静电场环路定理
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理
例3、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知 ，q 、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R 微元法) 微元法 解: 方法一 叠加法 (微元法
dq = σdS = σ 2πR2 sinθdθ π 任一圆环 dS = 2 RsinθRdθ
dq 1 σ 2πR sinθdθ du = = 4πε0l 4πε0 l
B A
1 1 dr = ( − ) 2 4πε0r 4πε0 RA RB RA
q
q
2.如图已知 、-q、R 如图已知+q 如图已知 、 移至c ①求单位正电荷沿odc 移至 ，电场力所作的功 求单位正电荷沿
d q −q A = uo − uc = 0−( ) + oc 4πε0 3R 4πε0R a b c q 0 +q −q = 6 0R πε R R R
方法二
定义法
∞ P
q 4 0r2 πε
由高斯定理求出场强分布 E =
r>R r<R
r r 由定义 u = ∫ E • dl
r<R R r r ∞r r u = ∫ E • dl + ∫ E • dl
r R
0
r>R
R
dθ
O∞θຫໍສະໝຸດ lP= 0+ ∫
∞
q
4 0r πε R q = 4 0R πε
dr 2
u= ∫
r r uP = ∫ E • dl
P
∞
♠由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算 由点电荷电势公式，
求电偶极子电场中任一点P的电势 例1 、求电偶极子电场中任一点 的电势
Y
由叠加原理
q(r2 − r1) uP = u1 + u2 = − = 4πε0r1 4πε0r2 4πε0r1r2 q q
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
04静电场的环路定理 电势
R
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
1
•II区：球壳外电势
rR
U2
r
1 E2 dl r E 2 dr r
q q dr 2 4 0 r 4 0 r
Fan
I区：球面内
r R , E1 0
1
U1
q 4 0 R
q q II区：球面外 r R , E 2 4 0 r 2 U 2 4 0 r
U 4
i i
r
（2）连续带电体：将带电体分割成无限多个电荷元， 将每个电荷元看成点电荷，根据点电荷电势公式求电 荷元的电势，迭加归结于积分。
U dU
dq 4 0 r
注意电荷元的选取！
Fan
特别注意：
点势法的使用，必须是以无穷远处为电势零点为前提 条件。
up
q 40 rp
uab
b
a
E dl
Aab Wa Wb q0 q0 q0
b
a
E dl
移动单位正电荷自 ab 过程中电场力作的功。
移动单位正电荷 自该点 “势 能零点” 过程 中电场力作的 功。
b Wa Aab • 电势定义 ua E dl a q0 q0
意义：把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点时电 场力所作的功。 电势差和电势的单位相同，在国际单位制中，电势 的单位为：焦耳/库仑（记作J/C），也称为伏特（V） ，即1V＝1J/C。
Fan
注意几点：
1.电势是标量，只有正负之分。
2. 电势和电势能一样都是相对的量，为了让它有确 定的值，必须选择一个零点作为参考点。但电势差 的值具有绝对的意义，与零点的选择无关。 3. 电势零点的选择： •对有限带电体一般选无穷远为电势零点。 在实际问题中，也常常选地球的电势为零电势。 •对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有电 势的相对值（即电势差）有意义。 4.电势能与电势的区别：WP 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
第10章静电学-3-静电场环路定理
+q
11
(2)电荷分布如图所示, 将点电荷qo从a 经半圆b移到c的 过程中, 电场力对qo的功？
解 Aac qo (Ua Uc )
b
Ua
q
4o R
q
4o R
0
-q
a
+q R
o
c
Uc
q
4 o (3 R)
q
4o R
R
R
q
6o R
Aac
qqo
6o R
12
例10-14 一均匀带电直线段，长为L，电量为q ;取无穷远为电 势零点，求直线延长线上离一端距离为d 的P点的电势。
9
③对于电荷连续分布的带电体，可将其分割为无数多电荷元
dq，每个电荷元dq当作点电荷，其电势为
dU dq 4πε0r
根据电势叠加原理
U
V
dq
4 0r
dl dq dS
dV
积分遍及整个带电体，V是带电体的体积。
电势叠加原理也可以计算多个带电体所产生电场的总电 势，总电势应等于各带电体所产生电场的电势的代数和。
(3)电势差：
b
Uab Ua Ub E dl
a
静电场中a、b两点的电势差等于将单位正电荷由a沿任意路 径移至b过程中电场力做的功。
电势差是绝对量，与电势零点的选择无关。
6
由Wa
q
零势点 E
a
dl ,
得 Wa qUa
由Aab
q
b
E dl
a
Wa Wb ,
得 Aab q(Ua Ub )
(3)等于场强从该点沿任意路径到零势点的线积分。
说明：
(1)电势是相对量，要确定场中各点的电势必须选定电势零点。
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
静电场的环路定理
已知q的电场分布 E
根据定义, P点的电势为
4
q
0r
2
er
VP
P
E dl
r
q
40r
2Pdr4q04r2qe0rrP dl
q > 0时, VP为正, r V, r处V= 0 min q < 0时, VP为负, r V, r处V = 0 max
2.电场强度与电势梯度的关系
根据电势差的定义, 把单位正电荷从P1移到P2 电场力所作的功为：
dA E dn V (V dV )
r E
dn
n
P1
P2
V V dV
E dn dV
E
dV dn
grad V
E
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
dV dn
n
r E grad V
r 即:电场中某点的场强 E 等于该点电势梯度的负值
无意义
VP
P
E
dr
rP
2 0r
dr
2 0
ln
rP
r
P
P'
令某处 r = r0（有限值） V=0，则
VP
P0
P
E
dl
P
P
E dl
P0
P
E dl
r0 P0
P
P
2
0r
dr
2 0
ln
r0 r
可见：当电荷分布到无穷远时，
22
归纳 电场强度与电势的关系
积分关系：
静电场环路定理
方法二 定义法 先由高斯定理求出场强分布
q
再由定义 u E dl
rR
P
E
4 0 r 2
rR
0
rR
rR
u E dl E dl
R r R
R
O
r＜ R
P
r＞ R
0
q
2
4 0 r q 4 0 R
R
dr
u
2 2
方法二 定义法 已知轴线上的场强分布函数
E qx
2
4 0
R x
u Edx
4 0 ( x R ) qxdx
2
3
2
q
xp
xp
4 0 ( x R )
2 2
3
2
4 0 r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q 解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
q
r1 r2 r
2
r2
l cos u 2 4 0 r
其中
q
O
r r 1
q
X
r x y
2 2
2
l
u 1 4 0
2
cos
x x y
2 2
px (x y )
3 2 2
课堂练习： 已知正方形顶点有四个等量的电点荷 q1 q 4.0 10 9 C r=5cm
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
( E ) dS 0
s
E 0; 或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。 高斯定理的微分形式。
静电场的环路定理
8-7 电势
一 电势
1 电势VA
定义：电场中A点的电势
VA
E pA q0
EpA q0 AB E dl EpB
A
B
E
VA AB E dl VB (VB为参考电势，值任选。)
令 VB=0，则有： VA AB E dl
VA
B
A
E
dl
(B点为电势参考点)
电势是标量，它的单位是伏特简称伏，符号为V。 电场中A点的电势在数值上等于把单位正电荷从 点A移到无穷远时，静电场力所作的功。 电势零点的选取可视问题性质而定。
与该路径的形状无关。
说明：静电场力是保守力，静电场是保守场。
二 静电场的环路定理
q0沿闭合路径l移动一周，电场力作功为：
W
l
q E dl 0
q 0
l
E dl
A
又由静电场力作功特点知：W=0
E
则：
q 0
l
E dl
0
q 0 0
l E dl 0 此即静电场的环路定理
式中 l E dl 称为电场强度矢量环流。
o
x
环心和无穷远处的电势
x0，V0
q
4 0
R
x
R，VP
q
4
0
x
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 rdr
dVP
1
4 0
2 rdr
x2 r2
r
Ro
VP
1
4 0
R
0
2 rdr
x2 r2
2 0
(
x R
静电场环路定理
l
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
i
l
结论：静电场力做功，与路径无关.
10-4 静电场的环路定理
静电场的环路定理
q0 E dl q 0
q 0 ( E dl
ABC
ABC
E dl 0
l
CDA
E dl ) 0
A
ADC
E dl
B
D
C
E
结论：沿闭合路径一 周，电场力作功为零.
q1
r1
n
n
U i
i 1
i 1
Ei dl
E3
q2
r2
E2
q3
r3
A
E1
10-4 静电场的环路定理
电荷连续分布时 dq dV
dq dU 4πε0 r
1 dq UA 4πε0 r
dq
r
A
10-4 静电场的环路定理
计算电势的方法
q
令 U 0 qdr U E dl r 2
r
4πε0 r
er
r
q U 4 πε0 r
10-4 静电场的环路定理
四
电势的计算
点电荷系 E Ei
i
qi UA i 1 4 π ε0 ri
n
UA
A
E dl
A
10-4 静电场的环路定理
一
电场的环量
E dl E cos dl
l l
环量：场强沿闭合路径的线积分称为电场的环量
dl
l
F dl q0 E cos dl
静电场的环路定理
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
➢ 本节的研究目的
研究ห้องสมุดไป่ตู้电场的旋度特性
➢ 本节的研究内容
一、静电场环路定理的微分形式 二、静电场环路定理的积分形式
一、静电场环路定理的微分形式
E ()
0
E 0
静电场是无旋场； 静电场的电力线不可能是闭合曲线；
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
分析：对闭合曲线应用环路定理
a
E dL E dL E dL 0
acbda
acb
bda
c d
E dL E dL E dL
acb
bda
adb
b
说明：两点之间的电位差与积分路径无关
二、静电场环路定理的积分形式
根据斯托克斯定理
L E dL S E dS L E dL 0
静电场的环量为零； 静电场是保守力场，位场； 静电场中电场力作功与路径无关；
本节要点
➢ 本节的研究目的 研究静电场的旋度特性；
E 0
L E dL 0
静电场的环路定理
环流定理
11.6.3 电势
一、电势 电势差
1、电势
W Va = a = ∫ E • dl q0 a
b
Vb = 0
任意场点的电势等于单位正电荷在该点所具有的电势能 单位正电荷从该点到电势零点电场力所作的功 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！ 当场源电荷分布在有限区域内时通常电势零点取在无限远处！
∞ n 1
up = ∫ E ⋅ dl
p
有
p
∑E ⋅ dl
i
= ∑(∫ Ei ⋅ dl )
1 p
n
∞
= ∑Vip
1
n
在点电荷系的电场中， 在点电荷系的电场中，某一点的电势等于各点电荷单独 存在时，在该点产生的电势的代数和。 存在时，在该点产生的电势的代数和。这一结论称为电 n 势叠加原理。 势叠加原理。
Vp = ∫ E ⋅ dl
p
Z
+
+
• P
X
E=
x
qx 4πε0 (R + x )
2 2 3 2
3 2
Vp = ∫ E ⋅ dl = ∫
p
∞
qx
4πε0 (R2 + x2 )
⋅ dx
11-11求均匀带电球面电场中电势的分布， 11-11求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R ，q 求均匀带电球面电场中电势的分布
电势及电势差的单位都是“伏特” 符号: 电势及电势差的单位都是“伏特”, 符号: V
a
b
.
电势差、 功、电势差、电势能之间的关系
A = q∫ E • dl = q(Va −Vb ) =W −W ab a b
a b
二、电势的计算
环路定理 电势能差 电势差
q
dl r
r dr F
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无关。 2.任意带电体系的场 对于由多个静止点电荷组成的系统或静止的连续带 电体，可看成是由无数电荷元组成。
由场强叠加原理可得到电场强度的线积分（移动单 位电荷的功）为：
3
b
aபைடு நூலகம்
b E dl ( E1 E2 En ) dl a b b b E1 dl E2 dl En dl Aab
a
电场力是保守力
5
二、电势能和电势
电场力是保守力，可引入势能的概念。 1.电势能差
b
q0 a
E
设在静电场中，将检验电荷 q0 从 a 点沿任意路径移动 到 b 点，电场力作功为Aab。 定义: 电荷 q0 在静电场中a 、b两点间的电势能差定义为， q0从 a 点沿任意路径移动到 b 点的过程中， Wa - Wb等于电场力所作 的作功Aab 电势能差（势能增量的负值）等于保守力所作的功。
•对无限带电体不宜选无穷远为电势零点。此时只有 电势的相对值（即电势差）有意义。
4.电势能与电势的区别：W 可正可负，取决于 q 和 q0 ； U只取决于场源电荷 q 。
10
另一方面： 当已知电势分布时，可由电势差求出点电荷在电 场中移动的过程中电场力所做的功：
Aab q0
b
a
E dl q0 (U a U b )
a
式中：Wa、Wb是电荷q0分别在a点和b点时,q0与电场所组成的系统 的静电势能。
b
2.电势能
电势能也是一个相对的量，若选择一个零势能 点作为参考。 若令 W 0, 即选定b点为电势能零点。 b 则，电荷q0在此系统的电场中a点的电势能为：
环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理
环路定理电场强度的线积分电势静电场的环流为零环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.xRr = R2 + z2zzyϕ=14πε 0ηdl∫L r=4πε 01 R2+z2∫Ldq=q4πε0 R2 + z2例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的电势分布.∞解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为E=⎧ qr⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3, ,r<R r>R取参考点为无穷远,电势为ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dlPrR路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为ϕ(r)=∫r∞qdr4πε0r 2=q4πε0r场点在球内时，电势为ϕ(r)=∫rRqrdr4πε 0 R 3+∫R∞4πqεd0rr 2=q (3 −8πε 0 Rr2 R2)六.电场线 规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.-qq-q2q三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不 稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.电场线的三条性质：(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无 电荷处不中断.q-qS1S2S3规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则 电场线的疏密程度能反映电场强度大小．(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.(3)电场线不闭合.七.等势面 空间中电势相等的点的集合构成了等势面.点电荷的等势面 等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman第二卷是关于电磁学的.。
环路定理
解：
a
r P
x
U=
q 4 0 x2 +a2 πε
x
dU qx E = Ex = − = 2 2 32 dx 4 0(x +a ) πε
U(x, y, z) =C
• 常用一组等势面描述静电场，并规定相邻两等势面之间的 常用一组等势面描述静电场， 电势差相等。 电势差相等。
点电荷的电场线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
+ +
+ +
+
+
+
+场线的关系: 等势面与电场线的关系: （a） 等势面与电场线处处正交； 等势面与电场线处处正交； 电场线指向电势降低的方向； （b） 电场线指向电势降低的方向； （c） 等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。 等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强量值小。
q
r
a
r+dr r dl θ r q0 E
结论：在点电荷电场中， 结论：在点电荷电场中，电场力所作的功只与试验电荷始末 位置有关，而与试验电荷运动路径无关。 位置有关，而与试验电荷运动路径无关。
（2）在任意电荷系的电场中： 在任意电荷系的电场中：
r v E = ∑Ei
r r v r v r A= q0 ∫ E⋅ dl = q0 ∫ ∑E ⋅ dl = ∑ 0 ∫ E ⋅ dl = ∑A q i i i
例2、 均匀带电圆板，半径为 R ，电荷面密度为 σ 。求轴线上 均匀带电圆板， 电势。 任一点 P 的电势。 解： dU =
dq 4 0 x +r πε
2 2
dr r
R P
dq =σ2π rdr
9-5 静电场的环路定理解析
0
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
E dl
q0U AB
q0 VA
VB
A
五、点电荷电场的电势
V E dl Edr
r
r
q
4 0r
2
r
dr
V q
4 0r
正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低；
负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
六、电势叠加原理
E dl
AB
VB
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和 电势为零
v v
VA
E dl
A
•电场中某点的电势在数值上等于放在该点的单 位正电荷的电势能
•电场中某点的电势在数值上等于把单位正电荷 从该点移到势能为零的点时，电场力所作的功。
2、说明：
•电势是标量，有正有负； •电势的单位：伏特 1V=1J.C-1； •电势具有相对意义，它决定于电势零点的选择。 在理论计算中，通常选择无穷远处的电势为零；
复习
9-3、4 电场线 静电场的高斯定理
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律 • 高斯定律应用举例
9-5 静电场的环路定理
一、静电场力所作的功
1、点电荷电场
点电荷Q固定于原点O，试验 电荷q0在Q的电场中由A点沿 任意路径ACB到达B点，取
微为元ddlW，电 场F力 dl对q0q的0 E元 d功l
ADC
ABC
电场力作 功
与路径无 关
W＝q0 E dl＝0
E
dl＝0
定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分叫电 场强度的环流。
静电场的环路定理：在静电场中，电场强度的 环流为零。
三、电势能
3.3 静电场的环路定理 大学物理
R
+
o + + +
4 0 r （3）确定电势分布；
2
E
er
(r R)
主讲：张国才
U P E dl E dr + r+ r r + + 1 q q r p + + 2 dr R R 4 + + 4 o R 0 r o + + (2)当r>R时 + + + + U P E dl E dr + + "P" r
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理
基础物理学
4
试验电荷q0在静电场中沿任意闭合路径 L运动一周时，电场力对q0做的功W=？
L
W q0 E dl 0
E dl 0
L
主讲：张国才
3.3 静电场的环路定理 静电场的 Nhomakorabea路定理基础物理学
5
在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积 分（称为场强的环流）恒为零。
2 2
0
主讲：张国才
q 4 0 R x
2 2
基础物理学 3.3 静电场的环路定理 二、从电荷分布求场强，从场强分布求电势。 例2 计算均匀带电球面的电场中的电势分布。球面半 径为R，总带电量为q。
13
解：
q
+
+ + + +
+ +
+
（1）取无穷远处为电势零点； + （2）由高斯定律可知电场分布为； + E 0 (r R) + + 1 q
电磁学_静电场_1.4 环路定理
P、Q两点之间的电势差定义为
从P点到Q点移动单位正电荷时电场力所作的功 单位正电荷的电势能差
空间某点的电势值
为了确定某点的值，还需要选择零点 一般选择无穷远为势能零点,P点电势值为 AP U ( p) U P E dl P q0 两点之间电势差可表为两点电势值之差
点电荷的势能零点是否可以选在电荷上？ 无限大平面板ห้องสมุดไป่ตู้势能零点能否选在无穷远？
例题10一示波器中阳极A和阴极K之间的电压是 3000 V，试求阴极发射的电子到达阳极时的速度， 设电子从阴极出发时初速为零。
[解]电子带负电，它沿电势升高的方向加速运动，即从阴极 K出发到达阳极 A. 静电场力是保守力，按能量守恒
连续带电体有
1
U P E d l dU
P
i
dq 1 dq 1 dq dU ( 2 4 0 P r 4 0 r P 4 0 rP
讨论
电势与场强一样是一个描述场本身性质的物理量， 与试探电荷无关，是标量。电势叠加是标量叠加。 电势UP：P与无穷处电势差 电势零点 选取
可以任意选取 选择零点原则：场弱、变化不太剧烈 选无穷远为零点？选地为零点即地和无穷远等电 势吗？
问题
地与无穷远的电势差
实际地球周围大气中有一个方向向下的静电场 是地球所带的负电荷和大气中的等离子体产生 的 若以无穷远为势能零点，则地球的电势为
U地 5.4 10 V
8
思考：
电势能、电势差、电势
电场力 的功 定义
Q
静电场与 q0有能量交换
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视dq为点电荷 dq
dU
4 0
dq U dU
Q 4 0r
4、电势迭加原理
r
L
s
V
dl
4 0r dS
4 0r dV
4 0r
dq
r P
Q
电场中任意一点的电势，等于各带电体单独存在
时在该点产生的电势的代数和
n
U ui
i 1
U
P
P
E
P
dl
E
dl
E
r
dr
பைடு நூலகம் q
4 0
1 r r2
dr
1
4 0
q r
例2 、求电偶极子电场中任一点P的电势
由叠加原理
Y
uP
u1
u2
q
4 0r1
q
4 0r2
q(r2 r1 )
4 0r1r2
P( x, y)
r l r2 r1 l cos
28.8 102V
q1
q2
O
r
q4
q3
②将 q0 1.0 109 c 从 0 电场力所作的功
A0 q0 (u u0 ) q0 (0 28.8 102 ) 28.8 107 J
③求该过程中电势能的改变
A0 W W0 28.8 107 0 电势能
x2
u
q
qx
E 4 0 ( x 2 R2 )32
qxdx
Edx
xp
xp 4 0 ( x 2
R2
3
)2
4 0r
例4、求均匀带电球面电场中电势的分布，已知R，q
解: 方法一 叠加法 (微元法) 球面上任取一圆环
其面积dS 2 ( R sin )( Rd ) dq dS 2R2 sind
1、电场力作功的特点 ⑴ 单个点电荷的电场
dA F dl q0 E dl q0 E cosdl
其中 cosdl dr
则
dA q0Edr
q
ra
b
rb
r dr r
a
dr c dl
cE
b
A q0 Edr
a
rb ra
qo
q
4 0r 2
E
2 or 2
r
而U
A E dl
Q
取dl
dr
U
a r
2 0r 2
r dr
2 0
lnn aa
r
ln r
A 选UA 0
aQ
对于延长线上的P点
r
1 dx
dU
4 .0 (r x)
2l
UP
l
q l cos
u
4 0
r2
r1r2 r 2
q
r2
r r1
O q
X
其中 r 2 x2 y2
l
cos x
x2 y2
u
1
4 0
(x2
px
3
y2)2
课堂练习：
已知正方形顶点有四个等量的电点荷
q 4.0109C r=5cm
① 求u0
u0
4
q1
4 0r
L
S
静电场环路定理得
对任意大小面积S都成立。环路定理的微分形式。
s ( E) dS 0
E 0;或者rotE 0
旋度处处为零的矢量场，称为无旋场。静电场是无旋场。
高斯定理的微分形式。
E 0 该矢量场有源 e 0
环路定理的微分形式。
E 0;或者rotE 0
dU
1
dx
l 4 0 r x
o
x dx
r
ln r l 4 0 r l
q ln r l
8 0l r l
Px
课堂练习 如图所示，求o点处的场强和电势
解：由迭 加原 理知
E E1 E2 E3 而E1＝ －E2 E E3＝ E3xi E3 y j
A
B E cos dl En C(常 数)
A
E大，n小；E小，则n大。
课堂练习：
由等势面确定a、b两点场强的方向,比较其大小 Eb
已知 u1 u2 u2 u3 0
Ea
b u3
2、电势梯度
a
⑴ 梯度——标量函数沿其等 值面法线方向的变化率
u2 u1
⑵ 电势梯度
r1
n
i 1
n
q1
u E dl Ei dl Ei dl
P n
i 1
ui
P
u1
i 1
u2
i 1 ri
...... un
n i 1
qi
4 0ri
P
r2 P
qnrn
3、任意带电体电场的电势
a
a
a
A1
A2
An
i
q0qi
4 0
(
1 ria
1 rib
)
⑶ 作功特点
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功 只与路径的起点和终点位置有关，而与路径无关。
静电场是保守力场
2、静电场的环路定理
⑴定理内容
q E rb
ra 0
dl
qq0
4 0
1 ( ra
1 )
dx
dx
dU
4 0r 4 0 x2 r 2
Q点的总电势
l 1 dx
l
U dU 2
ln
0 4 0 r 2 x2 2 0
q
l l2 r2 ln
4 0l
r
r
l2 r2 r
问题：若带电直线→∞，能不否能用取上无述穷方远法为得电到势结零果点？！
a
三、电势的计算
1、点E电 荷 电4场q0的r 2电r0势
q
q r0
r
q
uP P E dl r 4 0r 2 dr 4 0r
注意点：由电势函数看电势分布特征
2、点电荷系电场的电势 n
q2
E E1 E2 ....... En Ei
du dn
n
u
x
i
y
j
du dq 1 2R2 sind
4 0l 4 0
l
q sind
8 0l
rR
d
R O
l
rP
由图 l 2 R2 r 2 2Rr cos
2ldl 2rR sind
qdl du
8 0rR
r R qdl
q
u
r R 8 0rR 4 0r
dl
E
b、电场线总是指向电势降低的方向
b
if 任:U意A 相U邻B 等AB势E 面dl 之 间AB E的co电s势dl＞差0
沿场线积分，cos＝0 then : U A＞UB
U
UA
UB
E
A
B
c、电场线密集的地方，等势面也比较密集
U A UB
B E dl
由电势差定义
uAB
uA
uB
B E dl
A
q RB
RA 4 0r 2
dr
q
4 0
1 ( RA
1 RB
)
例5、计算有限长均匀带电直线中垂线上一 点Q
和延长线上一点P的电势。
已知：长度为2l，单位长度上的电量
q
2l
解：取电荷元dq=λdx
选无穷远为电势零点，则dq在Q点的电势
上节回顾
一、电场线与电通量
de E dS
二、高斯定理
e E dS或e E dS
S
S
1、定理内容
e
s
E dS
1
0
q内
2、定理的验证
3、高斯定理的微分形式
divE
E
1
0
e
§9－3 静电场的环路定理 电势
一、静电场的保守性与电势能
dl d 3
R R
1
o
R 2
x
E3x dE3x dE cos 0
y dE
E3 y dE3 y
l3
dE sin
0
dl 4 0R2
sin
0
4 0R
sind
E E3 y 2 0R
O点处的电势： U U1 U2 U3
q
4 0 R
q
u
r
4q0r 2
dr
4 0r
R
O
r＜R
rR rR
P
r＞R
课堂练习 ：1.求等量异号的同心带电球面的电势差 已知+q 、-q、RA 、RB