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中考数学三角函数应用问题

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2022年中考数学专题练习锐角三角函数的应用题

2022年中考数学专题练习锐角三角函数的应用题

ABCD中考数学专题 锐角三角函数的应用【题型1】“影子”问题【例1】（影子“上墙”）数学兴趣小组想测量一棵树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），这部分影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米，则树高为________．【变式1】如图，一同学在某时刻测得1 m 长的标杆竖直放置时影子长为1.6 m ，同一时刻测量旗杆的影子长时，因旗杆靠近一栋楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影子长为11.2 m ，留在墙上的影子高为1 m ，则旗杆的高度是_________．【例2】（影子“上坡”）小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得CD=8米，BC=20米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为（ ） A ．9米B ．28米C ．(73)+米D ．(143)+米AB C DE【例3】（影子“下坡”）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB ，B 是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上．若铁塔底座宽CD=12 m ，塔影长DE=18 m ，小明和小华的身高都是1.6 m ，同一时刻小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2 m 和1 m ，则塔高AB 为（ ） A ．24 mB ．22 mC ．20 mD ．18 m【变式1】如图，在斜坡的顶部有一竖直铁塔AB ，B 是CD 的中点，且CD 是水平的．在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上，已知铁塔底座宽CD=14m ，塔影长DE=36m ，小明和小华的身高都是1.6m ，小明站在点E 处，影子也在斜坡面上，小华站在沿DE 方向的坡脚下，影子在平地上，两人的影长分别为4m ，2m ，那么塔高AB=_________．【对应练习】1.某兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1 m 的竹竿的影长为0.4 m ，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2 m ，一级台阶高为0.3 m ，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4 m ，则树高为_________．D 23°60°C B38°A东港口B D【题型2】一个三角形【例1】如图所示，山坡上有一棵与地面垂直的大树AB ，一场大风过后，大树被刮倾斜后从点C 处折断倒在山坡上，树的顶部D 恰好接触到坡面AE 上．已知山坡的坡角∠AEF=23°，量得树干倾斜角∠BAC=38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC=60°，AD=4m ． （1）求∠CAE 的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．1.4≈1.7≈2.4）【变式1】已知B 港口位于A 观测点北偏东53.2°方向，且其到A 观测点正北方向的距离BD 的长为16 km ，一艘货轮从B 港口以40 km/h 的速度沿如图所示的BC 方向航行，15 min 后到达C 处，现测得C 处位于A 观测点北偏东79.8°方向，求此时货轮与A 观测点之间的距离AC 的长．（精确到0.1 km ，参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin79.8°≈0.98，cos79.8°≈0.18，tan26.6°≈0.50≈1.41≈2.24）北东【对应练习】1.如图，在某飞机场东西方向的地面l 上有一长为1 km 的飞机跑道MN ，在跑道MN 的正西端14.5千米处有一观察站A ．某时刻测得一架匀速直线降落的飞机位于点A 的北偏西30°，且与点A 相距15千米的B 处；经过1分钟，又测得该飞机位于点A 的北偏东60°，且与点A 相距千米的C 处．（1）该飞机航行的速度是多少千米/小时？（结果保留根号）（2）如果该飞机不改变航向继续航行，那么飞机能否降落在跑道MN 之间？请说明理由．【题型3】二个三角形【变式1】如图，某飞机于空中探测某座山的高度，在点A处飞机的飞行高度是AF＝3700米，从飞机上观测山顶目标C的俯角是45°，飞机继续以相同的高度飞行300米到B处，此时观测目标C的俯角是50°，求这座山的高度CD.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20)4. 如图，在电线杆上的C处引拉线CE，CF固定电线杆，拉线CE和地面成57.5°角，在离电线杆6米处安置测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°.已知测角仪AB的高为1.5米，求拉线CE的长．(结果精确到0.01米，参考数据：sin57.5°≈0.843，cos57.5°≈0.537，tan57.5°≈1.570，3≈1.732，2≈1.414)【变式1】(2015丹东10分)如图，线段AB ，CD 表示甲、乙两幢居民楼的高，两楼间的距离BD 是60米．某人站在A 处测得C 点的俯角为37°，D 点的俯角为48°(人的身高忽略不计)，求乙楼的高度CD.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin48°≈710，tan48°≈1110)【例1】某数学课外活动小组利用课余时间，测量了安装在一幢楼房顶部的公益广告牌的高度．如图，矩形CDEF 为公益广告牌，CD 为公益广告牌的高，DM 为楼房的高，且C 、D 、M 三点共线．在楼房的侧面A 处，测得点C 与点D 的仰角分别为45°和37.3°，BM ＝15米．根据以上测得的相关数据，求这个广告牌的高(CD 的长)．(结果精确到0.1米，参考数据：sin37.3°≈0.6060，cos37.3°≈0.7955，tan37.3°≈0.7618)【对应练习】1.(2014潍坊)如图，某海域有两个海拔均为200米的海岛A 和海岛B ，一勘测飞机在距离海平面垂直高度为1100米的空中飞行，飞行到点C 处时测得正前方一海岛顶端A 的俯角是45°，然后沿平行于AB 的方向水平飞行41099.1 米到达点D 处，在D 处测得正前方另一海岛顶端B 的俯角是60°，求两海岛间的距离AB （结果保留根号）。

中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题

中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题

中考数学真题精选之《锐角三角函数》综合解答题1．如图所示是消防员攀爬云梯到小明家的场景．已知AE⊥BE，BC⊥BE，CD∥BE，AC＝10.4m，BC＝1.26m，点A关于点C的仰角为70°，则楼AE的高度为多少m？（结果保留整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）2．贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15°，CD与水平线夹角为45°，A、B两处的水平距离AE为576m，DF⊥AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1m）；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1m）．（参考数据：sin15°≈0.25，cos15°≈0.96，tan15°≈0.26，√2≈1.41）3．徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C 处，用测角仪测得塔顶A的仰角∠AFE＝36°，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角∠AGE＝30°．若测角仪距地面的高度FC＝GD＝1.6m，CD ＝70m，求电视塔的高度AB（精确到0.1m）．（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，tan30°≈0.58）4．问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据√2≈1.414，√3≈1.732）5．今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2）．在图2中，已知四边形ABCD 是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57cm，支架AN＝43cm，扶手的一部分BE＝16.4cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面（MN）的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.8°＝0.91，cos65.8°＝0.41，tan65.8°＝2.23）6．暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山．需要登顶600m高的山峰，由山底A 处先步行300m到达B处，再由B处乘坐登山缆车到达山顶D处．已知点A，B，D，E，F在同一平面内，山坡AB的坡角为30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）．（1）求登山缆车上升的高度DE；（2）若步行速度为30m/min，登山缆车的速度为60m/min，求从山底A处到达山顶D处大约需要多少分钟（结果精确到0.1min）．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）7．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东72°方向，距离灯塔100nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东40°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）8．为了增强学生体质、锤炼学生意志，某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A．B点在A 点的南偏东25°方向3√2km处，C点在A点的北偏东80°方向，行进路线AB和BC所在直线的夹角∠ABC为45°．（1）求行进路线BC和CA所在直线的夹角∠BCA的度数；（2）求检查点B和C之间的距离（结果保留根号）．9．为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3：4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．（结果精确到0.1米）（参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32）10．2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC 的距离是8km，仰角为30°；10s后飞船到达B处，此时测得仰角为45°．（1）求点A离地面的高度AO；（2）求飞船从A处到B处的平均速度．（结果精确到0.1km/s，参考数据：√3≈1.73）11．“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为15°，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为45°，求奇楼AB的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）12．无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC，无人机在空中点P处，测得点P距地面上A点80米，点A处的俯角为60°，楼顶C点处的俯角为30°，已知点A与大楼的距离AB为70米（点A，B，C，P在同一平面内），求大楼的高度BC（结果保留根号）．13．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）14．鄂州市莲花山是国家4A级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G处挂一条大型竖直条幅到点E处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A点，在A点用仪器测得条幅下端E的仰角为30°；接着他沿自动扶梯AD到达扶梯顶端D点，测得点A和点D的水平距离为15米，且tan∠DAB=43；然后他从D点又沿水平方向行走了45米到达C点，在C点测得条幅上端G的仰角为45°．（图上各点均在同一个平面内，且G，C，B共线，F，A，B共线，G、E、F共线，CD∥AB，GF⊥FB）．（1）求自动扶梯AD的长度；（2）求大型条幅GE的长度．（结果保留根号）15．综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A 与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG 的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．16．如图，直线MN和EF为河的两岸，且MN∥EF，为了测量河两岸之间的距离，某同学在河岸FE的B点测得∠CBE＝30°，从B点沿河岸FE的方向走40米到达D点，测得∠CDE＝45°．（1）求河两岸之间的距离是多少米？（结果保留根号）（2）若从D点继续沿DE的方向走（12√3+12）米到达P点．求tan∠CPE的值．17．如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”、“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸、某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下，如图2，“龙”字雕塑CD 位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得∠BAC＝38°，∠BAD＝53°，AB＝18m．求“龙”字雕塑CD的高度，（B，C，D三点共线，BD⊥AB，结果精确到0.1m）（参考数据：sin38°＝0.62，cos38°＝0.79，tan38°＝0.78，sin53°＝080，cos53°＝0.60，tan53°＝1.33）18．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，3名航天员顺利进驻中国空间站．如图中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC＝BC＝10m，两臂夹角∠ACB＝100°时，求A，B两点间的距离．（结果精确到0.1m，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）19．东昌湖西岸的明珠大剧院，隔湖与远处的角楼、城门楼、龙堤、南关桥等景观遥相呼应．如图所示，城门楼B在角楼A的正东方向520m处，南关桥C在城门楼B的正南方向1200m 处．在明珠大剧院P测得角楼A在北偏东68.2°方向，南关桥C在南偏东56.31°方向（点A，B，C，P四点在同一平面内），求明珠大剧院到龙堤BC的距离（结果精确到1m）（参考数据：sin68，2°≈0.928，cos68.2°≈0.371，tan68.2°≈2.50，sin56.31°≈0.832，cos56.31°≈0.555，tan56.31°≈1.50）20．某次军事演习中，一艘船以40km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，浏得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73．结果精确到0.1km）．21．我国航天事业捷报频传，2023年5月30日，被誉为“神箭”的长征二号F运载火箭托举神舟十六号载人飞船跃入苍穹，中国空间站应用与发展阶段首次载人发射任务取得圆满成功．如图，有一枚运载火箭从地面O处发射，当火箭到达P处时，地面A处的雷达站测得AP距离是5000m，仰角为23°，9s后，火箭直线到达Q处，此时地面A处雷达站测得Q处的仰角为45°，求火箭从P到Q处的平均速度（结果精确到1m/s）．（参考数据：sin23°≈0.39，cos23°≈0.92，tan23°≈0.42）22．根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点和点．获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．23．“一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为120°，当其中一片风叶OB与塔干OD叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角∠OED＝45°，风叶OA 的视角∠OEA＝30°．（1）已知α，β两角和的余弦公式为：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，请利用公式计算cos75°；（2）求风叶OA的长度．24．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG⊥CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上，OA＝2.5米，AD＝0.8米．∠AGC＝32°．（1）求∠GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62）25．某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度AB，在建筑物附近有一斜坡，坡长CD＝10米，坡角α＝30°，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为60°，在D处测得建筑物顶端A的仰角为30°．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）（1）求点D到地面BC的距离；（2）求该建筑物的高度AB．。

中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案

中考数学专题 初中三角函数应用题10道-含答案

初中三角函数应用题10道(1)求步道AC 的长度（结果保留根号）；(2)游客中心Q 在点A 的正东方向，步道AC 与步道BQ 交于点P 小明和爸爸分别从B 处和A 处同时出发去游客中心，小明跑步的速度是每分钟请计算说明爸爸的速度要达到每分钟多少米，他俩可同时到达游客中心．0.1）（参考数据：2 1.414≈，3 1.732≈，6 2.449≈）2．（2023春·重庆沙坪坝·九年级重庆八中校考阶段练习）下图是儿童游乐场里的一个娱乐项目转飞椅的简图，该设施上面有一个大圆盘（圆盘的半径是 3.5OA =米），圆盘离地面的高度1 6.5OO =米，且1OO ⊥地面l ，圆盘的圆周上等间距固定了一些长度相等的绳子，绳子的另一端系着椅子（将椅子看作一个点，比如图中的点B 和1B ），当旋转飞椅静止时绳子是竖直向下的，如图中的线段AB ，绳长为4.8米固定不变．当旋转飞椅启动时，圆盘开始旋转从而带动绳子和飞椅一起旋转，旋转速度越大，飞椅转得越高，当圆盘旋转速度达到最大时，飞椅也旋转到最高点，此时绳子与竖直方向所成的夹角为57α=︒．（参考数据：sin 570.84︒≈，cos570.55︒≈，tan 57 1.54︒≈）(1)求飞椅离地面的最大距离（结果保留一位小数）；(2)根据有关部门要求，必须在娱乐设施周围安装安全围栏，而且任何时候围栏和飞椅的水平距离必须超过2米．已知该旋转飞椅左侧安装有围栏EF ，且EF l ⊥，19.8O E =米，请问圆盘最大旋转速度的设置是否合规？并说明理由．3．（2023春·重庆渝北·九年级校联考阶段练习）如图，某大楼的顶部竖有一块宣传牌AB ，小明在斜坡的坡脚D 处测得宣传牌底部B 的仰角为45︒，沿斜坡DE 向上走到E 处测得宣传牌顶部A 的仰角为31︒，已知斜坡DE 的坡度3:4，10DE =米，22DC =米，求宣传牌AB 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：sin 310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan 310.6)︒≈。

2.中考数学锐角三角函数实际应用

2.中考数学锐角三角函数实际应用

中考复习——锐角三角函数的实际应用1、在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19．5 km 处有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 A 的北偏西30°,且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距 km 的C 处． （1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．2、如图是某货站传送货物的平面示意图. 为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°. 已知原传送带AB 长为4米. （1）求新传送带AC 的长度；（2）如果需要在货物着地点C 的左侧留出2米的通道，试判断距离B 点4米的货物MNQP 是否需要挪走，并说明理由．(说明：⑴⑵的计算结果精确到0.1米，参考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.24， ≈2.45)3、如图所示，一幢楼房AB 背后有一台阶CD ，台阶每层高2.0米，且AC =2.17米，设太阳光线与水平地面的夹角为α.当︒=60α时，测得楼房在地面上的影长AE =10米，现有一只小猫睡在台阶的MN 这层上晒太阳.（ 取73.1）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当︒=45α时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由.第25题图DBAC东l4,图①、②分别是某种型号跑步机的实物图与示意图，已知踏板CD长为1.6m，CD与地面DE的夹角∠CDE 为12°，支架AC长为0.8m，∠ACD为80°，求跑步机手柄的一端A的高度h（精确到0.1m）．（参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）5.如图，为了测量山顶铁塔AE的高，小明在27m高的楼CD底部D测得塔顶A的仰角为45°，在楼顶C测得塔顶A的仰角36°52′．已知山高BE为56m，楼的底部D与山脚在同一水平线上，求该铁塔的高AE．（参考数据：sin36°52′≈0.60，tan36°52′≈0.75）6.如图，小明在大楼30米高（即PH＝30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P、H、B、C、A在同一个平面上．点H、B、C在同一条直线上，且PH⊥HC．(1)山坡坡角（即∠ABC）的度数等于▲度；(2)求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．7.如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1：，AB=10米，AE=15米．（i=1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：≈1.41，≈1.73）8、如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离（AB）是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离（CD）是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°．两人相距28米且位于旗杆两侧（点B、N、D在同一条直线上）．求出旗杆MN的高度．（参考数据：≈1.4，≈1.7，结果保留整数．）9、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树的正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为3米，台阶AC的坡度为1：（即AB：BC=1：），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（侧倾器的高度忽略不计）．10、如图，两建筑物的水平距离BC为18m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°．则建筑物CD的高度为m（结果不作近似计算）．11、如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，≈1.73）12．如图，小莉的家在锦江河畔的电梯公寓AD内，她家的河对岸新建了一座大厦BC，为了测量大厦的高度，小莉在她家的楼底A处测得大厦顶部B的仰角为60°，爬上楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°，已知电梯公寓高82米，请你帮助小莉计算出大厦的高度BC及大厦与电梯公寓间的距离AC．13．如图，一辆摩拜单车放在水平的地面上，车把头下方A处与坐垫下方B处在平行于地面的水平线上，A、B之间的距离约为49cm，现测得AC、BC与AB的夹角分别为45°与68°，若点C到地面的距离CD 为28cm，坐垫中轴E处与点B的距离BE为4cm，求点E到地面的距离（结果保留一位小数）．（参考数据：sin68°≈0.93，cos68°≈0.37，cot68°≈0.40）14．某学校为增加体育馆观众坐席数量，决定对体育馆进行施工改造．如图，为体育馆改造的截面示意图．已知原座位区最高点A到地面的铅直高度AC长度为15米，原坡面AB的倾斜角∠ABC为45°，原坡脚B与场馆中央的运动区边界的安全距离BD为5米．如果按照施工方提供的设计方案施工，新座位区最高点E到地面的铅直高度EG长度保持15米不变，使A、E两点间距离为2米，使改造后坡面EF的倾斜角∠EFG为37°．若学校要求新坡脚F需与场馆中央的运动区边界的安全距离FD至少保持2.5米（即FD≥2.5），请问施工方提供的设计方案是否满足安全要求呢？请说明理由．（参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34）15．如图，贵阳市某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后．选定测量小河对岸一幢建筑物BC 的高度．他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶的仰角为30°．且D离地面的高度DE=5m．坡底EA=10m，然后在A处测得建筑物顶B的仰角是50°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果保留整数）16．小明在数学课中学习了《解直角三角形》的内容后，双休日组织教学兴趣小组的小伙伴进行实地测量．如图，他们在坡度是i=1：2.5的斜坡DE的D处，测得楼顶的移动通讯基站铁塔的顶部A和楼顶B的仰角分别是60°、45°，斜坡高EF=2米，CE=13米，CH=2米．大家根据所学知识很快计算出了铁塔高AM．亲爱的同学们，相信你也能计算出铁塔AM的高度！请你写出解答过程．（数据≈1.41，≈1.73供选用，结果保留整数）17．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为0.5m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到0.1m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．18．为给人们的生活带来方便，2017年兴化市准备在部分城区实施公共自行车免费服务．图1是公共自行车的实物图，图2是公共自行车的车架示意图，点A、D、C、E在同一条直线上，CD＝35cm，DF＝24cm，AF＝30cm，FD⊥AE于点D，座杆CE＝15cm，且∠EAB＝75°．(1)求AD的长；(2)求点E到AB的距离（结果保留整数）．（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）图1 图219．如图2，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，展开小桌板使桌面保持水平时如图1，小桌板的边沿O点与收起时桌面顶端A点的距离OA=75厘米，此时CB⊥AO，∠AOB=∠ACB=37°，且支架长OB与支架长BC的长度之和等于OA的长度．（1）求∠CBO的度数；（2）求小桌板桌面的宽度BC．（参考数据sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）20．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为31°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC=40米，塔所在的山高OB=240米，OA=300米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内．求：（1）P到OC的距离．（2）山坡的坡度tanα．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin31°≈0.52，tan31°≈0.60）21．（2017湖南常德第24题）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC=0.60米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB=75°，支架AF的长为2.50米，篮板顶端F点到篮框D的距离FD=1.35米，篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE=60°，求篮框D到地面的距离（精确到0.01米）（参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.732，≈1.414，≈1.732）22．如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯。

中考数学解题技巧如何利用三角函数解决三角形的边角问题

中考数学解题技巧如何利用三角函数解决三角形的边角问题

中考数学解题技巧如何利用三角函数解决三角形的边角问题数学在中考中是一个很重要的科目，而解决三角形的边角问题是其中一个关键的考点。

本文将介绍如何利用三角函数解决这类问题，并给出一些解题技巧。

一、利用正弦函数解决三角形的边角问题在解决三角形的边角问题中，正弦函数是一种常用的数学工具。

根据正弦函数的定义，我们有以下公式：sinA = 边opposite÷边hypotenuse在具体的问题中，如果已知两条边和夹角，我们可以利用上述公式计算未知边的长度。

同样地，如果已知两条边和一个角的大小，我们也可以通过反正弦函数求解另一个角的大小。

举个例子，假设有一个直角三角形，已知一条边的长度为6，另一条边的长度为8，求直角边的长度。

根据正弦函数，我们可以设置如下方程：sinA = 6÷10解这个方程可以得到：A = arcsin(6÷10)计算后可得A ≈ 36.87°，因此直角边的长度约为6.87。

二、利用余弦函数解决三角形的边角问题除了正弦函数，余弦函数也是解决三角形问题时经常使用的工具。

根据余弦函数的定义，我们有以下公式：cosA = 边adjacent÷边hypotenuse同样地，通过这个公式，我们可以计算已知两条边和夹角的情况下的第三条边的长度。

假设有一个三角形，已知一边的长度为5，另一边的长度为7，夹角为60°，我们可以设置如下方程：cosA = 5÷8解这个方程可得：A = arccos(5÷8)计算后可得A ≈ 41.41°，因此第三边的长度约为7.79。

三、利用正切函数解决三角形的边角问题正切函数也是解决三角形问题时重要的数学工具之一。

根据正切函数的定义，我们有以下公式：tanA = 边opposite÷边adjacent同样地，通过这个公式，我们可以计算已知两条边和夹角的情况下的第三条边的长度。

2024年中考数学考点必备知识必备13 锐角三角函数及其应用(原卷版)

2024年中考数学考点必备知识必备13 锐角三角函数及其应用(原卷版)

知识必备13锐角三角函数及其应用易错点1.涉及锐角三角函数的概念时,是否明确“对边”“邻边”“斜边”都是在“直角三角形”中.一．选择题（共3小题）1．（2023•青岛三模）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，ABC 的顶点均在小正方形的顶点上，则sin BAC 的值为()A ．34B ．45C ．35D ．432．（2023•泉港区模拟）已知A 是锐角ABC 的内角，3sin 5A，则cos A 的值是()A ．25B ．35C ．45D ．533．（2023•宿城区校级模拟）如图，点A 、B 、C 均在44 的正方形网格的格点上，则tan (BAC )A ．13B ．14C ．15D 5二．填空题（共5小题）4．（2023•茂南区校级模拟）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A 、B 、O 都在格点上，则OAB 的正弦值是．5．（2023•西城区校级模拟）在正方形网格中，ABC 的位置如图所示，则sin ABC 为．6．（2023•广陵区校级一模）如图，在ABC 中，1sin 4B ，1tan 2C ，4AB ，则AC 的长为．7．（2023•鼓楼区校级二模）我们给出定义：如果两个锐角的和为45 ，那么称这两个角互为半余角．如图，在ABC 中，A ，B 互为半余角，且223BC AC ，则tan A ．8．（2023•富锦市校级一模）等边ABC 中，点D 在射线CA 上，且2AB AD ，则tan DBC 的值为．易错点2.实际问题中对坡角、俯角、仰角与方位角等找不准无法准确理解题意易出错.一．选择题（共3小题）1．（2023•石狮市模拟）如图，线段AB 、CD 分别表示甲、乙建筑物的高，AB MN 于点B ，CD MN 于点D ，两座建筑物间的距离BD 为40m ．若甲建筑物的高AB 为20m ，在点A 处测得点C 的仰角 为25 ，则乙建筑物的高CD 约为()（参考数据：sin 250.42 ，cos 250.91 ，tan 250.47)A ．36.8mB ．38.8mC ．40.8mD ．56.4m2．（2023•龙岗区二模）港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．港珠澳大桥主桥为三座大跨度钢结构斜拉桥，其中九洲航道桥主塔造型取自“风帆”，寓意“扬帆起航”，某校九年级学生为了测量该主塔的高度，站在B 处看塔顶A ，仰角为60 ，然后向后走160米(160BC 米），到达C 处，此时看塔顶A ，仰角为30 ，则该主塔的高度是()A ．80米B ．3C ．160米D ．8023．（2023•任丘市模拟）如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55 方向，距离灯塔2海里的点A 处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB 的长是()A ．2sin 55 海里B ．2sin 55 海里C ．2cos55 海里D ．2cos55 海里二．填空题（共4小题）4．（2023•香洲区校级三模）如图，无人机A 的探测器显示，从无人机看树顶B 的仰角为30 ，看树底部C 的俯角为60 ，无人机与树的水平距离为6m ，则树高BC 为m （结果保留根号）．5．（2023•江汉区校级模拟）如图载人飞船从地面O 处成功发射，当飞船到达点A 时，地面D 处的雷达站测得4000AD 米，仰角为30 ，3秒后，飞船直线上升到达点B 处，此时地面C 处的雷达站测得B 处的仰角为45 ．点O ，C ，D 在同一直线上，已知C ，D 两处相距460米，则飞船从A 到B 处的平均速度为米/秒．（结果精确到1米；参考数据：3 1.732 ，2 1.414)6．（2023•石峰区二模）如图，为了测量河宽CD ，先在A 处测得对岸C 点在其北偏东30 方向，然后沿河岸直行到点B ，在B 点测得对岸C 点在其北偏西45 方向，经过计算河宽CD 是30米，则从A 点到B 点的距离为米．（结果保留根号）7．（2023•肇东市模拟）如图，轮船B在码头A的正东方向，与码头A的距离为100海里，轮船B向北航行40海里到达C处时，接到D处一艘渔船发来的求救信号，于是沿北偏西45 方向航行到D处，解救渔船后轮船沿南偏西32 返回到码头A，那么码头A与D的距离为海里．（结果保留整数，参考数据：sin320.5，，cos320.8 ．)tan320.6三．解答题（共5小题）8．（2023•扶余市二模）如图，利用板子往卡车里装货，板子与地面成20 ，车高 1.5AB 米．在装货时，突然板子的D处折了，板子的端点D落在地面上的D 处，与地面成32 ．（1）求AD 的长度；（2）求被折断的板子CD的长度．（精确到0.1米，参考数据：sin200.34，，cos200.94，tan200.36sin320.53，tan320.62)，cos320.859．（2023•仁寿县模拟）为增强体质，小明和小强相约周末去登山，小明同学从北坡山脚C处出发，小强同学同时从南坡山脚B处出发，如图所示．已知小山北坡长为240米，坡度3i 45 ．（出发点B和C在同一水平高度，将山路AB、AC看成线段）（1）求小山南坡AB的长；（2）如果小明以每分钟24米的速度攀登，小强若要和小明同时到达山顶A，求小强攀登的速度．（结果保留根号）10．（2023•武陟县三模）金水区开展了“安全行车，方便大家”的活动，某大型连锁超市为了购物者行车安全，对地下车库进行改造．如图，AB BCADCBC 米，现将斜坡的坡角改为15 ，即15（此AB 米，12，测得5时点B、C、D在同一直线上），求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离．（参考数据：sin150.26，，cos150.97 ，结果精确到0.1)mtan150.2711．（2023•许昌二模）如图所示，一梯子AC斜靠着墙OD，梯子与地面夹角为45 ．若梯子底端A向右水平移动1m 至点B，梯子顶端随之向上移动至点D，此时DBO，2OB m，求CD的长度．（用含 的式子表示）12．（2023•东阿县一模）如图，某巡逻艇在海上例行巡逻，上午10时在C处接到海上搜救中心从B处发来的救援任务，此时事故船位于B处的南偏东25 方向上的A处，巡逻艇位于B处的南偏西28 方向上1260米处，事故船位于巡逻艇的北偏东58 方向上，巡逻艇立刻前往A处救援，已知巡逻艇每分钟行驶120米，请估计几分钟可以到达事故船A处． 1.73，4sin535，3cos535，4tan533．一．解直角三角形（共7小题）1．（2023•陕西）如图，在67 的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则sin B的值为()A ．21313B ．31313C ．23D ．542．（2023•常州）如图，在Rt ABC 中，90A ，点D 在边AB 上，连接CD ．若BD CD ，13AD BD ，则tan B ．3．（2023•攀枝花）ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知6a ，8b ，10c ，则cos A 的值为()A ．35B ．34C ．45D ．434．（2023•武汉）如图，将45 的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上，顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数为2cm ，若按相同的方式将37 的AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数是cm （结果精确到0.1cm ，参考数据sin 370.60 ，cos 370.80 ，tan 370.75) ．5．（2023•牡丹江）如图，将45 的AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上；顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读数恰为2cm ，若按相同的方式将22.5 的AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为cm ．6．（2023•丹东）如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，已知点(3,0)A ，(0,4)B ，点C 在x 轴负半轴上，连接AB ，BC ，若tan 2ABC ，以BC 为边作等边三角形BCD ，则点C 的坐标为；点D 的坐标为．7．（2023•广元）如图，在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A ，点(0,3)B ，点C 在x 轴上，且点C 在点A 右方，连接AB ，BC ，若1tan 3ABC ，则点C 的坐标为．二．解直角三角形的应用（共16小题）8．（2023•内蒙古）如图源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，则cos 的值为()A ．34B ．43C ．35D ．459．（2023•南充）如图，小兵同学从A 处出发向正东方向走x 米到达B 处，再向正北方向走到C 处，已知BAC ，则A ，C 两处相距()A ．sin x 米B ．cos x 米C ．sin x 米D ．cos x 米10．（2023•达州）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为3m ，当摆角BOC 恰为26 时，座板离地面的高度BM 为0.9m ，当摆动至最高位置时，摆角AOC 为50 ，求座板距地面的最大高度为多少m ？（结果精确到0.1m ；参考数据：sin 260.44 ，cos 260.9 ，tan 260.49 ，sin 500.77 ，cos500.64 ，tan 50 1.2)11．（2023•湘潭）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①)．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当0t 时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时30，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．AOM问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据2 1.414，3 1.732)12．（2023•成都）为建设美好公园社区，增强民众生活幸福感，某社区服务中心在文化活动室墙外安装遮阳篷，便于社区居民休憩．如图，在侧面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平面的夹角为16 ，且靠墙端离地高BC为4米，当太阳光线AD 与地面CE的夹角为45 时，求阴影CD的长．（结果精确到0.1米；参考数据：sin160.28，，cos160.96tan160.29)13．（2023•呼和浩特）如图所示，小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB．小明想知道A，B两地间的距离，测得50B，请帮小明求出两地间，40A，45AC m距离AB的长．（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）14．（2023•河南）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，30，AB cm 顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交．求树EG的高度（结果精确到0.1)m．BH cm，20BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离11AF m15．（2023•绍兴）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA垂直地面OB，支架CD与OA交于点A，支架CG CD交OA于点G，支架DE平行地面OB，篮筐EF与支架DE在同一直线上， 2.5．AGCOA 米，0.8AD 米．32（1）求GAC的度数；（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin320.53，tan320.62)，cos320.8516．（2023•贵州）贵州旅游资源丰富．某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图①景区内修建观光索道．设计示意图如图②所示，以山脚A为起点，沿途修建AB、CD两段长度相等的观光索道，最终到达山顶D处，中途设计了一段与AF平行的观光平台BC为50m．索道AB与AF的夹角为15 ，CD与水平线夹角为45 ，A、B两处的水平距离AE为576m，DF AF，垂足为点F．（图中所有点都在同一平面内，点A、E、F在同一水平线上）（1）求索道AB的长（结果精确到1)m；（2）求水平距离AF的长（结果精确到1)m．（参考数据：sin150.25，2 1.41)，cos150.96，tan150.2617．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB BE，，10.4AC m．求云梯顶端A到地面的CE m， 1.25，垂足分别为B，E，//CD EB，测得70ACDCE BE距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin700.94，tan70 2.75)，cos700.3418．（2023•苏州）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，BE，CD，GF为长度固定的支架，支架在A，D，G处与立柱AH连接(AH垂直于MN，垂足为)H，在B，C处与篮板连接(BC所在直线垂直于)MN，EF是可以调节长度的伸缩臂（旋转点F处的螺栓改变EF的长度，使得支架BE绕点A旋转，从而改变四边形ABCD的形状，以此调节篮板的高度）．已知AD BCGAE，208，测得60DH cm时，点C离地面的高度为288cm．调节伸缩臂EF，将GAE由60 调节为54 ，判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：sin540.8，cos540.6)19．（2023•鞍山）某商店窗前计划安装如图1所示的遮阳棚，其截面图如图2所示，在截面图中，墙面BC 垂直于地面CE ，遮阳棚与墙面连接处点B 距地面高3m ，即3BC m ，遮阳棚AB 与窗户所在墙面BC 垂直，即90ABC BCE ，假设此地正午时太阳光与地面的夹角恰为60 （若经过点A 的光线恰好照射在地面点D 处，则60)ADE ，为使正午时窗前地面上能有1m 宽的阴影区域，即1CD m ，求遮阳棚的宽度AB ．（结果精确到0.1m ，参考数据：3 1.73) 20．（2023•锦州）如图1，是某校教学楼正厅一角处摆放的“教学楼平面示意图”展板，数学学习小组想要测量此展板的最高点到地面的高度．他们绘制了图2所示的展板侧面的截面图，并测得120AB cm ，80BD cm ，105ABD ，60BDQ ，底座四边形EFPQ 为矩形，5EF cm ．请帮助该数学学习小组求出展板最高点A 到地面PF 的距离．（结果精确到1cm ．参考数据：2 1.41 ，3 1.73)21．（2023•威海）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳篷．已知苗圃的（南北）宽 6.5AB 米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是76.5DAE，最小夹角是29.5DBE．求遮阳蓬的宽CD和到地面的距离CB．参考数据：49sin29.5100，87cos29.5100，14tan29.525，97sin76.5100，23cos76.5100，21tan76.55．22．（2023•兰州）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”，“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动，具体过程如下．如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得38BAC，53BAD，18AB m，求“龙”字雕塑CD的高度．B，C，D三点共线，BD AB，结果精确到0.1)m（参考数据：sin380.62，cos380.79，tan380.78，sin530.80，cos530.60，tan53 1.33)23．（2023•常德）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图（图2)．在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，EBC是等腰三角形且BC CE，114.2FBA，靠背57FC cm，支架43AN cm，扶手的一部分16.4BE cm．这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面()MN的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果（最后结果保留一位小数）．（参考数据：sin65.80.91，cos65.80.41，tan65.8 2.23)三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共4小题）24．（2023•威海）如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为28 ，高为7米．用计算器求AB 的长，下列按键顺序正确的是()A ．B ．C ．D ．25．（2023•深圳）爬坡时坡面与水平面夹角为 ，则每爬1m 耗能(1.025cos )J ，若某人爬了1000m ，该坡角为30 ，则他耗能()（参考数据：3 1.732 ，2 1.414)A ．58JB ．159JC ．1025JD ．1732J26．（2023•济南）图1是某越野车的侧面示意图，折线段ABC 表示车后盖，已知1AB m ，0.6BC m ，123ABC ，该车的高度 1.7AO m ．如图2，打开后备箱，车后盖ABC 落在AB C 处，AB 与水平面的夹角27B AD ．（1）求打开后备箱后，车后盖最高点B 到地面l 的距离；（2）若小琳爸爸的身高为1.8m ，他从打开的车后盖C 处经过，有没有碰头的危险？请说明理由．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin 270.454 ，cos 270.891 ，tan 270.510 ，3 1.732)27．（2023•宁夏）如图，粮库用传送带传送粮袋，大转动轮的半径为10cm ，传送带与水平面成30 角．假设传送带与转动轮之间无滑动，当大转动轮转140 时，传送带上点A 处的粮袋上升的高度是多少？（传送带厚度忽略不计）四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共20小题）28．（2023•湖北）综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面CD的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为45 ，尚美楼顶部F的俯角为30 ，已知博雅楼高度CE为15米，则尚美楼高度DF为米．（结果保留根号）29．（2023•岳阳）2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在A处用仪器测得赛场一宣传气球顶部E处的仰角为21.8 ，仪器与气球的水平距离BC为20米，且距地面高度AB为1.5米，则气球顶部离地面的高度EC是米（结果精确到0.1米，sin21.80.3714．，cos21.80.9285，tan21.80.4000)30．（2023•宁波）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为 ，设仰角为 ，请直接用含 的代数式表示 ．（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角ABD为37 ，ACD，求气球A离地面的高 为45 ，地面上点B，C，D在同一水平直线上，20BC m 度AD．（参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)31．（2023•新疆）烽燧即烽火台，是古代军情报警的一种措施，史册记载，夜间举火称“烽”，白天放烟称“燧”．克孜尔尕哈烽燧是古丝绸之路北道上新疆境内时代最早、保存最完好、规模最大的古代烽燧（如图1)．某数学兴趣小组利用无人机测量该烽燧的高度，如图2，无人机飞至距地面高度31.5米的A 处，测得烽燧BC 的顶部C 处的俯角为50 ，测得烽燧BC 的底部B 处的俯角为65 ，试根据提供的数据计算烽燧BC 的高度．（参考数据：sin 500.8 ，cos500.6 ，tan 50 1.2 ，sin 650.9 ，cos 650.4 ，tan 65 2.1)32．（2023•长沙）2023年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O 处发射，当飞船到达A 点时，从位于地面C 处的雷达站测得AC 的距离是8km ，仰角为30 ；10s 后飞船到达B 处，此时测得仰角为45 ．（1）求点A 离地面的高度AO ；（2）求飞船从A 处到B 处的平均速度．（结果精确到0.1/km s 3 1.73)33．（2023•菏泽）无人机在实际生活中的应用越来越广泛．如图所示，某人利用无人机测量大楼的高度BC ，无人机在空中点P 处，测得点P 距地面上A 点80米，点A 处的俯角为60 ，楼顶C 点处的俯角为30 ，已知点A 与大楼的距离AB 为70米（点A ，B ，C ，P 在同一平面内），求大楼的高度BC （结果保留根号）．34．（2023•德州）如图，某校综合实践小组在两栋楼之间的水平地面E 处放置一个测角仪，经测量，53AEB ，45CED ，已知60BE 米，20ED 米．求两栋楼楼顶A ，C 之间的距离（参考数据：4sin 535 ，3cos535，4tan 533 ，测角仪的高度忽略不计）．35．（2023•襄阳）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点C 处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离CE 为32m ，从热气球C 看铜像顶部A 的俯角为45 ，看铜像底部B 的俯角为63.4 ．已知底座BD 的高度为4m ，求铜像AB 的高度．（结果保留整数．参考数据：sin 63.40.89 ，cos63.40.45 ，tan 63.4 2.00 2 1.41) ．36．（2023•张家界）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼AB 的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m 的P 点，测得奇楼顶端A 的俯角为15 ，再将无人机沿水平方向飞行200m 到达点Q ，测得奇楼底端B 的俯角为45 ，求奇楼AB 的高度．（结果精确到1m ，参考数据：sin150.26 ，cos150.97 ，tan150.27)37．（2023•陕西）小华想利用所学知识测量自家对面的两栋楼AB 与CD 的高度差．如图所示，她站在自家阳台上发现，在阳台的点E 处恰好可经过楼CD 的顶端C 看到楼AB 的底端B ，即点E ，C ，B 在同一直线上．此时，测得点B 的俯角22 ，点A 的仰角16.7 ，并测得48EF m ，50FD m ．已知，EF FB ，CD FB ，AB FB ，点F ，D ，B 在同一水平直线上．求楼AB 与CD 的高度差．（参考数据：sin16.70.29 ，cos16.70.96 ，tan16.70.30 ，sin 220.37 ，cos 220.93 ，tan 220.40)38．（2023•青岛）太阳能路灯的使用，既方便了人们夜间出行，又有利于节能减排．某校组织学生进行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度．如图，太阳能电池板宽为AB ，点O 是AB 的中点，OC 是灯杆．地面上三点D ，E 与C 在一条直线上， 1.5DE m ，5EC m ．该校学生在D 处测得电池板边缘点B 的仰角为37 ，在E 处测得电池板边缘点B 的仰角为45 ．此时点A 、B 与E 在一条直线上．求太阳能电池板宽AB 的长度．（结果精确到0.1m ．参考数据：3sin 375 ，4cos375 ，3tan 374 2 1.41)39．（2023•内蒙古）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为 ，无人机沿水平线AF方向继续飞行12米至B处，测得河流右岸D处的俯角为30 ，．求河流的宽度CD 线段243AM 米为无人机距地面的铅直高度，点M，C，D在同一条直线上，其中tan2（结果精确到1米，参考数据：3 1.7)．40．（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30 和45 ，40BDF，159，点A，B，C，D，AB m，20BD mE，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：3 1.73，，tan210.38)，cos210.93sin210.3641．（2023•南京）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点A，B．无人机悬停在C处，此时在A处测得C的仰角为3652AB m， ；无人机垂直上升5m悬停在D处，此时在B处测得D的仰角为6326．10点A，B，C，D在同一平面内，A，B两点在CD的同侧．求无人机在C处时离地面的高度．（参考数据：tan36520.75．)，tan6326 2.0042．（2023•永州）永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示）．寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段AB代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面BN上D处为陈树湘雕像拍照，相机支架CD高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为45 ，然后将相机支架移到MN处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为30 ，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：3 1.732)．43．（2023•阜新）如图，小颖家所在居民楼高AB为46m．从楼顶A处测得另一座大厦顶部C的仰角 是45 ，而大厦底部D的俯角 是37 ．（1）求两楼之间的距离BD．（2）求大厦的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据：sin370.60，tan370.75)，cos370.8044．（2023•恩施州）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，B处测出点D的仰角度数，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，高BC为3m．他在点A处测得点D的仰角为45 ，在点B处测得点D的仰角为38.7 ．A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能，请说明理由．（参考数据：，结果保留整数），tan38.70.80，cos38.70.780sin38.70.62545．（2023•鄂州）鄂州市莲花山是国家4A 级风景区，元明塔造型独特，是莲花山风景区的核心景点，深受全国各地旅游爱好者的青睐．今年端午节，景区将举行大型包粽子等节日庆祝活动．如图2，景区工作人员小明准备从元明塔的点G 处挂一条大型竖直条幅到点E 处，挂好后，小明进行实地测量，从元明塔底部F 点沿水平方向步行30米到达自动扶梯底端A 点，在A 点用仪器测得条幅下端E 的仰角为30 ；接着他沿自动扶梯AD 到达扶梯顶端D 点，测得点A 和点D 的水平距离为15米，且4tan 3DAB ；然后他从D 点又沿水平方向行走了45米到达C 点，在C 点测得条幅上端G 的仰角为45 ．（图上各点均在同一个平面内，且G ，C ，B 共线，F ，A ，B 共线，G 、E 、F 共线，//CD AB ，)GF FB ．（1）求自动扶梯AD 的长度；（2）求大型条幅GE 的长度．（结果保留根号）46．（2023•吉林）某校数学活动小组要测量校园内一棵古树的高度，王朵同学带领小组成员进行此项实践活动，记录如下：填写人：王朵综合实践活动报告时间：2023年4月20日活动任务：测量古树高度活动过程自制测角仪，把一根细线固定在半圆形量角器的圆心处，细线的另一端系一个小重物，制成一个简单的测角仪，利用它可以测量仰角或俯角，如图②所示．准备皮尺．【步骤三】实地测量并记录数据如图③，王朵同学站在离古树一定距离的地方，将这个仪器用手托起，拿到眼前，使视线沿着仪器的直径刚好到达古树的最高点．如图④，利用测角仪，测量后计算得出仰角 ．测出眼睛到地面的距离AB．测出所站地方到古树底部的距离BD．40 ．．1.54AB mBD m10.请结合图①、图④和相关数据写出 的度数并完成【步骤四】．47．（2023•徐州）徐州电视塔为我市的标志性建筑之一，如图，为了测量其高度，小明在云龙公园的点C处，用测角仪测得塔顶A的仰角36，他在平地上沿正对电视塔的方向后退至点D处，测得塔顶A的仰角AFECD m，求电视塔的高度AB（精确到0.1)m．（参考数FC GD m，7030AGE．若测角仪距地面的高度 1.6据：sin360.59，tan300.58)，cos300.87，cos360.81，tan360.73，sin300.50五．解直角三角形的应用-方向角问题（共6小题）48．（2023•郴州）某次军事演习中，一艘船以40/km h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60 方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45 方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离（参考数 ．结果精确到0.1)3 1.732 1.41km．49．（2023•西藏）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东60 的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）50．（2023•海南）如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30 方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60 方向上，测得港口C位于B的北偏东45 方向上．已知港口C在灯塔M 的正北方向上．（1）填空：AMB度，BCM度；（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；（3）求港口C与灯塔M的距离（结果保留根号）．51．（2023•重庆）人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品．经测量，A在灯塔C的南偏西60 方向，B在灯塔C的南偏东45 方向，且在A的正东方向，3600AC 米．（1）求B养殖场与灯塔C的距离（结果精确到个位）；（2）甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？（参考数据：2 1.414，3 1.732)52．（2023•株洲）如图所示，在某交叉路口，一货车在道路①上点A处等候“绿灯”，一辆轿车从被山峰POQ遮挡的道路②的点B处由南向北行驶．已知30POQ，//BC OQ，OC OQ，AO OP，线段AO的延长线交直线BC于点D．（1）求COD的大小；（2）若在点B处测得点O在北偏西 方向上，其中3tan5，12OD 米．问该轿车至少行驶多少米才能发现点A处的货车？（当该轿车行驶至点D处时，正好发现点A处的货车）。

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题(含答案)

中考数学复习《锐角三角函数及其实际应用》经典题型及测试题（含答案）命题点分类集训命题点1 特殊角的三角函数值【命题规律】1.考查内容：主要考查 30°，45°，60°角的正弦，余弦，正切值的识记、正余弦的转换及由三角函数值求出角度. 2.考查形式：①三类特殊角的三角函数值识记；②与非负性结合，通过三角函数值求角度；③正弦余弦、正切余切之间的相互转化，判断关系式是否成立；④在实数运算中涉及三类特殊角的三角函数值运算(具体试题见实数的运算部分)．【命题预测】特殊角的三角函数值作为识记内容在实数运算中考查的可能性比较大，而单独考查也会出现．1. sin 60°的值等于( ) A . 12B .22 C . 32D . 3 1. C2. 下列式子错误．．的是( ) A . cos 40°＝sin 50° B . tan 15°·tan 75°＝1 C . sin 225°＋cos 225°＝1 D . sin 60°＝2sin 30°2. D 【解析】逐项分析如下：选项 逐项分析正误 A cos40°＝sin(90°－40°)＝sin50° √ B tan15°·tan75°＝1tan75°×tan75°＝1√ C sin 2A ＋cos 2A ＝1√ D∵sin60°＝32，2sin30°＝2×12＝1，∴sin60°≠2sin30° ×3. 已知α，β均为锐角，且满足|sin α－12|＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________．3. 75° 【解析】由于绝对值和算术平方根都是非负数，而这两个数的和又为零，于是它们都为零．根据题意，得|sin α－12|＝0，（tan β－1）2＝0，则sin α ＝12，tan β ＝1，又因为α、β均为锐角，则α＝30°，β＝45°，所以α＋β＝30°＋45°＝75°. 命题点2 直角三角形的边角关系【命题规律】1.考查内容：在直角三角形中，三边与两个锐角之间关系的互化.2.考查形式：已知一边及某锐角的三角函数值，求其他量，或结合直角坐标系求锐角三角函数值．【命题预测】直角三角形的边角关系是解直角三角形实际应用问题的基础，值得关注．4. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(4，3)，那么cos α的值是( ) A . 34B . 43C . 35D . 454. D 【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，∵A (4，3)，∴OB ＝4，AB ＝3，∴OA ＝32＋42＝5，∴cos α＝OB OA ＝45.5. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝45，AC ＝6 cm .则BC 的长度为( )A . 6 cmB . 7 cmC . 8 cmD . 9 cm5. C 【解析】∵sin A ＝BC AB ＝45，∴设BC ＝4a ，则AB ＝5a ，AC ＝（5a ）2－（4a ）2＝3a ，∴3a ＝6，即a ＝2，故BC ＝4a ＝8 cm.6. 已知：如图，在锐角△ABC 中，AB ＝c ，BC ＝a ，AC ＝b ，AD ⊥BC 于D. 在Rt △ABD 中，sin ∠B ＝ADc ，则AD ＝c sin ∠B ；在Rt △ACD 中，sin ∠C ＝________，则AD ＝________． 所以c sin ∠B ＝b sin ∠C ，即bsin B ＝csin C ， 进一步即得正弦定理：asin A ＝b sin B ＝c sin C.(此定理适合任意锐角三角形) 参照利用正弦定理解答下题：在△ABC 中，∠B ＝75°，∠C ＝45°，BC ＝2，求AB 的长．6. 解：∵sin C ＝AD AC ＝ADb ，∴AD ＝b sin C ，由正弦定理得：BC sin A ＝ABsin C ，∵∠B ＝75°， ∠C ＝45°， ∴∠A ＝60°， ∴2sin 60°＝ABsin 45°，∴AB ＝2×22÷32＝263.命题点3 锐角三角函数的实际应用【命题规律】1.考查内容：主要考查利用几何建模思想，将实际问题抽象为几何中的直角三角形的有关问题，并根据直角三角形的边角关系解决实际问题.2.考查形式：①仰角、俯角问题；②方位角问题；③坡度、坡角问题；④测量问题等．【命题预测】锐角三角函数的实际应用是将实际问题转化为几何问题并加以解决的数学建模题型，是全国命题的趋势．7. 小明利用测角仪和旗杆的拉绳测量学校旗杆的高度．如图，旗杆PA 的高度与拉绳PB 的长度相等，小明将PB 拉到PB′的位置，测得∠PB′C＝α(B′C 为水平线)，测角仪B′D 的高度为1米，则旗杆PA 的高度为( )A .11－sin α B . 11＋sin α C . 11－cos α D . 11＋cos α7. A 【解析】在Rt △PCB ′中，sin α＝PCPB ′，∴PC ＝PB ′·sin α，又∵B ′D ＝AC ＝1，则PB ′·sin α＋1＝P A ，而PB ′＝P A ，∴P A ＝11－sin α.8. 如图①是小志同学书桌上的一个电子相框，将其侧面抽象为如图②所示的几何图形，已知BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，则点B 到CD 的距离为________cm (参考数据：sin 20°≈0.342，cos 20°≈0.940，sin 40°≈0.643，cos 40°≈0.766.结果精确到0.1 cm ，可用科学计算器)．8. 14.1 【解析】如解图 ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，∵BC ＝BD ＝15 cm ，∠CBD ＝40°，∴∠CBE ＝20°，在Rt △CBE 中，BE ＝BC ·cos ∠CBE ≈15×0.940＝14.1(cm)．第8题图 第9题图 第10题图9. 如图，一艘渔船位于灯塔P 的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东55°方向上的B 处，此时渔船与灯塔P 的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin 55°≈0.8，cos 55°≈0.6，tan 55°≈1.4)9. 11 【解析】∵∠A ＝30°，∴PM ＝12PA ＝9海里．∵∠B ＝55°， sin B ＝PM PB ，∴0.8＝9PB ，∴PB ≈11海里．10. 如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10 m 的A 处测得旗杆顶端B 的仰角为60°，测角仪高AD 为1 m ，则旗杆高BC 为__________m ．(结果保留根号)10. 103＋1 【解析】如解图，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为点E ，则AE ＝CD ＝10 m ，在Rt △AEB 中，BE ＝AE·tan 60°＝10×3＝10 3 m ，∴BC ＝BE ＋EC ＝BE ＋AD ＝(103＋1)m . 11. 如图，大楼AB 右侧有一障碍物，在障碍物的旁边有一幢小楼DE ，在小楼的顶端D 处测得障碍物边缘点C 的俯角为30°，测得大楼顶端A 的仰角为45°(点B 、C 、E 在同一水平直线上)，已知AB ＝80 m ，DE ＝10 m ，求障碍物B 、C 两点间的距离．(结果精确到0.1 m ，参考数据：2≈1.414，3≈1.732)11. 解：如解图，过点D 作DF ⊥AB ，垂足为点F ，则四边形FBED 为矩形，∴FD ＝BE ，BF ＝DE ＝10，FD ∥BE ，由题意得：∠FDC ＝30°，∠ADF ＝45°，∵FD ∥BE ， ∴∠DCE ＝∠FDC ＝30°， 在Rt △DEC 中，∠DEC ＝90°，DE ＝10，∠DCE ＝30°， ∵tan ∠DCE ＝DE CE ，∴CE ＝10tan 30°＝103，在Rt △AFD 中，∠AFD ＝90°，∠ADF ＝∠FAD ＝45°， ∴FD ＝AF ，又∵AB ＝80，BF ＝10，∴FD ＝AF ＝AB －BF ＝80－10＝70，∴BC ＝BE －CE ＝FD －CE ＝70－103≈52.7(m )． 答：障碍物B 、C 两点间的距离约为52.7 m ．12.某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC 的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC 的坡度为1∶ 3. (1)求新坡面的坡角α；(2)天桥底部的正前方8米处(PB 的长)的文化墙PM 是否需要拆除？请说明理由．12. 解：(1)∵新坡面AC 的坡度为1∶3，∴tan α＝13＝33， ∴α＝30°.答：新坡面的坡角α的度数为30°.(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除． 理由如下：如解图所示，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为点D ， ∵坡面BC 的坡度为1∶1， ∴BD ＝CD ＝6米，∵新坡面AC 的坡度为1∶3， ∴CD ∶AD ＝1∶3， ∴AD ＝63米，∴AB ＝AD －BD ＝(63－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM 不需拆除． 答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM 不需要拆除．13.如图，某无人机于空中A 处探测到目标B ，D ，从无人机A 上看目标B ，D 的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC 为 60 m ，随后无人机从A 处继续水平飞行30 3 m 到达A′处． (1)求A ，B 之间的距离；(2)求从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值．13. 解：(1)如解图，过点D 作DE ⊥AA′于点E ，由题意得，AA ′∥BC ，∴∠B ＝∠FAB ＝30°， 又∵AC ＝60 m ，在Rt △ABC 中，sin B ＝AC AB ，即12＝60AB，∴AB ＝120 m .答：A ，B 之间的距离为120 m ．(2)如解图，连接A′D ，作A′E ⊥BC 交BC 延长线于E ， ∵AA ′∥BC ，∠ACB ＝90°， ∴∠A ′AC ＝90°，∴四边形AA′EC 为矩形， ∴A ′E ＝AC ＝60 m ， 又∵∠ADC ＝∠FAD ＝60°， 在Rt △ADC 中，tan ∠ADC ＝AC CD ，即5＝60CD，∴CD ＝20 3 m ，∴DE ＝DC ＋CE ＝AA′＋DC ＝303＋203＝50 3 m ， ∴tan ∠AA ′D ＝tan ∠A ′DE ＝A′E DE ＝60503＝235，答：从无人机A′上看目标D 的俯角的正切值为235.中考冲刺集训一、选择题1.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是( )A . 斜坡AB 的坡度是10° B . 斜坡AB 的坡度是tan 10°C . AC ＝1.2tan 10° 米D . AB ＝ 1.2cos 10°米第1题图 第2题图 第3题图2.如图，以O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB＝α，则点P 的坐标是( )A . (sin α，sin α)B . (cos α，cos α)C . (cos α，sin α)D . (sin α，cos α)3.一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA ＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( )A . 4sin θ 米2B . 4cos θ 米2C . (4＋4tan θ) 米2 D . (4＋4tan θ) 米24.如图是由边长相同的小正方形组成的网格，A ，B ，P ，Q 四点均在正方形网格的格点上，线段AB ，PQ 相交于点M ，则图中∠QMB 的正切值是( )A . 12B . 1C . 3D . 2第4题图 第5题图 第6题图5.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED ，从办公大楼顶端A 测得旗杆顶端E 的俯角α是45°，旗杆底端D 到大楼前梯坎底边的距离DC 是20米，梯坎坡长BC 是12米，梯坎坡度i ＝1∶3，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6≈2.45)( )A . 30.6B . 32.1C . 37.9D . 39.46. 如图，钓鱼竿AC 长6 m ，露在水面上的鱼线BC 长3 2 m ，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC 转到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B ′C ′为3 3 m ，则鱼竿转过的角度是( )A . 60°B . 45°C . 15°D . 90°二、填空题7. 如图，点A(3，t)在第一象限，射线OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是________．第7题图 第8题图 第9题图8. 如图是矗立在高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据：AM＝4米，AB＝8米，∠MAD ＝45°，∠MBC＝30°，则警示牌的高CD为______米．(结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73) 9. 如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为________米．(精确到1米，参考数据：3≈1.73)三、解答题10. 如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆CD的高度，先在教学楼的底端A点处，观测到旗杆顶端C的仰角∠CAD＝60°，然后爬到教学楼上的B处，观测到旗杆底端D的俯角是30°. 已知教学楼AB高4米．(1)求教学楼与旗杆的水平距离AD；(结果保留根号．．．．．．)(2)求旗杆CD的高度．11. 图为放置在水平桌面上的台灯的平面示意图，灯臂AO长为40 cm，与水平面所形成的夹角∠OAM为75°，由光源O射出的边缘光线OC，OB与水平面所形成的夹角∠OCA，∠OBA分别为90°和30°，求该台灯照亮水平面的宽度BC(不考虑其他因素，结果精确到0.1 cm.温馨提示：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，3≈1.73)．12. 阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：sin (α±β)＝sin αcos β±cos αsin β tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan α tan β利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，例如：tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°tan 30°＝1＋331－1×33＝2＋ 3 根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题： (1)计算sin 15°；(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C 处，在D 点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC 为 3 米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．答案与解析：1. B第2题解图2. C 【解析】如解图，过点P 作PC ⊥OB 于点C ，则在Rt △OPC 中，OC ＝OP ·cos ∠POB ＝1×cos α＝cos α，PC ＝OP ·sin ∠POB ＝1×sin α＝sin α，即点P 的坐标为(cos α，sin α)．3. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠BAC ＝θ，CA ＝4米，∴BC ＝CA ·tan θ＝4tan θ.地毯长为(4＋4tan θ)米，宽为1米，其面积为(4＋4tan θ)×1＝(4＋4tan θ)米2.4. D 【解析】如解图，将AB 平移到PE 位置，连接QE, 则PQ ＝210，PE ＝22，QE ＝42，∵△PEQ 中，PE 2＋QE 2＝PQ 2，则∠PEQ ＝90°，∴tan ∠QMB ＝tan ∠P ＝QEPE＝2.第4题解图第5题解图5. D 【解析】如解图，设AB 与DC 的延长线交于点G ，过点E 作EF ⊥AB 于点F ，过点B 作BH ⊥ED 于点H ，则可得四边形GDEF 为矩形．在Rt △BCG 中，∵BC ＝12，i BC ＝BG CG ＝33，∴∠BCG ＝30°，∴BG ＝6，CG ＝63，∴BF ＝FG －BG ＝DE －BG ＝15－6＝9，∵∠AEF ＝α＝45°，∴AF ＝EF ＝DG ＝CG ＋CD ＝63＋20，∴AB ＝BF ＋AF ＝9＋20＋63≈39.4(米)．6. C 【解析】∵sin ∠CAB ＝BC AC ＝326＝22，∴∠CAB ′＝45°，∵sin ∠C ′AB ′＝B ′C ′AC ′＝336＝32，∴∠C ′AB ′＝60°，∴∠CAC ′＝60°－45°＝15°，即鱼竿转过的角度是15°.第7题解图7. 92【解析】如解图，过点A 作AB ⊥x 轴于点B.∵点A(3，t)在第一象限，∴OB ＝3，AB ＝t ，在11 Rt △ABO 中，tan α＝AB OB ＝t 3＝32，解得t ＝92. 8. 2.9 【解析】在Rt △AMD 中，DM ＝tan ∠DAM ×AM ＝tan 45°×4＝4米，在Rt △BMC 中，CM ＝tan ∠MBC ×BM ＝tan 30°×12＝4 3 米，故CD ＝CM －DM ＝43－4≈2.9米．9. 208 【解析】在Rt △ABD 中，BD ＝AD·tan ∠BAD ＝90×tan 30°＝303，在Rt △ACD 中，CD ＝AD·tan ∠CAD ＝90×tan 60°＝903，BC ＝BD ＋CD ＝303＋903＝1203≈208(米)．10. 解：(1)∵在教学楼B 点处观测旗杆底端D 处的俯角是30°，∴∠ADB ＝30°，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝90°，∠ADB ＝30°，AB ＝4(米)，∴AD ＝AB tan ∠ADB ＝4tan 30°＝43(米)． 答：教学楼与旗杆的水平距离是4 3 米．(也可先求∠ABD ＝60°，利用tan 60°去计算得到结论)(2)∵在Rt △ACD 中，∠ADC ＝90°，∠CAD ＝60°，AD ＝4 3 米，∴CD ＝AD·tan 60°＝43×3＝12(米)．答：旗杆CD 的高度是12米．11. 解：∵tan ∠OBC ＝tan 30°＝OC BC ＝33， ∴OC ＝33BC ， ∵sin ∠OAC ＝sin 75°＝OC OA≈0.97， ∴33BC 40≈0.97， ∴BC ≈67.1(cm )．12. 解：(1)sin 15°＝sin (45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30° ＝22×32－22×12 ＝6－24. (2)在Rt △BDE 中，∠BDE ＝75°，DE ＝CA ＝7，tan ∠BDE ＝BE DE ，即tan 75°＝BE 7＝2＋3， ∴ BE ＝14＋73，又∵AE ＝DC ＝3，∴AB ＝BE ＋AE ＝14＋73＋3＝14＋83(米)，答：纪念碑的高度是(14＋83)米．。

中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题

中考数学-锐角三角函数应用方位角与方向角问题

中考数学锐角三角函数应用方位角与方向角问题复习引入本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．探究新知（一）方位角与方向角1．方向角教师讲解：指北或指南方向线与目标方向所成的小于90°的角叫做方向角．如课本图28．2-1中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图28．2-1的目标方向线OD 与正南方向成45°角，通常称为西南方向．图28．2-1 图28．2-2 2．方位角教师讲解：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．•如课本图28．2-2中，目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点教师讲解：在解决实际问题时，我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）•之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．解题时一般有以下三个步骤：1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．2．将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、•角）之间关系解有关的直角三角形．（三）例题讲解教师解释题意：如课本图28．2-8所示，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，•距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，•到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.01海里）教师提示：这道题的解题思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC•是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP•均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC•互余的关系求∠BPC．教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．解：如课本图28．2-8，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.8．在Rt△BPC中，∠B=34°，∵sinB=PC PB，∴PB=72.872.8sin sin340.559PCB=≈︒≈130.23．因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130.23海里．教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，•要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-9所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-10所示的山高h 时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．图28．2-9 图28．2-10与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？我们设法“化曲为直，以直代曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-11表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sin α．图28．2-11在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．随堂练习课本第95页练习第1题、第2题．课时总结利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，•转化为解直角三角形的问题）．2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．3．得到数学问题的答案．4．得到实际问题的答案．教后反思:____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 第4课时作业设计课本练习课本第97页习题28．2拓广探索第9题、第10题．双基与中考一、选择题．1．如图，轮船航行到C处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B观测到轮船的方向是（）．A．南偏西35°B．东偏西35°C．南偏东55°D．南偏东35°(第1题) (第5题) (第8题) 2．•身高相同的三个小朋友甲、•乙、•丙放风筝，•他们放出的线长分别是300m，250m，200m，线与地面所成的角分别为30°、45°、60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放风筝（）．A．甲的最高B．乙的最低C．丙的最低D．乙的最高3．一日上午8时到12时，若太阳光线与地面所成角由30°增大到45°，•一棵树的高为10m，则树在地面上影长h的范围是（）．A．5<h≤B．10≤h≤C．10<h<15 D．4．△ABC中，AB=6，AC=3，则∠B最大值是（）．A．30°B．45°C．60°D．无法确定5．如图，水库大坝横断面为梯形，坝顶宽6m，坝高2m，斜坡AB的坡角为45°，•斜坡CD的坡度i=1：2，则坝底AD的长为（）．A．42m B．（）m C．78m D．（）m6．△ABC中，+（2=0且AB=4，则△ABC的面积是（）．A．B．4 C．D．27．一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘船以28海里/小时的速度向正东航行，半小时到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时，灯塔M 与渔船的距离是（）．A．B．C．7 D．148．某地夏季中午，当太阳移到屋顶上方偏南时光线与地面成80°角，房屋朝南的窗子高AB=1.8m；要在窗子外面上方安装一个水平挡光板AC，•使午间光线不能直接射入室内，那么挡光板AC的宽度应为（）．A．1.8tan80°m B．1.8cos80°mC．1.8sin80︒D．1.8cot80°m9．若菱形的边长为4，它的一个内角为126°，则较短的对角线长为（ ）．A ．4sin54°B ．4cos63°C ．8sin27°D ．8cos27°10．如图，上午9时，一条船从A 处出发以20海里/小时的速度向正北方向航行，•11时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=36°，∠NBC=72°，那么从B 处到灯塔C 的距离是（ ）．A ．20海里B ．36海里C ．72海里D ．40海里 北BA NC(第10题) (第11题)11．如图，一电线杆AB 的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1•米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB 落在地上的影子BD 长3米，落在墙上的影子CD 的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB 的高，•请你计算电线杆AB 的高为（ ）．A ．5米B ．6米C ．7米D ．8米二、填空题．12．升国旗时，某同学站在离旗杆底部24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，•该同学视线的仰角恰为30°，若双眼离地面1.5m ，则旗杆高度为______m ．（•用含根号的式子表示）13．在地面上一点，测得一电视塔尖的仰角为45°，沿水平方向，•再向塔底前进a 米，又测得塔尖的仰角为60°，那么电视塔高为________．• • •14．•如图一铁路路基的横断面为等腰梯形ABCD ，•根据图示数据得下底宽AD=______米．(第14题) (第15题)15．如图△ABC的顶点A、C的坐标分别是（0，4），（3，0），并且∠ACB=90°，∠B=•30°，则顶点B的坐标是________．16．如图，•燕尾槽的外口宽AD=•90mm，•深为70mm，•燕尾角为60•°，•则里口宽为________．(第16题) (第17题)17．如图，从高出海平面500m的直升飞机上，测得两艘船的俯角分别为45•°和30°，如果这两艘船一个在正东，一个在正西，那么它们之间的距离为______．三、解答题．18．甲、乙两船同时从港口O出发，甲船以16．1海里/小时的速度向东偏南35°方向航行，乙船向西偏南58°，方向航行，航行了两小时，甲船到达A处并观测到B处的乙船恰好在其正西方向，求乙船的速度v．（精确到0.1海里/小时）（参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，cot32°≈1.60）19．去年某省将地处A、B两地的两所大学合并成了一所综合性大学，•为了方便A、B两地师生的交往，学校准备在相距2千米的A、B两地之间修筑一条笔直公路（图中的线段AB），经测量，在A地的北偏东60°方向，B地的北偏西45°方向的C•处有一个半径为0.7千米的公园，问计算修筑的这条公路会不会穿出公园？为什么？A B答案：一、1．D 2．D 3．B 4．A 5．C 6．A 7．A 8．D 9．C 10．D11．D 二、12．332 1333米 14．29.2 15．（3316．（90+33）mm 17．500（3）m三、18．由题意可知：OA=16．1×2=32.2（海里）．∠1=32°，∠2=58°．∴∠AOB=180°-（∠1+∠2）=180°-（32°+58°）=90°．由B 在A 的正西方向，可得：∠A=∠1=32°．又∵在Rt △AOB 中，tanA=OBOA ，∴OB=OA ·tanA=32.2×tan32°=32.2×0.62=19.964（海里）．∴v=2OB=19.964÷2=9.982≈10.0（海里/小时）．即：乙船的速度约为10.0海里/小时．19．过点C 作CD ⊥AB 于D ，3，这条公路不会穿过公园．。

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形

2023年中考数学专题汇编：锐角三角函数应用、解直角三角形一．解答题（共60小题）1．校车安全是近几年社会关注的重大问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于21米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．（1）求AB的长（精确到0.1米，参考数据：＝1.73，＝1.41）；（2）已知本路段对校车限速为40千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．2．如图，从热气球C上测得两建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60度．如果这时气球的高度CD为90米．且点A、D、B在同一直线上，求建筑物A、B间的距离．3．如图，在电线杆上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成60°角，在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，已知测角仪高AB为1.5米，求拉线CE的长（结果保留根号）．4．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝15米．（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： 1.414， 1.732）5．如图，某防洪指挥部发现长江边一处长500米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横断面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1：．（1）求加固后坝底增加的宽度AF；（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？（结果保留根号）6．如图所示，A、B两城市相距100km，现计划在这两座城市间修建一条高速公路（即线段AB），经测量，森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上，已知森林保护区的范围在以P 点为圆心，50km为半径的圆形区域内，请问计划修建的这条高速公路会不会穿越保护区，为什么？（参考数据：≈1.732，≈1.414）7．如图，AD是△ABC的中线，tan B＝，cos C＝，AC＝．求：（1）BC的长；（2）sin∠ADC的值．8．一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援，求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）9．如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD＝60°．使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.732）10．如图，我国的一艘海监船在钓鱼岛A附近沿正东方向航行，船在B点时测得钓鱼岛A在船的北偏东60°方向，船以50海里/时的速度继续航行2小时后到达C点，此时钓鱼岛A在船的北偏东30°方向．请问船继续航行多少海里与钓鱼岛A的距离最近？11．高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音．如图，点A是某市一高考考点，在位于A考点南偏西15°方向距离125米的C处有一消防队．在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于C点北偏东75°方向的F点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火．已知消防车的警报声传播半径为100米，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改进行驶，试问：消防车是否需要改道行驶？请说明理由．（取1.732）12．如图所示，某数学活动小组选定测量小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°，若坡角∠F AE＝30°，求大树的高度（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，≈1.73）13．如图，小山顶上有一信号塔AB，山坡BC的倾角为30°，现为了测量塔高AB，测量人员选择山脚C 处为一测量点，测得塔顶仰角为45°，然后顺山坡向上行走100米到达E处，再测得塔顶仰角为60°，求塔高AB（结果保留整数，≈1.73，≈1.41）14．某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）．15．如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB的高（AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号）．16．如图，在电线杆CD上的C处引拉线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面所成的角∠CED＝60°，在离电线杆6米的B处安置高为1.5米的测角仪AB，在A处测得电线杆上C处的仰角为30°，求拉线CE 的长（结果保留小数点后一位，参考数据：≈1.41，≈1.73）．17．天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB＝112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．18．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．（1）求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离（结果用根号表示）；（2）若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH＝2CH．（1）求sin B的值；（2）如果CD＝，求BE的值．20．如图，大楼AN上悬挂一条幅AB，小颖在坡面D处测得条幅顶部A的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条幅的底部B的仰角为45°，此时小颖距大楼底端N处20米．已知坡面DE＝20米，山坡的坡度i＝1：（即tan∠DEM＝1：），且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上，求条幅的长度（结果精确到1米）（参考数据：≈1.73，≈1.41）21．如图所示，一幢楼房AB背后有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC＝17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°时，测得楼房在地面上的影长AE＝10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（取1.73）（1）求楼房的高度约为多少米？（2）过了一会儿，当α＝45°时，问小猫能否还晒到太阳？请说明理由．22．如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C 的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）23．如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB）是1.7米，看旗杆顶部E的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD）是0.7米，看旗杆顶部E的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B、D、F在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF．（结果保留根号）（2）求旗杆EF的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）24．如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°．已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）25．我市准备在相距2千米的M，N两工厂间修一条笔直的公路，但在M地北偏东45°方向、N地北偏西60°方向的P处，有一个半径为0.6千米的住宅小区（如图），问修筑公路时，这个小区是否有居民需要搬迁？（参考数据：≈1.41，≈1.73）26．如图，轮船从点A处出发，先航行至位于点A的南偏西15°且与点A相距100km的点B处，再航行至位于点B的北偏东75°且与点B相距200km的点C处．（1）求点C与点A的距离（精确到1km）；（2）确定点C相对于点A的方向．（参考数据：≈1.414，≈1.732）27．一测量爱好者，在海边测量位于正东方向的小岛高度AC，如图所示，他先在点B测得山顶点A的仰角为30°，然后向正东方向前行62米，到达D点，在测得山顶点A的仰角为60°（B、C、D三点在同一水平面上，且测量仪的高度忽略不计）．求小岛高度AC（结果精确的1米，参考数值：）28．如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B 处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）．29．如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造．供水站M在笔直公路AD 上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+1）米，求供水站M分别到小区A、B的距离．（结果可保留根号）30．如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）31．阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，＝＝，利用上述结论可以求解如下题目：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．解：在△ABC中，∵＝∴b＝＝＝＝3．理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？32．如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向．求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）．33．如图，防洪大堤的横截面是梯形ABCD，其中AD∥BC，α＝60°，汛期来临前对其进行了加固，改造后的背水面坡角β＝45°．若原坡长AB＝20m，求改造后的坡长AE．（结果保留根号）34．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1：0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i＝1：1.75，施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）35．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1．求BC的长．36．我们把“按照某种理想化的要求（或实际可能应用的标准）来反映或概括的表现某一类或一种事物关系结构的数学形式”看作是一个数学中的一个“模式”（我国著名数学家徐利治）．如图是一个典型的图形模式，用它可测底部可能达不到的建筑物的高度，用它可测河宽，用它可解决数学中的一些问题．等等．（1）如图，若B1B＝30米，∠B1＝22°，∠ABC＝30°，求AC（精确到1）；（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.92，tan22°≈0.40，≈1.73）（2）如图2，若∠ABC＝30°，B1B＝AB，计算tan15°的值（保留准确值）；（3）直接写出tan7.5°的值．（注：若出现双重根式，则无需化简）37．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝．求：（1）线段DC的长；（2）tan∠EDC的值．38．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度为（即tan∠P AB＝），且O，A，B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器的高度忽略不计，结果保留根号形式）39．如图，兰兰站在河岸上的G点，看见河里有一只小船沿垂直于岸边的方向划过来，此时，测得小船C 的俯角是∠FDC＝30°，若兰兰的眼睛与地面的距离是1.5米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡的坡度i＝4：3，坡长AB＝10米，求小船C到岸边的距离CA的长？（参考数据：，结果保留两位有效数字）40．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）41．如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．已知在离地面1500m高度C处的飞机上，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长．42．如图某幢大楼顶部有广告牌CD．张老师目高MA为1.60米，他站立在离大楼45米的A处测得大楼顶端点D的仰角为30°；接着他向大楼前进14米、站在点B处，测得广告牌顶端点C的仰角为45°．（取，计算结果保留一位小数）（1）求这幢大楼的高DH；（2）求这块广告牌CD的高度．43．图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA与额头保持垂直．量得胳膊MN＝28cm，MB＝42cm，肘关节M与枪身端点A之间的水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身BA＝8.5cm．（1）求∠ABC的度数；（2）测温时规定枪身端点A与额头距离范围为3～5cm．在图2中，若测得∠BMN＝68.6°，小红与测温员之间距离为50cm．问此时枪身端点A与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin66.4°≈0.92，cos66.4°≈0.40，sin23.6°≈0.40，≈1.414）44．图1是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形ABCD表示该车的后备箱，在打开后备箱的过程中，箱盖ADE可以绕点A逆时针方向旋转，当旋转角为60°时，箱盖ADE落在AD′E′的位置（如图2所示）．已知AD＝90厘米，DE＝30厘米，EC＝40厘米．（1）求点D′到BC的距离；（2）求E、E′两点的距离．45．一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度（结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）．46．如图，在港口A处的正东方向有两个相距6km的观测点B、C．一艘轮船从A处出发，沿北偏东26°方向航行至D处，在B、C处分别测得∠ABD＝45°、∠C＝37°．求轮船航行的距离AD．（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.90，tan26°≈0.49，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）47．风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1），图2是从图1引出的平面图．假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55°，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45°．已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米，BG⊥HG，CH⊥AH，求塔杆CH的高．（参考数据：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7，sin55°≈0.8，sin35°≈0.6）48．如图，某学校体育场看台的顶端C到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比i＝1：3，在点C处测得旗杆顶点A的仰角为30°，在点M处测得旗杆顶点A的仰角为60°，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.41，＝1.73）49．如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西40°方向航行至C港，C港在A港北偏东20°方向，求（1）∠C的度数．（2）A，C两港之间的距离为多少km．50．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）51．为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比）i＝1：2.4的山坡AB上发现有一棵古树CD．测得古树底端C到山脚点A的距离AC＝26米，在距山脚点A水平距离6米的点E处，测得古树顶端D的仰角∠AED＝48°（古树CD与山坡AB 的剖面、点E在同一平面上，古树CD与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）52．如图（1）是一种简易台灯，在其结构图（2）中灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm．（1）求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；（2）求台灯的高（点E到桌面的距离，结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，sin30°＝0.5，cos30°＝0.87，tan30°＝0.58．）53．如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA ＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．（结果用含有根号的式子表示）54．已知如图，斜坡AP的坡度为1：2.4，斜坡AP的水平长度为24米在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为60°．求：（1）坡顶A到地面PQ的距离；（2）古塔BC的高度（结果保留根号）．55．如图，山顶有一塔AB，塔高33m．计划在塔的正下方沿直线CD开通穿山隧道EF．从与E点相距80m 的C处测得A、B的仰角分别为27°、22°，从与F点相距50m的D处测得A的仰角为45°．求隧道EF的长度．（参考数据：tan22°≈0.40，tan27°≈0.51．）56．求下列各式的值：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°；（2）tan60°﹣（4﹣π）0+2cos30°+（）﹣1．57．计算：．58．如图，港口B位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C恰好在AB的中点处．一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B的正西方向的D处，它沿正北方向航行5km到达E处，测得灯塔C在北偏东45°方向上，这时，E处距离港口A有多远？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）59．王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1：3（点E、C、B在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）．60．计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）+tan260°。

初三数学三角函数中考题

初三数学三角函数中考题

初三数学三角函数中考题引言：三角函数是初中数学中一个重要的概念，涉及到角度和长度之间的关系。

在初三学习数学时，学生们经常会遇到关于三角函数的考题。

本文将介绍几个常见的初三数学三角函数中的考题。

一、正弦函数1. 已知一个角的正弦值sinα=0.6，求该角的可能大小。

解析：根据正弦函数的定义，正弦值为某个角的对边与斜边之比。

可以利用反正弦函数求解，得到角的大小为sin⁻¹(0.6)≈36.87°。

2. 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，tanA=0.8，求sinB和cosB的值。

解析：根据tanA的定义，tanA为∠ACB的对边与邻边之比，即tanA=AC/CB=0.8。

根据直角三角形的性质，sinB=AC/CB，cosB=BC/CB。

可以利用已知条件求解，得到sinB=0.8/√(1+0.8²)≈0.707，cosB=√(1-0.707²)≈0.707。

二、余弦函数1. 在平面直角坐标系中，已知点P坐标为(2, 3)，点P表示角A的终边上的一点，求角A的余弦值cosA。

解析：根据余弦函数的定义，余弦值为角A对应的点P在x轴上的横坐标与点P到原点的距离之比。

可以利用已知点P的坐标求解，得到cosA=2/√(2²+3²)≈0.5547。

2. 已知三角形ABC中，角C=45°，边AC=5，边BC=√10，求sinA和cosB的值。

解析：根据三角形的性质，sinA=BC/AC，cosB=AC/BC。

可以利用已知条件求解，得到sinA=√10/5=2/√10，cosB=5/√10=√10/2。

三、正切函数1. 在直角三角形ABC中，∠B=30°，边AC=5，求tanA的值。

解析：根据正切函数的定义，tanA为∠B的对边与邻边之比，即tanA=BC/AC。

可以利用已知条件求解，得到tanA=BC/AC=√3/5。

2. 已知一个角的正切值tanα=1.732，求该角的可能大小。

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练含答案

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练含答案

2020年浙江省台州市中考数学重点题型-三角函数的应用专题训练1.如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物BC的高度，他们先在斜坡上的D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．且D离地面的高度DE＝5m．坡底EA＝30m，然后在A处测得建筑物顶端B的仰角是60°，点E，A，C在同一水平线上，求建筑物BC的高．(结果用含有根号的式子表示)2.如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度AB，测量人员使用无人机测量，在C处测得A,B两点的俯角分别为45∘和30∘，若无人机离地面的高度CD为1200米，且点A,B,D在同一条水平直线上，求这条江的宽度AB长（结果保留根号）.3.如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A﹣B﹣D的路线可至山顶D处.已知AB＝BD＝800米，∠α＝75°，∠β＝45°，求山高DE（结果精确到1米）.（参考数据：sin75°＝0.966，cos75°＝0.259，tan75°＝3.732，√2＝1.414）4.如图1，是全国最大的瓷碗造型建筑，座落于江西景德镇，整体造型概念来自“宋代影青斗笠碗”，造型庄重典雅，象征“万瓷之母”．小敏为了计算该建筑物横断面(瓷碗橫断面ABCD为等腰梯形)的高度，如图2，她站在与瓷碗底部AB位于同一水平面的点P处测得瓷碗顶部点D的仰角为45°，而后沿着一段坡度为0.44(坡面与水平线夹角的正切值)的小坡PQ步行到点Q(此过程中AD，AP，PQ始终处于同一平面)后测得点D的仰角减少了5°.已知坡面PQ的水平距离为20米，小敏身高忽略不计，试计算该瓷碗建筑物的高度．(参考数据：sin 40°≈0.64，tan 40°≈0.84)5.兰州银滩黄河大桥北起安宁营门滩，南至七里河马滩，是黄河上游的第一座大型现代化斜拉式大桥如图，小明站在桥上测得拉索AB与水平桥面的夹角是31°，拉索AB的长为152米，主塔处桥面距地面7.9米（CD的长），试求出主塔BD的高.（结果精确到0.1米，参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）6.茗阳阁位于河南省信阳市狮河区茶韵路一号，建成于2007年4月29日.是一栋由多种中国建筑元素，由雕栏飞檐、勾心斗角、斗拱图腾等多种形式的中国古代建筑元素汇聚而成，具有浓郁地方古建筑特色的塔式阁楼.茗阳阁是信阳新建的城市文化与形象的代表建筑之一，同时茗阳阁旁的风景也是优美至极.某数学课外兴趣小组为了测量建在山丘DE上的茗阳阁CD的高度，在山脚下的广场上A处测得建筑物点D（即山顶）的仰角为20°，沿水平方向前进20米到达B点，测得建筑物顶部C点的仰角为45°，已知山丘DE高37.69米.求塔的高度CD .（结果精确到1米，参考数据：sin200≈0.34,cos200≈0.94,tan200≈0.36）7.如图，AB是长为10m，倾斜角为30°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度（结果保留整数）.（参考数据：sin65°＝0.90，tan65°＝2.14）8. 4月18日，一年一度的“风筝节”活动在市政广场举行，如图，广场上有一风筝A，小江抓着风筝线的一端站在D处，他从牵引端E测得风筝A的仰角为67°，同一时刻小芸在附近一座距地面30米高(BC＝30米)的居民楼顶B处测得风筝A的仰角是45°，已知小江与居民楼的距离CD＝40米，牵引端距地面高度DE＝1.5米，根据以上条件计算风筝距地面的高度(结果精确到0.1米，参考数据：sin67°≈1213，cos67°≈513，tan67°≈125，√2≈1.414).9.共享单车为大众出行提供了方便，如图为单车实物图，如图为单车示意图，AB与地面平行，点A、B、D共线，点D、F、G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知，∠ABE=70°，∠EAB=45°，车轮半径为0.3m，BE=0.4m.小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为0.9m时骑着比较舒适，求此时CE的长.（结果精确到1cm）参考数据：sin70.≈0.94，cos70.≈0.34，tan70.≈2.75，√2≈1.4110.如图，MN为一电视塔，AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m到达C处，此时测得塔顶M的仰角为30°，请求出电视塔MN的高度.(参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，结果保留整数)11.如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB长为40cm，灯罩BC长为30cm，底座厚度为2cm，灯臂与底座构成的∠BAD=60°. 使用发现，光线最佳时灯罩BC与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少cm？(结果精确到0.1cm,参考数据: √3≈1.732)12.北盘江大桥坐落于云南宜威与贵州水城交界处，横跨云贵两省，为目前世界第一高桥图1是大桥的实物图，图2是从图1中引申出的平面图，测得桥护栏BG=1.8米，拉索AB与护栏的夹角是26°，拉索ED 与护栏的夹角是60°，两拉索底端距离BD为300m，若两拉索顶端的距离AE为90m，请求出立柱AH的长.（tan26°≈0.5，sin26°≈0.4，√3≈ 1.7）13.为了解决楼房之间的采光问题，有关部门规定两幢楼房之间的最小距离要使中午12时不能遮光.如图，旧楼的一楼窗台高1m，现计划在旧楼正南方20m处建一幢新楼.已知新昌冬天中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角最小为36∘，问新楼房最高可建多少米？(结果精确到0.1m，tan36∘≈0.727)．14.随着天气的逐渐炎热（如图1），遮阳伞在我们的日常生活中随处可见.如图2所示，遮阳伞立柱OA垂直于地面，当将遮阳伞撑开至OD位置时，测得∠BOD＝45°，当将遮阳伞撑开至OE位置时，测得∠BOE＝60°，且此时遮阳伞边沿上升的竖直高度BC为30cm，求当遮阳伞撑开至OE位置时，伞下半径EC的长. （结果精确到0.1cm，参考值√2≈1.414,√3≈1.732,√6≈2.449）.15.为了增强体质，小明计划晚间骑自行车训练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为149米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．(参考数据：sin10°≈17100，tan10°≈950，sin14°≈625，tan14°≈14)．16.某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，如图1所示，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆；两段的联结点.当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图2所示的位置，其示意图如图3所示（栏杆宽度忽略不计，EF长度远大于车辆宽度），其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝143°，AB＝AE＝1.2米，该地下车库出口的车辆限高标志牌设置如图4是否合理？请通过计算说明理由.（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）17.如图1是某商场从一楼到二楼的自动扶梯，图2是侧面示意图，MN是二楼楼顶，MN∥PQ，点C在MN 上，且位于自动扶梯顶端B点的正上方，BC⊥MN.测得AB＝10米，在自动扶梯底端A处测得点C的仰角为50°，点B的仰角为30°，求二楼的层高BC（结果保留根号）（参考数据：sin50°＝0.77，cos50°＝0.64，tan50°＝1.20）18.某大桥采用低塔斜拉桥桥型（如甲图），图乙是从图甲引申出的平面图，假设你站在桥上测得拉索AB 与水平桥面的夹角是30°，拉索CD与水平桥面的夹角是60°，两拉索顶端的距离BC为2米，两拉索底端距离AD为20米，请求出立柱BH的长.（结果精确到0.1米，√3≈1.73）19.如图，利用一幢已知高度的楼房CD（楼高为20m），来测量一幢高楼AB的高在DB上选取观测点E、F，从E测得楼房CD和高楼AB的顶部C、A的仰角分别为58°、45°.从F测得C，A的仰角分别为22°，70°.求楼AB的高度（精确到1m）（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）20.某商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯.如图所示，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10m，坡角∠ABD为30°；改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为15°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯AC的长度，（结果精确到0.lm.温馨提示：sin15°≈0.26，cosl5°≈0.97，tan15°≈0.27）答案1. 解：过点D 作DH ⊥BC 于点H ，如图所示：则四边形DHCE 是矩形，DH=EC ，DE=HC=5， 设建筑物BC 的高度为xm ，则BH=（x ﹣5）m ， 在Rt △DHB 中，∠BDH=30°， ∴DH= √3 （x ﹣5），AC=EC ﹣EA= √3 （x ﹣5）﹣30， 在Rt △ACB 中，∠BAC=50°，tan ∠BAC= BCAC ， ∴ √3(x−5)−30 = √3 解得：x= 15+30√32， 答：建筑物BC 的高为 15+30√32m ．2. 解：如图，∵CE//DB ，∴∠CAD =∠ACE =45∘, ∠CBD =∠BCE =30∘ 在 RtΔACD 中， ∵∠CAD =45∘,∴AD =CD =1200 米， 在 RtΔDCB 中， ∵tan ∠CBD =CDBD , ∴BD =CDtan ∠CBD =√33=1200√3 （米）∴AB =BD −AD =1200√3−1200 =1200(√3−1) 米 故这条江的宽度 AB 长为 1200(√3−1) 米. 3. 解：由题意得：∠ACB ＝∠BFD ＝90°，EF ＝BC ， 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，cos α＝ BCAB ， ∴BC ＝AB •cos75°＝80×0.259＝207.2. ∴EF ＝BC ＝207.2，在Rt △BDF 中，∠BFD ＝90°，sin β＝ DF BD ， ∴DF ＝BD •sin45°＝800× √22 ＝400×1.414＝565.6.∴DE ＝DF+EF ＝565.6+207.2＝772.8≈773（米）. ∴山高DE 约为773米.4. 解：分别过点D，P向水平线作垂线，与过点Q的水平线分别交于点N，M，DN与PA交于点H，如解图所示，则四边形PMNH是矩形.∴PM＝HN，PH＝MN.由题意可知∠DPA＝45°，∠DQN＝45°－5°＝40°.在Rt△DHP中，∵∠DPA＝45°，∴DH＝PH.设该瓷碗建筑物的高度DH为x，则PH＝DH＝MN＝x.在Rt△PQM中，∵tan ∠PQM＝PMQM＝0.44，QM＝20，∴PM＝0.44QM＝0.44×20＝8.8，∴DN＝DH＋HN＝x＋8.8，QN＝QM＋MN＝x＋20.在Rt△DQN中，tan ∠DQN＝DNQN，∴x+8.8x+20≈0.84，解得x≈50.答：该瓷碗建筑物的高度约为50米．5. 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin A=BCAB .∴BC=AB×sin A=152×sin31°=152×0.52=79.04 . BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94≈86.9（米）答：主塔BD的高约为86.9米6. 解：由题意可知CE⊥AE，又∵∠CBE= 45°，∴CE=BE，设塔高CD高为x，∴CE=BE=x+37.69，又∵AB=20，∴AE=57.69+x，在直角三角形AED中tan∠A=DEAE，即37.69x+57.69=0.36，解得x=47米，答：塔高为47米.7. 解：作BF⊥AE于点F.则BF＝DE.在直角△ABF中，sin∠BAF＝BFAB ，则BF＝AB•sin∠BAF＝10×12＝5（m）.在直角△CDB中，tan∠CBD＝CDBD，则CD＝BD•tan65°＝10×2.14=21.4（m）. 则CE＝DE+CD＝BF+CD＝5+21.4≈26（m）.答：大楼CE的高度是26m.8. 解：如图，作AM⊥CD于M，作BF⊥AM于F，EH⊥AM于H.∵∠ABF=45°，∠AFB=90°，∴AF=BF，设AF=BF=x，则CM=BF=x，DM=HE=40-x，AH=x+30-1.5=x+28.5，在Rt△AHE中，tan67°= AHHE，∴125=x+28.540−x，解得x≈19.9 m.∴AM=19.9+30=49.9 m.∴风筝距地面的高度49.9 m.9. 解：过点C作CN⊥AB，交AB于M，交地面于N.由题意可知：MN=0.3，当CN=0.9时，CM=0.6.≈0.94，BC≈0.638，CE=BC-BE=0.638- 0.4=0.238 ≈RtΔBCM中，∠ABE=70°，sin∠ABE=sin70°= CMCB0.24（m）=24（cm）.答：CE的长为24cm.10.解：过点C作CE⊥AN于点E， CF⊥MN于点F.在△ACE中，AC＝40m，∠CAE＝30°∴CE＝FN＝20m，AE＝20 √3 m设MN＝x m，则AN＝xm.FC＝√3 xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋20 √3∵∠MCF＝30°∴FC＝√3 MF，即x＋20 √3＝√3 ( x－20)解得：x＝√3√3−1＝60＋20 √3≈95m答：电视塔MN的高度约为95m.11. 解：过点B作BF⊥CD于F，作BG⊥AD于G.=15在Rt ΔBCF中，∠CBF=30°,∴CF=BC⋅sin30°,=30×12=20√3在Rt ΔABG中，∠BAG=60°，∴BG=AB⋅sin60°,=40×√32∴CE=CF+FD+DE=15+20√3+2=17+20√3≈51.64≈51.6cm 答：此时灯罩顶端C到桌面的高度CE是多少51.6cm.12. 解：设CD=x，∵∠EDC=60°，∴CE= √3 x，∴AC=AE+CE=90+ √3 x，BC=CD+BD=300+x，∵tan26°= AC，BC，∴0.5= 90+√3x300+x解得：x≈48.70，∴AH=BG+AC=1.8+90+ √3×48.70≈176.1513. 解：如图，过点B作BC⊥AD与点C，在Rt△ABC中，∠ABC=36∘，DE=BC=20m，则AC=tan36∘⋅BC≈0.727×20=14.54(m)，而EB=DC=1m，∴AD=AC+CD=14.54+1≈15.5(m)，答：新楼房最高可建15.5米．14. 解：由题意可得：OE＝OD，在Rt△OEC中，∠BOE＝60°，∠OCE＝90°，OE，∴OC＝12在Rt△OBD中，∠DOB＝45°，∠OBD＝90°，∴OB＝√220D=√22OE，∵BC＝OB﹣OC，即√220E−120E=30，解得：OE＝60 (√2+1)，∴EC＝√3×30(√2+1)=30√6+30√3≈30×2.449+30×1.732≈125.4cm.15. 解：设NC=x，则BN=CN+CB=x+149在Rt△ANB中，∠ABN=10°，∴AN=BN·tan∠ABN=BN·tan10°=950(x+149)在Rt△ANC中，∠ACN=14°，∴AN=CN·tan∠ACN=CN·tan14°=14x∴950(x+149)=14x解之：x=4∴AN=14××4=1答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m。

解答题三角函数应用(针对河南中考18题)

解答题三角函数应用(针对河南中考18题)

像是石窟中最大的佛像.某数学活动小组到龙门石窟景区测量这尊佛像的高度.如图，
他们选取的测量点A与佛像BD的底部D在同一水平线上.已知佛像头部BC为4 m，在A
处测得佛像头顶部B的仰角为45°，头底部C的仰角为37.5°，求佛像BD的高度（结
果精确到0.1 m.参考数据：sin 37.5°≈0.61，cos 37.5°≈0.79，tan 37.5°≈0.77）.
在Rt△DHE中，∠DEH＝34°，


＝
.
tan34° tan34°
∴EH＝
∵EF＝15，∴EH－FH＝15，

－x＝15.
tan34°
即
解得x≈30.5.
∴DC≈30.5＋1.5＝32.
答：拂云阁DC的高度约为32 m.
方法总结
解锐角三角函数实际应用题的一般步骤
1.正确画出平面图或截面示意图，并通过图形找出已知量和未知量.
端D的仰角为45°.已知测角仪的高度为1.5 m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同
一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1 m.参考数据：sin 34°≈0.56，cos
34°≈0.83，tan 34°≈0.67）.
解：延长EF交DC于点H，由题意知，EH⊥DC.
设DH＝x m，在Rt△DHF中，∠DFH＝45°，∴FH＝DH＝x.
∴BC＝
≈25，
sin53°
∴x＝
∴B船到达C船处约需时间：25÷25＝1（小时）.
在Rt△ADC中，AC＝ 2x≈1.41×20＝28.2，
∴A船到达C船处约需时间：28.2÷30＝0.94（小时），
而0.94＜1，所以C船至少要等待0.9ห้องสมุดไป่ตู้小时才能得到救援.

中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题

中考数学第二轮复习专题训练--三角函数应用题

3 3精典例题：【例 1】如图，塔 AB 和楼 CD 的水平距离为 80 米，从楼顶 C 处及楼底 D 处测得塔顶 A 的仰角分别为 450 和 600，试求塔高与楼高（精确到 0.01 米）。

（参考数据： ＝1.41421…， ＝1.73205…）分析：此题可先通过解 Rt △ABD 求出塔高 AB ，再利用 CE ＝BD ＝80 米，解 Rt △AEC 求出 AE ，最后求出 CD ＝BE ＝AB －AE 。

解：在 Rt △ABD 中，BD ＝80 米，∠BAD ＝600 A∴AB ＝ BD tan 6080 138.56 （米）450C在 Rt △AEC 中，EC ＝BD ＝80 米，∠ACE ＝450 ∴AE ＝CE ＝80 米∴CD ＝BE ＝AB －AE ＝ 80 80 58.56 （米）EBD F例 1 图答：塔 AB 的高约为 138. 56 米，楼 CD 的高约为 58. 56 米。

【例 2】如图，直升飞机在跨河大桥 AB 的上方 P 点处，此时飞机离地面的高度 PO ＝450 米，且 A 、B 、 O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为300 ， 450 ，求大桥 AB 的长（精确到 1 米，选用数据： ＝1.41， ＝1.73）分析：要求 AB ，只须求出 OA 即可。

可通过解 Rt △POA 达到目的。

解：在 Rt △PAO 中，∠PAO ＝300∴OA ＝ PO cot PAO450 cot 300450 （米）在 Rt △PBO 中，∠PBO ＝ ∴OB ＝OP ＝450（米）∴AB ＝OA －OB ＝ 450 450450 P329 （米） 答：这座大桥的长度约为 329 米。

OBA例 2 图评注：例 1 和例 2 都是测量问题（测高、测宽等）， 解这类问题要理解仰角、俯角的概念，合理选择关系式，按要求正确地取近似值。

【例 3】一艘渔船正以 30 海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在 A 处看见小岛 C 在船的北偏东 600方向，40 分钟后，渔船行至 B 处，此时看见小岛 C 在船的北偏东 300 方向，已知以小岛 C 为中心周围 10 海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？分析：此题可先求出小岛 C 与航向（直线 AB ）的距离，再与 10 海里进行比较得出结论。

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法

三角函数的应用中考数学中的常见问题解决方法三角函数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，尤其在中考数学中经常出现。

然而，由于其复杂性，学生们常常遇到一些问题。

本文将介绍一些常见的问题以及相应的解决方法，以帮助学生更好地应对三角函数的应用。

问题一：如何准确计算三角函数的值？解决方法：为了准确计算三角函数的值，学生需要熟悉常见角度的正弦、余弦和正切值，并掌握使用计算器的技巧。

同时，学生还应了解特殊角度的三角函数值，如30°、45°和60°等，因为它们在问题求解中经常出现。

问题二：如何确定一个三角形的边长或角度？解决方法：在解决三角形的边长或角度问题时，可以运用正弦定理、余弦定理和正切定理。

正弦定理可以帮助我们求解三角形的边长，而余弦定理则常用于解决三角形的角度问题。

正切定理适用于特殊情况，如等腰三角形。

问题三：如何应用三角函数解决实际问题？解决方法：实际问题中经常涉及到三角函数的应用，比如测量高楼的高度、计算物体的飞行距离等。

解决这类问题时，我们可以通过建立适当的图形模型，使用三角函数来表达出已知和未知量之间的关系。

在这个过程中，学生需要善于抽象问题，将其转化为数学模型。

问题四：如何解决解三角函数方程的问题？解决方法：解三角函数方程需要运用三角恒等式和解方程的技巧。

首先，学生需要了解常用的三角恒等式，并熟练掌握其证明和应用。

其次，学生需要将方程化简为三角恒等式的形式，并找到方程的解。

最后，学生还需检验解是否满足原方程。

问题五：如何使用三角函数图像解决问题？解决方法：三角函数的图像通常是一种周期性的波动曲线，通过观察图像，可以获得有关函数性质的信息。

学生可以利用图像分析函数的周期、幅值、最大值、最小值等特征属性，并将其应用于问题求解。

同时，学生还需注意辨别不同类型的三角函数图像，并了解其基本特点。

问题六：如何解决三角函数的复合问题？解决方法：三角函数的复合问题意味着需要嵌套运用多个三角函数公式进行计算。

中考 数学专练11(三角函数大题)(30题)(老师版)

中考 数学专练11(三角函数大题)(30题)(老师版)

2022中考考点必杀500题专练11（三角函数大题）（30道）1．（2022·浙江绍兴·一模）如图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点,,B E D 均为可转动点，现测得20cm AB BE ED CD ====，经多次调试发现当点,B E 都在CD 的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．(1)求放置最平稳时灯座DC 与灯杆DE 的夹角的大小；(2)当A 点到水平桌面（CD 所在直线）的距离为42cm 43cm -时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将ABE ∠调节到105︒，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin150.26,cos150.97,tan15 1.73︒=︒=︒==）【答案】(1)灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°(2)此时光线最佳【解析】(1)解：延长BE 交DC 于点F ，则由题可知EF ⊥CD 且FD =12CD =10cm ； ⊥1cos 2DF D DE ∠== ⊥⊥D =60° 即灯座DC 与灯杆DE 的夹角为60°；(2)解：作AM ⊥DC 于点M ，作BG ⊥AM 于点G ，则四边形GMFB 是矩形⊥⊥GBF=90°⊥sin=⋅，EF DE D⊥2037.3cm=+=+≈，GM BE EF⊥⊥ABE =105°，⊥⊥ABG =15°⊥sin15 5.2=⋅=cmAG AB⊥AM=37.3+5.2=42.5cm⊥此时光线最佳．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，线段垂直平分线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．2．（2022·安徽·东至县教育体育局教学研究室一模）如图1，某游乐场建造了一个大型摩天轮，工程师介绍：若你站在摩大轮下某处（A点）以30的仰角恰好可以看到摩天轮圆轮的底部（C点），可测得AC的长度为30m，以63︒的仰角可以看到摩天轮圆轮的最上方（D点），如图2，设摩天轮圆轮的直径CD垂地面于点B，点A，B在同一水平面上．（人的身高忽略不计， 1.73,sin630.89,cos630.45,tan63 1.96≈︒≈︒≈︒≈，结果精确到个位）(1)求AB的长；(2)求摩天轮的圆轮直径（即CD的长）．【答案】(1)26m ；(2)36m【解析】(1)解：根据题意知30,30,90=∠=∠︒︒=AC CAB B ，⊥cos 30cos303026(m)=⋅∠=⨯=︒≈AB AC CAB ． 答：AB 的长约为26m ．(2)解：根据题意知30,30,90,63=∠=︒∠︒=︒∠=AC CAB B DAB ， ⊥1sin 30sin303015(m)2=⋅∠=⨯︒=⨯=BC AC CAB ． 由（1）知26AB =， ⊥tan ,∠=DB DAB AB ⊥tan 26tan 6326 1.9651(m)=⋅∠=⨯︒≈⨯≈DB AB DAB⊥511536()=-=-=CD DB BC m ．答：摩天轮的圆轮直径约为36m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数解直角三角形是解题的关键．3．（2021·陕西渭南·二模）西安汉城湖景区巨大的汉武帝塑像背北朝南，一手执剑安边，广布王道与蛮夷；一手樾泽众生，推行儒术与天下，展示了汉武帝一统江山、胸怀万里的豪迈气概（如图1）．小明想利用所学知识测量汉武帝塑像的高度BE ，测量方法如下：如图2，在地面上的点C 处测得塑像顶端E 的仰角为37︒，从点C 走到点D ，测得24CD =米，从点D 测得塑像底端B 的仰角为26.5︒，已知A ，B ，E 在同一条垂直于地面的直线上，点C 、D 、A 在一条直线上，7AB =米，请你根据题中提供的相关信息，求塑像BE 的高度（参考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，sin26.50.45︒≈，cos26.50.89︒≈，tan26.50.50︒≈）【答案】塑像BE 的高度约为21.5米．【解析】解：由题意知，在Rt ABD △中，26.5ADB ∠=︒，7AB =米， ⊥714tan 26.50.5AB AD =≈=︒（米）， ⊥24CD =米，⊥142438AC AD CD =+=+=（米），在Rt ACE △中，37ACE ∠=︒，⊥38tan37380.7528.5AE =⨯︒≈⨯=（米），⊥7AB =米，⊥28.5721.5BE AE AB =-=-=（米），答：塑像BE 的高度约为21.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握“利用锐角三角函数求解直角三角形的边长”是解本题的关键． 4．（2022·陕西·武功县教育局教育教学研究室二模）风筝起源于中国，最早的风筝是由古代哲学家墨翟制造的，中国风筝问世后，很快被用于传递信息，飞跃险阻等军事需要，唐宋以后传入民间，成为人们休闲娱乐的玩具．上周末，小伟和爸爸一起去野外放风筝，不慎，两个风筝在空中P 处缠绕在一起，如图，小伟在地面上的A 处测得点P 的仰角为30°，爸爸在距地面2米高的C 处（即2BC =米）测得点P 的仰角为60°，已知A 、B 、D 在一条直线上，PD AD ⊥，CB AD ⊥，160AB =米，求此时风筝P 处距地面的高度PD ．（结果保留根号）【答案】风筝P 处距地面的高度PD 为()1米．【解析】解：过点C 作CE PD ⊥于点E ，如图，根据题意可得90CEP D ∠=∠=︒，四边形BCED 为矩形，⊥2DE BC ==米，CE BD =，设BD CE x ==米，则()160AD AB BD x =+=+米，在Rt PCE △中，tan 60PE CE =⋅︒=米，⊥)2PD PE DE =+=+米．在Rt PAD △中，tan tan30PD A AD =︒==⊥AD =，即)1602x +=+，解得80x =-⊥(8021PD +=（米）．即此时风筝P 处距地面的高度PD 为()1米．【点睛】本题主要考查了三角函数解决实际问题，解题关键是根据题意构建直角三角形并利用三角函数求解． 5．（2022·陕西·一模）如图，学校一幢教学楼AB 的顶部竖有一块写有校训的宣传牌AC ，小同在M 点用测倾器测得宣传牌的底部A 点的仰角为31︒，他向教学楼前进7米到达N 点，测得宣传牌顶部C 点的仰角为45︒，已知广告牌AC 的高度为3米，测倾器 1.5DM EN ==米，点B 、M 、N 在同一水平面上，不考虑其他因素，求教学楼AB 的高度．（结果保留整数，参考数据sin310.52︒≈，cos310.86︒≈，tan310.61︒≈）【答案】17【解析】连接DE并延长交BC于F，⊥DM⊥MB，EN⊥MB，⊥DM⊥EN，⊥DM=EN，⊥四边形DMNE是矩形，⊥BM⊥DF，DE=MN=7⊥DF⊥CB， 1.5DM EN BF===设AF=x，⊥CF=3+x，在Rt△BCF中，⊥⊥CEF=45°，⊥EF=FC=x+3，⊥DF=EF+DE=x+3+7=x+10，在Rt△AED中，tan⊥ADF=AF DF，⊥tan 31x DF︒=， ⊥tan 31x DF =︒⊥0.6101x DF x ==+ 解得15.6x ≈⊥AB =AF +BF =15.6 1.517+≈，答：教学楼AB 的高度是17米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，结合图形利用三角函数解直角三角形是解答此题的关键．6．（2022·河南·西峡县基础教育教学研究室一模）数学兴趣活动小组的同学们利用课余时间测量一栋教学楼的高度．如图，在C 点测得楼顶A 点的仰角为45°，从C 点经斜面CE 到达高台上E 点测得A 点的仰角为22°，测得CD =16米，EF =3米．已知斜面CE 的坡度1:6.5i =，⊥CDF =90°，EF //CD ，点B 、C 、E 在同一平面内，且点B 、C 、D 在同一条直线上．求楼高AB ．（参考数据：sin22°≈0.38，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【答案】楼高AB 约为12米【解析】解：如图所示，延长FE 交AB 于G ，过点E 作EH ⊥BD ，则四边形EFDH 和四边形BGEH 都是矩形， ⊥BG =EH ，DH =EF =3米，GE =BH ，⊥CH =13米⊥斜面CE 的坡度1:6.5i =， ⊥1:6.5EH CH=， ⊥BG =EH =2米，设AB =x 米，则()2AG AB BG x =-=-米，⊥⊥ACB =45°，⊥ABC =90°，⊥⊥BAC =45°=⊥ACB ，⊥BC =AC =x 米，⊥()13EG BH BC CH x ==+=+米， ⊥tan AG AEG GE ∠=， ⊥2tan 220.413x x -=︒≈+， ⊥20.4 5.2x x -=+，⊥12x =，⊥楼高AB 约为12米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，等腰直角三角形的性质与判定，矩形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．7．（2022·辽宁锦州·一模）某数学兴趣小组测量一栋高层住宅楼AB 的高度，在住宅楼AB 对面的多层洋房CD 的楼底C 处，测得住宅楼AB 楼顶A 的仰角为63.4︒（即63.4ACB ∠=︒），在多层洋房CD 的楼顶D 处测得住宅楼AB 楼底B 的俯角为11.3︒（即11.3BDE ∠=︒），已知10m CD =，求高层住宅楼AB 的高度．（结果保留整数，测量工具的高度忽略不计．参考数据：sin 63.40.894︒≈，cos63.40.448︒≈，tan 63.4 1.997︒≈，sin11.30.196︒≈，cos11.30.981︒≈，tan11.30.200︒≈）【答案】高层住宅楼AB 的高度为100m【解析】解：依题意，得//BC ED ，⊥11.3CBD BDE ∠=∠=．在Rt BCD 中，90BCD ∠=，10m CD =⊥tan CD CBD BC ∠=， ⊥100.200BC≈ ⊥()50.00m BC =在Rt ABC 中，90ABC ∠=，63.4ACB ∠= ⊥tan AB ACB BC ∠=， ⊥1.99750.0AB = ⊥()100m AB ≈答：高层住宅楼AB 的高度为100m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．8．（2022·重庆渝中·二模）2021年7月，央视财经频道献礼建党100周年大型纪录片《大国建造》第二集《栋梁之材》中专门报道了重庆来福士塔楼．王老师为了测量来福士塔楼的高度，他在江北嘴嘉陵江边A 处沿坡角为22°的斜坡AC 走了80米到达点C ，此时正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上．点C 处测得观景台F 的仰角为24°，测得塔楼最高点G 的仰角为32．2°（A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 在同一平面）．据央视报道可知250EF =米．（参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈；sin 240.41︒≈，cos240.91︒≈，tan 240.45︒≈；sin32.20.53︒≈，cos32.20.85︒≈，tan32.20.63︒≈．）(1)求朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离；（结果取整数）(2)求塔楼高度GE 的值．（结果取整数）【答案】(1)30米(2)350米【解析】(1)过C 作CM ⊥AB 于M⊥C 正好与江对岸的朝天门广场D 及来福士塔楼底部E 在同一水平线上⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离即为CM 的长度，在Rt ⊥CAM 中，22,80CAM AC ∠=︒=，sin CM CAM AC∠= ⊥sin 80sin 22800.3729.630CM AC CAM =⋅∠=⨯︒≈⨯=≈⊥朝天门广场D 与嘉陵江江面AB 的垂直距离为30米；(2)Rt ⊥CEF 中，24,250ECF EF ∠=︒=，tan EF ECF CE ∠=⊥2502505000tan tan 240.459EF CE ECF ==≈=∠︒ Rt ⊥CEG 中，500032.2,9ECG CE ∠=︒=,tan GE ECG CE∠= ⊥50005000tan tan 32.20.6335099GE ECG GE =∠⋅=︒⨯≈⨯=（米）． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题、坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．9．（2022·浙江台州·一模）如图所示是国际标准的篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心A 到地面的高度，现测得如下数据：CD 垂直于地面，255cm CD =，90cm BC =，AB 平行于地面，145ABC ∠=︒，请你利用学过的知识帮他们求出该高度．（结果精确到1cm ，参考数据：sin350.57︒=，cos350.82︒=，tan350.70︒=）【答案】306cm【解析】解⊥如图，过点B作BH⊥EF于点H，过点C作CG⊥BH于点G，过点A作AK⊥EF于点K，根据题意得：AB⊥EF，⊥⊥ABH=⊥BHF=⊥AKH=⊥CGH=⊥CGH=⊥CDH=90°，⊥四边形ABHK和CDHG是矩形，⊥AF=BH，GH=CD=255cm，⊥145ABC∠=︒，⊥⊥BCG=35°，在Rt⊥BCG中，sinBGBCGBC∠=，90cmBC=，⊥sin900.5751.3cmBG BC BCG=⋅∠≈⨯=，⊥AF=BH=BG+GH=51.3+255≈306cm，答：篮筐中心A到地面的高度为306cm．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据题意，准确构造直角三角形是解题的关键．10．（2022·云南·云大附中模拟预测）某工程队计划测量一信号塔OC的高度，由于特殊原因无法直接到达信号塔OC底部，因此计划借助坡面高度来测量信号塔OC的高度；如图，在信号塔OC旁山坡坡脚A处测得信号塔OC顶端C的仰角为70°，当从A处沿坡面行走13米到达P处时，测得信号塔OC顶端C的仰角刚好为45°．已知山坡的坡度i＝1：2.4，且O，A，B在同一直线上．(1)求点P 到水平地面OB 的距离．(2)求信号塔OC 的高度．（侧倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.7．）【答案】(1)5米(2)27.0米【解析】(1)解：如图，过点P 作PE ⊥OB 于点E ，PF ⊥OC 于点F ，⊥i ＝1：2.4，13AP =， ⊥15tan 2.412PE PAE AE ∠===， ⊥设PE =5x ，则AE =12x ，在Rt ⊥AEP 中，由勾股定理得：(5x )2＋(12x )2=132，解得：1x =或1x =-（舍去），⊥PE =5，则AE =12，⊥点P 到水平地面OB 的距离为5米．(2)解：⊥⊥CPF =⊥PCF = 45°，⊥CF PF =，设CF =PF =m 米，则OC = (m ＋5) 米，OA =(m －12)米，在Rt ⊥AOC 中，5tan 7012OC m OA m +︒==-，即：()5tan7012m m +=︒⋅-，解得：22.0m ≈，⊥22.0527.0OC ≈+=（米）⊥信号塔OC 的高度约为27.0米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，仰角、坡度的定义，解题的关键是要求学生借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．11．（2022·新疆乌鲁木齐·一模）如图，小明在红山塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测得塔顶G 的仰角为37°，在A 点和塔之间选择一点B ，测得塔顶G 的仰角为45°，又测得3AB =米，已知测角仪的高 1.5AF =米，请你帮小明计算出塔CG 的高度．（参考数据：3sin 375︒≈，4cos375≈︒，3tan 374︒≈）【答案】10.5米【解析】如图，延长FE ，交GC 于点H ，由題意可知HC =EB = F A =1.5，EF =AB =3，⊥GEH =45°，⊥GFH =37°，设GH =x 米，在Rt △GHE 中，⊥GHE =90°，⊥GEH =45，．⊥HE =GH =x ，在Rt △GHF 中，tan⊥GFH =GH HF ， 即tan 37°=3x x +， ⊥343x x =+， 解得x =9，⊥CG =GH + HC =10.5（米）．答：塔的高度为10.5米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12．（2022·河南平顶山·二模）2020年12月26日，“最美无背锁斜拉桥”鹰城大桥正式通车，作为全省唯一一座跨高铁的大型立交桥，通车后将极大缓解该区域的交通压力．某数学兴趣小组到现场测量塔AB 的高度AD ．如图，他们选取的测量点C 与塔底部B 在同一条水平线上，测得塔AB 与BC 所在水平线的夹角为57°，在C 点处测得塔顶A 的仰角为45°，已知塔底B 到测量点C 的距离为20.76米，求塔高AD ．（结果精确到0.1米．参考数据：sin570.84︒≈，cos570.54︒≈，tan57 1.54︒=）【答案】塔的高度AD 约为59.2米．【解析】解：由题意可知，⊥ABD =57°，⊥ACD =45°，BC =20.76米，在RtACD 中，由于⊥ACD =45°，⊥AD =CD ，设AD =x 米=CD ，则BD =（x -20.76）米，在RtABD 中， ⊥tan57°=AD BD， ⊥1.54（x -20.76）=x ，解得x ≈59.2（米），答：塔的高度AD 约为59.2米．【点睛】本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解决问题的前提，理解两个直角三角形的边角之间的关系是正确解答的关键．13．（2022·河南濮阳·一模）国家“十四五规划”减少化石能源的消耗，减少碳排放作为今后的重要任务之一，各地响应国家号召都在大力发展风电．某学校数学活动小组去实地对风电塔进行测量．如图1风电机组主要由塔杆和叶片组成，图2是由图1画出的平面图．假设站在A 处测得塔杆顶端C 的仰角是55°，沿F A 方向水平前进25米到达坡底E 处，在山顶B 处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D （D 、C 、F 在同一直线上）的仰角是45°，已知叶片的长度为20米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），坡高BE 为10米，BE EF ⊥，CF EF ⊥，求塔杆CF 的长（参考数据：tan55 1.4︒≈，tan350.7︒≈，sin550.8︒≈，sin350.6︒≈）．【答案】52.5米【解析】解：过点B 作BG DF ⊥于点G ，设塔杆CF 的长为x 米，则()20DF x =+米，⊥BE EF ⊥，CF EF ⊥，⊥四边形BEFG 是矩形．⊥坡高BE 为10米，⊥10FG =米，⊥()10DG DF FG x =-=+米．在Rt BDG △中，45DBG ∠=︒，⊥()10BG DG x ==+米，⊥()10EF x =+米．⊥25AE =米，⊥()15AF EF AE x =-=-米．在Rt ACF 中，55CAF ∠=︒， ⊥tan 1.415CF x CAF AF x ∠==≈-，解得52.5x =． 答：塔杆CF 的长为52.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形． 14．（2022·辽宁抚顺·二模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC 的高度，他在点A 测得大树顶端B 的仰角为45°，沿斜坡走13米到达斜坡上点D ，在此处测得树顶端点B 的仰角为31°，且斜坡AF 的坡度为1：2.4．(1)求小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度；(2)大树BC 的高度约为多少米？（参考数据：sin 31°＝0.52，cos 31°＝0.86，tan 31°≈0.60）【答案】(1)小明从点A 到点D 的过程中，他上升的高度为5米(2)大树的高度约为30.5米【解析】(1)解：作DH ⊥AE 于H ，如图所示：在Rt ⊥ADH 中， ⊥12.4DH AH =， ⊥5AH =12DH ，⊥AH 2+DH 2=AD 2，⊥DH=5，⊥AH=12．答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高度为5米．(2)延长BD交AE于点G，设BC=xm，由题意得，⊥G=31°，⊥5250603DHGHtan G.=≈=∠，⊥AH=2.4，DH=12，⊥GA=GH+AH=253+12=613，在Rt⊥BGC中，tan⊥G=BC GC，⊥50603BC xCG xtan G.=≈=∠，在Rt⊥BAC中，⊥BAC=45°，⊥AC=BC=x．⊥GC-AC=AG，⊥561 33x x-=，解得：x=30.5．答：大树的高度约为30.5米．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，根据题意作出辅助线是解题的关键．15．（2022·河南商丘·二模）2022年，中国举办了一个史无前例的冬奥会，民众对冰上运动的热情高涨．某滑雪场设计了一条滑雪道，该滑雪道由直道和停止区两部分组成．如图所示，AB为平台部分，AC为该滑道的直道部分，其与水平滑道之间均可视为平滑相连，滑道AC的坡角30ACF∠=，AC长为120米，滑雪道的停止区EC长为80米．为增加安全性，滑雪场修改方案，将滑道坡度减缓，新设计另一滑道AD，其坡角23ADF ∠=︒．问：新设计的滑道停止区ED 的长度为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：sin230.391≈，cos230.92l ≈，tan230,424≈ 1.732）【答案】新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米．【解析】解：过点A 作AG ⊥EF ，垂足为G ，如图：在直角⊥ACG 中，120AC =，30ACF ∠=︒，⊥cos30120CG AC =⨯︒==1sin 30120602AG AC =⨯︒=⨯=，⊥80EG EC CG =+=+在直角⊥ADG 中，60AG =，⊥23ADG ∠=︒， ⊥141.51tan 23AG DG ≈︒=，⊥80141.5142.4142.4ED EG DG =-=+=≈（米）答：新设计的滑道停止区ED 的长度约为42.4米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，解题的关键是正确的作出辅助线，利用解直角三角形进行计算．16．（2022·四川成都·二模）第31届世界大学生运动会将于2022年6月26日在成都举行，主火炬塔位于东安湖体育公园，亮灯之夜，塔身通体透亮，10余道象征太阳光芒的螺旋线全部点亮，璀璨绚丽，流光溢彩（如图1）．小杰同学想要通过测量及计算了解火炬塔CD 的大致高度，当他步行至点A 处，测得此时塔顶C 的仰角为42°，再步行20米至点B 处，测得此时塔顶C 的仰角为65°（如图2所示，点A ，B ，D 在同一条直线上），请帮小杰计算火炬塔CD 的高．（sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90，结果保留整数）【答案】火炬塔CD 的高31米【解析】解：设CD =x ， 则tan 2.14CD x BD CBD ==∠ ，tan 0.90CD x AD CAD ==∠， ⊥AB =AD -BD ， ⊥200.90 2.14x x -= ， 解得x =31，故CD =31（米），答：火炬塔CD 的高31米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角和俯角问题，解题的关键是理解仰角和俯角的定义．17．（2022·山西阳泉·一模）2022年2月20日，举世瞩目的北京冬奥会圆满落下帷幕. 北京冬奥会为绿色办奥、科技办奥贡献了中国样本和中国智慧，让奥运精神点亮更多人的冰雪梦想，并以冰雪运动和奥林匹克精神为纽带，凝聚更团结的力量. 图⊥，图⊥分别是一名滑雪运动员在滑雪过程中某一时刻的实物图与示意图，已知运动员的小腿ED 与斜坡AB 垂直，大腿EF 与斜坡AB 平行，G 为头部，假设,,G E D 三点共线，若大腿弯曲处与滑雪板后端的距离EM 长为0.9m ，该运动员大腿EF 长为0.4m ，且其上半身GF 长为0.8m ，35EMD ∠=︒．(1)求此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角GFE ∠的度数；(2)求此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度. （结果精确到0.1m ，参考数据：sin350.57︒≈，cos350.82︒≈，tan350.70︒≈ 1.73≈）【答案】(1)此刻滑雪运动员的身体与大腿所成的夹角60GFE ∠=︒(2)此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【解析】(1)如图，连接GE ，⊥EF AB ∥，ED AB ⊥，,,G E D 三点共线，⊥90GEF EDM ∠=∠=︒⊥04m,0.8m EF GF ==， ⊥0.41cos 0.82EF GFE GF ∠===. ⊥60GFE ∠=︒.(2)由（1）得60GFE ∠=︒⊥在Rt GFE 中，sin 0.80.69m GE GF GFE =⋅∠=≈. 在Rt EDM 中，35,0.9m EMD EM ∠=︒=，⊥sin 0.9sin350.51m ED EM EMD =⋅∠=⋅︒≈.⊥0.690.51 1.2m GD GE ED =+≈+=.答：此刻运动员头部G 到斜坡AB 的高度约为1.2m【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数定义，将实际问题转化为数学问题是解题的关键．18．（2022·河南开封·一模）北京2022年冬奥会自由式滑需和单板滑雪比赛的场地首钢滑大跳台，又称“雪飞天”，从远处看就像一只绝美的“水晶鞋”．某数学活动小组准备测量大跳台主体AB 的垂直高度，如图，选取的测量点C ，D 与AB 的底部B 在同一水平线上．测得CD 的长度为15m ．在C ，D 处测得跳台顶部A 的仰角分别为37.5°、45°，求跳台AB 的高度（结果精确到1m ．参考数据：sin37.50.609cos37.50.793tan37.50.767︒≈︒≈︒≈，，）【答案】49 m【解析】 解：AB BC ⊥，45ADB ∠=︒设AB x =m ，则BD AB x ==，CD 的长度为15m15BC x ∴=+在Rt ABC △中，tan 0.767AB C BC == 即0.76715x x =+ 解得49x ≈答：跳台AB 的高度为49 m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键．19．（2022·河南·模拟预测）郑州二七纪念塔位于郑州市二七广场，是为纪念京汉铁路工人大罢工中牺牲的烈士，发扬“二七”革命传统而修建的纪念性建筑．如图，某综合实践小组为测量塔顶旗杆的高度，在马路对面建筑物楼下选取了与二七塔的底部C 在同一水平线上的测量点D ，在建筑物楼上选取测量点E ，DE CD ⊥．已知，塔身BC 高63m ，18m ED =，在D 处测得旗杆顶部A 的仰角为58°，在E 处测得旗杆底部B 的仰角为45°，求旗杆的高度（参考数据sin580.85︒≈，cos580.53︒≈， tan58 1.6︒≈）．【答案】9m【解析】解：过E 作EF AC ⊥交于点F ，如图：由题意可知：四边形CDEF 为矩形，⊥18m CF ED ==，⊥631845m BF =-=⊥45BEF ∠=︒⊥45m=BF EF CD ==⊥58ADC ∠=︒ ⊥tan 58= 1.6AC CD︒= ⊥=1.6 1.64572m AC CD ⨯=⨯=⊥旗杆高度：=72639m AC BC --=．【点睛】本题考查解直角三角形，解题的关键是构造Rt BEF △，求出45m=BF EF CD ==，利用tan 58= 1.6AC CD︒=求出AC ．20．（2022·山东潍坊·一模）某移动公司为了提升网络信号，在坡度1:2.4i =的山坡AD 上加装了信号塔PQ （如图所示），信号塔底端Q 到坡底A 的距离为3.9米．为了提醒市民，在距离斜坡底A 点5.4米的水平地面上立了一块警示牌MN ，当太阳光线与水平线所成的夹角为53︒时，信号塔顶端P 的影子落在警示牌上的点E 处，且EN 长为3米．(1)求点Q 到水平地面的铅直高度；(2)求信号塔PQ 的高度大约为多少米？（参考数据：sin530.8,cos530.6,tan53 1.3︒≈︒≈︒≈）【答案】(1)1.5米(2)13.2米【解析】(1)解：作QH AB ⊥，垂足为H ，由1:2.4i =，可得:5:12=QH HA ，设5=QH x ，则12=HA x ，在Rt AQH △中，由勾股定理可得222+=QH AH AQ ，⊥222(5)(12) 3.9+=x x解得0.3x =，⊥5 1.5==QH x （米），所以，点Q 到水平地面的铅直高度是1.5米．(2)解：作⊥ES PQ ，垂足为S ，则120.3 5.49,53=+=⨯+=∠=︒ES HA AN PES ，⊥在Rt PES 中，tan ∠=PS PES ES ，即tan539︒=PS ． ⊥9 1.311.7≈⨯=PS （米），⊥11.73 1.513.2=+-=+-=PQ PS EN QH （米）所以，信号塔PQ 的高度大约为13.2米．【点睛】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，解决本题的关键是熟练掌握坡度坡角的概念． 21．（2022·北京市燕山教研中心一模）疫情防控过程中，很多志愿者走进社区参加活动．如图所示，小冬老师从A 处出发，要到A 地北偏东60︒方向的C 处，他先沿正东方向走了200m 到达B 处，再沿北偏东30方向走，恰能到达目的地C 处，求A ，C 两地的距离． 1.414 1.732≈≈）【答案】346m【解析】解：⊥120ABC ∠=︒⊥30CAB ACB ∠=∠=︒⊥200AB CB ==过点C 作垂线交AB 延长线于点D ，⊥30BCD ∠=︒．在Rt BDC 中，200CB =⊥100BD =⊥DC =又在Rt DCA △中，30ACB ∠=︒．⊥346AC =⊥A ，C 两地的距离是346m ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，正确理解题意并作出辅助线是解题的关键．22．（2022·山东青岛·一模）一架无人机沿水平方向飞行进行测绘工作，在点P 处测得正前方水平地面上某建筑物AB 的顶端A 的俯角为24︒．无人机保持飞行方向不变，继续飞行48米到达点Q 处，此时测得该建筑物底端B 的俯角为66︒．已知建筑物AB 的高度为36米，求无人机飞行时距离地面的高度．（参考数据：2sin 245≈，9cos 2410︒≈，9tan 2420︒≈，9sin 6610︒≈，2cos665︒≈，9tan 664︒≈）【答案】无人机飞行时距离地面的高度为72米【解析】解：如图，延长BA 交PQ 的延长线于点C ，由题意可得，PC ⊥BC ，在Rt⊥PCA 中，tan24°=48AC AC AC PC PQ QC QC ==++≈920， 可得20489QC AC =-， 在Rt⊥BCQ 中，tan66°=3694BC AC QC QC +=≈， QC =4169AC +， ⊥20489AC -=4169AC +， 解得AC =36，⊥BC =BA +AC =36+36=72（米）即无人机飞行时距离地面的高度为72米．【点睛】本题考查锐角三角函数的实际应用—仰俯角问题，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23．（2022·浙江金华·模拟预测）如图是一种手机三脚架，它通过改变锁扣C 在主轴AB 上的位置调节三脚架的高度，其它支架长度固定不变，已知支脚DE ＝AB ．底座CD ⊥AB ，BG ⊥AB ，且CD ＝BG ，F 是DE 上的固定点，且EF ：DF ＝2：3．（1）当点B ，G ，E 三点在同一直线上（如图1所示）时，测得tan⊥BED ＝2．设BC ＝5a ，则FG ＝__（用含a 的代数式表示）；（2）在（1）的条件下，若将点C 向下移动24cm ，则点B ，G ，F 三点在同一直线上（如图2），此时点A 离地面的高度是__cm ．【答案】52a 19+【解析】解：（1）如图1中，连接DG ，EG ，过点F 作FH ⊥BE 于H ，则四边形CDGB 是矩形．⊥BC ＝DG ＝5a ，在Rt⊥DEG 中，tan⊥DEB ＝DG EG＝2，⊥52a EG =，DE =， ⊥FH ⊥DG ，⊥23EF EH DF GH ==， ⊥⊥EFH ⊥⊥EDG ，⊥25EF EH DE EG ==，⊥2255EF DE ===，⊥DF ，EH ＝25EG ＝2552a ⨯＝a ，HG ＝EG ﹣EH ＝52a ﹣a ＝32a ，⊥2FH a ==，⊥52FG a =； （2）如图1中，连接DG ，EG ，过点F 作FH ⊥BE 于H ，则四边形CDGB 是矩形．设BC ＝DG ＝2xcm ， 在Rt⊥DEG 中，tan⊥DEB ＝DG EG＝2， ⊥EG＝x （cm ），DE ==（cm ）， ⊥FH ⊥DG ，⊥23EF EH DF GH ==，⊥DF （cm ），EH ＝25x （cm ），HG ＝35x （cm ），⊥45FH x ==（cm ），⊥ FG x =（cm ），如图2中，连接DG ．⊥DF 2＝DG 2+FG 2，⊥()222224x x ⎪=⎫-⎪+⎝⎭，解得15x =+15x =-，⊥(15AB DE ===+cm ，作EJ ⊥BF 交BF 的延长线于J ．则EJ ＝EF •sin⊥EFJ ＝（cm ，⊥点A 离地面的高度＝AB +EJ ＝（cm ．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及到相似三角形的判定及其性质、勾股定理、正切等，解题的关键是正确解读题意，学会利用参数构建方程解决问题．24．（2022·安徽·一模）某通信公司准备逐步在合肥大蜀山上建设5G 基站．如图，某处斜坡CB 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，通讯塔AB 垂直于水平地面CF ，在C 处测得塔顶A 的仰角45ACF ∠=︒，在D 处测得塔顶A 的仰角53ADE ∠=︒，D 到水平地面的距离10DM =米，求基站AF 的高度．（参考数据：sin 5345︒≈，cos5335︒≈，tan 5343︒≈）【答案】66米【解析】解：根据题意得：EF =DM =10米，DE =MF ，⊥斜坡CB 的坡度1:2.4i =， ⊥12.4DM CM =， ⊥CM =24米，设AE =x 米，则AF =（x +10）米，⊥45ACF ∠=︒，AF ⊥CF ，⊥⊥CAF =⊥ACF =45°，⊥AF =CF =（x +10）米，⊥DE =MF =x +10-24=（x -14）米，⊥53ADE ∠=︒， ⊥tan 53AE DE=︒，即4143x x ≈-， 解得：x =56，⊥AF =66米，答：基站AF 的高度为66米．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键．25．（2022·安徽淮北·一模）某市为了加快5G 网络信号覆盖，在市区附近小山顶部架设信号发射塔，如图所示．为了知道发射塔的高度，小兵从地面上的一点A 测得发射塔顶端P 点的仰角是45︒，向山前走60米到达B 点测得P 点的仰角是60︒，测得发射塔底部Q 点的仰角是30．请你帮小兵计算出信号发射塔PQ 的高度． 1.7)【答案】94米【解析】⊥⊥P AC =45°，⊥PCA =90°，⊥AC =PC ，⊥⊥PBC =60°，⊥QBC =30°，⊥PCA =90°，⊥⊥BPQ =⊥PBQ =30°，⊥BQ =PQ ，CQ =12BQ ，设BQ =PQ =x ，则CQ =12BQ =12x ，根据勾股定理可得BC ， ⊥AB +BC =PQ +QC ，即=x +12x解得：606020 1.794x =+≈+⨯=，⊥PQ 的高度为94米．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，找出等量关系是解题关键． 26．（2022·四川·岳池县教研室二模）2022年春节期间，成都的夜景出圈了！一场场灯光秀不仅让本地人饱了眼福，也让外地游客流连忘返．在成都交子金融城双子塔，一场流光溢彩、璀璨夺目的视觉盛宴更是刷爆了朋友圈（如图1）．如图2，小玲想利用所学的数学知识，测金融城双子塔AB 的高度．她先在C 处用高度为1.3米的测角仪CD 测得AB 上一点E 的仰角22EDF ∠=︒，接着她沿CB 方向前进50米到达G 处，测得塔顶A 的仰角45AHF ∠=︒．若110AE =米，求双子塔AB 的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin 220.37︒≈，cos220.93︒≈，tan220.40︒≈）【答案】双子塔AB 的高度约为218米【解析】解：由题意可得四边形DCGH 和四边形DCBF 都是矩形，则 1.3BF CD ==米，50DH CG ==米．设EF x =米，则(110)AF AE EF x =+=+米．在Rt AFH △中，45AHF ∠=︒，45FAH ︒∴∠=，FAH AHF ∴∠=∠，(110)HF AF x ∴==+米，(160)DF DH HF x ∴=+=+米．在Rt DFE △中，22EDF ∠=︒，tan tan 22EF EDF DF ∴∠=︒=，即0.40160x x ≈+， 解得320106.73x =≈，经检验符合题意， 110106.7 1.3218AB AE EF BF ∴=++≈++=（米）．答：双子塔AB 的高度约为218米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．27．（2022·四川成都·二模）2022年，武侯区继续开展“武侯文化大讲堂”活动，某中学数学组以此为契机，在望江楼公园开展“感受武侯文化，领略古建风韵”的综合实践活动，测量望江楼AB 的高度．如图，已知测倾器的高度为1.2米，在测点C 处安置侧倾器，测得点A 的仰角45ADE ∠=︒，在与点C 相距10米的测点F 处安置侧倾器，测得点A 的仰角58AGE ∠=︒（点C ，F 与B 在一条直线上），求望江楼AB 的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin580.85︒≈，cos580.53︒≈，tan58 1.60︒≈）【答案】望江楼AB 的高度为27.9米【解析】解：延长DG 与AB 交于H ，由题意可知：四边形DCFG ，四边形GFBH ，四边形DCBH 为矩形，则10DG CF == ， 1.2BH CD == ，设AH =x ，在Rt ADH 中，45ADH ∠=︒ ，tan 1AH ADH DH ∴∠== ， DH AH x ∴== ，10GH DH DG x ∴=-=- ，在Rt AGH △ 中，tan AH AGH GH ∠=， 58AGH ∠=︒， 1.6010x x ∴≈- ， 解得：26.67x ≈ ，经检验：符合题意，27.8727.9AB AH BH ∴=+≈≈ ，⊥望江楼AB 的高度为27.9米．【点睛】本题考查的是锐角三角函数，仰角的定义，解直角三角形的应用，能正确构造直角三角形是解题的关键．28．（2022·山西晋中·一模）受新冠疫情影响，部分县市课堂教学从“线下”转到了“线上”，我市教育局承担组织全区“空中课堂”优秀课例的录制工作，手机成为学生线上学习的主要工具．如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm，AB=16cm．当AB，BC转动到⊥BAE=60°，⊥ABC=50°时，观看比较适宜，试求此时点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】点C到AE的距离约为6.3cm．【解析】解：如图，过点B、C分别作AE的垂线，垂足分别为M、N，过点C作CD⊥BM于D，。

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目

中考数学解题技巧如何解决三角函数的题目解决三角函数的题目是中考数学中的一项重要内容，对于学生来说，熟练掌握解题技巧可以提高解题效率和准确性。

本文将为大家介绍几种解决三角函数题目的技巧，希望能对中考数学备考有所帮助。

一、化简角度在解决三角函数的题目时，角度的化简是一个常用的技巧。

通过将角度化简为特定的值，可以利用特定的三角函数值进行计算，从而简化解题过程。

例如，对于sin(π/4 + α)的题目，可以利用sin(A + B)的公式，化简为sin(π/4)cos(α) + cos(π/4)sin(α)，再利用π/4的值为√2/2，可以得到sin(π/4 + α) = (√2/2)cos(α) + (√2/2)sin(α)。

二、利用三角函数的周期性质三角函数具有周期性的特点，利用这一特性可以简化解题过程。

对于周期性函数，可以将其角度转化为对应周期内的角度，从而得到相同的函数值。

例如，对于sin(2π/3)的题目，可以利用sin(θ + 2π) = sin(θ)的性质，将2π/3转化为0～2π范围内的角度，即2π/3 = 2π/3 - 2π = -4π/3，因此sin(2π/3) = sin(-4π/3)。

三、运用三角函数的性质解决三角函数题目时，还可以利用三角函数的基本性质和平凡解法来求解。

例如，对于tan(α) = 1的题目，可以利用tan(α) = sin(α)/cos(α)的定义，将其转化为sin(α) = cos(α)的形式，然后利用sin²(α) + cos²(α) = 1的性质，得到1 = 1 - cos²(α)，进一步化简得到cos²(α) = 0，从而得到cos(α) = 0。

根据cos(α) = 0的解，可以得到α为90°的整数倍。

因此，tan(α) = 1的解为α = 45°、225°等。

四、应用正弦定理和余弦定理对于一些复杂的三角函数题目，可以运用正弦定理和余弦定理来求解。

中考数学三角函数应用问题

中考数学三角函数应用问题

中考数学三角函数应用问题在中考数学中，三角函数的应用问题是一个重要的考点，也是许多同学感到头疼的部分。

但其实，只要我们理解了三角函数的基本概念和原理，掌握了常见的解题方法，就能够轻松应对这类问题。

三角函数在生活中的应用非常广泛。

比如，我们在测量建筑物的高度、计算山坡的坡度、确定航行中船只的位置等实际问题中，都可能用到三角函数。

先来说说测量建筑物高度的问题。

假设我们站在地面上，想要测量一座高楼的高度。

我们可以先测量出自己与建筑物之间的水平距离，然后再测量出从我们看建筑物顶部的仰角。

通过三角函数中的正切函数，就能够计算出建筑物的高度。

具体来说，如果我们测量出水平距离为 x 米，仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过 h ＝x × tanα 来计算。

再比如山坡的坡度问题。

坡度是指山坡坡面的倾斜程度，通常用坡面与水平面所成的角的正切值来表示。

假设山坡坡面与水平面所成的角为β，那么坡度 i ＝tanβ。

在解决三角函数应用问题时，关键是要正确地构建出直角三角形。

我们要从题目所给的信息中，找出直角三角形中的边和角的关系。

有时候，题目中可能没有直接给出直角三角形，这就需要我们通过作辅助线等方法来构建。

例如，有这样一道题：一艘船在海上以 30 海里/小时的速度向正东方向航行，在 A 处观测到灯塔 M 在北偏东 60°方向上，航行 2 小时后到达 B 处，此时观测到灯塔 M 在北偏东 30°方向上。

求此时船与灯塔的距离。

在这道题中，我们可以先根据题意画出图形，构建出直角三角形。

设船在 B 处时与灯塔的距离为 x 海里。

在直角三角形中，利用三角函数的关系，可以列出方程：tan30°＝（x 60）／ 60 ，通过解方程就可以求出 x 的值。

另外，还有一类常见的问题是与三角形的内角和外角有关的。

比如，已知一个三角形的两个内角的度数和一个边长，求其他边长或角度。

这时候，我们需要用到三角函数的正弦定理和余弦定理。

中考三角函数题型及解题方法

中考三角函数题型及解题方法

中考三角函数题型及解题方法中考三角函数题型及解题方法一、正弦、余弦定理正弦定理•用途：求解三角形中的任意一边或角度。

•公式：a sinA =bsinB=csinC余弦定理•用途：求解三角形中的任意一边或角度。

•公式：c2=a2+b2−2abcosC 二、特殊角的三角函数值30°, 45°, 60°角的三角函数值角度正弦值余弦值正切值30°√32√3 345°√22√221角度正弦值余弦值正切值60°√3√32三、三角函数的性质1. 正弦函数的性质•定义域：(−∞,+∞)•值域：[−1,1]•周期：2π•奇偶性：奇函数2. 余弦函数的性质•定义域：(−∞,+∞)•值域：[−1,1]•周期：2π•奇偶性：偶函数3. 正切函数的性质+nπ，其中n为整数。

•定义域：(−∞,+∞)，除去π2•值域：(−∞,+∞)•周期：π•奇偶性：奇函数四、解三角形问题1. 已知两边及包含的夹角•使用余弦定理求解第三边的长度。

2. 已知两边及非夹角的一对角度•使用余弦定理求解第三边的长度。

•使用正弦定理求解夹角的度数。

3. 已知两角及夹边的长度•使用余弦定理求解第三边的长度。

4. 已知三边•使用余弦定理求解角度的度数。

5. 已知一边及夹角的度数•使用正弦定理求解第二边的长度。

•使用余弦定理求解第三边的长度。

6. 已知两边及其夹角的度数•使用正弦定理求解第三边的长度。

7. 已知一角及夹两边的长度•使用正切函数求解某边与角度之间的关系。

总结：根据已知信息的不同组合，运用正弦定理、余弦定理以及三角函数的性质，我们可以灵活地解决不同类型的三角函数题目。

以上是中考三角函数题型及解题方法的总结，希望对您的学习有所帮助！五、解题技巧和注意事项1. 理解数学概念在解题前，先明确数学概念，例如正弦、余弦、正切函数的定义和性质。

熟悉数学公式和定理，有助于理解题目和选择合适的解题方法。

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（匀速）沿北偏东 75°的方向追赶，结果两船在 B 处相遇． （1）甲船从 C 处追赶上乙船用了多少时间？ （2）甲船追赶乙船的速度是每小时多少千米？
北 北
B
东
C
A
东
立身以立学为先，立学以读书为本
例 5：20XX 年首届中国国际航空体育节在莱芜雪野举办，期间在市政府广场进行了热气球飞行表演.如图，有一热气 球到达离地面高度为 36 米的 A 处时，仪器显示正前方一高楼顶部 B 的仰角是 37°，底部 C 的俯角是 60°。为了安全
立身以立学为先，立学以读书为本
例 7：在一个阳光明媚、清风徐来的周末，小明和小强一起到郊外放风筝﹒他们把风筝放飞后，将两个风筝的引线一
端都固定在地面上的 C 处(如图).现已知风筝 A 的引线（线段 AC）长 20m，风筝 B 的引线（线段 BC）长 24m，在 C
处测得风筝 A 的仰角为 60°，风筝 B 的仰角为 45°.
的高为（
）．
A． 30tan 米
B． 30 米 C． 30sin 米 D． 30 米
tan
sin
3．如图 3，为了测量河两岸的 A、B 两点间的距离，在与 AB 垂直的方向上取点 C，测得 AC=a，ACB ，则 AB
的长为（
）．
立身以立学为先，立学以读书为本
A. asin
飞越高楼，气球应至少再上升多少米？（结果精确到 0.1 米）
B
（参考数据： sin 37 0.60, cos37 0.80, tan 37 0.75, 3 1.73 ）
A
C
例 6．小明家所在居民楼的对面有一座大厦 AB，AB＝ 80 米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的 窗户 C 处测得大厦顶部 A 的仰角为 37°，大厦底部 B 的俯角为 48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离 CD 的长度．（结
【课堂练习】
1．如图 1，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D 为垂足，若 AC=4，BC=3，则 sin∠ACD 3 4
C
C． 4 5
D． 3 5
B
A
2．如图
2，图为1 测D楼房
B

BC 的高A，在距离图房230
米的
AC处测得楼顶的仰角为
，则楼高
BC
（1）试通过计算，比较风筝 A 与风筝 B 谁离地面更高？ （2）求风筝 A 与风筝 B 的水平距离.
B
A
(精确到 0.01 m；参考数据：sin45°≈0.707,cos45°≈0.707,tan45°=1,
sin60°≈0.866,cos60°=0.5,tan60°≈1.732）
60°
E
D
45° C
60°．已知 AB＝20 m，点 C 和直线 AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）．
C
45° 60°
A
B
例 4：如图，甲、乙两只捕捞船同时从 A 港出海捕鱼．甲船以每小时15 2 千米的速度沿西偏北 30°方向前进，乙船
以每小时 15 千米的速度沿东北方向前进．甲船航行 2 小时到达 C 处，此时甲船发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速
A
B. a cos
a C
C. a tan
a
D.
tan
A
2米
30
B
C 题5
B
（图第410题 ）
（图第39题 ）
讲义编号_
课题
立身以立学为先，立学以读书为本
学科教师辅导讲义
三角函数应用问题
教学目标
掌握三角函数的应用问题
重点、难点
重点：应用三角函数解决实际应用问题 难点：如何选择适当的三角函数求解实际问题
考点及考试要求
会利用三角函数解决简单的应用问题
教学内容
【基础知识小测】
1．已知直角三角形中 30°角所对的直角边长是 2cm，则斜边的长是（ ）．
果保留整数）
（参考数据： sin 37o 3，tan37o 3，sin 48o 7 ，tan48o 11 ）
5
4
10
10
37° D 48° C
B
例 6：如图，某天然气公司的主输气管道从 A 市的东偏北 30°方向直线延伸，测绘员在 A 处测得要安装天然气的 M 小区在 A 市东偏北 60°方向，测绘员沿主输气管道步行 2000 米到达 C 处，测得小区 M 位于 C 的北偏西 60°方向， 请你在主输气管道上寻找支管道连接点 N，使到该小区铺设的管道最短，并求 AN 的长.
立身以立学为先，立学以读书为本
例 2：如图，苏州某公园入口处原有三阶台阶，每级台阶高为 20cm，深为 30cm．为方便残疾人士，拟将台阶改为斜 坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现将斜坡的坡角∠BCA 设计为 12°，求 AC 的长度．（精确到 1cm）
B
20 cm
30cm C
A
例 3：如图，天空中有一个静止的广告气球 C，从地面 A 点测得 C 点的仰角为 45°，从地面 B 点测得 C 点的仰角为
A．2 cm
B．4 cm
C．6 cm
D．8 cm
2．在 RtABC 中，∠C=90°，AB=13，AC=12，BC=5，则下列各式中正确的是（ ）．
A． sin A 12 5
B． cos A 12 13
C． tan A 12 5
D． tan A 12 13
3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 sin A 2 ，则 cosB 的值为（ ）． 2
例 例 8：如图,水坝的横断面是梯形,背水坡 AB 的坡角∠BAD= 60 ,坡长 AB= 20 3m ,为加强水坝强度,将坝底从 A 处向后 水平延伸到 F 处,使新的背水坡的坡角∠F= 45 ,求 AF 的长度(结果精确到 1 米,参考数据: 2 1.414 , 3 1.732 ).
A． 1 2
B． 2 2
4．计算下列各题
（1） 1 cos60 2 sin 45 2
C． 3 2
D．1
（2） 2cos2 45 tan 60 tan 30
【基本知识点】
一、三角函数的基本定义 二、特殊角的三角函数值
【经典例题】
例 1：为了缓解长沙市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已 知立杆 AB 高度是 3m，从侧面 D 点测得显示牌顶端 C 点和底端 B 点的仰角分别是 60°和 45°．求路况显示牌 BC 的 高度．
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