全等三角形压轴题分类解析

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七年级下三角形综合题归类
考点2：利用角相等证明垂直
1.已知BE，CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB，试确定AP与AQ的数量关系和位置关系
Q A
F
D E
P
B C
2.如图，在等腰△R t ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，过点B作BF∥AC交DE的延长线于点F，连接CF．(1)求证：CD=BF；(2)求证：AD⊥CF；(3)连接AF，试判断△ACF的形状.
拓展巩固：如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交
AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
C
F D
A
图9
E
B
3.如图1，已知正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，GC.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D按顺时针方向旋转，使E点落在BC边上，如图2，连接AE和GC.你认为（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由
4.如图1，∆ABC的边BC在直线
l上，AC⊥BC,且AC=BC,∆EFP的边FP也
在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP
（1）在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的
(1)
（ 2
数量关系和位置关系；
A
（2） 将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 2 的位置时， EP 交 AC 于点 Q ,连接 AP , BQ .猜想并写出 BQ 与 AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；
E F
（3）将 ∆EFP 沿直线 l 向左平移到图 3 的位置时， EP 的延长线交 AC 的延长
B
D C
线于点 Q,连结 AP , BQ ,你认为（2）中所猜想的 BQ 与 AP 的数量关系和位置关系和位置关系还成立吗？若成
立，给出证明；若不成立，请说明理由.
E
A
A (E) E
A
Q
F P
B C
l
B
C (F)
三、 等腰三角形（中考重难点之一）
P
l
B F
(2)
C P
l
(3)
Q
考点 1：等腰三角形性质的应用
1. 两个全等的含 30 ，60 角的三角板 ADE 和三角板 ABC ，如图所示放置，E, A, C 三点在一条直线上，连结 BD ，
取 BD 的中点 M ，连结 ME, MC ．试判断 ∆EMC 的形状，并说明理由．
M
B
D
E
A
C
压轴题拓展： 三线合一性质的应用）已知 Rt ∆ABC 中， AC = BC ，∠C = 90︒ ， D 为 AB 边的中点，∠EDF = 90︒ ， ∠EDF 绕 D 点旋转，它的两边分别交 AC 、 CB （或它们的延长线）于 E 、 F ．
当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE ⊥ AC 于 E 时（如图 1），易证 S ∆DEF + S 1
∆CEF = S ∆ABC ．当 ∠EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC
不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立，S ∆DEF
，S
∆CEF
，S ∆ABC
又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
A
A
A
D
E
D
D
E
C
F 图1
B C
图2 C
F B E
图3
B F
2. 已知：如图，△ABC 中，∠ABC =45°，CD ⊥AB 于 D ，BE 平分∠ABC ，且 BE ⊥AC 于 E ，与 CD 相交于点 F ，H
是 BC 边的中点，连结 DH 与 BE 相交于点 G 。

(1) BF =AC (2) CE = 1 2
BF (3)CE 与 BC 的大小关系如何。

考点 2：等腰直角三角形（45 度的联想）
1. 如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边
经过点 D ，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM
的平分线 BF 相交于点 F .
⑴ 如图 14―1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：
① 通过测量 DE ，EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 ；
同类变式： 已知：△ABC 为等边三角形，M 是 BC 延长线上一点图直角三角尺的一条 图 ② 连接点 E 与 AD 边的中点 N ，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 ；
③ 请证明你的上述两猜想.
⑵ 如图 14―2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，
请你在 AD 边上找到一点 N, 使得 NE=BF ，进而猜想此
时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明
2. 在 △Rt ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，D 是 AC 的中点，DG ⊥AC 交 AB 于点 G.
（1）如图 1，E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF ，连结 EF 与 CF ，过点 F 作 FH ⊥FC ，交直线 AB 于点 H ．①求证：DG=DC
②判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明．
（2）若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上，(1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。

在
你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变．（直接写出结论，不必证明）
B B
H A
G F D
E C A
G
D C E
，
A
直角边经过点 A ，且 60º 角的顶点 E 在 BC 上滑动，（点 E 不与点 B 、C 重合），斜边与
∠ACM 的平分线 CF 交于点 F
F
（1）如图（1）当点 E 在 BC 边得中点位置时
B
E 图（2）
C
M
○
1 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 .
○
2 连结点 E 与ＡＢ边得中点Ｎ，猜想ＢＥ和ＣＦ满足的数量关系是 .
A
○
3 请证明你的上述猜想；
（２）如图（２）当点Ｅ在ＢＣ边得任意位置时，ＡＥ和 EF 有怎样的数量关系， N
F
并说明你的理由？
B
图（1）
C M
附加思考题： 以 ∆ABC 的两边 AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ∆ABD 和等腰 Rt ∆ACE ，∠BAD = ∠CAE = 90︒ . 连接 DE ， M 、 N 分别是 BC 、 DE 的中点．探究： AM 与 DE 的位置关系及数量关系．
⑴如图① 当 ∆ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 ；线段 AM 与 DE 的数量关系是
； ⑵将图①中的等腰 Rt ∆ABD 绕点 A 沿逆时针方向旋转θ ︒ ( 0 < θ < 90 )后，如图②所示，⑴问中得到的两个结论是 否发生改变？并说明理由．
D
N
D
N E
A
E
A
B
M 图①
C B M
图②
C
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24、已知：如图，矩形ABCD 中点 G 为 BC 延长线上一点，连接 D G, BH ⊥ DG 于H ，且GH = DH ， 点 E, F 分别在 AB, BC 上，且 EF // DG 。

（1）若 AD = 3,CG = 2 ，求 DG 的长；
（2）若 GF = AD + BE ，求证： EF =
1
2
DG 。

12、
（20XX 年宁德市）（本题满分 13 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，△ ABE 是等边三角形，
M 为对角线 BD （不含 B 点）上任意一点，将 BM 绕点 B 逆时针旋转 60°得到 BN ，连接 EN 、AM 、CM.
⑴ 求证：△ AMB ≌△ENB ；⑵ ①当 M 点在何处时，AM ＋CM 的值最小；
A
D
②当 M 点在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小，并说明理由；
⑶ 当 AM ＋BM ＋CM 的最小值为 3 + 1 时，求正方形的边长.
N
E
M
28．如图甲，已知∠ABC =90°，△ABD 是边长为 2 的等边三角形，点 E 为射线 BC 上任意一点（点 E 与点 B 不重合），
B
C
连结 AE ，在 AE 的上方作等边三角形 AEF ，连结 FD 并延长交射线 BC 于点 G ．
（1）如图乙，当 BE=BA 时，求证：△ABE ≌△ADF ；
（△2）如图甲，当 AEF 与△ABD 不重叠时，求∠FGC 的度数；
（3）若将已知条件中的“在AE 的上方作等边三角形 AEF ，连结 FD 并延长交射线 BC 于点 G ．”改为“在AE 的下
方作等边三角形 AEF ，连结 FD 交射线 BC 于点 G ．” 如
图丙所示），试问当点 E 在何处时 BD ∥EF ？并求此时
△AEF 的周长．
F
A
A
D
F
A D
B G E C
D
B G
E C
B G E
C
图甲
图乙
F 图丙。