特征方程法求解递推关系中的数列通项

特征方程法求解递推关系中的数列通项 曾建国当()f x x =时，x 的取值称为不动点，不动点是我们在竞赛中解决递推式的基本方法。

典型例子：1n n n aa b a ca d ++=+ 令 ax b x cx d+=+，即2()0cx d a x b +--= ，令此方程的两个根为12,x x ，(1)若12x x =,则有11111n n p a x a x +=+-- （其中2cp a d=+）(2)若12x x ≠,则有111122n n n n a x a xq a x a x ++--=-- （其中12a cx q a cx -=-）例题1：设23()27x f x x -+=-，(1)求函数()y f x =的不动点；(2）对(1)中的二个不动点,()a b a b <，求使()()f x a x akf x b x b--=--恒成立的常数k 的值； (3)对由111,()n n a a f a -==(2)n ≥定义的数列{}n a ，求其通项公式n a解析：(1)设函数()f x 的不动点为0x ，则0002327x x x -+=-解得012x =-或03x = (2)由231111()1272222238248(3)83327x x x x x x x x x x -++---++-===⋅-++-----可知使()()f x a x a kf x b x b --=--恒成立的常数18k =。

(3)由(2)可知1111122383n n n n a a a a --++=⋅--， 所以 123n n a a ⎧⎫+⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭是以34-为首项，18为公比的等比数列。

即11312()348n n n a a -+=-⋅-⇒11911()482311()48n n n a ---=+例2．已知数列}{n a 满足性质：对于14N,,23n n n a n a a ++∈=+ 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ 故特征方程有两个相异的根，则有11411234231114244651052223n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a +++--++---+-====-+++++++++ 即11111252n n n n a a a a ++--=-++ 又1113122325a a --==++ ∴数列12n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以25为首项，15-为公比的等比数列1121()255n n n a a --=-+ 1141()1(5)455,N.212(5)1()55n n n n n a n ---+--==∈+---例3．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,61=a 求;n a解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x 特征方程有两个相同的特征根 5.x =（1）∵115,.a a x =∴=∴对于,N ∈n 都有5;n a x == （2）∴543,N.7n n a n n +=∈+一、数列的一阶特征方程（1n n a pa q -=+型）在数列{}n a 中，1a 已知，且2n ≥时，1n n a pa q -=+（,p q 是常数）， （1）当1p =时，数列{}n a 为等差数列； （2）当0p =时，数列{}n a 为常数数列； （3）当1,0p q ≠=时，数列{}n a 为等比数列；（4）当0,1,0p q ≠≠时，称x px q =+是数列{}n a 的一阶特征方程，其根1qx p=-叫做特征方程的特征根， 这时数列{}n a 的通项公式为：11()n n a a x p x -=-+；例1：已知数列{}n a 中，15a =，且2n ≥时，求n a ； （参考答案：122273n n a -=-）二、数列的二阶特征方程（21n n n a pa qa ++=+型）在数列{}n a 中，1a 与2a 已知，且21n n n a pa qa ++=+（,p q 是常数），则称2x px q =+是数列{}n a 的二阶特征方程，其根1x ，2x 叫做特征方程的特征根。

（1）当12x x ≠时，有1122n n n a c x c x =+； （2）当12x x =时，有111[(1)]n n a a n d x -=+-；其中12,,c c d 由12,a a 代入n a 后确定。

例2：在数列{}n a 中，123,7a a ==，且3n ≥时，12340n n n a a a ----=，求n a ； （参考答案：121(1)2n n n a +-=-+）考虑一个简单的线性递推问题.设已知数列}{n a 的项满足1a b =, 1n n a ca d +=+其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1.设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c dx -=作换元,0x a b n n -= 则1101n n n d b a x ca d c --=-=+--0().1n n n cdca c a x cb c=-=-=- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a 解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a 数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是1111111()(),323n n n b b --=-=-133111(),N.2223n n n a b n -=-+=-+-∈例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位. 当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-==现在考虑一个分式递推问题（*）.例3．已知数列}{n a 满足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.将这问题一般化，应用特征方程法求解，有下述结果.定理2.如果数列}{n a 满足下列条件： 已知1a 的值且对于N ∈n ，都有h ra q pa a n n n ++=+1（其中p 、q 、r 、h 均为常数，且rha r qr ph -≠≠≠1,0,），那么，可作特征方程hrx q px x ++=.（1）当特征方程有两个相同的根λ（称作特征根）时，若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ，则,N ,1∈+=n b a n n λ其中.N ,)1(11∈--+-=n r p r n a b n λλ 特别地，当存在,N 0∈n 使00=n b 时，无穷数列}{n a 不存在.（2）当特征方程有两个相异的根1λ、2λ（称作特征根）时，则112--=n n n c c a λλ，,N ∈n 其中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证明：先证明定理的第（1）部分.作交换N ,∈-=n a d n n λ则λλ-++=-=++h ra q pa a d n n n n 11h ra h q r p a n n +-+-=λλ)(hd r hq r p d n n ++-+-+=)())((λλλλλλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2 ①∵λ是特征方程的根，∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r h r qp λλλλ 将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n nn λλ ② 将rpx =代入特征方程可整理得,qr ph =这与已知条件qr ph ≠矛盾.故特征方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ ③当01=d ，即λ+=11d a =λ时，由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时，由②、③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变化：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+ ④由λ是方程h rx q px x ++=的两个相同的根可以求得.2r h p -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr hp h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b n n 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是以rp r λ-为公差的等差数列. ∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ 其中.11111λ-==a d b 当0,N ≠∈n b n 时，.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当存在,N 0∈n 使00=n b 时，λλ+=+=0001n n n b d a 无意义.故此时，无穷数列}{n a 是不存在的.再证明定理的第（2）部分如下：∵特征方程有两个相异的根1λ、2λ，∴其中必有一个特征根不等于1a ，不妨令.12a ≠λ 于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ 故21111λλ--=+++n n n a a c ，将h ra q pa a n n n ++=+1代入再整理得 N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n nn λλλλ ⑤ 由第（1）部分的证明过程知r p x =不是特征方程的根，故.,21rpr p ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a rp h q a rp r p c n n n λλλλλλ ⑥ ∵特征方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ、2λ⇒方程0)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ、2λ，而方程xrp xh q x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--r p h q r p h q 将上两式代入⑥式得 N ,2121211∈--=--⋅--=-n c rp rp a a r p r p c n n n n λλλλλλ当,01=c 即11λ≠a 时，数列}{n c 是等比数列，公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有.))(()(12121111211------=--=n n n r p r p a a r p r p c c λλλλλλ 当01=c 即11λ=a 时，上式也成立.由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n 所以.N ,112∈--=n c c a n nn λλ(证毕) 注:当qr ph =时,h ra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,h ra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.现在求解前述例3的分类递推问题）（*. 解:依定理作特征方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第（2）部分，则有.N ,)221211(2313)(11212111∈⋅-⋅-⋅+-⋅--⋅--=--n r p r p a a c n n n λλλλ ∴.N ,)51(521∈-=-n c n n ∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n nn λλ 即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n例4．已知数列}{n a 满足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时，无穷数列}{n a 不存在？解：作特征方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特征方程有两个相同的特征根.5=λ依定理2的第（1）部分解答. （1）∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a（2）∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p r n a b n --+-=)1(1151131)1(531⋅-⋅-+-=n ,8121-+-=n令0=n b ，得5=n .故数列}{n a 从第5项开始都不存在，当n ≤4，N ∈n 时，51751--=+=n n b a n n λ. （3）∵,5,61==λa ∴.1λ≠a∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ 令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a n n λ （4）显然当31-=a 时，数列从第2项开始便不存在.由本题的第（1）小题的解答过程知，51=a 时，数列}{n a 是存在的，当51=≠λa 时，则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ 令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （其中N ∈n 且N ≥2）时，数列}{n a 从第n 项开始便不存在.于是知：当1a 在集合3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时，无穷数列}{n a 都不存在.。