习题讲解3第四章hcy
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c2 m yr mod p 30 33 mod 71 29
4-13 利用ECELG密码体制，设椭圆曲线是E11（1，6）， 基点G=（2，7），接收方A的秘密密钥是dA=5。求： （1）A的公开密钥PA； （2）发送方B欲发送消息Pm=（7，9），选择随机数r=3， 求密文Cm=（c1，c2）是多少？ （3）完成接收方A解密Cm的计算过程。
所以，明文 m = cd mod n
= 115mod 35 =16
4-9在RSA体制中，若给定某用户的公钥e=31， n=3599，那么该用户的私钥等于多少？
解:
n 3599 59 61 59 161 1 3480
d 311 mod(3599) 311 mod3480
3 数字签名问题： 对称密码体制难以从机制上实现数字签名问题，也就不 能实现通信中的抗抵赖技术。
4-8设通信双方使用RSAHale Waihona Puke Baidu密接收方的公开密钥是 （5，35），接收到的密文是11，明文是多少？
RSA加密体制： 设明文为m，密文为c，公钥(e , n)，私钥d，满 足以下关系：
d e1 mod n
x3
y2
2
y1 x2
x1 x2
x1 1 mod
mod p
p
y3
x1
x3
y1 mod
p
最后求得接收方A的公钥PA=5G=（3，6)
（2）发送方B用接收方A的公钥进行加密，加密后的密文
为（c1，c2），且加密算法如下：
cc12
rG Pm
y3
x1
x3
y1 mod
p
把x1，y1，a带入可以求得λ=8，（x3，y3）=（5，2）=2G，然 后再用倍点公式求得4G为（10，2），
最后用加法公式求得
4G+G= (x1，y1)+(x2，y2)=(10，2)+(2，7)=(x3，y3)
椭圆曲线上加法公式如下：
c me mod n m cd mod n
解：由题意知：e=5，n=35，c=11 ∴ (35)=(5*7)=(5-1)*(7-1)=24 私钥d= e-1mod((n))=5-1mod 24
由扩展的欧几里得算法可以求得d，其算法 如下：
24=4×5+4； 5=1×4+1； ∴ gcd (5,24)=1 ∴ 1 =5-24-(4×5)=5×5-24； ∴ d=5-1mod 24=5
解：由ElGamal密码体制可知： 设（p，α ，y）作为用户B的公开密钥，r作为用户A选择的 随机数，明文为m，密文为（c1，c2），则有以下等式成立：
cc12
r mod p
m yr mod
p
m c2
c1k
1
mod
p
（1）由题意知：p=71， α=7，y=3，r=2，m=30，
449mod3480 3031
所以该用的私钥为3031。
4-10 在ElGamal密码体制中，设素数p=71，本原元α=7， （1）如果接收方B公钥y=3，发送方A选择的随机整数r=2，求明 文m=30所对应的密文二元组（c1，c2)。 （2）如果发送方A选择另一个随机整数r，使得明文m=30加密后 的密文（c1，c2）=（59，c2）,求c2
rPA
其中Pm为发送方 B欲发送的明文，r为用户B产生的随机数， G为椭圆曲线上的基点，且r=3，G=（2，7），Pm=（7，9），
PA=（3，6）故（c1，c2）计算如下：
cc12
3G Pm
8,3
3PA
7,9
33,6
各自根据椭圆曲线加法公式和椭圆曲线上加法公式可计算
解：由ECELG密码体制可知：接收方的公开密钥 PA=dA G=5G=5（2，7），其中dA为接收方的密钥，G为椭
圆曲线的基点，因为椭圆曲线可以表示为 Ep（a，b），对照题目得：a=1，b=6，p=11。
设：2G=2（x1，y1）=2（2，7）=（x3，y3）带入如下 椭圆曲线上倍点公式得：
x332x12ax1 2 y1 1 mod p
4-1 为什么要引用非对称密码体制？
答： 1 对称密码体制密钥管理的困难性： 对称密码体制中，任何两个用户间要进行保密通信就需要 一个密钥，不同用户间进行通信的时候必须使用不同的密钥 。密钥为发送方和接收方所共享，用于消息的加密和解密。
2 系统开放性问题： 对称密码体制的密钥分发方法要求密钥共享各方面的互相 信任，因此它不能解决陌生人之间的密钥传递问题。
根据中国剩余定理，取 b1=1，b2=5，m1=17，m2=31 则 M=m1×m2=527，M1=M/m1=31， M2=M/m2=17
所以，x ≡ 7560mod 527可写成 x 7560 mod17
x
7560
mod31
化简： 7560 mod17= 7560mod16mod 17 = 1mod 17
① 费马定理
7560 mod31 = 7560mod30mod 31 =720 mod 31=5mod31
将①式化简为 x 1mod17 x 5mod31
c1 r mod p 72 mod71 49
c2 m yr mod p 3032 mod71 57
（2）由题意知：当另外取一个随机数r时
c1 r mod p 7r mod71 59
可以设7r 71 n 59
且满足 1<r<p-1，即1<r<70。 由上式可以求得：r=3，n=4，故可以得到密文c2：
得到
（c1，c2）=（（8，3），（3，5））。
（3）接收方A收到密文（c1，c2）后进行解密，解密算法 如下：
Cm c2 d Ac1
将dA=5，c1=3G，c2=（3，5）代入得Cm=（7，9）
补充题1. 分别用孙子定理和平方-乘法计算：7560mod527
解: (1) 孙子定理
设 x ≡ 7560mod 527，由于527=17×31，且gcd(17,31)=1
4-13 利用ECELG密码体制，设椭圆曲线是E11（1，6）， 基点G=（2，7），接收方A的秘密密钥是dA=5。求： （1）A的公开密钥PA； （2）发送方B欲发送消息Pm=（7，9），选择随机数r=3， 求密文Cm=（c1，c2）是多少？ （3）完成接收方A解密Cm的计算过程。
所以，明文 m = cd mod n
= 115mod 35 =16
4-9在RSA体制中，若给定某用户的公钥e=31， n=3599，那么该用户的私钥等于多少？
解:
n 3599 59 61 59 161 1 3480
d 311 mod(3599) 311 mod3480
3 数字签名问题： 对称密码体制难以从机制上实现数字签名问题，也就不 能实现通信中的抗抵赖技术。
4-8设通信双方使用RSAHale Waihona Puke Baidu密接收方的公开密钥是 （5，35），接收到的密文是11，明文是多少？
RSA加密体制： 设明文为m，密文为c，公钥(e , n)，私钥d，满 足以下关系：
d e1 mod n
x3
y2
2
y1 x2
x1 x2
x1 1 mod
mod p
p
y3
x1
x3
y1 mod
p
最后求得接收方A的公钥PA=5G=（3，6)
（2）发送方B用接收方A的公钥进行加密，加密后的密文
为（c1，c2），且加密算法如下：
cc12
rG Pm
y3
x1
x3
y1 mod
p
把x1，y1，a带入可以求得λ=8，（x3，y3）=（5，2）=2G，然 后再用倍点公式求得4G为（10，2），
最后用加法公式求得
4G+G= (x1，y1)+(x2，y2)=(10，2)+(2，7)=(x3，y3)
椭圆曲线上加法公式如下：
c me mod n m cd mod n
解：由题意知：e=5，n=35，c=11 ∴ (35)=(5*7)=(5-1)*(7-1)=24 私钥d= e-1mod((n))=5-1mod 24
由扩展的欧几里得算法可以求得d，其算法 如下：
24=4×5+4； 5=1×4+1； ∴ gcd (5,24)=1 ∴ 1 =5-24-(4×5)=5×5-24； ∴ d=5-1mod 24=5
解：由ElGamal密码体制可知： 设（p，α ，y）作为用户B的公开密钥，r作为用户A选择的 随机数，明文为m，密文为（c1，c2），则有以下等式成立：
cc12
r mod p
m yr mod
p
m c2
c1k
1
mod
p
（1）由题意知：p=71， α=7，y=3，r=2，m=30，
449mod3480 3031
所以该用的私钥为3031。
4-10 在ElGamal密码体制中，设素数p=71，本原元α=7， （1）如果接收方B公钥y=3，发送方A选择的随机整数r=2，求明 文m=30所对应的密文二元组（c1，c2)。 （2）如果发送方A选择另一个随机整数r，使得明文m=30加密后 的密文（c1，c2）=（59，c2）,求c2
rPA
其中Pm为发送方 B欲发送的明文，r为用户B产生的随机数， G为椭圆曲线上的基点，且r=3，G=（2，7），Pm=（7，9），
PA=（3，6）故（c1，c2）计算如下：
cc12
3G Pm
8,3
3PA
7,9
33,6
各自根据椭圆曲线加法公式和椭圆曲线上加法公式可计算
解：由ECELG密码体制可知：接收方的公开密钥 PA=dA G=5G=5（2，7），其中dA为接收方的密钥，G为椭
圆曲线的基点，因为椭圆曲线可以表示为 Ep（a，b），对照题目得：a=1，b=6，p=11。
设：2G=2（x1，y1）=2（2，7）=（x3，y3）带入如下 椭圆曲线上倍点公式得：
x332x12ax1 2 y1 1 mod p
4-1 为什么要引用非对称密码体制？
答： 1 对称密码体制密钥管理的困难性： 对称密码体制中，任何两个用户间要进行保密通信就需要 一个密钥，不同用户间进行通信的时候必须使用不同的密钥 。密钥为发送方和接收方所共享，用于消息的加密和解密。
2 系统开放性问题： 对称密码体制的密钥分发方法要求密钥共享各方面的互相 信任，因此它不能解决陌生人之间的密钥传递问题。
根据中国剩余定理，取 b1=1，b2=5，m1=17，m2=31 则 M=m1×m2=527，M1=M/m1=31， M2=M/m2=17
所以，x ≡ 7560mod 527可写成 x 7560 mod17
x
7560
mod31
化简： 7560 mod17= 7560mod16mod 17 = 1mod 17
① 费马定理
7560 mod31 = 7560mod30mod 31 =720 mod 31=5mod31
将①式化简为 x 1mod17 x 5mod31
c1 r mod p 72 mod71 49
c2 m yr mod p 3032 mod71 57
（2）由题意知：当另外取一个随机数r时
c1 r mod p 7r mod71 59
可以设7r 71 n 59
且满足 1<r<p-1，即1<r<70。 由上式可以求得：r=3，n=4，故可以得到密文c2：
得到
（c1，c2）=（（8，3），（3，5））。
（3）接收方A收到密文（c1，c2）后进行解密，解密算法 如下：
Cm c2 d Ac1
将dA=5，c1=3G，c2=（3，5）代入得Cm=（7，9）
补充题1. 分别用孙子定理和平方-乘法计算：7560mod527
解: (1) 孙子定理
设 x ≡ 7560mod 527，由于527=17×31，且gcd(17,31)=1