静电场环路定理电势

Q (1 1) 4πε0 rA rB
u
Q 4π 0 R
oR
Q
4π 0r
r
o
AB
R
rA
r
rB
17
求电势的方法：先根据电荷的分布求解 场强的分布，然后由电势的定义式计算电 势。记住何时需要分段积分。
Wab q0 E • dl Epa Epb (Epb Epa)
a
若取b点为电势能的零点(零势点),则qo在a点的
电势能为
零势点
Epa qo a E dl
意义是：qo在电场中某点a的电势能等于将qo从 该点a经任意路径移到零势点时电场力对qo所作的功。
应当注意,电势能是电场和场中电荷这个系统共 有的。
dl 上的元功 dA F • dl q0E • dl
q0E cosdl
其中 则
cosdl dr
dA q0Edr
q o• ra
rb
r dr r
a
dr c dl
qc0 E
A
b
q0Edr
a
rb
qo
ra
q
4 0r 2
dr
qq0
4 0
(
1 ra
1 rb
)
电场力的功只与路径的起点和终点位置有关,而与
a
a
a
A1
A2
An
i
q0qi
4 0
(
1 ria
1 rib
)
结论: 静电力的功,仅与路径的起点和终点的位置 有关,而与路径形状无关。静电场是保守力场。
二、静电场的环路定理
q0 沿闭合路径 acbda 一周静电场力所作的功
Aacbda q0E • dl q0E • dl q0E • dl
零势点
Epa qo a E dl
电势能的零点： 当场源电荷分布在有限区域内时
通常取无限远为电势能的零点
Epa Wa q0E • dl
a
E 0
点电荷在静电场中的某一点所具有的电势能等于将该电荷从 该点移到无限远电场力所作的功。
四 电势
由电势能的定义式：
零势点
Epa qo a E dl
【知识点与思路】本题考
查的知识点是用电势的定义
式计算电势。由电势定义计 算电势，首先要知道电场强 度的分布。本题电荷均匀分
o
AB
R
rA
r
布于球面，可根据高斯定理 求得场强分布， 然后根据电
rB
势的定义式即可计算空间电
势分布。
15
【解】
由高斯定理得
E
0 r R
Q
4ε0r 2
rˆ
r
R
（1）
u
高压带电操作
第 5章: 静电场
相对于观察者静止的电荷产生的电场称静电场
对其中的电荷施加作用力 电场可以移动电荷做功
电场强度
电势
电力线 高斯定理
内容结构
等势面 环路定理
§9.4 真空中的环路定理 电势
重点
静电场力的功及其特点 静电场的环路定理 电势
一．静电场力所作的功
b
１、点电荷的电场中静电力作功的特点
Ua a E dl
在实际问题中,也常常选大地的电势为零。 (2)电势是相对量，随零势点的不同而不同。而电势 差是绝对量，与电势零点的选择无关。 (3)电势是标量,其值可正可负,与零势点的选择有关。
五、点电荷电场的电势
P
U1
(1)点电荷q电场中p点的电势
如图 P点的场强为
q
E 4 0r 2 r0
Epa Epb
q 0 则 Ua Ub q 0 则 Ua Ub
正电荷在电场力的作用下由（高）电势向（低）电势运动
负电荷在电场力的作用下由（低 ）电势向（高 ）电势运动
公
式
Ua
零势点
E dl
a
b
Ua Ub
E dl
a
小 结
Epa qUa
Wab q(Ua Ub )
(1)原则上电势零点可任意选择，视方便而定 。 对有限大小的带电体,规定取无穷远为零势点,于是
我们定义：场中a点的电势
E pa ： qo
零势点
E dl
a
Ua
Epa qo
零势点
E dl
a
电场中某点的电势等于单位正电荷在该点的电
势能；也等于将单位正电荷从该点经过任意路径移到
零势点时电场力所作的功。
2、电势差 静电场中任意两点的电势之差(电压)
零势点 零势点
Uab Ua Ub E • dl E • dl
a
b
b
b
b
E • dl E cos dl
a
a
a
将单位正电荷从a移 到b电场力所作的功
功、电势差、电势能之间的关系
b
b
Wab q E • dl q(Ua Ub ) Epa Epb
a
a
★讨论: １. Wab 0
Epa Epb
q 0 则 Ua Ub q 0 则 Ua Ub
2. Wab 0
r0
r
q
U2
取无穷远为电势零点，由电势定义得
UP
P
E
•
dl
r
q
4 0r 2
dr
q
4 0r
① 大小：q>0 U>0 r U r U 0 (最小)
讨论
q<0 U<0 r U r U 0 (最大)
② 对称性：在以q为球心的同一球面上各点的电势相等
例1 真空中有一电荷为Q，半径为R的均匀带电球面。 试求 （1）球面内、外任意点的电势分布； （2）球面外两点AB间的电势差。
c
b
acb
bda
q0E • dl q0E • dl 0
acb
adb
a
d
即静电场力移动电荷沿任一闭合路径所作的功为零。
定义：
q0
E•
0
E • dl
dl——电场强度
0 E的环流
在积静分电 （场 电中 场， 强场度强E的沿环任流意）闭等合于路零径。的称线 为静电场的环路定理或环流定理。
三．电势能： 试验电荷q0在静电场中的一定的位置就具有一定的能量 ，这能量称为q0在电场中的电势能。
a点电势能 E pa
b
试验电荷 q0处于
b点电势能 E pb
a
则a
b 电场力的功
b
Wab q0 E • dl Epa Epb (Epb Epa)
a
可见：电场力的功等于电势能增量的负值。
b
路径形状无关。
２．点电荷系电场中静电力作功的特点
在点电荷系q1,q2,…qn的电场中，qo从a点沿任一
路径L移b 到b点时，电b 场力 对qo所作的功 为
Aab q0E • dl q0 (E1 E2 En ) • dl
a
b
a
b
b
q0E1 • dl q0E • dl q0E • dl
r
(r
)
R
r
E选 d无l穷远r为 电4势Q零0r点2 d，r由电4势πQε定0r义得
rR
u(r)
R
r
E
dr
R
E
dr
Q 4πε0 R
o
R
P2rA
AB P1 r
rB
16
u
(r
)
Q
4 0
Q
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（2） r R
4 0 R
uA uB
rB rA
E
dr
Q 4πε0
rB dr rA r 2