电学 1-4 环路定理、电势、电势差

以该平面为电势零点，求平面周围空气电势分布
解：
E
2 0
20
x0 x0
O
x
在 x 0 区域
0 dx x
x 20
2 0
在 x 0 区域
0
dx
x
x 20
2 0
例 6 半径为 R 的无限长圆柱形带电体，电荷体密度为 Ar(r ≤ R)，r 为距轴线距离，A 为常数。选距轴线距 离为 L(L > R)处为电势零点。计算圆柱体内外各点的 电势。
例 4 两无限长同轴圆柱面，半径分别为 R1 和 R2。圆
柱面均匀带电，线电荷密度分别为 1 和 2 。
求：1)电势分布；2)两圆柱面之间电压。
解：1) 由高斯定理可得场强分布
E
0
1
2 0r
(r R1 ) (R1 r R2 )
方向 垂直 于圆
R1 2 1 R2
P0
r
1 2 2 0r
(r R2 )
电势能
电势能零点
Wa q0 a
E dr
电势能是标量
2. 电势能的值是相对于电势能零点的。电场力 所做的功有正有负。所以电势能有正有负。
3. 电势能是属于电荷 q0 和产生电场的电荷系 所共有的。
§1.4.3 电势和电势差
静电场的保守性意味着，存在一个由电场中各点 位置所决定的标量函数，即可引入电势的概念。
能改变多少？是增加还是减少？
解：(1) 选无限远处为电势零点，根 据电势叠加原理，O 点电势为
q1
q2
O 1 2 3 4
O
41
4q1
4 0r
2880
V
q4
q3
(2) A q0( O ) 2.88106 J
(3) A W WO 2.88106 J
电势能改变 WO W 2.88106 J 增加
dr
P
P
P'
P'
E dr 0
P R1
E
dr
R2
E
dr
r
R1
R1
2 1 R2
P0
P P’ P
r
0 R2 1 dr 1 ln R2 0
R1 2 0r
2 0 R1
当 R1 r R2 时，选类似积分路径
R2
E
dr
R2
1
dr
1 ln R2 0
r
r 2 0r 2 0 r
例 9 均匀带电球层，内半径为 R1，外半径为 R2，体电荷密度为 。求图中 a 点和 b 点电势
解：取薄球壳，半径为 r，厚为 dr，可视为均匀带电球面， 其带电量为
dq 4r 2dr
对 a 点，此带电球面产生的电势为
R2
a
O R1
r
ra br
rb dr
d dq 4r 2dr rdr 4 0r 4 0r 0
3. 把电荷 q0 从 a 沿任意路径移动到 b 静电场力所做
的功为
Aab q0 (a b )
电势
1. 定义：电场中任一点电势等于把单位正电荷自该点 沿任意路径移动到电势零点静电场力所做的功，或
等于场强从该点沿任意路径到电势零点的线积分
a
电势零点 E dr
a
2. 电势零点的选择 原则：任意，视研究问题的方便而定；
a
电势零点 E dr
a
例 3 求均匀带电球面的电势分布。设球面半径为 R， 带电量为 q
解：场强已由高斯定律 求得
E
0
q
4 0r
2
er
(r R) (r R)
选无限远为电势零点。由于在球面外直到无穷远处场
强的分布都和电荷集中在球心处的点电荷的场强分布
一样，因此球面外任一点的电势与点电荷的结果相同
例 2 求电矩为 p ql 的电偶极子在均匀外电场 E 中
所具有的电势能(§1.5)
解：设 +q 和 -q 所在处的电势分别为 a 和 b，则
它们的电势能分别为
W qa W qb
电偶极子在外电场中的电势能为
a q l
E
q b
W
W
b
W
q(
a
a
b
)
a
qa E dl qb E dl qb E dl cos
dr
0
Aab
b
dA
qq0
a
4 0
b1 a r2
dr
q
qq0 ( 1 1 )
4 0 ra rb
a
b
dr
c
q0
θc’dr F
结论
试验电荷在点电荷的电场中移动时，电场 力所做的功只与起点和终点的位置有关， 而与试验电荷在电场中所经过的路径无关
点电荷所产生的电场是保守力场
2. 任意静电场
Aab
§1.4 环路定理 电势 (四学时)
§1.4.1 静电场的环路定理 §1.4.2 静电势能 §1.4.3 电势和电势差 §1.4.4 电势的计算 §1.4.5 等势面 §1.4.6 电势梯度
从功和能的角度研究静电场的性质
§1.4.1 静电场的环路定理
一、什么是保守力 ？
力所做的功只与物体的始末位置有关，而与所经历的
0
3
E 1 AR3 / r (r R)
3 0
内部电势
L
Edr
R
1
Ar 2dr
L1
A R3 dr
r
r 3 0
R 30 r
A
(R3 r3)
AR3 ln
L
9 0
30 R
外部电势
L
Edr
L AR3 1 dr AR3 ln L
r
r 30 r
30 r
2. 电势叠加法
电势叠加原理：点电荷系电场中某点的电势等于各
结果违反环路定理 E d r 0，故而假设不成立。 L
所以，均匀电场具有平行而等间距的电场线。
§1.4.2 静电势能
1. 因为静电场的保守性，或静电场力作功与路径无关， 故任一电荷在静电场中都具有势能，称为电势能
2. 静电力作功和电势能增量的关系：
q0 在静电场中移动时，它的电势能的减少等于电场
E dr
r
r
q
4 0r
2
er
dr
r
q
4 0
dr r2
q
4 0r
点电荷 的电势
q 4 0r
q 为正， 为正，r 越小， 越大；
q 为负， 为负，r 越小， 越小
二、任意带电体电场中的电势
1. 场强积分法（由定义）
步骤：(1) 计算场强； (2) 选择合适的路径 L； (3) 分段积分(计算)。
力所做的功。
b
b
W
Aab
a F dr q0
E dr
a
q0 在电场中 a, b 两点的电势能之差等于把 q0 从 a 点移至 b 点过程中电场力所做的功。
3. 单位：SI 单位：焦[耳] (J) 其他常用单位：电子伏特 (eV)
b
电势能差 Wa Wb Aab q0 a E dr
a b
L1
E
dr
q0
a L1 E dr q0
b b
L2
E
dr
a L2 E dr
0
a
L2
因为
q0
0
所以 E dr 0 L
静电场环路定理：在静 电场中，场强沿任意闭 合路径的线积分等于零
这是静电场的保守性的另一种说法
例 1 试证明对于静电场，若电场线平行，必然是等间 距的，即一定是均匀场。
q0
b E dr
a
q0
b a
( E1 E2
En
)
dr
q0
b a E1 dr q0
b a
E2
dr
q0
b a En dr
q0
n i 1
qi
4 0
(1 ria
1) rib
讨论 静电场的保守性
可看作是点电荷系中 各点电荷电场的叠加
试验电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功
讨论 1. 电势能零点
电势能零点的选择原则上是任意的
当Байду номын сангаас源电荷分布在有限区域时，通常把电势能零
点选择在无限远处。
Wa Aa q0 a E dr
选择
b
为电势能零点，即
b 则 Wa q0 a E
Wb
dr
0
当场源电荷分布在无限区域时，通常把电势能零 点选择在某一固定点（有限远处）
电荷 q0 在电场中某点的电势能等于把电荷从该点 沿任意路径移动到电势能零点静电场力所做的功
当 r R2 时，选类似积分路径
R2
E
dr
R2 1 2dr
r
r 2 0r
1 2 ln R2 0 20 r
2) 两圆柱面之间电压
U R1 R2
R2
E
dr
R2
1
dr
R1
R1 2 0r
1 ln R2 2 0 R1
R1 2 1 R2
P0
r
P’ P
0 R1 R2
r
例 5 一无限大均匀带电平面，电荷面密度为 。若
生场电荷单独存在时在该点产生的电势的代数和
E dr
P
P E1 dr
(
P
E1
E2
P E2 dr
En
)
dr
P En dr
1
2
n
n
i
i 1
n i 1
qi
4 0ri
电荷连续分布的带
电体电场中的电势
dq
4 0r
电势零 点选在 无限远
步骤：(1) 把带电体分为无限多 dq
柱面
P
因电荷分布不局限于有限 空间范围，如果仍选无限远为
电势零点，则由积分
(
P
E
)
dr
，可知电势为无限大而失
去意义。把电势零点选在有限远处，可得到空间各点的
电势值。例如我们选 r = R2 处的 P0 点作为电势零点
当
r
P0RE1
时，选如图所示积分路径
dr
P' E dr
P0
E
a
d
R2 R1
例 8 一均匀带电直线，长为 L，线电荷密度为 ，求
直线延长线上到其一端距离为 d 的一点 P 的电势。
解：在直线上取电荷元 dl ，它到 P 点 距离为 l ，在 P 点产生的电势为
d dq dl 4 0l 4 0l
d dL dl
40 d l
L dl
d P
l
ln d L 4 0 d
qE cos
a
b dl qlEcos
pE cos
W pE
当 p 和 E 同向时，W 取最小值 -pE，电偶极子达到稳
定平衡，即外电场的作用总是使电偶极子转向外场方向
§1.4.4 电势的计算
一、点电荷电场中的电势
选无限远为电势零点，点q电荷电量为 q，其场强为
E 40r 2 er
离点电荷为 r 的 P 点的电势为 积分路径沿径向
解：内部场强，取半径为 r < R，
R
高为 l 的同轴圆柱面为高斯面
2rlE q 0
r l
q
r
Ar2rldr
0
2Alr 3
3
E 1 Ar 2 (r R)
3 0
外部场强，取半径为 r > R，长 为 l 的同轴圆柱面为高斯面
R r
2rlE q 0
l
q R Ar2rldr 2AlR3
E dr
q
r
4 0r
(r R)
若 P 点在球面内(r < R)，由于球面内外场强的表达
式不同，所以电势的定义式中的积分要分成两段
E dr
r R
E
dr
E dr
r
R
q
O R
r
P
0
q
R 4 0r
2
dr
q
(r R)
4 0 R
OR
r
均匀带电球面内各点电势相等并等于球面上电势
证明：用反证法
a
假设存在平行而不等间距的电场线，
按电场线的定义，穿过与电场强度 垂直的单位面积截面的电场线条数 d
b E
c
等于该点场强大小，所以 b c d a
Ea = Eb
Ec = Ed
E d r a b c d E d r
abcda
Ea
ab
0
Ec
(cd
)
0
(Ea
Ec
)
ab
0
1. 定义：从点 a 到点 b 移动单位正电荷时静电场力
所作的功，或电场中单位正电荷在 a, b 两点的电
势能之差称为 a, b 两点的电势差。
b
电势差（电压）
Uab a b
E dr
a
2. 电场中任意两点 a, b 的电势差等于把单位正电荷 从 a 点沿任意路径移动到 b 点静电场力所做的功， 即等于场强沿任意路径从 a 点到 b 点的线积分。
只与路径的起点和终点的位置有关，而与路径无关。
静电力是保守力，静电力场是保守力场。
式中
Aab
b E dr
称为场强沿任意路径
L 的线积分
q0
a
三、静电场环路定理
考察：试验电荷在电场中运动经过闭合路径回到原来
位置时，电场力做功 ？
A
F
L
b
dr
q0
E dr
L a
L1
b
q0 q0
路径无关，这类力称为保守力。
例如：万有引力、弹性力、静电力等
b
二、静电场保守性的证明
1. 点电荷产生的电场
q
电场力所做 的功
dA F dr F dr cos dr cos r'r dr
a
dA
Fdr
q0 Edr
qq0
4 r
2
dr
0
dr
c
q0
θ
c’dr F
dA
Fdr
q0 Edr
qq0
4 r 2
通常：理论计算有限带电体电势时选无限远为参考点； 实际应用或研究电路问题时取大地、仪器外壳 等为电势零点。
3. 电势和电势能的关系
点电荷 q0 在电场中的电势能为
电势能零点
电势能 Wa q0 a
E dr
W q0
电势零点即电势能零点
4. 电势单位 SI 单位：伏[特] (V)
注意 电势是描述电场能量性质的 物理量，与试验电荷无关
(2) 根据点电荷电势公式由 dq 求出 d
(3) 根据电势叠加原理由 d 求出 d
例 7 点电荷 q1、q2、q3、q4 均为 4.0109C 放在一正方 形的四个顶点上，各顶点与正方形中心 O 的距离均为
5.0cm. (1) 计算 O 点的电势; (2) 将试验电荷 q0 1.0109C 从无限远处移到 O 点，电场力做的功为多少？(3) 电势