无约束问题的极值条件及约束问题的二阶条件
最优化理论与算法 第7章 最优性条件
又Hessian阵2
f'(x）＝
2x1 0
0 2x2－2
2
f'(x
(1)）＝
2 0
0 2
,
2
f'(x
(2)）＝
2 0
0 2
2
f'(x
(3)）＝
2
0
0 2
,
2
f'(x
(4)）＝
2 0
0 2
由于2f'(x(1)）, 2f'(x(3)）, 2f'(x(4)）不定或负定，仅2f'(x(2) )正定，
证明. 因 f 在 x* 二次可微,故对任意 x, 有
f(x)=f(x*)+f(x*)(x-x*)+(x-x*)H(x*)(x-x*)/2+||x- x*||2(x*; x- x*),
这里 (x*; x- x*) 0,当 xx*.
假设命题不真， x* 不是局部极小, 则存在序列 {xk }收敛到 x* 并使得 f(xk)<f(x*) 对每一 k成立。定义序列 (xk- x*)/|| xk- x*||=dk.
证明. 由 f(x) 在 x* 可微, 则
f(x*+d)=f(x*) + f(x*)d+||d||(x*;d),
其中 (x*;d) 0(当 0).
2020/12/20
最优化理论
4
7. 最优性条件-无约束3
移项且两边同除以( 0),得
（f(x*+d)－f(x*)）/ ＝ f(x*)d+||d||(x*;d)
2x2
令f'(x)=0,即4x13 2x1 2 0，2x2＝0
无约束问题的最优性条件
一阶必要条件的表述
若$x^*$是无约束问题的局部最 优解，则$x^*$处的梯度$nabla f(x^*)=0$。这意味着在最优解处， 目标函数的梯度向量必须为零向 量。
几何解释
一阶必要条件可以理解为，在最 优解处，目标函数的等值面（或 曲线）与任意方向的切线（或切 面）都相切，即没有下降方向。
一阶充分条件
04 二阶最优性条件
二阶必要条件
二阶导数矩阵半正定
在最优解处，目标函数的二阶导数矩阵（即海森矩阵）必须是半正定 的，这意味着对于所有非零向量，海森矩阵与其的乘积至少为零。
梯度为零
同时，目标函数在最优解处的梯度必须为零，这是一阶必 要条件的补充。
约束条件
对于约束优化问题，还需要考虑约束条件的二阶影响。在最优 解处，积极约束的拉格朗日乘子应满足相应的二阶条件。
06 最优性条件的应用举例
线性规划的最优性条件
可行域
线性规划问题的可行域是由线性约束条 件所围成的凸多边形区域。
最优解
在可行域中，使目标函数达到最小 （或最大）值的可行解。
基本可行解
满足所有约束条件的解，且所有非基 变量都取值为0的解。
最优性条件
对于线性规划问题，当且仅当所有非 基变量对应的检验数都小于等于0时， 基本可行解才是最优解。
一阶充分条件的表述
若目标函数$f(x)$在$x^*$处可微，且存在某个正数$alpha$，使得对于所有满足$||d||=1$的 方向$d$，都有$nabla f(x^*)^Td ge alpha$，则$x^*$是无约束问题的严格局部最优解。
几何解释与意义
一阶充分条件表明，在最优解处，不仅梯度为零向量，而且目标函数在最优解附近具有“凸 性”，即对于任意方向$d$，目标函数在$x^*$处的方向导数都大于零。这保证了最优解的 唯一性和全局最优性。
无约束问题的极值条件
⽆约束问题的极值条件
有时候，我们希望根据⼀定的条件找到优化问题的极值点；另外⼀些时候，我们得到若⼲候选解，希望判断候选解中哪些是真正的极值点。
这其中涉及⾮线性规划的极值条件问题。
所谓⾮线性规划的极值条件，是指⾮线性规划模型最优解所要满⾜的必要或充分条件。
本⽂介绍⽆约束⾮线性规划问题的极值条件。
1. 极值点的必要条件和充分条件
⼀阶必要条件 设实值函数 在点 处可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
其中，表⽰函数 在点 处的梯度。
⼆阶必要条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若是⽆约束优化问题 的局部极⼩点，则有
且
其中，表⽰函数 在点 处的梯度，表⽰函数 在点 处的海赛矩阵，表⽰矩阵是半正定的。
⼆阶充分条件 设实值函数在点处⼆阶可微，若 且 ，则为⽆约束问题的严格局部极⼩值。
（注：需要海赛矩阵正定）
以上结论对⼀般函数成⽴。
针对凸函数（海赛矩阵恒正定），有以下充要条件
充要条件 设为定义域上的可微凸函数，则为⽆约束问题的全局极⼩点的充要条件是。
2. 驻点性质判定
所谓驻点，即⼀阶导数值为0的点。
如果函数在此点⼆阶可微，可利⽤该点处的海赛矩阵来判定驻点的性质。
假定为函数的驻点，并且该驻点处的海赛矩阵为，则有以下结论：
1. 若是正定的，则驻点为极⼩点（局部或全局）；
2. 若是负定的，则驻点为极⼤点（局部或全局）；
3. 若是不定的，则驻点为鞍点（即⾮极值点）；
4. 若是半定的（半正定或半负定），则驻点可能是极值点，也可能不是极值点，须视⾼阶导数性质⽽定。
无约束问题的最优化条件
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
)
2
f
(
xk
)(
x
xk
)
0
x xk (2 f (xk ))1f (xk ) xk Gk1gk
k 满足:
f (xk
dk ) 0
T f (xk k dk )gdk 0
ห้องสมุดไป่ตู้
d
T k 1
gd
k
0
14
a
5.3 牛顿法
自动化学院
15
a
一、牛顿迭代公式
牛顿法的基本思想是利用目标函数在当前迭代点 xk 处 的二次近似的极小点作为 f (x) 的近似极小点。
16
a
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
5.1 无约束问题的 最优性条件
自动化学院
1
a
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
2
a
二、无约束问题最优性条件
的极小值,0.01,x(0)(0,0)T ,只迭代一次
数学中的限制条件问题解决方法
数学中的限制条件问题解决方法数学中的限制条件问题是指在某些数学问题中，题目中指定了一些条件，这些条件约束了问题的求解范围，因此限制条件必须得到充分考虑。
许多数学问题中都存在限制条件，如线性规划、微积分、概率论等。
本文将探讨一些常见的限制条件问题，并介绍解决方法。
一、单调性条件单调性条件是指函数随某个变量的增加而不断增加或不断减少，这种情况下问题的求解常常变得更容易。
例如，最大值问题中，函数在可行域上单调递增时，问题的最大值通常在可行域的边界处出现，可以通过边界点的枚举来求解。
另一方面，在优化问题中，它通常涉及到某些参数和变量的关系，如果这个关系是单调的，则可以使用单调性条件来解决问题。
例如，在二元线性规划问题中，限制条件的系数都是正数或都是负数时，问题的求解就更容易。
根据单调性，可以发现当 x1 和 x2 取最大值的时候，问题的最大值也会是最大的。
二、约束条件的松弛当问题的限制条件不明确或者很难满足时，可以引入松弛变量，将限制条件转化为等式，这样可以极大地简化问题，更易于求解。
例如，在线性规划中，一个约束条件可能表示大于等于一个特定的值，此时可以加入一个松弛变量，将约束转化为等式。
在图形表示法中，引入松弛变量可以使约束条件的可行域更容易绘制和理解。
例如，在线性规划问题中，约束条件一般是一个平面或者一个直线，使用松弛条件即可得到一个更为复杂的平面或直线。
三、拉格朗日乘子法拉格朗日乘子法是一种常见的求解约束条件优化问题的方法，也适用于数学问题的求解。
其基本思想是将约束条件转化为等式，然后利用拉格朗日乘子法求出最优解。
拉格朗日乘子法是一种求解多元函数在约束条件下的极值的方法。
这种方法通过引入一个额外的变量，同时将可行域和目标函数限制在一个函数中，从而得出一个新的函数。
使用拉格朗日乘数法可以求出约束条件下一个多元函数的最优值，这些约束条件可以是平衡限制、等式限制或不等式限制。
四、KKT条件KKT条件，即 Karush-Kuhn-Tucker 条件，是用于求解带有约束条件的优化问题的最基本的条件之一。
【精品】第四章—牛顿法求解无约束问题
牛顿法求解无约束多维优化问题一、基本思想牛顿法是一种线性化的方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种显性线性方程来求解。
在k x 邻域内用一个二次函数()x ϕ来近似代替原目标函数，并将()x ϕ的极小值点作为对目标函数()f x 求优的下一个迭代点1k x +。
经多次迭代，使之逼近目标函数()f x 的极小值点。
二、数学模型将目标函数()f x 作二阶泰勒展开，设1k x +为()x ϕ的极小值点1()0k x ϕ+∇=21()()()0k k k k f x f x x x +∇+∇-=121[()]()(0,1,2,3)k k k k x x f x f x k +-=-∇∇=这就是多元函数求极值的牛顿法迭代公式。
对于二次函数，海塞矩阵H 是一个常矩阵，其中各元素均为常数，因此，无论从任何点出发，只需一步就可以找到极小值点。
从牛顿法迭代公式的推导过程中可以看到，迭代点的位置是按照极值条件确2()()()()()1()()()2k k T k k T k k f x x f x f x x x x x f x x x ϕ≈=+∇-+-∇-定的，其中并未含有沿下降方向搜寻的概念。
因此对于非二次函数，如果采用上述牛顿迭公式，有时会使函数值上升。
三、算例分析算例1、2212()(4)(8)f x x x =-+-取初始点[1,1]Tx =初步分析，目标函数为二次函数，经过一次迭代即可得到。
编制程序及计算结果如下：symsx1x2;f=(x1-4)^2+(x2-8)^2;v=[x1,x2];df=jacobian(f,v);df=df.';G=jacobian(df,v);e=1e-12;x0=[1,1]';g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=0;while(norm(g1)>e)p=-G1\g1;x0=x0+p;g1=subs(df,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});G1=subs(G,{x1,x2},{x0(1,1),x0(2,1)});k=k+1;end;kx0结果：k=1x0=48正如分析所得，迭代一次即可得出极小值点。
45无约束极值问题 (2)
若否，转(3)。 (3)、K ：minf(x(k)- f(x(k)) (或用近似步长公式K =
f(x(k))T f(x(k)) ) 2 (k) T (k) (k) f(x ) f(x ) f(x )
(2)、计算
f(x(k)) ，满足 f(x(k))2 ? 若是，停止。近似极小点x(k), f(x(k))
(二)、例：minf(x)=x12+5x22
(1)、梯度法 x(0)=(2,1)T x(1)=(1.5504,-0.1240)T x(2)=(0.5510,0.2757)T x(3)=(0.4271,-0.03419)T x(4)=(0.152,0.0759)T
2=0.6685< (4) f(x )
则 f(x*)=Ax*+B=0 B=-Ax*
①
②
对任一点x(0)，有 f(x(0))=Ax(0)+B
∴ x*= x(0)-A-1 f(x(0))
结论：正定二次函数，从任一点X(0)出发，沿
-A-1 f(x(0))方向搜索一步可达极小点。
将①代入②
f(x(0))=Ax(0)- Ax* 有A-1
2 0
f(x)=
0 2
=0.1
-4 (-4,-2) -2 0 = 2 0 (-4,-2) 0 2
x(1) =
-4 -2
1 = 2
0 1 -4 2 = 0 2 -2 1
x(1)
∴ 极小点x(1)
f(x(1))2=0<
求极值的方法
求极值的方法在数学中，求极值是一个非常重要的问题，它涉及到函数的最大值和最小值，对于优化问题和实际应用都具有重要意义。
本文将介绍一些常见的求极值的方法，帮助读者更好地理解和掌握这一数学概念。
一、导数法。
求极值的常见方法之一是利用导数。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到函数的极值点。
具体来说，我们首先求出函数的导数，然后令导数等于零，解出方程得到极值点的横坐标，再代入原函数求得纵坐标，就可以得到函数的极值点。
二、二阶导数法。
除了利用一阶导数来求极值外，我们还可以利用二阶导数。
对于函数的极值点，其一阶导数为零，而且二阶导数的符号可以告诉我们这个极值点是极大值还是极小值。
当二阶导数大于零时，函数在该点取得极小值；当二阶导数小于零时，函数在该点取得极大值。
三、拉格朗日乘数法。
对于带有约束条件的极值问题，我们可以使用拉格朗日乘数法。
这种方法适用于多元函数的极值求解，通过引入拉格朗日乘数，将带有约束条件的极值问题转化为无约束条件的极值问题，然后利用导数或者其他方法求解。
四、牛顿法。
牛顿法是一种迭代求解的方法，可以用来求函数的零点，同时也可以用来求函数的极值点。
通过不断迭代，我们可以逼近函数的极值点，从而得到极值的近似解。
五、凸优化方法。
对于凸函数的极值问题，我们可以使用凸优化方法来求解。
凸优化是一类特殊的优化问题，其解具有良好的性质和稳定性，因此在实际问题中有着广泛的应用。
六、遗传算法。
除了传统的数学方法外，我们还可以利用遗传算法来求解极值问题。
遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化方法，通过不断迭代和选择，可以得到函数的极值点。
综上所述，求极值的方法有很多种，不同的方法适用于不同的问题，我们可以根据具体情况选择合适的方法来求解。
希望本文对读者有所帮助，能够更好地理解和掌握求极值的方法。
拉格朗日乘数法二阶条件
拉格朗日乘数法二阶条件一、引言拉格朗日乘数法是数学中的一种优化方法，用于求解约束条件下的优化问题。
在实际问题中，经常会遇到需要优化一个函数的情况，但是又受到一些约束条件的限制。
拉格朗日乘数法提供了一种有效的方法，通过引入对应的拉格朗日乘子，将约束转化为优化目标的约束，从而使得原问题可以转化为无约束优化问题。
本文将详细介绍拉格朗日乘数法的二阶条件，以及其在如何判断极值点的方法。
二、拉格朗日乘数法概述拉格朗日乘数法是一种用于求解约束优化问题的方法，其基本思想是将约束条件转化为目标函数的约束条件。
假设我们要优化一个目标函数f(x)的同时满足一个或多个约束条件g(x)=0，其中x=(x1,x2,…,xn)为待优化的变量。
首先，我们定义拉格朗日函数L(x,λ)如下：L(x,λ) = f(x) - λg(x)其中，λ=(λ1,λ2,…,λm)为拉格朗日乘子，是引入的约束条件的系数。
然后，我们求解目标函数和约束函数的梯度为零的点，即∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
找到这些点后，我们还需要判断是否为极值点，这就是拉格朗日乘数法的二阶条件。
三、拉格朗日乘数法二阶条件的推导在求解梯度为零的点时，我们得到了一组方程∇f(x) - λ∇g(x) = 0。
为了判断这些点是否为极值点，我们需要求解拉格朗日乘数法二阶条件的判别式，即判别矩阵的行列式。
具体来说，我们定义Hessian矩阵H(x,λ)和雅可比矩阵J(x)如下：H(x,λ) = ∇²f(x) - λ∇²g(x)J(x) = [∇g(x)]^T其中，∇²f(x)表示目标函数f(x)的二阶偏导数矩阵，∇²g(x)表示约束函数g(x)的二阶偏导数矩阵。
那么，拉格朗日乘数法的二阶条件可表示为：det(H(x,λ) - J(x)^TJ(x)) = 0其中，det表示方阵的行列式。
当判别式等于0时，说明该点可能是极值点，需要进一步判断。
极值原理
xt0 x0
N1 x t f ,t f 0
t f
x
N1T x
v
tt f
(4) 终端时刻tf可变时，用来确定tf的 终端横截条件：
H
t
vT
N1 t tt f
.
H
x
式中，哈密顿函数为
Hxt,ut,t,t Lxt,ut,t T f xt,ut,t
(2)在最优曲线x*(t)上与最优控制u*(t) 对应的哈密顿函数为极小值的条件，即
H x* t,u* t,* t,t min H x* t,ut,* t,t ut Ru
另外，如果根据物理意义已经判定所
讨论最优控制问题的解存在，而由极小值 原理求出的控制又只有一个，那么显然可 知，此控制是最优控制。实际遇到的问题 往往属于这种情况。
(2)这个例子比较简单，可以直接解出来。
稍复杂一点的情况是，u的取值要决定x和λ ，
而x和λ 的取值反过来又决定于u，这时要用 试探法求解。在复杂一点的问题往往就不能 用解析法求解了。
设n维系统状态方程 x. t f xt,ut,t (1)
式中：x(t)为n维状态向量；u(t)为r维控制向 量；f(.)为n维向量函数。
始端时间和始端状态
xt0 x0
(2)
始端时间和始端状态满足约束方程
N1 x t f ,t f 0
(3)
控制向量取值于
控制向量u(t)是分段连续函数，属于r为 空间中的有界闭集，应满足
gxt,ut,t 0
则为把状态x(t)的初态
约束最优化最优性条件
0
x2
R { x | g i ( x ) 0}
gi (x) 0
x
0
x1
x gi (x) 0
0
形成的边界, 影响下一步选向.
如何判断一个向量是否
是可行方向？
定理 1 给定点 x Q , 记点 x 的积极约束指标集为 向量 d ，如果对任意的 可行方向。
T
min s .t .
可行域为
f (x) g( x) 0
(1 )
Q { x | g ( x ) 0 }。
1 .可 行 方 向
可行方向： 设 x Q ， 为一个向量。如果存在 d
0
实数 0 ，
0
使得对任意的 一个可行方向。
[ 0 , ] 有 x d Q , 则称 d 为 x 处的
T
I ( x ) 。给定
i I(x)
则向量 d 是点 x 处的可行下降方向。
极值点的必要条件：
定理 3 设 x * Q ， ( x *) 是其积极约束指标集。 I ( i I ( x *) ) 在点 x * 处可微， 续。如果 x * 是约束极值问题（
f ( x)和 gi( x)
g i ( x ) ( i I ( x *) ) 在点 x * 处连 1）的局部极小点，则在
i
( x ) 和 i
有且仅有一个成立，即取 0 值，则称为严格互补松弛条 件.
3 . K T 点的计算
例1 求约束极值问题
min f ( x ) x1 x 2 6 x1 6 x 2 8
2 2
s .t .
x1 x 2 4 x1 0 x 0 2
拉格朗日乘数法二阶条件
拉格朗日乘数法二阶条件
拉格朗日乘数法是一种优化问题的求解方法，它通过引入拉格朗日乘
数来将约束条件转化为目标函数的一部分，从而将原问题转化为一个
无约束的问题。
在使用拉格朗日乘数法求解优化问题时，需要满足一
定的条件，其中二阶条件是其中一个重要的条件。
二阶条件是指在使用拉格朗日乘数法求解优化问题时，需要满足目标
函数和约束条件的二阶偏导数存在且连续。
具体来说，如果目标函数
和约束条件的二阶偏导数存在且连续，那么在满足一阶条件的情况下，使用拉格朗日乘数法求解得到的极值点一定是原问题的极值点。
在使用拉格朗日乘数法求解优化问题时，一阶条件是指目标函数和约
束条件的一阶偏导数满足一定的关系，即梯度向量相互垂直。
而二阶
条件则是在一阶条件的基础上，进一步保证了求解得到的极值点的正
确性。
需要注意的是，二阶条件并不是必要条件，即满足二阶条件并不能保
证求解得到的极值点一定是原问题的极值点。
但是，如果不满足二阶
条件，则求解得到的极值点可能是原问题的鞍点或者局部极值点，而
不是全局极值点。
在实际应用中，满足二阶条件的情况比较常见，因此在使用拉格朗日乘数法求解优化问题时，需要注意检查二阶条件是否满足。
如果不满足二阶条件，可以考虑使用其他的优化方法来求解问题。
总之，拉格朗日乘数法是一种常用的优化问题求解方法，二阶条件是其中一个重要的条件。
在使用拉格朗日乘数法求解优化问题时，需要满足目标函数和约束条件的二阶偏导数存在且连续，以保证求解得到的极值点的正确性。
函数的极值条件
函数的极值条件前言我们处理的各种优化问题可以大致分为两类：有约束的优化问题和无约束的优化问题。
工程优化问题往往都是有约束的，但经过适当的处理可以用无约束的优化方法加以解决。
因此无约束极值点存在的条件是优化理论的基本问题。
关键字：无约束有约束优化求解无约束优化问题的实质是求解目标函数f(x)在n维空间R n中的极值。
我们先来看看一元函数的极值条件。
1.无约束优化问题的极值条件1.1一元函数的极值条件由高等数学可知，任何一个单值、连续、可微的一元函数f(x)在给定区间内某点x=x∗有极值的必要条件，是它在该点处的一阶导数为零，即：f′(x∗)=0即函数的极值必须在驻点处取得。
此条件是必要的，但不是充分的，也就是说驻点不一定就是极值点。
如图1.1-1所示，x=0是驻点，但a b图1.1-1其中图a中的x∗点是极小值点，而图b中的x∗并不是极值点。
驻点是否为极值点，还需要函数在该点的二阶导数来判断。
驻点为极小值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)>0驻点为极大值点的充分条件是，x∗满足不等式：f′′(x∗)<0若：f′′(x∗)=0则x∗是否为极值点，还需要逐次检验其更高阶导数的符号。
开始不为零的导数阶数为偶数，则为极值点；若为奇次，则为拐点，而不是极值点。
1.2二元函数的极值条件对于二维无约束优化问题，即对二元函数f(x)=f(x1，x2)来说，若在X∗（x1∗，x2∗）处取得极值，其必要条件是：ðf(x1，x2)ðx1=df(x1，x2∗)dx1|x1=x1∗=0ðf(x1，x2)ðx2=df(x1∗，x2)dx2|x2=x2∗=0写成梯度形式可得：∇f(x)=[ðf(x1，x2)ðx1，ðf(x1，x2)ðx2]T=0为推得二元函数极值存在的充分条件，将二元函数f(x)在驻点x∗=[x1∗，x2∗]T作泰勒二次近似展开，得到近似表达式为：f(x)=f(x∗)+[∇f(x∗)]T(x−x∗)+12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)因为驻点满足∇f(x∗)=0，故由上式可得：f(x)−f(x∗)=12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)当f(x)−f(x∗)>0，则由上式可知，应有：12(x−x∗)T∇2f(x∗)(x−x∗)>0此时，x∗为极小值。
多元微分学应用无约束极值与有约束极值
例4 求由方程x2 y2 z2 2x2y
4z100确定的函数z f(x,y)的极值
解 将 方 程 两 边 分 别 对 x , y 求 偏 导 2x2zzx24zx0 2y2zzy24zy0
由 函 数 取 极 值 的 必 要 条 件 知 ,驻 点 为 P (1 , 1 ),
将 P ( 1 , 1 ) 代 入 原 方 程 ,有 z 1 2 , z 2 6 , 当 z12时 ， A 1 40,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 2 为 极 小 值 ；
当 z26时 ， A1 40,
所 以 z f ( 1 , 1 ) 6 为 极 大 值 .
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求 函 数 z f ( x ,y ) 极 值 的 一 般 步 骤 ：
第 一 步 解 方 程 组 fx(x,y)0, fy(x,y)0
求 出 实 数 解 ， 得 驻 点 .
第 二 步 对 于 每 一 个 驻 点 ( x 0 , y 0 ) ，
求 出 二 阶 偏 导 数 的 值 A 、 B 、 C .
(x2y21)2y(xy)
zy (x2y21)2
0,
得 驻 点 (1,1)和 (1,1), 22 2 2
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因 为 lx i x m 2x y2 y 10 y
即 边 界 上 的 值 为 零 .
z( 1 , 1) 1 , z(1,1)1,
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1、二元函数极值的定义
设函数z f (x, y)在点(x0, y0)的某邻域内 有定义，对于该邻域内异于(x0, y0)的点(x, y)： 若满足不等式f(x, y) f (x0, y0)，则称函数 在(x0, y0) 有极大值；若满足不等式 f (x, y) f (x0, y0)，则称函数在(x0, y0)有极
第二章 优化设计理论基础
第一节 极值理论
由极值的充分条件求函数的二阶导数矩阵，并判断其正定性得
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 1) 1 1 0 8 0 6 x 4 2 2
3
矩阵正定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 2 ) 1 0 8 1 6 x2 4 0
x1
x2
a11 x3 a21 a31
a12 a22 a32
a13 y1 y a23 2 a33 y3
( x1a11 x2a21 x3a31 ) y1 ( x1a12 x2a22 x3a32 ) y2 ( x1a13 x2a23 x3a33 ) y3 (数)
-2
矩阵不定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 3 ) 1 3 0 8 0 6 x 4 2 2
3
矩阵不定
0 6 x 6 12 0 2 f ( X 4 ) 1 0 8 3 6 x2 4 0
解：因
g1 ( X ) 22 0 4 0 g2 ( X ) 0 g3 ( X ) 2
得知，点 X k 的起作用约束是 g1 ( X ) 0 和 g 2 ( X ) 0 。
第一节 极值理论
约束问题的极值条件
在点 X k 有
2( x 3) 2 f ( X k ) 1 0 2 x 2 2 x 4 g1 ( X k ) 1 1 1 0 g 2 ( X k ) 1
第一节 极值理论
约束问题的极值条件
无约束问题的最优化条件知识讲解
➢ 最速下降法的基本思想：从当前点xk出发寻找 使得目标函数下降最快的方向，即负梯度方向。
➢ 关于梯度的复习： ☺梯度是一个向量。n元函数f(x1 ,x2 ,…xn)在点
x处的梯度为： (f ,f ,...,f )T
x1 x2 xn
☺梯度的方向与函数f 的等值线的一个法线方 向相同，从较低的等值线指向较高的等值线。
设 xk 是当前迭代点， 2 f (xk ) 正定，
f
(x)
f
(xk ) f
(xk )T
(x
xk )
1 (x 2
xk )T 2
f
(xk )(x
xk )
Q(k) (x)
f
(xk ) f
(xk )T (x xk )
1 2
(
x
xk
)T
2
f
(xk )(x xk )
令
Q(k) (x) x
0
f
( xk
无约束问题的最优化条件
一、极小点的概念
1．局部极小点 2．严格局部极小点 3．全局（总体）极小点 4．严格全局（总体）极小点。 注：在非线性规划中，大多数算法都致力于求最优化 问题的局部极小点，一般求全局极小点极为困难，仅 当问题为凸规划时，局部极小为全局极小。
二、无约束问题最优性条件
定理 1（一阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 。 定理 2（二阶必要条件）若 x 是局部极小点，则 f (x) 0 ，
继续迭代,计算可得 d(1) 1 1,11 5,x(2) 10.2.8
f( x ( 2 ) ) ( 0 .2 , 0 .2 ) T ,|| f( x ( 2 ) ) || 0 .2 8 2 8,
无约束优化问题的极值条件
无约束优化问题的极值条件1.引言无约束优化问题是在没有任何限制条件下，寻找一个函数的最大值或最小值的问题。
在数学和工程领域中，无约束优化问题的极值条件是非常重要的，本文将介绍这些极值条件，帮助读者更好地理解和应用于实际问题。
2.极值条件的定义对于一个无约束优化问题，设函数f(x)在某个点x*处连续可导，若x*是f(x)的极值点，则需要满足以下条件：2.1一阶导数条件函数f(x)在x*处的一阶导数为零，即f'(x*)=0。
这意味着在极值点处，函数的斜率为零。
2.2二阶导数条件函数f(x)在x*处的二阶导数存在并满足以下条件之一：-f''(x*)>0，此时x*是f(x)的极小值点。
-f''(x*)<0，此时x*是f(x)的极大值点。
3.极值点的判别方法为了确定一个无约束优化问题的极值点，我们可以使用以下方法：3.1利用一阶导数判别极值点通过计算函数f(x)的一阶导数，找到一阶导数为零的点，并判断其是否为极值点。
如果一阶导数f'(x)在x*处变号，即从正数变为负数或从负数变为正数，那么x*是f(x)的极值点。
3.2利用二阶导数判别极值点利用函数f(x)的二阶导数f''(x)的正负性来判别极值点的类型。
如果f''(x*)>0，则x*是f(x)的极小值点；如果f''(x*)<0，则x*是f(x)的极大值点。
3.3综合利用一阶导数和二阶导数判别极值点结合一阶导数和二阶导数的信息，我们可以获得更准确的极值点判断。
当f'(x*)=0且f''(x*)>0时，x*是f(x)的极小值点；当f'(x*)=0且f''(x*)<0时，x*是f(x)的极大值点。
4.例子为了更好地理解无约束优化问题的极值条件，下面给出一个简单的例子：假设我们要找到函数f(x)=x^2的极值点。
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0 0 0 设 ，从而，求得 4 0 ，可知 x 为 4 1 0
K-T 点.
Lagrange 函数为
L x, x x2 2 x x2
2 2 2
1 1
，
其关于 x 的 Hesse 矩阵为
m in 4 x2 x2 2
2 2
,
易知， x 为局部最优解.
2.求解最优化问题
f ( x ) x1 3 x 2 1
2 2
m in
s .t .
g ( x ) x x 2 0;
2
1
h ( x ) 2 x1 x 2 3 0 .
i
可微，设对于可行点 x ，存在 Lagrange 乘子向量 使
得 K-T 条件成立.有
s L x ,
T 2
xx
s 0
s G x
则 x 是最优化问题的严格局部最优解.
G x
c ( x ) s 0, i I x a n d 0 i i s c i ( x ) s 0, i I x a n d i 0 c i ( x ) s 0, i 1, 2, , m .
3.
算法终止准则 理想的算法终止准则为:
x
(k )
x
讨论: 采用理想终止准则是否可行? 为了构造实用的终止迭代条件, 首先给出算法超 线性收敛的特征.
定理 4 如果点列 x m
k
( k 1)
x x
(k )
x
(k )
1,
例4 求
m in
f ( x)
1 3
x1
3
1 3
x 2 x 2 x1 .
3 2
解：根据 f ( x ) 的定义，有
f x1 x1 1,
2
2
f x2
x2 2 x2 .
2
令 f ( x ) 0 ，即 x
x
1
2 1
1 0, x 2 2 x 2 0 ，解此方程组得
定义 3 收敛速度 设由算法 A 产生的迭代点列 x 收敛于 x , 即有:
(k )
lim x
k
(k )
x
0.
如果存在实数 r 0 及一个与迭代次数 k 无关的常数 c 0 , 使:
x lim
k ( k 1)
x
x
(k )
x
r
c,
则称算法 A 产生的迭代点列 x 具有 r 阶收敛速度,
第一章 基本概念 Basic conceptions
一．无约束问题的极值条件 二．约束问题的二阶最优性条件
一.
无约束问题的极值条件
无约束问题的极值条件 考虑问题
m in f ( x) x R .
n
定理 1 局部极小点的一阶必要条件 设函数 f ( x ) 在点 x 处可微，若 x 是局部极小点，则梯度
(k )
或称
算法是 r 阶收敛的.
特别的： (1). 当 r 1, 0 c 1 时, 称为线性收敛. (Linear convergence). (2). 当 r 1, c 0 时, 称为超线性收敛. (Huperlinear convergence). (3). 当 r 2 时, 称为二次收敛. (Quadratic convergence). 好的算法标准 2: 具有超线性收敛或二次收敛速度的算法是好的算法.
2
在 4 个驻点的的 Hesse 矩阵为：
f (x
2
1
2 ) 0
0 2
不定，不是极小点； 正定，局部极小点； 负定，不是极小点； 不定，不是极小点.
f (x
2
2
2 0 ) 0 2
f (x
2
1
2 0 ) 0 2 2 0 ) 0 2
但, 反之一般不成立.
证明: 因为 x 超线性收敛于 x ,则有
(k )
x lim
k
( k 1)
x x
x
(k )
0
x
(k 1 )
x
又
x
(k )
x
x
(x
k(
x
1 )
k
) x (
( )
x
k
(
)
)
x
x x
(k )
k(
x
)
( k 1)
1.1 一般迭代算法 集合D上的迭代算法A： （1）初始点 x 0 ； （2）按照某种规则A产生下一个迭代点
k 1
x
A( x )
k
。
（i）如果点列
（ii）如果
{ x } 收敛于最优解 x *
0 1 k
k
，则称算法A收敛。
，则称算法A为
f (x ) f (x ) f (x )
x D f ( x ) b
x D
x为 某 意 义 下 可 以 接 受 的 目 标 值
其中, b 为某个可以接受的目标值.上述算法称为实用收敛 性算法.
定义 2 二次终止性(quadratic termination) 如果某算法用于求解目标函数为二次函数的无约束 问题时, 只需经过有限步迭代就能达到最优解, 则称该算 法具有二次终止性. 讨论: 什么是”好”的算法? 1. 具有全局收敛性或二次终止性的算法! 原因: 一般的函数在最优解附近常常可以用二次函数来近 似, 故具有二次终止性的算法可望在接近最优解时具有好 的收敛性质.
例4 考虑下列非线性规划问题
x1 x 2 2
2 2 2
m in s .t .
x1 x 2 0
T
其中
为某个实数，讨论 x 0, 0
是否为局部最优解.
解 目标函数 f ( x ) 和约束函数 c ( x ) 在 x 处的梯度为
i
f
x
2 x1 0 2 x1 0 ,c x . 1 1 2 x2 4 4
x D
x是 局 部 最 优 解 或 全 局 最 优 解 x 是 满 足 最 优 解 必 要 条 件 的 点
讨论: 根据最优性条件, 无约束问题和约束问题的解集合 如何定义?
x D
f ( x ) 0
x D
x 为 K T 点
满足上述解集合的算法,称为理论收敛性算法. (3) 例如:
1 2 1 3 1 4 1 ,x ,x ,x . 0 2 0 2
函数 f ( x ) 的 Hesse 矩阵为：
0 2 x1 f ( x) 0 2 x2 2
f (x
2
1
二. 约束问题的二阶最优性条件
定义 9 设在可行点 x 处严格互补松弛条件成立，如果存在非
零向量序列 s 和正数序列
k
k
0 ，使得
x
ci x
k
x ks
k
F ,k
k
0, i 1, 2, .m , i I x
2 2 xL 0
2
0 , 2
在点 x 处
2 8 L(x , ) x 0
2
0 2
，其中，集合 Z x 中的
s s1 , 0
T
,其中 s 为任意实数，从而有
1
s x L x , s 2 1 4 s1
lim x
k
(k )
} 满足:
(k )
x
0,
其中 x 是问题的 Khun-Tucker 点. 全局收敛(整体收敛):一个算法如果对于任意给定的初始点 都能够收敛,则这个方法是全局收敛或整体收敛. 局部收敛: 初始点的选取必须接近或充分接近最优解时算 法才收敛.
解集合 一般情况下,算法产生的迭代点收敛于全局最优解非 常困难, 因此, 把满足某些条件的点的集合定义为解集 合,当迭代点属于这个集合时, 算法停止迭代. 常用解集合: (1) x D (2)
k （5）判断 x 是否满足停止条件。是则停止，否则转第2步。
搜索步长确定方法：
f ( x k d ) m in f ( x d )
k k k k
称 k 为最优步长，且有 f ( x k k d k ) T d k 0
0
.
2.收敛性和收敛速度 初始点的选取是任意的? 定义 1 收敛性 一个算法称为收敛的,如果算法产生的序列{ x
三.
最优化方法概述
1． 基本迭代格式 基本思想 给定最优解的一个初始估计, 记为 x ,方法产生一
(0)
个逐步改善的有限或者无限的迭代序列 { x
(k )
}
,在{ x
(k )
}
是有
(k )
限点列时,它的最后一个点是 Kuhn-Tucker 点,在{ x
}
是
无限点列时,其任意一个聚点是 Kuhn-Tucker 点,并在对 最优解的估计满足指定的精度要求时,停止迭代.