全国中学生数学竞赛初赛试题选

初 赛 试 卷 姓名

1. 若x 为实数，则代数式|x |-x 的值一定是 A. 正数

B. 非正数

C. 非负数

D. 负数

2．已知(a +b )2

=8，(a -b )2

=12，则a b 的值为 A ．1

B ．-1

C ．4

D ．-4

3．若bk ＜0，则直线y =kx +b 一定通过 A ．第一、二象限 B ．第二、三象限 C ．第三、四象限

D ．第一、四象限

4．已知2010

2011

-2010

2009

=2010x

×2009×2011，那么x 的值是

A ．2008

B ．2009

C ．2010

D ．2011

5．在平面上，如果点A 和点B 到点C 的距离分别为3和4，那么A 、B 两点的距离d 应该是 A. d =1 B. d =5 C. d =7 D. 1≤d ≤7

6.如图4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使 点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是

A ．

53 B ．43 C ．32 D ．75 7．ABC ∆是一个等腰直角三角形，DEFG 是其内接正方形，H

是正方形的对角线交点；那么，由图中的线段所构成的三角形中相互全等的三角形的对数为（ ）．

()A 、12； ()B 、13； ()C 、26； ()D 、30．

8。设0ab ≠，且函数21()24f x x ax b =++与22()42f x x ax b =++有相同的最小值u ；函数23()24f x x bx a =-++与24()42f x x bx a =-++有相同的最大值v ；则u v +的值( ).

()A 、必为正数； ()B 、必为负数； ()C 、必为0； ()D 、符号不能确定．

9．如图，直角梯形ABCD 中，A D ∥BC ，A B ⊥BC ，AD=3，BC=5，将腰DC 绕点D 的逆时针方向旋转90°至DE ，连结AE ，则△ADE 的面积是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

10．若关于x 的方程2

27100x ax a ++-=没有实根，那么，必有实根的方程是（ ）．

B

A

C

F

E D

第9题

()A 22320x ax a ++-=； ()B 22560x ax a ++-=； ()C 2210210x ax a ++-=； ()D 22230x ax a +++=．

二、填空题（本大题满分40分，每小题5分）

11规定任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ）：当且仅当a=c 且b=d 时，（a ，b ）=（c ，d ）.定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）=(a c －bd ，ad+bc).若（1，2）⊗(p,q)=(5,0)，则p+q=______________. 12．已知点P 在直角坐标系中的坐标为(0,1)，O 为坐标原点，∠QPO =150°，且P 到Q 的距离为

2，则Q 的坐标为 ．

13．若不论自变量x 取何实数时，二次函数y=2x 2

－2kx+m 的函数值总是正数，且关于x 的一元二次方程x 2-4x+k=0有两个不相等的实数根.当k 为符合条件的最大整数时，m 的取值范围为______________.

14．如图，“L ”形纸片由六个边长为1的小正方形组成，过A 点切一刀，刀痕是线段EF.若阴影部分面积是纸片面积的一半，则EF 的长为______________. 15．设c ＜b ＜0＜a ，a +b +c =1，a c b M +=

，b

c

a N +=，c

b

a P +=

，则M ,N ,P 之间的关系是 ． 16．如图5，已知矩形ABCD ，AB =2，BC =3，MB =MC ，则点D 到AM 的距离为 ．

17．如图6，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB =CD =AD =1，∠B :∠A =1:2，M 、N 分别是AD 、BC 的中点，

P 是直线MN 上的一点，则PC +PD 的最小值为 ．

18．如图7，在平行四边形ABCD 中，P 为BC 上任一点，连结DP 并延长交

AB 延长线于Q ，则

BQ

AB

BP BC -

= ．、 19．单位正三角形中，将其内切圆及三个角切圆（与角两边及三角形内切圆都相切的圆）的内部挖去，则三角形剩下部分的面积为 .

20．圆内接四边形ABCD 的四条边长顺次为：2,7,6,9AB BC CD DA ====，则四边形的面

C

B

D

A

图5

M

图6

C

B

D

A

图7 P

第14题图

积为 .

三、解答题(本大题满分30分，每小题15分)

18．如图8，△ABC 是边长为1的等边三角形，P 是AB 边上的一个动点（P 与B 不重合），以线段

CP 为边作等边△CPD （D 、A 在BC 的同侧），连结AD ． （1）判断四边形ABCD 的形状，并给予证明；

（2）设BP =x ，△PAD 的面积为y ，求出y 关于x 的函数关系式，并

求出△PAD 面积的最大值及取得最大值时x 的值．

19．如图，PQ=10，以PQ 为直径的圆与一个以20为半径的O 内切于点P ，与正方形ABCD 切于点Q ，其中A 、B 两点在⊙O 上.若AB=m +n ,其中m 、n 是整数，求m +n 的值.

20．在平面直角坐标中，边长为2的正方形OABC 的两顶点A 、C 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，

点O 在原点.现将正方形OABC 绕O 点顺时针针旋转，旋转角为θ，当A 点第一次落在直线y=x 上时停止旋转.旋转过程中，AB 边交直线y=x 于点M ，BC 边交轴于点N (如图). （1）求边AB 在旋转过程中所扫过的面积；

C

B

D A 图8

P