小学奥数干货-5-2-1 数的整除之四大判断法综合运用(一).教师版
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
生一个 0，而 75 乘以偶数可以产生 2 个 0，50 中的因数 5 乘以偶数又可以产生 1 个 0，所以一共有 7 4 2 1 14 个 0． 【答案】14 个连续的 0
【例 3】 把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最 后出现的自然数最小应该是多少？
【例 9】 一个六位数 2口口727 被 3 除余 l，被 9 除余 4，这个数最小是 。 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 2 题，8 分 【解析】被 9 除余 4 的数被 3 除必余 1，所以只需考虑被 9 除余 4 这个条件。这个数各个数位上的数字之和
【答案】 1wk.baidu.com
【例 11】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差
一定能被 9 整除. 【考点】整除之 3、9、99 系列 【解析】略
【难度】2 星
【题型】解答
【答案】设原来的两位数为 ab ，则新的两位数为 ba . ba － ab (10b a) (10a b) 9(b a) .因为 9(b a) 能
【例 4】 11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的平均数是多少？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为 343 73 ，由于在 11 个连续的两位数中，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须
是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98．又因为乘积的末 4 位都是 0，所以这连续的 11 个自然数至少应 该含有 4 个因数 5．连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍 数，所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75．所以这 11 个数中应同时有 49 和 50，且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， 它们的平均数即为它们的中间项 45． 【答案】45
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的，有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零．由
于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观 察因数 5 的个数就可以了．5 5 1 ，10 5 2 ，15 5 3 ，20 5 4 ，25 5 5 ，30 5 6 ，……， 发现只有 25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55 时共出现11 2 13 个因 数 5，所以至少应当写到 55。 【答案】55
除以 9 应余 4。所以框里面最小是 04，六位数为：204727. 【答案】 204727
【例 10】连续写出从 1 开始的自然数，写到 2008 时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008， 请说明：这个多位数除以 3，得到的余数是几？为什么？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 15 题
【例 8】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □ 是 9 的倍数. 请随便填出一种，并检查 自己填的是否正确。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □ 3 2 □是 9 的倍数，而 4 3 2 9,
【例 5】 201 202 203 300 的结果除以 10 ，所得到的商再除以10 ……重复这样的操作，在第____ 次除以10 时，首次出现余数.
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 7 题 【解析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的 0 .0 由 5 和 2 相乘得到，最关键在于有多少个 5.
性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那
么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
5-2-1.数的整除之四大判断法 综合运用（一）
教学目标
1. 了解整除的性质； 2. 运用整除的性质解题； 3. 整除性质的综合运用.
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；
【例 6】 用 1～9 这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是 4 的倍数。这三个三位数中最 小的一个最大是 。
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 8 题，10 分 【解析】三个数都是 4 的倍数，个位必然都是偶数。当个位是 2 或 6 时，十位是奇数，当个位是 4 或 8 时，
所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为 4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数， 所以 43326 是 9 的倍数。 【答案】43326（答案不唯一）
【巩固】若 9 位数 2008 □ 2008 能够被 3 整除，则 □ 里的数是__________ 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，2 题 【解析】根据题目知:20+□ 是 3 的倍数,所以 □ 里填 1 或 4 或 7. 【答案】1或 4 或 7
能整除 1 次 5 的数有 205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285， 290，295 共 16 个，会乘出 16 个连续的 0； 能整除 2 次 5 的数有 225，275，300 共三个，会乘出 6 个连续的 0； 能整除 3 次 5 的数有 250，会乘出 3 个连续的 0。 所以共有16 6 3 25 个连续的 0，则能整除 25 次 10，第 26 次首次出现余数。 【答案】 26 次
【答案】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可. bcd 100b 10c d ，有 bcd (4b 2c d ) 96b 8c 8(12b c) 能被 8 整除，而 4b 2c d 32 也能被 8 整除，所以 abcd 能 被 8 整除.
模块二、3、9、99 系列
972 2 2 243 ，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是 2 2 5 20 ． 【答案】 2 2 5 20
【例 2】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0．其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产
与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac；
教师版
page 2 of 6
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
注：另两个三位数可以是 912，736 或 932，716 或 916，732 或 936，712。 【答案】 584
【例 7】 若 4b 2c d 32 ，试问 abcd 能否被 8 整除?请说明理由． 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略
被 9 整除，所以它们的差能被 9 整除.
【例 12】1234567891011121314…20082009 除以 9，商的个位数字是_________ 。 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
教师版
page 3 of 6
【解析】因为连续 3 个自然数可以被 3 整除，而且最后一个自然数都是 3 的倍数，因为 2007 是 3 的倍数，所以 12345678910112007 是 3 的倍数，又因为 123456789101120072008 1234567891011200700 00 2007 1 ，所以 123456789101120072008 除以 3 ，得到的余数是1。
例题精讲
模块一、2、5 系列
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
教师版
page 1 of 6
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
【例 1】 975 935 972 □ ，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 5．975 5 5 39 ，935 5 187 ，
2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11
十位是偶数。因为 1～9 中只有 4 个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是 2 和 6，另一个的后两 位是 84 或 48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是 5，(另两个分别是 9 和 7)。9 已被百位占用，十位最大的是 8，所以三个三位数中最小的一个最大是 584。
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)．
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 5 题 【解析】 首先看这个多位数是否能为 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少。由于任意连续的 9 个自
然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么把这 9 个数连起来写，所得到 的数也能被 9 整除。由于 2009 9 2232 ，所以 1234567891011121314…20082009 这个数除以 9 的余数等于 20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 1234567891011121314…20082009 除以 9 的商，等于这个数减去 3 后除以 9 的商，即 1234567891011121314…20082006 除以 9 的商，那么 很容易判断商的个位数字为 4。 【答案】 4
【例 3】 把若干个自然数 1、2、3、……连乘到一起，如果已知这个乘积的最末十三位恰好都是零，那么最 后出现的自然数最小应该是多少？
【例 9】 一个六位数 2口口727 被 3 除余 l，被 9 除余 4，这个数最小是 。 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，4 年级，决赛，第 2 题，8 分 【解析】被 9 除余 4 的数被 3 除必余 1，所以只需考虑被 9 除余 4 这个条件。这个数各个数位上的数字之和
【答案】 1wk.baidu.com
【例 11】试说明一个两位数，如果将个位数字和十位数字对调后得到一个新的两位数，则新数与原数的差
一定能被 9 整除. 【考点】整除之 3、9、99 系列 【解析】略
【难度】2 星
【题型】解答
【答案】设原来的两位数为 ab ，则新的两位数为 ba . ba － ab (10b a) (10a b) 9(b a) .因为 9(b a) 能
【例 4】 11 个连续两位数的乘积能被 343 整除，且乘积的末 4 位都是 0，那么这 11 个数的平均数是多少？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】因为 343 73 ，由于在 11 个连续的两位数中，至多只能有 2 个数是 7 的倍数，所以其中有一个必须
是 49 的倍数，那就只能是 49 或 98．又因为乘积的末 4 位都是 0，所以这连续的 11 个自然数至少应 该含有 4 个因数 5．连续的 11 个自然数中至多只能有 3 个是 5 的倍数，至多只能有 1 个是 25 的倍 数，所以其中有一个必须是 25 的倍数，那么就只能是 25、50 或 75．所以这 11 个数中应同时有 49 和 50，且除 50 外还有两个是 5 的倍数，只能是 40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50， 它们的平均数即为它们的中间项 45． 【答案】45
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】乘积末尾的零的个数是由乘数中因数 2 和 5 的个数决定的，有一对 2 和 5 乘积末尾就有一个零．由
于相邻两个自然数中必定有一个是 2 的倍数，而相邻 5 个数中才有一个 5 的倍数，所以我们只要观 察因数 5 的个数就可以了．5 5 1 ，10 5 2 ，15 5 3 ，20 5 4 ，25 5 5 ，30 5 6 ，……， 发现只有 25、50、75、100、……这样的数中才会出现多个因数 5，乘到 55 时共出现11 2 13 个因 数 5，所以至少应当写到 55。 【答案】55
除以 9 应余 4。所以框里面最小是 04，六位数为：204727. 【答案】 204727
【例 10】连续写出从 1 开始的自然数，写到 2008 时停止，得到一个多位数：1234567891011……20072008， 请说明：这个多位数除以 3，得到的余数是几？为什么？
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，四年级，复赛，第 15 题
【例 8】 在方框中填上两个数字，可以相同也可以不同，使 4□ 32 □ 是 9 的倍数. 请随便填出一种，并检查 自己填的是否正确。
【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】一个数是 9 的倍数，那么它的数字和就应该是 9 的倍数，即 4 □ 3 2 □是 9 的倍数，而 4 3 2 9,
【例 5】 201 202 203 300 的结果除以 10 ，所得到的商再除以10 ……重复这样的操作，在第____ 次除以10 时，首次出现余数.
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】5 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 7 题 【解析】本题其实为求原式结果末尾有多少个连续的 0 .0 由 5 和 2 相乘得到，最关键在于有多少个 5.
性质 2 如果数 a 能被数 b 整除，b 又能被数 c 整除，那么 a 也能被 c 整除．即如果 b∣a， c∣b，那么 c∣a．
用同样的方法，我们还可以得出： 性质 3 如果数 a 能被数 b 与数 c 的积整除，那么 a 也能被 b 或 c 整除．即如果 bc∣a，那
么 b∣a，c∣a． 性质 4 如果数 a 能被数 b 整除，也能被数 c 整除，且数 b 和数 c 互质，那么 a 一定能被 b
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
5-2-1.数的整除之四大判断法 综合运用（一）
教学目标
1. 了解整除的性质； 2. 运用整除的性质解题； 3. 整除性质的综合运用.
知识点拨
一、常见数字的整除判定方法
1. 一个数的末位能被 2 或 5 整除，这个数就能被 2 或 5 整除； 一个数的末两位能被 4 或 25 整除，这个数就能被 4 或 25 整除； 一个数的末三位能被 8 或 125 整除，这个数就能被 8 或 125 整除；
【例 6】 用 1～9 这九个数字组成三个三位数(每个数字都要用)，每个数都是 4 的倍数。这三个三位数中最 小的一个最大是 。
【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，决赛，5 年级，决赛，第 8 题，10 分 【解析】三个数都是 4 的倍数，个位必然都是偶数。当个位是 2 或 6 时，十位是奇数，当个位是 4 或 8 时，
所以只需要两个方框中的数的和是 9 的倍数．依次填入 3、6，因为 4 3 3 2 6 18 是 9 的倍数， 所以 43326 是 9 的倍数。 【答案】43326（答案不唯一）
【巩固】若 9 位数 2008 □ 2008 能够被 3 整除，则 □ 里的数是__________ 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】1 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，4 年级，初赛，2 题 【解析】根据题目知:20+□ 是 3 的倍数,所以 □ 里填 1 或 4 或 7. 【答案】1或 4 或 7
能整除 1 次 5 的数有 205，210，215，220，230，235，240，245，255，260，265，270，280，285， 290，295 共 16 个，会乘出 16 个连续的 0； 能整除 2 次 5 的数有 225，275，300 共三个，会乘出 6 个连续的 0； 能整除 3 次 5 的数有 250，会乘出 3 个连续的 0。 所以共有16 6 3 25 个连续的 0，则能整除 25 次 10，第 26 次首次出现余数。 【答案】 26 次
【答案】由能被 8 整除的特征知，只要后三位数能被 8 整除即可. bcd 100b 10c d ，有 bcd (4b 2c d ) 96b 8c 8(12b c) 能被 8 整除，而 4b 2c d 32 也能被 8 整除，所以 abcd 能 被 8 整除.
模块二、3、9、99 系列
972 2 2 243 ，共有 3 个 5，2 个 2，所以方框内至少是 2 2 5 20 ． 【答案】 2 2 5 20
【例 2】 从 50 到 100 的这 51 个自然数的乘积的末尾有多少个连续的 0？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】首先，50、60、70、80、90、100 中共有 7 个 0．其次，55、65、85、95 和任意偶数相乘都可以产
与 c 的乘积整除．即如果 b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么 bc∣a． 例如：如果 3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4) ∣12． 性质 5 如果数 a 能被数 b 整除，那么 am 也能被 bm 整除．如果 b｜a，那么 bm｜am（m 为非 0 整数）； 性质 6 如果数 a 能被数 b 整除，且数 c 能被数 d 整除，那么 ac 也能被 bd 整除．如果 b｜a ，且 d｜c ，那 么 bd｜ac；
教师版
page 2 of 6
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
注：另两个三位数可以是 912，736 或 932，716 或 916，732 或 936，712。 【答案】 584
【例 7】 若 4b 2c d 32 ，试问 abcd 能否被 8 整除?请说明理由． 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】4 星 【题型】解答 【解析】略
被 9 整除，所以它们的差能被 9 整除.
【例 12】1234567891011121314…20082009 除以 9，商的个位数字是_________ 。 【考点】整除之 3、9、99 系列 【难度】3 星 【题型】填空
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
教师版
page 3 of 6
【解析】因为连续 3 个自然数可以被 3 整除，而且最后一个自然数都是 3 的倍数，因为 2007 是 3 的倍数，所以 12345678910112007 是 3 的倍数，又因为 123456789101120072008 1234567891011200700 00 2007 1 ，所以 123456789101120072008 除以 3 ，得到的余数是1。
例题精讲
模块一、2、5 系列
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
教师版
page 1 of 6
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
【例 1】 975 935 972 □ ，要使这个连乘积的最后 4 个数字都是 0，那么在方框内最小应填什么数？ 【考点】整除之 2、5 系列 【难度】2 星 【题型】填空 【解析】积的最后 4 个数字都是 0，说明乘数里至少有 4 个因数 2 和 4 个因数 5．975 5 5 39 ，935 5 187 ，
2. 一个位数数字和能被 3 整除，这个数就能被 3 整除； 一个数各位数数字和能被 9 整除，这个数就能被 9 整除；
3. 如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被 11 整除，那么这个数能被 11 整除. 4. 如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被 7、11 或 13 整除，那么这个数能被 7、11
十位是偶数。因为 1～9 中只有 4 个偶数，所以三个数中有两个的个位分别是 2 和 6，另一个的后两 位是 84 或 48。因为三个数的百位都是奇数，所以最小的三位数的百位最大是 5，(另两个分别是 9 和 7)。9 已被百位占用，十位最大的是 8，所以三个三位数中最小的一个最大是 584。
5-2-1.数的整除之四大判断法综合运用（一）.题库
或 13 整除. 5.如果一个数能被 99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个
数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是 99 的倍数，这个数一定 是 99 的倍数。 【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）
二、整除性质
性质 1 如果数 a 和数 b 都能被数 c 整除，那么它们的和或差也能被 c 整除．即如果 c︱a， c︱b，那么 c︱(a±b)．
请关注公众号小学奥数教程获取学生&教师完整版 奥数 qq 群 702534761；微信号：jiaxin0739
【关键词】走美杯，初赛，六年级，第 5 题 【解析】 首先看这个多位数是否能为 9 整除，如果不能，它除以 9 的余数为多少。由于任意连续的 9 个自
然数的和能被 9 整除，所以它们的各位数字之和能被 9 整除，那么把这 9 个数连起来写，所得到 的数也能被 9 整除。由于 2009 9 2232 ，所以 1234567891011121314…20082009 这个数除以 9 的余数等于 20082009（或者 12）除以 9 的余数，为 3.那么 1234567891011121314…20082009 除以 9 的商，等于这个数减去 3 后除以 9 的商，即 1234567891011121314…20082006 除以 9 的商，那么 很容易判断商的个位数字为 4。 【答案】 4