高等物理静电场环路定理

说明
代数和 ！
3、连续分布的带电体的电势：
1 dq dV
4 0 r
V
1
4 0
dq r
三种典型的电荷分布情况 ：
1
dV
V 4 0 r
1 dS
V 4 0 r
4、电势的计算方法：
1 dl
V 4 0 r
1）由定义来求 : ( 电场分布已知或容易得到 )
VA
E dl
AB
VB
2）叠加法: ( 电荷分布已知 )
四、电势叠加原理：
1、点电荷的电势 ：
Vp r E d l r E d r
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
q o•
即：
r V
p q
4 0r
2、电势叠加原理---点电荷系的电势:
Vp
Edl
P
p
(
E1
E2
En
)
d
l
V1 V2 Vn
VP
i
V pi
n 1 qi
i 1 4 0 ri
A
力所作的功为：
•
dV VA VB E • dl Edl cos El d l
E
Eldl dV
dV El dl
dl
B• V
V dV
★ 电场中某点的电场强度沿某一方向的分量，等于电势
沿该方向的空间变化率的负值.
A
★ 等势面密处场强大，稀疏处场强小。
★ 电场线的方向指向电势降落的的方向。
E
★ 电场强度的方向为电势空间变化率最大的方向。
•
dl
B•
V
V dV
V
V
V
Ex x , Ey y , Ez z
(i j k )
x y z
E V
在静电场中，场强等于该点电势梯度的负值。 求场强的三种方法: 1、由电荷分布及叠加原理计算。
2、由高斯定理计算。 3、场强与电势梯度的关系。
若选 B 点为电势能零点，则
B
EPA q0
A E d l q0
Ed l
AB
说明
1）静电势能是属于系统的; 2）静电势能的大小是相对的;
电势能是相对的，若选 P0 点电势能为零, 则有
WP
q0
P0 P
E
dl
,
点p0是势能零点。
若电荷分布在有限范围内，习惯取无穷远处电势能为零，则有:
当r > 1m 时，V < 0 ;
r
1
当r < 1m 时，V > 0 。
五、场强与电势的关系： 1、等势面：电势相等的点在空间连成的曲面(或平面) 。
2、等势面的三条性质∶
A、等势面与电场线正交。
•B
证明：设A、B 是等势面上的两点，则有:
WAB q(VA VB ) 0
B
B
•A
而 WAB
p
qx
E dl
p
x 4 0 ( R2 x 2 )3/ 2 d x
q
4 0
(R2
1 x 2 )1/ 2
x
4 0
q R2 x2
特例:
q
★若x = 0，
由Vp 40
q R2 x2
Ro
得：Vp
q
4 0 R
而E 0
x
•
px
场强分布
电势分布
例题2均匀带电球面内外的电势分布。带电量为Q，球面半径为R
r
V E d r 2 0 d r 2 0 C
令V = 0、C = 0，则可以得到 r = 0 处为 零电势点。
故距平面ra 处的电势为:
0
0
Va
Edr
ra
dr
ra 2 0
r
2 0
0
ra
2 0
ra
讨论：若σ为正，则场中电势为负值。
若σ为负，则场中电势为正值。
U
U
r
r
例题5 有一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）。求直线外一 点P 处的电势。
qE dl
A
qE cos d l 0
A
其中q, E,d l都不为零故 cos 0 , 2
在任何静电场中，电场线与等势面正交。
B、等势面密处场强大，稀疏处场强小。
C、电场线的方向指向电势减小的方向。
3、场强与电势的微分关系：
电场中任意两个相邻等势面之间的电势差都相等。
将单位正电荷由点A移到点B，电场
p
p
p b
Uab
Edl
a
Edl
b
Edl
a
Edl
p
b
Uab Va Vb
Edl
a
物理意义：
说明
将单位正电荷从a 点移到b 点静电场力作的功。
1、电势是相对的，与零点的选择有关。 电势差是绝对的，与零点的选择无关。
2、电势、电势差、功、电势能的关系：
Wa q0Va Wab Wa Wb q0Vab
例题6一均匀带电圆板，半径为R，已知面电荷密度。求圆板轴 线上的电势和场强分布。
解∶选坐标系如图。取半径为y , 宽为dy 的圆环，带电量为：
dq 2ydy
在P处的 dV 1
dq
电势为:
40 x2 y2
dy
y
O
yd y 20 x2 y2
R
R
V
0 2 0
ydy x2 y2 20
Wp q0 p E d l
[例]：q0 在 Q 的场中a 点的电势能(选无穷远处为零电势能点)
Wa
q0
a E dl q0
Q
ra 40r2 d r
q0Q
1 (1)
q0Q
4 0
r ra
4 0ra
2、电势、电势差 ：
（1）、定义：Va
EPA q0
p0 E dl
a
电势的物理意义：
高斯定理:
SE
dS
q
0
环路定理: LE d l 0
有源场静电场是有源无旋场 无旋场
三、电势差、电势: 1、电势能
在静电场中 ，可以引入电势能（W ）。
静电场力所作的功等于电荷电势能的改变量。
WAB q0
E dl
AB
E pA E pB
( E pB E pA )
试探电荷q o 在电场中某一点的静电势能在数值上等于 把试探电荷q o 由该点移到零势能点静电力所作的功。
★ 等于单位正电荷在该点所具有的电势能 。 ★等于单位正电荷沿任意路径从该点移动到零电势
点静电场力所作的功。
若电荷分布在有限范围内，则可取无穷远处电势为零:
说明
Va
Wa q0
E dl
a
电势是描述电场性质的物理量，与试验电荷无关。
电势是空间场点的标量函数。
（2）、电势差： Uab Va Vb
解∶由高斯定理得直线外的电场强度为:
E
rˆ
作不定积分:
2 0r
V
Edl
2 0r d r
ln r C
2 0
若选取C = 0，可计算出r = 1 处 的 B 点电势为零，即选
取 B 点为零势点，则 P 点电势为：
1
Vp
dr
ln r
r 2 0r
2 0 U
结果表明: 当r = 1m 时，V = 0 ;
四、电势参考点选取原则：使电场中各点的电势有确定的有限值的 前提下，能使电势的解析式最简单的参考点是最恰当的参考点。
确定最恰当参考点的方法：
V
E dl
C
dx C
2 0
2 0
xC
当： V 0 时令 C 0 则 x 0
势函数的解析式为： V x 2 0
dx x
E i
2 0
这是势函数最简单的解析式。所以 x 处0 是最恰当的参考点。
R
x2 y2
(
0 2 0
x2 y2
x
P
x
x2 R2 | x |)
由场强和电势的关系：
V
x
E
Ex
x
2 0
1
x2 R2
小结
静电场的环路定理: E d l 0 L
静电场力做功与电势能增量的关系: W EP
电势能的定义:
EPA
p0 qE d l
A
电势的定义:
VA
WA q0
若取 x 0 处的点(即平面处)为零电势点，则距平面 x 处
的电势为: V x 2 0
结论：确定最恰当参考点的方法是：作不定积分，通过令V 0
取积分常数等于零可得到最恰当的参考点和最简单的势 函数。
例题4一均匀带电的无限大平面，面电荷密度为σ。求平面外一
点a 的电势.
解: 首先确定零电势点的位置，作不定积分
解。∶由高斯定理得：
E内 0
1Q
E外 4 0 r 2
1）对球内的一点P，其电势为:
R
pQ
• r r • p
V p E dl p E dr
R 0dr
Q
r
4 0
dr Q
R r 2 4 0 R
2）对球外的P ' 点，其电势为：
V
r
Q
4 0r 2
d
r
Q
4 0r
例题3一均匀带电的无限大平板,面电荷密度为σ。求平面外一点
L
a
E d l 0 静电场的环路定理 L
L2
在静电场中，电场强度沿任意闭合路径的线积 分（环流）恒为零。
W
q0
E dl
aL1b
q0
E dl
bL2a
E dl E dl E dl
bL2a
aL2b
aL1b
说明
1）静电场的环路定理反映了静电场的性质 — 无旋场。 2）静电场的环路定理和高斯定理共同反映静电场的性质。
p0 E dl
A
电势的计算:
1、 由定义式 V E d l 求。 dq
2、由叠加原理求。 V 40r
基本要求
• 1、掌握描述静电场的两个物理量——电场 强度和电势的概念。E是矢量，V是标量
• 2、理解高斯定理和静电场环路定理是静电 场的两个重要定理。表明静电场是有源场 和保守场。
• 3、掌握求电场的三种方法 • 4、掌握求电势的方法 • 5、了解电偶极子概念。
第 五 章 3
()
§5-6 静电场的环路定理 电势能
一、静电场力所作的功：
设 Q 为激发电场的场源电荷，试探 电荷 q0 沿一路径从 a 运动到 b 。
a
ra
E
q0
•
d
d
l
r
b
r
Q rb
dW F
Wab
d l q0E
b
dW
a
dl
q0Q
4 0
q0 E cos
rb ra
ห้องสมุดไป่ตู้
1 r2
dr
d
l q0E d r q0Q ( 1
1 dq
V 4 0 r
（空间积分） （带电体积分）
例题1 带电圆环中心轴线上的电势分布。电量为q,半径为R
解∶ 1 ) 叠加法，取微元：dq
y
1 dq
dVp 4 0 r
dq
r
1
1q
Vp 40r q d q
4 0 r
Ro
x
q
z
4 0 R2 x2
•x
p
2 ) 定义法:
Vp
p0 E d l
a的电势.
解: 若取无穷远处为电势零点，沿垂直 带电平面的路径积分，则
dl
a dl
V E dl
dr
a
a 2 0
若取无穷远处为电势零点，沿平行
带电平面的路径积分，则
E
2 0
V a E dl 0
上述结果不合理并且相互矛盾。其原因是：逻辑上的矛盾。
电荷分布在无限空间时，一般取有限远处为电势参考点。
4 0 ra
Q
q0 4 1
0r
)
rb
2
d
r
点电荷的静电场力作的功与路径形状无关，仅与试探 电荷及路径的初、末位置有关。
推广：任意带电体的静电场力作的功与路径形状无关， 仅与试探电荷及路径的初、末位置有关。
∴ 静电场力为保守力。
二、静电场的环路定理： ∵ 静电场力是保守力
L1
q
•
0
b
W q0 E • d l 0