小学奥数干货-5-2-1 数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版

5-2-1.数的整除之四大判断法

综合运用（一）

教学目标

1.了解整除的性质；

2.运用整除的性质解题；

3.整除性质的综合运用.

知识点拨

一、常见数字的整除判定方法

1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；

一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；

一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；

2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；

一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；

3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.

4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11

或13整除.

5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个

数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。

【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）

二、整除性质

性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．

性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．

用同样的方法，我们还可以得出：

性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那

么b∣a，c∣a．

性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b

与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．

例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．

性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；

性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；

例题精讲

模块一、2、5系列

【例1】975935972???□，要使这个连乘积的最后4个数字都是0，那么在方框内最小应填什么数？

【考点】整除之2、5系列【难度】2星【题型】填空

【解析】

【解析】积的最后4个数字都是0，说明乘数里至少有4个因数2和4个因数5．9755539=??，9355187=?，97222243=??，共有3个5，2个2，所以方框内至少是22520??=．

【答案】22520

??=【例2】从50到100的这51个自然数的乘积的末尾有多少个连续的0？

【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答

【解析】

【解析】首先，50、60、70、80、90、100中共有7个0．其次，55、65、85、95和任意偶数相乘都可以产生一个0，而75乘以偶数可以产生2个0，50中的因数5乘以偶数又可以产生1个0，所以一共有

742114+++=个0．

【答案】14个连续的0

【例3】把若干个自然数1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最

后出现的自然数最小应该是多少？

【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答

【解析】

【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数2和5的个数决定的，有一对2和5乘积末尾就有一个零．由于相邻两个自然数中必定有一个是2的倍数，而相邻5个数中才有一个5的倍数，所以我们只要观

察因数5的个数就可以了．551=?，1052=?，1553=?，2054=?，2555=?，3056=?，……，发现只有25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数5，乘到55时共出现11213+=个因

数5，所以至少应当写到55。

【答案】55

【例4】11个连续两位数的乘积能被343整除，且乘积的末4位都是0，那么这11个数的平均数是多少？

【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答

【解析】

【解析】因为33437=，由于在11个连续的两位数中，至多只能有2个数是7的倍数，所以其中有一个必须是49的倍数，那就只能是49或98．又因为乘积的末4位都是0，所以这连续的11个自然数至少应

该含有4个因数5．连续的11个自然数中至多只能有3个是5的倍数，至多只能有1个是25的倍

数，所以其中有一个必须是25的倍数，那么就只能是25、50或75．所以这11个数中应同时有49

和50，且除50外还有两个是5的倍数，只能是40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，

它们的平均数即为它们的中间项45．

【答案】45

【例5】201202203300???? 的结果除以10，所得到的商再除以10……重复这样的操作，在第____

次除以10时，首次出现余数.

【考点】整除之2、5系列【难度】5星【题型】填空

【关键词】学而思杯，5年级，第7题

【解析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的0.0由5和2相乘得到，最关键在于有多少个5.

能整除1次5的数有205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285，290，295共16个，会乘出16个连续的0；

能整除2次5的数有225，275，300共三个，会乘出6个连续的0；

能整除3次5的数有250，会乘出3个连续的0。

所以共有166325++=个连续的0，则能整除25次10，第26次首次出现余数。

【答案】26次

【例6】用1～9这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是4的倍数。这三个三位数中最

小的一个最大是。

【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第8题，10分

【解析】三个数都是4的倍数，个位必然都是偶数。当个位是2或6时，十位是奇数，当个位是4或8时，

十位是偶数。因为1～9中只有4个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是2和6，另一个的后两

位是84或48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是5，(另两个分别是9

和7)。9已被百位占用，十位最大的是8，所以三个三位数中最小的一个最大是584。

注：另两个三位数可以是912，736或932，716或916，732或936，712。

【答案】584

【例7】若4232++=b c d ，试问abcd 能否被8整除?请说明理由．

【考点】整除之2、5系列【难度】4星【题型】解答

【解析】【解析】略【答案】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.10010=++bcd b c d ，有

(42)9688(12)-++=+=+bcd b c d b c b c 能被8整除，而4232++=b c d 也能被8整除，所以abcd 能

被8整除.

模块二、3、9、99系列

【例8】在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使4□32□是9的倍数.请随便填出一种，并检查

自己填的是否正确。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】1星【题型】填空

【解析】

【解析】一个数是9的倍数，那么它的数字和就应该是9的倍数，即4+□+3+2+□是9的倍数，而4+3+2=9,所以只需要两个方框中的数的和是9的倍数．依次填入3、6，因为4+3+3+2+6=18是9的倍数，所以43326是9的倍数。

【答案】43326（答案不唯一）

【巩固】若9位数2008□2008能够被3整除，则□里的数是__________

【考点】整除之3、9、99系列【难度】1星【题型】填空

【关键词】希望杯，4年级，初赛，2题

【解析】根据题目知:20+□是3的倍数,所以□里填1或4或7.

【答案】1或4或7

【例9】一个六位数2727口口被3除余l ，被9除余4，这个数最小是。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】2星【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第2题，8分

【解析】被9除余4的数被3除必余1，所以只需考虑被9除余4这个条件。这个数各个数位上的数字之和

除以9应余4。所以框里面最小是04，六位数为：204727.

【答案】204727

【例10】连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008，

请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？

【考点】整除之3、9、99系列【难度】2星【题型】填空

【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题

【解析】因为连续3个自然数可以被3整除，而且最后一个自然数都是3的倍数，因为2007是3的倍数，所以

12345678910112007 是3的倍数，又因为12345678910112007200812345678910112007000020071=++ ，所以123456789101120072008 除以3，得到的余数是1。

【答案】1

【例11】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差

一定能被9整除.

【考点】整除之3、9、99系列【难度】2星【题型】解答

【解析】

【解析】略【答案】设原来的两位数为ab ，则新的两位数为ba .ba －ab (10)(10)9()=---=-b a a b b a .因为9()-b a 能

被9整除，所以它们的差能被9整除.

【例12】1234567891011121314…20082009除以9，商的个位数字是_________。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，初赛，六年级，第5题

【解析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。由于任意连续的9个自

然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到

的数也能被9整除。由于200992232÷= ，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9

的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.那么1234567891011121314…20082009除以

9的商，等于这个数减去3后除以9的商，即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么

很容易判断商的个位数字为4。

【答案】4

【例13】证明abcde 能被6整除，那么2()+++-a b c d e 也能被6整除．

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】解答

【解析】

【解析】略【答案】∵623

=?∴2|abcde

∴2|e

∴6|3e

∵3|abcde

∴3|a +b +c +d +e

∴6|2(a +b +c +d +e )

∴6|2(a +b +c +d +e )-3e

∴6|2（a +b +c +d ）-e

【例14】试说明一个5位数，原序数与反序数的差一定是99的倍数(如：12367为原序数，那么它对应的反

序数为76321，它们的差6395499646=?是99的倍数．

【考点】整除之3、9、99系列【难度】4星【题型】解答

【解析】

【解析】略【答案】设原序数为abcde ，则反序数为edcba ，则

abcde －edcba 1000010001001010000100010010=++++-++++a b c d e e d c b a ()()99999909909999=+--a b d e 991011010101=+--a b d e ()

因为等式的右边能被99整除，所以abcde -edcba 能被99整除

【例15】1至9这9个数字，按图所示的次序排成一个圆圈．请你在某两个数字之间剪开，分别按顺时针和

逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857和758624391)．如

果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右两个数字的乘积是多少?

21【考点】整除之3、9、99系列【难度】4星【题型】解答

【解析】

【解析】互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除．而396994=?，所以我们只用考察它能否能被4整除．于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然只有当剪开处两个数的

奇偶性相同时才有可能．注意图中的具体数字，有(3，4)处、（8，5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足．而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能满足．进一步验证，有(9，3)处剪开的末两

位数字之差为431924-=，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(7，1)，(1，9)处剪开的末两位数字之

差为62328-=．864244-=，582632-=，851768-=，915734-=，713932-=．所以从(9，

3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处剪开，所得的两个互为反序的九位数的差才是396的

倍数．(9，3)，(4，2)，(2，6)，(6，8)，(5，7)，(1，9)处左右两个数的乘积为27，8，12，48，35，9．

【答案】27，8，12，48，35，9

【例16】六位数2008□□能被99整除，□□是多少？

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】填空

【解析】

【解析】方法一：200008被99除商2020余28，所以0028+ 能被99整除，商72时，99727128?=，末两位是28，所以为71；方法二：99911=?，2008 能被99整除，所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数字的和只

能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5，可得是71.

方法三：根据一个数能被99

整除的特点知道：

208=28+++是99倍数，所以=9928=71

-【答案】71【巩固】六位2004□□能被99整除，这个六位数是。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】填空

【关键词】走美杯，决赛，5年级，决赛，第3题，10分【解析】令整个六位数为2004a b ，则24+a b 必然是99的倍数，所以a =5,b =7。则这个六位数为520047。

【答案】520047

【巩固】六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是

。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】填空

【关键词】希望杯，五年级，复赛，第3题，4分

【解析】试除法200399÷99=2024 23，所以最后两位是99-23=76。

【答案】76【巩固】已知九位数2007122□

□既是9的倍数，又是11的倍数；那么，这个九位数是多少？【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】填空

【关键词】2008年，迎春杯，六年级，初赛，试题

【解析】

【解析】方法一：设原数2007122=a b ，∵9|2007122a b ?4+=a b 或者13+=a b ，∵11|2007122a b ?20+++a 22+-(071+++b )0=或者(071+++b )(2202)-++++a 11=?2-=a b 或者

9-=b a 根据两数和差同奇偶，得：42+=??-=?a b a b ?31=??=?a b 或者139+=??-=?a b b a ?211=??=?

a b 不成立.所以，2007122a b 200731212=.

方法二：根据一个数能被99整除的特点知道若想2007122□□能被99整除，则207122

++++必能被99整除，列竖式分析得20731212++++才满足，所以答案为200731212

【答案】200731212

【例17】将自然数1，2，3，4……依次写下去，若最终写到2000，成为12319992000 ，那么这个自然数

除以99余几？

【考点】整除之3、9、99系列【难度】3星【题型】解答

【解析】由于99911=?，可以分别求这个数除以9和11的余数，进而求出它除以99的余数．实际上求得这

个数除以9和11的余数均为3，所以这个数减去3后是9和11的倍数，那么也是99的倍数，所以

这个数除以99的余数为3．

下面介绍另一种解法．

由于10099=+a a a ，所以100a 除以99的余数等于a 除以99的余数．同样，10000a ，1000000a ……

等数除以99的余数等于a 除以99的余数．可知，一个自然数a ，如果在它后面加上偶数个0，那么这个数除以99的余数等于a 除以99的余数．根据这一点，可以把12319992000 分成若干个后面带

有偶数个0的数之和．由于12319992000 的位数是奇数，那么对于组成12319992000 的一位数1，2，3，……，9，可以分成10000 ，230000 ，450000 ，670000 ，890000 ；对于其中的

两位数10，11，12，......，98，99，可以分成100000 ，110000 ，120000 ，......，980000 ，990000 ；对于其中的三位数100，101，102，103，......，998，999，两两一组，可以分成1001010000 ，1021030000 ，1041050000 ，......，9989990000 ；对于其中的四位数1000，1001， (1999)

2000，可以分成10000000 ，10010000 ，10020000 ，……，19990000，2000．那么上面分成

的所有数中，虽然每个数后面的0的个数互不相同，但都是偶数个，且它们的和恰好为

12319992000 ，那么12319992000 除以99的余数就等于分成的这些数除以99的余数的和．由于

这些数除以99的余数分别为1，23，45，67，89；10，11，12，……，98，99；100101，102103，

104105，……，998999；1000，1001，……，1999，2000，而其中100101，102103，104105，……，998999是公差为2002的等差数列，共450项，可知所有这些余数的和为：

()()()(

)12345678910111299100101102103998999100010012000+++++++++++++++++ ()()()225109990210010199899945021000200010012

=++?÷++?÷++?÷22549052472975001501500=+++248804130=，

而248804130除以99的余数等于248804130201++++=除以99的余数，为3．所以12319992000 除以99的余数为3．【答案】3

【例18】一个五位数恰好等于它各位数字和的2007倍，则这个五位数是．

【考点】整除之3、9、99系列【难度】4星【题型】填空

【关键词】迎春杯，五年级,初赛，第6题

【解析】因为2007是9的倍数，所以，这个五位数一定是9的倍数，那么它的各位数字和一定是9的倍数．由

于五位数的各位数字之和最大为45，所以，可以从9、18、27、36、45进行试值．

如果数字和为9，那么这个五位数为9200718063?=，然而18063各位数字之和不为9，所以此时不

成立；

如果数字和为18，那么这个五位数为182********?=，36126各位数字之和为18，所以此时成立；

如果数字和为27，那么这个五位数为27200754189?=，54189各位数字之和为27，所以此时成立；如果数字和为36，那么这个五位数为36200772252?=，然而72252各位数字之和不为36，所以此

时不成立；如果数字和为45，那么这个五位数为45200790315?=，然而90315各位数字之和不为

45，所以此时不成立；综上可知，这个五位数为36126或54189．

【答案】36126或54189

【例19】207，2007，20007，等首位是2，个位是7，中间数字全部是0的数字中，能被27整除而不

被81整除的最小数是。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】4星【题型】填空

【关键词】走美杯，4年级，决赛，第6题，10分

【解析】2020007922223???÷=??? n n 个个，也就是要求出2

22223??? n 个能被3整除但不能被9整除的最小数是多少，该数的各位数字之和为23+n ，当6=n 时，满足条件，也就是最小数是20000007。

【答案】20000007

【例20】一个收银员下班前查账时发现：现金比账面记录少了153元，她知道实际收钱不会错，只能是记账

时有一个数点错了小数点，那么记错的那笔帐实际收到的现金是__________元。

【考点】整除之3、9、99系列【难度】4星【题型】填空

【关键词】希望杯，六年级，初赛，第18题，6分

【解析】说明账面比现金小数点右移了，若右移1位，则增加9位，恰好153917÷=，若右移了2位，则增

加99倍，但153不是99的倍数，所以现金17元。

【答案】17

小学数学奥数习题-整除通用版

整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b，商是整数且余数为0，我们就说a能被b整除，或b能整除a，或b整除a，记作b丨a.此时，b是a的一个因数（约数），a是b的倍数. 1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除，那么a+b，a-b也都能被m整除（这里设a>b）. 例如：3丨18，3丨12，那么3丨（18+12），3丨（18-12）. 性质2如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。例如： 3丨6，6丨24，那么3丨24. 性质3如果a能同时被m、n整除，那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除. 例如：6丨36，9丨26，6和9的最小公倍数是18，18丨36. 如果两个整数的最大公约数是1，那么它们称为互质的. 例如：7与50是互质的，18与91是互质的. 性质4整数a，能分别被b和c整除，如果b与c互质，那么a能被b×c整除. 例如：72能分别被3和4整除，由3与4互质，72 能被3与4的乘积12整除. 性质4中，“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除，但不能被乘积48整除，这就是因为6与8不互质，6与8的最大公约数是2. 性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质，它们的最小公倍数是b×c.事实上，根据性质4，我们常常运用如下解题思路：要使a被b×c整除，如果b与c互质，就可以分别考虑，a被b整除与a被c整除. 能被2，3，4，5，8，9，11整除的数都是有特征的，我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题. 2.数的整除特征（1）能被2整除的数的特征：如果一个整数的个位数是偶数，那么它必能被2整除. （2）能被5整除的数的特征：如果一个整数的个位数字是0或5，那么它必能被5整除. （3）能被3（或9）整除的数的特征：如果一个整数的各位数字之和能被3（或9）整除，那么它必能被3（或9）整除.

数的整除练习题及答案

数的整除练习题及答案 1. 在自然数里，最小的质数是（），最小的合数是（），最小的奇数是（），最小的自然数是（）。 2. 在1，2，9这三个数中，（）既是质数又是偶数，（）既是合数又是奇数，（）既不是质数也不是合数。 3. 10能被0.5（），10能被5（）。 4. a÷b=4（a，b都是非0自然数），a是b的（）数，b是a的（）数。 5. 自然数a的最小因数是（），最大因数是（），最小倍数是（）。 6. 20以内不是偶数的合数有（），不是奇数的质数有（）。 7. 同时是2，3，5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。 8. 18和30的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 9. 102分解质因数是（）。 10. 数a和数b是互质数，它们的最小公倍数是最大公因数的（）倍。 11. 在1到10之间的十个数中，（）和（）这两个数既是合数又是互质数；（）和（）这两个数既是奇数又是互质数；（）和（）这两个数既是质数又是互质数；（）和（）这两个数一个是质数，一个是合数，它们是互质数。 12. 在6，9，15，32，45，60这六个数中，3的倍数的数是（）；含有因数5的数是（）；既是2的倍数又是3的倍数的数是（）；同时是3和5的倍数的数是（）。 13. 28的因数有（），50以内13的倍数有（）。 14. 一位数中，最大的两个互质合数的最小公倍数是（）。 15. 在自然数中，最小的质数与最小的奇数的和是（），最小的合数与最小的自然数的差是（）。 16. 256 的分数单位是（），它减少（）个这样的分数单位是最小的质数，增加（）个这样的分数单位是最小的合数。 17. 493至少增加（）才是3的倍数，至少减少（）才有因数5，至少增加（）才是2的倍数。 18. 把4.87的小数点向左移动三位，再向右移动两位后，这个数是（）。 19. 一个最简真分数的分子是质数，分子与分母的积是48，这个最简真分数是（）。 20. A=2×2×3×7，B=2×2×2×7，A和B的最大公因数是（），最小公倍数是（）。 21. 一个数的最大因数是36，这个数是（），把它分解质因数是（）。 22. 三个质数的最小公倍数是231，这三个质数是（），（），（）。 23. 从0，2，3，6，8和5这六个数中选四个数，组成的同时是2，3，5的倍数的最大四位数是（）。

六年级奥数6、整除及数字整除特征

6、整除及数字整除特征【数字整除特征】例1 42□28□是99的倍数，这个数除以99所得的商是__。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：能被99整除的数，一定能被9和11整除。设千位上和个位上分别填上数字a、b，则：各位上数字之和为[16+（a+b）]。要使原数能被9整除，必须使[16+（a+b）]是9的倍数，即（a+b）之和只能取2或11。又原数奇位上的数字和减去偶位上数字和的差是（8+a-b）或（b-a-8），要使原数能被11整除，必须使（8+a-b）或（b-a-8）是11的倍数。经验证，（b-a-8）是11的倍数不合。所以a-b=3。又a+b=2或11，可求得a=7，b=4。从而很容易求出商为427284÷99=4316。例2 某个七位数1993□□□能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是__。（1993年全国小学数学奥林匹克初赛试题）讲析：因为2、3、4、5、6、7、8、9的最小公倍数是2520。而1993000÷2520=790余2200。于是再加上（2520-2200）=320时，就可以了。所以最后三位数字依次是3、2、0。例3 七位数175□62□的末位数字是__的时候，不管千位上是0到9中的哪一个数字，这个七位数都不是11的倍数。（上海市第五届小学数学竞赛试题）讲析：设千位上和个位上的数字分别是a和b。则原数奇位上各数字和与偶位上各数字之和的差是[3+（b-a）]或[（a-b）-3]。要使原数是11的倍数，只需[3+（b-a）]或[（a-b）-3]是11的倍数。则有 b-a=8，或者a-b=3。 ①当 b-a=8时，b可取9、8； ②当 a-b=3时，b可取6、5、4、3、2、1、0。

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析 (2)

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析(2).DOC 数的整除问题;内容丰富;思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题;也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5;63÷7=9 一般地;如a、b、c为整数;b≠0;且a÷b=c;即整数a除以整除b（b不等于0）;除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）;我们就说;a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则;称为a不能被b整除;（或b不能整除a）;记作ba。如果整数a能被整数b整除;a就叫做b的倍数;b就叫做a的约数。例如：在上面算式中;15是3的倍数;3是15的约数;63是7的倍数;7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除;那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a;c｜b;那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10;2｜6;那么2｜（10＋6）; 并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a;那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a;那么b｜a;c｜a。性质3：如果b、c都能整除a;且b和c互质;那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a;c｜a;且（b;c）=1;那么bc｜a。例如：如果2｜28;7｜28;且（2;7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b;b能整除a;那么c能整除a。即：如果c｜b;b｜a;那么c｜a。例如：如果3｜9;9｜27;那么3｜27。 3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面;个位数字是偶数（包括0）的整数;必能被2整除;另一方面;能被2整除的数;其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

四年级奥数第一讲---数的整除问题

第一讲数的整除问题一、基本概念和知识： 1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。用符号“b| a”表示。 2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c 由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a 的因数（或约数），a是b（c）的倍数. 提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。练习：写出下面每个数的所有的因数： 1的因数：__________________； 7的因数：__________________； 2的因数：__________________； 8的因数：__________________； 3的因数：__________________； 9的因数：__________________； 4的因数：__________________； 10的因数：__________________；

5的因数：__________________； 11的因数：__________________； 6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________， 3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。（３）0和１既不是质数，也不是合数。、

六年级奥数第一讲数的整除

第一讲数的整除学生黄文浩学生年级六年级学科数学授课教师马老师上课日期2016年 9 月24 日时段核心容数的整除课型一对一教学目标 1.熟记2、5、3的倍数的特征。 2.灵活掌握8、9、11的倍数的特征。 3.综合运用所学知识灵活解决问题。重难点掌握2、5、3、8、9、11的倍数的特征，解决问题。【课首沟通】了解学生对2、5、3的倍数的特征的掌握情况；适当的向学生提出问题4、8、9、11的倍数的特征；引起学生的好奇心，激发学生学习探讨的兴趣。【知识导图】精准诊查

【课首小测】 1.人们口上经常所说的单数、双数是什么意思？（口述回答） 2.从下面四数字卡中取出三，按要求组成三位数。（有几个写几个）奇数：（）偶数：（） 2的倍数：（） 3的倍数：（） 5的倍数：（） 5的倍数：（）既是2又是3的倍数：（）【知识梳理】能被2整除的数：个位数是0、2、4、6、8。能被5整除的数：个位数是0或5。自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数导学一 2、5的倍数的特征 1.判断题。（1）两个奇数的和不一定是偶数。（）（2）个位上是0的数既是2的倍数，又是5的倍数。（） 2.填一填。（1）2的倍数中最小的三位数是（）；最大的三位数是（）。（2）5的倍数中最小的两位数是（）；最大的两位数是（）。（3）既是2的倍数又是5的倍数的最大的两位数是（）。奇数＋奇数＝偶数＋偶数＝奇数－奇数＝奇数＋偶数＝奇数×奇数＝奇数×偶数＝ 3.选择题（1）能被5整除的数，个位上是（）。

小学奥数干货-5-2-1 数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版

5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）教学目标 1.了解整除的性质； 2.运用整除的性质解题； 3.整除性质的综合运用. 知识点拨一、常见数字的整除判定方法 1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除； 2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除； 3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. 4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11 或13整除. 5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b 与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那么bd｜ac；例题精讲模块一、2、5系列

小学三年级奥数 19整除二

小学三年级奥数18整除二本教程共30讲第19讲能被3整除的数的特征上一讲我们讲了能被2，5整除的数的特征，根据这些特征，很容易就能判别出一个数是否能被2或5整除。同学们自然会问，有没有类似的简便方法，直接判断一个数能否被3整除？我们先具体观察一些能被3整除的整数： 18，345，4737，25674 18能被3整除，1+8=9也能被3整除； 345能被3整除，3+4+5=9也能被3整除； 4737能被3整除，4+7+3+7=21也能被3整除； 25674能被3整除，2+5+6+7+4=24也能被3整除。怎么这么巧？我们再试一个：7896852能被3整除，7+8+9+6+8+5+2=45也能被3整除。好了，不用再试了，同学们可能已经在想：“是不是所有能被3整除的数的各位数字的和都能被3整除？”结论是肯定的。它的一般性证明这里无法介绍，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。由99和9都能被3整除，推知(7×99+4×9)能被3整除。再由741能被3整除，推知(7+4+1)能被3整除；反之，由(7+4+1)能被3整除，推知741能被3整除。因此，判断一个整数能否被3整除的简便方法是：如果整数的各位数字之和能被3整除，那么此整数能被3整除。如果整数的各位数字之和不能被3整除，那么此整数不能被3整除。例1判断下列各数是否能被3整除： 2574，38974，587931。解：因为2+5+7+4=18，18能被3整除，所以2574能被3整除；因为3+8+9+7+4=31，31不能被3整除，所以38974不能被3整除；因为5+8+7+9+3+1=33，33能被3整除，所以587931能被3整除。

五年级奥数-数的整除

专题一数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题内容之一。一、基本概念和知识 1.整除例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a 能被b整除（或者说b能整除a） 7是63的约数。 2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a. 即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。 3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数. ②能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ③能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 ④能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 ⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是0或11的倍数。 ⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。例题1. 四位数“3AA1”是9的倍数，那么A=_____。（小五奥数）解析：已知四位数3AA1正好是9的倍数,则其各位数字之和3+A+A+1一定是9的倍数,可能是9的1倍或2倍,可用试验法试之。练习（1）在“25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除, 方格内应填_____。（小五奥数）练习（2）已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位_____。例题 2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____。解析：先求出1~100这100个数的和,再求100以内所有能被3整除的数的和,以上二和之差就是所有不能被3整除的数的和。 (1+2+3+…+100)-（3+6+9+12+…+99） =(1+100)÷2?100-(3+99)÷2?33 =5050-1683=3367 练习所有能被3整除的两位数的和是______。例题3. 能同时被2、3、5整除的最大三位数是_____。练习能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____。例题4. 173□是个四位数字，数学老师说：“我在这个□中先后填入3个数字, 所得到的3个四位数,依次可被9、11、6整除。”问：数学老师先后填入的3个

六年级下册数学讲义-小学奥数精讲精练：第十二讲整除问题(一)(无答案)全国通用

，第十二讲整除问题（一）在学习整数除法时，我们已经知道：被除数＝除数×商数＋余数这里要求除数不为零，且余数小于除数。当两个整数 a 和 b （b ≠0），a 被 b 除的余数为零时（商为整数），则称 a 被 b 整除或者 b 整除 a ，也把 a 叫作 b 的倍数，b 叫 4a 的约数，记作 b ｜a 。如果a 被b 除所得的余数不为零，则称a 不能被b 整除，或b 不整除a 很显然，1 是任何整数的约数，即对于任何整数 a ，总有 1|a ，0 是任何非零整数的倍数，a ≠0，a 为整数，则 a ｜0。一般来说，整数 a 是否能被整数 b 整除，只要真正作除法就可判断。但是对于一些特殊数，可以有比较简单的判断办法。一、数的整除的特征 1．前面我们已学过奇数与偶数，我们正是以能否被 2 整除来区分偶数与奇数的。因此，有下面的结论：末位数字为 0、2、4、6、8 的整数都能被 2 整除。偶数总可表为 2k ，奇数总可表为 2k ＋1（其中 k 为整数）。 2．末位数字为零的整数必被 10 整除。这种数总可表为 10k （其中 k 为整数）。 3．末位数字为 0 或 5 的整数必被 5 整除，可表为 5k （k 为整数）。

4．末两位数字组成的两位数能被4（25）整除的整数必被4（25）整除。如 1996＝1900＋96，因为 100 是 4 和 25 的倍数，所以 1900 是 4 和 25 的倍数，只要考察96 是否4 或25 的倍数即可。由于4｜96 能被 25 整除的整数，末两位数只可能是00、25、50、75。能被 4 整除的整数，末两位数只可能是00，04，08，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60，64，68，72，76，80，84，88，92，96，不可能是其它的数。 5．末三位数字组成的三位数能被8（125）整除的整数必能被8（125）整除。由于1000＝8×125，因此，1000 的倍数当然也是8 和125 的倍数。如判断765432 是否能被8 整除。因为765432＝765000＋432 显然8|765000，故只要考察8是否整除432即可。由于432＝8×54，即8|432，所以8|765432。能被 8 整除的整数，末三位只能是000，008，016，024，…984，992。由于125×1＝125，125×2＝250，125×3＝375；

小学奥数经典专题点拨：数的整除性规律

数的整除性规律【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。例如，1248621各位上的数字之和是 1+2+4+8+6+2+1=24 3｜24，则3｜1248621。又如，372681各位上的数字之和是 3+7+2+6+8+1=27 9｜27，则9｜372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。 43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜ 43586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。 214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即 7｜448，则7｜75523。

又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即 13｜221，则13｜1095874。再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即 11｜99，则11｜868967。此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。例如，4239235的奇数位上的数字之和为 4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11｜0，则11｜4239235。

六年级下册奥数试题数的整除特征(二)全国通用(含答案)

第2讲数的整除特征（二）知识网络上一章我们已经学习了被2、3、5、8、9、25、125等整除的数的特征和一些整除的基本性质，但作为奥林匹克竞赛仅仅掌握以上知识还不够，这一讲继续学习有关数的整除知识。（1）能被7、11和13整除的数的特征：如果一个数的末三位数字所表示的数与末三以前的数字所表示的差（一定要大数减小数）能被7、11或13整除，那么这个数就能被7、11或13整除。（2）能被11整除的数的特征还有：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。重点·难点同学们在牢记上面整除的数的特征的同时，重点应弄清楚能被7、11、13整除的数为什么有上面的特征。学法指导上面数的整除特征可以结合例子来理解。例如：443716，判断它能否被7、11、13整除的方法是：716－443=273。因为273能被7整除，所以443716能被7整除；因为273不能被11整除，所以443716不能被11整除；因为273能被13整除，所以443716能被13整除。记忆要理论联系实际。经典例题 [例1]用1、9、8、8这四个数字能排成几个被11除余8的四位数？思路剖析能被11整除的数的特征是这个数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除。一个数要能被11除余8，那么这样的数加上3后，就能被11整除了，于是得到被11除余8的数的特征是：将偶位数字相加得到一个和数，再将奇位数字相加再加上3，得到另一个和数，如果这两个和数之差能被11整除，那么这个数就是被11除余8的数。解答要把1、9、8、8排成被11除余8的四位数，可以把这四个数字分成两组，每组两个数字，其中一组作为千位和十位数，它们的和记作p，另外一组作为百位和个位数，它们之和加上3记作q，且p 和q的差能被11整除，满足要求的分组只可能是p=1+8=9，q=（9+8）+3=20，q－p=20－9=11，所以1988是被11除余8的四位数。如果一个数被11除余8，那么在奇位的任意两介数字互换，或者在偶位的任意两个数字互换，得到的新数被11除也余8，因此除1988外，还有1889、8918与8819共四个被11除余8的四位数。 [例2]如果下面这个41位数□能被7整除，那中间方格内的数字是几? 思路剖析对于数555555，由于555–555=0是7的倍数，根据能被7整除的数的特征，555555也能被7整除；同理999999也能被7整除，所以和也能被7整除，所以我们可以把这个41位数分成几个数的和，其中部分能被7整除。

小学奥数教程之数的整除

学习奥数的优点 1、激发学生对数学学习的兴趣，更容易让学生体验成功，树立自信。 2、训练学生良好的数学思维习惯和思维品质。要使经过奥数训练的学生，思维更敏捷，考虑问题比别人更深层次。 3、锻炼学生优良的意志品质。可以培养持之以恒的耐心和克服困难的信心，以及战胜难题的勇气。可以养成坚韧不拔的毅力 4、获得扎实的数学基本功，发挥创新精神和创造力的最大空间。数的整除学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位本讲是数论知识体系中的一个基石，整除知识点的特点介于“定性分析与定量计算之间”即本讲中的题型有定性分析层面的也有定量计算层面的，是很重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。本讲力求实现的一个核心目标是让孩子熟悉和掌握常见数字的整除判定特性，在这个基础上对没有整除判定特性的数字可以将其转化为几个有整除判定特性的数字乘积形式来分析其整除性质。另外一个难点是将数字的整除性上升到字母和代数式的整除性上，这个对与学生的代数思维是一个良好的训练也是一个不小的挑战。

知识梳理 1.常见数字的整除判定方法（1）. 一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；（2）. 一各位数数字和能被3整除，这个数就能比9整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；（3）. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除. （4）. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除. 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）注：在给学生讲解常见数字的判定性质时，要分系列来讲，例如有2系列，5系列，3系列和7,11,13系列，便于记忆。对于11的单独判定特性需要重点讲解。 2.整除性质性质1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．注：在理解这个性质时，我们要注意，反过来是不成立的，即两数的和(a+b)或差(a-b)能被c整除，这两个数不一定能被c整除．如5 ︱(26+24)，但526，524．可以引入下面的问题 2∣12，12∣36．2能否整除36？显然，回答是肯定的．这是因为36是12的倍数，12又是2的倍数，那么36一定是2的倍数．由此我们又可以得出：性质2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析

小学五年级奥数：数的整除知识点汇总+例题解析数的整除数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。一、基本概念和知识 1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9 一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b（b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则，称为a不能被b整除，（或b不能整除a），记作ba。如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a 的约数。例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。

2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c 的积能整除a。即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1, 那么（2×7）｜28。性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。

3.数的整除特征 ①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。 ②能被5整除的数的特征：个位是0或5。 ③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。 ④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。例如：1864=1800＋64，因为100是4与25的倍数，所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64，所以1864能被4整除.但因为2564，所以1864不能被25整除. ⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。例如：29375＝29000＋375，因为1000是8与125的倍数，所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375，所以29375能被125整除.但因为8375，所以829375。

奥数数的整除讲义及答案

数的整除（1）性质、特征、奇偶性教室：姓名：学号：【知识要点】：整除性质：（1）如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差（a－b）也能被c整除。（2）如果数a能被自然数b整除，自然数b能被自然数c整除，则数a必能被数c整除。（3）若干个数相乘，如其中有一个因数能被某一个数整除，那么，它们的积也能被这个数整除。（4）如果一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么，这个数能被这两个互质数的积整除。反之，若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数能分别被这两个互质数整除。整除特征：（1）若一个数的末两位数能被4（或25）整除，则这个数能被4（或25）整除。（2）若一个数的末三位数能被8（或125）整除，则这个数能被8（或125）整除。（3）若一个数的各位数字之和能被3（或9）整除，则这个数能被3（或9）整除。（4）若一个数的奇数位数字和与偶数数字和之差（以大减小）能被11整除，则这个数能被11整除。（5）若一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）能被7（或13）整除，则这个数能被7（或13）整除。奇偶性：（1）奇数±奇数=偶数（2）偶数±偶数=偶数（3）奇数±偶数=奇数（4）奇数×奇数=奇数（5）偶数×偶数=偶数（6）奇数×偶数=偶数（7）奇数÷奇数=奇数（8）…【典型例题】例1：一个三位数能被3整除，去掉它的末尾数后，所得的两位数是17的倍数，这样的三位数中，最大是几？解：在两位数中，是17的倍数的数中最大的为17×5=85（17×6=102）.于是所求数的前两位数字为85.因为8+5=13，故所求数的个位数字为2、5、8时，该数能被3整除，为使该数最大，其个位数字应为8.最大三位数是858. 例2：1～200这200个自然数中，能被6或8整除的数共有多少个？解：1～200中，能被6整除的数共有33个（200÷6=33…），能被8整除的数共有25个（200÷8=25）.但［6，8］=24，200÷24=8……8，即1～200中，有8个数既被6整除，又被8整除。故总共有：33+25－8=50。

2019-2020年小学奥数六年级《数的整除性规律》经典专题点拨教案

2019-2020年小学奥数六年级《数的整除性规律》经典专题点拨教案【能被2或5整除的数的特征】（见小学数学课本，此处略）【能被3或9整除的数的特征】一个数，当且仅当它的各个数位上的数字之和能被3和9整除时，这个数便能被3或9整除。例如，1248621各位上的数字之和是 1+2+4+8+6+2+1=24 3｜24，则3｜1248621。又如，372681各位上的数字之和是 3+7+2+6+8+1=27 9｜27，则9｜372681。【能被4或25整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末两位数能被4或25整除时，这个数便能被4或25整除。例如，173824的末两位数为24，4｜24，则4｜173824。 43586775的末两位数为75，25｜75，则25｜ 43586775。【能被8或125整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字为0，或者末三位数能被8或125整除时，这个数便能被8或125整除。例如，32178000的末三位数字为0，则这个数能被8整除，也能够被125整除。 3569824的末三位数为824，8｜824，则8｜3569824。 214813750的末三位数为750，125｜750，则125｜214813750。【能被7、11、13整除的数的特征】一个数，当且仅当它的末三位数字所表示的数，与末三位以前的数字所表示的数的差（大减小的差）能被7、11、13整除时，这个数就能被7、11、13整除。

例如，75523的末三位数为523，末三位以前的数字所表示的数是75，523-75=448，448÷7=64，即 7｜448，则7｜75523。又如，1095874的末三位数为874，末三位以前的数字所表示的数是1095，1095-874=221，221÷13=17，即 13｜221，则13｜1095874。再如，868967的末三位数为967，末三位以前的数字所表示的数是868，967-868=99，99÷11=9，即 11｜99，则11｜868967。此外，能被11整除的数的特征，还可以这样叙述：一个数，当且仅当它的奇数位上数字之和，与偶数位上数字之和的差（大减小）能被11整除时，则这个数便能被11整除。例如，4239235的奇数位上的数字之和为 4+3+2+5=14，偶数位上数字之和为2+9+3=14，二者之差为14-14=0，0÷11=0，即11｜0，则11｜4239235。附送： 2019-2020年小学奥数六年级《数的组成》经典专题点拨教案【数字组数】例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。（1990年全国小学数学奥林匹克决赛试题）

完整版六年级奥数数论综合

第19讲数论综合知识点精讲特殊数的整除特征 1. 尾数判断法 1) 能被2整除的数的特征： 2) 能被5整除的数的特征： 3) 能被4 (或25)整除的数的特征： 4) 能被8 (或125)整除的数的特征： 2. 数字求和法： 3. 99的整除特性： 4. 奇偶位求差法： 5. 三位截断法：特别地：7X11X13=1001, abcabc=abcX1001 二、多位数整除问题技巧：1>目的是使多位数变短”途径是结合数的整除特征和整除性质 2>对于没有整除特性的数，利用竖式解决。三、质数合数 1. 基本定义【质数】一一【合数】一一注：自然数包括0、1、质数、合数. 【质因数】一一【分解质因数】一一用短除法和分拆相乘法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。分解质因数的标准表示形式：N=a1Xa2Xa3X X n,其中a1、a2、a3 an都是合数N的质因数，且

a 1

【互质数】【偶数】【奇数】 2. 质数重要性质 1）100以内有25个质数： 2）除了2和5，其余的质数个位数字只能是： 3）1既不是质数，也不是合数 4）在质数中只有2是偶数，其他质数都是奇数 5）最小的质数是2?最小的奇质数是3 6）有无限多个 3. 质数的判断： 1）定义法：判断整除性 2）熟记100以内的质数 3）平方判断法：例如：对2011,首先442<2011<452,然后用1至44中的全部质数去除2011，即可叛断出2011为质数.

4. 合数 1）无限多个 2）最小的合数是4 3）每个合数至少有三个约数 5. 互质数 1）什么样的两个数- -定是互质数？注意：分解质因数是指一个合数写成质因数相乘的形式21=3 7,不能写成：3 7=21. 6. 偶数和奇数 1） 2）偶数；个位数字是1,3,5,7,9的数是奇数 3） 4）数是他们乘积的一半 5）?因此，要分解的合数应写在等号左边，如： 0属于偶数十进制中，个位数字是0,2,4,6,8的数是除2外所有的正偶数均为合数相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍奇±奇=偶偶±禺=偶偶埼=奇