二次函数的图象和性质导学案

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6.2 二次函数的图象和性质(3)导学案

6.2 二次函数的图象和性质(3)学习目标：1、会画二次函数y ＝a(x ＋m)2的图象，并理解二次函数y ＝a(x ＋m)2的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系。

2、掌握y ＝a(x ＋m)2的图象和性质。

学习过程：一、知识复习1、二次函数y ＝2x 2＋3与二次函数y ＝2x 2的图象之间的关系。

2和y ＝ax 2＋k 的图象和性质1、在同一坐标系中画出下列函数的图象。

①y ＝x 2 ②y ＝(x ＋3)2 ⑴列表⑵描点并连线2、观察与思考：⑴函数y ＝(x ＋3)2与y ＝x 2的图象形状相同吗？⑵从列表的数值看，它们的函数值相等时，所对应的自变量的值有什么关系？ ⑶从点的位置看，函数y ＝(x ＋3)2的图象与y ＝x 2的图象有什么关系？ 3、在上题的坐标系中画出函数y ＝(x －2)2的图象，并说明它与y ＝x 2的图象的关系。

三、对比练习在同一坐标系中画出函数212y x=-、21(2)2y x =-+、21(3)2y x =--的图象，并观察它们的关系。

四、课堂小结抛物线y ＝a(x ＋m)2与抛物线y ＝x 2的形状______，只是________不同。

当m ＞0时，抛物线y ＝a(x ＋m)2可由y ＝ax 2的图象向_____平移_____个单位得到；当m ＜0时，抛物线y ＝a(x ＋m)2可由y ＝ax 2的图象向_____平移_____个单位得到。

五、随堂练习： ⑴函数21(1)2y x =-的图象可由函数212y x=向平移个单位得到；函数y ＝－2(x ＋3)2的图象可由函数y ＝－2x 2向平移个单位得到。

⑵函数y ＝－3(x －2)2的图象向平移个单位得y ＝－3x 2的图象；函数y ＝－2(x ＋4)2的图象向平移个单位得 y ＝2x 2的图象。

⑶将抛物线y ＝(x －2)2向平移个单位可得抛物线y ＝(x ＋1)2。

⑷抛物线y ＝－2(x ＋1)2可由抛物线y ＝－2(x －2)2向平移个单位得到的。

6.2 二次函数的图象和性质(1)导学案

6.2 二次函数的图象和性质 (1)学习目标：1.通过本节课的学习，掌握二次函数y=ax2的图象的画法，初步了解二次函数y=ax2图象的特征。

2.通过本节课的学习，经历画二次函数y=ax2图象的过程、经历初步探索二次函数y=ax2图象的特征的过程，进一步掌握研究函数图象与特征的方法——类比、数形结合。

3.通过本课的学习，感受抛物线的数学美，培养学生细心、严谨的学习态度。

学习重点：1. 二次函数y=ax2的图象的画法；2. 初步探索二次函数y=ax2图象的特征。

学习难点：1.比较准确的画出二次函数y=ax2的图象；2.二次函数y=ax2图象特征的初步探索。

学习过程：一、知识回顾1. 研究函数的一般步骤是什么？2. 什么是二次函数？最简单的二次函数是什么？3. 画出反比例函数6yx=的图象。

解：(1)列表(2)描点、连线二、探索活动。

1. (1) 用描点法画出二次函数y=x 2的图象。

解：①列表 ②描点、连线问题观察二次函数y=x 2的图象的特征？2. 画出二次函数y=-x 2的图象。

解：(1)列表 (2)描点、连线问题1：二次函数y=-x 2的图象像什么图形？问题2：二次函数y=x 2与y=-x 2的图象有什么共同特征？问题3：什么是抛物线的顶点？三、巩固练习1. 在直角坐标系中，分别画出下列函数的图象。

(1)212y x =(2) 22y x =- 解：列表解：列表(2)描点、连线 (2)描点、连线2. 根据第1题回答下列问题： (1)二次函数212y x =的图象是，对称轴是，有 (填“最高点”或“最低点”)，坐标是；对称轴左边的部分，从左向右看，是的。

(填“上升”或“下降”) (2)二次函数22y x =-的图象开口向 (填“上”或“下”)，向下 (填“无限延伸”或“不延伸”)，顶点坐标是；对称轴左边的部分，从左向右看，是的。

(填“上升”或“下降”)(3)若点(m,n)在二次函数22y x =-的图象上，则点( ,n)也在它的图象上。

5.2 二次函数的图像和性质(3) 导学案

5.2.1二次函数的图像与性质⑷班级姓名【学习目标】1.会用描点法画二次函数()k h x a y ++=2的图像，掌握它的性质.2.渗透数形结合思想.【课前自习】22.抛物线22+=x y 的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 3.抛物线()232--=x y 的开口向，对称轴是；顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是；无论x 取任何实数，y 的取值范围是 . 4.抛物线()2121+-=x y 与抛物线关于x 轴成轴对称；抛物线()2121+-=x y 与抛物线关于y 轴成轴对称【课堂助学】一、自主探索： 1.画出二次函数()2121-=x y 和()21212+-=x y 的图像：⑵在下列平面直角坐标系中描出表中各点，并把这些点连成平滑的曲线：2.观察上图:⑴函数的图像与的图像的相同，相同，不同，不同；⑵函数可以看成的图像先向平移个单位长度得到函数的图像，再向平移个单位长度得到.⑶函数的对称轴是，在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑷函数顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是 .二、探究归纳：1.二次函数()k h x a y ++=2的图像是一条，它对称轴是；顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是 .2.当0>k 时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向平移个单位得到；当0<k 时，()k h x a y ++=2的图像可以看成是()2h x a y +=的图像向平移个单位得到.3.当0>a 时，抛物线开口向，顶点是抛物线的最点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而；当0<a 时，抛物线开口向，顶点是抛物线的最点.在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .4. 由于根据()k h x a y ++=2的解析式可直接得到函数图像的顶点坐标，故称之为. 三、典型例题：例1、⑴已知抛物线开口大小与221x y =的开口大小一样，但方向相反，且当x =-2时， y 有最值4，该抛物线的解析式是；()21212+-=x y ()21212+-=x y 221x y =221x y =()21212+-=x y ()21212+-=x y⑵抛物线()5122+--=x y 是由一抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到，则原抛物线的解析式是；⑶抛物线()212-+-=x y 与抛物线关于x 轴成轴对称；抛物线()212-+-=x y 与抛物线关于y 轴成轴对称.【课堂检测】1.二次函数()3522-+=x y 的图像是，开口，对称轴是；顶点坐标是，说明当x= 时，y 有最值是 . 2.二次函数()2432+--=x y 的图像是由抛物线23x y -=先向平移个单位，再向平移个单位得到的；开口，对称轴是，顶点坐标是，说明当x= 时，y 有最值是 .3.将二次函数y=2x 2的图像向左平移3个单位后得到函数的图像，再向上平移2个单位得到函数的图像；新函数的顶点坐标是，其对称轴是，说明当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小.4.在同一坐标系中画出下列函数的图像：①()23+-=x y ②()23--=x y观察左图:⑴函数()122++-=x y 图像与()22+-=x y 的图像的相同，相同，相同，不同.⑵函数()122++-=x y 可以看成2x y -=的图像先向平移个单位长度得到函数的图像，再向平移个单位长度得到.⑶函数()122++-=x y 的对称轴是，在对称轴的左侧，即x 时，y 随x 的增大而；在对称轴的右侧，即x 时，y 随x 的增大而 .⑷函数()122++-=x y 顶点坐标是，说明当x = 时，y 有最值是 .【课外作业】1.将抛物线y= -3x 2的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的图像，新图像的对称轴是，顶点坐标是，当x= 时，y 有最值是 . 2.函数y=3（x+6）2+2的图象是由函数y=3x 2的图象先向平移个单位，再向平移个单位得到的；其图象开口向，对称轴是，顶点坐标是；当x= 时，y 有最值是；当x 时，y 随x 的增大而增大. 3.抛物线y=a （x+h ）2+k 是由函数y=231x 的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移2 个单位长度得到的，则a= ，h= ，k= .4.将函数y=3（x －4）2+3的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是；将函数y=3（x －4）2+3的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 .5.将抛物线y= -2（x-3）2-1先向上平移3单位，就得到函数的图象，再向平移个单位得到函数y= 2（x+1）2+2的图象.6.抛物线()k h x a y ++=2经过点（-1，-4），且当x=1时，y 有最值是-2，求该抛物线的解析式.。

22二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质导学案人教版九年级数学上册

九年级数学上册《22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质》导学案1、理解二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，并学会运用，能求出对称轴、顶点坐标2、理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系3、能用待定系数法求二次函数的解析式，有三种解析式的类型：一般式，顶点式和交点式，能根据题目的需要选择适当的解析式类型。

重点：运用二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质求出对称轴、顶点坐标；会用待定系数法求二次函数的解析式。

难点：理解抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系，并结合函数的图象与性质进行分析题意。

1、二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（1）图象二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的。

（2）性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而；x＞﹣时，y随x的增大而；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的．2、抛物线y=ax²+bx+c与系数的关系二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a＞0时，抛物线开口；当a＜0时，抛物线开口；a还可以决定开口大小，a越大开口就。

②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点。

二次函数的图像(导学案)

§5.1二次函数的图像预习案一、学习目标：1 理解二次函数中参数khcba,,,,对其图像的影响2.领会二次函数图像平移的研究方法，并能迁移到其他函数图像的研究二、学习重点：二次函数图像的平移变换规律及应用三、学习难点：探索平移对函数解析式的影响及如何利用平移变换规律产生指数函数背景四、知识链接：1、二次函数的解析式的表示形式（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：2、二次函数的图像是什么图形？如何快速画出其图像？探究案1、在同一直角坐标系中作出下列函数图像（1）2xy=（2）22xy=（3）221xy=（4）22xy-=结论：二次函数)0(2≠=aaxy的图像可由2xy=的图像各点的得到；决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小2、在同一直角坐标系中作出下列函数图像（1）23xy-=（2）2)1(3--=xy（3）1)1(32+--=xy结论：（1）把2axy=的图像得到2)(hxay+=的图像把2)(hxay+=的图像得到khxay++=2)(的图像（2）二次函数中各参数对图像的影响a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中h决定而且k决定而且3、把二次函数的一般式)0(2≠++=acbxaxy改成顶点式即二次函数)0(2≠++=acbxaxy，通过配方可以得到它的恒等形式二次函数)0(2≠++=acbxaxy决定其图像位置的参数是什么？训练案二次函数)(xf与)(xg的图像开口大小相同，开口方向也相同。

已知函数)(xg的解析式和)(xf图像的顶点，写出函数)(xf的解析式函数)(,)(2xfxxg=图像的顶点是)7,4(-函数)(,)1(2)(2xfxxg+-=图像的顶点是)2,3(-已知函数1)34()(142-++=--xxaxf aa是一个二次函数，求满足条件的a的值。

变式：已知函数1222)()(--+=mmxmmxf是二次函数，求m的值已知抛物线86)(2-+=x ax x f 与直线x y 3-=相交于点),1(m A 求抛物线的解析式该抛物线经过怎样平移可以得到2)(ax x f =的图像训练案1、在同一坐标系中,图像与22x y = 的图像关于x 轴对称的函数.2、将抛物线12+=x y 向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得抛物线方程.3、二次函数的顶点坐标为（2，-1），且过点（3，1），则解析式.4、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像经过A （0，-5），B （5，0）两点，它的对称轴为直线2=x ，求这个二次函数的解析式.。

初中数学导学案：二次函数y=ax^2的图象和性质

二次函数2ax y =的图象和性质一、明确学习目标1、会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，掌握二次函数2ax y =性质。

2、经历探索二次函数2ax y =的图象与性质的过程，能运用二次函数2ax y =的图象及性质解决简单的实际问题，掌握数形结合的数学思想方法。

3、通过数学学习活动，体会数学与实际生活的联系，感受数学的实际意义，激发学习兴趣。

二、自主预习预习教材第29至32页填表画图，并初步完成自主预习区。

三、合作探究活动1 探究2ax y =)0(≠a 的图象 1、用描点法画2x y =的图象。

（1）用描点法画图象通常有哪些步骤？（2）列表时，应注意什么问题？（3）描点时应以哪些数值作为点的坐标？（4）连线时应注意什么？2、思考与归纳让学生观察师生所画的图象，给出抛物线的概念。

并说明：二次函数2x y =的图象是一条抛物线，实际上，二次函数的图象都是抛物线。

思考：（1）思考表格中的数据是否反映了一种规律？（2）观察图象，这条抛物线有什么特征？请把你的发现说出来。

教师引导：任取一个x 的值，计算出相应y 的值，验证一下这个点关于y 轴的对称点是否也在这条抛物线上，从而给出抛物线的对称轴、顶点等概念。

学生观察、探究、交流、总结。

活动2 在同一坐标系中画出函数221x y =，22x y =的图象与2x y =的图象相比，有什么共同点和不同点，学生讨论后回答，教师点拨。

猜想：二次函数的开口方向是由什么决定的？开口大小的程度又是由谁决定的？活动3 探究：在同一坐标系中画出函数2x y -=，221x y -=和22x y -=的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

活动4 进一步探究，抛物线2x y =与2x y -=有什么关系？由此猜想2ax y =与2ax y -=的关系。

活动5 小组讨论例 1 填空：①函数2)2(x y -=的图象是_________，顶点坐标是_______，对称轴是__________，开口方向__________。

2022年初中数学《二次函数y=ax+bx+c的图象和性质》精品导学案

21.2 二次函数的图象和性质2.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质第4课时二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质学习目标：1．使学生掌握用描点法画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象。

2．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。

3．让学生经历探索二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质。

重点难点：重点：用描点法画出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是学习的重点。

难点：理解二次函数y ＝ax 2＋b x ＋c(a ≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x ＝－b2a 、(－b 2a ，4ac －b24a)是学习的难点。

学习过程：一、提出问题1．你能说出函数y ＝－4(x －2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 2．函数y ＝－4(x －2)2＋1图象与函数y ＝－4x 2的图象有什么关系?(函数y ＝－4(x －2)2＋1的图象可以看成是将函数y ＝－4x 2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的)3．函数y ＝－4(x －2)2＋1具有哪些性质?(当x ＜2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞2时，函数值y 随x 的增大而减小；当x ＝2时，函数取得最大值，最大值y ＝1)4．不画出图象，你能直接说出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?5．你能画出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗?二、解决问题由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y ＝－12x 2＋x －52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。

根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y ＝－12x 2＋x －52的图象，进而观察得到这个函数的性质。

苏科版九年级数学第六章《二次函数》全章导学案

《6.1 二次函数》导学案学习目标：1.经历对实际问题情境分析确定二次函数表达式的过程，体会二次函数意义；2.了解二次函数关系式，会确定二次函数关系式中各项的系数。

一、知识准备：1.设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的，x 叫做。

2.我们已经学过的函数有：一次函数、反比例函数，其中的图像是直线，的图像是双曲线。

我们得到它们图像的方法和步骤是：① ；② ；③ 。

3. 形如___________y =，（）的函数是一次函数，当______0=时，它是函数，图像是经过的直线；形如k y x=，（）的函数是函数，它的表达式还可以写成：① 、② 二、提出问题（展示交流）：1．一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的面积S 与半径r 之间的函数关系式是。

2．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y(㎡)与长方形的长x(m)之间的函数关系式为。

3．要给一个边长为x (m)的正方形实验室铺设地板，已知某种地板的价格为每平方米240元，踢脚线价格为每米30元，如果其它费用为1000元，那么总费用y （元）与x （m ）之间的函数关系式是。

三、归纳提高（讨论归纳）：观察上述函数函数关系有哪些共同之处？它们与一次函数、反比例函数的关系式有什么不同？。

一般地，形如，（，且）的函数为二次函数。

其中x 是自变量，函数。

四、例题精讲（小组讨论交流）：例1 函数y=（m ＋2）x22-m ＋2x －1是二次函数，则m= ．点拨：从二次函数的定义出发:看二次项的系数和次数确定m 的取值例2．下列函数中是二次函数的有（）①y=x ＋x 1；②y=3（x －1）2＋2；③y=（x ＋3）2－2x 2；④y=21x＋x ．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个例3、写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．⑴圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；⑵某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息税，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；⑶菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系五、课堂训练1．下列函数中，二次函数是（） A ．y=6x 2＋1 B ．y=6x ＋1 C ．y=x 6＋1 D ．y=26x ＋12．函数y=（m －n ）x 2＋mx ＋n 是二次函数的条件是（） A ．m 、n 为常数，且m ≠0 B ．m 、n 为常数，且m ≠n C ．m 、n 为常数，且n ≠0D ．m 、n 可以为任何常数3．半径为3的圆，如果半径增加2x ，则面积S 与x 之间的函数表达式为（） AS=2π（x ＋3）2B.S=9π＋xC.S=4πx 2＋12x ＋9 D S=4πx 2＋12πx ＋9π4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )A.圆的周长与圆的半径之间的关系;B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.5.已知菱形的一条对角线长为a ，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S 与对角线a 的关系_________．6.若一个边长为x cm 的无盖．．正方体形纸盒的表面积为y cm 2，则___________y =，其中x 的取值范围是。

第4课时_二次函数y=a(x-h)2的图象与性质_导学案

5.6 二次函数y＝ax2+bx+c的图象与性质（1）学习目标：1．会画二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的图象；2．掌握二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质，并要会灵活应用；学习重点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质学习难点：二次函数y＝ax2+k，y＝a（x-h）2的性质教学过程：一．自主探究探究点一：二次函数y=ax2+k的图象与性质自主探究：在同一直角坐标系画出二次函数y＝－12x2,y＝－12x2＋1，y=-12x2－1的图象，并通过观察图象探究以下问题：（1）它们的开口方向与开口大小相同吗？（2）它们的顶点坐标和对称轴分别是什么？（3）它们之间能通过平移得到吗？有什么平移规律吗？（1）列表：x …－4－3－2－10 1 2 34…y＝－12x2……y＝－12x2+1y＝—12x2-1 ……根据它们的图象，填写下表：小结：（1）抛物线y=ax 2+k 与y=ax2有什么位置关系？与同学交流。

（22探究点二：二次函数y ＝a （x-h ）2的图象性质自主探究：请你在同一直角坐标系中画出函数y ＝x 2， y ＝ (x ＋1)2 ，y ＝ (x －1)2，通过图象探究以下问题：（1）三个函数图象的开口方向与大小相同吗？（2）三个函数图象的顶点坐标，对称轴分别是什么？（3）函数y ＝ (x ＋1)2 与y ＝ (x －1)2的图象能否通过y ＝x 2的图象平移得到？如果能，该怎样平移？你能总结出从函数y ＝x 2的图象到函数y ＝ (x-h)2的图象的平移规律吗？描点并画图．1．观察图象，填表：函数开口方向顶点对称轴最值增减性y＝x2y＝ (x＋1)2y＝ (x－1)2适时小结：二次函数y=a（x-h）2有哪些性质？二、整理知识点1.函数图象开口方向顶点对称轴最值增减性y=ax2+ka﹥0a﹤0 y=a(x-h)2a﹥0a﹤02．对于二次函数的图象，只要｜a｜相等，则它们的形状_________，只是________不同．三、巩固训练1．抛物线y＝4 (x－2)2与y轴的交点坐标是___________，与x轴的交点坐标为________．2．把抛物线y＝3x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．把抛物线y＝3x2向左平移6个单位后，得到的抛物线的表达式为_______________．3．将抛物线y＝－13(x－1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式为____________．4．写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线y＝－2x2都相同的二次函数解析式___________________________．昌乐外国语学校九年级数学导学案设计人：张玉进审核人：杜荣国审批人：四、达标检测1．抛物线y＝2 (x＋3)2的开口______________；顶点坐标为__________________；对称轴是_________；当x＞－3时，y______________；当x＝－3时，y有_______值是_________．2．抛物线y＝m (x＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y＝－4 (x－4)2，则 m＝__________，n＝___________．3．若将抛物线y＝2x2＋1向下平移2个单位后，得到的抛物线解析式为______________．4．若抛物线y＝m (x＋1)2过点（1，－4），则m＝_______________．。

二次函数图像与性质教案

二次函数图像与性质教案二次函数图像与性质教案27.2二次函数的图象与性质第一课时二次函数y=ax2的图象与性质教学内容二次函数y=ax2图象的画法及其性质。

教学目标知识与技能：1.使学生会用描点法画出y=ax2的图象，理解抛物线的有关概念。

2.使学生能在教师引导下探索并理解二次函数y=ax2在a＞0和a＜0时的图像情况及性质。

过程与方法：使学生经历、探索二次函数y=ax2图象性质的过程。

情感态度与价值观：培养学生观察、思考、归纳的良好思维习惯。

重点使学生理解抛物线的有关概念，会用描点法画出二次函数y=ax2的图象难点用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数y=ax2性质。

教具准备多媒体、课件、课外资料。

学具准备平面直角坐标系教学过程：一、复习准备、引入新课1.平面直角坐标系相关概念：横轴（x轴）、纵轴（y轴）、坐标原点、象限点的坐标点与有序实数对点的位置及其坐标特征各象限的点各坐标轴上的点，各象限角平分线上的点、对称于坐标轴的点、对称于原点的点。

2.引入新课反比例函数的性质我们是通过图像总结出来的，二次函数性质的研究也离不开二次函数的图像，那么，如何画二次函数的图像呢？二、动手操作，探求新知1.图像学生用描点法画函数y=x2和y=-x2的图像（在同一个坐标系中）提示：用光滑的曲线自左向右顺次连接，注意向外延伸。

教师演示，规范画法。

随堂练习画出下列函数的图像（1）y=x2（2）y=2x2（3）y=－x22.抛物线二次函数y=ax2的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。

这条抛物线是轴对称图形，y轴就是它的对称轴。

对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。

3.性质（1）让学生观察所画的几个函数的图像，引导总结y=ax2的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，它的顶点坐标是（0,0）（2）引导观察y=x2和y=2x2的图象总结当a＞0时抛物线开口向上，在对称轴的左侧，曲线自左向右下降；在对称轴的右侧，曲线自左向右上升；顶点是抛物线上位置最低的点；归纳性质：当a＞0时，函数y=ax2的性质如下当x＜0时，函数值y随x的增大而减小；当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；当x=0时，函数y=ax2取得最小值，最小值y=0。

新版苏科版九年级下5.2二次函数的图像和性质(2)导学案

6.2 二次函数的图象和性质（2）学生姓名：______ 班级：目标导航：1、能利用表格和图象．．．．．研究二次函数2ax y =的性质（如开口方向、对称轴、顶点、增减性等）；2、掌握待定系数法，学会研究函数性质的途径和方法。

学习重点与难点：理解二次函数2ax y =的性质和待定系数法是学习的重点；难点是对性质和待定系数法确定二次函数关系式的实质的理解。

学习过程一、知识准备：本节课主要研究P 11-P 12的内容，请注意图、表相互结合来研究问题，注重“理解”．．．．二、问题导学： 1.填表并观察思考2.思：通过1中的表和图，你能否概括出函数2x y =、2x y =和5.0x y -=、2x y = 的共同点和不同点？记录下来（注意记录的条理性）3.类比：对于二次函数2ax y =具有什么性质呢？你是怎样理解和记忆这些性质的呢？ 4.试一试：认真完成课本P 11练习（注意第3题的每一步的算理）三、知识梳理1、求二次函数函数解析式的方法是： 2.二次函数图像性质是：…o (2)yx四、例题点评：例1：说出y=3x 2图象性质，并说出其图像与坐标轴的交点坐标。

例2．已知二次函数y=ax 2的图像经过点A （)81,21-、B （3,m ）. (1)求a 与m 的值；（2）写出该图像上点B 的对称点的坐标；（3）当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？（4）当x 取何值时，y 有最大值（或最小值）？五、当堂检测 ⒈根据函数关系式y=243x -填空：（1）图像开口向，，顶点坐标，对称轴；（2）当x ≥0时，y 随x 的增大而；当x= 时，y 的最值是 . 2．二次函数y=ax 2的图像如图，该函数的关系式是 .如果另一个函数的图像与该函数关于x 轴对称，那么这个函数的关系式是 . 3.根据图（1）、（2）的函数图像填空：（1）二次函数y=-7x 2的图像不可能是，二次函数y=232x 的图像不可能是；（2）有最大值的函数图像是，它的最大值是；（3）如果二次函数y=(m-1)x 2的图像是图（1），那么m 的取值范围是 . 4．对于函数y=x 2，由其图像可知，下列判断中，正确的是（） A 、若m 、n 互为相反数，则x=m 与x=n 对应的函数值相等；B 、对于同一自变量x ，有两个函数值与之对应；C 、对于任意一个实数y ，有两个x 值与之对应；D 、对于任何实数x ，都有y>0.(3)(2)(1)yxo5.在同一坐标系中，函数y=x 2，y=221x ，y=3x 2的图像如图。

6.2 二次函数的图象和性质(2)导学案

6.2 二次函数的图象和性质（2）学习目标：1、经历探索二次函数y＝ax2性质的过程，进一步体验数形结合的思想方法。

2、能说出二次函数y＝ax2图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及函数值y随x的变化规律等。

学习过程：一、知识再现1、y＝x2的图象是________，它开口______，对称轴为_______，顶点为_____。

2、y＝－x2的图象是_______，它开口______，对称轴为_______，顶点为_____。

二、探索与发现1、观察函数y＝x2，y＝12x2，y＝－x2，y＝12-x2，y＝－2x2的图象，它们有哪些共同点和不同点？请与同学交流。

结论：二次函数y＝ax2（a≠0）的图象是顶点在______，对称轴是________的______。

当a＞0时，抛物线开口______，顶点是抛物线的_________。

当a＜0时，抛物线开口______，顶点是抛物线的_________。

2、观察上述函数中y随x的变化规律：结论：对于y＝ax2（a≠0）⑴若a＞0，则在对称轴左侧（），y随x的增大而_______；在对称轴右侧（），y随x的增大而_______；当x＝_______时，y有最_____值是_______；⑵若a＜0，则在对称轴左侧（），y随x的增大而_______；在对称轴右侧（），y随x的增大而_______；当x＝_______时，y有最_____值是_______；3、若将上述三个函数的图象放在同一坐标系中，你能发现它们开口大小的规律吗？结论：三、典型例题例、已知二次函数y＝ax2的图象经过点A11,28⎛⎫-⎪⎝⎭、B（3，m）。

⑴求a与m的值；⑵写出该图象上点B的对称点的坐标；⑶当x取何值时，y随x的增大而减小？⑷当x取何值时，y有最大值（或最小值）？四、随堂练习：12、填空：⑴对于函数y=－7x 2，当x ＞0时函数的值随着自变量x 的增大而_______；当x=____时，函数有最值，最值是。

新版苏科版九年级下5.2二次函数的图像和性质(3)导学案

6.2 二次函数的图像和性质（3）学生姓名：______ 班级：目标导航：1、能解释．．二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系； 2、体会本节中图形的变化与图形上的点的坐标变化之间的关系（转化），感受形数结合的数学思想等。

学习重点与难点：对二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、的图像的位置关系解释和研究问题的数学方法的感受是学习重点；难点是对数学问题研究问题方法的感受和领悟。

学习过程：一、知识准备本节课的学习的内容是课本P 12-P 14的内容,内容较长，课本上问题较多，需要你操作、观察、思考和概括，请你注意：学习时要圈、点、勾．．．．．、画．．，随时记录甚至批注课本，想想“那个人”是如何研究出来的。

你有何新的发现呢？二、问题导学：1.思考：二次函数12+=x y 的图象是个什么图形？是抛物线吗？为什么？（请你仔细看课本P12-P13，作出合理的解释）类似的：二次函数k ax y +=2的图象与函数2ax y =的图象有什么关系？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何？()23+=x 的图象是抛物线吗？如果结合下表和看课本P13-P14你的解释是什么？x24类似的：二次函数()2m x a y +=的图象与二次函数2ax y =的图象有什么关系？它的对称轴、顶点呢？它的对称轴、顶点、最值、增减性如何呢三、知识梳理1、二次函数222)(ax y m x a y k ax y =+=+=和二次函数、图像的形状，位置的关系是：2、它们的性质是：四、例题点评：例1：函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向平移个单位得到； y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向平移个单位得到。

五、当堂检测⒈将抛物线y=4x 2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是。

将抛物线y=-5x 2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是。

二次函数的性质与图象导学案

导学案：二次函数的性质与图象（一）编撰人：李斌审定：阜阳四中高一数学组学习目的：掌握研究二次函数图像和性质的配方法。

进一步掌握二次函数的图像和性质。

会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。

【预习要点及要求】1.二次函数的一般方法——配方法。

2.二次函数的图像的画法。

3.二次函数的图像的顶点坐标、对称轴方程、单调区间和最值的求法。

4.掌握研究二次函数图像和性质的配方法。

5.进一步掌握二次函数的图像和性质。

6.会综合运用二次函数图像和性质解决有关问题。

【知识再现】1. 二次函数的一般形式)0(2≠++=a c bx axy 2．二次函数的顶点坐标（)44,22a b ac a b--【概念探究】 1、阅读课本57页到例1的上方，完成下列问题1、二次函数的定义及图象的形状是怎样的？2、函数_____________________叫二次函数，它的定义域是_________________.3、当0==c b 时，二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 变为___________,它的图像和性质特征为：（1）顶点坐标________,奇偶性为_______,图形关于_______对称；（2）当0>a 时，抛物线的开口______,在_________上是增函数，在_________上是减函数，当x=_____有最小值_______；当0<a 时，抛物线的开口_______,在_________上是增函数，在____________上是减函数，当x=______有最大值_______.(3) 当0>a 时,抛物线在x 轴的______，开口向上并随a 的增大逐渐______；当0<a 时，抛物线在x 轴的______，开口向下并随a 的增大逐渐______；2、阅读课本例1与例2，完成下列问题1．不看课本你能否独立完成两个例题例1、论述二次函数6421)(2++=x x x f 的性质，并作出它的图象。

二次函数的图像和性质

高山初中有效教学导学案九年级数学主备人：何家文复查人：万召剑一、课题：二次函数y=a x 2的图像和性质二、学习目标：1、经历探索二次函数y=a x 2图像的作法和性质的过程，获得利用图像研究函数的经验。

2、利用描点法作出二次函数y=ax 2的图像，会根据函数图像说出二次函数y=a x 2的性质。

3、会作二次函数y=21±x 2图像和y=±2x 2的图像，并说出它们与y=x 2的图像的不同之处以及它们之间的联系。

三、学习重点、难点重点：二次函数y=a x 2的图像的作法难点：根据函数图像归纳出二次函数y=a x 2的性质四、学习方法讨论探索发、对比法五、学前准备1、画出二次函数y=x 2的图像。

（1）函数图像与一次函数图像相同吗？（2）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（3）图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？（4）当x ＜0时，随着x 值的增大，y 的值如何变化？当x ＞0呢？2、根据y=x 2的图像，说出它的性质：（1）开口向＿＿＿＿对称轴＿＿＿＿＿顶点坐标＿＿＿＿＿（2）最小值（或最大值）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（3）当x ＜0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿当x ＞0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿。

3、在同一平面直角坐标系中，画出函数y=21x 2和y=2x 2的图像，并说出它们的性质。

（1）、y=21x 2的对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿＿，当x ＞0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿，当x ＜0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿（2）、y=2x 2的对称轴是＿＿＿＿＿，顶点坐标是＿＿＿＿＿，当x ＞0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿，当x ＜0时，y 随着x 值的增大而＿＿＿＿＿.六、自我检测1、画出函数y =－21x 2和y =－2x 2的图像，并说出它们的性质。

高中数学第二章函数 2.2 一次函数和二次函数 2.2.2 二次函数的性质与图象课堂导学案新人

2.2.2 二次函数的性质与图象课堂导学三点剖析一、二次函数的图象及性质【例1】二次函数f(x)与g(x)的图象开口大小相同,开口方向也相同.已知函数g(x)的解析式和f(x)图象的顶点,写出函数f(x)的解析式,函数g(x)=-2(x+1)2,f(x)图象的顶点是(-3,2).思路分析：本题给出了图象的顶点坐标,可以用顶点式设出二次函数,然后求解.解:设f(x)的解析式为y=a(x+h)2+k.因为f(x)与g(x)=-2(x+1)2的图象开口大小相同,开口方向也相同,且g(x)=-2(x+1)2与y=-2x2的图象开口大小相同,开口方向也相同.又因为f(x)图象的顶点是(-3,2),所以f(x)=-2(x+3)2+2=-2x2-12x-16.温馨提示(1)若二次函数f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相同,则二次项系数相等;若f(x)与g(x)的开口大小一致且开口方向相反,则二次项系数绝对值相等,符号相反.(2)若二次函数的二次项系数为a,顶点坐标为(h,k),则此二次函数可设为y=a(x-h)2+k.二、二次函数在特定区间上的最值问题【例2】设函数f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1]的最小值为g(t),求g(t)的表达式.思路分析：解决此类问题的关键是数形结合.解:f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,①当t+1≤1,即t≤0时,由图(1)知截取减区间上的一段,g(t)=f(t+1)=t 2+1; ②当1<t+1≤2,即0<t≤1时,由图(2)知正巧将顶点截取在内,g(t)=f(1)=1; ③当t+1>2,即t>1时,由图(3)可知截取增区间上的一段,g(t)=f(t)=t 2-2t+2.综上,可知g(t)=⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<≤+.1,22.10,1,0,122t t t t t t 温馨提示(1)从运动的观点来看,令区间\[t,t+1\]从左向右沿x 轴正方向运动,截取抛物线上的相应部分.(2)共截取三种类型:减函数部分、包含顶点的部分、增函数部分.(3)初学这种类型的题目时,要对应三种情况画三个图象,使问题显得直观清晰,随着学习的深入,能力得到提高了,可以只画一个图形就行了. 三、二次函数恒成立问题【例3】已知函数y=ax 2+(a-1)x+41a 的图象恒在x 轴上方,求实数a 的取值范围. 思路分析：要使二次函数图象恒在x 轴上方,只需开口向上且与x 轴无交点,即⎩⎨⎧<∆>.0,0a解:若a=0,则f(x)=-x 不符合题意. 若a≠0,则该函数为二次函数, ∴⎩⎨⎧<∆>.0,0a 解之,得a>21.综上,可知a>21. 温馨提示勿忘二次项系数等于0的情况. 各个击破类题演练1已知f(x)=x 2+2(2-a)x+2在（-∞,2］上是减函数,求实数a 的取值范围. 解析：要使f(x)在（-∞,2］上是减函数,由二次函数图象可知只要对称轴x=2)2(2a --≥2即可,解得a≥4. 变式提升1已知函数f(x)=-x 2+ax+b+1(a 、b∈R)对任意实数x 都有f(1-x)=f(1+x)成立,若当x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,则b 的取值范围是( )A.-1<b<0B.b>2C.b<-1或b>2D.b<-1解析：由f(1-x)=f(1+x),得f(x)图象关于x=1对称,∴a=2且f(x)在［-1,1］上是增函数. ∴要使x∈［-1,1］时,f(x)>0恒成立,只需f(-1)>0,即b-2>0.∴b>2. 答案：B 类题演练2函数f(x)=-3x 2-3x+4b 2+49,b>0,x∈［-b,b ］,f(x)的最大值为7,求b 的值. 解析：f(x)=-3(x+21)2+4b 2+3,当对称轴直线x=21-在区间［-b,b ］左侧,即21-<-b,b<21时,函数应在x=-b 时取得最大值,f(-b)=b 2+3b+49.由条件,得b 2+3b+49=7.因为b>0,由此求得b=723->21,与b<21矛盾.当对称轴直线x=21-在区间［-b,b ］内通过,即-b≤21-≤b,亦即b≥21时,函数f(x)最大值为4b 2+3.由4b 2+3=7,求得b=1,满足条件. 变式提升2求f(x)=x 2-2ax-1在区间\[0,2\]上的最大值和最小值. 解析：f(x)=(x-a)2-1-a 2,对称轴为x=a.①当a<0时,由图(1)可知f(x)min =f(0)=-1,f(x)max =f(2)=3-4a; ②当0≤a<1时,由图(2)可知f(x)min =f(a)=-1-a 2,f(x)max =f(2)=3-4a; ③当1<a≤2时,由图(3)可知f(x)min =f(a)=-1-a 2,f(x)max =f(0)=-1; ④当a>2时,由图(4)可知f(x)min =f(2)=3-4a,f(x)max =f(0)=-1. 类题演练3已知二次函数y 1=ax 2+bx+c(a≠0)与一次函数y 2=kx+m(k≠0)的图象相交于点A(-2,4)、B(8,2)(如图所示),则能使y 1>y 2成立的x 的取值范围是_______________.解析：由图象可知，当x<-2或x>8时，抛物线在直线的上方，有y 1>y 2. 答案：{x ｜x<-2或x>8} 变式提升3设函数f(x)=ax 2+bx+1(a 、b∈R ),若f(-1)=0,则对任意实数均有f(x)≥0成立,求f(x)的表达式.解析：由题意得ab2=-1且f(-1)=a-b+1=0. 解之,得a=1且b=2. ∴f(x)=x 2+2x+1.。

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3、在探索图象的过程中，研究函数解析式与函数图象及函数性质之间的关系，进一步巩固研究函数的一般方法.
学习过程
温故知新：
1、请你回顾我们是怎样研究的图象？
2、请你说说是怎样认识和的图象之间的关系？
探究新知：
活动1：怎样研究二次函数
和的图象呢？
思考：从表达式角度可以对图象进行怎样的猜想？说说你是怎样得到猜想的？
活动2：
活动3：还有其它画法吗？
归纳：什么是函数图象？图象上的点和表达式什么关系？
巩固应用：
练习：用最快的速度在同一个坐标系中画出以下函数图象；
我的发现：
课堂小结：
1、为什么我们先后研究了上面这三个二次函数的图象及性质？
2、收获或问题：
作业：
1、完善学案
2、A层：课本P44练习1、2
B层：请你画出的图象，并指出它的开口方向，顶点坐标和对称轴；并写出怎样移动就可以得到的图象，尝试写出两种方法2 二次函数的图象（三）
时间
课型
新授课
授课人
学习目标
1、在知道自变量和因变量的对应关系特点的基础上，能画出二次函数的图象，初步认识抛物线的顶点坐标和对称轴的意义.
2、能用运动变换的观点认识二次函数与y=ax2的图象的联系和区别，归纳出当h＞0时，的图象可以看成是由y=ax2的图象向右平移h个单位得到的；