复习万有引力与航天的典型题目

A低的一颗卫星，C为地球赤道上某一高山山顶上的一个物体，两 颗卫星及物体 C的质量都相同，关于它们的线速度、角速度、运
行周期和所受到的万有引力的比较，下列关系式正确的是(
)
图1 A.vB＞vA＞vC C.FA＞FB＞FC B.ωA＞ωB＞ωC D.TA＝TC＞TB
随堂演练
解析
A 为地球同步卫星，故ωA＝ωC，根据 v＝ωr 可知，vA＞ GM r ，可见 vB＞vA，所以三者
据所学知识，下列选项正确Hale Waihona Puke 是( )图3随堂演练
A.双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
C.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
D.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
随堂演练
解析
双黑洞绕连线上的某点做圆周运动的周期相等，角速度也
相等，选项 A 错误；双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万 M1 M2 有引力提供， 向心力大小相等， 设双黑洞间的距离为 L， 由G 2 L ＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比 r1∶r2＝M2∶M1， 选项 B 正确；由 v＝ωr 得双黑洞的线速度之比 v1∶v2＝r1∶r2＝ M2∶M1，选项 C 错误；由 a＝ω2r 得双黑洞的向心加速度之比为 a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项 D 错误。
随堂演练
【例 3】
(多选)(2015· 广东理综，20)在星球表面发射探测器，
当发射速度为 v 时， 探测器可绕星球表面做匀速圆周运动； 当 发射速度达到 2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球，已知 地球、火星两星球的质量比约为 10∶1，半径比约为 2∶1，下 列说法正确的有( )
v2 Mm vC，再根据 G 2 ＝m r 得到 v＝ r
2π 的线速度关系为 vB＞vA＞vC，故选项 A 正确；由 ω＝ T 可知 TA Mm 2π 2 ＝TC，再由 G 2 ＝m( T ) r 可知 TA＞TB，因此它们的周期关系 r 为 TA＝TC＞TB，它们的角速度关系为 ωB＞ωA＝ωC，所以选项 D Mm 正确， B 错误； 由 F＝G 2 可知 FA＜FB＜FC， 所以选项 C 错误。 r 答案 AD
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解析
飞船经一次加速后由圆轨道 1 变轨到与加速点相切的椭圆
轨道，加速点为近地点，椭圆轨道的远地点与轨道 2 相切，近地点 与远地点分别在地球两侧，因此飞船必须在 M 点加速，才能在 P 点与“天宫一号”相遇，A 错误；飞船在 M 点经一次加速后由圆 轨道 1 变轨到椭圆轨道， 在椭圆轨道的远地点再经一次加速变轨到 轨道 2， B 错误； 飞船在 M 点加速后由圆轨道 1 变轨到椭圆轨道， 则在 M 点变轨后的速度大于变轨前的速度， C 正确；由 T ＝ 2π r3 可知轨道半径增大，周期增大，D 项正确。 GM
图2
随堂演练
A.a 的向心加速度等于重力加速度 g π B.c 在 4 h 内转过的圆心角为 6 C.b 在相同的时间内转过的弧长最长 D.d 的运动周期可能是 23 h
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突破二 卫星的变轨问题
1.变轨原理及过程 人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图 3所示。
图3 (1)为了节省能量 ，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆 轨道Ⅰ上。 (2)在A点点火加速，由于速度变大，进入椭圆轨道Ⅱ。 (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
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(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC； (4)三星体做圆周运动的周期T。
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反思总结
解决双星、多星问题，紧抓四点： (1)双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的 轨道半径。 (2)星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。 (3)星体的角速度相等。 (4)星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，
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【变式训练】
1.(2016· 江西鹰潭模拟)有a、b、c、d四颗卫星，a还未发射，在地 球赤道上随地球一起转动，b在地面附近近地轨道上正常运动， c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，设地球自转周期为24 h， 所有卫星的运动均视为匀速圆周运动，各卫星排列位置如图2所 示，则下列关于卫星的说法中正确的是( C )
答案
B
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【拓展延伸】 在【例 4】中若双黑洞间的距离为 L，其运动周期为 T，引力 常量为 G，则双黑洞总质量为( GL3 A. 2 2 4π T
解析
) 4π2L3 C. GT2 4π2T3 D. GL2
4π2L3 B. 3GT2
设双黑洞质量分别为 M1 和 M2， 绕连线上 O 点做匀速圆
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2.卫星变轨的实质
2 Mm v (1)当卫星的速度突然增加时， G 2 <m r ，即万有引力不足以 r
提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半 径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v＝ 运行速率比原轨道时减小。
2 v Mm (2)当卫星的速率突然减小时， G 2 >m r ，即万有引力大于所 r
角速度
ω1＞ω2＝ω3 线速度 GMm mv 由 2 ＝ 得 v＝ r r
2
GM ，故 v1＞v2 r v1＞v2＞v3
由 v＝rω 得 v2＞v3
向心加速度
GMm GM 由 2 ＝ma 得 a＝ 2 ，故 a1＞a2 r r a1＞a2＞a3
由 a＝ω2r 得 a2＞a3
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【例1】
(多选)如图1所示 ，A表示地球同步卫星，B为运行轨道比
周运动的半径分别为 r1、r2，则有 r1＋r2＝L。由万有引力提供 M1 M 2 2π 2 2π 2 4π2 2 向心力得 G 2 ＝M1( T ) r1＝M2( T ) r2，得 M2＝ 2r1L ， L GT 4π2 2 4π2L3 M1＝ 2r2L ，总质量 M1＋M2＝ ，选项 C 正确。 GT GT2
地区。如图4所示，飞船在返回地面时，要在P点从圆形轨道Ⅰ 进入椭圆轨道Ⅱ， Q 为轨道Ⅱ上的一点， M 为轨道Ⅰ上的另一 点，关于“神舟九号”的运动，下列说法中正确的有( )
图4
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A.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于经过Q的速度 B.飞船在轨道Ⅱ上经过P的速度小于在轨道Ⅰ上经过M的速度 C.飞船在轨道Ⅱ上运动的周期大于在轨道Ⅰ上运动的周期 D.飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度小于在轨道Ⅰ上经过M的加速度 解析 飞船在轨道Ⅱ上由Q点向P点运行时需要克服万有引力做功， 所以经过P点时的动能小于经过 Q点时的动能，可知选项A正确； 飞船在轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，故飞船经过P、M两点时的速率 相等，由于飞船在 P 点进入轨道 Ⅱ 时相对于轨道 Ⅰ 做向心运动， 可知飞船在轨道 Ⅱ上 P点速度小于轨道 Ⅰ上P点速度，故选项 B正 确；根据开普勒第三定律可知，飞船在轨道Ⅱ上运动的周期小于 在轨道 Ⅰ 上运动的周期，选项 C错误；根据牛顿第二定律可知， 飞船在轨道Ⅱ上经过P的加速度与在轨道Ⅰ上经过M的加速度大小 相等，选项D错误。 答案 AB
能力课时6 天体运动中的“四大难点”
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考点四
多星模型 两颗可视星构成 三星系统(正三角 三星系统(直线 的双星系统 形排列) 等间距排列)
示意图
向心力 彼此给对方的万 另外两星球对其 来源 有引力 万有引力的合力
另外两星球对其 万有引力的合力
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【例题】
2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外
答案
CD
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突破三 天体运动中的能量问题
1.卫星变轨问题的分析，一般包括运动状态与能量的变化，即线 速度、角速度、周期以及动能、势能与机械能的变化，通常可 以利用万有引力做功，确定动能和势能的变化。若只有万有引 力做功，则机械能守恒。
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2.卫星速率增大(发动机做正功)会做离心运动， 轨道半径增大， 万 有引力做负功，卫星动能减小，由于变轨时遵从能量守恒， v2 Mm 稳定在圆轨道上时需满足 G 2 ＝m ，致使卫星在较高轨道 r r 上的运行速率小于在较低轨道上的运行速率，但机械能增大； 相反，卫星由于速率减小(发动机做负功)会做向心运动，轨道 半径减小，万有引力做正功，卫星动能增大，同样原因致使 卫星在较低轨道上的运行速率大于在较高轨道上的运行速率， 但机械能减小。
星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如
图3所示。这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑 洞。这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件 下的适应性等都具有十分重要的意义。我国今年底也将发射全 球功能最强的暗物质探测卫星。若图中双黑洞的质量分别为M1
和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根
D.双星的质量一定，双星之间的距离越大，其转动周期越大
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【变式练习2】[三星模型](2015· 安徽理综，24)由三颗星体构成的 系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式；三颗
星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个
顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速 度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情 况)。若A星体质量为2m、B、C两星体的质量均为m，三角形的 边长为a，求：
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反思总结 1.变轨的两种情况
2.相关物理量的比较 vⅡA＞vⅠ。
(1) 两个不同轨道的 “ 切点 ” 处线速度 v 不相等，图中 vⅢ ＞ vⅡB ，
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(2)同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从
远地点到近地点万有引力对卫星做正功，动能增大(引力势能
减小)，图中vⅡA＞vⅡB，EkⅡA＞EkⅡB，EpⅡA＜EpⅡB。 (3)两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越 小，图中vⅠ＞vⅢ。 3.卫星的对接