合式公式
命题公式真值表
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
1-3 命题公式与翻译
(2) 不是所有由命题变元 ,常元 ,联结词和括号组成的字符串 都能成为命题公式.例如, P , P (Q ) 等不是命题公式.
定义 1-3.1 命题演算的合式公式,规定为: (1)单个命题变元本身是一个合式公式; (2)如果 A 是合式公式,那么 A 是合式公式; (3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
1-3 命题公式与翻译
2、命题的翻译
练习 将下列命题符号化: (1)她既聪明又用功. (2)他虽聪明但不用功. (3)虽然这次语文考试的题目很难,但是王丽还是取得了好成绩. (4)张三或李四都可以做这件事. (5)一公安人员审查一起案件,事实如下,请将案件事实符 号化: 张三或李四盗窃了机房的一台电脑,若是张三所为,则作案 时间不能发生在午夜前;若李四的证词正确,则午夜时机房 的灯未灭; 若李四证词不正确,则作案时间发在午夜前; 午夜时机房的灯全灭了.
分配律
P (Q R) ( P Q) ( P R)
吸收律
P ( P Q) P , P ( P Q) P
1-4 真值表与等价公式
4.基本等价公式
德·摩根律 同一律 零律 否定律 (互补律) 条件式转化律 双条件转化律
( P Q) P Q , ( P Q) P Q
1-3 命题公式与翻译
1、命题公式(合式公式)
定义 1 由命题变元、常元、联结词、括号以规定的格式联结 起来的字符串称为命题公式,也称合式公式.命题公式中的命 题变元称为命题公式的分量.
例如,若 P 和 Q 是命题变元, 则下面式子均是命题公式
命题公式及分类(离散数学)PPT
练习
P32： 1.6：（3）（4） 1.7：（7-10）
19
说 公式A与B具有相同的或不同的真值表，是指真值表的最后 明 一列是否对应相同，而8 不考虑构造真值表的中间过程。
例1 求下列公式的真值表，并求成真赋值和成假赋值。
(1) ┐ (p∧q)→┐r
(2)(p∧┐p)(q∧┐q)
(3)┐(p→q)∧q∧r
9
三、命题公式的分类 定义1.9（重言式、永真式、可满足式）
(5) ┐q∨p
(3) ┐(p∧┐q)
12
例3 下列公式中,哪些具有相同的真值表? (1)p→q (2)┐q∨r (3)(┐p∨q)∧((p∧r)→p) (4)(q→r)∧(p→p)
13
习题：求公式┐(p→(q∧r))的真值表。
p q r q∧r p→(q∧r) ┐(p→(q∧r))
00 0 0
例如 F:{0,1}2{0,1}，且F(00)=F(01)=F(11)=0，
F(01)=1，则F为一个确定的2元真值函数.
15
命题公式与真值函数
对于任何一个含n个命题变项的命题公式A，都 存在惟一的一个n元真值函数F与A的真值表相同.
下表给出所有2元真值函数对应的真值表, 每一个 含2个命题变项的公式的真值表都可以在下表中找 到.
(A→B)，(AB)也是合式公式。 (4)只有有限次地应用(1)～(3)形式的符号串才
是合式公式。 合式公式也称为命题公式或命题形式，并简称 为公式。
2
关于合式公式的说明
合式公式的定义方式称为归纳定义或递归定义方式。
定义中引进了A,B等符号，用它们表示任意的合式公式，而不 是某个具体的公式，这与p, p∧q, (p∧q)→r等具体的公式是有 所不同的。
离散数学-----命题逻辑
离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。
公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。
作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。
它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。
其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。
真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。
假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。
说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
离散数学 谓词逻辑
例1 给定解释I1如下：
(1)个体域为自然数集合N； (2)N中的特定元素a=0； （3）F(x,y):x大于或等于y. 在解释I1下,求下列各式的真值： (1)(∀x)F(x,a)；(2)(∀x∃y)F(x,y) 解 在解释I1下,公式分别解释为： (1)任何自然数都大于或等于零, 为真命题.
(2)对任一自然数x,都存在一自然数y使得x≥y, 为真命题.
4
例子
［例2-1.1］ 张明是位大学生。 解：设S(x)：x是大学生,c：张明, 一元谓词：表 则原句的谓词形式为S(c)。 示客体性质 ［例2-1.2］我坐在张三和李四中间。 解：设S(x,y,z)：x坐在y和z之间,i：我,z：张 三,l：李四, 多元谓词：表 示客体间关系 则原句的谓词形式为S(i,z,l)。
★从以上两命题的符号化可以看出,同一命题在不同个体域下 符号化的形式可能不同。
11
这里,M(x)称为特性谓词。应该注意 的是,全称量词和存在量词符号化时,引入 特性谓词时的形式是不同的。 用全称量词 符号化时,特性谓词作为条 件式的前件； 用存在量词符号化时则作为合取式的一 项。
12
对于任一给定的实数x,都存在着一个实数y,使得 x+y=0。 如果取个体域为实数集合 ∀ x ∃ y H(x, y ) 然而 ∃ y ∀ x H(x, y )： 存在着一个少数y,对于任一实数x,使得x+y=0
3
谓词的表示
客体词有两种：客体常元和客体变元。客体常 元表示具体的或特定的客体,一般用小写字母 a、b、c等表示；表示抽象的或泛指的客体的 词称为客体变元,常用小写字母x、y、z等表 示。 谓词,通常用大写的字母A、B、C等表示。
谓词填式：单独一个谓词不是完整的命题, 把谓词字母后填以客体所得的式子。
闭式F的解释公式的类型永真式矛盾式可满足式
例：
二、一阶逻辑中命题符号化
(1)所有的人都是要呼吸的。 M(x) H(x) (2)每个学生都要参加考试。 P(x) Q(x) (3)任何整数或者是正的或是负的。 I(x) R(x) N(x) (4) 没有不犯错误的人。 M(x) S(x)
(1)(x)(M(x) H(x))
(2)(x)(P(x) Q(x))
定义：设A为任一公式，若A中无自由出现的个体变 项，则称A是封闭的合式公式，简称闭式。
换名规则 将量词辖域中出现的某个约束出现的个 体变项及对应的指导变项，改成另一个辖域中未曾 出现过的个体变项符号，公式其余部分不变。
(x )(y )( p( x , z ) q( y )) s( x , y )
解： (u)(v )( p(u, z ) q(v )) s( x, y )
代替规则 对某个自由出现的个体变项用与原公 式中所有个体变项符号不同的变项符号去代替， 且处处代替。
((y)p(x, y) (z)Q(x, z)) (x)R (x, y)
解： ((y)p(u, y) (z)Q(u, z)) (x)R (x, t )
(3)(x)(I(x) (R(x)N(x))) (4)(x )(M( x ) S( x ))
x(M(x) S(x))
(5)发光的不都是金子。 L(X) B(x)
(x)(L(x) B(x))
x(L(x) B(x))
(６) 在北京工作的人未必都是北京人。A(x),Q(x)
量词：表示数量的词，包括全称量词和存在量词。
全称量词：符号“ ”称为全称量词，用 来表达“所有的”，“每一个”，“任一 个”，“凡”，“一切”等词。 存在量词：符号“ ”称为存在量词，用来表 达“某个”，“存在一些”，“至少有一个”， “对于一些”等词。
合式公式及赋值
(a) A B,
B为n层公式
(b) A B C , A B C , A B C , A B C , A B C
其中B, C分别为i, j层公式且n maxi, j
例1.试求下列公式的层次： (p q) r , (( p q)) ((r s) p)
合式公式及赋值
一、合式公式
命题常元（常项）：简单命题称为命题常元（真值确定） 命题变元（变项）：真值可以变化的简单陈述句（真值不确定）
表示： p, q, r ,, pi , qi , ri , 注：同一符号是常元还是变元由条件及上下文确定 命题公式（合式公式）：将命题变项用联结词及括号按一定逻辑关系 联接起来的符号串。
二、合式公式的赋值及真值表
合式公式的赋值：
设p1 , p 2 ,, p n 是出现在公式A中的全部命题变项， 给p1 , p 2 ,, p n 各指定一个真值，称为 对A的一个赋值或解释。
注：1、变项以下标形式出现的赋值 2、变项以字母顺序形式出现的赋值
问题：一个公式含有n个命题变项，其赋值有多少个？
真值表：将公式A在所有赋值情况下的取值情况列成的表
步骤：1.找公式的所有的命题变项（下标或字母顺序） 2.列出所有的赋值情况 3.按从低到高顺序写出公式的各个层次 4.对各个赋值计算各层次的真值，直到最后计算出公式的真值
例2.求下列公式的真值表，并指出成真赋值、成假赋值
(1) (p q) r (2) ( p p) (q q) (3) ( p q) q r
成真赋值、成假赋值
永真式（重言式）： 永假式（矛盾式）： 可满足式：
例3.下列公式中，哪些公式真值表相同
(1) p q (4)( p q) (q p)
程序判定合式公式
合式公式的判定一、基本概念1、合式公式：(1)单个命题常项或变项是合式公式；（2）如果A是合式公式,则﹁A也是合式公式；（3）如果A，B是合式公式,则P∧Q、P∨Q、P→Q、P↔Q也是合式公式；（4)只有有限次地应用(1）~(3）所包含的命题变元，联结词和括号的符号串是合式公式。
2、设命题集合L p:C1，C2，……C n长度：语言构成元素的数目表达式u=v:指长度相等且从左向右比处处相等初始段：从最左端开始向右扫描结尾段：从最右端开始向左扫描二、编程思路假定给定的程序变量为U ，U为L p表达式,代表输入的带判定的字符串又记“*”代表“∧”,“∨”，“→"，“↔"四种之一。
则：1、空表达式不是合适公式的表达式。
返回NO2、单独的一个符号是一个公式时,当且仅当此符号为命题符号3、如果U的长度大于1，则U 必须以“（”开头，否则不是合式公式,返回NO。
（1）如果U的第二个符号为一个表示否定的“﹁”,则U必须是可以匹配(﹁V）模式，其中V是一个表达式.否则U不是合式公式，即U是合式公式当且仅当V是合式公式。
于是，递归判断V是否为合式公式，转入1、重头开始判断.（2)如果U的第二个符号不是“﹁”。
则U一定要符合（A＊B）模式。
①对U从左向右扫描，遇到“（A"停止，其中A是一个含有相同数目的“("和“）"的表达式，如果没有，则U不是合式公式,返回NO。
②对U从右向左扫描，遇到“B）”停止，其中B是一个含有相同数目“（”和“）”的表达式，如果没有，则U不是合式公式，返回NO。
③验证(A＊B)的“*”是否是“∧”，“∨”，“←”，“↔”四种之一，如果不是，则U不是合式公式，返回NO.④递归判断A，B是否为合式公式，转入1、重头开始判断三、程序代码＃include〈stdio。
h〉＃include<string.h〉＃include〈stdlib。
h>void check(char *str1)；int main（void）｛int index = 1 ；int keyNum = 1 ;static char string［50] ;// 友好界面，循环使用判断while( index != 0 )｛printf(”欢迎使用合式公式判断系统\n”)；printf("合式公式（)不可以省略\n");printf（”用- 表示非﹁\n”）；printf("用* 表示与∧\n”）；printf("用+ 表示或∨\n")；printf("用〉表示蕴涵→\n”)；printf（"用~ 表示等值←→\n");printf(”请输入您要判断识别的字符串:\n"）；scanf("％s”，＆string);check（string）;printf（”请选择：0-—退出系统；1—-继续判断其它字符串\n”); scanf( "%d"，＆keyNum ) ;if（keyNum == 0）｛break；｝else｛continue；}｝}// 合式公式字符串的判读void check（char *str1）{char formal［50］;int len = 0;// 获取字符串的长度并且去除空格while( *str1 != '\0’）{if（*str1 ！= ’ '）｛formal[len] = ＊str1;len++；｝str1++；｝formal［len] = '\0’;printf(”字符串％s\t有效长度:％d\n”，formal,len）；// 空字符串不是合式公式if(len == 0){printf（”字符串为空\n\t\t\tNO！\t\t该字符串不是合式公式\n"）；return；｝// 单独的一个符号是一个公式时，当且仅当次符号为命题符号else if(len == 1)｛if（!isalpha(formal［0]））{printf("字符串%s不是合适字母\n\t\t\tNO！\t\t该字符串不是合式公式\n”，formal);return;｝else{printf(”\t\t\tYES！\t\t字符串％s 是合式公式\n",formal)；return;｝}// 如果U的长度大于，则U 必须以“（”开头,否则不是合式公式，返回NO.else｛if（ (formal[0］！= ’(') ｜| (formal［len-1] != ')')){printf（"字符串%s 没有以“（”开始或者以“）”结束\n\t\t\tNO！\t\t该字符串不是合式公式\n",formal）;return；}else｛// 如果U的第二个符号为一个表示否定的“﹁”，则U必须是可以匹配（﹁V）模式if(formal[1］ == ’-’）｛char newstring［50］ ;int i = 0;for（i = 0； i 〈 len — 3； i++）｛newstring［i］ = formal［2+i];}newstring［i］ = '\0’；check（newstring)；// 递归判断V是否为合式公式}//如果U的第二个符号不是“﹁”。
2.2 一阶逻辑公式及解释
注意:
公式的解释与分类
给定公式 A=x(F(x)G(x)) 成真解释: 个体域N, F(x): x > 2, G(x): x > 1 代入得A=x(x > 2x > 1) 代入得A=x(x > 1x > 2) 真命题 假命题
成假解释: 个体域N, F(x): x > 1, G(x): x > 2 问: xF(x)xF(x) 有成真解释吗？ No！
(6) 联结词符号：, , , ,
(7) 括号与逗号：( , ) , ，
2
项
定义2.2 项的定义如下： (1) 个体常项和个体变项是项.
(2) 若 (x1, x2, …, xn)是任意的n元函数, t1, t2, …,
tn是任意的n个项，则 (t1, t2, …, tn) 是项.
(3) 所有的项都是有限次使用 (1), (2) 得到的.
x为指导变项, A中x的两次出现均为约束出现，
y与z均为自由出现.
6
例2.6 指出下列公式中，量词的辖域以及个体变项的 自由出现与约束出现: (1) x (F(x, y, z) yG(x, y)) 自由出现 约束出现 (2) xF(x, y)∧G(x, y)
自由出现 约束出现 (3) xy(F(x)∧G(y) H(x, y))
( p q ) q ( p q ) q 0
作业: P60 3，6，8
18
xF(x)xF(x) 有成假解释吗？ No！
11
例2.7 给定解释 I 如下: (a) 个体域 D = N (b) a 2 (c) f ( x, y) x y, g ( x, y) xy (d) 谓词 F ( x, y ) : x y 说明下列公式在 I 下的涵义, 并讨论真值。 (1) xF(g(x, a), x) x(2x=x) 假命题 假命题
离散数学知识汇总
离散数学笔记第一章命题逻辑合取析取定义 1. 1.3否定：当某个命题为真时，其否定为假，当某个命题为假时，其否定为真定义 1. 1.4条件联结词，表示“如果……那么……”形式的语句定义 1. 1.5双条件联结词，表示“当且仅当”形式的语句定义 1.2.1合式公式(1)单个命题变元、命题常元为合式公式，称为原子公式。
(2)若某个字符串A 是合式公式，则⌝A、(A)也是合式公式。
(3)若A、B 是合式公式，则A ∧B、A∨B、A→B、A↔B 是合式公式。
(4)有限次使用(2)~(3)形成的字符串均为合式公式。
1.3等值式1.4析取范式与合取范式将一个普通公式转换为范式的基本步骤1.6推理定义 1.6.1 设 A 与 C 是两个命题公式， 若 A → C 为永真式、 重言式，则称 C 是 A 的有 效结论，或称 A 可以逻辑推出 C ，记为 A => C 。
（用等值演算或真值表）第二章 谓词逻辑2.1、基本概念∀：全称量词 ∃：存在量词一般情况下， 如果个体变元的取值范围不做任何限制即为全总个体域时， 带 “全称量词”的谓词公式形如"∀x(H(x)→B(x))，即量词的后面为条件式，带“存在量词”的谓词公式形如∃x(H(x)∨WL(x))，即量词的后面为合取式 例题R(x)表示对象 x 是兔子，T(x)表示对象 x 是乌龟， H(x,y)表示 x 比 y 跑得快，L(x,y)表示x 与 y 一样快，则兔子比乌龟跑得快表示为： ∀x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))有的兔子比所有的乌龟跑得快表示为：∃x ∀y(R(x)∧T(y)→H(x,y))2.2、谓词公式及其解释定义 2.2.1、 非逻辑符号： 个体常元(如 a,b,c)、 函数常元(如表示22y x 的 f(x,y))、 谓词常元(如表示人类的 H(x))。
定义 2.2.2、逻辑符号：个体变元、量词(∀∃)、联结词(﹁∨∧→↔)、逗号、括号。
离散数学第1章命题公式与翻译 真值表与等价公式
这个合式公式的定义，是以递归形式给出的，其 中(1)称为基础，(2)(3)称为归纳，(4)称为界限。
按照定义，下列公式都是合式公式： ┐(P∧Q），┐(P→Q)，(P→(P∨┐Q)， (((P→Q）∧(Q→R)) （S T)) 而 (P→Q）→(∧Q)，(P→Q，(P∧Q）→Q） 等都不是合式公式。
在这里，请注意和的区别与联系： 区别：
是逻辑联结词，它出现在命题公式中；
不是逻辑联结词，它表示两个命题公式的一种
关系，不属于这两个公式的任何一个公式中的符 号。
2、等价公式的证明方法： ⑴真值表法
例题5 证明 P Q (P→Q) ∧(Q→P) 证明 列出其值表 表 1-4.7
注意
由表1-4.4 (表1-4.2)可以看出，有一类公式不论命 题变元作何种指派，其真值永为真(假)，我们把这 类公式记为T(F)。 在真值表中，命题公式真值的取值数目，决定于 分量（命题变元）的个数。例如，由2个命题变元 组成的命题公式共有四种可能的真值，由3个命题 变元组成的命题公式共有八种真值。一般说来，n 个命题变元组成的命题公式共有2n种真值情况。
同理(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)与P 同，如表1-4.6所示。 表1-4.6 P Q P T T T F F T F F T F F T Q
Q对应的真值相
(P∧Q)∨(┐P∧┐Q) T F F T
二、等价公式
1.定义
定义1-4.2 给定两个命题公式A和B，设P1， P2，……，Pn为所有出现于A和B中的原子变 元，若给P1，P2，……，Pn任一组真值指派， A和B的真值都相同，则称A和B是等价的或逻 辑相等。记作A B。
P T T F F
命题公式真值表
(4) (P Q) (P Q);
(5) (P Q) (P Q).
A
6
1-4 真值表与等价公式
解 (1) P Q 的真值表为:
P
Q
T
T
T
F
F
T
F
F
P Q
T F T T
(2) P Q 的真值表为:
P
Q
PQ
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
A
7
1-4 真值表与等价公式
(3) (P Q) P 的真值表为:
(1)单个命题变元本身是一个合式公式;
(2)如果 A 是合式公式,那么 A是合式公式;
(3)如果 A 和 B 是合式公式,那么
A B , A B , A B, A B 是合式公式;
(4)当且仅当能够有限次地应用(1)、(2)、(3)
所得到的包含命题变元,联结词和括号的字符串
是合式公式.
A
3
1-3 命题公式与翻译
A 中的 X 用Y 置换,所得公式 B 与公式 A 等价,即 A B .
例 4 证明: Q (P (P Q)) Q P
例 5 证明下列等价式
(1) (P Q) (P Q) P ;
(2) P (Q R) Q (P R) .
练习 证明 P (Q R) (P Q) R
A
14
1-4 真值表与等价公式
例 6 化简下列命题公式: (1) P (P (Q P)) (2) (P Q) (Q P)
说明:
(1)命题变元是没有真假值的,只有当命题变元用 确定的命题代入时,才得到一个命题,命题的真值 依赖于代换变元的那些命题的真值;
合式公式真值表等价置换定理 第二课
1 ∧ 2 ∧ 3 ⇔T 变换为（ ∧…… ∧ ） ∨ （ ∧…… ∧ ） 的形式 排除（ ∧…… ∧ ） 中Pi ∧ Pj的可能即可。A2, C1, D ¬ (( P → Q ) ∧ P ) ⇔ T
Q ∨ ¬ (( P → Q ) ∧ P ) ⇔ Q ∨ ¬ (( ¬ P ∨ Q ) ∧ P ) ⇔ Q ∨ ¬ (( ¬ P ∧ P ) ∨ ( Q ∧ P )) ⇔ Q ∨ ¬ (Q ∧ P ) ⇔ Q ∨ (¬ Q ∨ ¬ P ) ⇔
2、等价定理与常用等价式 、 定理： 和 是两个命题公式 是两个命题公式， 当且仅当A 定理：A和B是两个命题公式，A ⇔ B当且仅当 当且仅当 证明： 证明 （1）由A ⇔ B 知，在所有可能的真值指派下，A、B的真值总是 相同的，从而，A ↔ B是一个重言式。 （2）由A ↔ B为重言式， 可知：在所有可能的真值指派下，A、 B的真值总是相同的，所以A ⇔ B。 注意：“当且仅当” 注意： 当且仅当” 的证明需要分为 仅当” “当”和“仅当” 两个部分 B是一个重言式。 是一个重言式。 是一个重言式
对应于所有可能的真值指派， 、 的真值都相同 的真值都相同。 对应于所有可能的真值指派，A、B的真值都相同。又称 为两命题公式逻辑相等。记为： 为两命题公式逻辑相等。记为：A ⇔ B 思考： （（P →Q） （ P ∨ Q））在真值表中值有何特征? 思考 （ ） ）
例2 ：永真式和永假式 P T T F F 定义3 定义 Q T F T F ¬P∨P ∨ T T T T
2. 命题演算的合式公式 • 基础 （1）. 单个命题变元本身是个合式公式；
约定(1)最外层的括号可以省去 • 归纳 约定 如果A是一个合式公式，那么 A也是一个合式公 （2）. 最外层的括号可以省去 式； (2)运算符优先次序： ， ∧， ∨， →， 运算符优先次序： 运算符优先次序
命题的合式公式
计算机科学M O O C课程群离散数学基础•我们会逐渐进入命题逻辑的形式讨论：我们对命题只注意其命题形式，对联结词只注意其逻辑意义。
•命题逻辑合式公式的定义给出了命题逻辑研究的对象范围。
所有符合定义的合式公式构成合式公式空间，它可被视为命题逻辑的符号化语言。
语言的结构包括符号表、语法规则（即合适公式定义）和语义（也即真值）。
•定义：符号化语言 Lp 的符号表包括−小写英文字母：p, q, r, … 称为命题变量（或原子变量）。
所有可能出现的命题变量的集合记为 Var；−命题联结词：包括五个联结词 ¬, ∧, ∨, →, ↔；−助记符：包括左右两个小括号 (, )。
•定义：命题逻辑的合式公式 (wff, well‐formed formula)•一个命题变量 p 是一个 wff；•若 A 是 wff，则 (¬A) 也是 wff；•若 A, B 是 wff，则 (A∧B), (A∨B), (A→B), (A↔B) 也是wff；•当且仅当有限次使用上述规则得到的才是 wff。
上述定义是一个归纳定义，1)是归纳基始，2) 3)是归纳步，4)是最小化规则命题逻辑的合式公式以下简称为公式•定义：联结词的优先级−规定联结词的运算优先级从高到底为：¬ ∧ ∨ → ↔−书写公式时，在不引起误解的情况下，可以省略部分小括号。
»例：(p→(q∧r))可写成 p→(q∧r), 或 p→q∧r•定义：真值赋值函数−具有形式 t:Var→{0,1} 的函数，它为变量表 Var 中的每个命题变量 p∈Var 指派一个真值 (1/0)。
»例：Var = {p, q}，可以定义赋值函数t如下：t(p)=0，t(q)=1•定义：真值赋值函数−在含有 n 个命题变量的 Var上，可以定义的赋值函数有 2n 个，称为对此 n 个命题变量的 2n 个解释。
»例：对 Var={p, q}，可以有 2n=4个不同的解释：t0(p)=0，t0(q)=0； t1(p)=0，t1(q)=1；t2(p)=1，t2(q)=0； t3(p)=1，t3(q)=1；•定义：合式公式的真值−设下述 A, B, C 都是合式公式。
数学的组合公式
数学的组合公式摘要：1.组合公式的定义和意义2.组合公式的计算方法3.组合公式的应用实例4.组合公式的扩展和推广正文：一、组合公式的定义和意义组合公式，又称组合数公式，是组合数学中的一种重要概念，用于计算从n 个不同元素中取出m 个元素的不同组合数量。
组合公式的数学表达式为C(n,m)，其中n 表示元素总数，m 表示选取元素的数量。
组合公式可以直观地反映出组合问题的计算规律，对于解决实际问题具有重要的意义。
二、组合公式的计算方法组合公式的计算方法有多种，其中最常见的是数学归纳法和二项式定理。
下面分别介绍这两种方法：1.数学归纳法数学归纳法是一种基于归纳推理的证明方法，通过验证基础情况和归纳步骤来证明公式的正确性。
对于组合公式C(n,m)，我们可以通过数学归纳法证明其计算公式为：C(n,m) = n! / (m!(n-m)!)其中n! 表示n 的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) *...* 1。
2.二项式定理二项式定理是组合数学中的一种重要定理，可以将组合公式转化为二项式展开式的形式。
根据二项式定理，我们有：C(n,m) = (1 + 1)^n / (1 + 1)^m * C(n-1,m) + (1 + 1)^n / (1 +1)^(m+1) * C(n-1,m-1)通过二项式定理，我们可以将组合公式的计算转化为二项式展开式的计算，从而简化计算过程。
三、组合公式的应用实例组合公式在实际问题中有广泛的应用，下面举一个简单的实例：一个班级有5 名学生，现在需要从中选出3 名学生参加数学竞赛，请问有多少种不同的选法？根据组合公式，我们可以计算出：C(5,3) = 5! / (3!(5-3)!) = 10因此，这个班级有10 种不同的选法来参加数学竞赛。
四、组合公式的扩展和推广组合公式可以进一步扩展和推广，例如在组合公式的基础上引入权重，可以得到加权组合公式；在组合公式的基础上引入计数，可以得到排列公式。
三项立方合公式
三项立方合公式好的，以下是为您生成的关于“三项立方合公式”的文章：咱们来聊聊这个有点复杂但又挺有趣的“三项立方合公式”。
我还记得有一次，我给一群初中生讲这个公式的时候，那场景可真是让人哭笑不得。
有个小同学瞪着大眼睛，一脸迷茫地看着我，嘴里还嘟囔着：“老师，这都是啥呀，感觉比外星人的语言还难懂。
”我笑着对他说：“别着急，咱们一步一步来。
”这三项立方合公式啊，就像是一个神秘的密码，解开它就能打开数学世界里的一扇新大门。
咱们先来说说这公式长啥样。
它是 (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b +3a²c + 3b²a + 3b²c + 3c²a + 3c²b + 6abc 。
是不是看起来有点头大？别慌，咱们慢慢拆解。
比如说，a³、b³、c³这几项，就是每个字母自己立方的结果。
这就好像是每个小伙伴自己的小天地，独立又特别。
而3a²b、3a²c 这些呢，就像是小伙伴之间的互动和交流，互相影响，产生新的东西。
为了让大家更好地理解，咱们来做个小练习。
假设 a = 2，b = 3，c= 4 。
那咱们把这些数字代入公式里算算看。
先算 a³，就是 2³ = 8 ；b³呢，是 3³ = 27 ；c³是 4³ = 64 。
接下来算 3a²b ，a²是 2² = 4 ，所以 3a²b = 3×4×3 = 36 。
就这样一项一项地算，最后把结果加起来，看看是不是和直接用 (a + b + c)³算出来的一样。
在学习这个公式的过程中，大家可别死记硬背。
要多动手算算，多想想每个部分的意义。
就像搭积木一样，一块一块地搭建起自己的知识大厦。
合数公式知识点
合数是指大于1且不是素数的自然数。
在数学中，合数公式是指能够表示合数的一般形式或规律。
通过合数公式，我们可以快速地判断一个数是否为合数，并找到它的因数。
本文将介绍一些常见的合数公式知识点，帮助读者更好地理解和运用这些公式。
1.除法测试：最简单的判断一个数n是否为合数的方法是通过除法测试。
我们可以从2开始，依次将n除以2、3、4、5……直到n的平方根。
如果存在一个数能够整除n，即n mod i = 0，则n为合数。
否则，n为素数。
2.因数分解：当我们确定一个数是合数后，进一步找到它的因数是很有用的。
因为合数可以被分解为多个因数的乘积。
常见的因数分解方法有试除法和辗转相除法。
试除法是从最小的质数2开始，依次判断是否能整除合数n，如果可以，则将n除以该质数，并重复此步骤直到n为1。
辗转相除法是将合数n除以一个质数p，如果能整除，则将n除以p，否则将p加1，并重复此步骤直到n为1。
3.欧拉函数：欧拉函数是指小于等于n且与n互质的正整数个数，记作φ(n)。
对于合数n，欧拉函数的计算方法是先将n分解为质因数的乘积，然后根据欧拉函数的性质φ(ab) = φ(a) * φ(b)（a和b互质），计算出每个质因数的欧拉函数值，并相乘得到φ(n)。
例如，对于合数n=12，其质因数分解为2^2 * 3^1，因此φ(n) = φ(2^2) * φ(3^1) = (2-1) * (3-1) = 2。
4.合数的性质：合数有一些特殊的性质，利用这些性质可以更快地判断一个数是否为合数。
例如，合数一定能够被合数整除，即合数一定有大于1且小于它本身的因数。
此外，合数一定能够被其平方根范围内的质数整除。
例如，对于合数n=12，其平方根为√12 ≈ 3.464，我们只需要判断2和3是否能够整除12即可。
5.连续整数的性质：合数也有一些与连续整数相关的性质。
例如，对于任意大于1的自然数n，n与n+1一定互质。
因此，当我们判断n是否为素数时，只需要判断n是否能被2到√n之间的质数整除即可，无需判断n是否能被n+1整除。
离散数学定义定理（上）
离散数学定义定理1.3.1命题演算的合式公式规定为：（1）单个命题变元本身是一个合式公式。
（2）如果A是合式公式，那么┐A是合式公式。
（3）如果A和B是合式公式，那么（A∨B）、（A∧B）、（A→B）、（A B）、都是合式公式。
（4）当且仅当有限次地应用（1）（2）（3）所得到的包含命题变元，连接词和圆括号的符号串是合式公式。
1.3.2设A i是公式A的一部分，且Ai是一个合式公式，称A i是A的子公式。
1.3.3设P为一命题公式，P1,P2,……，P n为出现在P中的所有命题变元，对P1,P2,……，P n指定一组真值称为对P的一种指派。
若指定的一种指派，使P的值为真，则称这组指派为成真指派。
若指定的一种指派，使P的值为假，则称这种指派为成假指派。
含n个命题变元的命题公式，共有2n个指派。
1.3.4给定两个命题公式A和B，设P1,P2,……，P n为所有出现于A和B中的原子变元，若给P1,P2,……，P n任一组真值指派，A和B的真值都相同，称A和B是等价的，记做A <=>B。
1.3.5设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为真，则称A为重言式或永真式。
1.3.6设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下，其取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。
1.3.7设A为一命题公式，若A在它的各种指派情况下至少存在一组成真指派，则称A为可满足式。
1.4.1设X式合式公式A的子公式，若有Y也是一个合式公式，且X<=>Y，如果将Ａ中的Ｘ用Ｙ置换，得到公式Ｂ，则A<=>B。
1.4.2设A，B为两个命题公式，A<=>B，当且仅当A ←→B为一个重言式。
P=>Q称做P蕴含Q或蕴含式，又称永真条件式。
蕴含式有下列性质：（1）对任意公式A，又A=>A；（2）对任意公式A，B和C，若A=>B，B=>C，则A=>C；（3）对任意公式A，B和C，若A=>B，A=>C，则A=>(B∧C);（4）对任意公式A，B和C，若A=>C，B=>C，则A∨B=>C.1.4.3设P，Q为任意两个命题公式，P<=>Q的充分必要条件式P=>Q,，Q=>P。
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命题逻辑中的合式公式判断程序
#include<stdio.h>
#include<string.h>
int Isformula(char *a);
int main()
{
char str[30],x;
while(1)
{
printf("please input a string:\n");
printf("分别用!表示非，用&表示合取，用|表示析取，用-表示条件，用=表示双条件\n");
scanf("%s",str); //字符串的输入
if(Isformula(str)) /*str是数组名，代表数组中第一个元素的地址，
将该地址作为实参传递给指针变量,即让指针指向数组
*/
printf("%s是个合式公式\n",str);
else printf("%s这不是个合式公式\n",str); //字符
串的输出
printf("请选择：输入0退出系统；输入1继续判断其它字符串\n");
scanf("%d",&x);
if(x==0)
break;
else
continue;
}
return 0;
}
int Isformula(char *a)
{
char A[30];
int i,l=0,r=0,n;
for(n=0;*a!='\0';n++) /* 该过程类似于合式公式字符串的复制，即将主函数中的
str数组中的元素一一复制给被调函数中的A数组中的空间
*/
{
A[n] =*a;
a++;
}
A[n] = '\0';
if((A[0]<='Z'&&A[0]>='A')||(A[0]>='a'&&A[0]<='z')) {
if(strlen(A)==1) //如果只剩下一个字符
return 1;
else
return 0;
}
if (A[0]=='('&&A[n-1]==')')
{
if(A[1]=='!') //判断“(”“!”“)”这种格式
{
A[n-1]='\0';
Isformula(&A[2]); //去掉“(”“!”“)”这种格式，继续调用
}
else
{
for(i=1;i<n-1;i++)
{
if(A[i]=='(') //排除两端的括号，从左向右逐个扫描
l++;
if(A[i]==')')
r++;
if(l==r)
break; //括号成对出现，就跳出循环
}
}
if((A[i+1]=='&'||A[i+1]=='|'||A[i+1]=='-'||A[i+1]=='=')) //判断左右部分连接词是否正确
{
A[n-1]='\0';
A[i+1]='\0';
if (Isformula(&A[1])&&Isformula(&A[i+2])) //判断左右部分是否是合适公式
return 1;
}
}。