第二次课 (修复的)

第二次课实验二数学函数的定义与运算，绘制函数图形【实验要求】：1. 掌握变量赋值；2. 掌握常用数学函数及函数值运算；3. 自定义函数（含分段函数）；4. 掌握一般一元函数与参数方程函数作图；5. 了解二元函数作图。

2.1 实验指导知识（1）变量命名Mathematica中的变量名必须是以字母开头的并由字母或数字组成的字符串（长度不限），但是不能含有空格或标点符号，大写与小写字母用于表示不同的变量。

例如x，a1，b12，Tc都是合法的变量名，2a是不合法的变量名， a1与A1是不同的变量。

（2）变量赋值一个变量可以表示各种类型的数或字符串，也可以表示一个算式。

与C语言不同，不必事先声明变量的类型，Mathematica 会根据用户给变量所赋的值自动处理。

在Mathematica中，使用赋值表达式不仅可以将数值存入变量，还可以将含有变量的表达式存入另一变量，这样就能建立起来变量之间的函数关系。

使用等号给变量赋值，具体格式如下：【变量名=赋值（可含表达式）】x =Value 给x 赋值。

x = y =Value 同时给x ，y 赋相同的值。

{x ，y ，…}={Value1，Value2，…} 同时给x ，y ，…赋不同的值。

例1 当t=2.5时，计算221t e 的值In[1]:=t=2.5Out[1]=2.5In[2]:=(1/Sqrt[Pi])*Exp[t^2/2]Out[2]=12.8409例2 观察下面给x 、a 、b 、c 等变量的赋值方法和输出效果。

In[1]：=x=2Out[1]=2In[2]：=a1=s+tOut[2]=s+tIn[3]：=a=b=c=1Out[3]=1In[4]：={u ，v}={1，2}Out[4]={1，2}In[5]：=x=aOut[5]=1In[6]：=xOut[6]=1In[7]：=s=1Out[7]=1In[8]：=a1Out=1+t说明：上例分成两部分：In[1]--In[4]是4个赋值式。

第1个式子引入了符号x，同时声明x表示2。

第2个式子引入了符号a1，s，t，同时说明了它们之间的关系。

第3个式子同时给多个变量赋以同一值。

第4个式子同时给多个变量赋以不同值。

In[5]重新给x赋值为a，因为已知a=1，因此输出结果是1。

In[6]查看x的值，答案也表明x=1。

In[7]赋值s=1，In[8]查看a1，输出表明a1=1+t。

这时x被重新赋值，s由原来无值变为有值且影响到a1。

也就是说用户输入的变量及其值或关系式一直被Mathematica记忆，并随着用户的重新赋值而更新，即使同时打开多个工作区窗口变量也是共享的。

这一特性既给使用者带来了方便，但也容易因忘记前面已经使用过哪些变量而产生错误。

（3）清除变量为了避免隐蔽的错误，应该及时清除不再使用的变量。

其方法有以下几种：x= . 清除x的值但保留变量x。

Clear[x] 清除x的值但保留变量x（在复杂的使用情况下清除更多的定义）。

Remove[x] 将变量x 清除。

注意在解方程时，必须清除未知数变量的值，否则会出现错误的结果。

如下例所示例3Solve x ^2 5 General::ivar : 2is not a valid variaCleaSolve x ^2 5（4） 表示输出的专用符号%%是一个重要的Mathematica 符号，其用途如下： % 表示前一个输出的内容。

%% 表示倒数第2个输出的内容，依此类推。

% n 表示第n 个（即Out[n]）输出的内容。

所有%的内容一直被Mathematica 记忆，它们可以像其它变量一样被后面的计算引用，如下面的例子所示。

例4 观察下面输出专用符号“ % ”的使用方法和输出效果。

In[1]：=a=x^2+2Out[1]=2+x 2In[2]：=2+3Out[2]=5In[3]：=%Out[3]=5In[4]：=%%%Out[4]= 2+x2In[5]：=a+%2Out[5]= 7+x2In[6]：=%1+%2（%1还是5,%2的结果还是2+x2）Out[6]= 7+x2注意：这些 % n的内容是被保护的，Clear或Remove不能清除它们。

其实，所有的输入内容也同样被保留和保护，这些内容当然会占据计算机内存。

为了节约内存，可以在解除保护后清除它们。

清除的方法是使用Unprotect[In，Out]和Clear[In，Out]，不过一般无此必要。

（4）常用数学函数Mathematica的基本功能是作为一个高级的函数计算器来使用的，各种操作主要靠函数来实现。

Mathematica提供的函数种类繁多且功能强大，函数一词也不限于数学上的含义，有实现各种操作的函数。

本书将Mathematica本身的内部函数和它自带的软件包中的函数统称为系统函数。

还可以由用户自定义函数，加入到Mathematica中，能像系统函数一样使用。

学习Mathematica 主要是分门别类地学习各种函数的功能及其调用方法。

下面只介绍一些简单而又常用的数学函数。

函数的一般形式是：函数名[参数1，参数2，…]。

4.1 基本初等函数在Mathematica中基本初等函数的格式如下：Sin[x] 正弦函数 Cos[x] 余弦函数Tan[x] 正切函数 Cot[x] 余切函数Sec[x] 正割函数 Csc[x] 余割函数ArcSin[x] 反正弦函数 ArcCos[x] 反余弦函数 ArcTan[x] 反正切函数 ArcCot[x] 反余切函数 Exp[x] 表示e x Sqrt[x] 表示x Log[x] 表示lnx Log[a，x]（以a为底的对数函数）Power[x,a] 指数为a的幂函数Sinh[x] 双曲正弦Cosh[x] 双曲余弦Tanh[x] 双曲正切Coth[x] 双曲余切Mathematica系统函数的书写规则很严格，务必注意以下几点：（A）函数名首字符用大写、后面的字符一般用小写，当函数名分成几段时，每段的首字符应大写，函数名中不能含有空格（但自定义函数的首字符不必大写）。

（B）参数用方括号括起来，不能用圆括号。

这是很科学的表示法，事实上常规的数学表示法有问题，比如f（x+y）既可以理解成求函数f当自变量等于x+y时的值，又可以理解为f乘以x+y，Mathematica认为圆括号表示相乘。

4.2其它常用函数下面列出一些经常用到的函数：Abs[x] 求实数的绝对值或复数的模。

Sign[x] 符号函数Max[x1，x2，…] 一组数的最大值。

Min[x1，x2，…] 一组数的最小值。

n！求n的阶乘。

Binomial[n，k] 求kC。

nN[x],N[x,d] 截位函数（d为近似截取位数）Round[x] 最接近x的整数（四舍五入）Floor[x] 不大于x的最大整数，即取整函数Ceiling[x] 不小于x的最小整数4.3自定义函数Mathematica允许用户使用自己定义的函数，定义方法有初等函数和分段函数两种。

初等函数定义格式：【自定义函数名[变量_]:=表达式】例5：f[x_]:=x^3+Exp[x]f[3]运行结果是：27+E^3注意：自变量后面一定要加下划线.它是为了区别自定义函数表达式所含的变量，哪个是自变量，哪个是参数，故不能漏掉或摆错位置。

执行自定义函数后，不会出现任何实质性结果，但计算机已经是蓄势待发，自定义函数的变量具有局部性，函数代值后，并不会改变其全局定义值。

引用自定义函数时，不需要带下划线.例6 In[1]:= f[x_]:=x*Sin[x]+x^2+2*xOut[1]=2x+x^2+xSin[x]In[2]:=f[1.]Out[2]=3.84147In[3]:=f[Pi/2]Out[3]=3Pi/2+Pi^2/4In[4]:=f[x^2]分段函数定义格式：定义分段函数可以用三种格式，分别为用If 或which 命令定义分段函数以及分段定义函数的方式，下面，重点介绍此种定义方式。

即在每次定义函数时，在后面添加范围限制，其一般格式为：【/;范围限制】例7 f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧-<≤≤->-1,sin 11,0,12x x x x x x ,求f(-)2π),)21(-f ,)2(f . f[x_]:=x-1/;x>0f[x_]:=x^2/;(x<=0)&&(x>=-1)f[x_]:=Sin[x]/;x<-1In[2]:=f[-Pi/2]Out[2]=-1In[3]:=f[-1/2]Out[3]=1/4In[4]:=f[2]Out[4]=1说明：（1）【&&】为“逻辑或”，这里用来确定函数第二段的条件范围。

（2）分段函数还可以像C语言一样用If或which命令定义，例如：f(x)=x^2,x<=1,x>1时，2-x,可以输入命令：f[x_]:=If[x<=1, x^2,2-x],或命令：f[x_]:=which[x<=1, x^2,2-x], 类似，可以定义多个变量的函数，必须注意下划线是必不可少的，例如：u[x_,y_]:=Sqrt[x^2,y^2],要想知道刚刚定义的函数是否正确，可输入u[x,y]，按回车键后，系统自动输出表达式。

关于多元函数更多的知识希望同学们自己探索。

（5）近似数的精度控制与函数值的计算5.1 近似数的精度控制求近似值的函数N。

Mathematica允许用户任意指定数值计算的精度，函数N的调用格式如下：N[表达式，数字位数] 用于指定计算表达式的具有任意数字位数的近似值（指定的数字位数应该大于16），结果在末位后是四舍五入的。

N[表达式] 用于计算表达式的近似值，具有机器规定的精度（16位有效数字），但是按标准输出只显示前6位有效数字，如果想要全部显示应该改为按InputForm形式输出（使用Cell菜单中的选择输出形式选项可以更改输出形式或使用InputForm[ ]函数）。

还可以使用函数NumberForm[Real，n]规定实数的显示位数n。

注意：在Mathematica中，π和e都表示准确数。

例8求π和e的6位、8位、16位和50位有效数字的近似值。

解：In[1]：=N[π]Out[1]=3.14159In[2]:=N[π] // InputFormOut[2] // InputForm=3.141592653589793In[3]：= NumberForm[N[π]，8]Out[3] // NumberForm=3.1415927In[4]：=N[π，50]Out[4]=3.14159265358979323846264338327950288419716939937 51In[5]：=N[e，50]Out[5]=2.71828182845904523536028747135266249775724709370 005.2计算函数值当我们输入前面介绍的数学函数时，输出结果不会有多大变化，因为我们还没有指定自变量的取值。