静电场环路定理电势
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静电场的环路定理 电势
(8-22)
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场的环路定理 电势
式中，Uab为静电场中任意两点 a、b间的电势差，也称为电压.式（ 8-22）表明，静电场中a、b两点的 电势之差等于把单位正电荷从a点沿 任意路径移到b点电场力所做的功.电 势差是绝对的.
静电场的环路定理 电势
四、 电势的计算 1. 点电荷电场的电势
设在真空中有一点电荷q，其周围的电场分布为
(8- 21)
式（8-21
a的电势在数值上等
于把单位正电荷从a点沿任意路径移到无限远电场力所做的功.在
许多实际问题中，也常选地球为电势零点.
电势是标量，在国际单位制中，电势的单位为伏特（V）.
静电场的环路定理 电势
2. 电势差
从电场力做功的角度引入电势能的概念，由式(8-19) 和式(8-20)可以看出，电势能Wa不仅与a点的电场性质有 关，还与试验电荷q0有关，因而不能用来描述电场中某场 点的性质.但是，人们发现电势能与试验电荷q0的比值与试 验电荷q0无关，仅与a点电场的性质有关.因此，用电势描 述电场的能量特征.a、b两点的电势分别用Va、Vb表示.由 式（8-18），定义
dW=F·dl=q0E·dl=q0Edlcosθ
静电场的环路定理 电势
式中，θ为E与dl的夹角.由图8-20可以看出，元位移dl在电场力 方向的投影为dlcosθ=dr，则元功可写成
静电场的环路定理 电势
既然每个点电荷的电场力对q0所做 的功都与路径无关，那么它们的代数和 也必然与路径无关.由此可以得到以下结 论：在任意带电体的电场中，电场力对 试验电荷q0所做的功只与试验电荷q0及 其始末位置有关，而与路径无关.
静电场的环路定理 电势
2. 电势叠加原理
设场源电荷是由分布在有限区域内的点电荷系q1、q2、q3、 …、qn组成，根据场强叠加原理，任一点P处的场强等于各个点电 荷在该点产生场强的矢量和，即
静电场—电场力做功和环路定理以及电势
WAB = −( EPB − EPA ) = EPA − EPB = q0 ∫
AB
q0
B
A
K K E ⋅ dl
K E
电荷在电场中一点的电势能与该电荷的电荷量、电荷所 在位置和电势能零点的选择都有关系。电势能的参考零点选 择是任意的。若选择 EPB=0 ，则A点的电势能为：
E PA = q0 ∫
B
A
K K E ⋅ dl
黄山学院教学课件
大学物理学电子教案
电势及其计算
7.4-1、2 静电场的环路定理 电势能 7.4-3 电势
复 习 7.2 电场强度通量 高斯定理
• • • • 电场线 电场强度通量 高斯定理 高斯定理应用举例
7.3 密立根测定电子电荷的实验
7.4 静电场的环路定理 电势能 电势
一、静电场力作功 一、静电场力作功
R
O
σ
x
P
K E (P)
x
均匀带电圆盘在轴线上 x 位置处的场强为 K ⎛ ⎞ K x σ E (P) = 1− ⋅i ⎜ ⎟ 2 2 2ε 0 ⎝ R +x ⎠ 无穷远处电势为零，取正向x轴为积分路径，对 x 作积分 得到 P 点的电势： ∞ σ ⎛ ⎞K K σ x 2 2 1 V (P) = ∫ i dx R x − ⋅ = + −x ⎜ ⎟ 2 2 x 2ε 2 ε 0 ⎝ 0 R +x ⎠
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才 能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 步骤： 利用电势的叠加原理 (1) 把带电体→分为无限多dq dq V = (2) 由dq → dV Q 4πε r 0 (3) 由dV → V = ∫ d V 要求电荷的分布区域是已知的； 当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的 零点；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具 体问题的性质，在场中人为选择某点为电势的零点。
AB
q0
B
A
K K E ⋅ dl
K E
电荷在电场中一点的电势能与该电荷的电荷量、电荷所 在位置和电势能零点的选择都有关系。电势能的参考零点选 择是任意的。若选择 EPB=0 ，则A点的电势能为：
E PA = q0 ∫
B
A
K K E ⋅ dl
黄山学院教学课件
大学物理学电子教案
电势及其计算
7.4-1、2 静电场的环路定理 电势能 7.4-3 电势
复 习 7.2 电场强度通量 高斯定理
• • • • 电场线 电场强度通量 高斯定理 高斯定理应用举例
7.3 密立根测定电子电荷的实验
7.4 静电场的环路定理 电势能 电势
一、静电场力作功 一、静电场力作功
R
O
σ
x
P
K E (P)
x
均匀带电圆盘在轴线上 x 位置处的场强为 K ⎛ ⎞ K x σ E (P) = 1− ⋅i ⎜ ⎟ 2 2 2ε 0 ⎝ R +x ⎠ 无穷远处电势为零，取正向x轴为积分路径，对 x 作积分 得到 P 点的电势： ∞ σ ⎛ ⎞K K σ x 2 2 1 V (P) = ∫ i dx R x − ⋅ = + −x ⎜ ⎟ 2 2 x 2ε 2 ε 0 ⎝ 0 R +x ⎠
要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才 能选无穷远点的电势为零； 积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。 步骤： 利用电势的叠加原理 (1) 把带电体→分为无限多dq dq V = (2) 由dq → dV Q 4πε r 0 (3) 由dV → V = ∫ d V 要求电荷的分布区域是已知的； 当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的 零点；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具 体问题的性质，在场中人为选择某点为电势的零点。
63静电场环路定理电势
E2
q1
4 0 r 2
R1 r R2
E3
q1 +q2
40r 2
r R2
q1 II
I R1
R2 •
III
rE
P•
III区：U3
E dl
P
q2 q1 II III
E3 dr E3dr
r
r
I R1
R2 •
r
q1 q2
4 0 r 2
dr
q1 q2
40r
rr
P• P•
R2
II区： U3
R r
Q
4 0 R3
rdr
Q
R 4 0r 2 dr
Q
8 0 R
Qr 2
8 0 R3
Q
4 0 R
Q (3R 2 r 2 )
8 0 R3
o rp R
rp
路径的线积分为零（电场强度的环流为
零）
3. 电势能 比 重力做功 保守力 重力势能
较 静电场力做功 保守力 电势能
静电场力对电荷所做功等于电荷电势能 增量的负值
B
WAB A q0E • dl EpB EpA
令 B点为电势能零点，则可得任一点 A
的电势能
0
E p A
q0
E • dl
E dl
P
E dr
E2dr
E3dr
r
r
R2
R2 r
q1
4 0 r 2
dr
R2
q1 q2
4 0 r 2
dr
1
4 0
( q1 r
q2 R2
)
I区：
U3
E dl
静电场的环路定理静电场力的功电势能
静电场力的功
02
电场力的定义
电场力是电荷在电场中受到的 力，其大小和方向由电场强度
和电荷的乘积决定。
电场力的大小为 F=qE，其 中 F 是电场力，q 是电荷量，
E 是电场强度。
电场力的方向与电场强度的方 向相同，即由正电荷指向负电
荷。
电场力做功的计算
电场力做功可以通过积分计算，即 W=∫F·dr，其中 W 是电场力做的功， F 是电场力，dr 是位移矢量。
在匀强电场中，电场力做功可以通过 W=qEd计算，其中 W 是电场力做 的功，q 是电荷量，E 是电场强度，d 是位移。
在非匀强电场中，需要计算电场力在路径上的积分来计算电场力做的功。
电场力做功的特点
01
电场力做功与路径无关，只与初末位置的电势差有关。
02
电场力做功是标量，没有方向。
03
电场力做功的过程是能量转化的过程，可以转化为其他形式 的能量。
电势能
03
电势能的定义
电势能是指电荷在电场中由于位置差 异而具有的能量。
电势能是电荷与电场共同具有的能量， 其大小由电场强度和电荷量共同决定。
电势能是相对的，与零电势点的选择 有关。
电势能的变化规律
1
电场力做功与路径无关，只与初末位置有关。
2
电场力做正功，电势能减少；电场力做负功，电 势能增加。
3
静电力做功与电荷的运动路径无关，只与初末位 置有关。
电势能与电场力的关系
01
电场力做功等于电势能的减少量。
02
电势能的变化量等于电场力做的功。
03 电势能与电场力做功的关系是能量守恒定律在静 电场中的具体表现。
THANKS.
静电场的环路定理、静 电场力的功、电势能
大学物理课件-静电场的环路定理电势
(
2 0
x2 R2 x)
根据电场与电势的微分关系：
V
x
Ex
x
[1
2 0
] x2 R2
教学基本要求
第六章热力学基础
一 掌握描述静电场的两个 物理量——电场强度 和电势的概念，理解电场强度E 是矢量点函数，而
③电势高低的判断：沿电力线电势降低。
正电荷产生的电场各点的电势为正，∞处最小为0。
负电荷产生的电场各点的电势为负，∞处最大为0。
④电势是标量，单位为伏特。
2、电势差（电压）
第六章热力学基础
电场中两点的电势差：
Vab Va Vb
E
a
dl
E
b
dl
b
E
a
dl
Aab q0
定义：
Vab Va Vb
dalb与nd0夹 n, a角c为 dl
考虑电势沿 dl方向的变化率（
方向导数）
dV dV dn dV cos dV
dl dn dl dn
dn
电势梯度：
dV dn
n0
方向等于电势升高第最六快章的热方力向学。基础
2 场强与电势梯度的关系：
令q0从a b, dAab F dl q0E dl q0Edn dAab q0 (Va Vb ) q0dV E dV (1) dn
Vp
dq
4 0r
①由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算。
dq
V p
4 0r
qi
i 4 0ri
连续带电体 点电荷系
前提条件为有 限大带电体且 选无限远处为 电势零点.
②根据已知的场强分布，按定义计算。 Vp
Edl
6-3 静电场的环路定理和电势
V(r>R)
1
4 0
q r
练习 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处 为电势零点，则 M点的电势为
2q P M
a
a
（A） q
2π 0a
（C）
q
8π
0
a
q
（B）
4π 0a
（D） q
4π 0a
练习 在点电荷q的电场中，选取以q为中心，R为半 径的球面上一点P处作电势零点，则与点电荷q距离 为r的P’点电势为
A
（D）电场力作的功 W 0
电势的求解方法
（1）利用电势叠加原理
VP
dq
4π0r
使用条件：有限大带电体且选无限远处为电势零点.
（2）利用电势的定义
V 0点
VA E dl
A
使用条件：场强分布已知或很容易确定.
均匀带电球面：
V( r R )
1
4 0
q R
四 电势
1、电势
VA
EpA q0
E dl
AB
(VB 0)
q0
A
B E
物理意义：描述电场能的性质，某点的电势在数值上等于将单 位正电荷从该点沿着任意路径移到零势能点时电场力所做的功.
B
电势差（电压）：U AB VA VB
E dl
A
WAB q0 (VA VB ) (EPB EPA)
位置有关，与路径无关.
B
dr
dl
q0
E
二 静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
09-4静电场的环路定理和电势
P
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
r0
2 π 0r
dr
r
o VA 0 P r r0
2 π0
ln
r0 r
r
关于静电场的实验定律和定理的关系： 静电场 静止电荷
库仑定律
F12 q1q 2 4 π 0 r12
2
激发
高斯定理
e 12
1 E dS
S
0 （ S 内）
qi
平方反比律
-15
J C
1.6 10
-19
5 10 V
4
计算一个电子伏特（eV）的能量
一个电子在电场中经过电势差为1V的两点时，电 场力对它做的功
W qU
1.60 10
19
C 1V 1.60 10
19
J
一个电子伏特的能量
电子伏特是近代物理学中能量单位，虽然它也出现 “伏特”这个名称，但它并非电压的单位，而是能量 的单位
A B
A
AB两点之间的电势差等于场强由A点到B点的线积分
把电荷q从A点移动到B点，电场力做的功 B B WAB qE dl q E dl qU AB
A A
Wba 8 10
15
J
Wab qU ab q(Va Vb )
Vb 8 10
在负电荷形成的电场中，任 一点的电势均为负，且离点 电荷越远的点，电势越高
A A2 A3 1
点电荷系电场的电势 V A E dl
A
q1
q2 r2
r1
E3
场强的叠加原理
6—3静电场的环路定理电势
2.点电荷系的电势
•各点电荷在场点P产生的电场为E1、E2、…
•P电场为E1+E2+…
•取无限远为标准点，P电 势为
标
VP P E dl
标 标
P E1 dl P E2 dl
q1
q2 q3
r1 r2 r3
E3
E2
P
E1
V1 V2
+
二、电势梯度
1.方向导数
►两邻近等势面 Ua Ub
►沿l方向电势变化率 dV
dl
沿n方向电势变化率
dV dn
dn ·b n
a· ·b
dl
l
< Vb Va
这种沿某个方向的变化 率称方向导数。
►沿不同方向变化率不同，沿n方向电势变化率最快，即
dV cos dV dV
dn
dl dn
y
dl + + +
+
+
+R o +
+
+
dq dl qdl
r
2π R P
x
x
+
+
z+
+ +
dVP
1
4π 0r
qd l 2π R
方法二，电势叠加法,把带电体看成许多点电荷组成
VP
1
4π 0r
qdl q
q
2π R 4π 0r 4π 0 x2 R2
注意：方法一中的积分是对路径的积分 方法二中的积分是在带电体上进行的
S
0
三、电势能
09-4静电场的环路定理和电势
电子伏特是近代物理学中能量单位
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
19
19
J
一个电子伏特的能量
9.4 静电场的环路定理和电势
9.4.3 电势的计算
一、点电荷q的电场中任一场点的电势
无穷远处为电势零点
V ( P)
P
E dl E dr P Edr P
q q dr 2 r 4 πε r 4πε 0 r 0
电场指向电势降落方向
沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功， 正电荷的电势能减少，故电势减小。
9.4 静电场的环路定理和电势
我们的心脏附近 的等电势线（类似于 电偶极子）
9.4 静电场的环路定理和电势
电势差
9.5.2 电场强度与电势梯度 E
U AB VA VB V
U AB E l El cos
9.4 静电场的环路定理和电势
电势是相对的，电势差是绝对的
电势差 U V V PQ P Q
单位：1V＝1J/C
P
Q
E dl
二、电势零点 1、电荷只分布在有限区域时，电势零点通常选在无 穷远处。 VP E dl 设Q点在无限远，VQ=0
P
2、 电荷分布延伸到无限远；可选取场中任一点， 合理选择电势零点可使问题简化。
y
P( x, y)
p cos V 4 π 0 r 2
在图示的Oxy坐标系中
q
r
O
r
r
q
r x y
2 2
2
l
x
cos
x x2 y 2
px V 2 2 3/ 2 4 π 0 ( x y )
9.4 静电场的环路定理和电势
6-3静电场的环路定理电势
dV
dE
10
红
已知场强分布 Ex, y, z ，求场中任一点P 的电势时，
可先作不定积分
V E dl C
选择使积分常量 C 0 的点为零电势的参考点，再
电
子 工 程 学 院
作积分，可求 P 点的电势 VP
对于有限电荷分布情况，可直接选无限远为零势能
点，作积分可得
VP
E dl
P
x
1 qdl
dVP 4π 0r 2π R
x
院
杨 VP
小
1
4π 0r
qdl q
q
2π R
4π 0r
4π 0
x2
R2 13
红
VP
4π 0
q x2 R2
电 讨论
子 工 程 学 院
杨
x
0，V0
q
4π 0R
x
R，VP
q
4π 0x
小
红
q
V
4π 0 R
o
x
q
4π 0 (x2 R2 )1 2
14
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
点
电
电荷
子的
工 程 学 院
等 势 面
杨 小 红
dl2 dl1 E2 E1
dl1 dl2
21
两平行带电平板的电场线和等势面
++++++++++++
电 子 工 程 学 院
杨
小
22
红
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
电
子 工
+
程
学
【大学物理】静电场的环路定理 电势 等势面 电势梯度
r r r r－ r l cos
r
r
r+
q l
q+
3. 连续分布电荷电场中的电势 利用电势叠加原理：
dV
dq
dq VP 4 π 0 r
r
P
使用此公式的前提条件为有限大带电体且选无限远 处为电势零点；积分是对整个带电体的积分。 E 利用电势定义式： dl “ 0 ” P
qr E1 3 4 π 0 R
r
q E2 2 4 π 0 r
V1 E1dr E 2 dr
r R
R
q R
R
r
qr q dr dr 3 2 R 4 π r 4 π 0 R 0
2
q q q (3 R r ) 2 2 (R r ) 3 8 π 0 R 4 π 0 R 8 π 0 R
与路径无关
a
dr
任意带电体系产生的电场
任意带电体系都可以看成电荷系 q1、q2、…，移动q0， 静电力所作功为: b b q E •b dr W F dr 0
ab
q0 a• q0 ( E1 E 2 E n ) dr a( L) n b q 0 E i d r ＝ qi q0 ( 1 1 ) a( L) i 1 rbi i 4 0 rai
注意：
• 电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上， 当场源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零 点选取在无穷远处。 这时，空间a点的电势能：
E pa
a
q0 E dl
• 电势能为电场和位于电场中的电荷这个系统所 共有。
静电场的环路定理、电势
R2
3
)2
=……
例3：求无限长均匀带电直线的电场中的电势 分布。
解：选取B点为电势零点，B点距带电直导 线为 rB 。
B B
U E dl
dr
p
p 2 0r
2 0 ln r 2 0 ln r0 2 0 ln r C
rp
Q rB B
☆当电荷分布扩展到无穷远时，电势零点不能 再选在无穷远处。
a
b
a
a、b两点的电势差等于将单位正电荷从a点移
到b时，电场力所做的功。
电势和电势能的区别：
电势是电场的属性，与试验电荷无关； 电势能是属于电荷和电场系统所共有。
注意:
1、电势是相对量，电势零点的选择是任意的。 对于有限带电体而言,电势零点的选择在无限 远点;对于仪器而言电势零点选择在底板上.
2、两点间的电势差与电势零点选择无关。
六、电势的计算
1、点电荷电场中的电势
q • r0
•P
距q为r（P点）的场强为
q
E 4 0r 2 r0
r
由电势定义得：uP
P
E • dl
q
r
4
0r
2
dr
q
4 0r
讨论：
➢大小
q 0 u 0 r u r u最小 q 0 u 0 r u r u最大
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功
五、电势、电势差
定义电势
ua
Wa q0
E dl
a
Wa q0 E dl
a
单位正电荷在该点 所具有的电势能
单位正电荷从该点到无穷远 点(电势零)电场力所作的功
定义电势差 ua ub
电场中任意两点 的 电势之差（电压）
08.3静电场的环路定理、电势
E a E b
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
b
a
u 3
u 2 u 1
2.电势梯度 电势梯度 单位正电荷从 a到 b电场力的功 到 电场力的功
u+d +u
E•d = Ec sθ l =u−(u+d ) l o d u Ec sθ l =− u o d d
在 l E d 方向上的分量 电场强度沿某 一方向的分量 一般
u
E l
n
a
b
l 由电势定义得 u =∫ E•d =∫ P
r
∞
4 ε0r π
d = r
q 4 ε0r π
讨论 大小
q>0 u>0 r ↑ u↓ r → u 小 ∞ 最 q<0 u<0 r ↑ u↑ r → u 大 ∞ 最
为球心的同一球面上的点电势相等 对称性 以q为球心的同一球面上的点电势相等
点电荷系的电势 由电势叠加原理， 的电势为 由电势叠加原理，P的电势为
单位正电荷在该点 所具有的电势能
∞
W = ∫q E•d l a 0
a
∞
单位正电荷从该点到无穷远 电势零)电场力所作的功 点(电势零 电场力所作的功 电势零
定义电势差 a b 定义电势差 u −u 电场中任意两点 的 电势之差（电压） 电势之差（电压）
u =u −u =∫ E•d −∫ E•d =∫ E•d l l l ab a b
d q −q A =u −u =0−( ) + oc o c 4 03R 4 0R a πε πε b c q +q 0 −q = 6 0R πε R R R
② 将单位负电荷由 ∞ O电场力所作的功
A O =u −u =0 o ∞ ∞
功、电势差、电势能之间的关系 电势差、
静电场的环路定理电势能等势面场强与电势的关系PPT课件
LF
dl
0
A
D
可以证明在静电场中有
E dl 0 L
C
B
E dl E dl E dl E dl E dl 0
L
ACB
BDA
ACB
ADB
在静电场中，场强沿任意闭合路径的环路积分
等于零。称为静电场的环路定理。
二、电势能 电势
静电场是保守场，可引入仅与位置有关 Q
的电势能概念。用WP和WQ分别表示试探
三、电势的计算 (electric potential ) 1. 点电荷产生的电场中的电势分布
可用场强分布和电势的定义直接积分。
p
E r
E
q
4π 0r 2
er
Vp
E dl
p
p
q
4π 0
r
2
dr
q
Vp
q
4π 0rp
正点电荷周围的场电势为正 离电荷越远，电势越低。
负点电荷周围的场电势为负
V内
Vq内
Vq内
q
4 0
(1 R1
1 R2
)
V外 Vq外 Vq外 0
这样二球面电势差为：
V内
V外
q
4 0
1 (
R1
1 R2
rQ
q0
电荷q0在电场中P点和Q点的电势能。电场 q 力对试探电荷q0所作的功可以表示为
rP
P
APQ q0 E dl WQ WP q0UQP
3
PQ
实际中为了确定q0在电场中一点的电势能，必须 选择一个电势能为零的参考点。
由于电势能的减小与试探电荷之比，完全由电
场在P、Q两点的状况所决定。可把(WP/q0)-(WQ/q0)
静电场的环路定理和电势
若令 E p(b) 0
(0)
(0)
Ep(a)
(a)
F dl
q0
E dl
(a)
3 电势
定义：把一个单位正电荷从静电场中 P1点移到 P2 点，电场力作的功等于 P1点到P2点电势的减量。
P1
P2
两点之间的电势差， 并不仅由这两点处的电场决定， 它取决于电场的分布。
设 P2为电势为零的参考点，2 =0
对无限大电荷分布， 选有限远 的适当点为电势零点。
实际上：常选大地或机壳的公共线 为电势零点。
例1：求点电荷 q 的电势分布。
【解】 利用电势定义（积分法）
取无限远为电势零点,
()
E dl ( p)
r
q
4 π 0r 2
dr
q
4 π0r
0
q
r
P
∞
r dl
q> 0 r
q< 0
--------点电荷的电势公式
取某一距离直线为 r0 的 P0点的电势为零。
任一点 P 的电势
P0
rP
Edl P
P P0
P’
P0
Edl Edl
P
P
r0
r0
0
dr
r 2 π0r
rP
P’
r0
> 0
0 r0
r0
dr
r 2 π0r
P0
r > r0 的点，电势为负,
r = r0 的点，电势为零,
由场强叠加原理
可以证明：
任意点电荷系或连续带电体的静电场也是保守力场。
常用下式表示静电场 的保守性：
……称为静电场的环路定理
10静电场2(环路定理、电势)
2
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
P 1
3.关系：E q V P 0
W EP1 EP2 q0U12
二、点电荷电场的电势 在点电荷的电场中任取一点P，由电势的定义来 计算P的电势：
V
P
E dr E dr
P
q
P
q 40 r
2
P
dr
q 40 r
r
E dr
积分路径选为沿径向的直线 在正点电荷的电场中，电势为正，随r的增大电 势逐渐减小；在负点电荷的电场中，电势为负，随 r的增大电势逐渐增大。并且，在点电荷的电场中， 电势也呈球对称分布。
2．在电场中任一点，电势沿不同方向的空间 变化率不相等。 当 0 时，l 沿着 E 的方向，变化率有最 大值： dV E max dl
即沿某一方向的电势的空间变化率最大， 此最大值称为该点的电势梯度，其方向是 该点附近电势升高最快的方向。
E
三、电势能 静电场力是保守力，可引入电势能的概念。 静电场力做功等于电势能的减少。 在静电场中，试验电荷由点 P 运动到点 P2， 1 则电场力做功为： P W q0 E dr EP EP
2
P 1
1
2
P E P1 、 P2 即分别为 q0 在 P 、 2 点的电势能。 E 1
则有： 1 V2 V
P2
P 1
E dr
1.单位：V， V 1J / C 1 2.通常选取无穷远处或大地为电势零点，则有： EP V E dr P q0
即P点的电势等于场强沿任意路径从P点到 无穷远处的线积分。
电势的值随电势零点选取的不同而不同， 是相对的；而两点的电势差是绝对的，与 电势零点无关。 P U12 V1 V2 E dr
第 2 章 电势
P
P0
P0
P
∑E
i
dl = ∫ E 1 dl + ∫ E 2 dl +
P P
P0
P0
= 1 + 2 = ∑ i
在由多个点电荷产生的电场中， 在由多个点电荷产生的电场中 ， 任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 电势的叠加原理
rb L ra
E P = mgh
W = Wb Wa = ∫ dA = ∫ q0 E dl
b a = ∫ E dl
ra
rb
= q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W = q0
一个电荷在电场中某点的电势能 电势能等于它的电 即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 时为势能零点， 势能为
二、电势差和电势
1.电势差 电势差
A = ∫ q0 E dl =q0 ∫ E dl ∝ q0
ra ra rb rb
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电 静电力作功与具体路径无关， 荷的始末位置。 始末位置。 定义 电势差
rb A a b = = ∫ E dl ra q0
二、电势差和电势
eV＝ 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
c
n
+ Δn θ Δl a
E
b l
四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系 电场强度与电势的关系
由于 E = d dn
d n = dn
E =
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。 即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
P0
P0
P
∑E
i
dl = ∫ E 1 dl + ∫ E 2 dl +
P P
P0
P0
= 1 + 2 = ∑ i
在由多个点电荷产生的电场中， 在由多个点电荷产生的电场中 ， 任意一点的电 势等于各个点电荷单独存在时在该点产生的电势 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 的代数和。这个结论称为电势的叠加原理。 电势的叠加原理
rb L ra
E P = mgh
W = Wb Wa = ∫ dA = ∫ q0 E dl
b a = ∫ E dl
ra
rb
= q0 ( b a )
五、电势能 定义电势能
W = q0
一个电荷在电场中某点的电势能 电势能等于它的电 即：一个电荷在电场中某点的电势能等于它的电 量与电场中该点电势的乘积。 量与电场中该点电势的乘积。 一般取 r→∞ 时为势能零点，则空间任一点的电 时为势能零点， 势能为
二、电势差和电势
1.电势差 电势差
A = ∫ q0 E dl =q0 ∫ E dl ∝ q0
ra ra rb rb
静电力作功与具体路径无关，只取决于检验电 静电力作功与具体路径无关， 荷的始末位置。 始末位置。 定义 电势差
rb A a b = = ∫ E dl ra q0
二、电势差和电势
eV＝ 特（eV）：1eV＝1.6×10-19J
c
n
+ Δn θ Δl a
E
b l
四、电势梯度
4.电场强度与电势的关系 电场强度与电势的关系
由于 E = d dn
d n = dn
E =
即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。 即电场强度大小为电势的梯度，但是方向相反。
环路定理电场强度的线积分静电场的环流为零电势环路定理
环路定理 电场强度的线积分
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述 形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.
§17-4 环路定理 电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
x
R
r = R2 + z2
zz
y
ϕ
=
1
4πε 0
ηdl
∫L r
=
4πε 0
1 R2
+z2来自∫Ldq=
q
4πε0 R2 + z2
例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的
电势分布.
∞
解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为
E
=
⎧ qr
⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3
, ,
无关．
A = A1 + A2
q0 dl
= q0Q1 ( 1 − 1 )
4πε0 r11 r12
P1 r11
r12
P2
+ q0Q2 ( 1 − 1 )
r22
4πε0 r21 r22
上述结论容易推广到多个点电荷
Q1 r21 Q2
的电场. 如果电荷连续分布, 只须 把它们分成电荷元就行了.
试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中, 从 P1 点运动到 P2点时电场力
F
⋅
dl
=
q0E
⋅
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
⋅
dl
=
q0Qdr
静电场的环流为零
电势
环路定理其实是我们熟悉的静电场是保守力场的另一种数学描述 形式. 有了高斯定理和环路定理, 静电场就有了一个完整的描述.
§17-4 环路定理 电势
一.试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中运动时电场力的功
试探电荷q0 移动 dl 时,电场力的元功为
dA
=
x
R
r = R2 + z2
zz
y
ϕ
=
1
4πε 0
ηdl
∫L r
=
4πε 0
1 R2
+z2来自∫Ldq=
q
4πε0 R2 + z2
例题 17-4-2 求半径为R总电量为q的均匀带电球在球内外的
电势分布.
∞
解:由例题17-3-1,可知电场强度分布为
E
=
⎧ qr
⎪⎪⎪⎨4πεq0rR3 ⎪⎩ 4πε0r3
, ,
无关．
A = A1 + A2
q0 dl
= q0Q1 ( 1 − 1 )
4πε0 r11 r12
P1 r11
r12
P2
+ q0Q2 ( 1 − 1 )
r22
4πε0 r21 r22
上述结论容易推广到多个点电荷
Q1 r21 Q2
的电场. 如果电荷连续分布, 只须 把它们分成电荷元就行了.
试探电荷q0 在点电荷 Q 的电场中, 从 P1 点运动到 P2点时电场力
F
⋅
dl
=
q0E
⋅
dl
=
q0Qer
4πε0r 2
⋅
dl
=
q0Qdr
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a
aaBiblioteka A1A2An
i
q0qi
4 0
(
1 ria
1 rib
)
结论: 静电力的功,仅与路径的起点和终点的位置 有关,而与路径形状无关。静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
q0 沿闭合路径 acbda 一周静电场力所作的功
Aacbda q0E • dl q0E • dl q0E • dl
dl 上的元功 dA F • dl q0E • dl
q0E cosdl
其中 则
cosdl dr
dA q0Edr
q o• ra
rb
r dr r
a
dr c dl
qc0 E
A
b
q0Edr
a
rb
qo
ra
q
4 0r 2
dr
qq0
4 0
(
1 ra
1 rb
)
电场力的功只与路径的起点和终点位置有关,而与
c
b
acb
bda
q0E • dl q0E • dl 0
acb
adb
a
d
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。
定义：
q0
E•
0
E • dl
dl——电场强度
0 E的环流
在积静分电 （场 电中 场， 强场度强E的沿环任流意）闭等合于路零径。的称线 为静电场的环路定理或环流定理。
Ua a E dl
在实际问题中,也常常选大地的电势为零。 (2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势 差是绝对量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量,其值可正可负,与零势点的选择有关。
五、点电荷电场的电势
P
U1
(1)点电荷q电场中p点的电势
如图 P点的场强为
q
E 4 0r 2 r0
我们定义：场中a点的电势
E pa ： qo
零势点
E dl
a
Ua
Epa qo
零势点
E dl
a
电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电
势能；也等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到
零势点时电场力所作的功。
2、电势差 静电场中任意两点的电势之差(电压)
零势点 零势点
Uab Ua Ub E • dl E • dl
Q (1 1) 4πε0 rA rB
u
Q 4π 0 R
oR
Q
4π 0r
r
o
AB
R
rA
r
rB
17
求电势的方法：先根据电荷的分布求解 场强的分布，然后由电势的定义式计算电 势。记住何时需要分段积分。
路径形状无关。
２．点电荷系电场中静电力作功的特点
在点电荷系q1,q2,…qn的电场中，qo从a点沿任一
路径L移b 到b点时，电b 场力 对qo所作的功 为
Aab q0E • dl q0 (E1 E2 En ) • dl
a
b
a
b
b
q0E1 • dl q0E • dl q0E • dl
零势点
Epa qo a E dl
电势能的零点： 当场源电荷分布在有限区域内时
通常取无限远为电势能的零点
Epa Wa q0E • dl
a
E 0
点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该电荷从 该点移到无限远电场力所作的功。
四 电势
由电势能的定义式：
零势点
Epa qo a E dl
三．电势能： 试验电荷q0在静电场中的一定的位置就具有一定的能量 ，这能量称为q0在电场中的电势能。
a点电势能 E pa
b
试验电荷 q0处于
b点电势能 E pb
a
则a
b 电场力的功
b
Wab q0 E • dl Epa Epb (Epb Epa)
a
可见：电场力的功等于电势能增量的负值。
b
Wab q0 E • dl Epa Epb (Epb Epa)
a
若取b点为电势能的零点(零势点),则qo在a点的
电势能为
零势点
Epa qo a E dl
意义是：qo在电场中某点a的电势能等于将qo从 该点a经任意路径移到零势点时电场力对qo所作的功。
应当注意,电势能是电场和场中电荷这个系统共 有的。
Epa Epb
q 0 则 Ua Ub q 0 则 Ua Ub
正电荷在电场力的作用下由（高）电势向（低）电势运动
负电荷在电场力的作用下由（低 ）电势向（高 ）电势运动
公
式
Ua
零势点
E dl
a
b
Ua Ub
E dl
a
小 结
Epa qUa
Wab q(Ua Ub )
(1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点,于是
【知识点与思路】本题考
查的知识点是用电势的定义
式计算电势。由电势定义计 算电势，首先要知道电场强 度的分布。本题电荷均匀分
o
AB
R
rA
r
布于球面，可根据高斯定理 求得场强分布， 然后根据电
rB
势的定义式即可计算空间电
势分布。
15
【解】
由高斯定理得
E
0 r R
Q
4ε0r 2
rˆ
r
R
（1）
u
a
b
b
b
b
E • dl E cos dl
a
a
a
将单位正电荷从a移 到b电场力所作的功
功、电势差、电势能之间的关系
b
b
Wab q E • dl q(Ua Ub ) Epa Epb
a
a
★讨论: １. Wab 0
Epa Epb
q 0 则 Ua Ub q 0 则 Ua Ub
2. Wab 0
r0
r
q
U2
取无穷远为电势零点，由电势定义得
UP
P
E
•
dl
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
① 大小：q>0 U>0 r U r U 0 (最小)
讨论
q<0 U<0 r U r U 0 (最大)
② 对称性：在以q为球心的同一球面上各点的电势相等
例1 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面。 试求 （1）球面内、外任意点的电势分布； （2）球面外两点AB间的电势差。
r
(r
)
R
r
E选 d无l穷远r为 电4势Q零0r点2 d，r由电4势πQε定0r义得
rR
u(r)
R
r
E
dr
R
E
dr
Q 4πε0 R
o
R
P2rA
AB P1 r
rB
16
u
(r
)
Q
4 0
Q
R
,r R ，r R
（2） r R
4 0 R
uA uB
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2
高压带电操作
第 5章: 静电场
相对于观察者静止的电荷产生的电场称静电场
对其中的电荷施加作用力 电场可以移动电荷做功
电场强度
电势
电力线 高斯定理
内容结构
等势面 环路定理
§9.4 真空中的环路定理 电势
重点
静电场力的功及其特点 静电场的环路定理 电势
一．静电场力所作的功
b
１、点电荷的电场中静电力作功的特点