平面ABC.过11 A C B 、、三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图 2 ). (1)求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示)； (2)求四棱锥11B ACC A −的体积和表面积.18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2()cos cos 1.f x x x x =++(1)求()f x 的最小正周期和值域(2)若对任意的2,()()20x R f x k f x ∈−⋅−≤恒成立,求实数k 的取值范围.杨浦数学教研团队419．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件).经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x −与促销费t 之间的关系为31k x t −=+(其中k为常数), 如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1 (万件), 促销费t 至少为多少(万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件),另有固定成本3(万元).定义每件售出商品的平均成本为332x+(元).若将商品售价定为:“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费1为多少(万元)时，该网店售出商品的总利汪最大? 此时商品的剩余量为多少?20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的右焦点坐标为(2,0),倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N . (1)求椭圆Γ的方程;(2)若直线l 经过点(0,4),P 且OMN的面积为求直线l 的方程;(3)若直线l 的方程为(0),y kx t k =+≠点M 关于x 轴的对称点为,M '直线MN 、MN 分别与x 轴相交于P 、Q 、两点,求证:||||OP OQ ⋅为定值.杨浦数学教研团队521．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,,m M a a a a =记12()m P M a a a =+++特别规定()0.P ∅=若集合M 满足：对任意的正整数(),k P M ≤都存在集合M 的两个 子集A 、B,使得()()k P A P B =−成立，则称集合M 为“满集". (1) 分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集",请说明理由; (2) 若12m a a a 、、、由小到大能排列成公差为()*d d N∈的等差数列，求证:集合M 为“满集"的必要条件是11,1a d ==或2； (3)若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项1,公比为2的等比数列,求证:集合M 是“满集"杨浦数学教研团队。
2021年上海市松江区高考数学二模试卷(附答案详解)
2021年上海市松江区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 经过点(1,1)，且方向向量为(1,2)的直线方程是( )A. 2x −y −1=0B. 2x +y −3=0C. x −2y +1=0D. x +2y −3=02. 设α、β表示两个不同的平面，l 表示一条直线，且l ⊂α，则l//β是α//β的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件3. 已知实数a 、b 满足(a +2)(b +1)=8，有结论：①存在a >0，b >0，使得ab 取到最大值； ②存在a <0，b <0，使得a +b 取到最小值； 正确的判断是( )A. ①成立，②成立B. ①不成立，②不成立C. ①成立，②不成立D. ①不成立，②成立4. 已知函数f(x)=1x +|2x −a|，若存在相异的实数x 1，x 2∈(−∞,0)，使得f(x 1)=f(x 2)成立，则实数a 的取值范围为( )A. (−∞,−√22) B. (−∞,−√2)C. (√22,+∞) D. (√2,+∞)二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 已知集合A ={x||x −1|<1}，B ={1,2，3}，则A ∩B = ______ ．6. 若复数z 满足z ⋅(1+i)=2(i 为虚数单位)，则z = ______ ．7. 已知向量a ⃗ =(4,−2)，b ⃗ =(k,2)，若a ⃗ ⊥b ⃗ ，则实数k = ______ ．8. 在(x +2)6的二项展开式中，x 3项的系数为______ (结果用数值表示)．9. 如图所示，在平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩B 1D 1=F ，若AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z = ______ ．10. 若函数f(x)=√x −a 的反函数的图象经过点(2,1)，则a = ______ ．11. 已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为______ ．12. 因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为______ ．13. 已知函数y =tan(ωx +π6)的图象关于点(π3,0)对称，且|ω|≤1，则实数ω的值为______ ．14. 如图，已知AB 是边长为1的正六边形的一条边，点P 在正六边形内(含边界)，则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______ ．15. 已知曲线C ：xy =2(1≤x ≤2)，若对于曲线C 上的任意一点P(x,y)，都有(x +y +c 1)(x +y +c 2)≤0，则|c 1−c 2|的最小值为______ ．16. 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1+a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n ，记T n 为数列{1a n}的前n 项和，则n →∞limT n = ______ ．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 如图，S 是圆锥的顶点，O 是底面圆的圆心，AB 、CD 是底面圆的两条直径，且AB ⊥CD ，SO =4，OB =2，P 为SB 的中点．(1)求异面直线SA 与PD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)；(2)求点S 到平面PCD 的距离．18.已知函数f(x)=2x+a⋅2−x(a为常数，a∈R)．(1)讨论函数f(x)的奇偶性；(2)当f(x)为偶函数时，若方程f(2x)−k⋅f(x)=3在x∈[0,1]上有实根，求实数k的取值范围．19.为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花，已知扇形的半径为π，点P在扇形的弧上，点Q在100米，圆心角为23OB上，且PQ//OA．(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；(精确到米)(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本.(精确到元)20.已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A、B两点．(1)若直线l的方程为y=x−1，求线段AB的长；(2)若直线l经过点P(−1,0)，点A关于x轴的对称点为A′，求证：A′、F、B三点共线；(3)若直线l经过点M(8,−4)，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．21.对于至少有三项的实数列{a n}，若对任意的n(n∈N∗,n≥3)，都存在s、t(其中s≠t，s，t∈N∗，s<n，t<n)，使得a n=a s−a t成立，则称数列{a n}具有性质P．(1)分别判断数列1，2，3，4和数列−1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；(2)已知数列{a n}是公差为d(d>0)的等差数列，若b n=sina n，且数列{a n}和{b n}都具有性质P，求公差d的最小值；(3)已知数列c n=|n−a|−b(其中a≠b，a，b∈N∗)，试探求数列{c n}具有性质P的充要条件．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由于直线的方向向量为(1,2)，故直线的斜率为21=2，故直线的方程为y−1=2(x−1)，即2x−y−1=0，故选：A．由题意求出直线的斜率，用点斜式求得直线的方程．本题主要考查用点斜式求出直线的方程，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：由l⊂α，α//β⇒l//β，反之不成立，可能α//β或α与β相交．∴l//β是α//β的必要不充分条件，故选：B．根据线面、面面平行的判定与性质定理即可判断出结论．本题考查了线面、面面平行的判定与性质定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：因为(a+2)(b+1)=8，所以ab=6−(a+2b)，①a>0，b>0，a+2b=(a+2)+(2b+2)−4≥2√(a+2)(2b+2)−4=4，当且2=2b时取等号，所以6−ab≥4，解得ab≤2，即ab取到最大值2；①正确；②a<0，b<0，当a+2>0时，a+b=a+8a+2−1=a+2+8a+2−3≥2√(a+2)⋅8a+2−3=4√2−3，当且仅当a+2=8a+2时取等号，此时a=2√2−2不符合a<0，不满足题意；当a+2<0时，a+b=a+8a+2−1=a+2+8a+2−3=−[−(a+2)−8a+2]−3≤−3−4√2，此时取得最大值，没有最小值，②错误．故选：C．由已知结合基本不等式及其应用条件分别检验①②即可判断．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是基本不等式的应用条件的配凑．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=1x +|2x−a|={2x+1x−a,x≥a21x−2x+a,x<a2，①当a=0，x<0时，f(x)=1x −2x，f′(x)=−1x2−2<0，f(x)在(−∞,0)递减，不成立，舍去；②当a>0，x<0时，则f(x)=1x −2x+a，f′(x)=−1x2−2<0，f(x)在(−∞,0)递减，不成立，舍去；③当a<0，x<0时，f(x)={1x +2x−a,a2≤x<01 x −2x+a,x<a2，当x<a2时，f′(x)=−1x−2<0，f(x)在(−∞,0)递减；当a2≤x<0时，f′(x)=2−1x2，由f′(x)=0，可得x=±√22，当a≥−√2，即a2≥−√22时，x∈[a2,0)，则f′(x)≤0恒成立，当a<−√2，即a2<−√22时，x∈[a2,0)，则f′(x)在(a2,−√22)单调递增，在(−√22,0)单调递减．则对于任意x0∈(a2,−√22)，f(x0)>f(a2)，则满足题意．存在相异的实数x1，x2∈(−∞,0)，使得f(x1)=f(x2)成立，此时a<−√2，故选：B．去绝对值，可得f(x)的分段函数形式，分别讨论a=0，a>0，a<0，结合函数的导数和单调性，以及存在性问题解法，即可得到结论．本题考查分段函数的单调性，以及存在性问题解法，考查分类讨论思想和转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．5.【答案】{1}【解析】解：∵集合A={x||x−1|<1}={x|−1<x−1<1}={x|0<x<2}，B={1,2，3}，∴A∩B={1}．故答案为：{1}．先求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．本题考查集合的运算，考查交集的定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．6.【答案】1−i【解析】解：因为z⋅(1+i)=2，所以z=21+i =2(1−i)(1+i)(1−i)=2−2i2=1−i．故答案为：1−i．利用复数的除法运算求解z即可．本题考查了复数的运算，主要考查了复数除法的运算法则的运用，考查了化简运算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：∵a⃗=(4,−2)，b⃗ =(k,2)，且a⃗⊥b⃗ ，∴a⃗⋅b⃗ =4k−4=0，解得k=1．故答案为：1．根据a⃗⊥b⃗ 可得出a⃗⋅b⃗ =0，然后进行数量积的坐标运算即可求出k的值．本题考查了向量垂直的充要条件，向量坐标的数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．8.【答案】160【解析】解：展开式中含x3的项为C63x323=20×8x3=160x3，所以x3项的系数为160，故答案为：160．求出含x3的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．9.【答案】2【解析】解：因为AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =y =12,z =1， 则x +y +z =2． 故答案为：2．在平行六面体中把向量AF ⃗⃗⃗⃗⃗ 用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，然后利用向量相等，得到x ，y ，z 的值． 本题考查了空间向量基本定理的理解和应用，考查了化简运算能力与转化回归能力，属于基础题．10.【答案】−3【解析】解：根据反函数的定义可知，函数f(x)=√x −a 的反函数的图象经过点(2,1)， 则函数f(x)经过点(1,2)， 所以2=√1−a ，解得a =−3． 故答案为：−3．利用反函数的定义可知，函数f(x)经过点(1,2)，代入求解即可．本题考查了反函数的理解和应用，解题的关键是掌握函数与反函数之间的关系，考查了逻辑推理能力，属于基础题．11.【答案】π：4．【解析】解：设下正方体的棱长为a ，圆柱的底面半径为r ， 由圆柱和正方体的侧面积公式可知， 圆柱侧面积=2πra ，正方体的侧面积=4a 2， ∵它们的侧面积相等，∴2πra =4a 2，∴r =2a π；∴正方体与圆柱的体积比是：a 3r 2π×a =a 3(2a π)2⋅aπ=π：4．故答案为：π：4．先设下正方体的棱长为a ，圆柱的底面半径为r ，利用圆柱和正方体的侧面积公式可得2πra =4a 2，从而得出r 与a 的关系式，最后利用体积公式即可得出正方体与圆柱的体积比．此题主要考查圆柱和正方体的表面积及体积公式，属于基础题．12.【答案】3742【解析】解：某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，基本事件总数n =C 93=84，选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数m =C 93−C 53=74，∴选派的三人中至少有1名女医生的概率P =m n=7484=3742．故答案为：3742．基本事件总数n =C 93=84，选派的三人中至少有1名女医生包含的基本事件总数m =C 93−C 53=74，由此能求出选派的三人中至少有1名女医生的概率．本题考查概率的运算，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．13.【答案】−12或1【解析】解：∵函数y =tan(ωx +π6)的图象关于点(π3,0)对称，且|ω|≤1， ∴ω×π3+π6=kπ，k ∈Z ，或ω×π3+π6=kπ+π2，k ∈Z 则令k =0，可得实数ω=−12或ω=1， 故答案为：−12 或1．由函数y =tan(ωx +φ)的图象的对称性，求得ω的值．本题主要考查由函数y =tan(ωx +φ)的图象的对称性，属于基础题．14.【答案】[−14,3]【解析】解：如图，取AB 的中点O ，由已知得OA =OB =12， 则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14． 如图，以O 为圆心，OT(T 为边AB 的对边NM 的中点)为半径作圆，由正六边形的性质可知，该圆与边NM 相切于点T ，且故P 点为M 或N 点时，PO 最大，且此时OT =2×1×sin60°=√3．所以OP max =OM =√OT 2+TM 2=√3+(12)2=√134，当P 与O 重合时，PO =0最小．故−14≤PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14≤3． 故答案为：[−14,3]．利用平面向量基本定理，将PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 用向量PO ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，(其中O 为AB 的中点)，则问题最终转化为求|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |范围的问题，利用圆的性质易求出|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为MO ，问题可求解．本题考查平面向量在几何问题中的应用，属于中档题．15.【答案】3−2√2【解析】解：∵xy =2(1≤x ≤2)， ∴y =2 x ，(1≤x ≤2)， 则x +y =x +2 x ， 设f(x)=x +2 x ，则f(x)在(1,√2]上递减，则[√2,2)上递增， 则当x =√2时，f(x)最小为f(x)=√2+√2=2√2，当x =1时，f(x)=1+2=3，当x =2时，f(x)=2+1=3， 即f(x)的最大值为3，则2√2≤f(x)≤3， 不妨设c 1≤c 2，则由(x +y +c 1)(x +y +c 2)≤0得x +y +c 1≤0，且x +y +c 2≥0， 即c 1≤−(x +y)=−f(x)，且c 2≥−x −y =−f(x)， ∵2√2≤f(x)≤3， ∴−3≤f(x)≤−2√2， 则c 1≤−3，c 2≥−2√2，则|c 1−c 2|的最小值为|−3−(−2√2)|=3−2√2， 故答案为：3−2√2．根据xy =2(1≤x ≤2)，得y =2 x ，(1≤x ≤2)，利用对勾函数的性质求出x +y 的取值范围，利用不等式恒成立，进行转化求解即可．本题主要考查不等式恒成立问题，利用对勾函数的性质求出最值，利用参数分离法求出函数的最值是解决本题的关键，是中档题．16.【答案】23【解析】解：a n+1=1+a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n ，可得a n =1+a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n−1，(n ≥2)， 又a n+1−1=a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n ，a n −1+a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n−1， 两式相除可得a n+1−1a n −1=a n ，即a n+1−1=a n (a n −1)，则1an+1−1=1an (a n−1)=1a n−1−1a n， 即有1a n=1an−1−1an+1−1，n ≥2，所以T n =1a 1+1a2−1−1a 3−1+1a 3−1−1a 4−1+⋯+1a n−1−1a n+1−1=13+13−1a n+1−1=23−1a n+1−1，由a 1>1，a n+1=1+a 1⋅a 2⋅a 3⋅…⋅a n ，可得a n >1，且{a n }为递增数列， 当n →+∞时，a n →+∞，则1a n→0，即有1an+1−1→0，所以n →∞lim T n =n →∞lim(23−1a n+1−1)=23． 故答案为：23．当n ≥2时，将n 换为n −1，推得a n+1−1=a n (a n −1)，1a n=1an−1−1an+1−1，n ≥2，由数列的裂项相消求和，结合数列的单调性，即可得到所求极限．本题考查数列的极限的求法，以及数列的裂项相消求和，考查转化思想和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)连接PO ，则PO//SA ，所以∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成角， 因为CD ⊥AB ，CD ⊥SO ，又AB ∩SO =O ， 所以CD ⊥平面SOB ，又PO ⊂平面SOB ， 所以CD ⊥PO ，在Rt △DOP 中，OD =OB =2，OP =12SA =12√42+22=√5， tan∠DPO =OD OP=5=2√55， 所以异面直线SA 与PD 所成角大小为arctan2√55． (2)以O 为原点，OA ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴，如图所示： 所以O(0,0，0)，D(0,2，0)，P(1,0，2)，S(0,0，4)， SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0，−2)，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，−2)， 设平面PCD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， 因为{n ⃗ ⋅OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{y =0−x +2y −2z =0，令z =1，x =−2，y =0，所以n⃗ =(−2,0，1)， n ⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，1)⋅(1，0，−2)=−4， 所以点S 到平面PCD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=222=4√55．【解析】(1)连接PO ，由中位线定理推出PO//SA ，得∠DPO 为异面直线SA 与PD 所成角，再根据条件计算出tan∠DPO ，即可得出答案．(2)以O 为原点，OA ，OD ，OS 为x ，y ，z 轴，写出SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ 坐标，求出平面PCD 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)，再计算点S 到平面PCD 的距离d =|n ⃗⃗ ⋅SP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |，即可得出答案．本题考查异面直线所成角，点到平面的距离，解题中需要熟悉直线与平面的位置关系，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵函数f(x)=2x +a ⋅2−x 的定义域为x ∈R ，又∵f(−x)=2−x +a ⋅2x∴①当f(−x)=f(x)时，即2−x +a ⋅2x =2x +a ⋅2−x 时，可得a =1 即当a =1时，函数f(x)为偶函数；②当f(−x)=−f(x)时，即2−x +a ⋅2x =−(2x +a ⋅2−x )=−2x −a ⋅2−x 时，可得a =−1即当a =−1时，函数f(x)为奇函数．(2)由(1)可得，当函数f(x)为偶函数时，a =1，即f(x)=2x +2−x 时，f(2x)=22x +2−2x =(2x +2−x )2−2由题可得，(2x +2−x )2−2−k(2x +2−x )=3⇔(2x +2−x )2−k(2x +2−x )−5=0 令t =2x +2−x ，则有t 2−kt −5=0⇒t =k±√k2+202∵x ∈[0,1]∴2x ∈[1,2],2−x ∈[12,1]又∵2x +2−x =2x +12x ≥2，当且仅当2x =12x ⇒x =0时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，2x +2−x ∈[2,52]，即t ∈[2,52]①k −√k 2+202≥2⇒√k 2+20≤k −4⇒k 2+20≤k 2−8k +16⇒k ≤−12k −√k 2+20≤5⇒√k 2+20≥k −5⇒k 2+20≥k 2−10k +25⇒k ≥1此时k 的取值不存在；②k +√k 2+202≥2⇒√k 2+20≥4−k ⇒k 2+20≥k 2−8k +16⇒k ≥−12k +√k 2+202≤52⇒√k 2+20≤5−k ⇒k 2+20≤k 2−10k +25⇒k ≤12此时，可得k 的取值为−12≤k ≤12 综上可得−12≤k ≤12【解析】(1)直接使用奇偶性的定义进行求解；(2)在函数f(x)为偶函数的条件下，确定函数的解析式，并通过函数零点和方程根的关系，求解实数k 的取值范围．本题重点考查函数奇偶性的判定，以及函数性质的使用，属于综合类题目，难度中等．19.【答案】解：(1)扇形的半径为100米=1百米，当Q 时OB 的中点时，OQ =12，∠PQO =π3，OP =1，在△OPQ 中，由余弦定理可得，OP 2=OQ 2+PQ 2−2OQ ⋅PQ ⋅cos π3，解得PQ =1+√134≈1.15，所以Q 是OB 的中点时，PQ 的长约为115米； (2)在△OPQ 中，由正弦定理可得，PQsin(2π3−x)=OP sin∠OQP =1sinπ3，所以PQ =2√33sin(2π3−x),x ∈(0,2π3)，所以△OPQ 的面积为S =12⋅PQ ⋅OP ⋅sinx =√33sin(2π3−x)sinx =√36sin(2x −π6)+√312，故当sin(2x −π6)=1，即x =π3时，△OPQ 的面积最大为√34(百米 2)=2500√3m 2，当x =π3时，PQ =OP =1，故扇形AOP 的面积为S 1=12⋅π3⋅12=π6(百米 2)=5000π3m 2，扇形AOB 的面积为S 大=12⋅2π3⋅1=π3(百米 2)=10000π3m 2，所以区域BQP 的面积为S 2=S 大−S −S 1=10000π3−2500√3−5000π3=5000π3−2500√3(m 2)，因为种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米，所以此时扇形区域AOB 种植花卉的总成本为30×10000π3+50×2500√3+20×(5000π3−2500√3)≈531403元．【解析】(1)扇形的半径为100米=1百米，求出OQ ，OP 的值，然后在△OPQ 中，利用余弦定理求解PQ 即可；(2)在△OPQ 中，利用正弦定理求出PQ ，然后表示出△OPQ 的面积，利用三角函数的性质求解最值即可；分别求出x =π3时各区域的面积，求解总成本即可．本题考查了三角函数的实际应用问题，解题的关键是弄清题意，正确抽取出合适的数学模型，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立{y =x −1y 2=4x ，得x 2−6x +1=0，所以x 1+x 2=6，因为抛物线的方程为y 2=4x ， 所以抛物线的焦点F(1,0)，又直线l ：y =x −1过抛物线的焦点F(1,0)，所以由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+P =6+2=8． (2)证明：设直线l 的方程为y =k(x +1)，A′(x 1,−y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{y =k(x +1)y 2=4x ，得k 2x 2+(2k 2−4)x +k 2=0，所以x 1x 2=1，即x 2=1x 1，直线A′F 的斜率为k A′F =−y 1x 1−1=−k(x 1+1)x 1−1，直线BF 的斜率为k BF =y 2x 2−1=k(x 2+1)x 2−1=k(1x 1+1)1x 1−1=−k(1+x 1)x 1−1，所以k A′F =k BF ，所以A′、F 、B 三点共线．(3)假设存在点N(y 024,y 0)使以弦AB 为直径的圆恒过点N ，设过点M(8,−4)直线l 的方程为x =m(y +4)+8，联立{x =m(y +4)+8y 2=4x ，得y 2−4my −16m −32=0，设A(y 124,y 1)，B(y 224,y 2)，则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=−16m −32， 因为点N 总在以弦AB 为直径的圆上， 所以∠ANB =90°， 所以NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 又NA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 124−y 024,y 1−y 0)，NB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(y 224−y 024,y 2−y 0)， 所以(y 124−y 024)(y 224−y 024)+(y 1−y 0)(y 2−y 0)=0，所以(y 1−y 0)(y 2−y 0)[(y 1+y 0)(y 2+y 0)16+1]=0，当y 1=y 0或y 2=y 0，等式成立，当y 1=≠0或y 2≠y 0，有(y 1+y 0)(y 2+y 0)=−16，所以y 1y 2+y 0(y 1+y 2)+y 02+16=0， 则y 02−4my 0−16m −16=0，即4m(y 0−4)+(y 0−4)(y 0+4)=0， 所以当y 0=4时，无论m 取何值等式都成立， 将y 0=4代入y 2=4x ，得x 0=4，所以存在点N(4,4)使得以弦AB 为直径的圆恒过点N ．【解析】(1)设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线l 与抛物线的方程，结合韦达定理可得x 1+x 2，由抛物线的定义可得|AB|=|AF|+|BF|=x 1+x 2+P ，即可得出答案．(2)设直线l 的方程为y =k(x +1)，A′(x 1,−y 1)，B(x 2,y 2)，写出直线A′F 的斜率为k A′F ，直线BF 的斜率为k BF ，即可得出答案． (3)假设存在点N(y 024,y 0)使以弦AB 为直径的圆恒过点N ，则NA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅NB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，解出N 点坐标即可．本题考查抛物线的定义，以及直线与圆和抛物线的位置问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)数列1，2，3，4不具有性质P ，理由如下：当n =4时，a n =4，不存在s 、t(其中s ≠t ，s ，t ∈N ∗，s <n ，t <n)，使得a n =a s −a t 成立，所以数列1，2，3，4不具有性质P ，数列−1，0，1，2具有性质P ，理由如下： 若a n =1，a s =0，a t =−1，则满足a n =a s −a t ， 若a n =2，a s =1，a t =−1，则满足a n =a s −a t ， 所以数列−1，0，1，2具有性质P ． (2)∵{a n }的公差为d ，b n =sina n ， ∴{b n =b s −b t a n =a s −a t， ∴b s −b t =sin(a s −a t )， 要使d 最小，∴sina s ⋅sina t =sin(a s −a t )=sina s cosa t −cosa t sina t ， ∴{cosa t =1cosa s =1， ∴a t =2tπ，a s =2sπ， 又∵d =a s −a t s−t=2sπ−2tπs−t=2π，∴d min =2π．(3)∵数列c n =|n −a|−b 且具有性质P ， ∴c n =c s −c t ，∴|n −a|−b =|s −a|−b −(|t −a|−b)， ∴b =|n −a|−|s −a|+|t −a|(充分性成立)，又由b =|n −a|−|s −a|+|t −a|可得|n −a|−b =|s −a|−b −(|t −a|−b)， 即c n =c s −c t (必要性成立)，∴数列{c n }具有性质P 的充要条件是b =|n −a|−|s −a|+|t −a|．【解析】(1)根据数列具有性质P 时的特征判断即可．(2)由题意可得b s −b t =sin(a s −a t )，要使d 最小，则cosa t =1，cosa s =1，从而求出a t ，a s 的值，再利用等差数列公差公式即可求出d 的值．(3)由数列c n =|n −a|−b 且具有性质P ，可得c n =c s −c t ，进而求出b =|n −a|−|s −a|+|t −a|，充分性得证，再证明必要性即可求出结果．本题主要考查了数列的综合运用，考查了逻辑关系的判断，同时考查了学生的逻辑推理能力，是中档题．。
2021年上海市松江区高考数学一模试卷(附答案详解)
2021年上海市松江区高考数学一模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知两条直线l 1，l 2的方程为l 1：ax +y −1=0和l 2：x −2y +1=0，则a =2是“直线l 1⊥l 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列四个结论中错误的是( )A. 直线B 1C 与直线AC 所成的角为60°B. 直线B 1C 与平面AD 1C 所成的角为60°C. 直线B 1C 与直线AD 1所成的角为90°D. 直线B 1C 与直线AB 所成的角为90°3. 设x >0，y >0，若2x +1y =1，则yx 的( )A. 最小值为8B. 最大值为8C. 最小值为2D. 最大值为24. 记S n 为数列{a n }的前n 项和，已知点(n,a n )在直线y =10−2x 上，若有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ，则实数k 的取值范围是( )A. (8,14]B. (14,18]C. (18,20]D. (18,814]二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. n →∞lim3n3n +2n =______．6. 若集合A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}，则A ∩B =______．7. 已知复数z 满足z ⋅(1−i)=1+i(i 为虚数单位)，则|z|=______．8. 若sinα=13，则cos(π−2α)=______． 9. 抛物线y 2=−4x 的准线方程是______．10. 已知函数f(x)图象与函数g(x)=2x 的图象关于y =x 对称，则f(3)=______． 11. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率______．12. 在(x 2+2x )6的二项展开式中，常数项等于______．13.在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2a∣∣=0，则角A=______．cosB1∣14.从以下七个函数：y=x，y=1，y=x2，y=2x，y=log2x，y=sinx，y=cosxx中选取两个函数记为f(x)和g(x)，构成函数F(x)=f(x)+g(x)，若F(x)的图象如图所示，则F(x)=______．15.已知向量|a⃗|=|b⃗ |=|c⃗|=1，若a⃗⋅b⃗ =1，且c⃗=x a⃗+y b⃗ ，则x+y的最大值为2______．16.对于定义域为D的函数f(x)，若存在x1，x2∈D且x1≠x2，使得f(x12)=f(x22)=2f(x1+x2)，则称函数f(x)具有性质M，若函数g(x)=|log2x−1|，具x∈(0,a]有性质M，则实数a的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.如图1，在三棱柱ABC−A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB=AC=1，AA1=2，且AA1⊥平面ABC，过A1，C1，B三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2)．(1)求异面直线BC1与AA1所成角的大小(结果用反三角函数表示)；(2)求四棱锥B−ACC1A1的体积和表面积．18.已知函数f(x)=√3sinxcosx+cos2x+1．(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)若对任意x∈R，f2(x)−k⋅f(x)−2≤0的恒成立，求实数k的取值范围．19.某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量3−x与促销费t之间的关系为3−x=kt+1(其中k 为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．(1)要使促销后商品的利余量不大于0.1(万件)，促销费t至少为多少(万元)？(2)已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为32+3x(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍“与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？20.已知椭圆Γ：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的√2倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N，(1)求椭圆Γ的方程；(2)若直线l经过点P(0,4)，且△OMN的面积为2√2，求直线l的方程；(3)若直线l的方程为y=kx+t(k≠0)，点M关于x轴的对称点为M′，直线MN，M′N分别与x轴相交于P、Q两点，求证：|OP|⋅|OQ|为定值．21.对于由m个正整数构成的有限集M={a1,a2,a3,…,a m}，记P(M)=a1+a2+⋯+a m，特别规定P(⌀)=0，若集合M满足：对任意的正整数k≤P(M)，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，则称集合M为“满集”．(1)分别判断集合M1={1,2}与M2={1,4}是否为“满集”，请说明理由；(2)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，求证：集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2；(3)若a1，a2，…，a m由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M是“满集”．答案和解析1.【答案】C【解析】解：若a=2，则l1：2x+y−1=0和l2：x−2y+1=0，k1⋅k2=−2×12=−1，所以直线l1⊥l2，满足充分性；若直线l1⊥l2，则a×1+1×(−2)=0，解得a=2，满足必要性．所以a=2是“直线l1⊥l2”的充要条件．故选：C．根据充分必要条件的定义，分别判断其充分性和必要性即可．本题主要考查充分条件、必要条件，考查两直线垂直的充要条件，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1=60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1=B1C=CD1=AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC=√63BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ=OCB1C =√63BC√2BC=√33≠12，故选项B错误；连接BC1，∵AD1//BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ=OC B1C可判断选项B；利用平移法找出选项C 和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．本题考查异面直线夹角、线面角的求法，利用平移法找出异面直线夹角，以及理解线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：由已知2x +1y =1可得y =11−2x ，(x ≠12)， 所以y x =1x(1−2x)=1−2x 2+x =1−2(x−14)2+18，当x =14时，(−2x 2+x)max =18，此时(yx )min =8， 故选：A ．先由已知求出y ，然后代入所求的关系式中，化为与x 有关的函数，然后利用函数的性质即可求解．本题考查了函数的最值问题，涉及到二次函数的最值问题以及统一变量思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：由已知可得a n =10−2n ，由a n −a n−1=−2，所以数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2， 所以S n =8n +n(n−1)2×(−2)=−n 2+9n ，当n =4或5时，S n 取得最大值为20， 因为有且只有两个正整数n 满足S n ≥k ， 所以满足条件的n =4和n =5， 因为S 3=S 6=18，所以实数k 的取值范围是(18,20]． 故选：C ．由已知可得数列{a n }为等差数列，首项为8，公差为−2，由等差数列的前n 项和公式可得S n =−n 2+9n ，由二次函数的性质可得n =4或5时，S n 取得最大值为20，根据题意，结合二次函数的图象与性质即可求得k 的取值范围．本题主要考查数列与函数的综合，考查等差数列前n 项和公式，二次函数的图象与性质，属于中档题．5.【答案】1【解析】解：n →∞lim3n3n +2n =n →∞lim11+(23)n =11−0=1．故答案为：1．利用数列极限的运算法则化简求解即可． 本题考查数列极限的运算法则的应用，是基础题．6.【答案】{1,2}【解析】解：∵A ={x|−1<x <3}，B ={1,2，3，4}， ∴A ∩B ={1,2}． 故答案为：{1,2}． 进行交集的运算即可．本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】1【解析】解：由z ⋅(1−i)=1+i ， 得z =1+i1−i =(1+i)2(1−i)(1+i)=i ， ∴|z|=1． 故答案为1．把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，属于基础题．8.【答案】−79【解析】解：∵sinα=13，∴cos(π−2α)=−cos2α=−(1−2sin 2α)=−1+2sin 2α=−1+29=−79． 故答案为：−79原式利用诱导公式化简后，再利用二倍角的余弦函数公式变形，将sinα的值代入计算即可求出值．此题考查了二倍角的余弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．9.【答案】x =1【解析】解：∵抛物线的方程y 2=−4x ，∴2p =4，得p2=1， 因此，抛物线的焦点为F(−1,0)，准线方程为x =1． 故答案为：x =1根据抛物线的标准方程及基本概念，结合题中数据加以计算，可得答案．本题给出抛物线方程，求它的准线方程．着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．10.【答案】log 23【解析】解：∵函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称， ∴函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数， ∴f(x)=log 2x ， ∴f(3)=log 23， 故答案为：log 23.由函数f(x)的图象与函数g(x)=2x 的图象关于直线y =x 对称，可得：函数f(x)与函数g(x)=2x 互为反函数，求出函数解析式，可得答案．本题考查的知识点是反函数，熟练掌握同底的指数函数和对数函数互为反函数，是解答的关键．11.【答案】115【解析】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11， ∴学生甲被抽到的概率P =m n=C 119979C 11C 120080=115．故答案为：115．基本事件总数n =C 120080，学生甲被抽到包含的基本事件个数m =C 120079C 11，由此能求出学生甲被抽到的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】240)6的二项展开式中，通项公式为T r+1=C6r⋅2r⋅x12−3r，【解析】解：在(x2+2x令12−3r=0，求得r=4，可得展开式的常数项为C64⋅24=240，故答案为：240．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．13.【答案】5π6∣∣=0，【解析】解：在△ABC中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且∣∣∣√3b+2c2acosB1∣可得√3b+2c=2acosB，由正弦定理可得√3sinB+sinC=2sinAcosB，，即√3sinB+sin(A+B)=2sinAcosB，可得cosA=−√32．所以A=5π6．故答案为：5π6利用行列式的运算法则以及正弦定理，结合两角和与差的三角函数化简求解即可．本题考查正弦定理以及两角和与差的三角函数，行列式的应用，是基本知识的考查．14.【答案】2x+sinx，y=log2x，【解析】解：由图象可知，函数F(x)的定义域为R，故排除y=1x又F(x)的图象过定点(0,1)，当x>0时，F(x)>1且为增函数，当x<0时，F(x)大于0与小于0交替出现，故排除y=x，y=x2，∵y=2x过(0,1)，且当x>0时，y>1，当x<0时，0<y<1．若包含y=cosx，当x=0时，y=1，y=2x+cosx不满足过点(0,1)，∴只有y=2x+sinx满足．故答案为：2x+sinx．，y=log2x，再由F(x)的图象过定点(0,1)及图象的变化由函数F(x)的定义域排除y=1x情况排除y=x与y=x2，然后分析y=2x与y=cosx，或y=2x与y=sinx是否经过(0,1)得结论．本题考查函数的图象及图象变换，考查基本初等函数的性质，考查数形结合的解题思想，是中档题．15.【答案】2√33【解析】解：∵|a⃗|=|b⃗ |，且a⃗⋅b⃗ =12，∴a⃗与b⃗ 的夹角为60°，设a⃗=(1,0)，则b⃗ =(12,√32)，∵c⃗=x a⃗+y b⃗ ，∴c⃗=(x+12y,√32y)，又|c⃗|=1，∴(x+12y)2+(√32y)2=1，化简得x2+xy+y2=1，∴(x+y)2−1=xy≤(x+y)24，当且仅当x=y=√33时，等号成立，∴x+y≤2√33．故答案为：2√33．易知a⃗与b⃗ 的夹角为60°，不妨设a⃗=(1,0)，写出b⃗ 与c⃗的坐标，再由|c⃗|=1和基本不等式，即可得解．本题考查平面向量的混合运算，还涉及利用基本不等式解决最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．16.【答案】√2√2+2【解析】解：设x1<x2，由f(x12)=f(x22)得，|log2x12−1|=|log2x22−1|，则1−log2x12=log2x22−1，故log2x12x22=2，∴x12x22=4(x12<2,x22>2)，又2f(x1+x2)=|2log2(x1+x2)−2|=|log2(x1+x2)2−2|，∴log2(x1+x2)2−2=1−log2x12，∵x12=4x22，∴log2(x12+4x12+4)−2=1−log2x12，则log2(x14+4x12+4)=3，∴x14+4x12+4=8，∴x1=√2√2−2，故x2=√2√2+2，∴a≥√2√2+2，则实数a的最小值为√2√2+2．故答案为：√2√2+2．设x 1<x 2，由f(x 12)=f(x 22)，可得x 12x 22=4，结合2f(x 1+x 2)=|2log 2(x 1+x 2)−2|=|log 2(x 1+x 2)2−2|可得x 14+4x 12+4=8，进而求得x 1，x 2，由此得解．本题以新定义为载体考查函数性质的运用，旨在考查学生分析问题，解决问题的能力，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵AA 1//CC 1，∴∠BC 1C即为异面直线BC 1与AA 1所成角， ∵AA 1⊥平面ABC ，∴CC 1⊥平面ABC ， ∴∠C 1CB =90°．∵CB =√AB 2+AC 2=√1+1=√2，CC 1=2，∴tan∠C 1CB =√22，得∠C 1CB =arctan√22， 即异面直线BC 1与AA 1所成角的大小为arctan √22；(2)V B−ACC 1A 1=13×1×22=43；S 全=S △BAC +S △BAA 1+S △BA 1C 1+S CAA 1C 1 =12×1×1+12×1×2+12×1×√5+12×√2×2+1×2 =12+1+√52+√2+2=72+√2+√52． ∴四棱锥B −ACC 1A 1的体积为43，表面积为72+√2+√52．【解析】(1)由棱柱的结构特征可得AA 1//CC 1，∴∠BC 1C 即为异面直线BC 1与AA 1所成角，证明CC 1⊥平面ABC ，再由已知求解三角形得答案；(2)直接由棱锥体积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的体积，再由三角形面积公式及矩形面积公式求四棱锥B −ACC 1A 1的表面积．本题考查异面直线所成角的求法，考查多面体的体积与表面积的求法，考查空间想象能力与运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)f(x)=√3sinxcosx +cos 2x +1=√32sin2x +cos2x+12+1=√32sin2x +12cos2x +32=sin(2x +π6)+32， 所以f(x)的最小正周期T =2π2=π，值域为[12,52].(2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，由f 2(x)−k ⋅f(x)−2≤0恒成立，知t 2−kt −2≤0恒成立，即kt ≥t 2−2恒成立， 因为t >0，所以k ≥t 2−2t =t −2t ，因为g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，g max (t)=g(52)=52−45=1710， 所以k 的取值范围是k ≥1710．【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x +π6)+32，利用正弦函数的性质即可求解． (2)记f(x)=t ，则t ∈[12,52]，可得k ≥t 2−2t=t −2t ，由于g(t)=t −2t 在t ∈[12,52]时单调递增，利用函数的性质即可求解．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，考查了函数思想，属于中档题．19.【答案】解：(1)由3−x =kt+1，当t =0，x =1时，得k =2，∴3−x =2t+1，由2t+1≤0.1，得t ≥19，故要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费t 至少为19(万元)； (2)设网店的利润为y(万元)，由题意可得，y =x(3+32x x ×1.5+t2x)−(3+32x +t) =992−32t+1−t 2=50−(32t+1+t+12)≤50−2√32t+1⋅t+12=42．当且仅当32t+1=t+12，即t =7时取等号，此时3−x =0.25．∴当促销费t 为7(万元)时，该网店售出商品的总利润最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件)．【解析】(1)在已知等式中，取t =0，x =1求得k 值，可得3−x =2t+1，由2t+1≤0.1求解t 的范围得答案；(2)由题意写出网店的利润为y 关于t 的函数，再由基本不等式求最值即可． 本题考查根据实际问题选择函数模型，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．20.【答案】解：(1)由题意可得a =√2b ，a 2−b 2=4，解得a =2√2，b =2，所以椭圆的方程为x 28+y 24=1；(2)设点M ，N 的坐标为M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)， 直线l 的方程为y =kx +4，联立方程{y =kx +4x 28+y 24=1，消去y 可得：(1+2k 2)x 2+16kx +24=0， 则x 1+x 2=−16k 1+2k ，x 1x 2=241+2k 2，所以S △OMN =12⋅4⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=8√2√2k 2−31+2k 2=2√2，解得k =±√142，所以直线l 的方程为y =±√142x +4； (3)证明：由题意知M′点的坐标为M′(x 1,−y 1)，将y =kx +t 代入椭圆方程可得：(1+2k 2)x 2+4ktx +2t 2−8=0， 所以x 1+x 2=−4kt1+2k 2，x 1x 2=2t 2−81+2k 2，所以y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2t =t1+2k 2，对于直线y =kx +t ，令y =0，得x =−t k ，所以|OP|=|− tk |，对于直线M′N ：y −y 2=y 2−y1x 2−x 1(x −x 2)，令y =0，得x =− y 2(x 2−x 1)y 2+y 1+x 2=x 1y 2+x 2y 1y 2+y 1=x 1(kx 2+t)+x 2(kx 1+t)y 2+y 1=2kx 1x 2+t(x 1+x 2)y 2+y 1=−8kt，所以|OQ|=|−8k t|，所以|OP|⋅|OQ|=|−tk |⋅|−8k t|=8为定值，故原结论成立．【解析】(1)根据已知以及a ，b ，c 的恒等式即可求解；(2)设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，然后根据韦达定理以及弦长公式求出三角形OMN 的面积，并令面积为2√2，即可求解；(3)由已知可得M′与M 关于x 轴对称，联立直线与椭圆的方程，写出韦达定理，并求出直线M′N 的方程，令y =0求出x ，即可得|OQ|的长度，并根据直线l 的方程求出|OP|，然后相乘即可求解．本题考查了椭圆的标准方程以及直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到三角形面积问题以及椭圆中的定值问题，考查了学生的运算转化能力和推理能力，属于难题．21.【答案】解：(1)集合M 1是“满集”，集合M 2不是“满集”，理由如下：对于集合M 1，P(M 1)=1+2=3，且M 1共有4个子集：⌀，{1}，{2}，{1,2}，当k分别取1，2，3时，有1=P({1})−P(⌀)，2=P({2})−P(⌀)，3=P({1,2})−P(⌀)，故集合M1是“满集”；对于集合M2，P(M2)=1+4=5，且M1共有4个子集：⌀，{1}，{4}，{1,4}，当k=2时，不存在M2的两个子集A，B，使得P(A)−P(B)=2，故集合M2不是“满集”，(2)证明：∵a1，a2，…，a m由小到大能排列成公差为d(d∈N∗)的等差数列，∴a1<a2<⋯<a m，记k0=P(M)=a1+a2+⋯+a m，∵集合M为“满集”，∴对任意的正整数k≤k0，都存在集合M的两个子集A、B，使得k=P(A)−P(B)成立，当k=k0−1时，由k0−1=P(A)−P(B)，及P(B)≥0，知P(A)=k0或P(A)=k0−1，若P(A)=k0，则P(B)=1，此时A={a1,a2,…,a m}，B={a1}，∴a1=1；若P(A)=k0−1，则在M的真子集中，P(A)=a2+a3+⋯+a m最大，必有a1=1，此时A={a2,a2,…,a m}，B=⌀，综上，可得a1=1；若d≥3，当k=k0−3时，∵k0−0>k0−1>(k0−1)−1>⋯>k0−(1+d)>⋯，∴不存在集合M的两个子集A、B，使得k=k0−3=P(A)−P(B)成立，∴d=1或2，综，可得集合M为“满集”的必要条件是a1=1，d=1或2，(3)证明：由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，对任意k≤2m−1，∵k∈N∗，∴存在k1<k，k1∈N∗，p1∈{0,1}，使得k=2k1+p1，同理有k1=2k2+p2，k2=2k3+p3，…，其中k i<k i−1，k i∈N∗，p i∈{0,1}，经过有限次的操作后，必存在k s=1(0≤s<m)，∴k=2k1+p1=2(2k2+p2)+p1=⋯=2s+2s−1p s+2s−2p s−1+⋯+2p2+20p1，当p j1=p j2=⋯=p jm=1时，k=2s+2j1+2j2+⋯+2j s，此时取A={2s,2j1,2j2,…,2j s}，B=⌀，则有P(A)−P(B)=2s+2j1+2j2+⋯+2j s−0=k，∴集合M是“满集”．【解析】(1)根据“满集”的定义，可知集合M1是“满集”，集合M2不是“满集”，然后利用定义说明理由即可；(2)由题设条件和“满集“的定义⇒a1=1，d=1或2，即可证明结论；(3)由题设，可得M={1,2，4，…，2m−1}，P(M)=1+2+4+⋯+2m−1=2m−1，然后根据“满集”的定义证明结论即可．本题主要考查数列在概念新定义题型中的综合应用，属于一道难题．。
2021年上海市松江区高考数学一模填空与解答题综合练习含答案
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．314．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）若2﹣i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根（其中i为虚数单位，p，q∈R），则q的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣3 D．3【解答】解：∵2﹣i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的一个根，∴2+i是关于x的实系数方程x2+px+q=0的另一个根，则q=（2﹣i）（2+i）=|2﹣i|2=5．故选：B．14．（5分）已知f（x）是R上的偶函数，则“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵f（x）是R上的偶函数，∴“x1+x2=0”⇒“f（x1）﹣f（x2）=0”，“f（x1）﹣f（x2）=0”⇒“x1+x2=0”或“x1=x2”，∴“x1+x2=0”是“f（x1）﹣f（x2）=0”的充分而不必要条件．故选：A．15．（5分）若存在x∈[0，+∞）使成立，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]D．[1，+∞）【解答】解：存在x∈[0，+∞）使成立，∴2x•x﹣2x•m＜1，∴2x•m＞2x•x﹣1，∴m＞x﹣，∵x∈[0，+∞），∴2x≥1，∴m＞x﹣≥﹣1．∴实数m的取值范围是（﹣1，+∞）．故选：B．16．（5分）已知曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1]∪[0，1）B．（﹣1，1]C．[﹣1，1）D．[﹣1，0]∪（1，+∞）【解答】解：由x=|y|﹣2可得，y≥0时，x=y﹣2；y＜0时，x=﹣y﹣2，∴函数x=|y|﹣2的图象与方程y2+λx2=4的曲线必相交于（0，±2），所以为了使曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，则将x=y﹣2代入方程y2+λx2=4，整理可得（1+λ）y2﹣4λy+4λ﹣4=0，当λ=﹣1时，y=2满足题意，∵曲线C1：|y|﹣x=2与曲线C2：λx2+y2=4恰好有两个不同的公共点，∴△＞0，2是方程的根，∴＜0，即﹣1＜λ＜1时，方程两根异号，满足题意；综上知，实数λ的取值范围是[﹣1，1）．故选C．三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）在△ABC中，AB=6，AC=3，=﹣18．（1）求BC边的长；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）=﹣18，由于：AB=6，AC=3，所以：BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcosA，解得：BC=3．（2）在△ABC中，BA=6，AC=3，BC=3，则：cosA==﹣，所以：sinA=，则：=．18．（14分）已知函数（x≠0，常数a∈R）．（1）讨论函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）当a＞0时，研究函数f（x）在x∈（0，+∞）内的单调性．【解答】解：（1）当a=0时，函数f（x）=1（x≠0）满足f（﹣x）=f（x），此时f（x）为偶函数；当a≠0时，函数f（a）=0，f（﹣a）=2，不满足f（﹣x）=f（x），也不满足f（﹣x）=﹣f（x），此时f（x）为非奇非偶函数；（2）当a＞0时，若x∈（0，a），则，为减函数；若x∈（a，+∞），则，为增函数；故f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）上为增函数；19．（14分）松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足2≤t ≤20，经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时电车为满载状态，载客量为400人，当2≤t＜10时，载客量会减少，减少的人数与（10﹣t）的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人，记电车载客量为p（t）．（1）求p（t）的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？【解答】解：（1）由题意知，p（t）=（k为常数），∵p（2）=400﹣k（10﹣2）2=272，∴k=2．∴p（t）=．∴p（6）=400﹣2（10﹣6）2=368；（2）由，可得Q=，当2≤t＜10时，Q=180﹣（12t+），当且仅当t=5时等号成立；当10≤t≤20时，Q=﹣60+≤﹣60+90=30，当t=10时等号成立．∴当发车时间间隔为5分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为60元．20．（16分）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）经过点，其左焦点为，过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M．（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为，求直线l的方程；（3）设，，求证：λ1+λ2为定值．【解答】解：（1）由题意可得：c=，则a2=b2+c2=b2+3，将代入椭圆方程：，解得：b2=1，a2=4，∴椭圆的E的方程：；（2）设直线l：y=k（x+），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x0，y0），则D（x1，﹣y1），联立，整理得：（1+4k2）x2+8k2x+12k2﹣4=0，∴x1+x2=﹣，x1x2=，|AB|==，由直线CD的斜率为﹣，将k转化成﹣，同理|CD|=，∴四边形ACBD的面积S=×|AB||CD|==，∴2k4﹣5k2+2=0，解得：k2=2，k2=，∴k=±或k=±，由k＞0，∴k=或k=，∴直线AB的方程为x﹣y+=0或x﹣y+=0；（3），，得x1=λ1（﹣﹣x1），x2=λ2（﹣﹣x2），∴λ1=，λ2=，λ1+λ2=﹣（+）=﹣==﹣8，λ1+λ2为定值，定值为﹣8．21．（18分）已知有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．（1）若m=5，a1=1，a5=3，试写出一个满足条件的数列{a n}；（2）若m=64，a1=2，求证：数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018；（3）若a1=0，则a m所有可能的取值共有多少个？请说明理由．【解答】解：（1）有穷数列{a n}共有m项（m≥2，m∈N*），且|a n+1﹣a n|=n（1≤n≤m﹣1，n∈N*）．m=5，a1=1，a5=3，则满足条件的数列{a n}有：1，2，4，7，3和1，0，2，﹣1，3．证明：（2）必要性若{a n}为递增数列，由题意得：a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，…，a64﹣a63=63，∴a64﹣a1==2016，∵a1=2，∴a64=2018．充分性﹣a n|=n，1≤n≤63，n∈N*，由题意|a n+1∴a2﹣a1≤1，a3﹣a2≤2，…，a64﹣a63≤63，∴a64﹣a1≤2016，∴a64≤2018，∵a64=2018，∴a n﹣a n=n，1≤n≤63，n∈N*，+1∴{a n}是增数列，综上，数列{a n}为递增数列的充要条件是a64=2018．解：（3）由题意得a2﹣a1=±1，a3﹣a2=±2，…，a m﹣a m﹣1=±（m﹣1），假设a m=b1+b2+b3+…+b m﹣1，其中，b i∈{﹣i，i}，（i∈N*，1≤i≤m﹣1），则（a m）min=﹣1﹣2﹣…﹣（m﹣1）=﹣．若a n中有k项，，，…，取负值，则有a m=（a m）max﹣（+++…+），（*）∴a m的所有可能值与（a m）max的差必为偶数，下面用数学归纳法证明a n可以取到﹣与之间相差2的所有整数，由（*）知，只需从1，2，3，…，m﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到2从1到的所有整数值即可，当m=2时，成立，当m=3时，从1，2中任取一项或两项相加，可以得到从1，2，3中任取一项或若干项相加，可以得到从1到3的所有整数，结论成立，②假设m=k（k≥3，k∈N*）结论成立，即从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，则当m=k+1时，由假设，从1，2，3，…，k﹣1中任取一项或若干项相加，可以得到从1到的所有整数值，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k，可得，用k取代1，2，3，…，k﹣1中的k﹣2，可得，将1，2，3，…，k﹣1，k全部相加，可得，故命题成立，∴a m所有可能的取值共有：=个．。
上海市松江区2021届新高考一诊数学试题含解析
上海市松江区2021届新高考一诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}15{|},|2M x x N x x =-≤<=<，则M N =I （ ） A ．{|12}x x -≤< B ．{}|25x x -<< C ．{|15}x x -≤< D ．{}|02x x <<【答案】A 【解析】 【分析】考虑既属于M 又属于N 的集合，即得. 【详解】{}2|{2,1|2}N x x M N x x =-<<∴⋂=-≤<Q .故选：A 【点睛】本题考查集合的交运算，属于基础题.2．已知()f x 为定义在R 上的偶函数，当()1,0x ∈-时，()433xf x =+，则33log 2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2-B ．3C ．3-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】 判断321log 03-<<，利用函数的奇偶性代入计算得到答案. 【详解】 ∵321log 03-<<，∴33332224log log log 223333f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D 【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求值，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.3．某工厂利用随机数表示对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，……，599,600.从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行：若从表中第6行第6列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．324 B ．522C ．535D ．578【答案】D 【解析】 【分析】因为要对600个零件进行编号，所以编号必须是三位数，因此按要求从第6行第6列开始向右读取数据，大于600的，重复出现的舍去，直至得到第六个编号. 【详解】从第6行第6列开始向右读取数据，编号内的数据依次为:436,535,577,348,522,535,578,324,577,L ，因为535重复出现，所以符合要求的数据依次为436,535,577,348,522,578,324,L ，故第6个数据为578.选D.【点睛】本题考查了随机数表表的应用，正确掌握随机数表法的使用方法是解题的关键. 4．双曲线﹣y 2=1的渐近线方程是（ ）A ．x±2y=0B ．2x±y=0C ．4x±y=0D ．x±4y=0【答案】A 【解析】试题分析：渐近线方程是﹣y 2=1，整理后就得到双曲线的渐近线．解：双曲线 其渐近线方程是﹣y 2=1整理得x±2y=1． 故选A ．点评：本题考查了双曲线的渐进方程，把双曲线的标准方程中的“1”转化成“1”即可求出渐进方程．属于基础题．5．将函数()sin(2)3f x x π=-()x R ∈的图象分别向右平移3π个单位长度与向左平移n (n >0)个单位长度，若所得到的两个图象重合，则n 的最小值为( ) A ．3π B ．23π C ．2π D ．π【答案】B 【解析】 【分析】首先根据函数()f x 的图象分别向左与向右平移m,n 个单位长度后，所得的两个图像重合，那么m n k T +=⋅，利用()f x 的最小正周期为π，从而求得结果. 【详解】()f x 的最小正周期为π，那么3n k ππ+=(k ∈Z )，于是3n k ππ=-，于是当1k =时，n 最小值为23π， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的周期与函数图象平移之间的关系，属于简单题目.6．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线22322():16C x y x y =+恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C 经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C 上任意一点到坐标原点O 的距离都不超过2；③曲线C 围成区域的面积大于4π；④方程()223221)60(x y x y xy +=<表示的曲线C 在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( ) A ．①③ B ．②④ C ．①②③ D ．②③④【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式得224x y +≤，可判断②；224x y +=和()3222216x y x y +=联立解得222x y ==可判断①③；由图可判断④. 【详解】()2223222216162x y xyx y ⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，解得224x y +≤（当且仅当222x y ==时取等号），则②正确；将224x y +=和()3222216x yx y +=联立，解得222x y ==，即圆224x y +=与曲线C 相切于点，(，(，，则①和③都错误；由0xy <，得④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.7．i 为虚数单位,则32i 1i-的虚部为（ ）A ．i -B ．iC ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的运算法则计算即可. 【详解】()()()()32122111111i i i ii i i i i i i -+-===-+=----+，故虚部为1-. 故选：C. 【点睛】本题考查复数的运算以及复数的概念，注意复数(),a bi a b R +∈的虚部为b ，不是bi ，本题为基础题，也是易错题.8．若函数()2ln f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()1,2D ．()2,e【答案】A 【解析】试题分析：由题意得()ln 120f x x ax =+-='有两个不相等的实数根，所以()120f x a x-'=='必有解，则0a >，且102f a ⎛⎫>⎪⎝⎭'，∴102a <<． 考点：利用导数研究函数极值点【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略（1）知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. （2）已知函数求极值.求f′（x ）―→求方程f′（x ）＝0的根―→列表检验f′（x ）在f′（x ）＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.（3）已知极值求参数.若函数f （x ）在点（x 0，y 0）处取得极值，则f′（x 0）＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.9．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b +=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =u u u r u u u r，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ） A ．12B．CD【答案】C 【解析】 【分析】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ，根据PA PB ⊥化简得到2234a c =，得到答案.【详解】设()11,P x y ，则()11,A x y --，()11,Q x y -，34PD PQ =u u u r u u u r ，则11,2y D x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()22,B x y ， 则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得到：()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-=-，2121221212PBy y x x b k x x a y y -+==-⋅-+，AD AB k k =，即1121124y y y x x x +=+，()1211124PA y y y k x x x +==+， PA PB ⊥，故1PA PBk k ⋅=-，即2241b a -=-，故2234a c =，故e =故选：C . 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力. 10．已知函数()ln af x x a x=-+在[]1,e x ∈上有两个零点，则a 的取值范围是（ ） A ．e ,11e ⎡⎤-⎢⎥-⎣⎦B ．e ,11e ⎡⎫⎪⎢-⎣⎭C ．e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭D ．[)1,e -【答案】C【解析】 【分析】对函数求导，对a 分类讨论，分别求得函数()f x 的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解. 【详解】 ∵()21a f x x x +'== 2x a x+，[]1,e x ∈. 当1a ≥-时，()0f x '≥，()f x 在[]1,e 上单调递增，不合题意. 当a e ≤-时，()0f x '≤，()f x 在[]1,e 上单调递减，也不合题意.当1e a -<<-时，则[)1,x a ∈-时，()0f x '<，()f x 在[)1,a -上单调递减，(],e x a ∈-时，()0f x '>，()f x 在(],a e -上单调递增，又()10f =，所以()f x 在[]1,e x ∈上有两个零点，只需()10a f e a e =-+≥即可，解得11e a e≤<--. 综上，a 的取值范围是e ,11e ⎡⎫-⎪⎢-⎣⎭. 故选C. 【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题． 11．定义在R 上的偶函数()f x ，对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-成立，已知()ln a f π=，12b f e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 6c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c >>B ．b c a >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质和单调性即可判断. 【详解】解：对1x ∀，()2,0x ∈-∞，且12x x ≠，有()()21210f x f x x x ->-()f x 在(),0x ∈-∞上递增因为定义在R 上的偶函数()f x 所以()f x 在()0,x ∈+∞上递减又因为221log log 626=>，1ln 2π<<，1201e -<< 所以b a c >> 故选：A 【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题. 12．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111bba a ->- B ．()()211b ba a ->- C ．()()11ab a b +>+ D ．()()11a ba b ->-【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案. 【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1xy a =-是减函数， 又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111bba a -<-，()()211bba a -<-，所以A,B 两项均错； 又111ab <+<+，所以()()()111aaba b b +<+<+，所以C 错； 对于D ，()()()111abba ab ->->-，所以()()11aba b ->-， 故选D. 【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023届上海市松江区高考一模数学试题【含答案】
2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1. 已知集合，，则______(]2,1A =-B =Z A B = 2. 函数的最小正周期为______sin cos y x x =3. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则,a b R ∈i a i - 2bi +__________．()2a bi +=4. 记为等差数列的前n 项和．若，则公差_______．n S {}n a 32236S S =+d =5. 已知函数为奇函数，则实数______221x y a =-+=a 6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为______（结果中保留）.20ππ7. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________．(5,3),(1,2)a b ==-a b 8. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______x ∈R 2232x x a a-+-≥+a 9. 已知集合.设函数的值域为，若2|1,2A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ()12log y x a x A =+∈B ，则实数的取值范围为______B A ⊆a 10. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线1F 2F Γ()222210,0x y a b a b -=>>M 上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段Γ1F 12F MF ∠N 的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方1F N 2MF Q O 126F F ON =Γ程为______11. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点P 1111ABCD A B C D -A 点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______P 12. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增{}n a ()211,1n n n a a a n n *++-=∈≥N {}n a 数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若1a 123a =()111n nn b a --=-，则整数______1220221k b b b k <++⋅⋅⋅+<+k =二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13. 下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）a b >A. B. C. D.22a b >33a b>1a b >-1a b >+14. 函数的图象可能是（ ）()21xy x e =-A.B.C.D.15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m k 的星的亮度为E k（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，212152–lgE m m E =天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1B. 10.1C. lg10.1D.10.110-16. 已知函数，，若函数的图22,0()42,0x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩()1g x kx =+()()y f x g x =-像经过四个象限，则实数的取值范围为（）k A.B.C.D.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭16,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,-+∞()1,6,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭三、解答题（共78分）17. 已知平面，AB ⊥BCD BC CD⊥（1）求证：平面平面；ACD ⊥ABC （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.1AB =2CD BC ==AD ABC 18. 在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知ABC A B C a b c ；πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求角的大小；B （2）若，三角形的的周长；2c a =ABC ABC 19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线O 上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲MN AB MN OO 'O 'AB 线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式AO D MN 1hD OO 'a ；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距21140h a=BO F MN 2h F OO '离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；b 3216800h b b=-+B OO '（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；O AB AB （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在OO 'CD EF CE C E 上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：AB EF CD k 32k 0k >为多少米时，桥墩和的总造价最低？O E 'CD EF20. 已知椭圆：的长轴长为，斜率为的直Γ()222210x y a b a b +=>>k 线与椭圆有两个不同的交点A ，l ΓB（1）求椭圆的方程；Γ（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与l y x t =+31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭l N 不重合）在椭圆上，求的值；M Γt （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点()2,0P -PA ΓC PB Γ为，若点，和点三点共线，求的值；D C D 71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭k 21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且R ()e kx b f x +=e ()()f x f x '=，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、()11f -=()1f ()2f ()3f ()f n36、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列3n ()N,1n n ∈≥{}n t 前项和为.{}n t n nT（1）求函数的解析式；()f x （2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；{}n t ()()n t f g n =N n ∈1n ≥()g n （3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有X R a 1x 2x X ∈，设称为集合的一个“阈度”；记集合12x x a-≤a X ，试问集合存在“阈度”吗？若存在，(),N,1131324n nT H w w n n n f ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∈≥⎨⎬⎛⎫+⋅-⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭H 求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；H2023届松江区一模2022.12.07一、填空题（1-6每小题4分，7-12每小题5分，12题第1空分，第2空3分，共54分）1. 已知集合，，则______(]2,1A =-B =Z A B = 【答案】{}1,0,1-【解析】【分析】根据集合的交集运算即可得到结果.【详解】因为集合，，则(]2,1A =-B =Z {}1,0,1A B =- 故答案为:{}1,0,1-2. 函数的最小正周期为______sin cos y x x =【答案】π【解析】【分析】化简即得解.1sin 22y x=【详解】解：由题得，1sin 22y x=所以函数的最小正周期为.2ππ2=故答案为：π3. 已知，是虚数单位．若与互为共轭复数，则,a b R ∈i a i - 2bi +__________．()2a bi +=【答案】34i +【解析】【分析】根据共轭复数的定义，求出，再把展开即得.,a b ()2a bi +【详解】与互为共轭复数，,a i - 2bi +2,1ab ∴==.()()22224434a bi i i i i∴+=+=++=+故答案为：.34i +【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.4. 记为等差数列的前n 项和．若，则公差_______．n S {}n a 32236S S =+d =【答案】2【解析】【分析】转化条件为，即可得解.()112+226a d a d =++【详解】由可得，化简得，32236S S =+()()123122+36a a a a a +=++31226a a a =++即，解得.()112+226a d a d =++2d =故答案为：2.5. 已知函数为奇函数，则实数______221x y a =-+=a 【答案】1【解析】【分析】根据奇函数的定义结合指数运算求解.【详解】若函数为奇函数，则()221x f x a =-+，()()2202121x xf x f x a a -⎛⎫⎛⎫+-=-+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭即，解得：，222222222021212121xx x x x a a a -⋅--=--=-=++++1a =故答案为：1.6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为，则此圆锥的体积为______（结果中保留）.20ππ【答案】16π【解析】【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的高，根据圆锥体积公式即可求解.【详解】设圆锥的底面半径为，则，，r π520πS r =⨯=侧4r ∴=圆锥的高，∴3h ==圆锥的体积.∴211π16π316π33V r h ==⨯⨯=故答案为:16π7. 已知向量，则在上的投影向量的坐标为________．(5,3),(1,2)a b ==-a b 【答案】12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】利用向量的投影向量公式，代入坐标进行计算即可．【详解】解：向量，，(5,3)a =(1,2)b =- 在上的投影向量的坐标为：，．∴ab1(15||||a b b b b ⋅⋅==-122)(,)55=-故答案为：，．1(5-2)58. 对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为______x ∈R 2232x x a a -+-≥+a 【答案】.1[1,]2-【解析】【分析】由 得的最小值，转化为解关于a 的||||||||||+||a b a b a b -≤±≤()|2||3|x x -+-一元二次不等式.【详解】由题意知，，()2min |2||3|2x x a a -+-≥+又∵ ，|2||3||(2)(3)|=1x x x x -+-≥---∴，()min |2||3|=1x x -+-∴ ，解得：，221a a +≤112a -≤≤故答案为：.1[1,2-9. 已知集合.设函数的值域为，若2|1,2A x x x ⎧⎫=≥∈⎨⎬-⎩⎭R ()12log y x a x A =+∈B ，则实数的取值范围为______B A ⊆a【答案】(]4,5【解析】【分析】根据分式不等式的解法，对数函数的值域以及集合间的包含关系即可求解.【详解】由得，即，212x ≥-22022x x x --≥--402xx -≥-所以，解得.(4)(2)02x x x --≥⎧⎨≠⎩24x <≤所以.(]2,4A =因为，(]2,4x A ∈=所以，[)[)1122log 2,1,log 2,1x x a a a ∈--+∈-+-+所以，[)2,1B a a =-+-+因为，所以解得，B A ⊆22,14a a -+>⎧⎨-+≤⎩45a <≤所以实数的取值范围为.a (]4,5故答案为：.(]4,510. 已知，是双曲线：的左、右焦点，点是双曲线1F 2F Γ()222210,0x y a b a b -=>>M 上的任意一点（不是顶点），过作的角平分线的垂线，垂足为，线段Γ1F 12F MF ∠N 的延长线交于点，是坐标原点，若，则双曲线的渐近线方1F N2MF Q O 126F F ON =Γ程为______【答案】y =±【解析】【分析】根据是的角平分线，，推出，MN 12F MF ∠1F N MN ^1||||F M MQ =，结合以及双曲线的定义推出，再根据21||||2ON F Q =126F F ON =3c a =推出.22222298b c a a a a =-=-=ba =【详解】因为是的角平分线，，MN 12F MF ∠1F N MN ^所以是等腰三角形，，为的中点，1F MQ 1||||F M MQ =N 1FQ又为的中点，所以是的中位线，O 12F F ON 12F F Q △所以，因为，21||||2ON F Q =12||||6F F ON =当点在双曲线的右支上时，M 122||6||3||F F ON F Q ==()23MQ MF =-，123(||||)MF MF =-6a =当点在双曲线的左支上时，M ，()()12222163336F F ON F Q MF MQ MF MF a===-=-=所以，即，26c a =3c a =所以，22222298b c a a a a =-=-=所以，ba =所以双曲线的渐近线方程为.Γby x a =±=±故答案为：.y =±11. 动点的棱长为1的正方体表面上运动，且与点P 1111ABCD A B C D -A 点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度为______P【解析】【分析】根据题意知，分情况解决即可.1<<【详解】由题意，此问题的实质是以为A 因为，1<<所以在正方体各个面上交线的长度计算，1111ABCD A B C D -正方体的各个面根据与球心位置关系分成两类：为过球心的截面，1111,,ABCD AA DD AA BB 截痕为大圆弧，各弧圆心角为，π6为与球心距离为1的截面，截痕为小圆弧，11111111,,A B C D B BCC D DCC 由于截面圆半径为，r=2π所以这条曲线长度为，3362ππ⋅⋅=12. 已知数列的各项都是正数，，若数列为严格增{}n a ()211,1n n n a a a n n *++-=∈≥N {}n a 数列，则首项的取值范围是______，当时，记，若1a 123a =()111n nn b a --=-，则整数______1220221k b b b k <++⋅⋅⋅+<+k =【答案】 ①.②. ()0,26-【解析】【分析】先由题给条件求得，再利用即可求得112n a +<<()1222212a a a a =-<<；先利用裂项相消法求得，再列不等式组，即102a <<2122022202912b a b b =--++⋅⋅⋅+可求得整数的值.k 【详解】正项数列，为严格增数列，{}n a ()211,1n n n a a a n n *++-=∈≥N 则，则，解之得10n n a a +->12102n n a a ++->102n a +<<又，则，则0n a >2110n n a a ++->112n a +<<由，可得()1222212a a a a =-<<102a <<由可得()211,1n n n a a a n n *++-=∈≥N ，则，则()11111n n na a a ++-=111111n n n a a a ++-=-111111n n n a a a ++=+-又当时，，则123a =()111n n n b a --=-212202123201222021111111111b b b a a a a a =-+++⋅⋅⋅+-+------122320202021202120222022111111111912213a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- 由可得，，202212a <<20221112a <<20221191522a -<--<-又，则，20229112k k a <-<+15112k k +≥-⎧⎪⎨≤-⎪⎩解之得，则整数1162k -≤≤-6k =-故答案为：；()0,26-二、选择题（13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分）13. 下面四个条件中，使成立的充要条件为（ ）a b >A. B. C. D.22a b >33a b>1a b >-1a b >+【答案】B 【解析】【分析】根据充要条件的概念进行判断即可得解.【详解】当时，满足，不满足；当时，满足1,2a b =-=-a b >22a b >2,1a b =-=-，不满足，故是的既不充分也不必要条件，所以A 不正确；22a b >a b >22a b >a b >因为0a b a b >⇔->223()[()]024b a b a b ⇔-++>22()()0a b a ab b ⇔-++>，所以是成立的充要条件，所以B 正确；330a b ⇔->33a b ⇔>33a b >a b >当时，，，；当时，满足，但不满足a b >0a b ->10a b -+>1a b >-1a b ==1a b >-，所以是的必要不充分条件，所以C 不正确；a b >1a b >-a b >当时，；当时，满足，但不满足，所以是1a b >+a b >2,1a b ==a b >1a b >+1a b >+的充分不必要条件，所以D 不正确.a b >故选：B 14. 函数的图象可能是（ ）()21xy x e =-A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】根据函数的解析式，利用，分别排除A 、B 、D 项，()()()110,20f f f =-=->即可求解.【详解】由题意，函数，()()21xf x x e =-因为，即函数的图象过点，可排除A 、B 项；()10f =()f x (1,0)又因为，可排除D 项，2(2)30f e --=>故选：C.15. 在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为m k 的星的亮度为E k（k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，212152–lgE m m E =天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10.110-【答案】A 【解析】【分析】由题意得到关于的等式，结合对数的运算法则可得亮度的比值.12,E E【详解】两颗星的星等与亮度满足,令,12125lg2E m m E -=211.45,26.7m m =-=-.()10.111212222lg( 1.4526.7)10.1,1055E E m m E E =⋅-=-+==故选A.【点睛】本题以天文学问题为背景,考查考生的数学应用意识､信息处理能力､阅读理解能力以及指数对数运算.16. 已知函数，，若函数的图22,0()42,0x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩()1g x kx =+()()y f x g x =-像经过四个象限，则实数的取值范围为（）k A.B.C.D.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭16,2⎛⎫- ⎪⎝⎭()2,-+∞()1,6,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】在平面直角坐标系中作出函数的图像，作出直线，由图像知只要()f x 1y kx =+直线与的图像在轴左右两侧各有两个交点，则的1y kx =+()y f x =y ()()()h x f x g x =-图像就经过四个象限（时，的函数值有正有负，时，的函数值有正0x <()h x 0x >()h x 有负），因此求得直线的斜率，再求得直线与相切的切线斜率（注意PM 242y x x =-+取舍）即可得结论．【详解】作出函数的图像，如图，()fx 作出直线，它过定点，由图可得，只要直线与的图像1y kx =+(0,1)P 1y kx =+()y f x =在轴左右两侧各有两个交点，则的图像就经过四个象限（时，y ()()()h x f x g x =-0x <的函数值有正有负，时，的函数值有正有负），()h x 0x >()h x 时，与轴的公共点为，，0x <()2f x x =+x (2,0)M -1010(2)2PM k -==--时，，0x >2()42f x x x =-+由得，2142y kx y x x =+⎧⎨=-+⎩2(4)10x k x -++=，解得或，由图像知，切线的斜率为，[]2(4)4110k ∆=-+-⨯⨯=2k =-6k =-PN 2-所以时满足题意．122k -<<故选：A ．三、解答题（共78分）17.已知平面，AB ⊥BCD BC CD⊥（1）求证：平面平面；ACD ⊥ABC （2）若，，求直线与平面所成角的正弦值大小.1AB =2CD BC ==AD ABC 【答案】（1）证明见解析.（2）.23【解析】【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明面面垂直.CD ⊥ABC （2）证明即为直线与平面所成的角，然后解三角形即可求得该角大小.CAD ∠AD ABC 【小问1详解】∵平面，平面,∴ ，AB ⊥BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥又∵且平面 ，BC CD ⊥,,AB BC B AB BC ⋂=⊂ABC ∴平面，∵平面,CD ⊥ABC CD ⊂ACD ∴平面平面．ACD ⊥ABC∵平面, 平面，则 ,CD ⊥ABC AC ⊂ABC DC AC ⊥∴即为直线与平面所成的角，CAD ∠AD ABC ，，，∴ ﹐2CD BC == BC CD ⊥90BCD ∴∠=BD =又平面，平面,∴ ，AB ⊥BCD BD ⊂BCD AB BD ⊥而 ，∴ ，1AB=AD =∴在 中，，Rt ACD △sin 32CD CAD AD ∠==又，π[0,2CAD ∠∈故线与平面所成角的正弦值为.AD ABC 2318. 在三角形中，内角，，所对边分别为，，，已知ABC A B C a b c ；πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（1）求角的大小；B （2）若，三角形的的周长；2c a =ABC ABC 【答案】（1）π3B =（2）2【解析】【分析】（1）由正弦定理得，代入化简可得.sin sin b A a B =πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π3B =（2）利用面积公式可得，再根据余弦定理求解进而可得a =2c a ==2b =边长.【小问1详解】在中，由正弦定理，可得，又由ABC sin sin a b A B =sin sin b A a B =，得，即，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin cos 6a B a B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭πsin cos 6B B ⎛⎫=-⎪⎝⎭，可得．又因为，可得．1sinsin 2B B B =+tan B =()0,πB ∈π3B =由题意，，故，即，由余1sin 2ac B=2a=a =2c a ==弦定理，解得.222122b=+-⨯⨯⨯2b =故三角形ABC 22++=+19. 某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底在水平线O 上，桥与平行，为铅垂线（在上），经测量，山谷左侧的轮廓曲MN AB MN OO 'O 'AB 线上任一点到的距离（米）与到的距离（米）之间满足关系式AO D MN 1hD OO 'a ；山谷右侧的轮廓曲线上任一点到的距离（米）与到的距21140h a=BO F MN 2h F OO '离（米）之间满足关系式；已知点到的距离为40米；b 3216800h b b=-+B OO '（1）求谷底到桥面的距离和桥的长度；O AB AB （2）计划在谷底两侧建造平行于的桥墩和，且为80米，其中，在OO 'CD EF CE C E 上（不包括端点），桥墩、每米造价分别为、万元（）；问：AB EF CD k 32k 0k >为多少米时，桥墩和的总造价最低？O E 'CD EF 【答案】（1）谷底到桥面的距离为160米，桥的长度为120米 O AB AB （2）当为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.O E '【解析】【分析】（1）作出辅助线，将代入解析式，求出，从而40b =3216800h b b =-+1160BB =得到到桥面的距离为米，由，求出，从而求出O AB 160OO '=2116040O A '=80O A '=的长度为120米；AB （2）建立平面直角坐标系，表达出，，设桥311606800EF x x =+-21440CD x x =-+墩CD 与EF 的总造价为万元，得到的解析式，求导后得到的单调性及()f x ()f x ()f x 极值，最值情况，求出为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.O E '【小问1详解】设都与垂直，是相应的垂足，1111,,,AA BB CD EF MN 1111,,,A B D F 由条件知：当米时，米，即米，40O B '=31140640160800BB =-⨯+⨯=1160AA =所以到桥面的距离为米，O AB 160OO '=由，解得：米，2116040O A '=80O A '=所以米，8040120AB O A O B ''=+=+=所以桥的长度为120米；AB 【小问2详解】以O 为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：OO 'y xOy 设，，则，()2,F x y ()0,40x ∈3216800y x x =-+，3211601606800EF y x x =-=+-因为，所以，80CE =80O C x '=-设，则，()180,D x y -()2118040y x =-所以，()221111601608044040CD y x x x =-=--=-+设桥墩CD 与EF 的总造价为万元，()f x 则()3213116064800240f x k x x k x x ⎛⎫⎛⎫=+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()321316004080080k x x x ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，()()23332080040800kk x x x x f x ⎛⎫=-=- ⎪⎝'⎭令，得，()0f x '=20x =当时，，当时，，()0,20x ∈()0f x '<()20,40x ∈()0f x ¢>故在处取得极小值，也是最小值，()f x 20x =所以当为20米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低.O E '20. 已知椭圆：的长轴长为，斜率为的直Γ()222210x y a b a b +=>>k 线与椭圆有两个不同的交点A ，l ΓB（1）求椭圆的方程；Γ（2）若直线的方程为：，椭圆上点关于直线的对称点（与l y x t =+31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭l N 不重合）在椭圆上，求的值；M Γt （3）设，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点()2,0P -PA ΓC PB Γ为，若点，和点三点共线，求的值；D C D 71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭k 【答案】（1）2213x y +=（2）12（3）2【解析】【分析】（1）利用题给条件求得的值，即可求得椭圆的方程；a b 、Γ（2）先求得点关于直线的对称点的坐标，并代入椭圆的方程，即可求得的值；M l N Γt （3）先利用设而不求的方法求得点，的坐标，再利用向量表示点，和点三点C D C D Q共线，进而求得的值k 【小问1详解】椭圆：的长轴长为，Γ()222210x y a b a b +=>>则a =c a =c =1b ===则椭圆的方程为；Γ2213x y +=【小问2详解】设椭圆上点关于直线的对称点31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭l (,)N s n 则，解之得，则13222212132n s t n s ⎧+-⎪=+⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎪+⎩1232s t n t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩13(,)22N t t --+由在椭圆上，可得，N Γ22112233t t ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭-+ ⎪⎭+=⎝整理得，解之得或22520t t -+=12t =2t =当时与点M 重合，舍去.则2t =31,22N ⎛⎫- ⎪⎝⎭12t =【小问3详解】设，则11223344(,)(,)(,)(,)A x y B x y C x y D x y ，，，222211223333x y x y +=+=，又，则，直线的方程为()2,0P -1112PA y k k x ==+PA 1(2)y k x =+由，整理得122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222111(13)121230k x k x k +++-=则，则2113211213k x x k +=-+2131211213k x x k =--+又，则，1112y k x =+211131211112271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭则，则13147y y x =+11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,令则，直线的方程为2222PB y k k x ==+PB 2(2)y k x =+由，整理得222(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩2222222(13)121230k x k x k +++-=则，则2224221213k x x k +=-+2242221213k x x k =--+又，则，2222y k x =+222242222212271247132y x x x x x y x ⎛⎫ ⎪+--⎝⎭=--=+⎛⎫+ ⎪+⎝⎭则，则24247y y x =+22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,则()11111117127111,,474472447472x y y QC x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ ()22222227127111,,474472447472x y y QD x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+-=- ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由点，和点三点共线，可得C D 71,42Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭//QC QD则()()21122111110447472447472y y x x x x ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭整理得，则21212()y y x x -=-21212y y k x x -==-【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21. 已知定义在上的函数（是自然对数的底数）满足，且R ()e kx b f x +=e ()()f x f x '=，删除无穷数列、、、、、中的第项、第项、()11f -=()1f ()2f ()3f ()f n36、第项、、，余下的项按原来顺序组成一个新数列，记数列3n ()N,1n n ∈≥{}n t 前项和为.{}n t n nT（1）求函数的解析式；()f x （2）已知数列的通项公式是，，，求函数的解析式；{}n t ()()n t f g n =N n ∈1n ≥()g n（3）设集合是实数集的非空子集，如果正实数满足：对任意、，都有X R a 1x 2x X ∈，设称为集合的一个“阈度”；记集合12x x a-≤a X ，试问集合存在“阈度”吗？若存在，(),N,1131324n nT H w w n n n f ⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪==∈≥⎨⎬⎛⎫+⋅-⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭H 求出集合“阈度”的取值范围；若不存在，请说明理由；H 【答案】（1）()1e xf x +=（2）()()31324nn g n +-=-（3）44e 1,e e ⎡⎫++∞⎪⎢-⎣⎭【解析】【分析】（1）由可求得、的值，进而可得出函数的解析式；()()()11f x f x f ⎧=⎪⎨-='⎪⎩k b ()f x （2）对分奇数和偶数两种情况讨论，求出的表达式，根据可得出n n t ()()n t f g n =的表达式；()g n （3）分为奇数、偶数两种情况讨论，求出、关于的表达式，求出的取值范围，n n T w n w 可得出的取值范围，即可得出集合“阈度”的取值范围.a H 【小问1详解】解：因为，则，()e kx bf x +=()e kx bf x k +'=若，即，解得，则，()()f x f x '=e e kx b kx b k ++=1k =()e x bf x +=因为，可得，因此，.()11e 1b f --==1b =()1e xf x +=【小问2详解】解：当为奇数时，设，则，n ()21Nn m m *=-∈12n m +=此时，此时；()33311131222132eeen n m n m t t f m +-+--==-===()312n g n -=当为偶数时，设，则，n ()2Nn m m *=∈2n m =此时，，此时.()32132231een mn m t t f m -+==-==()322n g n -=综上所述，.()()31324nn g n +-=-【小问3详解】解：，()31324nn T w n f =⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭因为，，其中，()3113213121e e e m m m m t t +-+--==()3132232e e e m m m m t t ++==N m *∈所以，数列的奇数项构成以为首项，公比为的等比数列，{}n t 2e 3e 数列中的偶数项构成以为首项，公比为的等比数列，{}n t 3e 3e ①当为偶数时，，n ()32323e e e 1e 1n n T ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=-则，()()()323232323332e e e 1e e 1e e 1313e 1e 24n n n n nT w n f -⎛⎫+- ⎪⎛⎫+⎝⎭===- ⎪-⎛⎫+-⎝⎭-- ⎪⎪⎝⎭此时，随着的增大而增大，则；w n 2331e e e e e 1w ++≤<-②当为奇数时，，n ()()31312322113e e e 1e e 1n n n n n T T t ++++⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，()()()()()313123223312323312e e e 1e e 1e e 1e 1e 1313e 24n n n nn nT w n f +++-+⎛⎫+-- ⎪ ⎪-⎛⎫+⎝⎭===-- ⎪ ⎪-⎛⎫+-⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭此时，随着的增大而增大，则.w n 231e 1ee 1w +≤<-因此，当且，的值在区间内，则，1n ≥N n *∈w 2331e e ,e e 1⎡⎫+⎪⎢-⎣⎭23434e e 1e 1e 1e e e a ++≥-=--故集合“阈度”的取值范围是.H 44e 1,e e⎡⎫++∞⎪⎢-⎣⎭【点睛】关键点点睛：本题第（3）问考查集合“阈度”的取值范围，解题的关键在于对分奇数、偶数两种情况讨论，求出关于的表达式，结合数列的单调性求出的取值n w n w 范围，进而根据题中定义求出集合“阈度”.H。
上海市2024届松江区高考一模数学(详解)
一、填空题1.已知全集为R 上海市2024届松江区高考一模数学，集合=≥P x x |1{}，则集合=P ____________【解析】，=−∞P 1()2.双曲线−=y x 3122的右焦点坐标是____________【解析】=c 2，右焦点坐标为,20()3.已知复数z =2+i （其中i 是虚数单位），则=z _____________【解析】==z 4.已知向量()()1,2,4,3a b ==，则()2a a b ⋅−=______________【解析】()22210100a a b a a b ⋅−=−⋅=−=5.已知⎝⎭ ⎪=∈⎛⎫θθπ52sin ,0,3，则⎝⎭ ⎪−⎛⎫θπ4tan 的值为____________ 【解析】=θtan 43，+⎝⎭+ ⎪−===−⎛⎫−−θθπθ41741tan 3tan 4tan 11136.已知+=a b lg lg 1，则+a b 2的最小值为____________【解析】+=⇒=⇒=a b ab ab lg lg 1lg 110()；+≥=a b 27.在二项式+x n3()的展开式中，x 2项的系数是常数项的5倍，则n =_____________ 【解析】⋅=⋅⋅⇒=⇒=−−n C C n n n n nn n 24510353122()8.有5名同学报名参加暑期区科技馆志愿者活动，共服务两天，每天需要两人参加活动，则恰有1人连续参加两天志愿者活动的概率为____________【解析】法一：先选出连续参加2天的人：⋅==⋅⋅C C P C C C 535522543111； 法二：第2天在第一天选出的2人中选一人参加，再从另外3人中选一人参加：⋅==⋅⋅C C P C C C 5355225232119. 在ABC 中，设角A 、B 及C 所对边的边长分别为,a b 及c ，若3,5,2a c B A ===，则边长b =___________ 【解析】62a b bb cos A sin A sin B sin A==⇒=， 2222292536221230a cb cos A cos B cos A cos A ac +−+−==⇒−=解得：3cos A =（负舍），即可得b = 10. 已知函数()()26,2sin 23f x x x m g x x π⎛⎫=−++=+⎪⎝⎭，对任意00,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在[]12,1,3x x ∈−，使得()()()102f x g x f x ≤≤，则实数m 的取值范围是____________ 【解析】()[]005212336x ,,g x ,πππ⎛⎫⎡⎤+∈∴∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()()239f x x m =−−++，在[]13,−上值域为[]79m ,m −+；所以[]717892m m ,m −≤⎧⇒∈−⎨+≥⎩11. 若函数()y f x =是定义在R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有()()()222x f x x f x ⋅+=+⋅+，则()2023f =____________【解析】已知()()()222x f x x f x ⋅+=+⋅+①赋值2x x +→，可得：()()()()24422x f x x f x +⋅+=+⋅++② ②－①得：()()()()()()242422x f x x f x x f x +⋅+=+⋅+−+⋅；化简得：()()()422f x f x f x +=+−，即()()()()422f x f x f x f x +−+=+−③； 赋值1x =−得：()()()()112111f f f f −=−+⇒=−=−； 所以()()110f f −−=；由③可得：()()()()()()21102f x f x ...f f f x f x +−==−−=⇒+= 即：()()202311f f ==−；12. 已知正四面体A -BCD 的棱长为，空间内任意点P 满足2PB PC +=，则AP AD ⋅的取值范围是____________【解析】取BC 中点E ，则221PB PC PE PE +==⇒=，则P 在以点E 为球心，半径为1的球上；()AP AD AE EP AD AE AD EP AD ⋅=+⋅=⋅+⋅由正四面体很容易得：EAD 中：EA =ED =AD =4AE AD ⋅=； 又由数量积的几何意义易得：22,22EP AD ⎡⎤⋅∈−⎣⎦；综上：AP AD ⋅的取值范围为44⎡−+⎣二、选择题13. 英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，对于任意实数,,,a b c d ，下列命题是真命题的是（ ） A . 若22a b <，则a b <B . 若a b <，则ac bc <C . 若,a b c d <<，则ac bd <D . 若,a b c d <<，则a c b d +<+【解析】22a b a b <⇒<，如12a ,b ==−，A 错; 当0c ≤时，B 错； 如3151a ,b ,c ,d =−=−=−=，C 错; 由不等式的性质可推出D 正确， 综上选D .14. 如图所示的茎叶图记录了甲、乙两支篮球队各6名队员某场比赛的得分数据（单位：分），则下列说法正确的是（ ）A . 甲队数据的中位数大于乙队数据的中位数B . 甲队数据的平均值小于乙队数据的平均值C . 甲队数据的标准差大于乙队数据的标准差D . 乙队数据的第75百分位数为27【解析】甲队中位数为：16202+=18；乙队中位数为：17192+=18；A 错； 甲队平均数为：71216202231186+++++=； 乙队平位数为：8917192728186+++++=；B 错； 607545..⨯=，取第5个数，所以乙队数据的第75百分位数为27，正确，选D15. 函数()y f x =的图像如图所示，()'y f x =为函数()y f x =的导函数，则不等式()'0f x x<的解集为（ ） A . ()3,1−−B .（0,1）C . ()()3,10,1−−⋃D . ()(),31,−∞−⋃+∞【解析】当0x >时，()0f 'x <，此时()01x ,∈； 当0x <时，()0f 'x >，此时()31x ,∈−−； 综上：选C .16. 关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M上的点到坐标原点的距离最小值是2；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（ ） A . ①、②都正确B . ①正确②错误C . ①错误②正确D . ①、②都错误【解析】①：()2222221228x y x y ⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎣⎦+≥≥=14x y ==时等号成立）；②：21x y +≤=，又2122x y +≥=，0x ≥，0y ≥ 即112x y ,⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，面积肯定小于12；所以②正确综上选C三、解答题17. 如图，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB AD ⊥，点E 在线段AD 上，且CE//AB . （1）求证：CE ⊥平面P AD ； （2）在四棱锥P -ABCD 的体积为56，AB=1，AD=3，45CD CDA =∠=︒，求二面角P -CE -A 的大小.【解析】（简写）（1）由PA ⊥底面ABCD ，易得PA CE ⊥， 又AB AD ⊥，CE //AB 易得：CE AD ⊥；PA AD A =，即证：CE ⊥平面P AD.（2）由（1）易得：PEA ∠即为所求；2AE =，ABCD 52S =梯形； 所以ABCD 15136P ABCD V PA S PA −=⋅⋅=⇒=梯形，12PA tan PEA AE ∠==； 所以二面角P -CE -A 的大小为12arctan .18. 已知数列{}n a 为等差数列，{}n b 是公比为2的等比数列，且223344a b a b b a −=−=−. （1）证明：11a b =；（2）若集合{}1|,150k m M k b a a m ==+≤≤，求集合M 中的元素个数. 【解析】（1）有题意可得：3232114334111428425b b a a db b d b b a a b b a d −=−=−=⎧⎧⇒⎨⎨+=++=+⎩⎩①②；①解得：12d b =，代入②中可得：11a b =；（2）由（1）得：12d a =，()121n a n a =−，112n n b a −=；11112222log k k m b a a ma a k m −=+==⇒=+，又150m ≤≤，k N *∈，所以234567k ,,,,,=，集合M 中的元素个数为6个.19. 为了鼓励居民节约用气，某市对燃气收费实行阶梯计价，普通居民燃气收费标准如下： 第一档：年用气量在0-310（含）立方米，价格为a 元/立方米； 第二档：年用气量在310-520（含）立方米，价格为b 元/立方米； 第三档：年用气量在520立方米以上，价格为c 元/立方米.（1）请写出普通居民的年度燃气费用（单位：元）关于年度的燃气用量（单位：立方米）的函数解析式（用含,,a b c 的式子表示）（2）已知某户居民2023年部分月份用气量与缴费情况如下表，求,,a b c 的值.【解析】（1）当燃气用量(]0310x ,∈时，燃气费用()f x ax =； 当燃气用量(]310520x ,∈时，燃气费用()()310310f x a x b =+−； 当燃气用量()520x ,∈+∞时，燃气费用()()310210520f x a b x c =++−；()(]()(]()()0310310310310520310210520520ax,x ,f x a x b,x ,a b x c,x ,⎧∈⎪=+−∈⎨⎪++−∈+∞⎩（2）易得：()56561683f a a ==⇒=；第1-5月共用320，可得第5月有10立方米燃气单价为b 元/立方米；501018333a b b .+=⇒=； (也可以直接用第6个月的燃气单价为b 元/立方米，得出b 的值) 第12个月，燃气单价为c 元/立方米，63264642c .c .=⇒= 综上：3a =，33b .=，42c .=20. 已知椭圆()2222:=10y x a b a bΓ+>>的离心率为2，其上焦点F 与抛物线2:4K x y =的焦点重合.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若过点F 的直线交椭圆Γ于A 、B ，同时交抛物线K 于点C 、D （如图1所示，点C 在椭圆与抛物线第一象限交点上方），试比较线段AC 与BD 长度的大小，并说明理由；（3）若过点F 的直线交椭圆Γ于点A 、B ，过点F 与直线AB 垂直的直线EG 交抛物线K 于点E 、G （如图2所示），试求四边形AEBG 面积的最小值.【解析】（1）焦点()01F ,，1c =，2c a a =⇒=，易得：22:=12y x Γ+； （2）（当直线斜率为0时，显然AC BD =）如图所示：()AC BD AC AD BD AD CD AB −=+−+=−； 由题意可得直线斜率存在，设直线方程为：1y kx =+；联立()2222=1222011y y k kx x x k x =+⎧⎪⇒+++−=⎨⎪⎩，易得)2212k AB k +==<+；联立2214404y kx x x ykx =+⎧⇒−−=⎨⎩=，易得()2414CD k ==+>； 0CD AB −>，即AC BD >（3）当直线AB 斜率不存在时，AB =，4EG =，此时S =0k ≠，联立22144041y x x ky x x k ⎧=−+⎪⇒+−=⎨⎪⎩=，易得2141EG k ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭；)()()222222211111412222k k S AB EG k k k k ++⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅+= ⎪++⎝⎭； 令211k t,t +=>，则221t S t ==>−综上面积的最小值为.21. 已知函数()y f x =，记()sin ,f x x x x D =+∈. （1）若[]0,2D π=，判断函数的单调性； （2）若0,2D π⎛⎤= ⎥⎝⎦，不等式()f x kx >对任意x D ∈恒成立，求实数k 的取值范围；（3）若D =R ，则曲线()y f x =上是否存在三个不同的点A 、B 、C ，使则曲线()y f x =在A 、B 、C 三点处的切线互相重合? 若存在，求出所有符合要求的切线的方程；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）[]11cos x ,∈−,()10f 'x cos x =+≥,所以函数()f x 在定义域上是单调递增的函数. （2）由题意可得：1sin x k x <+在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时恒成立； 令()sin x g x x =，()2x cos x sin xg'x x−=， 令()h x x cos x sin x =−，()0h x cos x x sin x cos x x sin x =−⋅−=−⋅<； 所以()h x 在0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，()00h =，所以()0h x <；所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦单调递减； ()22min g x g ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以21k π<+；（3）()f x 在()00x ,y 处的切线方程为：()()0001y y cos x x x −=+−； 其中000y x sin x =+，化简得：()00001y cos x x sin x x cos x =++−⋅；设曲线上三点()()()112233A x ,y ,B x ,y ,C x ,y ，曲线()y f x =在A 、B 、C 三点处的切线互相重合；则123111222333cos x cos x cos x sin x x cos x sin x x cos x sin x x cos x ==⎧⎨−⋅=−⋅=−⋅⎩；又12cos x cos x =，2112x x k π=+或2122x x k π=−+（12k ,k Z ∈） 令()H x sin x x cos x =−⋅， ()H 'x x sin x =⋅；①当2112x x k π=+（10k ≠），()()()21111111220H x sin x x k cos x H x k cos x ππ=−+⋅=⇒−=； 即：132x k ππ=+，此时()21322x k k ππ=++，同理()34322x k k ππ=++（34k ,k Z ∈）此时10cos x =，11sin x =±，即切线方程为：1y x =−或1y x =+；②当2112x x k π=−+，()()()211111H x H x sin x x k cos x π=⇒=−；此时110x k π−=， 又12x x ≠，所以不满足题意综上所述：切线方程为：1y x =−，1y x =+.。
松江区高三一模数学解析
1 + ⎨ 2021 松江区高三数学一模解析4分、后6题得5分，否那么一律得零分。
3n1. lim n n = .n→∞3 + 2【考点】数列的极限3n 1【解析】lim n n = lim= 1.n→∞3 + 2 n→∞ 2 n〔〕32.假设集合A={x∣-1<x<3},【考点】集合的运算B ={1, 2,3, 4}, 那么 A ⋂B = .【解析】根据题意A ⋂B 是指集合A, B 中公共的元素，易得A ⋂B ={1，2}.3.复数z 满足【考点】复数的运算z ⋅(1 -i) =1+i〔i为虚数单位〕,那么| z|= .【解析】设 z=a +bi ，那么 z ⋅ (1-i) = (a +bi) ⋅ (1-i) = (a +b) + (b -a)i = 1 +i所以⎧a = 0，所以| z |=bi = 1.⎩b = 14.假设sinα=1,3那么cos(π-2α)=.【考点】三角的运算【解析】cos(π- 2α) =-cos 2α= 2sinα2 -1 =2-1 =-7.9 95.抛物线y2 =-4x 的准线方程是.【考点】抛物线的准线方程【解析】因为抛物线 y2 =-2 px( p > 0) 的准线方程为 x =p，所以答案为 x = 1. 26.函数f (x) 图像与函数g(x) =2x 的图像关于y =x 对称，那么f (3) = .【考点】函数图像及性质【解析】因为函数f (x) 图像与函数g(x) = 2x 的图像关于y =x 对称，设f (3) =a ，所以g(a) = 2a = 3，解得C (x ) ( ) a = log 2 3 .7. 从包含学生甲的 1200 名学生中随机抽取一个容量为 80 的样本，那么学生甲被抽到的概率为 .【考点】概率【解析】根据题意学生甲被抽到的概率为 80 = 1 .8. 在 ⎛ x 2+⎝2 ⎫6⎪ ⎭1200 15的二项展开式中，常数项等于 .【考点】二项式定理【解析】⎛ x 2 + 2 ⎫6⎪ 的二项展开式中，常数项为 4 2 2 2 4 = 15 ⋅16 = 240 .⎝ x ⎭6 x 9. 在 ∆ABC 中，角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c,且 3b + 2c cos B2a= 0, 那么角 A = .1【考点】三角比 【解析】3b + 2c cos B2a =13b + 2c - 2a ⋅ cos B =3 sin B + 2sin C - 2sin A ⋅ cos B = 0 ,在 ∆ABC 中sin C = sin( A + B ) = sin A cos B + cos A sin B , 带 入 化 简 得3 sin B + 2sin B cos A = 2sin B (3 + cos A ) = 0 ，得cos A =- 3，所以∠A = 5 π .2 2 610. 从以下七个函数: y = x , y = 1, y = x 2 , y = 2x , y = log x 2x , y = sin x , y = cos x 中选取两个函数记为 f (x ) 和g (x ), 构成函数 F (x ) = f (x ) + g (x ), 假设 F (x ) 的图像如下图,那么 F (x ) = .【考点】函数图形的性质【解析】根据函数图像可以看出图像经过(0, 2) 这个点，在上面七个函数中当 x = 0 时，只有 y = 2x, y = cos x 值为1，其他的函数值均为 0 或者没有意义，所以 F (x ) = 2x + cos x ，再带入图像检验，也符合，故 F (x ) = 2x+ cos x .x11. 向量 a = b = c = 1 ，假设 a ⋅ b = 1，且c = xa + yb ，那么 x + y 的最大值为 .a ⋅b = 12 2 2 1 2 1 2 1 2 12 1 x x 2 1 1 1 1 2 2 2 1 【考点】平面向量 【答案】a b2πc = (cos α , s in α ), a = (1, 0), b = 1 3)， 那么 和 2的夹角为 3 ，设 ( 2 ,2⎧cos α = x + y ⎧ x = cos α - 3 sin α⎪ 2 ⎪ 33 2 3 π那么 ⎨⎪sin α = ⎩ 3y 2 ⇒ ⎨ ⎪ y = ⎪⎩2 3 sin α3 ⇒ x + y = sin α + cos α = 3 sin(α + ) 3 3因此最大值为2 3 312. 对于定义域为 D 的函数 f (x ) ，假设存在 x , x∈ D 且 x ≠ x，使得 f (x 2 ) = f (x 2) = 2 f (xx ) ，那么称函数12121 212f (x ) 具有性质 M ，假设函数g (x ) = log 2 x -1, x ∈ (0, a ] 具有性质M ，那么实数a 的最小值为【考点】函数、新定义题型【答案】设 x < x ，由 f (x 2) = f (x 2) 得1 2 1 2log x 2 -1 = log x 2 -1 ⇒ 1- log x 2 = log x 2 -12 12 22 12 2⇒ log x 2 x 2 = 2 ⇒ x 2 x 2= 4(x 2 < 2, x 2 > 2)2 f (x 1 + x 2 ) = 2 log 2 (x 1 + x 2 ) - 2 = log (x + x )2 - 2212 ∴log (x + x )2- 2 = 1- log x 22122 1因为 x 2 =4 所以log (x 2 + 24 + 4) - 2 = 1- log 2 1log (x 4 + 4x 2 + 4) = 3 ⇒ x 4 + 4x 2+ 4 = 8x 1 = 2 2 - 2 ⇒ x 2 = 2 2 + 2所以a ≥ 2 + 2 ⇒ a min = 2 + 2答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否那么一律得零分。
上海市松江区2021届高三上学期期末(一模)数学试题(wd无答案)
上海市松江区2021届高三上学期期末（一模）数学试题一、填空题(★★) 1. ________ .(★★) 2. 若集合，，则 ____ .(★) 3. 已知复数满足( i为虚数单位)，则 ____ .(★★) 4. 若，则 ____ .(★★) 5. 抛物线的准线方程为 _____________ .(★★) 6. 已知函数图像与函数的图像关于对称，则 ____ .(★★★) 7. 从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率 ___ .(★) 8. 在的二项展开式中，常数项等于 ____ .(★★) 9. 在中，角 A， B， C对的边分别为 a， b， c，且，则角____ .(★★) 10. 从以下七个函数：中选取两个函数记为和，构成函数，若的图像如图所示，则 ____ .(★★) 11. 已知向量| ，若，且，则的最大值为 ____ .(★★★) 12. 对于定义域为 D的函数，若存在且，使得，则称函数具有性质 M，若函数且有性质 M，则实数 a的最小值为 _____ .二、单选题(★★) 13. 已知两条直线，的方程为和，则是“直线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★) 14. 在正方体中，下列四个结论中错误的是（）A．直线与直线所成的角为B．直线与平面所成的角为C．直线与直线所成的角为D．直线与直线所成的角为(★★) 15. 设，，若，则的（）A．最小值为8B．最大值为8C．最小值为2D．最大值为2(★★★) 16. 记为数列的前项和，已知点在直线上，若有且只有两个正整数 n满足，则实数 k的取值范围是（）A．B．C．D．三、解答题(★★) 17. 如图1在三棱柱中，已知，且平面，过三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥(如图2).（1）求异面直线与所成角的大小(结果用反三角函数表示)；（2）求四棱锥的体积和表面积.(★★★) 18. 已知函数.（1）求的最小正周期和值域；（2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围.(★★) 19. 某网店有(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品 x(万件)，经市场调查测算，花费t(万元)进行促销后，商品的剩余量与促销费 t之间的关系为(其中 k为常数)，如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品.（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件)，促销费 t至少为多少(万元)？（2）已知商品的进价为32(元/件)，另有固定成本3(万元)，定义每件售出商品的平均成本为(元)，若将商品售价定位：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费 t为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少？(★★★) 20. 已知椭圆Γ：的右焦点坐标为，且长轴长为短轴长的倍，直线 l交Γ椭圆于不同的两点和，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线 l经过点，且的面积为，求直线 l的方程；（3）若直线 l的方程为，点关于 x轴的对称点为，直线，分别与 x轴相交于 P､ Q两点，求证：为定值.(★★★★★) 21. 对于由 m个正整数构成的有限集，记，特别规定，若集合 M满足：对任意的正整数，都存在集合 M的两个子集 A､ B，使得成立，则称集合 M为“满集”，（1）分别判断集合与是否为“满集”，请说明理由；（2）若由小到大能排列成公差为 d( )的等差数列，求证：集合 M为“满集”的必要条件是或2；（3）若由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合 M是“满集”。
2021-2022学年上海市松江区第一中学高三数学文联考试题含解析
2021-2022学年上海市松江区第一中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知抛物线的焦点为是抛物线上横坐标不相等的两点，若的垂直平分线与轴的交点是，则的最大值为（）A.2B.4C.10D.6参考答案：D2. 某高中三个年级学生人数的比例如图所示，先采用分层抽样的办法从高一、高二、高三共抽取50人参加“全面依法治国”知识竞赛，则高二年级应抽取人数为（）A. 20B. 16C. 14D. 12参考答案：B【分析】利用总人数乘以高二学生所占的比例可求得结果.【详解】由题意可知，高二学生所占的比例为，所以，高二年级应抽取人数为. 故选：B.【点睛】本题考查利用扇形统计图计算频数，考查计算能力，属于基础题.3. 已知函数是定义域为的偶函数. 当时，若关于的方程，有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（）A． B．C. D．参考答案：【知识点】函数与方程B9【答案解析】C 依题意在和上递增，在和上递减，当时，函数取得极大值；当时，取得极小值。
要使关于的方程，有且只有6个不同实数根，设，则必有两个根、，则有两种情况符合题意：（1），且，此时，则；（2），，此时同理可得，综上可得的范围是.故选C.【思路点拨】根据导数的单调性求出根的情况极大值极小值可得跟的情况。
4. 已知函数f（x）=sin2ωx﹣（ω＞0）的周期为，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法．【分析】由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式，利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，求得a 的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣=﹣cos2ωx，∴=，解得：ω=2，∴f（x）=﹣cos4x，∵将函数f（x）图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），得到的新函数为g（x）=﹣cos（4x﹣4a），∴cos4a=0，∴4a=kπ+，k∈Z，当k=0时，a的最小值为．故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的周期性，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数、余弦函数的奇偶性，属于基础题．5. △ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2， =2+，则下列结论正确的是（）A．||=1 B．⊥C． ?=1 D．（4+）⊥参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，知道，，根据已知三角形为等边三角形解之．【解答】解：因为已知三角形ABC的等边三角形，，满足=2， =2+，又，∴的方向应该为的方向．所以，，所以=2，=1×2×cos120°=﹣1，4=4×1×2×cos120°=﹣4， =4，所以=0，即（4）=0，即=0，所以；故选D．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．6. 数列{a n}满足a1=1，a2=2，a n+1?a n=nλ（λ为常数，n∈N*），则a4等于( )A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：C【考点】数列递推式．【专题】计算题．【分析】根据题中已知条件先求出λ的值，然后根据a n+1?a n=2n求出a3的值，即可求得a4的值．【解答】解：由题意可知；a1=1，a2=2，a n+1?a n=nλ，则：a2?a1=2×1=λ，∴a n+1?a n=2n，故a3?a2=2×2=4，解得a3=2，a4?a3=2×3=6，解得a4=3，故选C．【点评】本题主要考查了由递推公式推导数列的通项公式，是高考的热点，考查了学生的计算能力和对数列的综合掌握，属于基础题．7. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直，则与所围成的图形的面积等于（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C8. 如图，单位正方体中，下列说法错误的是（A）（B）若，则（C）若点在球心为的球面上，则点在该球面上的球面距离为（D ）若，则三线共点参考答案： C9. 函数的零点个数为 （ ）A ． 个B ．个C ．个D ．个参考答案：C 略10. 函数在处不连续是因为（ ）A 、在处无定义 B 、不存在C 、D 、参考答案： D二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直角△ABC 中, AB=2，AC=1，D 为斜边BC 的中点，则向量在上的投影为 。
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2020.12松江区高三数学一模试卷参考答案一、填空题1． 1 ； 2． {}1,2 ； 3． 1 ； 4． 79- ；5． 1x = ； 6． 2log 3；7．115 ；8． 240 ；9． 56π ；10． 2cos x x +；11．233；12．222+二、选择题13．C 14．B 15．A 16．C17.如图1，在三棱柱111ABC A B C -中，已知AB AC ⊥，1AB AC ==，12AA =，且1AA ⊥平面ABC .过1A 、1C 、B 三点作平面截此三棱柱，截得一个三棱锥和一个四棱锥（如图2）． （1）求异面直线1BC 与1AA 所成角的大小（结果用反三角函数表示）． （2）求四棱锥11B ACC A -的体积和表面积． 解：（1）∵11//AA CC ∴1BC C ∠即为异面直线1BC 与1AA 所成的角， ………2分∵1AA ⊥平面ABC ，∴1CC ⊥平面ABC ， ∴ 190C CB ∠=︒， ∵22112,CB AB AC =+=+=12CC = ………5分∴ 12tan 2C CB ∠=∴ 12tan 2C CB arc ∠=， 即异面直线1BC 与1AA 所成的角为 2tan 2arc . ………7分(或 3arcsin 3， 或6arccos 3 )（2） 11121233B ACC A V -=⋅⋅= ……………10分111111BAC BAA BA C BC C CAA C S S S S S S ∆∆∆∆=++++全1111151112152212122222222=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅=++++ 75222=++……………14分 18.已知2()3sin cos cos 1f x x x x =++ （1）求()f x 的最小正周期和值域；（2）若对任意的x R ∈，2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，求k 的取值范围．解：（1）2()cos cos 1f x x x x =++cos21133212cos2sin(2)2222262x x x x x π+=++=++=++ ………3分 ∴()f x 的为最小正周期22T ππ==， ………5分 值域为 15()[,]22f x ∈ ……………7分 （2）记()f x t = ，则15[,]22t ∈ ，…………………8分由2()()20f x k f x -⋅-≤恒成立，知220t kt --≤恒成立， 即22kt t ≥-恒成立，∵0t > ∴ 222t k t t t -≥=- ……………11分 ∵ 2()g t t t =- 在15[,]22t ∈时单调递增max 55417()()22510g t g ==-= ∴k 的取值范围是1710k ≥……………14分19. 某网店有3(万件)商品，计划在元旦旺季售出商品x (万件)．经市场调查测算，花费t (万元)进行促销后，商品的剩余量3x -与促销费t 之间的关系为31kx t -=+（其中k 为常数），如果不搞促销活动，只能售出1(万件)商品．（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1(万件), 促销费t 至少为多少 (万元)?（2）已知商品的进价为32(元/件), 另有固定成本3(万元)．定义每件售出商品的平均成本为332+x（元）.若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费t 为多少(万元)时，该网店售出商品的总利润最大？此时商品的剩余量为多少?解：（1）由31k x t -=+，当0t =时，1x =，得2k = ∴ 231x t -=+ ……………4分由 20.11t ≤+ 解得19t ≥ ……………7分（2）网店的利润y (万元)，由题意可得：332(1.5)(332)2x ty x x t x x+=⋅+-++ ……………10分993232150()21212t t t t +=--=-+++5042≤-=……………12分 当且仅当32112t t +=+，即7t =时取等号，此时30.25x -=； 所以当促销费为7万元时，网店利润的最大为42万元，此时商品的剩余量为0.25(万件). ……………14分20. 已知椭圆12222=+Γby a x ： （0>>b a ）的右焦点的坐标为)0,2(，且长轴长为短轴长的2倍.直线l 交椭圆Γ于不同的两点M 和N ． （1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l 经过点(0,4)T ，且OMN ∆的面积为，求直线l 的方程；（3）若直线l 的方程为(0)y kx t k =+≠， 点M 关于x 轴的对称点为M '，直线MN 、M N ' 分别与x 轴交于P 、Q 两点，求证：OP OQ ⋅ 为定值.解：（1）由题意得 ，422=-b a ， ……… ……2分解得 22=a ，2=b ， 所以椭圆Γ的方程为 14822=+y x . …………4分 （2）设点M 、N 的坐标为11(,)M x y 、),(22y x N ，直线l 的方程为4+=kx y . …5分由方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=148422y x kx y ，得 02416)21(22=+++kx x k所以， ………7分12142OMN S x x ∆=⋅⋅-==解得k ∴直线l的方程为42y x =±+…………10分（3）由题意知M '点的坐标为 11(,)M x y '-…………11分将y kx t =+，代入14822=+yx得：0824)12(222=-+++t ktx x k ，1282,1242221221+-=+-=+∴k t x x k kt x x12122()221ty y k x x t k +=++=+…………13分对于直线y kx t =+， 令0y = 得tx k=- ∴ t OP k =- …………14分对于直线 M N '：212221()y yy y x x x x +-=--， 令0y =得221122112212212121()()()y x x x y x y x kx t x kx t x x y y y y y y --++++=+==+++1212212()8kx x t x x k y y t ++==-+，∴8kOQ t=-88t kOP OQ k t ⋅=-⋅-=…………16分 b a 2=2212116k k x x +-=+2212124k x x +=21.对于由m (2)m ≥个正整数构成的有限集123{,,,,}m M a a a a =，记12()m P M a a a =+++.若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立，称集合M 为“满集”.特别规定()0P ∅=. （1）分别判断集合1{1,2}M =与2{1,4}M =是否是“满集”，请说明理由；（2）若12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列，求证：集合M 为“满集”的必要条件是11a =，1d =或2；（3）若12,,,m a a a 由小到大能排列成首项为1，公比为2的等比数列，求证：集合M 是“满集”；.[解答]：（1）集合1M 是“满集”，集合2M 不是“满集”. …………2分 对于集合1M ，1()123P M =+=，且1M 共有4个子集：,{1},{2},{1,2}∅当k 分别取1,2,3时，由1({1})();2({2})();3({1,2})();P P P P P P =-∅=-∅=-∅ 故1M 是“满集”； ……………3分 对于集合2M ，1()145P M =+=，且1M 共有4个子集：,{1},{4},{1,4}∅ 当2k =时，不存在{1,4}的两个子集,A B ，使得()()2P A P B -=，故2M 不是“满集” ……………4分 （2）∵12,,,m a a a 由小到大能排列成公差为*()d d N ∈的等差数列， ∴12m a a a <<<，记012()mk P M a a a ==+++……………5分∵M 为“满集”，∴对任意的正整数0k k ≤，都存在集合M 的两个子集,A B ，使得()()k P A P B =-成立， 当01k k =-时，由01()()k P A P B -=-，及()0P B ≥ 知0()P A k =或0()1P A k =-， 若0()P A k =，则()1P B =，∴ 11a =，此时123{,,,,}m A a a a a =，1{}B a =……7分若0()1P A k =-，则A M ⊂，在M 的真子集中，23()m P A a a a =+++最大，必有11a =，此时23{,,,}m A a a a =，B =∅.综上可得：∴11a =………………8分若3d ≥，当03k k =-时，∵0000(0)(1)((1)1)((1))k k k k k d ->->-->>-+>， ∴不存在M 的子集,A B ，使得03()()k k P A P B =-=-，∴1,2d =，综合得：集合M 为“满集”的必要条件是，1d =或2 ………………10分（3）由已知：11{1,2,4,,2},()124221m m m P P M --==++++=- …………11分 对任意21m k ≤-，∵k N *∈，∴存在*11,k k k N <∈和1{0,1}p ∈，使得112k k p =+，同理有1222k k p =+，2332k k p =+ ，其中*1,,{0,1}i i i i k k k N p -<∈∈，经过有限次的操作后，必存在1s k = (0)s m ≤<， ∴1201122112122(2)22222s s s s s k k p k p p p p p p ---=+=++==+++++…………14分当121n j j j p p p ==== 时，122222nj j j sk =++++ …………16分此时取 1{2,2,,2},n j jsA B ==∅ ，则有 12()()(2222)0n j jjsP A P B k -=++++-= .∴集合M 是“满集”. …………18分。