全等三角形压轴题分类解析

三角形全等综合题归类

一、 双等边三角形模型 1. (1)如图1,点0是线段AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD 连结AC

和BD,相交于点 E ,连结BC 求/ AEB 的大小； (2)如图2, △ OAB 固定不动， 求/ AEB 的大小.

G 连接AF 和BE. 如图a , △ ABC 和厶CEF 是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点 ⑴线段AF 和BE 有怎样的大小关系？请证明你的结论； (2) 将图a 中的△ CEF 绕点C 旋转一定的角度，得到图 b ,⑴ 中的结论还成立吗？作出判断并说明理由； (3) 若将图a 中的△ ABC 绕点C 旋转一定的角度，请你画出一个变换后的图形 c(草图即可),⑴ 中的结论还成 立吗？作出判断不必说明理由 2、 C C

3.如图 ( (2)^ 理由. 1,若^ ABC 和^ ADE 为等边三角形，M ，N 分别为EB ，CD

的中点

ADE 绕A 点旋转到图2的位置时，

ADE 绕A 点旋转到图3的位置时，△ AMN 是否还是等边三角形？若是,

CD =BE 是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

若不是，请说明 请给出证明,

4、已知，如图①所示，在△ ABC 和^ ADE 中，AB=AC , AD =AE , N BAC =NDAE，且点B, A, D 在一条直线上，连接BE, CD, M , N分别为BE, CD的中点.

(1)求证：① BE =CD :② AM =AN ；

(2)在图①的基础上，将△ ADE绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形.请直接

(1)中的两个结论是否仍然成立

写出

D

A

5.如图，四边形ABCD和四边形AEFG匀为正方形，连接BG与DE相交于点H.

(1)证明：△ ABG = △ ADE ;

(2)试猜想N BHD的度数，并说明理由；

(3)将图中正方形ABCD绕点A逆时针旋转(0 °v N BAE < 180 °)，设△ ABE的面积为S , △ ADG的面积为S2，判断S与S2的大小关系，并给予证明. G

C

B

F E

6.已知：如图，△ ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG // BC ,交AC于点G，在GD的延长线上取点E ,使DE = DB，连接AE，CD .

(1)求证：△ AGE =△ DAC；

(2)过点E作EF // DC，交BC于点F，请你连接AF ,并判断△ AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.

考点2 :利用角相等证明垂直

垂直模型(该模型在基础题和综合题中均为重点考察内容) 考点1 :利用垂直证明角相等 1、如图，△ ABC 中,/ ACB= 90°, AC = BC AE 是BC 边上的中线，过 C 作CF 丄AE,垂足为 F ,过B 作BD 丄BC 交 CF 的延长

线于D. 求证：(1) AE = CD (2)若 AC= 12 cm ,求 BD 的长.

2、如图(1), 已知△ ABC 中，/ BAC=900, AB=AC, AE 是过A 的一条直线 CE 丄AE 于E 。 (1) ⑵ ⑶ ,且B C 在 A E 的异侧,BD 丄AE 于D,

3.

试说明：BD=DE+CE. 若直线AE 绕A 点旋转到图 若直线AE 绕A 点旋转到图

(2)位置时(BD

直线CD 经过N BCA 的顶点 (1)若直线CD 经过N BCA 的内部，且E 、F 在射线CD 上，请解决下面两个问题： 若 N BCA =90",则 E F 若 BCA <180 \若使①中的结论仍然成立，则Na 与N BCA 应满足的关系 C , CA=CB E 、F 分别是直线CD 上两点，且N BEC =N CFA =Na ①如图1,

BE-AF (填“ >”，“ C ” 或“=”号)； ②如图2, (2)如图 予证明. 3,若直线CD 经过N BCA 的外部,Z* = NBCA ，请探究EF 、 BE AF 三条线段的数量关系，并给 图1

图2 图3

1、如图，在等腰Rt △ ABC中，/ ACB=90 , D为BC的中点，DE I AB,垂足为E,过点B作BF// AC交DE的延长线于点

F,连接CF. (1)求证：CD=BF (2)求证：ADI CF; (3)连接AF,试判断△ ACF的形状.

2、如图9所示，△ ABC是等腰直角三角形， / ACB= 90°, AD是BC边上的中线，过交

AD于点F,求证：/ ADC=/ BDE

3.如图1,已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE ,

(1)试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；

(2)将正方形DEFG

绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，中的结论是否还成立？若成

立，给出证明；若不成立，请说明理由.

4.如图1，也ABC的边BC在直线I上，AC丄BC,且A C=BC,A E FP的边FP也在直线重合，且EF

=FP

C作AD的垂线，交AB于点E ,

GC

连接AE和GC.你认为(1)

上，边EF与边AC

E 图9

(S

G

I

AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；

EP 交AC 于点Q

,连接AP ，B Q

.猜想并写出BQ 与AP 所满

EP 的延长线交AC 的延长线于点Q,连结AP ,BQ ,你认为(2)

中所猜想的

BQ

与AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由

等腰三角形(中考重难点之一)

AC =BC , Z C =90°, D 为AB 边的中点， ^EDF =90°，也EDF 绕D 点旋转，它的两边

I

考点1 :等腰三角形性质的应用 如图，MBC 中，AB =AC , N

BAC

证：BE =AF , AE =CF . 1. =90 °, D 是BC 中点，ED 丄FD ，ED 与AB 交于E ，

FD 与AC 交于

2. 两个全等的含

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取BD 的中点M ,

,60'角的三角板 连结ME,MC .试判断AEMC 的形状，并说明理由.

ADE 和三角板ABC ,如图所示放置，E, AC 三点在一条直线上, 连结BD ,

C

A

(1) 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出 (2) 将AEFP 沿直线I 向左平移到图2的位置时， 足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想； (3) 将iEFP 沿直线I 向左平移到图3的位置时， 已知 Rt AABC 中,