材料力学第2章-轴向拉压
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单辉祖-材料力学教程 9
例 题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆 的轴力图，求最大轴力
单辉祖-材料力学教程
10
§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
单辉祖-材料力学教程
11
拉压杆横截面上的应力
2
单辉祖-材料力学教程 15
3. 最大应力分析
s s 0cos
2
t
s0
2
sin2
s max s 0 s 0 t max s 45 s 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0
最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为s0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 t ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
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圣维南原理 杆端应力分布
单辉祖-材料力学教程
17
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
单辉祖-材料力学教程
杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
18
例 题
第 2 章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
单辉祖-材料力学教程
拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引言
§2 轴力与轴力图
§3 拉压杆的应力与圣维南原理 §4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
§5 应力集中概念
例 题
例 7-1 已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm, E＝200 GPa, 0.3,
拧紧后, AB 段的轴向变形为l ＝0.04 mm。试求螺栓横 截面上的正应力 s , 与螺栓的横向变形 d
例 7-2 图示涡轮叶片，材料密度为r ，转速为w 试求叶片横截面上的正应力与轴向变形
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26
滑移线
缩颈与断裂
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27
sp-比例极限 ss-屈服极限
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sb-强度极限 E= tan - 弹性模量
28
卸载与再加载规律
s e－弹性极限
e －弹性应变
p－塑性应变
冷作硬化：由于预加塑性变形, 使s e 或s p 提高的现象
单辉祖-材料力学教程 29
'
s
E
－ 泊松比 ( 0 0.5 )
' s
E
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
叠加原理 原理 几个载荷同时作用所产生的总效果，等 于各载荷单独作用产生的效果的总和 应用 当杆件内力、应力及变形，与外力成正比 关系时，通常即可应用叠加原理 例题 用叠加法分析内力
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
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19
单辉祖-材料力学教程
20
例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最 大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。
重力＋ 惯性力(达郎贝尔原理)
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34
材料压缩时的力学性能
低碳钢压缩
Et Ec
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(s s )t (s s )c
愈压愈扁
35
灰口铸铁压缩
(sb)c= 3 ~ 4 (sb)t
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断口与轴线约成45o
36
温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
中炭钢
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硬铝
胡克定律与杆的轴向变形
胡克定律
实验表明：当s sp 时，
s
引入比例常数E
s E
在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律
E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
1 GPa109 Pa103 MPa 钢与合金钢： E 200~ 220 GPa
铝合金： E 70~ 72 GPa
FN ( x )dx EA( x )
l
FN ( x ) dx l EA( x )
阶梯形杆
F l l Ni i i 1 Ei Ai
n
n － 杆段总数 FNi－ 杆段 i 的轴力
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
b b1 b
泊松比
试验表明
b ' b
：在比例极限内，’ ，并异号
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
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5
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
单辉祖-材料力学教程
6
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
单辉祖-材料力学教程 7
轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
刚体 EA
刚体 EA
试求：载荷F的许用值－许用载荷 [F]
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49
单辉祖-材料力学教程
50
例 6-3 已知： l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [s ] 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值
斜撑杆
单辉祖-材料力学教程
51
单辉祖-材料力学教程
52
例 6-4 图示立柱，承受轴 向载荷 F。立柱的材料密 度为r，许用应力为[s]。 为使各横截面的应力均 等于 [ s ], 试确定横截面 沿立柱轴线的变化规律 .
立柱
பைடு நூலகம்
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53
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54
§7 胡克定律与拉压杆的变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
BC 段： FN2 F 0
FN2 F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
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轴力图
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
37
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数
交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
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38
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
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39
应力集中因数
s max K sn
smax－最大局部应力 sn －名义应力
叶片
例 7-3 图示桁架，杆1与2分别用钢与松木制成。F = 10 kN；E1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m；E2 = 10 GPa, A2 = 4000 mm2。试求节点 A 的水平与铅垂位移
例 7-4 F1 = F2 / 2 = F，求截面 A 的位移Ay
21
§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能
其它材料的拉伸力学性能
材料压缩时的力学性能 温度对力学性能的影响
单辉祖-材料力学教程
22
拉伸试验与应力－应变图
拉伸标准试样
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
§6 许用应力与强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算
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§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
单辉祖-材料力学教程
3
轴向拉压实例
单辉祖-材料力学教程
4
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
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其它材料的拉伸力学性能
塑性金属材料拉伸
30铬锰硅钢 50钢 硬铝
/%
s 0.2－名义屈服极限
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灰口铸铁拉伸
断口与轴线垂直
单辉祖-材料力学教程 33
纤维增强复合材料拉伸
碳纤维/环氧树脂基体
各向异性 线弹性 脆性材料
单辉祖-材料力学教程
GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
单辉祖-材料力学教程 23
拉伸试验
试验装置
单辉祖-材料力学教程
24
拉伸试验与应力－应变图
F F / As l l / l
应力－应变图
单辉祖-材料力学教程
25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性
滑移线
低碳钢Q235
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
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12
2. 假设
变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 – 拉压平面假设
3.正应力公式
横截面上各点处仅存在正 应力，并沿横截面均匀分布 公式得到试验证实
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s
FN A
拉压杆斜截面上的应力
1. 斜截面应力分布
横截面上 的正应力 均匀分布
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横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos s 0 cos A
s p cos s 0cos 2 s0 t p sin sin2
轴向变形基本公式
s E
l
FN s A
l l
FN l －胡克定律 EA
在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴 力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比 EA－ 杆截面的 拉压刚度 l － 伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
变截面变轴力杆
d( l )
ss sb
nb ns
- 塑性材料 - 脆性材料
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45
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [s ] A max
s max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [s ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [s ] 确定承载能力 已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[s ]
F sn ( b d )
－板厚
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40
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
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41
疲劳破坏
sb ss
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
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例 题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[s] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
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47
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48
例 6-2 已知：A1=A2=100 mm2，[st ]=200 MPa，
[sc ]=150 MPa
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应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 smax＝sb 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当smax达到ss 后再增加载荷， s 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
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材料的塑性 塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力
伸长率
l0 100 0 0 l
l－试验段原长（标距） l0－试验段残余变形
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30
断面收缩率
A A1 1000 0 A
A －试验段横截面原面积
A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料 塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力 轴向拉压强度条件 例题
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44
失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s s - 塑性材料 su s b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 su [s ] n ≥ 1 安全因数 n
[s ] [s ]
例 题
例 21 等直杆BC , 横截面面积为A , 材料密度为r , 画杆 的轴力图，求最大轴力
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10
§3 拉压杆的应力与圣维南原理
拉压杆横截面上的应力
拉压杆斜截面上的应力
圣维南原理 例题
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11
拉压杆横截面上的应力
2
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3. 最大应力分析
s s 0cos
2
t
s0
2
sin2
s max s 0 s 0 t max s 45 s 0
2
最大正应力发生在杆件横截面上，其值为s0
最大切应力发生在杆件45°斜截面上, 其值为s0/2
4. 正负符号规定 ：以x 轴为始边，逆时针转向者为正 t ：斜截面外法线On沿顺时针方向旋转90，与 该方向同向之切应力为正
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圣维南原理 杆端应力分布
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17
应力非 均布区
应力均布区
应力非 均布区
圣维南原理
力作用于杆端的分布方 式，只影响杆端局部范围的 应力分布，影响区约距杆端 1~2 倍杆的横向尺寸
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杆端镶入底座，横 向变形受阻，应力 非均匀分布
18
例 题
第 2 章 轴向拉伸与压缩
本章主要研究：
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拉压杆的内力、应力与强度计算 材料在拉伸与压缩时的力学性能 轴向拉压变形分析 简单拉压静不定问题分析 连接部分的强度计算
1
§1 引言
§2 轴力与轴力图
§3 拉压杆的应力与圣维南原理 §4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
§5 应力集中概念
例 题
例 7-1 已知 l = 54 mm, di = 15.3 mm, E＝200 GPa, 0.3,
拧紧后, AB 段的轴向变形为l ＝0.04 mm。试求螺栓横 截面上的正应力 s , 与螺栓的横向变形 d
例 7-2 图示涡轮叶片，材料密度为r ，转速为w 试求叶片横截面上的正应力与轴向变形
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26
滑移线
缩颈与断裂
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27
sp-比例极限 ss-屈服极限
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sb-强度极限 E= tan - 弹性模量
28
卸载与再加载规律
s e－弹性极限
e －弹性应变
p－塑性应变
冷作硬化：由于预加塑性变形, 使s e 或s p 提高的现象
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'
s
E
－ 泊松比 ( 0 0.5 )
' s
E
叠加原理
算例 试分析杆 AC 的轴向变形 l
叠加原理 原理 几个载荷同时作用所产生的总效果，等 于各载荷单独作用产生的效果的总和 应用 当杆件内力、应力及变形，与外力成正比 关系时，通常即可应用叠加原理 例题 用叠加法分析内力
例 3-1 已知：F = 50 kN，A = 400 mm2 试求：斜截面 m-m 上的应力
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19
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20
例 3-2 以加速度 a 向上起吊直杆, 分析杆的轴力，并求最 大正应力。横截面面积为A, 材料密度为r。
重力＋ 惯性力(达郎贝尔原理)
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34
材料压缩时的力学性能
低碳钢压缩
Et Ec
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(s s )t (s s )c
愈压愈扁
35
灰口铸铁压缩
(sb)c= 3 ~ 4 (sb)t
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断口与轴线约成45o
36
温度对力学性能的影响
材料强度、弹性常数随温度变化的关系
中炭钢
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硬铝
胡克定律与杆的轴向变形
胡克定律
实验表明：当s sp 时，
s
引入比例常数E
s E
在比例极限内，正应力与正应变成正比－胡克定律
E－弹性模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
1 GPa109 Pa103 MPa 钢与合金钢： E 200~ 220 GPa
铝合金： E 70~ 72 GPa
FN ( x )dx EA( x )
l
FN ( x ) dx l EA( x )
阶梯形杆
F l l Ni i i 1 Ei Ai
n
n － 杆段总数 FNi－ 杆段 i 的轴力
横向变形与泊松比
拉压杆的横向变形
b b1 b
泊松比
试验表明
b ' b
：在比例极限内，’ ，并异号
拉 压 杆: 以轴向拉压为主要变形的杆件
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5
§2 轴力与轴力图
轴力 轴力计算 轴力图 例题
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6
轴 力
轴力定义：通过横截面形心并沿杆件轴线的内力
符号规定：拉力为正,压力为负
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轴力计算
试分析杆的轴力 （F1=F，F2=2F）
刚体 EA
刚体 EA
试求：载荷F的许用值－许用载荷 [F]
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49
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50
例 6-3 已知： l, h, F（0 < x < l）, AC为刚性梁, 斜撑杆 BD 的许用应力为 [s ] 试求：为使杆 BD 重量最轻, q 的最佳值
斜撑杆
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51
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52
例 6-4 图示立柱，承受轴 向载荷 F。立柱的材料密 度为r，许用应力为[s]。 为使各横截面的应力均 等于 [ s ], 试确定横截面 沿立柱轴线的变化规律 .
立柱
பைடு நூலகம்
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54
§7 胡克定律与拉压杆的变形
轴向变形与胡克定律 横向变形与泊松比 叠加原理 例题
FR F2 F1 F
AB 段： FN1 F
BC 段： FN2 F 0
FN2 F
要点：逐段分析轴力；设正法求轴力
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轴力图
FN1 F
FN2 F
以横坐标 x 表示横截面位置，以纵坐标 FN 表示轴力，绘制轴力沿杆轴的变化曲线。 表示轴力沿杆轴变化情况的图 线（即 FN-x 图 ）, 称为轴力图
37
§5 应力集中概念
应力集中与应力集中因数
交变应力与材料疲劳概念
应力集中对构件强度的影响
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38
应力集中与应力集中因数
应力集中
由于截面急剧变化引起应力局部增大现象－应力集中
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39
应力集中因数
s max K sn
smax－最大局部应力 sn －名义应力
叶片
例 7-3 图示桁架，杆1与2分别用钢与松木制成。F = 10 kN；E1 = 200 GPa, A1 = 100 mm2, l1 = 1 m；E2 = 10 GPa, A2 = 4000 mm2。试求节点 A 的水平与铅垂位移
例 7-4 F1 = F2 / 2 = F，求截面 A 的位移Ay
21
§4 材料在拉伸与压缩时的力学性能
拉伸试验与应力－应变图 低碳钢的拉伸力学性能
其它材料的拉伸力学性能
材料压缩时的力学性能 温度对力学性能的影响
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拉伸试验与应力－应变图
拉伸标准试样
l 10d 或 l 5d
l 11.3 A 或 l 5.65 A
§6 许用应力与强度条件 §7 胡克定律与拉压杆的变形 §8 简单拉压静不定问题 §9 连接部分的强度计算
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§1 引 言
轴向拉压实例 轴向拉压及其特点
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3
轴向拉压实例
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4
轴向拉压及其特点
外力特征：外力或其合力作用线沿杆件轴线 变形特征：轴向伸长或缩短，轴线仍为直线 轴向拉压: 以轴向伸长或缩短为主要特征的变形形式
单辉祖-材料力学教程 31
其它材料的拉伸力学性能
塑性金属材料拉伸
30铬锰硅钢 50钢 硬铝
/%
s 0.2－名义屈服极限
单辉祖-材料力学教程 32
灰口铸铁拉伸
断口与轴线垂直
单辉祖-材料力学教程 33
纤维增强复合材料拉伸
碳纤维/环氧树脂基体
各向异性 线弹性 脆性材料
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GB/T 228-2002《金属材料室温拉伸试验方法》
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拉伸试验
试验装置
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24
拉伸试验与应力－应变图
F F / As l l / l
应力－应变图
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25
低碳钢的拉伸力学性能
加载过程与力学特性
滑移线
低碳钢Q235
1.试验观察
横线仍为直线
仍垂直于杆轴 横线间距增大
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12
2. 假设
变形后,横截面仍保持平面,仍与杆轴垂 直,仅沿杆轴相对平移 – 拉压平面假设
3.正应力公式
横截面上各点处仅存在正 应力，并沿横截面均匀分布 公式得到试验证实
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s
FN A
拉压杆斜截面上的应力
1. 斜截面应力分布
横截面上 的正应力 均匀分布
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横截面间 的纤维变 形相同
斜截面间 的纤维变 形相同
斜截面上 的应力均 匀分布
14
2. 斜截面应力计算
Fx 0, p
p
A F 0 cos
F cos s 0 cos A
s p cos s 0cos 2 s0 t p sin sin2
轴向变形基本公式
s E
l
FN s A
l l
FN l －胡克定律 EA
在比例极限内，拉压杆的轴向变形 l ，与轴 力 FN 及杆长 l 成正比，与乘积 EA 成反比 EA－ 杆截面的 拉压刚度 l － 伸长为正，缩短为负
轴向变形一般公式
变截面变轴力杆
d( l )
ss sb
nb ns
- 塑性材料 - 脆性材料
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45
轴向拉压强度条件
强度条件 保证拉压杆不致因强度不够而破坏的条件
FN [s ] A max
s max
变截面变轴力拉压杆
FN,max [s ] A
等截面拉压杆
常见强度问题类型 校核强度 已知杆外力、A与[s]，检查杆能否安全工作 截面设计 已知杆外力与[s]，确定杆所需横截面面积 FN,max A [s ] 确定承载能力 已知杆A与[s]，确定杆能承受的FN,max [FN ] A[s ]
F sn ( b d )
－板厚
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40
交变应力与材料疲劳概念
交变或循环应力 随时间循环或交替变化的应力
连杆
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41
疲劳破坏
sb ss
N－应力循环数
钢拉伸疲劳断裂
在循环应力作用下，虽然小于强度极限，但经历应 力的多次循环后，构件将产生可见裂纹或完全断裂
在交变应力作用下，材料或构件产生可见 裂纹或完全断裂的现象，称为 疲劳破坏
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例 题
例 6-1 图示吊环，最大吊重 F = 500 kN，许用应力[s] = 120 MPa，夹角 = 20°。试确定斜杆的直径 d。
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例 6-2 已知：A1=A2=100 mm2，[st ]=200 MPa，
[sc ]=150 MPa
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应力集中对构件强度的影响
对于脆性材料构件，当 smax＝sb 时，构件断裂
对于塑性材料构件，当smax达到ss 后再增加载荷， s 分布趋于均匀化，不影响构件静强度 应力集中促使疲劳裂纹的形成与扩展，对构件 （塑性与脆性材料）的疲劳强度影响极大
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材料的塑性 塑性 材料能经受较大塑性变形而不破坏的能力
伸长率
l0 100 0 0 l
l－试验段原长（标距） l0－试验段残余变形
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断面收缩率
A A1 1000 0 A
A －试验段横截面原面积
A1－断口的横截面面积
塑性与脆性材料 塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
§6 许用应力与强度条件
失效与许用应力 轴向拉压强度条件 例题
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失效与许用应力
静荷失效
断裂与屈服，相应极限应力
s s - 塑性材料 su s b - 脆性材料
许用应力 构件工作应力的最大容许值 su [s ] n ≥ 1 安全因数 n
[s ] [s ]