材料力学-第二章 轴向拉伸和压缩
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材料力学第2章 轴向拉伸和压缩
10
图2.10
11
与横截面上正应力分布规律的研究方法相似， 同样可以得出斜截面上的总应力pα也是均匀分布的， 故 将总应力pα分解为两个分量：m－m截面法线 方向的正应力ζα和切线方向的切应力ηα（见图2.10 （c）），并利用式（2.3）可得
12
四、应力集中的概念 由2.3.2节知，对于等截面直杆在轴向拉伸或 者压缩时，除两端受力的局部区域外，截面上的应 力是均匀分布的。
15
现以图2.12所示等截面杆为例来研究轴向拉 （压）杆的变形。在轴向外力F的作用下，杆件的 轴向、横向的尺寸均会发生改变。设杆件变形前原 长为l，横向尺寸为d，变形后长度为l′，横向尺寸 为d′，称 为轴向变形，称
16
图2.12
17
由于绝对变形量不能全面反映杆件的变形程度， 为解决此问题，引入线应变（linear strain）的概 念。线应变是指单位长度的长度改变量，用ε表示， 量纲为1。称 为轴向线应变（axial linear strain），简称线 应变。而称
第2章 轴向拉伸和压缩
第一节
轴向拉伸变形或轴向压缩变形，简称拉伸或压缩，是 杆件基本变形形式之一。在工程实际中，发生拉伸或压缩变 形的构件是很常见的，例如,屋架（见图2.1）在屋面板传来 的节点荷载作用下，其上、下弦杆及腹杆均产生拉伸或压缩 变形；三角支架ABC（见图2.2）的AB杆产生拉伸变形， BC杆产生压缩变形；其他如桁架中各杆、内燃机的活塞连 杆、起重机用的钢索、千斤顶杆等都是产生拉伸或压缩变形 的实例。
5 材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
3
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
力学模型如图
P
轴向拉伸，对应的力称为拉力。
P
P
轴向压缩，对应的力称为压力。
P
4
二、
工 程 实 例
5
§2–2 拉伸与压缩时直杆横截面上的内力、应力
一、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内 力系的合成（附加内力）。 轴向力的符号规定：垂 直于截面向外的力为正 ，向内的力为负。 轴力图：表示轴力大 小与截面位置关系的 图
b′ d′
△l＝l -l
1
0
, 拉伸为正，压缩为负。
二、拉压杆的相对变形
P
a′ c′
P
x +d x LL+d 1 L
l lim l
正应变，线应变。
22
三、拉压杆的胡克定律：在一定范围内，杆件所发生的拉压变形与 所受力及原始长度成正比，而与其横截面成反比。
P
P
PL L A L PL SL EA EA
6
二、截面法 ·轴力与轴力图 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的 基础。求内力的一般方法是截面法。 1. 截面法的基本步骤： ① 截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用 在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。
③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来
材料力学——2拉伸和压缩
影响
研究方法
• 仿正截面应力
公式去推导
• 找出同正截面
应力的关系
18
直接推导
pα
P Aα
P cos
A
cos
分解成正应力和剪应力，有
p cos cos2
p sin sin 2 / 2
19
0
cos2 sin 2 / 2
max
90
45
0
min 0
• 解： （1）角钢承受的总载荷
F pbL
（2）每个螺栓的剪力
F pbL Fs 2 2
61
（3）螺栓所受的名义切应力
Fs pbL / 2 2 pbL 2 2.0 0.06 0.15
A剪 d 2 / 4 d 2
3.14 0.0152
50.96(MPa)
4）单个螺栓与角钢 间的挤压力
Fbs
F 2
pbL 2
62
（5）螺栓与角钢间的名义挤压应力
Fbs pbL / 2 pbL
弹性力学计算
max 实验测试（光弹性实验）
均匀分布的名义应力
45
§2-5 剪切和联接的实用计算
• 1 概述 • 2 剪切的实用计算 • 3 挤压的实用计算
46
1 概 述 如果受拉构件是拼接的，除了受拉， 还受什么作用？注意力转到 联接件
在 被联接构件（Connective Components） 之间，常用
研究方法
• 仿正截面应力
公式去推导
• 找出同正截面
应力的关系
18
直接推导
pα
P Aα
P cos
A
cos
分解成正应力和剪应力，有
p cos cos2
p sin sin 2 / 2
19
0
cos2 sin 2 / 2
max
90
45
0
min 0
• 解： （1）角钢承受的总载荷
F pbL
（2）每个螺栓的剪力
F pbL Fs 2 2
61
（3）螺栓所受的名义切应力
Fs pbL / 2 2 pbL 2 2.0 0.06 0.15
A剪 d 2 / 4 d 2
3.14 0.0152
50.96(MPa)
4）单个螺栓与角钢 间的挤压力
Fbs
F 2
pbL 2
62
（5）螺栓与角钢间的名义挤压应力
Fbs pbL / 2 pbL
弹性力学计算
max 实验测试（光弹性实验）
均匀分布的名义应力
45
§2-5 剪切和联接的实用计算
• 1 概述 • 2 剪切的实用计算 • 3 挤压的实用计算
46
1 概 述 如果受拉构件是拼接的，除了受拉， 还受什么作用？注意力转到 联接件
在 被联接构件（Connective Components） 之间，常用
材料力学第2章轴向拉伸与压缩
α
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
2.2.2轴力图 当杆件受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力可能各不相同。表示 轴力沿杆件轴线变化的图形称为轴力图。绘制轴力图时，需建立N—x坐标系 ，横坐标x表示横截面的位置，纵坐标N表示相应截面上轴力的数值。习惯上 将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。 下面通过例题介绍轴力图的绘制。
图2.8
由于杆内各点的变形是均匀的，因而同一斜截面上的应力也是均匀分布的。 设斜截面面积为Aα ，以pα 表示斜截面的全应力(见图2.8(c))，于是有 而斜截面面积与杆件横截面面积A的关系为
将式(c)代入式(b)，并结合式(a)，得
其中，ζ 为杆横截面上的正应力。将斜截面的全应力pα 分解为垂直于斜截面 的正应力ζ
和沿斜截面的切应力
，如图2.8(d)所示，即得
从式(2.4)可以看出，ζ
α
和α 都是α 的函数。所以斜截面的方位不同，截 ， 即横截面上的正应力是所有截
面上的应力也就不同。当α =0时，
面上正应力中的最大值。当α =45°时，α 达到最大值，且
可见，在与杆件轴线成45°的斜截面上，切应力为最大值，最大切应力在数 值上等于最大正应力的1/2。 关于切应力的符号，规定如下：截面外法线顺时针转90°后，其方向和切应 力相同时，该切应力为正值，如图2.9(a)所示；逆时针转90°后，其方向和 切应力相同时，该切应力为负值，如图2.9(b)所示。
2.2.2轴力图 当杆件受到多个轴向外力作用时，不同横截面上的轴力可能各不相同。表示 轴力沿杆件轴线变化的图形称为轴力图。绘制轴力图时，需建立N—x坐标系 ，横坐标x表示横截面的位置，纵坐标N表示相应截面上轴力的数值。习惯上 将正的轴力画在x轴上侧，负的画在x轴下侧。 下面通过例题介绍轴力图的绘制。
图2.8
由于杆内各点的变形是均匀的，因而同一斜截面上的应力也是均匀分布的。 设斜截面面积为Aα ，以pα 表示斜截面的全应力(见图2.8(c))，于是有 而斜截面面积与杆件横截面面积A的关系为
将式(c)代入式(b)，并结合式(a)，得
其中，ζ 为杆横截面上的正应力。将斜截面的全应力pα 分解为垂直于斜截面 的正应力ζ
材料力学第二章 轴向拉压
0,
max
( 0)
max
(
0
,横截面上。
(2) max :
45
2
,450斜截面上。
19
2
)
四、拉压杆的强度计算
1、极限应力、许用应力
⑴、极限应力（危险应力、失效应力）：材料发生破坏或产生 过大变形而不能安全工作时的最小应力值。“ζ jx”（ζ u、ζ 0） ⑵、许用应力：构件安全工作时的最大应力。“[ζ ]”
8、公式的使用条件
(1) 轴向拉压杆 (2) 除外力作用点附近以外其它各点处。 （范围：不超过杆的横向尺寸）
16
三、轴向拉压杆任意斜面上应力的计算
1、斜截面上应力确定
(1) 内力确定：
FN= F (2)应力确定： ①应力分布——均布 F F F
F
FN
x
p
②应力公式—— FN F F p cos cos A A A cos
F
25KN
X
4 25103 FN 4F 162 MPa 2 2 3.14 0.014 A d
170MPa 3、强度校核： max 162MPa
此杆满足强度要求，能够正常工作。
23
例 已知简单构架：杆1、2截面积 A1=A2=100 mm2，材料的许
材料力学2-轴向拉伸与压缩
d h
2、试验仪器：万能材料试验机。
二、低碳钢拉伸时的力学性能
低碳钢试件的拉伸图(F--L图)
s
B A
C D
F s A
sb
se sp
ss
L L
O
p
e
低碳钢试件的应力--应变曲线(s -- 图)
拉压
低碳钢拉伸的力学性能
拉 伸 曲 线 的 四 个 阶 段
断裂阶段 强化阶段 弹性阶段 强化阶段 阶段 屈服阶段
Saint-Venant原理
应力集中
应力集中因数
s max K s0
smax－最大局部应力 s 0 －名义应力(净截面上的平均应力）
[例4] 图示结构中，AC为钢杆，横截面积 A1=200 mm2，BC为铜 杆，横截面积 A2=300 mm2，P=40KN。求：两杆的应力。 解：以C为对象，列平衡方程：
抗拉强度:
Fb sb A
E t ana ; 割线斜率
拉压
铸铁拉伸的力学性能
断 裂 行 为
拉压
材料压缩的力学性能
低 碳 钢 压 缩 的 力 学 行 为
拉压
材料压缩的力学性能
铸 铁 压 缩 的 力 学 行 为
§2-4 轴向拉压杆的强度条件
保证构件不发生强度破坏并有一定安全裕量的条件准则。
材料力学第二章 轴向拉伸和压缩
该式表明：材料在弹性范围内，一点的正应力和线应变 成正比，即为线性关系。
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-3 拉压杆的变形.胡克定律 一、轴向变形.胡克定律
d'
d
二、横向线应变、泊松比 横向线应变
F
l l'
F
d d d d d
l 轴向线应变 l FN l 胡克定律 l EA
C m
2、代替 3、平衡
F
x
0
F
A
C
FN
x
FN F 0 FN F
轴力
B F
FN
C
同样取右段杆，可得： FN F
左段梁与右段梁求出的 FN 等值、共线，但反向。 符合作用力与反作用力定律. 轴力正负号的规定： 轴力的方向与横截面的外法线方向一致，使杆拉伸为正， 反之使得杆压缩为负.
材料力学
第2章 轴向拉伸和压缩
§2-2 轴力及轴力图 二、轴力图
F =25kN F ４=55kN ４ １=40kN F F ４=20kN
A
E D B C 0.6m 0.3m 0.5m 0.4m
当杆上受到多个外力作用时，不同 截面上的轴力则不同，为了反映不同 截面上的轴力，找到危险截面上的轴 力，即最大的轴力，通常绘制轴力图 来表示轴力沿杆轴线的变化规律。
材料力学第二章
形的能力。若其他条件相同，E 值越大，杆长的改变量 l 或线应变 就越小。 公式（2-5）中，EA 越大，杆长的改变量 l 就越小，故 EA 称为杆件的拉伸刚
度或压缩刚度。
三、泊松比
如图 2-9 所示的杆件，当纵向改变量为 l 时，横向改变量为
因此，横向应变为
d d1 d
d d1 d d d1
例 2-1 一钢制阶梯状杆如图 2-8（a）所示。各段杆的横截面面积为：左段 A1 1 600 mm2 ，中段 A2 625 mm2 ，右段 A3 900 mm2 ，试画出轴力图，并计算各段 杆横截面上的应力。
（a）
（b）
（c）
（c）
（e） 图2-8
解 （1）求轴力。首先求左段横截面上的轴力。应用截面法，
根据实验中观察到的现象，可作出假设：直杆发生变形前原为平 面的横截面，变形后仍保持为平面。该假设称为平面假设。
（a）
（b）
图2-7
从静力学方面考虑，根据连续性假设，可假想把杆件的整个横截面面 积 A 分为彼此连续的无限多个微面积 dA ，作用于任一微面积上的微内力 为
dFN dA
可见，作用于各微面积上的微内力，组成一个空间平行力系。由静
第三节 轴向拉伸与压缩时杆件的变形计算
一、线应变
设杆件的原长为 l，变形后的长度为 l1（见图 2-9），杆件长度的改变量为
材料力学-第2章
0
45
min 0 max 2
min 0
正负号规定：
正应力—拉应力为正，压应力为负
切应力—自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负
（2）
Hale Waihona Puke Baidu
间
接
推
导
取三角形微元 由平衡 即
dA
dA
X 0 M 0
dA p dA dA
h
B
C
b
y
F
F
A
由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程 Fy 0 得 F 32FN cos 0 F 1000 10 FN 5.32 105 N 2 cos 2 cos 20 x 2、强度校核 由于斜杆由两个矩 形杆构成，故A=2bh，工作应力为
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2-1
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
tan
§2-4 材料拉伸时的力学性质
45
min 0 max 2
min 0
正负号规定：
正应力—拉应力为正，压应力为负
切应力—自外法线 n 顺时针转向它，为正；逆时针为负
（2）
Hale Waihona Puke Baidu
间
接
推
导
取三角形微元 由平衡 即
dA
dA
X 0 M 0
dA p dA dA
h
B
C
b
y
F
F
A
由于结构几何和受力的对称性，两 斜杆的轴力相等，根据平衡方程 Fy 0 得 F 32FN cos 0 F 1000 10 FN 5.32 105 N 2 cos 2 cos 20 x 2、强度校核 由于斜杆由两个矩 形杆构成，故A=2bh，工作应力为
由于外力的作用线与 杆件的轴线重合，内力的 F 作用线也与杆件的轴线重 合。所以称为轴力。
3、轴力正负号：拉为正、 F 压为负
0 FN F 0 FN F
F
x
4、轴力图：轴力沿杆件轴 线的变化
§2.2 轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力
例题2-1
A
1 B 1 F2
2 C 2
3 D
tan
§2-4 材料拉伸时的力学性质
材料力学之轴向拉伸与压缩
50
G Ay
F
F
y
n
n
3500
FNy
F Ay FNy 0
FNy F Ay 50 2.46 y
58.6
kN
§3 应力·拉（压）杆内的应力
应力的概念
应力：受力杆件某截面上一点的内力分布疏密程度，内力集度.
(工程构件，大多数情形下，内力并非均匀分布，集度的定义不仅准 确而且重要，因为“破坏”或“失效”往往从内力集度最大处开 始。)
弹性范围以内。
3.利用应变能的概念可以解决与结构或构件的弹性变形相关的问题（即
能量法，参见教材例2-6），验证性重解前面例2-12、2-13。
§6 材料在拉伸和压缩时的力学性能
力学性能———指材料受力时在强度和变形方面表现
出来的性能。
塑性变形 变形
弹性变形
塑性变形又称永久变形或残余变形
塑性材料：断裂前产生较大塑性变形的材料,如低碳钢
dFN dA
FN
dA
A
dA A
A
几何变形 平面假设
原为平面的横截面在杆 变形后仍为平面
拉杆变形后两横截面将沿杆轴 线做相对平移，即拉杆在其任 意两个横截面之间纵向线段的 伸长变形是均匀的。
杆的分布内力集度 材料是均匀的 与杆纵向线段的变
形相对应
横截面上的分布内力是均匀的
材料力学(I)第2章 轴向拉伸和压缩
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
11
例题 2-1
10kN
40kN
以图d为分离体，由SFx=0，得 FN2=50 kN(拉力)
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
12
例题 2-1
取截面3－3右边为分离体（图e），假设轴力为 拉力。
由SFx=0，得FN3= -5 kN （压力）。
25kN
(e) 同理，FN4=20 kN (拉力)
应力量纲：ML-1T-2 应力单位：Pa(1 Pa = 1 N/m2，1 MPa = 106 Pa)。
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
23
Ⅱ 拉(压)杆横截面上的应力
(1) 与轴力相应的只可能是正应力s，与切应力无关； (2) s在横截面上的变化规律横截面上各点处s 相等 时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力— —轴力FN ；横截面上各点处s 不相等时，特定条件 下也可组成轴力FN 。
Ⅱ段柱横截面上的正应力
FN 2 150 10 N s2 A2 0.37 m 0.37 m
3
1.1 106 Pa 1.1 MPa
(压应力)
材料力学(Ⅰ)电子教案
轴向拉伸和压缩
30
例题 2-3
结果表明，最大工作应力为 smax= s2= -1.1 MPa (压应力）
材料力学第二章
试验标准：
轴向拉伸与压缩
GB/T 7314－2005 金属压缩试验方法
低碳钢压缩 主要结论：
标准试件： 短圆柱，高度与直径比一般为 2.5～3.5
曲线
⑴ 比例极限 p、屈服极限s、 弹性模量 E 与拉伸时大致相同.
⑵ 不存在强度极限.
第二章
轴向拉伸与压缩
金属材料压缩时的力学性能
称为泊松比
第二章
4.胡克定律
轴向拉伸与压缩
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 ，EA称为抗拉（压）刚度.
第二章
轴向拉伸与压缩
第二章
4.材料的塑性指标
（1）伸长率
轴向拉伸与压缩
l1 l 100% l A A1 100% A
l 为标距； l1 为试件拉断后工作段的长度 （2）断面收缩率
A 为原始横截面积； A1 为试件拉断后断口处的最小横截面积 工程中通常将材料划分为两类：
塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
轴向拉压变形
第二章 2.2 杆的变形
轴向拉伸与压缩
轴向拉伸与压缩
GB/T 7314－2005 金属压缩试验方法
低碳钢压缩 主要结论：
标准试件： 短圆柱，高度与直径比一般为 2.5～3.5
曲线
⑴ 比例极限 p、屈服极限s、 弹性模量 E 与拉伸时大致相同.
⑵ 不存在强度极限.
第二章
轴向拉伸与压缩
金属材料压缩时的力学性能
称为泊松比
第二章
4.胡克定律
轴向拉伸与压缩
实验表明工程上大多数材料都有一个弹性阶段，在此 弹性范围内，正应力与线应变成正比. 由
E
FN A FN l Δl EA
Δl l
上式改写为
式中 E 称为弹性模量 ，EA称为抗拉（压）刚度.
第二章
轴向拉伸与压缩
第二章
4.材料的塑性指标
（1）伸长率
轴向拉伸与压缩
l1 l 100% l A A1 100% A
l 为标距； l1 为试件拉断后工作段的长度 （2）断面收缩率
A 为原始横截面积； A1 为试件拉断后断口处的最小横截面积 工程中通常将材料划分为两类：
塑性材料： ≥ 5 % 例如结构钢与硬铝等 脆性材料： <5 % 例如灰口铸铁与陶瓷等
轴向拉压变形
第二章 2.2 杆的变形
轴向拉伸与压缩
材料力学-轴向拉伸与压缩
一、定义
F
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
F
F
F
轴向拉伸（压缩） ——外力的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴 线方向伸长（缩短） 的变形形式
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
二、工程实例 ——桥的拉杆
二、工程实例 ——桥的拉压杆
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
二、工程实例 ——挖掘机的顶杆
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
即：
k max
显然，k>1，反映了应力集中的程度。
七、应力集中
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
3.减小应力集中的措施
F
F
（1）将突变改为缓变，做成圆弧形；
（2）使用塑性材料。
s
s
塑性材料对应力集中敏感性小
F
F
第二章 轴向拉伸与压缩
§2.2 轴向拉压杆的变形与应变
一、线应变 二、切应变 三、体积应变
§2.1 轴向拉压杆的内力与应力
例1 画出图示直杆的轴力图。
解： 1.求轴力
1F1=18kN 2 F2=8kN3 F3=4kN
1
2
3
1-1截面： FN1 6kN
FN 6kN
2-2截面：FN2 12kN
3-3截面： FN3 4kN O
x
4kN
材力第2章：轴向拉伸与压缩
1、强度性质
根据应力应变图，σ与ε之间的关系可分下列四个阶段 ⑴ 弹性阶段: o a’ O a为直线段；aa 为微弯曲线段。 oA为直线段： = E
d
p
— 比例极限； — 弹性极限。
b
e
e
E=
= tan
e P
a' ab
c
s
⑵ 屈服阶段: a’ c 失去抵抗变形的能力
1
9kN
2
3kN
3
4 kN
1 2 3
2kN
4 kN
FN Ⅰ
FN Ⅲ
2kN
FN 1 = 4kN
9kN
4 kN
FN 3 = -2kN
FNⅡ
FN 2 = -5kN
4kN
2kN 5kN
§2-3 横截面上的应力 1、实验： 变形前 受力后 F F
2、变形规律： 横向线 —— 仍为平行的直线，且间距增大。 纵向线 —— 仍为平行的直线，且间距减小。 3、平面假设：
材料的力学性质可通过实验得到——常温静载下的拉伸压缩试验
(一) 低碳钢拉伸时的力学性质
国家标准规定《金属拉伸试验方法》（GB228—2002)
拉伸标准试样
l = 10d
或
l = 5d
d
压缩试件 — 很短的圆柱型 h = (1.5 ～ 3.0) d
材料力学第二章 轴向拉伸与压缩
x
危险截面位置，为强度计算提
供依据。
例1 求图示杆件1-1、2-2、3-3截面上的内力，并作出内力图
解： 1、求1-1截面上内力 FN1，设置截面如图
Fx 0
P
FN1 P 0
FN 1 P
P
2、2-2截面上的内力
Fx 0
P
FN 2 0
3、3-3截面上的内力 P
FN 3 P
即：离端面不远处，应力分布就成为均匀的。
§2–3 直杆轴向拉压时斜截面上的应力
一、斜截面上的内力
n
α
P
P
P 二、内力分布： 均匀分布
P
FN FN=P
Pa
FN
P
FN A
FN A
cos s cos
三、正应力、剪应力 s
P
α Pa
s p cos s cos 2
s
0
P A
410000 3.14102
127.4MPa
maxs 0 /2127 .4/263.7MPa
s
s 0
2
(1c
os2
)127.4(1c 2
os60)95.5MPa
ห้องสมุดไป่ตู้
s 0
2
sin2
材料力学第二章
显然两杆的轴力是相同，细杆先被拉断。 两根材料相同，粗细也相同的杆，在不同大小的拉力下， 随着拉力的增加，哪根杆先断？ 显然两杆的轴力是不同，拉力大的杆先被拉断。
这说明拉压杆的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。
因此我们必须求出横截面任意点的应力，以反映杆的受力程度。
11
一、拉、压时横截面上的应力
FN 2
300
x
0 0
FN1 cos a FN 2 0 FN 1 sin a F 0
FN1 F / sin a 2F 20kN
y
y
A F
计算得
FN 2 FN1 cosa 3F 17.32kN
x
2、根据胡克定律计算杆的变形。
FN 1l1 20 103 2 1103 m 1mm 斜杆伸长 Dl1 E1 A1 200 109 200 106 FN 2l2 17.32 103 1.732 0.6 103 m 0.6mm 水平杆缩短 Dl2 E2 A2 200 109 250 10 6
即轴向拉伸时横截面上的 应力计算公式。
P
N
P
dA N
轴力和截面变化的情况： ( x ) N ( x )
A( x )
14
3、Saint-Venant原理
N A
要求合外力的作用线与轴线重合这是因为在集中力
这说明拉压杆的强度不仅与轴力有关，还与横截面面积有关。
因此我们必须求出横截面任意点的应力，以反映杆的受力程度。
11
一、拉、压时横截面上的应力
FN 2
300
x
0 0
FN1 cos a FN 2 0 FN 1 sin a F 0
FN1 F / sin a 2F 20kN
y
y
A F
计算得
FN 2 FN1 cosa 3F 17.32kN
x
2、根据胡克定律计算杆的变形。
FN 1l1 20 103 2 1103 m 1mm 斜杆伸长 Dl1 E1 A1 200 109 200 106 FN 2l2 17.32 103 1.732 0.6 103 m 0.6mm 水平杆缩短 Dl2 E2 A2 200 109 250 10 6
即轴向拉伸时横截面上的 应力计算公式。
P
N
P
dA N
轴力和截面变化的情况： ( x ) N ( x )
A( x )
14
3、Saint-Venant原理
N A
要求合外力的作用线与轴线重合这是因为在集中力
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得不到b，压短而不断裂，
s
以屈服极限作为破坏依据。
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2.铸铁压缩
cb
tb cb
断口沿与轴线大致 成450面错开
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五、材料的塑性和脆性及其相对性
1. 外力作用线必须与杆件轴线重合。 2. 若轴力沿轴线变化，先作轴力图，再求各面
上的应力。
3.若截面尺寸沿轴线缓慢变化，公式近似为
x
x
FN x Ax
4.公式只在距外力作用点较远 A(x)
l
处才适用。
F
圣维南原理:
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加力点附近区域应力分布比较复杂， 公式不适用。当 a b 公式仍适用。ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
CCHHPTPETRER
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材料力学
2
魏媛
轴向拉伸和压缩
轴向拉伸和压缩
2012. 1
第二章
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轴向拉伸和压缩
§2.1 轴向拉伸和压缩的概念和实例 §2.2 轴向拉伸和压缩时的内力和应力 §2.3 材料在轴向拉伸和压缩时的力学性质 §2.4 许用应力、安全系数和强度条件
三.直杆拉伸和压缩时斜截面上的应力
斜面上内力: F F
F
F
斜面上全应力
F
应力分解:
A
F
斜面上正应力 p c oc os 2s
斜面上切应力
p2
ssinin
2
F
co s
s in
F
A
p
讨论
1. ， 是三角函数 2. ， 有极值
3. 符号规定:
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tb较小。断口沿横截面， 平齐、粗 糙
铸铁拉伸
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什么应力引起的破坏？
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四、压缩
1. 低碳钢压缩
与拉伸比较 E t E c E
st sc s
F
sin
sin
0.8 0.388 0.82 1.92
FAB
15 0.388
38.7
kN
A
2.求内力 FN F AB 38.7 kN
3.求应力
ox
FAB
FAC
A
F
AB
FN A
FAB A
38.7 103 (20 103)2
123 M
Pa
4
AB 123 M P a
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b
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例2. 一悬臂吊车，载荷 F=15kN，A C 1 . 9 m B C 0 . 8 m 当F 移到A点时 求AB 杆横截面上的应力。
B
d 20mm
C
y
F
解： 1.求外力
F y 0 F AB sin F 0
得FAB
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§2.5 轴向拉伸或压缩时的变形 §2.6 轴向拉伸或压缩时的弹性变形能 §2.7 拉伸、压缩超静定问题 §2.8 应力集中的概念
§2.1 轴向拉伸和压缩© 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 的概念和实例
2.屈服阶段
特点: 绝大部分为塑性变形
指针摆动，试件表面
c
e p
s
o
出现 45o 划移线。
力学指标: s屈服极限
表达式:
s
Fs A
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3.强化阶段
特点：大部分为塑性变形
卸载定律---直线规律
e
冷作硬化现象
e p o
s
力学指标: b 强度极限
实验条件: 常温、静载 实验
实验设备: 万能实验机
标准试件:国标
材 塑性材料—断裂前发生较大的塑性
料
变形(如低碳钢)
分 脆性材料—断裂前发生较少的塑性
类
变形(如铸铁)
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b
表达式:
b
Fb A
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4.颈缩阶段
特点： 大部分为塑性变形 局部颈缩 断口杯状
b
e p
s
o
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铁水包自重为8kN，最多能容30kN重的铁水。试 校核吊杆的强度。
解：1.吊杆外力
F 30 8 19 kN 2
25
50 2.吊杆内力
FN F 19 kN
3.校核吊杆强度
max
FN A
19 103 25 50 106
1 5 .2
M
Pa
max
吊杆满足强度条件
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例4 连杆AB接近水平，镦压力 F 3.78MN
横截面为矩形 h b 1.4 90 MPa 试设计截面尺寸。
解：1. 求杆AB的外力
} 材料的指标、 破坏形式
了解材料在拉、压时的力学性质
一、低碳钢的拉伸
F
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o
L o
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b
proportional limit
elastic limit
ePs
粉笔拉伸、压缩破坏断口是什么样的？ 是什么应力引起的破坏?
前面计算的是构件所受到的工作载荷 及工作应力,至于构件能否承受这些应 力,要了解材料本身的性质,而了解材料 的最好也是唯一的办法就是试验。
§3.3 材料在轴向拉伸© 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 压缩时的力学性质
低碳钢的拉伸实验现象
什么应力引起的破坏？
What reason is the specimen broken?
颈缩
破坏
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强度指标
{ s
Fs A
b
Fb A
屈服极限 强度极限
{ 塑性指标
l1 l 10 0 %
l
A A1 1 0 0 %
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四个阶段
1.弹性阶段
特点: 变形为弹性
b a
e P
o
oa 直线段内 t a n
虎克定律 E E--弹性模量
力学指标: p 比例极限
e 弹性极限
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n
x
4.列表找出max、max
00 450 900 -450
2
0
2
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max max
0
2
2
0
2
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结论
max发生在横截面
轴向拉压｛ max发生在与轴线成450斜面上
常温、静载下 塑性材料的塑性指标高，强度指标
是屈服极限 s， b ts cs
脆性材料的塑性指标低，强度指标
是强度极限 b t b c b
温度发生变化时，材料的性质也会随之发生 改变
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温度影响
§3.4
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A
伸长率 断面收缩率
如何区分塑性材料和脆性材料？
5 % 为塑材 5 % 为脆材
o
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f p
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一.实例
轴向拉伸
轴向压缩
二.外力
外力作用特点: 力通过轴线 变形特点(主要): 沿轴线方向伸长或缩短
受 力 简 图：
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§2.2 轴向拉伸和压缩时 © 2012.Wei Yuan. All rights reserved. 的内力和应力
yield stress
ultimate stress
fracture stress
o
elastic yielding
strain
region
hardening
necking
elastic behavior
plastic behavior
Conventional and true stress-strain diagrams for ductile material (steel)
二、其他塑性材料拉伸时的力学性质
不同: 多数塑性材料无明显屈服平台
共性：有直线段,塑性变形较大,强度极限较高
0.2
条件屈服极限0.2：
产生0.2%的塑性变形 所对应的应力。
o
(% )
0.2
三、铸铁拉伸
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tb o
- 微弯曲线，近 似直线, = E ,
拉、压实验属破坏性实验
标准试件
拉、压一直到断(破坏)
测量尺寸 选实验机
观察实验过程
试件、载荷（指针）、
坏的件
图的变化
得到
数值
图 F L 变形图
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计算指标
分析结果
数值 破坏形状 原因分析
不同材料相同受力
比较 { 相同材料不同受力
许用应力 u
n
塑性材料 s
n
脆性材料
t
tb
n
c
cb
n
四、强度条件
对于等直杆
max
FN max A
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五、强度条件可解决的三类问题：
1.校核:已知外力、截面、材料
安全 不安全
2.设计：已知外力、材料,可求
Α
FN
3.确定许可载荷:已知截面 材料,可求 F A
步骤
1. 外力分析 2.内力分析（画FN图，得FNmax）
3.用
max
FN max A
作校核、设计、确载计算。
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例3 已知：吊杆材料的许用应力， 8 0 M P a
许用应力、
安全系数和强度条件
一、工作应力
构件受到的 FN
A
二、极限应力u
材料不失效（破坏）所能承受的最大应力
塑性材料u= s 脆性材料u
tb cb
三、安全系数与许用应力
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安全系数：n >1，ns 1.2 ~ 2.5 nb 2 ~ 3.5
F1
FN1 FN2
F N 1 F1 压力 F3 F N 2 F 3 0
FN(kN)
F N 2 F 3 压力
o
x
2. 画轴力图:
1.32 2.62
二.横截面上的应力
F
A1
F
F1
F
A2
F
F2
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A1
F1
A2
F2
A2>A1,F相同,哪个危险？ A2>A1,F2>F1, 哪个安全?
一.横截面上的内力
截面法：
F
I
II
F 1.截 ２.取（任取）
F
I
FN
３.代 ４.平
Fx 0 FN F
说 明 1、FN 为内力,因过轴线,称轴力
2、轴力FN 的符号规定: 拉为正、压为负
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轴力图
当杆件受多个外力作用时，各段的内力将 发生变化，为了明显地表现出轴力的大小、正 负，引出内力图
公式推导
1.实验观察: 直线平移 2.推理: 面平移
3.假设：平面假设
= C1, = C2
4.平衡方程:
FN
dA
A
dA A
A
FN
A
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a a
b b
F
a a
F
b b
F
F
FN
说明
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轴力图的画法
FN（单位）
取定坐标轴 取定比例尺 标出特征值
x
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例 1 已知: F1=2.62kN F2=1.3kN F3=1.32kN 试判断危险截面（画轴力图）
F1
1
1
2 F2
2
F3 解: 1.用截面法求内力
F N1 F1 0