22.1.2二次函数的图象和性质
初中数学教学课例《22.1.2二次函数y=ax的图像和性质》教学设计及总结反思
流的时间，让学生在自己动手体验中得出结果.
学生在前面已熟知了画函数图象的方法：列表、描
点、连线，也学习了一次函数的图像画法及形状，这为
探究函数 y=ax 的图象做好了知识上的准备.学生也具 学生学习能
备了基本作图能力，这使学生能主动参与本节课的操 力分析
决实际问题. 教学目标
2.数学思考:
通过观察、归纳等数学活动解决:
（1）用描点法画函数图像是我们发现函数图象的
特征和了解其性质的一个重要途径.因此，在教学过程
中应让学生画出函数图象，引导学生观察图像的特点，
概括出函数的性质.
（2）用“特殊----一般，具体----抽象“的方法
初中数学教学课例《22.1.2 二次函数 y=ax 的图像和性质》 教学设计及总结反思
学科
初中数学
教学课例名
《22.1.2 二次函数 y=ax 的图像和性质》
称
九年级数学上册第二十一章第一节第 2 课时的内
容，是在学生学习了二次函数的基本概念之后引入的新
内容.本节课的教学内容既是对 y=二次函数 y=ax2 的图
轴几方面分析函数图象的共同点和不同点.
（1）让学生概括图像的特点，提示学生从开口方 教学过程
向、对称性等方面考虑.
（2）肯定学生的表现，讲解：这样的曲线通常叫
做抛物线.它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交
点叫做抛物线的顶点.
（3）提示学生从图像开口方向，顶点坐标，对称
轴几方面分析函数图象的共同点和不同点.
的增大而减小；在对称轴右侧(x>0 时）,y 随着 x 的增
大而增大.
当 a<0 时，在对称轴的左侧(x<0 时),y 随着 x 的增
22.1.2二次函数y=ax2图像与性质
y=ax2+c (a≠0) 开口方向 顶点坐标 对称轴 增 减 性 极值
a>0 向上 (0 ,c) y轴
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
a<0 向下 (0 ,c) y轴
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
x=0时,y最小=c
x y = x2 · · · · · · －3 －2 －1 0 1 2 3 · · · · · ·
9
4
1
0
1
9
4
9
2. 根据表中x,y的数值在 坐标平面中描点（x,y） 3.连线 如图，再用平 滑曲线顺次连接各点， －3 2 就得到y = x 的图象．
y = x2
6
3 3
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似 于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线 开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ， 二次函数的图象都是抛物线， 它们的开口或者向 上或者向下． 一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c （a≠0）的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c y = x2
m2+m
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2,
x ….. y=x2 …… y=x2+1 ……
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
…… ……
5
2
0
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系? 函数y=x2+1的图 象与y=x2的图象 的形状相同吗?
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
22.1.2二次函数y=ax2的图象与性质 说课稿 2022—2023学年人教版数学九年级上册
22.1.2 二次函数y=ax²的图象与性质说课稿一、教学目标1.知识与能力：•了解二次函数y=ax²的基本函数图象特点；•掌握二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换；•理解二次函数和一次函数的区别。
2.过程与方法：•激发学生对二次函数的兴趣；•引导学生通过观察、探究并总结出二次函数y=ax²的图象特点；•通过实例分析，引导学生掌握二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换。
3.情感态度与价值观：•培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力；•引导学生在学习数学的过程中培养耐心和毅力。
二、教学重点和难点1.教学重点：•二次函数y=ax²的基本图象特点；•二次函数图象的平移、伸缩和翻转变换。
2.教学难点：•引导学生通过观察、探究并总结出二次函数y=ax²的图象特点。
三、教学准备1.教学工具：•PowerPoint；•讲师笔记。
2.教学材料：•教材《人教版数学九年级上册》；•预习资料。
四、教学过程第一步：导入新知1.通过展示数学九年级上册预习资料中的图像，激发学生对二次函数的兴趣，并引出本节课的主题。
2.引导学生回顾一次函数y=ax+b的定义和性质，并引出二次函数y=ax²的定义。
第二步：展示二次函数y=x²的图象特点1.在白板上画出二次函数y=x²的图象。
2.通过观察图象，引导学生总结出二次函数y=x²的特点：•对称轴为y轴；•顶点坐标为(0, 0)；•图象开口向上。
3.引导学生思考：如果改变a的值，对图象会有什么影响？设置不同的a值进行观察和比较。
第三步：引入二次函数y=ax²的图象变换1.通过展示不同a值的二次函数y=ax²的图象，引导学生观察并比较，总结出不同a值对图象的影响：•a>1时，图象变瘦长；•0<a<1时，图象变胖矮；•a<0时，图象分别在x轴的上方和下方对称。
2021-2022学年人教版九年级上册数学22.1.2二次函数的图象及性质 课件
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积，∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
1.函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0,0) ;
直线 列表、描点、连线
你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几 组对应值：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2. 描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）
3. 连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到y = x2
7.已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上,求m的值和函数解
析式.
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1
∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
画法
描点法
以对称轴为中 心对称取点
二次函数y=ax2 图象及性质
图象 性质
8
么关系？
6
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
4
2
－4 －2
24
x ··· －4 －3 －2 －1 0
y 1 x2, y 2x2 2
1
2
3
4 ···
···
···
－8 －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 －8
22.1.2二次函数的图像和性质(教案)
最后，我意识到在课堂上，对于学生的疑问和困惑，我需要更加耐心和细致地进行解答。有时候，一个简单的解释就能帮助学生跨越理解的障碍。在今后的教学中，我会更加注重与学生的互动，鼓励他们提出问题，并及时给予反馈。
-重点三，利用图示和计算，说明二次函数与x轴的交点即为二次方程的实数根；
-重点四，通过图像和数学推导，让学生理解二次函数最值的含义及其计算方法。
2.教学难点
-理解二次函数图像的对称性，特别是对称轴的概念及其与顶点的关系；
-掌握顶点坐标计算公式的应用，尤其是对于含有绝对值、分式等复杂二次函数的顶点求解；
-学会求解二次函数与坐标轴的交点，理解这些交点与二次方程解的关系；
-掌握二次函数的最值问题，明确当a>0时，函数有最小值；当a<0时，函数有最大值。
举例解释：
-对于重点一，强调a的符号决定了图像的形状，并通过实例展示a的正负对图像的影响；
-重点二，通过具体函数示例，演示如何计算顶点坐标，并解释顶点即为对称轴上的点；
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是“22.1.2二次函数的图像和性质”这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过物体抛高后落地的情况？”（如抛球游戏）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数图像和性质的奥秘。
3.二次函数图像的顶点坐标计算，顶点公式为（-b/2a，4ac-b²/4a）；
4.二次函数图像的对称轴，即x = -b/2a；
九年级数学上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质教案 (新版)新人教版-(新版)新人教版
教 学 内 容一、探索新知：画二次函数y ＝x 2的图象． 列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3y ＝x 2…描点，并连线由图象可得二次函数y ＝x 2的性质：1．二次函数y ＝x 2是一条曲线，把这条曲线叫做______________． 2．二次函数y ＝x 2中，二次函数a ＝_______，抛物线y ＝x 2的图象开口______． 3．自变量x 的取值X 围是____________．4．观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y 值相等，所描出的各对应点关于________对称，从而图象关于___________对称．5．抛物线y ＝x 2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线y ＝x 2的______． 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_____________． 6．抛物线y ＝x 2有____________点（填“最高”或“最低”） ． 二、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数y ＝12x 2，y ＝x 2，y ＝2x 2的图象．解：列表并填：x…－4 －3 －2 －112341．填表：开口方向顶点 对称轴有最高或最低点最值y ＝23 x 2当x ＝____时，y 有最_______值，是_y ＝－8x 22．若二次函数y ＝ax 2的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 3．二次函数y ＝(m －1)x 2的图象开口向下，则m____________． 4．如图，① y ＝ax 2② y ＝bx 2③ y ＝cx 2 ④ y ＝dx 2比较a 、b 、c 、d 的大小，用“＞”连接．___________________________________七、目标检测1．函数y ＝37x 2的图象开口向_______，顶点是__________，对称轴是________，当x ＝___________时，有最_________值是_________． 2．二次函数y ＝mx22 m 有最低点，则m ＝___________．3．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值 X 围为___________．4．写出一个过点（1，2）的函数表达式_________________． 六、教学效果追忆:。
22.1.2 二次函数的图像和性质
0
2
4.5 …
(3)连线
10 2 y=2x 9 8 7 6 5 4 3 2 1
y=x2
y=1 x2
2
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5
x
2y y=2x 10
y=x2
请你指出二次函数 1 2 y= x2 的图象的 y=2x 和 2 顶点、对称轴、位置、 开口方向、及增减性和
最值.
9 8 7 6 5 4 3 2 1
22.1.2 的图象与性质
2 二次函数y=ax
学习目标
1.能够用描点法作出函数y=ax2的图象；
2. 能根据 y=ax 2 图象认识和理解其性质 . （重点） 3. 初步建立二次函数表达式与图象之间 的联系，体会数形的结合与转化（难点）
y x2
y = x2、y= - x2
y x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 ) 增减性 最值 位置
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
开口大小： 抛物线y=ax2 (a≠0)的开口大小是由|a|来确定的 |a|越大, 抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
y 2x2
1、根据左边已画好的函数图象填空： （1）抛物线y=2x2的顶点坐标是 （0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
0时，y<0.
2.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点
（1）y=3x2
（2)y=-3x2
1 2 （3） y= x 3
1 2 （4） y=- x 3
（n -1 ） 的开口 3、若抛物线 y = 向下，求n的值。
n 2 -n
4.已知二次函数 y=ax2 的图形经 过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
3•. 单连击线此：处如编图辑，母再版用文平本滑样曲式线顺次连接各点，就得
到y =• x第2 二的级图象．
• 第三级
y
• 第四级 • 第五级
9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
2019/9/21
5
单当击取更此多个处点编时，母函版数y标=x2的题图样象如式下：
y
• 单击此处编辑母版文本9样式
• 第二级
• 第三级
11
二单二击次函此数y处=a编x2的母性质版标题样式
问•题单1击：此观处察编图辑形母，版y随文x本的样变式化如何变化？
• 第二级
• 第三级
(-2,4)
• 第四级 (2,4)
• 第五级
(-1,1)
(1,1)
y x2
y ax2
2019/9/21
12
单击此处编母版标题样式知源自要点• 单击此处编辑母版文本样式 • 第对•二于第级三抛级物线 y = ax 2 （a＞0）
的特点.（难点• ）第五级 3.掌握形如y=ax²的二次函数图象的性质，并会应用.
（难点）
2019/9/21
2
导入新课
单击此处编母版标题样式
情境引入
• 单击此处编辑母版文本样式
• 第二级
• 第三级
• 第四级 • 第五级
2019/9/21
3
讲授新课
一单二击次函此数处y=a编x2的母图象版标题样式
典例精析
边空白部分面积，
∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
2019/9/21
28
单击此处编母版标题样式
方法总结
• 单击二此次处函编数辑y＝母a版x2的文图本象样关式于y轴对称，因此左 右两• 部第二分级折叠可以重合，在二次函数比较大小中，
第22章 二次函数知识点总结 2023—2024学年人教版数学九年级上册
第二十二章二次函数22.1二次函数的图像和性质22.1.1 二次函数知识点一 二次函数的定义1.二次函数的定义:一般地，形如)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的函数，叫做二次函数.2.任何一个二次函数的解析式都可化成)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的形式，因此，把)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 叫做二次函数的一般式3.二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 中y x ,是变量，c b a ,,是常量.自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，a 必须是不等于 0的实数.知识点二 实际问题中的二次函数22.1.2二次函数2ax y =的图像和性质理解 题意 分析问题中的变量和常量及它们之间的关系列函数 关系式22.1.3二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质第一课时 二次函数k ax y +=2的图像和性质第二课时 二次函数()2h x a y -=的图像和性质第三课时 二次函数()k h x a y +-=2的图像和性质22.1.4 二次函数)0a ,,(2≠++=是常数，c b a c bx ax y 的图象和性质第一课时 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质知识点一 二次函数c bx ax y ++=2与()k h x a y +-=2之间的关系 利用二次函数图象平移的规律求平移后的函数的解析式，首先要把函数解析式化为顶点式:()k h x a y +-=2知识点二 二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质 1. 二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，与抛物线2ax y =的形状相同，位置不同，利用配方法可以将c bx ax y ++=2转化成顶点式，即a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++= 2. 二次函数c bx ax y ++=2的性质（1）当0>a 时，抛物线开口向上，对称轴为直线a bx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac ab 44,22c bx ax y ++=20>a0<a开口方向 向上 向下对称轴 直线ab x 2-= 直线ab x 2-= 顶点坐标⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b ac a b 44,22 增减性当a b x 2->时，y 随x 的增大而增大；当a b x 2-<时，y 随x 的增大而减小当abx 2->时，y 随x 的增大而减小；当abx 2-<时，y 随x 的增大而增大最值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最小值当ab x 2-=时，ab ac y 442-=最大值知识点三 二次函数c bx ax y ++=2的图象与系数c b a ,,之间的关系 系数 图像的特征 系数的符号a开口向上 0>a 开口向下0<a b对称轴为y 轴 0=b对称轴在y 轴左侧同号b a ,对称轴在y 轴右侧 异号b a ,c经过原点0=c 与y 轴正半轴相交 0>c 与y 轴负半轴相交0<c第二课时 用待定系数法求二次函数的解析式知识点一 用待定系数法求二次函数的解析式根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法，用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题便捷。
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（3）连线：用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y ＝x 2的图象，如图所示．
（4）归纳总结．
提问：观察这个函数的图象，它有什么特点?
让学生观察，思考、讨论、交流，归结如下：
二次函数y ＝x 2的图象是一条曲线，这条曲线开口向上，它有一条对称轴，且对称轴和图象有一点交点．
抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线．
顶点概念：抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线y ＝x 2的最低点．
一般地，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ．的图象叫做抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c ．每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点．顶点是抛物线的最低点或最高点．
在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的右侧，抛物线从左到右上升．也就是说，当x <0时，y 随x 的增大而减小；当x >0时，y 随x 的增大而增大．
三、实例探究
师生活动：
教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数 y ＝21x 2，y ＝2x 2的图象．
学生动手画图，观察，讨论并归纳，回答探究思路和结果，教师评价。
抛物线 y ＝2
1x 2，y ＝2 x 2与抛物线 y ＝x 2的开口均向上，顶点坐标都是（0,0）， 函数 y ＝2x 2的图象的开口较窄， y ＝2
1x 2的图像的开口较大。
探究：画出函数 y ＝－x 2， y ＝－2
1x 2，y ＝－2 x 2的图象，并考虑这些图象有什么共同点与不同点。
师生活动：
学生在平面直角坐标系中画出函数
y ＝－x 2， y ＝－2
1x 2，y ＝－2 x 2的图象，观察，讨论并归纳。
教师引导学生根据描点法的一般步骤，进行列表，然后描点、画图．完成后让学生类比研究二次函数y ＝x 2的角度，尝试从图象的形状、开口方向、对称性、顶点等几个方面分别描述这两个函数的图象特征．
思考：（1）当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2的图象有什么特点？
（2）当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2有什么图象和特点？。