离散数学作业(1)

***********2020 春课件作业***********第一部分集合论第一章集合的基本概念和运算1-1 设集合 A ={{2，3,4}，5，1}，下面命题为真是（选择题） [A] A．1 ∈A； B．2 ∈ A； C．3 ∈A； D．{3，2,1} ⊆ A。

1-2 设 S = {N，Z，Q，R}，判断下列命题是否正确（是非题）（1） N ⊆ Q，Q ∈S，则 N ⊆ S，［错］（2）-1 ∈Z，Z ∈S，则 -1 ∈S 。

［错］第二章二元关系2-1 设 A = {1，2，3}，A 上的关系 R = {〈3，2〉，〈2，3〉}∪IA，试求：（综合题）(1)domR =?; (2)ranR =?; (3)R 的性质。

（4）商集 A/R =？（5）A 的划分∏=？（6）合成运算（R 。

R）=？答：R = {<1,2>,<1,3>,<2,3>，<1，1>，<2，2>，<3，3>}；(1)DomR={R中所有有序对的x}={3,2,1};(2)RanR={R中所有有序对的y}={2,1,3}；(3)R 的性质:自反,反对称,传递性质.这时，R 不是等价关系。

（4）商集A/R = {{1，2，3}，{2，3}，{3}}。

由于R 不是等价关系，所以，等价类之间出现交集。

这是不允许的。

请看下面的划分问题。

（5）A的划分∏={{1，2，3}，{2，3}，{3}}；也由于R不是等价关系，造成划分的荒谬结果：出现交集。

试问：让“3”即参加第一组，又参加第二组，她该如何分配呢所以，关系 R 必须是等价关系。

至于作业中，此两题应说：因为R 不是等价关系，此题无解2-2设S ={1，2，3}，S上的关系R 如下：R = {〈x，y〉︱x < y }，试完成下列要求:1、给出R 的所有元素。

R={〈1,1>,<2,2>,<3,3>}2、给出domR 的表达式。

domR ={1，2，3}3、给出ranR 的表达式。

ranR ={1,2,3}4、指出R 的性质。

性质为:自反,对称,传递2-3 设S ={3，1，2}，S上的关系R 如下：R = {〈x，y〉︱x > y }，试完成下列要求:1、给出R 的所有元素。

R= {（3,3）,（1,1）,（2,2） }2、给出domR 的表达式。

domR = {3,1,2}//前域3、给出ranR 的表达式。

ranR = {3,1,2}4、指出R 的性质。

答：自反性,传递性,对称性,反对称性第三章结构代数(群论初步)3-1 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算“。

”，对于所有 x，y ∈Z 都有 x 。

y = x + y试问？在 Z 上二元运算。

〈Z ，。

〉能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽？（综合题）答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为 0，所以为幺半群。

(经解联立方程组).4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = – x *(解联立方程组得到)5、结论：构成群。

3-2 设 Z 为整数集合，在 Z 上定义二元运算“。

”，对于所有 x，y ∈Z 都有 x 。

y = x - y试问？在 Z 上二元运算。

〈Z ，。

〉能否构成代数系统，何种代数系统？为什麽？（综合题）答：1、满足封闭性，构成代数系统。

2、经验证满足结合律，所以为半群。

3、幺元为0，所以为幺半群。

(经解联立方程组).4、设 y 是 x 的逆，所以有 y = – x *(解联立方程组得到)5、结论：构成群。

3-3 设 N 为自然数集合，在 N 上定义二元运算“。

”，对于所有 x，y ∈ N 都有x 。

y = x + y试问〈N ，。

〉能否构成何种代数系统，为什麽？（综合题）3-4 设 N 为自然数集合，在 N 上定义二元运算“。

”，对于所有 x，y ∈ N 都有x 。

y = x - y试问? 能否构成何种代数系统，为什麽？（综合题）第二部分图论方法第四章图 (是非题)4-1 无向图G中有10条边,4个3度顶点,其余顶点度数全是2,共有 8 个顶点。

[非]第五章树5-1 给出传输 GOODBYE 的最佳前缀码每个字母出现频率分为：G、D、B、E、Y：14%，O：28%；(也可不归一化,以字符出现的次数为频率).1、最优二元树 T；2、每个字母的码字；3、二进制码多少个； 4.等长码共多少位?编码如下：G（000），D（001），B（100），E（101），Y（01），O（11）。

G,D,B,E 分别用3位二进制码，共12 位。

加上 Y =用2位。

再加上两个O的4位。

总共18位。

用树的权W(T)= 累加 wixhi( 即每片树叶的权x树叶的高度，加在一起) =1x3+1x3+1x3+1x3+1x2+2x2 = 18把每个符号所用码字数，加起来，共 18 位。

但是，若用树的权 W(T)= 4 个 14x3 加起来，再加上 1 个 14x2，再加上28x2 ,等于 252。

5-2 树叶权为2，3，4，5，6 的二元树T 的最小权及T 产生的前缀码。

权 W（T）= （2 + 3 + 4 + 4）* 4 + （5+6）*3 = 835-3 在网络上给外国友人发邮件时,”Hello”最少用二进制前缀码多少个?1、最优二元树 T；2、每个字母的码字；3、二进制码多少个； 4.等长码共多少位?hello =二进制码：['1101000', '1100101', '1101100', '1101100', '1101111']5-4 通信中 a，b，c，d，e 出现的频率均为 20%; 试完成下列要求。

（综合题） 1、最优二元树 T；2、二元树的权 W（T）=;3、每个字母的码字；a( )，b( )，c( )，d( )，e( )4、若用等长码共多少位?第三部分逻辑推理理论第六章命题逻辑6-1 若他学计算机专业，他必定学好离散数学。

若他不是学英语的，他必是学计算机的。

他没有学好离散数学。

所以他是学英语的。

(1)符号化:p：他学计算机；q：他学好离散数学；r：他学英语。

(2)前提：p→q，﹃r→p，﹃q。

(3)结论：r。

(4)证明:引入前提p→q，﹃q后，利用公式”拒取式”得到﹃p，再引入前提﹃r→p，利用”拒取式”公式，得到结果：r。

(5)扣题：证明结果与要证明的结论一致，推理正确。

6-2 将下列推理命题符号化，然后用不同方法判断推理结果是否正确。

（综合题）如果今天不下雨，则明天上体育课。

今天没有下雨。

所以，明天上体育课。

要求方法如下:答：如果今天下雨，则明天不上体育课。

今天下雨了。

所以，明天没有上体育课。

题解与分析：首先将原子命题符号化，然后，按题意将原子命题组织成公式。

再用不同方法，例如用等值演算法判断推理的正确与否。

公式是重言式，所以，推理正确。

方法 1：等值演算法（（p→﹃q）∧p）→﹃q ﹤＝﹥1；方法 2：构造证明法,如下:（1）将原子命题符号化：（2）按题意构成前提：（p→﹃q），p；（3）按题意构成结论：﹃q；（4）证明：（1）（p→﹃q）前提引入（2） p 前提引入（3）（p→﹃q）∧p （1）（2）假言推理（4）﹃q6-3 请在合适的逻辑中构造下面论题的证明：（1）前提：p∧q→r，﹁s∨q，p。

（2）结论：s→r 。

（3）证明：采用附加前提法。

引入前提﹃s∨q 及附加前提 s 后，利用公式”假言推理”得到 q，再引入前提 p，再利用”假言推理”公式，得到结果：r。

6-4用构造证明法证明下面推理的正确性。

如果天不下雨,则上体育课.天没有下雨.所以我们上体育课.（1）将原子命题符号化：p:天下雨,q:走路上班. 切切不可 p 表示天不下雨.（2）前提: ﹁p→q，﹁p；（3）结论： q；（4）证明：证明：﹁p→q 前提引入；﹁p 前提引入；(﹁p→q) ∧﹁p 假言推理；q.（5 ）扣题：要证明的结论与证明结果一致，所以推理正确第七章谓词逻辑7-1 在谓词逻辑中将下列命题符号化（填空题）人固有一死。

∀x（M（x）→F（x））。

《附录》习题符号集Ø 空集, ∪并, ∩交,⊕对称差,～绝对补,∑累加或主析取范式表达式缩写 , －普通减法, ÷普通除法, ㏑自然对数, ㏒对数，﹃非，∀量词”所有”，”每个”，∨析取联结词，∧合取联结词，彐量词”存在”，”有的”，∏划分。