【专项训练】-初二数学-_手拉手_模型(等边三角形)
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【例1】（2017秋•垦利区期中）如图，已知点B 、C 、D 在同一条直线上，ABC Δ和CDE Δ都是等边三角形．BE 交AC 于F ，AD 交CE 于H ．
（1）求证：BCE ACD Δ≅Δ；
（2）求证：//FH BD ．
【解答】证明：（1）ABC ΔQ 和CDE Δ都是等边三角形，
BC AC ∴=，CE CD =，60BCA ECD ∠=∠=°，
BCA ACE ECD ACE ∴∠+∠=∠+∠，即BCE ACD ∠=∠，
∴在BCE Δ和ACD Δ中，
Q BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BCE ACD ∴Δ≅Δ ()SAS ．
（2）由（1）知BCE ACD Δ≅Δ，
则CBF CAH ∠=∠，BC AC
=又ABC ΔQ 和CDE Δ都是等边三角形，且点B 、C 、D 在同一条直线上，
18060ACH ACB HCD BCF ∴∠=°−∠−∠=°=∠，
在BCF Δ和ACH Δ中，
Q CBE CAH BC AC BCF ACH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
，
BCF ACH ∴Δ≅Δ ()ASA ，
CF CH ∴=，
又60FCH ∠=°Q ，
“手拉手”模型の专项训练
一、经典例题
CHF ∴Δ为等边三角形
60FHC HCD ∴∠=∠=°，
//FH BD ∴．
【点评】本题考查的是等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题的关键．
1．（2019春•浦东新区期末）等边ABC Δ中，点P 在ABC Δ内，点Q 在ABC Δ外，且 ABP ACQ ∠=∠，BP CQ =，问APQ Δ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
2．（2016秋•岳池县期末）如图，等边ABC Δ中，点D 在延长线上，CE 平分ACD ∠，且 CE BD =．说明：ADE Δ是等边三角形．
二、巩固练习
3．（2016秋•武夷山市校级期中）如图ABC Δ是等边三角形
（1）如图①，//DE BC ，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：ADE Δ是等边三角形；
（2）如图②，ADE Δ仍是等边三角形，点B 在ED 的延长线上，连接CE ，判断BEC ∠的度 数及线段AE 、BE 、CE 之间的数量关系，并说明理由．
16．（2016秋•大安市校级期中）如图，已知ABC Δ是等边三角形，D 是边AC 的中点，连 接BD ，EC BC ⊥于点C ，CE BD =．求证：ADE Δ是等边三角形．
1.【解答】解：APQ Δ为等边三角形． 证明：ABC ΔQ 为等边三角形，
AB AC ∴=．
在ABP Δ与ACQ Δ中，
Q AB AC ABP ACQ BP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABP ACQ SAS ∴Δ≅Δ．
AP AQ ∴=，BAP CAQ ∠=∠．
60BAC BAP PAC ∠=∠+∠=°Q ，
60PAQ CAQ PAC ∴∠=∠+∠=°， APQ ∴Δ是等边三角形．
2. 【解答】证明：ABC ΔQ 为等边三角形， 60B ACB ∴∠=∠=°，AB AC =， 即120ACD ∠=°，
CE Q 平分ACD ∠，
60ACE DCE ∴∠=∠=°，
在ABD Δ和ACE Δ中，
AB AC B ACE BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()ABD ACE SAS ∴Δ≅Δ，
AD AE ∴=，BAD CAE ∠=∠，
又60BAC ∠=°Q ，
60DAE ∴∠=°，
ADE ∴Δ为等边三角形．
3. 【解答】（1）证明：ABC ΔQ 是等边三角形，
三、参考答案与试题解析
60B C ∴∠=∠=°，
//DE BC Q ，
60ADE B ∴∠=∠=°，60AED C ∠=∠=°， ADE ∴Δ是等边三角形；
（2）解：AE CE BE +=．
60BAD DAC ∠+∠=°Q ，60CAE DAC ∠+∠=°， BAD CAE ∴∠=∠，
在BAD Δ和CAE Δ中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
BAD CAE ∴Δ≅Δ，
BD CE ∴=，120AEC ADB ∠=∠=°，
BE BD DE AE CE ∴=+=+，CE BD DE ==， 30EBC ∴∠=°，
60BEC ∴∠=°．
4. 【解答】证明：ABC ΔQ 是等边三角形，D 为边AC 的中点， BD AC ∴⊥，即90ADB ∠=°，
EC BC ⊥Q ，
90BCE ∴∠=°，
90DBC DCB ∴∠+∠=°，90ECD BCD ∠+∠=°， ACE DBC ∴∠=∠，
Q 在CBD Δ和ACE Δ中
BD CE DBC ACE BC AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
()CBD ACE SAS ∴Δ≅Δ，
CD AE ∴=，90AEC BDC ∠=∠=°， D Q 为边AC 的中点，90AEC ∠=°， AD DE ∴=，
∴==，
AD AE DE
Δ是等边三角形， 即ADE