4静电场的环路定理和电势

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静电场的环路定理电势

(8-22)
静电场的环路定理电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的电势之差等于把单位正电荷从a点沿任意路径移到b点电场力所做的功.电势差是绝对的.
静电场的环路定理电势
四、电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做的功都与路径无关，那么它们的代数和也必然与路径无关.由此可以得到以下结论：在任意带电体的电场中，电场力对试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电荷在该点产生场强的矢量和，即

静电场的环路定理静电场力的功电势能

静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量，其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静电场力的功、电势能

静电场的环路定理电势

· · a O
2
均匀带电球体内、外的场强： E内 r 3 0 均匀带电球体内某点的电势
2 腔内电势: U ( r ) U 1 U 2 [( 3 R12 r 2 ) ( 3 R2 r 2 )] 6 0
对O2点，r a, r 0
U r
(2) 点电荷系的电势
qi UA i 4 π ε0 ri
推广：
E Ei
A
U Ui
i
r1
q1
r2 ri
qi
rN
qN
电势叠加原理（标量叠加）
q2
§3-1-4 静电场的环路定理电势
(3) 有限连续带电体
【方法一】微元分割＋积分法
Q
dq
e
带电体
r
A
UA ? dU 4 0 r
但在工程技术中，取大地、仪器外壳等为电势零点；（2）电场的电势分布确定后，电场力做功
W AB q0 (U A U B )
§3-1-4 静电场的环路定理电势
2、电势的计算 (1) 点电荷的电势
q
+
A
积分至无穷远
r
E
q U (r ) 4πε0 r
§3-1-4 静电场的环路定理电势
3 解：取如图所示C点(0,3R/2) 0, R r 2 根据对称性 U B U C O A x C 补上下半球面成为完整球面后 y B Q R U A 4 0 R 0 R U U UC AC A 3 0 Q 2R UC 4 0 ( 3 R / 2) 3 0 1 R 再由根据对称性 U AB U AC U AC 2 6 0

09-4静电场的环路定理和电势

P

r0

2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0

2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系：静电场静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12

1 E dS
S
0 （ S 内）

qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任一点的电势均为负，且离点电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理

第六章(第三讲)电势

§6.4
静电场的环路定理和电势
一、静电场的环路定理二、电势与电势差三、电势叠加原理四、电势的计算
1
§6.4 静电场的环路定理和电势一电场力作功的特点 B 1. 点电荷的电场
dA q0 E dl
qq0 r dl 3 rB 4 π 0 r r dl rdl cos rdr qq0 dA dr 2 rA 4 π 0 r q qq0 rB dr A A rA r 2 4 π 0 qq0 1 1 ( ) q 0 E dl 0 L 4 π 0 rA rB
大小
dU E dl n
方向
相反，由高电势处指向低电势处. 与 e n
23
§6.5、等势面电势的梯度物理意义（1）空间某点电场强度的大小取决于该点领域内电势 U 的空间变化率.
（2）电场强度的方向恒指向电势降落的方向. 直角坐标系中
讨论
U U U E （ i j k ) gradU x y z
§6.5、等势面二
电势的梯度
电场线和等势面的关系
1）电场线与等势面处处正交. （等势面上移动电荷，电场力不做功.）
2）等势面密处电场强度大;等势面疏处电梯度三电场强度与电势梯度
将单位正电荷由A经 l 移动到B
U U
B
U AB U B U A） E l （ El cos E cos El
q
dl dr E
q
q U 4 π 0 r
q 0,U 0
7
q 0, U 0
r
§6.4
静电场的环路定理和电势
点电荷系 E E i
U A E dl E i dl

大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt

q1
q2
qi qn
带电体对q0 做功与路径无关结论静电场力做功只与始末位置有关，与路径无关，所以静电力是保守力，静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
在静电场中，沿闭合路径移动q0，电场力做功
b
Aab q0E dl
L1
q0 由 a 点经 L1 到达 b 点所做的功
b
a
a(L1) q0E dl b(L2 ) q0E dl
验一个电场不是静电场。 b c d a
E dl a E dl b E dl c E dl d E dl
b
d
a E1dl c E2dl
E1ab E2 cd 0 不是静电场
a
b
E
d
c
(2) 环路定理表明静电场电力线不能闭合（无旋场）。 (3) 静电场是无旋场，可引进电势能。
单个点电荷产生的电场rrqq4barrd1200???0al?dbabaqel????11400barrqq???lr?d?rqqbarr?4300???balbrardl?rd?qe??q0点电荷对q0做功与路径无关dr?l??drr?cosd?rl?r?r?d?r?dr?rr????0al?balqe?bqe?dbabaqel????012d?neel??????????01020alal?al?dddbbnlqelqel????????????????结论静电场力做功只与始末位置有关与路径无关所以静电力是保守力静电场是保守力场
例如图所示, 在带电量为 Q 的点电荷所产生的静电场中，
有一带电量为 q 的点电荷
求 q 在 a 点和 b 点的电势能
解 • 选无穷远为电势能零点
Q
qQ 1
qQ

09-4静电场的环路定理和电势

电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)

P

E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功，正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近的等电势线（类似于电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点，合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r

r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势

【大学物理】静电场的环路定理电势等势面电势梯度

r r r r－ r l cos
r

r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R

q R

R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0，静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取在无穷远处。这时，空间a点的电势能：
E pa

a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所共有。

电势

q 4πε0 x 2 + R 2
r
R
x
o x
o
x
P
x
真空中有一电荷为Q，半径为R的均例真空中有一电荷为，半径为的均匀带电球面. 匀带电球面试求（1）球面外两点间的电势差；）球面外两点间的电势差；（2）球面内两点间的电势差；）球面内两点间的电势差；（3）球面外任意点）的电势；的电势； A B o （4）球面内任意点） R rA r 的电势. 的电势
§7.3 静电场的环路定理电势
一、电场力所做的功
点电荷的电场 v v dW = q0 E ⋅ dl qq0 v v = e ⋅ dl 2 r 4 πε0 r v v er ⋅ dl = dl cos θ = dr
B
v l dr dθ
rB
v E
r
v er
q0
qq0 dW = dr 2 4 πε0 r
v r1
•
n
v E3
v E2
q3
v r3
A
v E1
电荷连续分布时 dq = ρ dV
dq dV = 4πε0 r
1 dq VA = 4 πε0 ∫ r
dq
v r
A
说明
（1）电势的单位：J/C、V 电势的单位：J/C、 V=V（x,y,z）（2）电势是标量，且一般为空间坐标的函数 V=V（x,y,z）电势是标量，（3）某点电势与电势零点的选取有关有限带电体：选无限远处为电势零点； “无限大”带电体：在场内选一个适当位置作为电势零点；实用中，常取地球的电势为零。
R
rB v v V A − VB = ∫ E ⋅ d r = 0 rA
r dr A

高二物理竞赛课件-7.4静电场的环路定理电势

40 r r2 40r
8
电势 (electric potential)
电场中某点的电势等于把单位正电荷自该点移至"标准点" （电势能零点）过程中电场力作的功。数值上等于单位正电荷放在该点处时的电势能。
Va
Wa q0
E dl
a
电势差（电压）：与试探电荷无关，反映电场本身在P、Q两点的性质。 [伏特 = 焦耳/库仑]
5 电场强度与电势梯度的关系
计算圆环轴线上任一点P 处的电势。
q 注意：必须是同一个标准点。
r R 因电势是标量，因此，电势叠加比场强叠加的计算简单得多。
4 R q 不能取无穷远处为电势零点， V q 否则将导致电场中任一点的电0势值为无限大。
式中r+与r-分别为+q和-q到P点的距离
实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。
电势能与试探电荷的电量成正比。
7
电势能例题
求点电荷q0在点电荷 q的电场中任一点(距 q 为 r)的电势能。
解：选无穷远为标准点,并取路径L如图， dr为路径上的一小段，于是
W q0 r E dl
q0
qrˆ dr
r 40r2
q0q dr q0q
q
静电场电场线性质：电场线不可能是闭合线。
式中r 与r 分别为+q和-q到P点的距离（2）点电荷系电场中的电势+
-
因ln1=0，若选离直线为r1=1m处为
r r 电势零点，则方便地可得P点的电势：e
e
r r cos r r＋ cos 求等量异号的同心均匀带电球面的电势差.
－
2 2 于是整个环路积分的数值不可能等于0，
解法2：
由

静电场的环路定理、电势

R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关；电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点的电势之差（电压）

大学物理课件：14-4 静电场的环路定理与电势

ABC CDA
l E dl 0
结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零. 静电场是保守场
第14章真空中的静电场
3
大学物理
三电势能
14-4 静电场的环路定理电势 B
静电场是保守场，静电场
WpB
力是保守力. 静电场力所做的功就等于电荷电势能
A WpA
E
增量的负值.
AAB (WpB WpA ) WpA WpB
电子伏特eV 1eV 1.6021019 J
第14章真空中的静电场
6
大学
14-4 静电场的环路定理电势
物理
点电荷的电势
E
4
q
π 0 r
2
er
令U 0
dl
dr
E
U r Er dl
qr
qdr
r 4 π0r 2
U q
4 π0r
q 0, U 0 q 0, U 0
第14章真空中的静电场
7
大学物理
五
14-4 静电场的环路定理电势
电势的叠加原理
点电荷系
E Ei
i
U A A E dl
n
A Ei dl i 1
n
Vi
i 1
U A
n i 1
qi 4 π ε0ri
q1
r1
q2 q3
r2
r3
•
A
E3 E2
E1
第14章真空中的静电场
8
大学
14-4 静电场的环路定理电势
1
大学
14-4 静电场的环路定理电势
物理
A q0q rB dr q0q ( 1 1 )

电势

电场力是保守力，可引入势能的概念。电场力是保守力，可引入势能的概念。 1.电势能 1.电势能
b
q0 a
r E
静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。静电势能的改变可以用电场力所作的功来量度。设在静电场中，设在静电场中，将检验电荷q0从a点沿任意路径移动到b 电场力作功为Aab。径移动到b点，电场力作功为Aab。保守力所作的功等于势能增量的负值。保守力所作的功等于势能增量的负值。在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时，电荷q0在静电场中从a点沿任意路径移动到b点时，电场力所作的作功A 与这两点电势能W 的关系为: 电场力所作的作功Aab与这两点电势能Wa、Wb的关系为:
∴ dA = q0 4πε 0 r
2
1）点电荷的场点电荷的场
r + dr ,电场力做的功：电场力做的功：
b
v v r + dr
r q0 ra
v v dr r
c dr r
F
θ
a
dr
r E
∴ dA = q0
q 4πε 0 r
2
b
dr
rb
v v r + dr
q0 ra a b rb q0 q q0q 1 1 A = ∫ dA = ∫ dr = − 2 a ra 4πε r 4πε 0 ra rb 0
∫
势能零点
a
v v E ⋅ dr
电荷q 在此系统的电场中a点的的电势能为：电荷q0在此系统的电场中a点的的电势能为：
Wa = q0 ∫
∞
a
v v E ⋅ dr
意义：电荷q0在静电场中某点的电势能等于将该电荷由意义：电荷q 该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。该点沿任意路径移到无穷远的过程中电场力所作的功。强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。强调：对于无限带电体，不能取无穷远处为电势能零点。 2.电势与电势差 2.电势与电势差将 Wa = q0

08.3静电场的环路定理、电势

E a E b
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度电势梯度单位正电荷从 a到 b电场力的功到电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量电场强度沿某一方向的分量一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等对称性以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势由电势叠加原理，的电势为由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远电势零)电场力所作的功点(电势零电场力所作的功电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点的电势之差（电压）电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系电势差、

5、电势

b rb q ra
r+dr
r
v dl
q a
0
r r r r dA = F ⋅ dl = q0 E ⋅ dl = q0 Edl cos θ = q0 Edr
第一章静电场的基本规律 5
q0从a移动到的过程中电场力做的总功为：移动到b的过程中电场力做的总功为移动到的过程中电场力做的总功为：
A = ∫ dA = ∫ q0 Edr
r r r r
q 4πε 0 r
2
dr =
q
q 4πε 0 r
dr = q 4πε 0 R
16
2.当r<R 时当
V =∫
∞ r r r r
r r ∞ r ∞ R ∞ r E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dr = ∫ Edr = ∫ 0dr + ∫
R
4πε 0 r
2
第一章静电场的基本规律
例2：求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。求无限长均匀带电直线的电场中的电势分布。
b
= A1 + A2 + L + An
第一章静电场的基本规律 7
qn qn q0 q1 q1 q2 q2 A= − + − + L + − 4πε 0 ra1 rb1 ra 2 rb 2 ran rbn
λ 由高斯定理知场强为：解：由高斯定理知场强为： E = 2πε0r
方向垂直于带电直线。方向垂直于带电直线。
若仍然选取无穷远为电势零点，若仍然选取无穷远为电势零点，则由积分可知各点电势将为无限大而失去意义。为无限大而失去意义。点为电势零点，因此可以选取某一距带电直导线为r0的p0点为电势零点，点的电势为：则距带电直线为r 的p点的电势为： P v v P′ v v P v v 0 0 r P VP = E ⋅ dl = ∫ E ⋅ dl + ∫ E ⋅ dl P P P′ P0 P v v P 0 0 P′ = 0 + ∫ E ⋅ dl = ∫ Edl

环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理

环路定理电场强度的线积分电势静电场的环流为零环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.例题 17-4-1 圆环均匀带电,半径为R,电量为q,求轴线上的电势.xRr = R2 + z2zzyϕ=14πε 0ηdl∫L r=4πε 01 R2+z2∫Ldq=q4πε0 R2 + z2例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的电势分布.∞解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为E=⎧ qr⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3, ,r<R r>R取参考点为无穷远,电势为ϕ(r) = ∫r∞ E ⋅ dlPrR路径选为沿径向(图中橙色线), 场点在球外时,电势为ϕ(r)=∫r∞qdr4πε0r 2=q4πε0r场点在球内时，电势为ϕ(r)=∫rRqrdr4πε 0 R 3+∫R∞4πqεd0rr 2=q (3 −8πε 0 Rr2 R2)六.电场线规定电场线上每一点的切线方向与该点的E的方向一致.-qq-q2q三个点电荷位于等边三角形的顶点上, 电荷大小都为 q .从中心附近的电场的方向可以简单的看出, 位于中心的点电荷处于不稳定平衡. 定性上看黑色虚线所示球面上的通量为零.电场线的三条性质：(1)电场线始于正电荷或无穷远,终于负电荷或无穷远,在无电荷处不中断.q-qS1S2S3规定过任一面元的Ｅ通量与通过该面元的电场线数目成正比，则电场线的疏密程度能反映电场强度大小．(2)电场线不相交, 否则试探点电荷受力有两个可能的方向.(3)电场线不闭合.七.等势面空间中电势相等的点的集合构成了等势面.点电荷的等势面等势面与电场强度处处正交. 作业: 17-13, 17-14, 17-15《费曼物理学讲义》 R. P. Feynman第二卷是关于电磁学的.。

静电场的环路定理和电势

若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差，并不仅由这两点处的电场决定，它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布，选有限远的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场的保守性：
……称为静电场的环路定理

4.3 静电场的环路定理、电势(2)

q > 0, U > 0 q < 0, U < 0
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2.点电荷系的电势点电荷系的电势设有点电荷系
UA = ∫ =∫
∞ A
v v E ⋅ dr
q1，q 2，⋅ ⋅ ，q n ⋅
q1 q2 q3
A
∞
A
(
r v v v E1 + E2 + ⋅ ⋅ ⋅ + En ⋅ dr
)
v r2 v r3
v r1
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3.连续带电体的电势连续带电体的电势
设连续带电体由无穷多个电荷元组成，每个电荷元视为点电荷，
dq在P处产生电势为：
dU p =
dq 4πε 0 r
dq 4πε 0 r
整个带电体在P处产生的电势为：
U p = ∫ dU p = ∫
q
++ d q = ρ d V ++ + v dq +++ r + +++ +++ ++ q P
∞ v ∞ Q v Q dr = 或U 外 ( r ) = ∫ E 2 ⋅ d r = ∫ 2 r 4π ε 0r r 4 π ε 0r
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（4） r < R ）
Q Q 由 U 外 (r ) = 可得 U ( R ) = = U内 4 πε 0 r 4 πε 0 R Q Rv v ∞v v 或 U 内 (r ) = ∫ E1 ⋅ dr + ∫ E2 ⋅ dr = r R 4π ε 0R
上页下页
四.电势
EPA 仅与位置有关，而与电荷无关。由于仅与位置有关，而与电荷无关。 q0

电势

解法2：用电场强度积分法，先求电场
r < R A , E1 = 0
RA < r < RB ,E2 =
4πε 0 r 2 q A + qB r > R B , E3 = 4πε 0 r 2
∞ r
qA
qB P2 qA
∞ RB
RB RA
U3 = ∫
r
U 2 = ∫ Edr = ∫ E2 dr + ∫ E3 dr
6.5等势面
1、等势面 ——
电势梯度
P2
电势相等的空间各点所组成的面
同一等势面上
（1）沿等势面移动电荷，电场力不作功。
A12 = Q(U1 − U 2 )
特点
0
（2）等势面处处与电场线正交。
+
P1
r r 同一等势面上 dA = qE ⋅ dr Ua 0 r r Ub q ≠ 0 E ≠0 d r ≠0 Uc E ⊥ dr
dA = U1 − U 2 = −dU = Edl cosϕ
dU E l = E cos ϕ = − dl
电势沿某一方向的减少率 = 场强沿此方向的分量
dU E = − e n = − gradU dn
∂U ∂U ∂U = E y+ − − = Ez − = E x+ ∂y ∂z ∂x
r − ∇U = E
例:计算电偶极子场中任一点 P 的电势
U p = ∑ U i ( p) =
i
q 4πε 0 r+
−
q 4πε 0 r−
v r−
p
当r>>l可做如下近似：
v r
v r+
l l r+ = r − cos θ r− = r + cos θ θ v 2 2 −q l +q q r− − r+ q l cosθ ( )= Up = 2 4πε0 r+r− 4πε0 2 l 2 (r − cos θ ) v 4 P ⋅ er v v e = Pe ⋅ e r = ql ⋅ e r = ql cos θ 4πε0r 2

7-4静电场环路定理电势1

*关于电势的讨论： ①电势是反映电场性质的量，与q0 无关。 ②电势和电势能一样具有相对意义。
③电势是标量，单位为伏特。
2、电势差（电压）电场中两点的电势差：
Aab E dl E dl E dl q0 a b a 即： Aab q0U ab
b
U ab U a U b
U 0
[例]求一均匀带电球面的电势。已知：q , R 。
① r≤ R

(球内任意一点)
R
U E dl E内 dl E 外 dl
r r
R
q
+ +
+
+
0 q

q 4 πε r 0
+
R
dr 2
+ +
+ +
R
+
r .P
+
+ + +
+ +
4 πε R 0
二、静电场的环路定理 q0 E dl q0 E dl
q0 ( E dl
ABC
l
ABC
E dl ) 0
CDA
ADC
B
D
C
E
E dl 0
A
结论：沿闭合路径一周，电场力作功为零.
3
静电场是保守场
因此可以引入势能的概念
*关于电势差的讨论： ①电势差具有绝对意义，和参考点的选择无关。 ②Uab等于将单位正电荷从a 点沿任意路径移至b 点电场力所作的功。
五、电势的计算
1、点电荷电场的电势

4静电场的环路定理和电势

静电场的环路定理 电势

静电场的环路定理静电场力的功电势能

静电场的环路定理 电势

09-4静电场的环路定理和电势

第六章(第三讲)电势

大学物理10.4静电场的环路定理电势能.ppt

09-4静电场的环路定理和电势

【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度

电势

高二物理竞赛课件-7.4静电场的环路定理电势

静电场的环路定理、电势

大学物理课件：14-4 静电场的环路定理与电势

电势

08.3静电场的环路定理、电势

5、电势

环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理

静电场的环路定理和电势

4.3 静电场的环路定理、电势(2)

电势

7-4静电场环路定理 电势1

静电场的环路定理电势

静电场的环路定理电势

【大学物理】静电场的环路定理电势等势面电势梯度

7-4静电场环路定理电势1