特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项 曾建国

当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：1n n n aa b a ca d ++=

+ 令 ax b x cx d

+=+，即2

()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ，

(1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2c

p a d

=+）

(2)若12x x ≠,则有111122

n n n n a x a x

q a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）

例题1：设23

()27

x f x x -+=-，

(1)求函数()y f x =的不动点；

(2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x a

k

f x b x b

--=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a

解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则00023

27

x x x -+=

-

解得012x =-或03x = (2)由231111

()1272222238248(3)83327

x x x x x x x x x x -++---++

-=

==⋅-++-----

可知使()()f x a x a k

f x b x b --=--恒成立的常数18k =。 (3)由(2)可知1111122383

n n n n a a a a --++=⋅--， 所以 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。即

11312()348n n n a a -+=-⋅-⇒11

911()482311()48

n n n a ---=+

例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14

N,,23

n n n a n a a ++∈=

+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.

解:依定理作特征方程,3

24

++=

x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ 故特征方程有两个相异的根，则有114

1

12342311

142446510

52223

n n n n n n n n

n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++ 即1111

1252n n n n a a a a ++--=-++ 又1

113122325

a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭

是以25为首项，15-为公比的等比数列

1121()255

n n n a a --=-+ 1

141()1

(5)455,N.212(5)1()55

n n n n n a n ---+--==∈+---

例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.3

25

131+-=

+n n n a a a

（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a

解：作特征方程.3

25

13+-=x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =

（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543

,N.7

n n a n n +=∈+

一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）

在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数）， （1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列； （2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列； （3）当1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；

（4）当0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1q

x p

=

-叫做特征方程的特征根， 这时数列{}n a 的通项公式为：1

1()n n a a x p x -=-+；

例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ； （参考答案：122273

n n a -=-

）

二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）

在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），

则称2

x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。

（1）当12x x ≠时，有1122n n n a c x c x =+； （2）当12x x =时，有1

11[(1)]n n a a n d x -=+-；

其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。

例2：在数列{}n a 中，123,7a a ==，且3n ≥时，12340n n n a a a ----=，求n a ； （参考答案：1

21

(1)2n n n a +-=-+）考虑一个简单的线性递推问题.

设已知数列}{n a 的项满足1a b =, 1n n a ca d +=+

其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c d

x -=作换元,0x a b n n -= 则1101n n n d b a x ca d c --=-=+--0().1n n n cd

ca c a x cb c

=-=-=- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1

1-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）