材料力学作业参考题解_轴向拉压

F
(a) 最大应力可能在1-1截面上或3-3截面上：
4A
(轴力图)
FN ：
A F +
11
F A
3 3
3F 4A
3F
3 3
max 11
A 3F + +
3F
F 15 MPa A
(b) 等截面杆，最大应力在轴力最大的截 面上：
FN ：
2F +
max 11
2
3F 2F + F +
2 2
FN ：
3 3
+ A
FN1 FN2 FN3
3 3 2 2
1 1
F
(d) 如图取隔离体，有： FN1 = F FN2 = F-qa =0 FN3 = F-qa -2F = F-F -2F = -2F
q=F/a
q=F/a
F
F
可由受力与轴力图的特点，检查内力图： 轴力图在集中载荷作用处有突变，突变 值与集中力的大小相等；
FNAB
y FNAB A y
45 30

2
FNAC
FNAC x
1 3 25.622kN
F 18.117kN
(拉)
(拉)
求各杆变形(伸长)：
F
FNACl AC 25.622103 1.6 l AC 1.104mm EAAC 210109 0.0152 / 4 FNABl AB 18.117103 2 l AB 1.078mm 9 2 EAAB 21010 0.012 / 4
l1
A
C
B l 2
B
2-6 图示结构中，为水平刚性杆，其他三杆材料相同，弹性模量均为E=210GPa。已知l=1m， A1=A2=100mm2，A3=150mm2，F=20kN。试求C点的水平位移和铅直位移。 解：用单位力法计算位移：
FN 1 FN 2
F 2
FN 3 0
FN 1
3F 45 MPa A
2-2 习题2-1图中的外力F=150N，横截面面积A=10mm2，长度a=150mm。试求各杆的最大 正应力，并指出所在截面。 解：先画出轴力图。
2 2
A
2F
F
1 1
2F
(c) 等截面杆，最大应力在轴力最大的截 面上：
3F
2F
FN ： + F + +
max 2 2
A
FN 3
C
FN 2
B F
A l
1
3
2
计算C点竖直位移，加单位力如图：
C l/2
1 0 有： F F FN 3 0 2 0 0 0 3 FNi FNi li FN F l F F l Cy 1 N1 N 2 N 2 EA EA EA i 1 Fl 0.476(m m) ( ) 2 EA
0 N1 0 N2
F
B l/2
0 FN 1
0 FN 3
C
A
0 FN 2
B
1
计算C点水平位移，加单位力如图： 有：
0 0 0 FN FN 1 1 FN 2 0 3 2
0 FN 1
0 FN 3
C
A
0 FN 2
1
B
Cx
0 0 FNi FNi li FN F l Fl 1 N1 0.476(m m) () EA EA 2EA i 1 3
1 l
3
2
M A 0 FN 2
C A l/2
F
B l/2
FN 1
A
FN 3
FN 2
B F
l2
FN 2l 1010 1 0.476(m m) 9 6 EA 21010 10010
3
l3 0
变形后位置如图：
A
Cx Ax l1 0.476m m () Cy Ay l1 0.476m m ( )
2-8图示结构，已知外力F=35kN。钢圆杆AB和AC的直径分别为d1=12mm和d2=15mm，钢的弹 性模量E=210GPa。试求A点的铅直位移。 解：求各杆内力，如图取A点为对象，由平衡条件，有：
Fx 0 FNAB sin 45 FNAC sin 30 FNAC 2 FNAB Fy 0 FNAB cos 45 FNAC cos30 F
求位移，各杆变形与A点位移之间的几何关系如图：
l AC
A
l AB
A
x
有 整理得
AA Ay
A
l AC l AB A A tan 30 A A tan 45 A A cos30 cos 45 l AB l AC AA tan 30 1 tan 30 1.366m m cos30 cos 45
E
FB
求支反力
Fx 0 FAx 0
FAy
M B ( F ) 0 FAy
220 4 220 8 220 kN 12 220 4 220 8 M A ( F ) 0 FB 220 kN 12
求杆AC和CD的轴力：
A FAy
FNAE FNAC FNCE
由A点的平衡条件： FNAC 由C点的平衡条件： FNCD 由强度条件：
FAy
cos 45

2 220 311.13kN ( 拉 )
(拉)
FNAC cos45 220kN
l 2
FN ( y )
求地桩的缩短量δ：
y
l
FN ( y) F l 3 Fl d y y d y 0 EA l 3 EA 0 4 EA
l
8-1 图示各圆截面杆，材料的弹性系数E都相同，试计算各杆的应变能。 解： (b)
2 FN li F2 3l / 8 l/4 3l / 8 U [ ] 2 2 2 2Ei Ai 2E (2d ) / 4 d / 4 (2d ) / 4
F
3F FN1
N3
A
1 1
3F
3 3F 3 3 3
3F 3F 3F
FN2 F
2 2
2F 2F
FN ：
2F +
3F + +
2-1 画以下各杆的轴力图，并求指定截面上的内力。 A 1 2 F 2F 2F (c) 如图取隔离体，有： 1 2 FN1 = 2F FN1 1 2F FN2 = 2F-F +2F= 3F 1 F 2F FN2 2 2F


2-9 图示为打入土中的混凝土地桩，顶端承受载荷F，并由作用于地桩的摩擦力所支持。设沿 地桩单位长度的摩擦力为 f，且 f =k y2，式中，k为常数。试求地桩的缩短δ 。已知地桩的横 截面面积为A，弹性模量为E，埋入土中的长度为l。 解：地桩所受外载为轴载，且在F和摩擦力共同作用下平衡。
l3 即： Fy ky dy F k F 0 0 3 3F 3F 则： k 3 f 3 y2 l l y Fy3 轴力方程为： FN ( y ) fdy 3 0 l
2-6 图示结构中，为水平刚性杆，其他三杆材料相同，弹性模量均为E=210GPa。已知l=1m， A1=A2=100mm2，A3=150mm2，F=20kN。试求C点的水平位移和铅直位移。 解：AB受力如图，由平衡条件：
Fx 0 FN 3 0
F 10 kN 2 F M 0 F 10 kN B N1 2 FN 1l 10103 1 有： l1 0.476(m m) 9 6 EA 21010 10010
解：求各杆内力及应力
FNAB FNBC
FNAB B FNBC F
F sin F cos sin
(拉) (压)
AB
BC
FNAB F AAB AAB sin F F cos NBC ABC ABC sin
由题义，各杆应力达到许用应力，则：
AAB
F [ ] sin
ABC
F cos [ ] sin
要求结构的总重量为最小即结构总体积最小，其体积为：
V AAB l AB ABC lBC
令：
F l F cos Fl 1 cos l [ ] sin cos [ ] sin [ ] sin cos sin
dV 0 d
得：
tan 2 54.74 54 44
即：两杆的夹角θ 值为 54 44
AAB 1 则： 3 ABC cos
两杆横截面面积的比值为
3
2-15 图示桁架结构，各杆都由两个相同的等边角钢相并而成。已知其许用应力[σ]=170MPa， 试选择杆AC和CD的角钢型号。 解：桁架结构各杆均为二力杆(拉压杆) FAx
在分布载荷作用处轴力图斜率的值等于 该处分布载荷的分布集度大小，则分布 载荷的起点和终点处为轴力图折点。
2F
F
+
FN ：
2F
2-2 习题2-1图中的外力F=150N，横截面面积A=10mm2，长度a=150mm。试求各杆的最大 正应力，并指出所在截面。 解：先画出轴力图。
3
3F
3
2 2
F
2A
1 1
解：求横截面上的应力：
b F
F
h
F F 10103 100MPa A bh 5 20
求各斜截面上的应力：
由：


2

2