培优专题讲义有理数及其运算.
学而思八年级数学培优讲义
学而思八年级数学培优讲义学而思八年级数学培优讲义旨在帮助学生巩固课堂所学知识，提高数学素养，为初中阶段的学习打下坚实基础。
以下是八年级数学培优讲义的部分内容：一、有理数及其运算1. 有理数的分类：整数、分数、正有理数、负有理数、零。
2. 有理数的加法：同号相加，异号相减；绝对值相加，符号决定和的大小。
3. 有理数的减法：减法转化为加法，被减数、减数与差的的关系。
4. 有理数的乘法：符号规律，绝对值相乘。
5. 有理数的除法：除法转化为乘法，商的变化规律。
6. 有理数的乘方：乘方的意义，乘方运算规则。
二、几何知识1.点、线、面的基本概念：点的坐标，线段的平行、垂直，平面的性质。
2.三角形的基本概念：三角形的分类，三角形的边角关系，三角形的判定。
3. 四边形的基本概念：四边形的分类，四边形的对边、对角线、内角和。
4.平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分，平行四边形的判定。
5.矩形、菱形、正方形的性质：矩形的对角线相等，菱形的对角线垂直，正方形的性质。
三、函数与方程1.函数的基本概念：函数的定义，函数的图像，函数的性质。
2.一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图像，一次函数与直线。
3.方程的基本概念：方程的定义，方程的解法，方程的应用。
4. 一元一次方程：一元一次方程的解法，一元一次方程的应用。
5. 一元二次方程：一元二次方程的解法，一元二次方程的应用。
四、三角形和四边形的几何证明1.三角形的证明：全等三角形的判定，相似三角形的判定。
2. 四边形的证明：平行四边形的判定，矩形、菱形、正方形的判定。
3.几何证明的方法：综合法、分析法、反证法。
五、统计与概率1.统计的基本概念：数据的收集、整理、分析。
2.频数与频率：频数分布表，频率分布表，概率的基本概念。
3.事件的概率：等可能事件的概率，条件概率，独立事件的概率。
4.统计的应用：平均数、中位数、众数，概率的应用。
通过学习八年级数学培优讲义，学生可以系统地回顾和巩固课堂所学知识，提高自己的数学能力，为初中阶段的学习打下坚实基础。
有理数及其运算-专题1-数轴与绝对值【课外培优课件】+2024—-2025学年北师大版数学七年级上册
数学 七九年级上册 BS版
0 13
C级课前拓预展习训练
数学 七年级上册 BS版
13. （选做）如图，数轴上点 A 表示的数为1，点 A 做如下移 动：第1次，从点 A 向左移动3个单位长度至点 A1；第2次，从点 A1向右移动6个单位长度至点 A2；第3次，从点 A2向左移动9个单 位长度至点 A3；….按照这种移动方式进行下去，点 A4表示的数 是 7 .若点 An 与原点的距离不小于20，则 n 的最小值 是 13 .
A. 3
B. －3
C.
1 3
D.
－
1 3
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数学 七年级上册 BS版
2. 有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，计算｜ a － b ｜的结果为（ C ）
A. a ＋ b C. b － a
B. a － b D. － a － b
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数学 七年级上册 BS版
3. 已知有理数 a ， b 在数轴上对应的点的位置如图所示，则下 列结论正确的有（ A ） ① a ＞ b ；②－ a ＞－ b ；③ a ＜－ b ；④－ a ＜－ b ；⑤｜ a ｜ ＜｜ b ｜.
到原点 O 的距离为4，求所有满足条件的点 A 所表示的数，并求
这些点到原点 O 的距离之和.
解：由题意知，点 B 所表示的数是±4.
当点 B 所表示的数是4时，点 A 所表示的数是6或2；
当点 B 所表示的数是－4时，点 A 所表示的数是－2或－6.
综上所述，点 A 所表示的数是－6，－2，2或6.
数学 七年级上册 BS版
7. 按要求完成下列各题： （1）在数轴上表示下列各数，并用“＜”连接起来. 3，－4，－（－1.5），－｜－2｜.
北师大版七年级上册数学《有理数的加法》有理数及其运算教学说课培优课件
2.4 有理数的加法
第1课时
课件
导入新知
1.一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，记作
+20米，又向西走了30米，记作-30米，他现在的位置与原来出
（+20）+（-30）
发的位置相距多少米？该问题用算式表示为____________.
2.甲、乙两支足球队进行足球比赛，如果甲队在主场输了2个
-1
因此，（-3）+ 2＝________.
你能用类似的方法计算3 +（-2）， 4+（-4）吗？
探究新知
计算3 +（-2）.
在方框中放进3个
和2个
，移走所有的
1
因此，3 +（-2）＝________.
.
探究新知
计算4+（-4）.
在方框中放进4个
和4个
：
因此，4+（-4）＝________.
0
探究新知
91.8, 91.1.这10袋小麦的总重量是多少千克？如果每袋小
麦以90千克为标准，这10袋小麦总计超过多少千克或不
足多少千克？
巩固练习
解:每袋小麦超过90千克的部分记为正数，不足的千克
数记作负数.10袋小麦对应的数分别为＋1，＋1，＋1.5，
－1，＋1.2，＋1.3，－1.3，－1.2，＋1.8，＋1.1.列出10
球，记作-2，在客场又输了3个球，记作-3，那么甲队的净胜
（-2）+（-3）
球数用算式表示为____________.
素养目标
3.体验数形结合的数学思想.
2.熟练运用加法法则进行计算.
1.理解并掌握有理数加法法则.
七年级数学培优辅导讲义(共十讲80页)
第一讲有理数的巧算有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，可以根据运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1计算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，尤其是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，这样便于计算．例2计算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直接计算很麻烦，根据运算规则，添加括号改变运算次序，可使计算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来计算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一般思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3计算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出这个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．如果按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式计算，就能得到一系列的“-1”，于是一改“去括号”的习惯，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，所以有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，所以有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化．2．用字母表示数我们先来计算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．于是我们得到了一个重要的计算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①这个公式叫平方差公式，以后应用这个公式计算时，不必重复公式的证明过程，可直接利用该公式计算．例5计算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6计算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7计算：分析与解直接计算繁．仔细观察，发现分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，于是分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，所以原式=24 690．例8计算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数都是前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就可以连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9计算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．这个公式也可以反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题就是一个例子．通过以上例题可以看到，用字母表示数给我们的计算带来很大的益处．下面再看一个例题，从中可以看到用字母表示一个式子，也可使计算简化．例10计算：我们用一个字母表示它以简化计算．3．观察算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请计算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直接把20个数加起来，显然运算量较大，粗略地估计一下，这些数均在90上下，所以可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，这样会大大简化运算．所以总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 计算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观察发现：首先算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一般地，一列数，如果从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都可以用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13计算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观察发现，上式从第二项起，每一项都是它前面一项的5倍．如果将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，于是两式相减将使差易于计算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①所以5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明如果一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 计算：分析一般情况下，分数计算是先通分．本题通分计算将很繁，所以我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做拆项法．解由于所以说明本例使用拆项法的目的是使总和中出现一些可以相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中很常用．练习一1．计算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试计算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．第二讲绝对值绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：任何一个实数的绝对值是非负数．例1 a，b为实数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？(1)｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；(2)｜ab｜=｜a｜｜b｜；(3)｜a-b｜=｜b-a｜；(4)若｜a｜=b，则a=b；(5)若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；(6)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．解 (1)不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．(2)对．(3)对．(4)不对．当a≥0时成立．(5)不对．当b＞0时成立．(6)不对．当a＋b＞0时成立．例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．再根据绝对值的概念，得｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-(a+c)，｜c-b｜=b-c．于是有原式=(a-b)-(a+c)+(b-c)=a-b-a-c+b-c=-2c．例3已知x＜-3，化简：｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．解原式=｜3+｜2+(1+x)｜｜(因为1+x＜0)=｜3+｜3+x｜｜=｜3-(3+x)｜(因为3+x＜0)=｜-x｜=-x．解因为 abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．(1)当a，b，c均大于零时，原式=3；(2)当a，b，c均小于零时，原式=-3；(3)当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；(4)当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．(1)当y=2时，x+y=-1；(2)当y=-2时，x+y=-5．所以x+y的值为-1或-5．例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．解 a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①或｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，所以｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．解依相反数的意义有｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得2y=2002， y=1001，所以例8 化简：｜3x+1｜+｜2x-1｜．分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们为三个部分(如图1－2所示)，即这样我们就可以分类讨论化简了．原式=-(3x+1)-(2x-1)=5x；原式=(3x+1)-(2x-1)=x+2；原式=(3x+1)+(2x-1)=5x．即说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．解有三个分界点：-3，1，-1．(1)当x≤-3时，y=-(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=x-1，由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．(2)当-3≤x≤-1时，y=(2x+6)-(x-1)+4(x+1)=5x+11，由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．(3)当-1≤x≤1时，y=(2x+6)-(x-1)-4(x+1)=-3x+3，由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．(4)当x≥1时，y=(2x+6)+(x-1)-4(x+1)=-x+1，由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．例10设a＜b＜c＜d，求｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜的最小值．分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为A，B，C，D，X，则｜x-a｜表示线段AX之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段BX，CX，DX之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点X，使该点到A，B，C，D四点距离之和最小．因为a＜b＜c＜d，所以A，B，C，D的排列应如图1－3所示：所以当X在B，C之间时，距离和最小，这个最小值为AD+BC，即(d-a)+(c-b)．例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．故x应满足的条件是此时原式=2x+(4-5x)-(1-3x)+4=7．练习二1．x是什么实数时，下列等式成立：(1)｜(x-2)+(x-4)｜=｜x-2｜+｜x-4｜；(2)｜(7x+6)(3x-5)｜=(7x+6)(3x-5)．2．化简下列各式：(2)｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．5．设T=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x 来说，T的最小值是多少？6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么B点应为( )．(1)在A，C点的右边；(2)在A，C点的左边；(3)在A，C点之间；(4)以上三种情况都有可能．第三讲求代数式的值用具体的数代替代数式里的字母进行计算，求出代数式的值，是一个由一般到特殊的过程．具体求解代数式值的问题时，对于较简单的问题，代入直接计算并不困难，但对于较复杂的代数式，往往是先化简，然后再求值．下面结合例题初步看一看代数式求值的常用技巧．例1求下列代数式的值：分析上面两题均可直接代入求值，但会很麻烦，容易出错．我们可以利用已经学过的有关概念、法则，如合并同类项，添、去括号等，先将代数式化简，然后再求值，这样会大大提高运算的速度和结果的准确性．=0-4a3b2-a2b-5=-4×13×(- 2)2- 12×(-2)-5=-16+2-5=-19．(2)原式=3x2y-xyz+(2xyz-x2z)+4x2?[3x2y-(xyz-5x2z)]=3x2y-xyz+2xyz-x2z+4x2z-3x2y+(xyz-5x2z)=(3x2y-3x2y)+(-xyz+2xyz+xyz)+(-x2z+4x2z-5x2z)=2xyz-2x2z=2×(-1)×2×(-3)-2×(-1)2×(-3)=12+6=18．说明本例中(1)的化简是添括号，将同类项合并后，再代入求值；(2)是先去括号，然后再添括号，合并化简后，再代入求值．去、添括号时，一定要注意各项符号的变化．例2已知a-b=-1，求a3+3ab-b3的值．分析由已知条件a-b=-1，我们无法求出a，b的确定值，因此本题不能像例1那样，代入a，b的值求代数式的值．下面给出本题的五种解法．解法1由a-b=-1得a=b-1，代入所求代数式化简a3+3ab-b3=(b-1)3+3(b-1)b-b3=b3-3b2+3b-1+3b2-3b-b3=-1．说明这是用代入消元法消去a化简求值的．解法2因为a-b=-1，所以原式=(a3-b3)+3ab=(a-b)(a2+ab+b2)+3ab=-1×(a2+ab+b2)+3ab=-a2-ab-b2+3ab=-(a2-2ab+b2)=-(a-b)2=-(-1)2=-1．说明这种解法是利用了乘法公式，将原式化简求值的．解法3 因为a-b=-1，所以原式=a3-3ab(-1)-b3=a3-3ab(a-b)-b3=a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3=(-1)3=-1．说明这种解法巧妙地利用了-1=a-b，并将3ab化为-3ab(-1)=-3ab(a-b)，从而凑成了(a-b)3．解法4 因为a-b=-1，所以(a-b)3=(-1)3=1，即 a3+3ab2-3a2b-b3=-1，a3-b3-3ab(a-b)=-1，所以 a3-b3-3ab(-1)=-1，即 a3-b3+3ab=-1．说明这种解法是由a-b=-1，演绎推理出所求代数式的值．解法 5a3+3ab-b3=a3+3ab2-3a2b-b3-3ab2+3a2b+3ab=(a-b)3+3ab(a-b)+3ab=(-1)3+3ab(-1)+3ab=-1．说明这种解法是添项，凑出(a-b)3，然后化简求值．通过这个例题可以看出，求代数式的值的方法是很灵活的，需要认真思考，才能找到简便的算法．在本例的各种解法中，用到了几个常用的乘法公式，现总结如下：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2；(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3；(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3；a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．解由已知，xy=2(x+y)，代入所求代数式中，消去xy，然后化简．所以解因为a=3b，所以c=5a=5×(3b)=15b．将a，c代入所求代数式，化简得解因为(x-5)2，｜m｜都是非负数，所以由(1)有由(2)得y+1=3，所以y=2．下面先化简所求代数式，然后再代入求值．=x2y+5m2x+10xy2=52×2+0+10×5×22=250例6如果4a-3b=7，并且3a+2b=19，求14a-2b的值．分析此题可以用方程组求出a，b的值，再分别代入14a-2b求值．下面介绍一种不必求出a，b的值的解法．解 14a-2b=2(7a-b)=2[(4a+3a)+(-3b+2b)]=2[(4a-3b)+(3a+2b)]=2(7+19)=52．｜x｜+｜x-1｜+｜x-2｜+｜x-3｜+｜x-4｜+｜x-5｜的值．分析所求代数式中六个绝对值的分界点，分别为：0，1，2，据绝对值的意义去掉绝对值的符号，将有3个x和3个-x，这样将抵消掉x，使求值变得容易．原式=x+(x-1)+(x-2)-(x-3)-(x-4)-(x-5)=-1-2+3+4+5=9．说明实际上，本题只要x的值在2与3之间，那么这个代数式的值就是9，即它与x具体的取值无关．例8若x:y:z=3:4:7，且2x-y+z=18，那么x+2y-z的值是多少？分析 x:y:z=3:4:7可以写成的形式，对于等比，我们通常可以设它们的比值为常数k，这样可以给问题的解决带来便利．x=3k，y=4k，z=7k．因为2x-y+z=18，所以2×3k-4k+7k=18，所以k=2，所以x=6，y=8，z=14，所以x+2y-z=6+16-14=8．例9已知x=y=11，求(xy-1)2+(x+y-2)(x+y-2xy)的值．分析本题是可直接代入求值的．下面采用换元法，先将式子改写得较简洁，然后再求值．解设x+y=m，xy=n．原式=(n-1)2+(m-2)(m-2n)=(n-1)2+m2-2m-2mn+4n=n2-2n+1+4n-2m-2mn+m2=(n+1)2-2m(n+1)+m2=(n+1-m)2=(11×11+1-22)2=(121+1-22)2=1002=10000．说明换元法是处理较复杂的代数式的常用手法，通过换元，可以使代数式的特征更加突出，从而简化了题目的表述形式．练习三1．求下列代数式的值：(1)a4+3ab-6a2b2-3ab2+4ab+6a2b-7a2b2-2a4，其中a=-2，b=1；的值．3．已知a=3.5，b=-0.8，求代数式｜6-5b｜-｜3a-2b｜-｜8b-1｜的值．4．已知(a+1)2-(3a2+4ab+4b2+2)=0，求 a，b的值．5．已知第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定：(2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解；(3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程3(x+2)=5x，①4x-3(a-x)=6x-7(a-x) ②有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x-5x=-6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有4×3-3(a-3)=6×3-7(a-3)，7(a-3)-3(a-3)=18-12，例3已知方程2(x+1)=3(x-1)的解为a+2，求方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a的解．解由方程2(x+1)=3(x-1)解得x=5．由题设知a+2=5，所以a=3．于是有2[2(x+3)-3(x-3)]=3×3，-2x=-21，例4解关于x的方程(mx-n)(m+n)=0．分析这个方程中未知数是x，m，n是可以取不同实数值的常数，因此需要讨论m，n取不同值时，方程解的情况．解把原方程化为m2x+mnx-mn-n2=0，整理得 m(m+n)x=n(m+n)．当m+n≠0，且m=0时，方程无解；当m+n=0时，方程的解为一切实数．说明含有字母系数的方程，一定要注意字母的取值范围．解这类方程时，需要从方程有唯一解、无解、无数多个解三种情况进行讨论．例5解方程(a+x-b)(a-b-x)=(a2-x)(b2+x)-a2b2．分析本题将方程中的括号去掉后产生x2项，但整理化简后，可以消去x2，也就是说，原方程实际上仍是一个一元一次方程．解将原方程整理化简得(a-b)2-x2=a2b2+a2x-b2x-x2-a2b2，即 (a2-b2)x=(a-b)2．(1)当a2-b2≠0时，即a≠±b时，方程有唯一解(2)当a2-b2=0时，即a=b或a=-b时，若a-b≠0，即a≠b，即a=-b时，方程无解；若a-b=0，即a=b，方程有无数多个解．例6已知(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，求代数式199(m+x)(x-2m)+m的值．解因为(m2-1)x2-(m+1)x+8=0是关于x的一元一次方程，所以m2-1=0，即m=±1．(1)当m=1时，方程变为-2x+8=0，因此x=4，代数式的值为199(1+4)(4-2×1)+1=1991；(2)当m=-1时，原方程无解．所以所求代数式的值为1991．例7 已知关于x的方程a(2x-1)=3x-2无解，试求a的值．解将原方程变形为2ax-a=3x-2，即 (2a-3)x=a-2．由已知该方程无解，所以例8 k为何正数时，方程k2x-k2=2kx-5k的解是正数？来确定：(1)若b=0时，方程的解是零；反之，若方程ax=b的解是零，则b=0成立．(2)若ab＞0时，则方程的解是正数；反之，若方程ax=b的解是正数，则ab＞0成立．(3)若ab＜0时，则方程的解是负数；反之，若方程ax=b的解是负数，则ab＜0成立．解按未知数x整理方程得(k2-2k)x=k2-5k．要使方程的解为正数，需要(k2-2k)(k2-5k)＞0．看不等式的左端(k2-2k)(k2-5k)=k2(k-2)(k-5)．因为k2≥0，所以只要k＞5或k＜2时上式大于零，所以当k＜2或k＞5时，原方程的解是正数，所以k＞5或0＜k＜2即为所求．例9若abc=1，解方程解因为abc=1，所以原方程可变形为化简整理为化简整理为说明像这种带有附加条件的方程，求解时恰当地利用附加条件可使方程的求解过程大大简化．例10若a，b，c是正数，解方程解法1原方程两边乘以abc，得到方程ab(x-a-b)+bc(x-b-c)+ac(x-c-a)=3abc．移项、合并同类项得ab[x-(a+b+c)]+bc[x-(a+b+c)]+ac[x-(a+b+c)]=0，因此有[x-(a+b+c)](ab+bc+ac)=0．因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ab+bc+ac≠0，所以x-(a+b+c)=0，即x=a+b+c为原方程的解．解法2将原方程右边的3移到左边变为-3，再拆为三个“-1”，并注意到其余两项做类似处理．设m=a+b+c，则原方程变形为所以即x-(a+b+c)=0．所以x=a+b+c为原方程的解．说明注意观察，巧妙变形，是产生简单优美解法所不可缺少的基本功之一．例11设n为自然数，[x]表示不超过x的最大整数，解方程：分析要解此方程，必须先去掉[ ]，由于n是自然数，所以n与(n+1)…，n[x]都是整数，所以x必是整数．解根据分析，x必为整数，即x=[x]，所以原方程化为合并同类项得故有所以x=n(n+1)为原方程的解．例12已知关于x的方程且a为某些自然数时，方程的解为自然数，试求自然数a的最小值．解由原方程可解得a最小，所以x应取x=160．所以所以满足题设的自然数a的最小值为2．练习四1．解下列方程：*2．解下列关于x的方程：(1)a2(x-2)-3a=x+1；4．当k取何值时，关于x的方程3(x+1)=5-kx，分别有：(1)正数解；(2)负数解；(3)不大于1的解．第五讲方程组的解法二元及多元(二元以上)一次方程组的求解，主要是通过同解变形进行消元，最终转化为一元一次方程来解决．所以，解方程组的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加减消元两种，下面结合例题予以介绍．例1解方程组解将原方程组改写为由方程②得x=6+4y，代入①化简得11y-4z=-19．④由③得2y+3z=4．⑤④×3+⑤×4得33y+8y=-57+16，所以 y=-1．将y=-1代入⑤，得z=2．将y=-1代入②，得x=2．所以为原方程组的解．说明本题解法中，由①，②消x时，采用了代入消元法；解④，⑤组成的方程组时，若用代入法消元，无论消y，还是消z，都会出现分数系数，计算较繁，而利用两个方程中z的系数是一正一负，且系数的绝对值较小，采用加减消元法较简单．解方程组消元时，是使用代入消元，还是使用加减消元，要根据方程的具体特点而定，灵活地采用各种方法与技巧，使解法简捷明快．例2解方程组解法1由①，④消x得由⑥，⑦消元，得解之得将y=2代入①得x=1．将z=3代入③得u=4．所以解法2由原方程组得所以x=5-2y=5-2(8-2z)=-11+4z=-11+4(11-2u)=33-8u=33-8(6-2x)=-15+16x，即x=-15+16x，解之得x=1．将x=1代入⑧得u=4．将u=4代入⑦得z=3．将z=3代入⑥得y=2．所以为原方程组的解．解法3①+②+③+④得x+y+z+u=10，⑤由⑤-(①+③)得y+u=6，⑥由①×2-④得4y-u=4，⑦⑥+⑦得y=2．以下略．说明解法2很好地利用了本题方程组的特点，解法简捷、流畅．例3解方程组分析与解注意到各方程中同一未知数系数的关系，可以先得到下面四个二元方程：①+②得x+u=3，⑥②+③得y+v=5，⑦③+④得z+x=7，⑧④+⑤得u+y=9．⑨又①+②+③+④+⑤得x+y+z+u+v=15．⑩⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以为原方程组的解．例4解方程组解法1①×2+②得由③得代入④得为原方程组的解．为原方程组的解．说明解法1称为整体处理法，即从整体上进行加减消元或代入消为换元法，也就是干脆引入一个新的辅助元来代替原方程组中的“整体元”，从而简化方程组的求解过程．例5已知分析与解一般想法是利用方程组求出x，y，z的值之后，代入所求的代数式计算．但本题中方程组是由三个未知数两个方程组成的，因此无法求出x，y，z的确定有限解，但我们可以利用加减消元法将原方程组变形．①-②消去x得①×3+②消去y得①×5+②×3消去z得例6已知关于x，y的方程组分别求出当a为何值时，方程组(1)有唯一一组解；(2)无解；(3)有无穷多组解．分析与一元一次方程一样，含有字母系数的一次方程组求解时也要进行讨论，一般是通过消元，归结为一元一次方程ax=b的形式进行讨论．但必须特别注意，消元时，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的两边时，这个式子的值不能等于零．解由①得2y=(1+a)-ax，③将③代入②得(a-2)(a+1)x=(a-2)(a+2)．④(1)当(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1时，方程④有因而原方程组有唯一一组解．(2)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0时，即a=-1时，方程④无解，因此原方程组无解．(3)当(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0时，即a=2时，方程④有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解．例7已知关于x，y的二元一次方程(a-1)x+(a+2)y+5-2a=0，当a每取一个值时，就有一个方程，而这些方程有一个公共解，试求出这个公共解．解法1根据题意，可分别令a=1，a=-2代入原方程得到一个方程组将x=3，y=-1代入原方程得(a-1)·3+(a+2)·(-1)+5-2a=0．所以对任何a值都是原方程的解．说明取a=1为的是使方程中(a-1)x=0，方程无x项，可直接求出y值；取a=-2的道理类似．解法2可将原方程变形为a(x+y-2)-(x-2y-5)=0．由于公共解与a无关，故有例8甲、乙两人解方程组原方程的解．分析与解因为甲只看错了方程①中的a，所以甲所得到的解4×(-3)-b×(-1)=-2．③a×5+5×4=13．④解由③，④联立的方程组得所以原方程组应为练习五1．解方程组2．若x1，x2，x3，x4，x5满足方程组试确定3x4+2x5的值．3．将式子3x2+2x-5写成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，试求4．k为何值时，方程组有唯一一组解；无解；无穷多解？5．若方程组的解满足x+y=0，试求m的值．第六讲一次不等式(不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型．在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等式”．本讲是系统学习不等式的基础．下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析．1．不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性质(5))；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6))．2．区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集．如果设a，b为实数，且a＜b，那么(1)满足不等式a＜x＜b的数x的全体叫作一个开区间，记作(a，b)．如图1－4(a)．(2)满足不等式a≤x≤b的数x的全体叫作一个闭区间，记作[a，b]．如图1－4(b)．(3)满足不等式a＜x≤b(或a≤x＜b)的x的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b](或[a，b))．如图1－4(c)，(d)．3．一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准型：ax＞b，或ax＜b．为确定起见，下面仅讨论前一种形式．一元一次不等式ax＞b．(3)当a=0时，用区间表示为(-∞，+∞)．例1解不等式解两边同时乘以6得12(x+1)+2(x-2)≥21x-6，化简得-7x≥-14，两边同除以-7，有x≤2．所以不等式的解为x≤2，用区间表示为(-∞，2]．例2求不等式的正整数解．正整数解，所以原不等式的正整数解为x=1，2，3．例3解不等式分析与解因y2+1＞0，所以根据不等式的基本性质有例4解不等式为x+2＞7，解为x＞5．这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x≠6．解将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为x＞5且x≠6．例5已知2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且y＜x+9，试比较解首先解关于x的方程得x=-10．将x=-10代入不等式得y＜-10+9，即y＜-1．例6解关于x的不等式：解显然a≠0，将原不等式变形为3x+3-2a2＞a-2ax，即(3+2a)x＞(2a+3)(a-1)．说明对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论．例7已知a，b为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b＜0解由(2a-b)x+3a-4b＜0得(2a-b)x＜4b-3a．。
有理数的运算培优讲义
有理数的运算有理数的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。
有理数计算问题常用公式（1）mn n m +=m 1+n 1（2）)1(1+n n =n 1-11+n （3）)(m n n m+=n 1-mn +1（4）)2)(1(2++n n n =)1(1+n n -)1)(2(1++n n2．常用代数公式： （1）完全平方公式：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2 ，（a-b ）2=a 2-2ab+b 2 （2）平方差公式：a 2-b 2=(a+b)(a-b)（3）1+2+3+…+n=2)1(+n n（4）12+22+32+…+n 2=6)12)(1(++n n n二、知识点反馈1、利用运算律：加法运算律()()⎩⎨⎧++=+++=+c b a c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律()()()⎪⎩⎪⎨⎧+=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅acab c b a c b a c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律例1：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523 解：原式=15.175.56.4375.26.432775.23246.4-=-=--=---++ 拓广训练：1、计算（1）115292.011275208.06.0++--+-- （2）4941911764131159431+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+计算：（1）11( 1.5)4 2.75(5)42-+++- （2）32(6)8(2)(4)5-⨯----⨯（3）215[4(10.2)(2)]5---+-⨯÷- （4）25(6)(4)(8)⨯---÷- （5）2(16503)(2)5--+÷-（6）48245834132⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+--（7）22299993(3)(2)2(98)98---⨯------ 例2：计算：5025249⨯⎪⎭⎫⎝⎛- 解：原式=()49825005025150105025110-=--=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 拓广训练：1、 计算：()⎪⎭⎫ ⎝⎛---⨯⨯⨯⨯514131215432 2、裂项相消 （1）b a ab b a 11+=+；（2）()11111+-=+n n n n ；（3）()mn n m n n m +-=+11 （4）()()()()()21111212++-+=++n n n n n n n例3、计算201020091431321211⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯拓广训练： 1、计算：200920071751531311⨯⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯2. 观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：（1）猜想并写出：= _________ ；（2）直接写出下列各式的计算结果： ①= _________ ； ②= _________ ．（3）探究并计算：．3、以符代数例4：计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717 解：分析：397610393711,17242617127,27341627717=== 令A =3938527178171213-+，则A 23976101724262734163937111712727717=-+=-+ 原式=22=÷A A拓广训练： 1、计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅⋅++200513121200613121120051312112006131214、分解相约例5：计算：293186293142842421⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n解：原式=()()()()293193129314214212421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯n n =()()22193121421⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯n n=729649314212=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯ 三、培优训练1、a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则200820092007b a+=。
2024年北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算培优提升专题5：有理数的混合运算
·数学
13.(2023珠海期末)某市出租车采取“时距并计”的方式收费， 具体收费标准如下表：
起步价(3千米 超过3千米部分每千米费 等候费(不足1分钟以1分钟
以内)
用(不足1千米以1千米计) 计)
10元
2.6元
等候的前4分钟不收费，之 后每2分钟1元
某日上午，出租车司机小李的运营线路全是在某条东西走向
1 2 024
－f(2 024)＝
1
.
·数学
8.(创新题)若“三角”
表示运算a－b＋c，“方框”
表示运算x－y＋z＋w，求： × 表示的运算，并计
算结果.
解：根据题意，得
×
＝
1 4
－
1 2
＋
1 6
×(－2－3－6＋3)
＝－112×(－8)＝23.
9.(创新题)规定运算：a★b＝－3ab－1. (1)求2★(－3)的值；
A.a＋b
B.b－a
C.ba
D.ab
·数学
5.(创新题)规定符号(a，b)表示a，b两个数中较小的一个，符
号［a，b］表示a，b两个数中较大的一个.例如(2，1)＝1，
［2，1］＝2.请计算：(－2，3)＋
－
2 3
，－
3 4
＝
－83
.
·数学
6.(创新题)有个填写运算符号的游戏：在“1□2 □ 6 □ 9” 中的每个□内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使 用)，然后计算结果. (1)计算：1＋2－6－9；
第二章 有理数及其运算
培优提升专题5：有理数的混合运算
◆类型1 有理数中的直接计算
1.(2023广州期末)下列有理数计算正确的是( B )
完整版)有理数培优专题
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有理数培优专题
简介
本文档将详细介绍有理数的基本概念、性质和运算规则，以及一些与有理数相关的常见问题和解法。
内容
1.有理数的定义
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正有理数、负有理数和零。
有理数可以用分数的形式表示，例如1/2、-3/4等。
2.有理数的四则运算
加法：有理数之间的加法可以通过分数的加法规则进行计算，即分子相加，分母保持不变。
减法：有理数之间的减法可以通过分数的减法规则进行计算，即分子相减，分母保持不变。
乘法：有理数之间的乘法可以通过分数的乘法规则进行计算，即分子相乘，分母相乘。
除法：有理数之间的除法可以通过分数的除法规则进行计算，即将一个有理数乘以另一个有理数的倒数。
3.有理数的性质
有理数的加法满足交换律、结合律和分配律。
有理数的乘法满足交换律、结合律和分配律。
有理数的加法和乘法满足分数的相应性质。
有理数的乘法满足0的性质，即任何有理数乘以0的结果都是0.
4.有理数的应用
有理数在日常生活中的应用非常广泛，例如计算物品的价格、测量长度和温度等。
有理数在代数学中也有重要的应用，例如解方程、求解不等式等。
5.有理数的解题技巧
解有理数的运算题可以借助分数运算的规则，如化简分数、通
分等。
解有理数的应用题可以将问题转化为数学模型，然后进行计算。
结论
有理数作为数学的重要分支之一，具有广泛的应用领域以及丰
富的运算规则和性质。
通过研究有理数的定义、运算规则和应用，
可以提高我们的数学思维能力，并且在实际问题解决中发挥重要作用。
初一-第07讲-有理数的乘法和除法运算(培优)-教案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：七年级课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第07讲---有理数的乘法和除法运算授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①掌握有理数的乘法法则以及运算律；②掌握除法运算法则；③提高学生的计算能力。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识框架二、知识概念（一）有理数的乘法1、有理数乘法法则1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.2）任何数与0相乘，积仍为0.2、倒数：如果两个有理数的乘积为1，那么其中的一个数是另一个的倒数，也称这两个有理数互为倒数.3、乘法运算律1)乘法交换律：ab=ba.体系搭建2)乘法结合律：(ab)c=a(bc)． 3)乘法分配律：a(b+c)=ab+ac. （二）有理数的除法1、有理数的除法法则1）两数相除，同号得 正 ，异号得 负 ，并把绝对值 相除 ； 2）0除以任何一个非0的数都得 0 。
注意：0不能作除数2、除以一个数等于乘这个数的倒数.考点一：计算与定义新运算 例1、15515512277227⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（用简便方法计算） 【解析】分析：提取57，逆运用乘法分配律进行计算即可得解。
解：15515512277227⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =1551551+2277227⎛⎫⨯⨯+-⨯ ⎪⎝⎭ 例2、若“!”是一种数学运算符号，并且1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4！=4×3×2×1=24，…， 则5!=______=______，的值=______．【解析】 根据运算的定义，可以把写成的形式，然后即可求解．解：5!=5×4×3×2×1=120，==99×100=9900，故答案为：5×4×3×2×1，120，9900． 例3、阅读理解： 计算×﹣×时，若把与（分别各看着一个整体，再利用分配律进行运算，可以大大简化难度．过程如下：解：设为A ，为B ，典例分析则原式=B（1+A）﹣A（1+B）=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．请用上面方法计算：①②．【解析】（1）根据题意设（++++）为A，（+++++）为B，原式变形后计算即可求出值；（2）根据题意设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式变形后计算即可求出值．解：（1）设（++++）为A，（+++++）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=；（2）设（+++++…+）为A，（++++++…+）为B，原式=（1+A）B﹣（1+B）A=B+AB﹣A﹣AB=B﹣A=．例4、要使为整数，a只需为（）【解析】A．奇数B．偶数 C．5的倍数D．个位是5的数如果为整数，则（a﹣5）2为4的倍数，可确定a的取值．解：∵为整数，∴（a﹣5）2为4的倍数，∴a﹣5是偶数，则a可取任意奇数．故选A．考点二：倒数例1、若a与b互为倒数，则3﹣5ab= ﹣2 ．【解析】分析：根据互为倒数的两个数的积为1，直接求出ab的值，从而得到3﹣5ab的值．解：∵ab=1，∴3﹣5ab=3﹣5×1=﹣2．故答案为﹣2．例2、当a= 时的倒数仍是．【解析】根据乘积是1的两个数叫做互为倒数列出计算即可得解． 解：∵的倒数仍是，∴×=1，解得a=1或a=﹣3． 故答案为：1或﹣3．例3、a ，b 是两个有理数，完成下面的填空： （1）如果a ﹣b=0，那么a 与b 的关系是 相同 （2）如果a+b=0，那么a 与b 的关系是 互为相反数 （3）如果a×b=1，那么a 与b 的关系是 互为倒数 （4）如果1ab= ，那么a 与b 的关系是 相等，均不为0 （5）已知a 和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，|m|=2，则式子+m a bcd m+- 的值为 1或﹣3 ． 【解析】分析：（1）（2）（3）根据相反数和倒数的定义求解即可；（4）两数的比值为1，则两数一定相等，又因为是分数，所以分母不等于0； （5）根据题意先求出a+b 、cd 以及m 的值，然后把它们的值分别代入式子即可． 解答：（1）相同，故答案为相同； （2）互为相反数，故答案为互为相反数； （3）互为倒数，故答案为互为倒数；（4）相等，均不为0，故答案为相等且均不等于0；（5）∵和b 互为相反数，c 和d 互为倒数，|m|=2，∴a+b=0，cd=1，m=±2，当m=2时，则式子+m a bcd m+-=0﹣1+2=1；当m=﹣2时，则式子+m a bcd m+-=0﹣1﹣2=﹣3；故答案为1或﹣3． 例4、a 是不为1的有理数，我们把称为a 的差倒数．如：2的差倒数是=﹣1，﹣1的差倒数是=．已知a 1=，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，则a 2011=______．【解析】根据定义求得a1，a 2，a 3，a 4…的值，观察规律，即可猜想结果． 解：a 1=﹣ a 2==；a 3==4；a 4==﹣，因而一下三个一次循环，故a 2011=﹣,故答案是：﹣考点三：与绝对值综合例1、ab ＜0，a ＞0，|a|＞|b|，则a+b （ ） A ．大于0B ．小于0C ．小于或等于0D ．无法确定【解析】分析：首先根据ab ＜0，可判断a 、b 为异号，再根据a ＞0，可得b ＜0，因为|a|＞|b|，也就是正数的绝对值大，根据有理数的加法法则：绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，可得a+b ＞0．解：∵ab ＜0，∴a 、b 为异号，∵a ＞0，∴b ＜0，∵|a|＞|b|，∴a+b ＞0，故选：A ．例2、若a ≠0，b ≠0，则代数式的取值共有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】本题可分4种情况分别讨论，解出此时的代数式的值，然后综合得到所求的值． 解：由分析知：可分4种情况： ①a＞0，b ＞0，此时ab ＞0 所以++=1+1+1=3；②a＞0，b ＜0，此时ab ＜0 所以++=1﹣1﹣1=﹣1；③a＜0，b ＜0，此时ab ＞0 所以++=﹣1﹣1+1=﹣1；④a＜0，b ＞0，此时ab ＜0 所以++=﹣1+1﹣1=﹣1；综合①②③④可知：代数式++的值为3或﹣1．故选A．∴A、a+b是正数，故本选项正确；B、a﹣b=a+（﹣b），是负数，故本选项错误；C、ab是负数，故本选项错误；D、ab是负数，故本选项错误．故选A．P(Practice-Oriented)——实战演练➢课堂狙击1、计算：【解析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可得到结果．解：原式=10+8×﹣2×5=10+2﹣10=2．2、四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，那么a+b+c+d的值为（）A.0B.4C.8D.不能确定【解析】将9写成四个互不相等的整数的积的形式，只能是9=-3×3×（-1）×1，从而确定a、b、c、d，求出它们的和．解：∵四个整数的积abcd=9，且a≠b≠c≠d，又∵-3×3×（-1）×1=9，∴a+b+c+d=-3+3+（-1）+1=0．故选A3、①如果a，b，c是有理数且abc≠0，计算代数式的值；②如果有理数a+b+c=0且abc≠0，计算代数式的值【解析】①对a、b、c中正数的个数进行讨论，即可求解；②数a+b+c=0且abc≠0时，a、b、c中至少有1个正数，有1个负数，利用①即可直接写出答案．解：①当a、b、c中没有负数时，都是正数，则原式=1+1+1+1=4；当a、b、c中只有负数时，不妨设a是负数，则原式=﹣1+1+1﹣1=0；实战演练当a 、b 、c 中有2个负数时，不妨设a 、b 是负数，则原式=﹣1﹣1+1+1=0； 当a 、b 、c 都是负数时，则原式=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4， 总是代数式的值是4或﹣4或0；②当有理数a+b+c=0且abc≠0时，a 、b 、c 中至少有1个正数，有1个负数． 则代数式的值是：04、已知：|x|=3，|y|=2，且xy ＜0，则x+y 的值为等于 ±1 ． 【解析】解：∵|x|=3，|y|=2，∴x=±3，y=±2，∵xy ＜0，∴xy 符号相反，①x=3，y=﹣2时，x+y=1；②x=﹣3，y=2时，x+y=﹣1．5、已知三个有理数m ，n ，p 满足m+n=0，n ＜m ，mnp ＜0，则mn+np 一定是（ ） A ．负数 B ．零C ．正数D ．非负数【解析】解：∵m+n=0，∴m ，n 一定互为相反数；又∵n ＜m ，mnp ＜0，∴n ＜0，p ＞0，m ＞0， ∴mn ＜0，np ＜0，∴mn+np 一定是负数．故选A ．6、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m|=3，求+m a bcd m+-的值． 【解析】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．7、3个有理数a 、b 、c 两两不等，则中有______个是负数．【解析】根据题意，a 、b 、c 两两不等，可设a ＞b ＞c ，易得a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，进而可得，的符号，进而可得答案．解：根据题意，a 、b 、c 两两不等， 可设a ＞b ＞c ，易得a ﹣b ＞0，b ﹣c ＞0，c ﹣a ＜0，则中有2个是负数，故答案为2．➢ 课后反击1、已知a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，|m|=3，求+m a bcd m+-的值． 【解析】解：∵a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，∴a+b=0，cd=1， ∵|m|=3，∴m=±3，∴当m=3时，原式=0﹣1+3=2； 当m=﹣3时，原式=0﹣1﹣3=﹣4．故答案为：2或﹣4．2、已知，如图，则下列式子正确的是（ ）A ． ab ＞0B ． |a|＞|b|C ． a+b ＜0D ． a ﹣b ＜0【解析】解：根据数轴可知b ＜﹣1＜0＜a ＜1．∴ab ＜0，|a|＜|b|，a+b ＜0，a ﹣b ＞0．故正确的只有C ．3、已知a 、b 、c 、d 是互不相等的整数，且abcd=6，则a+b+c+d 的值等于（ ） A ．﹣1或1B ．﹣1或﹣5C ．﹣3或1D ．不能求出【解析】解：由题意得：这四个数小于等于6，且互不相等． 再由乘积为6可得，四个数中必有2和﹣3，或﹣2，3．∴四个数为：1，﹣1，2，﹣3，或1，﹣1，﹣2，3则和为﹣1或1．故选A ．4、计算 （1）（﹣）×（﹣）×0×（2）（3）（﹣﹣）×（﹣24）（4）﹣32×【解析】解：（1）原式=0；（2）原式=（﹣）×（﹣）×（﹣4）=﹣（××4）=﹣； （3）原式=×（﹣24）﹣×（﹣24）﹣×（﹣24）=﹣20+18+8=6； （4）原式==﹣×（32﹣11﹣21）=0． 5、用简便方法计算： （1）（2）1191 231132126⎛⎫⎛⎫-+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【解析】解：（1）﹣1.53×0.75+1.53×14+25×1.53=1.53×（﹣0.75+0.5+0.8），=1.53×（1.3﹣0.75）=1.53×0.55=0.8415；（2）1191231132126⎛⎫⎛⎫-+÷-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=7721632127⎛⎫⎛⎫-+⨯-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，=76762163727127⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-+⨯-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=﹣2+332-=3﹣132=﹣．6、已知a、b互为相反数，m、n互为倒数，x绝对值为2，求﹣2mn+a bm n+-﹣x的值．【解析】解：∵a、b互为相反数，∴a+b=0；∵m、n互为倒数，∴mn=1；∵x的绝对值为2，∴x=±2．①当x=2时，原式=﹣2+0﹣2=﹣4；②当x=﹣2时，原式=﹣2+0+2=0．7、如图是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）（1）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？（2）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？（3）当小明输入3；；﹣201这三个数时，这三次输出的结果分别是：______．（4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的是什么数？【解析】（1）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；（2）由已知输出的各数可找出规律；（3）先判断出3、、﹣201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；（4）设输入的数为x，分2＜x＜7、0＜x＜2、当x＜0及x＞7四种情况进行讨论，按输入程序进行解答．解：（1）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0．∴应输入0或5n（n为自然数）；（2）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数；（3）∵3＞2，∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0，∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是，∴当输入3时，输出；当输入时，＜2，∴其相反数是﹣，其绝对值是，∴当输入时，输出；当输入﹣201时，﹣201＜2，∴其相反数是201＞0，其倒数是，∴当输入﹣201时，输出；故答案为：，，；（4）由输出的数为2，设输入的数为x，①当2＜x＜7时，（x﹣5）＜0，其相反数是5﹣x＞0，其倒数是=2，解得x=；②当0＜x＜2时，其相反数是﹣x＜0，其绝对值是x=2，故x=2；③当x＜0时，其相反数为﹣x＞0，其倒数是﹣=2，x=﹣．④当x＞7时，按①的程序可知x=+…2n．总上所述，x的可能值为：，2，﹣…，即x=+…2n．1、【2012深圳】﹣3的倒数是（）A．3B．﹣3 C. 13D．直击中考【解析】乘积为1的两个数互为倒数，1÷（-3）=S (Summary-Embedded)——归纳总结1、运算过程中应先判断积的符号，几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。
七年级数学培优讲义 竞赛辅导 第3讲 有理数运算 教案
初一数学培优讲义 第3讲 有理数运算有理数及其计算是整个代数学的基础。
有理数的计算不同于算术数的计算——因为有了负数的参与，每一步都需要确定符号。
很多有理数的运算需要借助于运算律，以及一些运算公式。
常用的方法有：提取公因数、裂项相消、错位相减，利用公式，等等。
随着学习的深入，我们在后面将有更多的技巧，比如说因式分解。
例1、计算：2005×20042004+2006×20072007-2004×20052005-2007×20062006例2、(1)1121231259()()...(...)233444606060++++++++++(2)1111...12123123 (100)+++++++++++(3) 10248...2++++例3、将2006减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…,以此类推,直到最后减去余下的12006，最后的得数是多少？例4*、将2，4，8，16，32，64，128，256，512这9个数填写在右边的九宫格中，使得每行、每列、2 条对角线上的数字之积都相等。
练习： 1、计算：(1) 2000×20022002-2002×20001999（2）37.9×0.0038+1.21×0.379+6.21×0.159(3)101111 (242)++++ （4）1111 (24466820042006)++++⨯⨯⨯⨯2、若200420032002,,200320022001a b c =-=-=-，则,,a b c 的大小关系是___________.3、已知数轴上的3点A 、B 、C 所对应的数a 、b 、c 满足a<b<c ，abc<0和a+b+c=0，则线段AB 与BC 的大小关系是( )A.AB>BCB.AB=BCC.AB<BCD.不确定。
有理数培优讲义(供参考)
课 题 有理数教学目标 1、理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小； 借助 数 轴 理 解 相 反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值； 2、理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；3、能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数．重点、难点重点：加减乘除法运算法则。
乘方法则难点：1、会算。
2、算对。
3、快速准确。
教学内容考点1：和绝对值有关的问题例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ）A ．-3aB ． 2c －aC ．2a －2bD ．b练习表示数a 、b 、c 、d 的点在数轴上的位置，如图所示：化简│b-c │-│a-2c │-•│d+b │+│d │．例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ）A ．是正数B ．是负数C ．是零D ．不能确定符号练习计算|12006-12005|+|12007-12006|-|12007-12005|。
例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 练习如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。
例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．无穷多个练习绝对值不小于3但小于5的所有整数的乘积为________；例5．（非负性) 若x=-2π，化简│x+1│-│x+2│+│x+3│-│x+4│+…-│x+10│得（ ） （A ）2x+7 （B ）2x-7 （C ）-2x-7 （D ）-2x+799101+⨯)(328y x +++⨯⨯4。
北师大版七年级上册数学《有理数》有理数及其运算培优说课教学复习课件
3.若该种食品每袋的合格标准为4505克，求该食品的抽样检测的合格率.
答案：85%
议一议
选定一个高度作为标准，用正负数表示
本班每位同学的身高与选定的身高标准的差
异． 你是怎样表示的？ 与同伴进行交流．
课堂小练
1．如图，检测4个足球，其中超过标准质
量的克数记为正数，不足标准质量的克数
记为负数。从轻重的角度看，最接近标准
作 - 200 。
３、如果上升10米记作＋10米，那么下降12米，记作 - 12 。
４、如果规定向西走30米记作＋30米，那么- 40米，表示
向东走了40米
______________。
5、如果零上5记作+ 5,那么零下3 记作 - 3 。
6、某仓库运进面粉7.5吨记作+ 7.5,那么运出3.8吨,记作 - 3.8 。
四
五
六
日
送餐量(单位:
单)
-3
+4
-5
+14
-8
+7
+12
1.求该外卖小哥这一周平均每天送餐多少单?
2.外卖小哥每天的工资由底薪 30 元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下:每天送
餐量不超过40单的部分，每单补贴4元;超过40单但不超过50单的部分，每单补贴6元;
超过50单的部分，每单补贴8元求该外卖小哥这一周工资收入多少元?
自然数
4.2，5.2，0.02，···
小数
1 1
2 ，3 ，50%，3.3%
分数和百分数
﹣3，﹣155，﹣0.4，
﹣0.02，···
负数
数的认识
类型
0，1，2，3，···
自然数
2024年北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算培优提升专题1：认识有理数
·数学
【解决问题】(1)哪些同学做的乒乓球符合要求？ (2)这6个乒乓球中，哪名同学做的质量最好？哪名同学做的质量最差？ 【实践分析】(3)请你对6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名.
解：(1)张兵和蔡伟做的乒乓球符合要求. (2)蔡伟做的质量最好，李明做的质量最差. (3)由|－0.011|<|－0.017|<|－0.021|<|＋0.022|<|＋0.023|<|＋0.031|， 得到6名同学做的乒乓球质量按照最好到最差排名为：蔡伟、张兵、 余佳、赵平、王芳、李明.
7.(2023汕头期末)已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数 轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距 离为3.5.
(1)a＝ 2 ，b＝ －3.5 ； (2)直接写出大于b的所有负整数； (3)在数轴上标出表示－12，0，－2，b的点，并用“<”连接 起来.
解：(2)－3，－2，－1. (3)数轴上表示如图所示，－3.5<－2<－12<0.
·ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ学
6.(创新题)如图，已知A是整数集合，B是正数集合，C是分 数集合，D是A和B的重叠部分，E是B和C的重叠部分. (1)D是 正整数 集合，E是 正分数 集合；
(2)给出下列各数：10，－0.72，－98，25， 83 ，63%，－3.14， 请将它们填入图中相应的集合中去. 如图：
·数学
·数学
5.(跨学科融合)第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行. 如图，将5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示， 那么开幕式的巴黎时间7月26日19时30分对应的是汉城时间 7月27日3时30分 ，北京时间 7月27日2时30分 ，伦敦时 间 7月26日18时30分 ，纽约时间 7月26日13时30分 .
七年级上册数学培优讲义(有理数的运算)第二讲
有理数的运算模块一.有理数加法运算有理数加法法则：①同号两数相加.取相同的符号.并把绝对值相加.②绝对值不相等的异号两数相加.取绝对值较大的加数符号.并用较大的绝对值减去较小的绝对值.③一个数同0相加.仍得这个数.有理数加法的运算步骤：法则是运算的依据.根据有理数加法的运算法则.可以得到加法的运算步骤：①确定和的符号；②求和的绝对值.即确定是两个加数的绝对值的和或差.有理数加法的运算律：①两个加数相加.交换加数的位置.和不变.a b b a+=+(加法交换律)②三个数相加.先把前两个数相加.或者先把后两个数相加.和不变.++=++(加法结合律)()()a b c a b c有理数加法的运算技巧：①分数与小数均有时.应先化为统一形式.②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.③多个加数相加时.若有互为相反数的两个数.可先结合相加得零.④若有可以凑整的数.即相加得整数时.可先结合相加.⑤若有同分母的分数或易通分的分数.应先结合在一起.⑥符号相同的数可以先结合在一起.【经典例题1】同号两数相加某人从原点0出发.如果第一次走了5米.第二次接着又走了3米.求两次行走后某人在什么地方？为区别向东还是向西走.这里规定向东走为正.向西走为负.这两数相加有以下三种情况：(1)某人向东走5米.再向东走3米.两次一共走了多少米？(2)某人向西走5米.再向西走3米.两次一共向东走了多少米？总结：__________________________________________________.异号两数相加（3）某人向东走5米.再向西走5米.两次一共向东走了多少米？(4)某人向东走5米.再向西走3米.两次一共向东走了多少米？(5)某人向东走3米.再向西走5米.两次一共向东走了多少米？总结：_______________________________________________________.【题目难度】★【解题思路】利用实际情境来推导加法法则.强调和的符号及和与绝对值的关系.进而总结出加法法则【经典例题2】计算下列各题：(1) (一11)+(一9)； (2) (一3.5)+(+7)；(3)(一1.08)+0； (4)(23+)+(23-)(5)[(-22)+(-27)]+(+27)； (6)(-22)+[(-27)+(+27)]．【题目难度】★【解题思路】利用加法法则计算.【题目答案】()()()()209119111-=+-=-+- ()()()()5.35.3775.32=-+=++- ()()()08.1008.1008.13-=--=+-()0323232324=⎪⎭⎫⎝⎛-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ()()()[]()()()22274927492722272727225-=--=+-=++-=++-+- ()()()()[]()22222727226-=+-=++-+-【巩固练习】计算：（1）()()()()()-+++-+-++36475 ()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()3+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪5751432527225914【题目难度】★★【解题思路】利用加法交换律把同分母的分数相加.如果有分数的先化为分数再计算. 【题目答案】（1）()()()()()-+++-+-++36475 ()2()()-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++++⎛⎝ ⎫⎭⎪234025*********..()()31114111456743-=--=+-=++++-=）（ 8138138133813041432813818141432=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+-=++⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()()5151112522531491451252253149145727514925272253145753-=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+【经典例题 3】小明家冰箱冷冻室的温度为-5℃.调高4℃后的温度为（ ） A.4℃ B.9℃ C.-1℃ D.-9℃ 【题目难度】★【解题思路】原来的温度为-5℃.调高4℃.实际就是转换成有理数的加法运算． 【题目答案】解：-5+4=-1 故选C ．点评：本题主要考查从实际问题抽象出有理数的加法运算．【经典例题 4】绝对值不大于10的所有整数的和等于（ ）A.-10 B.0 C.10 D.20 【题目难度】★★【解题思路】根据绝对值的意义.结合数轴找到所有符合条件的数.再进一步根据数的运算法则进行计算．互为相反数的两个数的和为0．【题目答案】解：绝对值不大于10的所有整数有±10.±9.±8.±7.…±1.0．共有21个． 再根据互为相反数的两个数的和为0.得它们的和是0． 故选B ．点评：此类题中.符合条件的数一般是成对相反数出现的.根据互为相反数的两个数的和是0.进行计算．【经典例题 5】已知a.b.c的位置如图.化简：|a-b|+|b+c|+|c-a|= ______________【题目难度】★★★【解题思路】先根据数轴上的大小关系确定绝对值符号内代数式的正负情况a-b＜0.b+c＜0.c-a＞0.再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算即可求解．注意：数轴上的点右边的总比左边的大．【题目答案】解：由数轴可知a＜c＜0＜b.所以a-b＜0.b+c＜0.c-a＞0.则|a-b|+|b+c|+|c-a|=b-a-b-c+c-a=-2a．点评：此题综合考查了数轴.绝对值的有关内容.用几何方法借助数轴来求解.非常直观.且不容易遗漏.体现了数形结合的优点．要注意先确定绝对值符号内代数式的正负情况.再根据绝对值的性质去掉绝对值符号进行有理数运算．模块二.有理数减法运算有理数减法法则：减去一个数.等于加这个数的相反数.()a b a b-=+-有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号（改变运算符号）②把减数变为它的相反数（改变性质符号） ③把减法转化为加法.按照加法运算的步骤进行运算. 有理数加减混合运算的步骤：①把算式中的减法转化为加法； ②省略加号与括号；③利用运算律及技巧简便计算.求出结果.注意：根据有理数减法法则.减去一个数等于加上它的相反数.因此加减混合运算可以依据上述法则转变为只有加法的运算.即为求几个正数.负数和0的和.这个和称为代数和.为了书写简便.可以把加号与每个加数外的括号均省略.写成省略加号和的形式.【经典例题 6】 计算 ()()()531+-- ()702- ()()()953--+ ()()()1264--- 【题目难度】★ 【解题思路】()()()()()853531-=-+-=+-- ()()770702-=-+=- ()()()()()1495953=+++=--+ ()()()()()()66121261264=-+=++-=---【巩固】 ⑴21(4)(3)33-+-⑵21(6)(9)|3|7.49.2(4)55-+-+-+++-⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+【题目难度】★()()()()0101432.92.94.74.6=-++=-+++-++-=8-=⑶17(14)(5)( 1.25)88-+++-⑷111(8.5)3(6)11332-++-+ 2194114184118758913-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛-=0333163132111218=-=⎪⎭⎫⎝⎛-+++⎪⎭⎫⎝⎛-=【经典例题 7】对于任何有理数a.下列各式中一定为负数的是（）A.-（-3+a）B.-aC.-|a+1|D.-|a|-1【题目难度】★★【解题思路】负数一定小于0.可将各项化简.然后再进行判断．【题目答案】解：A.-（-3+a）=3-a.a≤3时.原式不是负数.故A错误；B.-a.当a≤0时.原式不是负数.故B错误；C.∵-|a+1|≤0.∴当a≠-1时.原式才符合负数的要求.故C错误；D.∵-|a|≤0.∴-|a|-1≤-1＜0.所以原式一定是负数.故D正确．故选D．点评：掌握负数的定义以及绝对值的性质是解答此题的关键．【经典例题 8】a.b在数轴上的位置如图所示.则a.b.a+b.a-b中.负数的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【题目难度】★★【解题思路】在数轴上右边的数总是大于左边的数.即可确定a.b的符号.再根据有理数的加法与减法法则确定a+b.a-b的符号.从而确定负数的个数．【题目答案】解：根据数轴可得：a＜0.b＞0.且|a|＞|b|.∴a+b＜0.a-b＜0．则在这四个数中的负数有：a.a+b.a-b.共3个．故选C．点评：本题主要考查了数轴上的点的特点.右边的数总是大于左边的数.以及有理数的加法与减法法则．【经典例题 9】两个数的差是负数.则这两个数一定是（）A.被减数是正数.减数是负数B.被减数是负数.减数是正数C.被减数是负数.减数也是负数D.被减数比减数小【题目难度】★★【解题思路】两个数的差是负数.说明是较小的数减较大的数的结果.应该是被减数比减数小．【题目答案】解：如果两个数的差是负数.则这两个数一定是被减数比减数小．故选D．点评：考查有理数的运算方法．有理数减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数．【经典例题 10】如果a.b均为有理数.且b＜0.则a.a-b.a+b的大小关系是（）A.a＜a+b＜a-bB.a＜a-b＜a+bC.a+b＜a＜a-bD.a-b＜a+b＜a【题目难度】★★【解题思路】首先根据b＜0来判定-b＞0.a-b＞a.a+b＜a．据此.很容易比较a.a-b.a+b的大小．【题目答案】解：∵b＜0∴-b＞0∴a-b＞a＞a+b．故选C．点评：实数运算性质与大小顺序关系它是比较两实数大小的依据.也是求差法的依据：（1）a＞b时.则a-b＞0；（2）a=b时.则a-b=0；（3）a＜b时.则a-b＜0．模块三.有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘.同号得正.异号得负.并把绝对值相乘.任何数同0相乘.都得0.有理数乘法运算律：①两个数相乘.交换因数的位置.积相等. ab ba=(乘法交换律)②三个数相乘.先把前两个数相乘.或者先把后两个数相乘.积相等. ()=(乘法结合律)abc a bc③一个数同两个数的和相乘.等于把这个数分别同这两个数相乘.再把积相加.+=+(乘法分配律)a b c ab ac()有理数乘法法则的推广：①几个不等于0的数相乘.积的符号由负因数的个数决定.当负因数的个数是偶数时.积为正数；负因数的个数是奇数时.积为负数.②几个数相乘.如果有一个因数为0.则积为0.③在进行乘法运算时.若有带分数.应先化为假分数.便于约分；若有小数及分数.一般先将小数化为分数.或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用.也可简化计算.在进行有理数运算时.先确定符号.再计算绝对值.有括号的先算括号里的数.【经典例题 11】下面计算正确的是（）A.-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80B.12×（-5）=-50C.（-9）×5×（-4）×0=9×5×4=180D.（-36）×（-1）=-36【题目难度】★【解题思路】①两数相乘.同号为正.异号为负.并把绝对值相乘；②任何数同0相乘.都得0．【题目答案】解：A.-5×（-4）×（-2）×（-2）=5×4×2×2=80.故本选项正确；B.12×（-5）=-60.故本项错误；C.（-9）×5×（-4）×0=0.故本项错误；D.（-36）×（-1）=36.故本项错误； 故选A ．点评：（1）几个不等于零的数相乘.积的符号由负因数的个数决定：①当负因数有奇数个数.积为负；②当负因数的个数为偶数个时.积为正；（2）几个数相乘.有一个因数为0时.积为0．【巩固练习】（- ）× =________ （-）×（-）=___________分析：根据乘法算式的特点.先将符号放在一边计算两个正数的乘法.最后再加上符号.计算出结果．符号规则：--=+.++=+.+-=-.-+=-． 【题目难度】★【解题思路】解：（- ）× =- × =- ；（-）×（-）=×= ．故答案为：- . ．点评：在进行有理数的乘法运算时.要灵活运用运算律．【巩固练习】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭【题目难度】★【解题思路】4113(3)11559211⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 11171113()71113⨯⨯⨯++；9113211910593-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⨯⨯-= 3117791143117137131113113117111131177113117=++=⨯+⨯+⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111112211142612⎛⎫-⨯-+- ⎪⎝⎭ ()1691211691245816912-=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=++-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= ()()()()1013141827121312671223124912-=+-+-=⨯--⨯-+⨯--⨯-=【经典例题 12】若两个有理数的和与积都是正数.则这两个有理数（ ） A.都是负数 B.一正一负且正数的绝对值大 C.都是正数 D.无法确定 【题目难度】★★【解题思路】根据有理数的乘法法则.可知负因数为偶数个．由有理数的加法法则知.两个数相加.其中的负数是0个或1个.且负数的绝对值小于正数的绝对值．【题目答案】解：因为两个数的积是正数.所以负因数为偶数个.是0个或2个；又∵两个有理数的和是正数.所以负数为0个或1个； 所以.这两个有理数的负数是0个.即两个数都是正数． 故选C ．点评：本题主要考查了有理数的乘法与加法．几个不等于零的数相乘.积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数.积为负；当负因数的个数为偶数个时.积为正．【经典例题 13】 a .b .c 为非零有理数.它们的积必为正数的是（ ）A ．0a >.b .c 同号B ．0b >.a .c 异号C ．0c >.a .b 异号D ．a .b .c 同号 【题目难度】★★ 【题目答案】A【经典例题 14】 已知|x|=3.|y|=2.且x•y＜0.则x+y 的值等于（ ） A.5或-5 B.1或-1 C.5或1 D.-5或-1 【题目难度】★★【解题思路】先根据绝对值的性质.求出x.y 的值.然后根据x•y ＜0.进一步确定x.y 的值.再代值求解即可．【题目答案】解：∵|x|=3.|y|=2.x•y ＜0.∴x=3时.y=-2.则x+y=3-2=1； x=-3时.y=2.则x+y=-3+2=-1． 故选B ．点评：此题主要考查了绝对值的性质.能够根据已知条件正确的判断出x.y 的值是解答此题的关键．【经典例题 15】有理数a.b.c 在数轴上对应的点的位置如图所示.给出下面四个命题：（1）abc ＜0 （2）|a-b|+|b-c|=|a-c| （3）（a-b ）（b-c ）（c-a ）＞0 （4）|a|＜1-bc 其中正确的命题有（ ）A.4个B.3个C.2个D.1个 【题目难度】★★★【解题思路】对于命题①②③.先确定a.b.c 的正负情况.以及a-b.b-c.a-c.c-a 的正负情况就可以判断；而在命题④中要分别判断|a|与1和1-bc 与1的大小情况．【题目答案】解：由图可知a＜-1＜0.0＜b＜c＜1.（1）命题abc＜0正确；（2）在命题中a-b＜0.b-c＜0.所以|a-b|+|b-c|=-（a-b）+[-（b-c）]=-a+b-b+c=-a+c．又因为a-c＜0.所以|a-c|=-（a-c）=-a+c．左边=右边.故正确；（3）在该命题中.因为a-b＜0.b-c＜0.c-a＞0.所以（a-b）（b-c）（c-a）＞0.故正确；（4）在命题中.|a|＞1.0＜bc＜1.1-bc＜1.所以|a|＞1-bc.故该命题不正确．所以正确的有命题①②③这三个.故选B．点评：本题主要考查了数轴.去绝对值以及有理数的乘法等知识点；解答本题的关键是掌握绝对值的意义：|a|= ．模块四.有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数.等于乘这个数的倒数.1a b ab÷=⋅.(0b≠)两数相除.同号得正.异号得负.并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数.都得0.有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号.然后再求出商的绝对值.【经典例题 16】下列关于0的说法中.正确的个数是（）①0既不是正数.也不是负数；②0既是整数也是有理数；③0没有倒数；④0没有绝对值．A.1B.2C.3D.4【题目难度】★【解题思路】根据正负数.有理数.倒数.绝对值的定义作答．【题目答案】A.由正数.负数的定义可知0既不是正数.也不是负数.正确；B.由有理数的定义可知0既是整数也是有理数.正确；C.由倒数的定义可知0没有倒数.正确；D.由绝对值的定义可知0的绝对值还是0.错误．所以有3个正确．故选C．点评：此题考查了正负数.有理数.倒数.绝对值的定义.学生要做好这类题必须对其定义理解透彻．【经典例题 17】-8的倒数的绝对值是（）A.8 B. C.-8 D.【题目难度】★【解题思路】根据倒数的定义.两数的乘积为1.这两个数互为倒数.先求出-8的倒数.然后根据负数的绝对值等于它的相反数即可求出所求的值．【题目答案】∵-8的倒数是- .∴|- |= .则-8的倒数的绝对值是．故选B点评：此题考查了倒数的求法及绝对值的代数意义.其中求倒数的方法就是用“1”除以这个数得到商即为这个数的倒数（0除外）.绝对值的代数意义是：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值还是0．【经典例题 18】下列运算有错误的是（ ） A. ÷（-3）=3×（-3） B. C.8-（-2）=8+2 D.2-7=（+2）+（-7）【题目难度】★【解题思路】根据有理数的运算法则判断各选项的计算过程．减去一个数等于加上这个数的相反数；除以一个数等于乘以这个数的倒数．【题目答案】只有A 中的计算是错误的.理由： ÷（-3）= ×（- ）=- .3×（-3）=-9． 故选A ．点评：本题主要考查了有理数的减法与除法法则．注意.乘法是除法的逆运算.加法是减法的逆运算．【巩固练习】计算：111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；【题目难度】★【题目答案】111321335⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()112103523⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7125673310=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 615131010125-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=231(4)()324+÷⨯÷-； 71()2(3)93-÷⨯+；()()36423234-=-⨯⨯⨯+= 91317397-=⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-=【经典例题 19】两个有理数的商为正.则（ ）A.和为正B.和为负C.至少一个为正D.积为正数 【题目难度】★【解题思路】本题可根据有理数的除法规则进行解题.两个有理数的商为正.说明这两个有理数同正同负.从而得出正确的结果．【题目答案】∵两个有理数的商为正.∴这两个有理数有两种情况：①都为正；②都为负；所以C错误；当它们都为负时.它们的和为负.所以A错误；当它们都为正时.它们的和为正.所以B错误；但是不管它们同正还是同负.它们的积都为正.所以D正确．故选D．点评：主要考查了有理数的除法.商为正.则两个有理数的符号相同．【经典例题 20】用“＞”或“＜”填空⑴如果abc>.0ac<那么b _____ 0 ；⑵如果ab>.bc<那么ac_______0 .【题目难度】★★【解题思路】根据乘除法确定符合口诀“同号得正.异号得负”【题目答案】< <模块五.有理数的乘方求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.乘方的结果叫做幂.在na 中.a 叫做底数.n 叫做指数.读作a 的n 次幂.注意： ()()1n 21n 2n 2n2a a a a ++-=-=-【经典例题 21】计算：（1）3)4(- （2）4)2(-【题目难度】★【解题思路】（1）64)4()4()4()4(3-=-⨯-⨯-=- （2）16)2()2()2()2()2(4=-⨯-⨯-⨯-=-【经典例题 22】 计算：)2()3(]2)4[()3()2(223-÷--+-⨯-+- 【题目难度】★【解题思路】原式)2(9)216()3(8-÷-+⨯-+-= 5.57)5.4(18)3(8-=--⨯-+-=【经典例题 23】 观察下面三行数：2-.4.8-.16.32-.64…… ①0.6.6-.18.30-.66…… ②1-.2.4-.8.16-.32…… ③（1）第①行按什么规律排列？（2）第②③行与第①行分别有什么关系？ （3）取每行第10个数求这几个数的和？ 【题目难度】★★【解题思路】（1）第①行数是2-.2)2(-.3)2(-.4)2(-……（2）对比①②两行数第②行数是第①行数加2.对比①③两行数第③行数是第一行数的0.5倍.（3）每行数中.第10个数的和是5.0)2(]2)2[()2(101010⨯-++-+- 256251210261024=++=模块六.有理数的混合运算要正确掌握运算顺序.即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级.后二级.再一级；有()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415)2112531514503-=--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯÷+= ()()()677617651926111-=-⨯=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=()()()22101423212125.0-⨯-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-()33374361164194116141=+-=++⨯-=⨯+--÷-=(－32 )×(－1115 )－32 ×(－1315 )＋32 ×(－1415)模块七.有理数的大小比较1575125710131011=-=-+=【经典例题 24】下列各数中.比-1小的数是（ ）A.0B.1C.-2D.2 【题目难度】★【解题思路】根据有理数比较大小的法则进行比较即可． 【题目答案】∵-1是负数. ∴-1＜0.故A 错误； ∵2＞1＞0.∴2＞1＞0＞-1.故B.D 错误； ∵|-2|＞|-1|.∴-2＜-1.故C 正确． 故选C ．点评：本题考查的是有理数大小比较的法则： ①正数都大于0； ②负数都小于0； ③正数大于一切负数；④两个负数.绝对值大的其值反而小．【经典例题 25】比较41,31,21--的大小.结果正确的是（ ）A. B. C.D.【题目难度】★【解题思路】根据有理数大小比较的方法即可求解．【题目答案】∵- ＜0.- ＜0. ＞0.∴最大；又∵＞.∴- ＜- ；∴．故选A．点评：本题考查有理数比较大小的方法：①正数都大于0.负数都小于0.正数大于一切负数；②两个负数.绝对值大的反而小．【经典例题 26】给出两个结论：（1）|a-b|=|b-a|.（2）．其中（）A.只有（1）正确B.只有（2）正确C.（1）和（2）都正确D.（1）和（2）都不正确【题目难度】★【解题思路】（1）根据绝对值的性质解得；（2）先通分.再根据两个负数比较大小的原则进行比较．【题目答案】（1）正确.∵a-b与b-a互为相反数.∴|a-b|=|b-a|；（2）错误.∵- =- ＜0.- =- ＜0.|- |＞|- |.∴- ＜- .即- ＜- ．故选A．点评：本题考查的是绝对值的性质及有理数的大小比较.熟知以下知识是解答此题的关键：（1）互为相反数的两个数的绝对值相等；（2）两个负数相比较.绝对值大的反而小．【经典例题 27】a.b.c在数轴上的位置如图．则在- .-a.c-b.c+a中.最大的一个是（）A.-aB.c-bC.c+aD.-【题目难度】★★【解题思路】先根据数轴上各点的位置确定出各数的取值范围.再根据不等式的基本性质及有理数比较大小的法则即可求解．【题目答案】由图可见.-1＜a＜0.0＜b＜c＜1∴-1＜c+a＜1.又∵c-b＜1-0=1∵-1＜a＜0.∴0＜-a＜1.∴- ＞1.∴- .-a.c-b.c+a中最大的一个是- ．故选D．点评：本题考查的是有理数的大小比较及数轴的特点.不等式的基本性质.比较简单．【28】若b＜0.则a+b.a.a-b的大小关系为（）A.a+b＞a＞a-bB.a-b＞a＞a+bC.a＞a-b＞a+bD.a-b＞a+b＞a【题目难度】★★【解题思路】由已知.b＜0.可得-b＞0.又a+b=a-（-b）.a-b=a+（-b）.由此即可得出答案．【题目答案】∵b＜0.∴-b＞0.a-（-b）＜a.a＜a+（-b）.又a+b=a-（-b）.a-b=a+（-b）.∴a+b＜a.a＜a-b.即a-b＞a＞a+b．故选：B．点评：此题考查了有理数大小的比较.解题的关键是一个正数加上一个正数大于本身且一个正数本身小于加上一个正数．课堂检测练习1. 式子-2-（-1）+3-（+2）省略括号后的形式是（）A.2+1-3+2B.-2+1+3-2C.2-1+3-2D.2-1-3-2【题目难度】★【解题思路】①括号前面有“+”号.把括号和它前面的“+”号去掉.括号里各项的符号不改变；②括号前面是“-”号.把括号和它前面的“-”号去掉.括号里各项的符号都要改变为相反的符号．【题目答案】原式=-2+1+3-2．故选B．点评：本题主要考查了有理数的加减混合运算．要注意.括号前面是“-”时.去掉括号后.括号内的各项均要改变符号.不能只改变括号内第一项或前几项的符号.而忘记改变其余的符号；若括号前是数字因数时.应利用乘法分配律先将数与括号内的各项分别相乘再去括.以免发生错误；遇到多层括号一般由里到外.逐层去括号.也可由外到里．数“-”的个数．练习2. 计算：1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100= 1684_______【题目难度】★★【解题思路】观察可得这组数是从1到100的数的绝对值的数相加.其中.3的倍数都为负数．那么这组数的和等于5050加上2×（-3-6-9…-99）．【题目答案】1+2-3+4+5-6+7+8-9+…+97+98-99+100=5050-3×（1+2+3…+33）×2=5050- =1684．点评：解决本题的关键是得到相应规律.并利用已知结论求解．练习3.请你列出一个至少有加数是正整数且和为-5的算式: _________【题目难度】★【解题思路】本题属于比较开放的试题.根据加减运算的知识即可得出答案．【题目答案】由题意得：有加数是正整数.且和为-5的算式可以为：3+（-8）=-5．故填：3+（-8）=-5．点评：本题考查有理数的混合运算.属于开放题.难度不大.同学们要注意尽量列举比较简单的式子．练习4. 计算4 之值为何（）A.-1.1B.-1.8C.-3.2D.-3.9【题目难度】★【解题思路】遇到乘除加减混合运算.应先算乘除再算加减．所以这道题应先把-1.6和2.5变成分数.然后把除法变成乘法计算后.再算减法.算减法时根据减法法则减去一个数等于加上这个数的相反数把其变成加法.最后利用同号两数相加的加法法则计算即可得出值．【题目答案】原式=- - ×.=-2.5-0.7.=（-2.5）+（-0.7）.=-3.2．故选C．点评：此题考查有理数的混合运算.是一道基础题．做题时注意运算顺序．练习5. 下列判断：①若ab=0.则a=0或b=0；②若a2=b2.则a=b；③若ac2=bc2.则a=b；④若|a|＞|b|.则（a+b）•（a-b）是正数．其中正确的有（）A.①④B.①②③C.①D.②③【题目难度】★★【解题思路】①两数之积为0.说明至少有一个数为0；②两数的平方相等.说明两数相等.或为相反数；③若c=0.则a.b可为任意数；④若|a|＞|b|.（a+b）与（a-b）同号．【题目答案】①若ab=0.则a=0或b=0.故正确；②若a2=b2.则|a|=|b|.故原判断错误；③若ac2=bc2.当c≠0时a=b.故原判断错误；④若|a|＞|b|.则（a+b）•（a-b）是正数.故正确．故选A．点评：主要考查了等式的基本性质的运用.要求掌握平方和绝对值的定义.并会熟练运用.当判断一个式子是否正确.最好的方法就是举出反例.能举出反例的不正确.不能举出反例的则正确．练习6. 对于两个非零有理数a.b定义运算*如下：a*b= .则（-3）*（- ）=（）A.-3 B. C.3 D.-【题目难度】★★★【解题思路】根据题中给出的新定义运算法则计算．【题目答案】：由题意得.（-3）*（- ）= = ．故选B．点评：本题为信息题.要严格按照所给的方法列式运算才能算对．课后练习练习1. 下列计算正确的是（）A. B.-32-（-2）3=1 C.6÷3× =6 D. -（-1）2005=3 【题目难度】★【解题思路】按照有理数混合运算的顺序.先算乘方.再算乘除.最后算加减；如果有括号.就先算括号里面的．计算过程中注意正负符号的变化．【题目答案】A. - ×3= - =-1.错误；B.-32-（-2）3=-9+8=-1.错误；C.6÷3×=2×= .错误；D. -（-1）2005= +1=3 .正确．故本题选D．点评：本题考查的是有理数的运算能力．注意：（1）要正确掌握运算顺序.即乘方运算（和以后学习的开方运算）叫做三级运算；乘法和除法叫做二级运算；加法和减法叫做一级运算．在混合运算中要特别注意运算顺序：先三级.后二级.再一级；有括号的先算括号里面的；同级运算按从左到右的顺序．练习 2. 下列算式中：（1）0-（-3）=-3；（2）（-2）×|-3|=-6；（3）5÷ ×5=5；（4）23=6.正确的个数有（ ）A.4个 B.3个 C.2个 D.1个【题目难度】★【解题思路】根据有理数的运算法则分别计算各式.再与结果比较．【题目答案】（1）0-（-3）=0+3=3.错误；（2）（-2）×|-3|=（-2）×3=-6.正确；（3）5÷ ×5=25×5=125.错误；（4）23=2×2×2=8.错误．∴只有（2）正确．故选D ．点评：本题考查了绝对值的意义.有理数的减法.乘法.乘方及乘除混合运算．牢记运算法则是解题的关键．注意：同级运算应按从左往右的顺序进行．练习3. 已知|x|=0.19.|y|=0.99.且0 yx .则x-y 的值为（ ） A.1.18或-1.18 B.0.8或-1.18 C.0.8或-0.8 D.1.18或-0.8【题目难度】★★★【解题思路】|x|=0.19.则x=±0.19；|y|=0.99.则y=±0.99．由于 ＜0.所以x.y 异号.分两种情况求代数式的值．【题目答案】由题意得.x=±0.19.y=±0.99.又0<yx .∴x.y 异号. ①当x=0.19.y=-0.99时.x-y=0.19+0.99=1.18；②当x=-0.19.y=0.99时.x-y=-0.19-0.99=-1.18．故选A ．点评：注意由0<yx .得出x.y 异号后要分类讨论计算．练习4.（1）计算：-2-（-3）+（-8）+42= ______；（2）计算：（）×（-42）= ________.【题目难度】★【解题思路】（1）先乘方运算.再进行加减计算；（2）先根据乘法分配律展开.再进行运算更为简便．【题目答案】（1）-2-（-3）+（-8）+42=-2+3-8+16=19-10=9．（2） （ ）×（-42） = ×（-42）+ ×（-42）+（- ）×（-42）=-7-28+12=-35+12=-23．点评：本题旨在考查（1）有理数的混合运算；（2）乘法分配律使运算更为简便．练习5. 若a.b.c 在数轴上位置如图所示.则必有（ ）c b a -110A.abc ＞0B.ab-ac ＞0C.（a+b ）c ＞0D.（a-c ）b ＞0【题目难度】★★★【解题思路】根据图示得知.a ＜-1＜0＜b ＜1＜c.然后根据有理数的混合运算法则进行计算．【题目答案】根据图示知.a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c ．A.∵a 是负数.b.c 是正数.∴abc ＜0．故本选项错误；B.∵b ＜c.a ＜0.∴ab ＞ac.∴ab-ac ＞0．故本选项正确；C.∵a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c.∴ac ＜-1.0＜bc ＜1.∴ac+bc ＜0.即（a+b ）c ＜0．故本选项错误；D.∵a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c.∴a-c ＜-2.∴（a-c ）b ＜-2．故本选项错误．故选B ．点评：本题考查了数轴.有理数的混合运算．解答此题的关键是根据图示找出a.b.c 的取值范围：a ＜-1.0＜b ＜1.1＜c ．练习6.有理数a.b 在数轴上的位置如图所示.则在a+b.a-b.ab.a 3.a 2b 3这五个数中.正数的个数是（ ）A.2B.3C.4D.5【题目难度】★★★【解题思路】首先由数轴得出a b的正负：-1＜a＜0.b＞1＞0.再根据有理数的运算法则进行计算即可得出选项．【题目答案】由数轴可知-1＜a＜0.b＞1＞0.根据有理数的加法.减法.乘法.乘方法则得：a+b＞0.a-b＜0.ab＜0.a3＜0.a2b3＞0.所以正数的个数是2个．故选A．点评：本题主要考查了有理数的加法.减法.乘法.乘方法则等知识点.解此题的关键是正确观察数轴确定a b的范围和利用法则进行计算．练习7.定义a※b=a2-b.则（1※2）※3= _________【题目难度】★★【解题思路】按照定义的规则计算．【题目答案】根据题意可知.（1※2）※3=（1-2）※3=-1※3=1-3=-2．答案：-2．点评：此题是定义新运算题型．直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．解题关键是对号入座不要找错对应关系．7. 如图.是一个有理数混合运算程序的流程图.请根据这个程序回答问题：当输入的x为-16时.最后输出的结果y是____________【题目难度】★★★【解题思路】先根据流程图列出算式.然后根据有理数混合运算的顺序.先算乘方再算乘除最后算加减.有括号的先算括号里面的．【题目答案】根据题意.得[x+4-（-32）]×（- ）÷（-0.5）=（x+13）×（- ）×（-2）=∴当x=-16时.（-16+13）÷3=-1当x=-1时.（-1+13）÷3=4当x=4时.（4+13）÷3= ＞5.所以.最后输出的结果y是．点评：本题属于信息给予题.应为运算的结果不大于5.所以要经过多次运算.才能最后输出结果．。
2024年北师大版七年级上册数学第二章有理数及其运算培优提升专题3：有理数的乘除运算
－
1 42
÷
1 3
－
5 21
＋
3 14
－
2 7
.
解：先算
1 3
－
5 21
＋
3 14
－
2 7
÷
－
1 42
3
－
5 21
＋
3 14
－
2 7
×(－42)＝－1，－1的
倒数是－1，
所以
－
1 42
÷
1 3
－
5 21
＋
3 14
－
2 7
＝－1.
·数学
4.(2024北京一模)若a，b，c都是有理数，|a|＝4，|b|＝9，|c| ＝6，且ab>0，bc<0，求a－b－(－c)的值.
解：∵|a|＝4，|b|＝9，|c|＝6， ∴a＝±4，b＝±9，c＝±6. 由ab>0，bc<0知a，b同号，b，c异号， 当a＝4时，b＝9，c＝－6，a－b－(－c)＝4－9－6＝－11； 当a＝－4时，b＝－9，c＝6， a－b－(－c)＝－4－(－9)＋6＝11. 综上所述，a－b－(－c)的值为－11或11.
第二章 有理数及其运算
培优提升专题3：有理数的乘除运算
·数学
1.下面是小明同学完成的作业，他做对的题数是( C ) 判断题.(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)－112的倒数是－23；(√) (2)若|a|＝2，则a的值为2或－2；(√) (3)－12的相反数是2；(√) (4)绝对值等于它本身的数只有1；(√) (5)倒数等于它本身的数只有1和－1.(√)
A.1 B.2 C.3 D.4
·数学
2.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则下列结论中：
北师大版七年级上册数学《有理数的乘法》有理数及其运算培优说课教学复习课件
B. 负数
C. 零
D. 以上三种情况都有可能
课堂检测
基 础 巩 固 题
4.计算 -
A. - 1
×(- )×(- )
B. +
的值为（ D ）
C. +
D. -
课堂检测
基 础 巩 固 题
5.计算：
(1)(-8)×
=
=-42
(2) ×(- )×(- )
相乘,再把积相加.
a(b+c+d)=ab+ac+ad
探究新知
（
计算：
+
−
）×12
解法2：
解法1：
原式=（
=−
=- 1.
+
−
×
）×12
原式= × + × − ×
=3 + 2 - 6
=- 1.
比较这两种方法，你更喜欢哪种方法？
)×0
（3）原式 =0
与0相乘，结果为0
探究新知
有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
任何数与0相乘，积仍为0.
探究新知
素 养 考 点 运用有理数乘法法则计算
例 计算:
(1)(-5)×(+3); (2)(-8)×(-7)；
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（4），则a
（
初一数学培优专题讲义一有理数及其运算
一、有理数的基本概念：
（一）常考点，易错点：
1.字母可以表示任意有理数，不能说a一定是正数，-a也不一定是负数
2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。
3.互为相反数的两个数的绝对值相等。
若|－x|=|-1|，则x=______；若|x|=|－4|，则x=____；2
若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
4.互为相反数的两个数的平方相等。
如果a2=16，那么a=____；若x2=(－2)2，则x=_______.
5.注意乘方中括号的作用。
（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果
是_______；n为正整数，则（－1）2n=___,(－1)2n+1=___。
计算：
（1）=；（2）=；（3）=；（4）=（5）=
6.a的相反数是；a+b的相反数是；a-b的相反数是；-a+b-c的相反数是；
变式训练：若a＜b，则∣a-b∣=，-∣a-b∣=
（二）绝对值的化简：
7.绝对值即距离，则a≥0
8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）
（a＞0）
|a|=（a＝0）
（a＜0）
9.绝对值的非负性：
（1）若|a|＝0，则a；（2）若|a|＝a，则a；（3）若|a|＝—a，则a；
a
=______；（5）a<0，则
|a||a|=______；6）若|a|+|b|=0，则a且b
小结：要打开绝对值号，关键要确定绝对值号里的数的符号。
例1．已知：│a－1│+（b+1）2=0，那么（a+b）2003+a2003+b2003的值是多少？
例2.若ab<0，求
a b ab
++的值．|a||b||ab|
例3.（1）如果x＜－2，那么|1－|1+x||=；若|m－1|=m－1,则m___1.；若|m－1|=1－m,则m___1.
+ +
（2）已知 a = 3 ，且 a + a = 0 ，则 a 3 + a 2 + a + 1 = ___________．
例 4.有理数 a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
C
B 0 A
1.已知 a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|—|c —b|—|a —c|+|b-a|
a
0 c b
2.数 a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|-|b-a|+|b|-|a-|a||
a
0 b
例 5. 若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|
即时练习：1.已知 x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
2. 若 a<0，试化简 2a - | 3a | a b c
3. 若 abc ≠0，则
的所有可能值为 || 3a | -a | | a | | b | | c |
例 6.若 x - y + 3 与 x + y - 1999 互为相反数，求 x + 2 y x - y
的值
（三）分类讨论的思想：
例 7. 已知 a ，b 互为相反数，c ，d 互为倒数，且 x 的绝对值是 5，
试求 x －（a+b －cd ）+│（a+b ）－4│+│3－cd│的值．
即时练习：1. 已知|x|=2，|y|=3 且 x-y>0，则 x+y 的值为多少？
2.解方程：|x-5|=8
（四）两个重要的非负数：① a ≥ 0 ；②a 2≥0；③
a 2 = a 2 = a 2
( )
+ + + +
的值. 4 2 5 ⨯ (-6) - (-4)2 ÷ (-8) 5 5 ⎛ 2 1 3 5 ⎫
-32 - (-3)2 ⨯ (-2) - -2 2 - (-98)99 - 9899
例 8. 若 (2 a - 1)2 + 2 a + b = 0, 且 c - 1 = 2 , 求 c ⋅ a 3 - b 的值。
例 9．已知 ab - 2 与 b - 1 互为相反数，求代数式
1
1 1 1
ab (a + 1)(b + 1) (a + 2)(b + 2) (a + 1999)(b + 1999)
二、 突破有理数的计算
（一） 混合运算的几个优先原则：乘方优先，括号优先，凑整优先，同号优先，相反数优先，同分母优
先，分配律优先。
减法要用心：连减取负当加算；小减大，取负，倒过来减。
1 1
(-1.5) + 4 + 2.75 + (-5 )
例 10.计算：（1）
（2）
(-6) ⨯ 8 - (-2)3 - (-4)2 ⨯ 5
1
2
-52 - [-4 + (1- 0.2 ⨯ ) ÷ (-2)]
(-16 - 50 + 3 ) ÷ (-2)
（3） （4）
（5）
（6） - - + ⎪ ⨯ 48
（7）
⎝ 3 4 8 24 ⎭
（二）利用运算律、裂项、逆向思维等技巧巧算：例 11.计算：（巧算）
（1） 1 1 1 1 1 1
- + - + + -
2004 2003 2003 2002 1003 1002
1 1 1 1 1 1
（2） + + + + + ．
2 4 8 16 32 64
例 12.计算：（－ 例 13.
4 5 3 5 5 3
）× －（－ ）×（－ ）－ ×（－1 ） 5 13 5 13 13 5
例 14.（1）（分组求和）1-2+3-4+…+2001-2002
（2）（倒序求和）1+3+5+7+…+99
（三）利用幂的性质巧算：例 15.计算：（1） （2）
例17.已知ab
（四）整体代入求值初步：例16.若a+2b+3c=10,且4a+3b+2c=15,则a+b+c=.
2ab5(a+b)
=3，试求代数式-
a+b a+b ab
的值。