材料力学 第二章 拉压内力和应力

m
F
I
α
II
m
F
α = 0:
σ α = σ cos2 α σ τ α = sin 2α
2
σ 0 = σ α max = σ ; τ α = 0
σ
2 ; τ α max =
α = 45° : σ α =
σ
2
.
α = 90° : σ α = 0; τ α = 0.
在研究拉压杆问题中，一点处的应力状态可由其横截面上 在研究拉压杆问题中， 的正应力完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态 单轴应力状态。 的正应力完全确定，这样的应力状态称为单轴应力状态。
⊕
2.
σ
σ
正应力为“－”
⊕
τ
剪应力为“－”
τ
正应力为“＋”
剪应力为“＋”
应力的特征（ 应力的特征（续）：
3. 应力的单位 国际单位制 ：N/m2(Pa); 应力的单位( 国际单位制)：
1kPa=103Pa; 1Mpa=106Pa=1N/mm2; 1GPa=109Pa
4. 整个截面上各点的 应力与微面积乘积的合成及为该截面上 的内力： 的内力：
2
τα
σ
2 sin 2α
τ α = pα sin α = σ sin α cos α =
σ α = σ cos 2 α σ τ α = sin 2α 2
上式表达了通过杆内任一点处不同方位斜截面上的正应力和切应 力随α角而改变的规律。 力随α角而改变的规律。 通过一点的所有不同方位斜截面上应力的全部情况称为该点处的 应力状态。 应力状态。
FN 3 = −20kN
§2-3 轴向拉伸或压缩杆件的应力
一、应力的概念
F2
F1
F
利用轴力无法判断杆件是否会应强度不足而破坏!!! 利用轴力无法判断杆件是否会应强度不足而破坏 应力：分布内力的集度。 应力：分布内力的集度。
面积∆ 上内力 上内力∆ 面积∆A上内力∆F
∆F ∆A M
的平均集度
∆F pm = ∆A
F
F
F σ= A
F
F
三、斜截面上的应力
m
F • 截面法 F
I
α
II
m
F
α从横截面位置逆时针转动为正
m
I
α m
Fα
Fα = F
• 实验观察（平面假设） 实验观察（平面假设）
F
F
Fα pα = = Aα
Fα A cos α
F
pα
F = cos α = σ cos α A
σα
pα
σ α = pα cos α = σ cos α
其极限值
∆F dF p = lim = ∆A→0 ∆A dA
p为M点的总应力。 为 点的总应力。 点的总应力
注意：为矢量，方向与∆ 相同 通常既不与截面垂直，也不与截面相切。 相同。 注意：为矢量，方向与∆F相同。通常既不与截面垂直，也不与截面相切。
p
τ
M
与截面垂直的分量称为正应力，符号 ； 截面垂直的分量称为正应力， 与截面相切的分量称为切应力，符号 截面相切的分量称为切应力，
σ τ
σ
应力的特征： 应力的特征：
1. 应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因此， 应力定义在受力物体的某一截面上的某一点处，因此，讨论应力 必须明确是在哪一截面上的哪一点处； 必须明确是在哪一截面上的哪一点处； 应力是矢量。对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正，指 应力是矢量。对于应力分量，通常规定离开截面的正应力为正， 正应力为正 向截面的正应力为负（拉为正压为负）；对截面内部（靠近截面） ）；对截面内部 向截面的正应力为负（拉为正压为负）；对截面内部（靠近截面） 的点产生顺时针方向力矩的切应力为正，反之为负； 的点产生顺时针方向力矩的切应力为正，反之为负； 切应力为正
F x2 － ×103 100 σx2 = N ＝ =－ ×106 Pa =－ M 40 40 Pa −6 A 2500×10 2
1. 截开：在需要求内力的截面处，假想地将杆截分为两部分； 截开：在需要求内力的截面处，假想地将杆截分为两部分； 2. 代替：将两部分的任一部分留下（一般将简单易求部分留 代替：将两部分的任一部分留下（ ），把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的 下），把弃去部分对留下部分的作用代之以作用在截开面上的 内力（力或力偶）； 内力（力或力偶）； 3. 平衡：对留下部分建立平衡方程，求出未知内力。 平衡：对留下部分建立平衡方程，求出未知内力。
F = ∫ pdA
A
二、横截面上的应力
m
F • 截面法
I
m
II
F
m
F
I
m
Fra Baidu bibliotek
FN
FN = F
二、横截面上的应力
请考虑两个问题： 请考虑两个问题：
FN = G
[1] 两种情形杆内的 应力分布相同吗？ 应力分布相同吗？ 答：不相同 [2] 两种情形需要分 开考虑吗？ 开考虑吗？ 答：？？？ 影响大—分开考虑 答：影响大 分开考虑
平面一般力系的平衡方程式(3)： 平面一般力系的平衡方程式(3)： (3)
∑
M
A
= 0;
∑
M B = 0;
∑
M C = 0.
A、B、C三点 、 、 三点 不能共线！ 不能共线！
y
F
F4
B 刚体 o
C
F1
A
C
x
F2
B A
F3
如果A、 、 共线 共线， 如果 、B、C共线，满 足所有三个力矩等于零 的方程，但不平衡， 的方程，但不平衡，存 在主矢不为零！ 在主矢不为零！
解：1．计算各段杆横截面上的 轴力和正应力 AB段： F x1＝ kN 400 N BC段： CD段：
F x2＝ 100kN － N
F x3＝ kN 200 N
进而，求得各段横截面上的 正应力分别为：
F x1 400×103 N σx1 = =160×106 Pa =160M Pa ＝ −6 A 2500×10 1
影响小—不分开考虑 影响小 不分开考虑 有显著 的影响 的区域 应力分 布几乎 相同的 区域
∆F dF lim = 应力的计算 p = ∆A→0 ∆A dA
已知 F = ∫A pdA
需知道应力的分布形式
圣维南(Saint Venant)原理 原理： 圣维南(Saint Venant)原理：
作用于物体某一局部区域内的外力系， 作用于物体某一局部区域内的外力系，可以 用一个与之静力等效的力系来代替。 用一个与之静力等效的力系来代替。而两力 系所产生的应力分布只在力系作用区域附近 有显著的影响，在离开力系作用区域较远处， 有显著的影响，在离开力系作用区域较远处， 应力分布几乎相同。 应力分布几乎相同。
桥梁工程－ 桥梁工程－悬索桥
§2-2 轴力 轴力图
一、刚体的平衡条件（平面一般力系）： 刚体的平衡条件（平面一般力系）：
F1
刚体 问：刚体是否处 于平衡状态？ 于平衡状态？
F4
F2 F3
平衡条件:力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩都等于零。 平衡条件 力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩都等于零。 力系的主矢和对作用面内任意一点的主矩都等于零
• 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，横截面沿轴线平行移动 变形特征：沿轴线方向伸长或缩短，
F
F
F
F
工程实例图
气缸
起 重 机
钢 结 构 工 程
桁架结构
桥梁工程－ 桥梁工程－斜拉桥
杨浦大桥是继南浦大桥之后 杨浦大桥 又一座跨越黄浦江的自行设 计、建造的双塔双索面迭合 梁斜拉桥。大桥全长7658米 ，602米长的主桥犹如一道横 跨浦江的彩虹在世界同类型 斜拉桥中雄居第一。挺拔高 耸的208米主塔似一把利剑直 刺穹苍，塔的两侧32对钢索 连接主梁，呈扇面展开，如 巨型琴弦，正弹奏着巨龙腾 飞的奏鸣曲。邓小平同志亲 自为大桥提写的桥名，他以 94岁高龄登上杨浦大桥时感 慨地说：“喜看今日路，胜 “喜看今日路， 读万年书！ 读万年书！”。
例：列出下图刚体的平衡方程式
y
30
F1
0
F1 cos 300 + F2 cos 600 − F3 = 0 F1 sin 300 − F2 sin 600 = 0
刚体
d1 F3 d2
o
x
F1d1 − F2 d 2 = 0
600
F2
几种特殊情形力系平衡的充分必要条件（平衡条件）： 几种特殊情形力系平衡的充分必要条件（平衡条件）： 1. 二力平衡 大小相等，方向相反，作用于同一条直线上。 大小相等，方向相反，作用于同一条直线上。
G
G
轴向拉压杆件横截面上的应力分布形式？ 轴向拉压杆件横截面上的应力分布形式？ 实验观察
变形前为平面的横截面变形后仍为平面（平面假设） 变形前为平面的横截面变形后仍为平面（平面假设） 。也即 拉压杆在其任意两个横截面之间纵向线段的变形是均匀 均匀的 拉压杆在其任意两个横截面之间纵向线段的变形是均匀的， 则有
m
m
试求： 试求： AB、BC、 应力； 1．杆AB、BC、CD段横截面上的正 应力； 2．杆AB段上与杆轴线夹45°角斜截面上的正应力和切应力. 段上与杆轴线夹45°角斜截面上的正应力和切应力 45
解 ： 1． 计算各段杆横截面上 ． 的正应力 因为杆各段的轴力不等， 因为杆各段的轴力不等，而且 横截面面积也不完全相同，因而， 横截面面积也不完全相同，因而， 首先必须分段计算各段杆横截面 上的轴力。分别对AB 上的轴力。分别对 、BC、CD 段杆应用截面法， 段杆应用截面法，由平衡条件求 得各段的轴力分别为： 得各段的轴力分别为： AB段： F x1 400kN N ＝ BC段： F x2＝ 100kN － N CD段： F x3＝ kN 200 N
N B A
sin30 = P
α
C
A
σAB
P
3 F AB 260×10 N −6 σAB = MPa = ×10 =119.7 −4 A 2×10.86×10
例 题 2
已知:阶梯形直杆受力如图示。 已知 阶梯形直杆受力如图示。杆各段的横截面面积分别为 阶梯形直杆受力如图示 2500mm 1000mm 杆各段的长度标在图中。 A1＝A2＝2500mm2，A3＝1000mm2；杆各段的长度标在图中。
F2
质点
F1 F1
F2
刚体
2. 汇交力系 力系的主矢等于零。 力系的主矢等于零。
F3 F3
刚体
F2
质点
F1 F2 F1
变形体的平衡条件？ 变形体的平衡条件？
实践表明：若变形体处于平衡状态， 实践表明：若变形体处于平衡状态，则 作用于其上的力系一定满足刚体静力学的平 衡条件。 衡条件。 这一结论也可描述为所谓的刚化公理： 这一结论也可描述为所谓的刚化公理： 刚化公理 若变形体在某个力系作用下处于平衡状态， 若变形体在某个力系作用下处于平衡状态， 则将此物体固化成刚体（简称刚化） 则将此物体固化成刚体（简称刚化）时其平 衡不受影响。 衡不受影响。
杆的内力
m
F 截面法
m
I
m
II
F
m
F
I
m
FN
FN
m
II
F
m
m
F
I
m
FN
FN
m
II
F
FN = F
FN = F
FN为杆件 为杆件m-m截面上的内力，其作用线与杆的轴线重合。 截面上的内力， 截面上的内力 其作用线与杆的轴线重合。 这种内力称为轴力 轴力， 表示。 这种内力称为轴力，用FN 表示。
截面法的三个步骤： 截面法的三个步骤：
材料力学
Mechanics of Materials
第二讲
第二章 轴向拉伸与压缩
Axial Loading （Tension & Compression） ）
§2-1 轴向拉伸与压缩的概念
受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力， 受力特征：杆受一对大小相等、方向相反的纵向力， 力的作用线与杆轴线重合。 力的作用线与杆轴线重合。 F F
平面一般力系的平衡方程式(1)： 平面一般力系的平衡方程式(1)： (1)
∑F
x
= 0;
∑F
y
= 0;
∑M
F1
o
= 0.
y
F4
刚体
o
F2 F3
x
平面一般力系的平衡方程式(2)： 平面一般力系的平衡方程式(2)： (2)
∑F
x
= 0;
∑M
A
= 0;
∑M
B
= 0.
y
F4
B 刚体 o A
F1
x
F2
F3
例：求图示杆1-1、2-2、3-3截面上的轴力 求图示杆 、 、 截面上的轴力
解：
FN1
FN 1 = 10kN
FN2
FN 2 = −5kN
FN3
FN 3 = −20kN
轴力图
FN
图上应标注
⊕
正负号及大小
FN 1 = 10kN FN 2 = −5kN
表示轴力与截面位置关系的图线
习惯上将正值的轴力画在上侧， 习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的画在下侧
图示起吊三角架， 杆由截面积为10.86 cm2 的2根角钢组 例1 图示起吊三角架，AB 杆由截面积为 根 杆截面应力。 成，P=130 kN，α=300 , 求AB杆截面应力。 ， 杆截面应力 考虑A节点平衡 解：（1）考虑 节点平衡 考虑
B
F AB N F AC N
得F
∑F = 0 y
α
P
则 F = 2P = 260 kN(拉) NAB （2）计算