00023自考高等数学(工本)
2010年1月自学考试00023高等数学(工本)真题试卷及参考答案
2010年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.在空间直角坐标系中，方程x 2+y 2=2的图形是（ ）A.圆B.球面C.圆柱面D.旋转抛物面2.设函数f(x+y,x-y)=xy2y x 22−,则f(x,y)=（ ） A.22y x xy − B.22y x xy 2− C. 22y x xy 4− D. )y x (2xy 22− 3.设积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1，三重积分I=⎰⎰⎰Ω+dxdydz )1z (，则（ ） A.I<0B.I=0C.I>0D.I 与z 有关4.微分方程0y 2y 3y =+'−''的通解y=（ ）A.C 1e -x +C 2e 2xB. C 1e -x +C 2e -2xC. C 1e x +C 2e -2xD. C 1e x +C 2e 2x5.下列无穷级数中发散的无穷级数是（ ） A.∑∞=+1n 221n 3n B. ∑∞=+−1n n 1n )1( C. ∑∞=−−3n 1n n ln )1( D. ∑∞=+1n 1n n 32 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6. 设函数z=u+v, 而u=x+y, v=xy ，则xz ∂∂=___________. 7. 设区域D ：|x|≤1,0≤y ≤1,则二重积分⎰⎰+D 2dxdy )x sin x 1(的值等于___________. 8. 设λ是正常数，并且xy λdx+x λydy 是其个函数u(x,y)的全微分，则λ=___________.9. 微分方程3y y 2y =+'+''的一个特解为y*=___________.10. 函数f(x)=sin x 展开成x 的幂级数为___________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．求过点P （4，-1，2）并且与直线L ：⎩⎨⎧−=−−=−+1z y x 7z y x 平行的直线方程. 12．设函数z=)x ,x y (f ，其中f 是可微函数，求yz ,x z ∂∂∂∂. 13．已知函数z=e 3y (x 2+2y-x)，求y x z 2∂∂∂. 14．求函数f(x,y,z)=xyz-x 2-y 2+3z 在点（-1，-1, 2）处的梯度.15．求曲面z=4-x 2-y 2上平行于平面2x+2y+z-7=0的切平面方程.16．计算二重积分I=⎰⎰+D dxdy )y 2x (，其中D 是由坐标轴和直线x+y=4所围成的区域. 17．计算三重积分I=⎰⎰⎰Ω++dxdydz )z y x(222，其中积分区域Ω：x 2+y 2+z 2≤1.18．计算对弧长的曲线积分⎰+Lds )y 2x 3(，其中L 是连接点（1，0）和（0，1）的直线段. 19．计算对坐标的曲线积分⎰+L xdy ydx ，其中L 是椭圆1b y a x 2222=+的逆时针方向. 20．求微分方程（1+x 2）dy+(1+y 2)dx=0的通解.21．求幂级数∑∞=+1n n 32x 1n n 的收敛半径和收敛区间. 22．设函数f(x)=x+1,x ∈[)ππ−,的傅里叶级数展开式为∑∞=++1n n n 0)nx sin b nx cos a(2a 求系数a 5 .四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求由四个平面x=0, y=0, x=1, y=1所构成的柱面和平面z=0及x+y+z=7所围成的立体的体积.24．设无穷级数∑∞=1n 2n a 和∑∞=1n 2n b 均收敛，证明无穷级数∑∞=1n n n b a 是绝对收敛.25．设曲线y=y(x)在其上任意点（x,y ）处的切线斜率为yx 1+，且过点（-1，0），求该曲线的方程.。
00023高等数学(工本) 全国13年10月自考 试题
全国2013年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023一、单项选择题(本大题共30小题，每小题1分，共30分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.在空间直角坐标系中，点（-1，4，2）关于axy 坐标面对称点为 A.（-1，4，-2） B.（1，-4，-2） C.（1，4，2）D.（-1，-4，-2）2.点（0，0）是函数z =1-xy 的 A.极小值点 B.极大值点 C.驻点D.间断点 3.设积分曲线L ：x +y =2(0≤x ≤2),则对弧长的曲线积分(1)d Lx y s +-=⎰A.-B.C.4.下列方程是可分离变量微分方程的是 A.2y x y '=+B.2ed e d x yx y x y -+=C.22()d ()d 0x y x x y y +++= D.235y y x '+=5.下列收敛的无穷级数是A.11sin n n n ∞=∑B. 221n n n ∞=+∑ C. 11n n∞=∑D. 023nn n ∞=∑二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）6. 已知向量α={3，-5，1}，β={-2，c,-6}，并且αβ =0，则常数c=_________.7.已知函数z则zy∂∂=_________. 8.设积分区域Ω：x 2+y 2≤1,0≤z,则三重积分22()f xy dv Ω+⎰⎰⎰在柱面坐标下的三次积分为 _________.9.微分方程e xy '=的通解为_________. 10.已知无穷级数11111234nn u ∞==++++∑…，则通项u n =________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.求过点P （3，-1，2）并且通过x 轴的平面方程. 12.设f 是可微的二无函数，并且z =f (3x +4y ,xy 2),求全微分d z . 13.求曲线x =3cos t ,y =3sin t ,z =4t 在t=2π所对应的点处的切线方程. 14.设函数f (x ,y ,z )=(x -y )2+(y -z )2+(z -x )2,求grad f (x ,y ,z ). 15.计算二重积分d d D xy x y ⎰⎰，其中积分区域D ：22xy +≤4，x≥0，y≥0.16.计算三得积分()d x y z v Ω++⎰⎰⎰，其中积分区域Ω: 222x y z ++≤9，z≥0. 17.验证积分e cos d e sin d y yLx x x y +⎰与路径无关，并计算I =(,1)4(,0)2e cos d e sin d y y x x x y ππ+⎰.18.求向量场A =222e ee xy yz x z++i j k 的散度div A .19.求微分方程2221xy y x '+=+的通解. 20.求微分方程6160y y y '''--=的通解.21.判断无穷级数115n n n ∞=+∑的敛散性. 22.已知f (x )是周期为2π的周期函数，它在[),ππ-上的表达式为1, 0,()0, 0 .x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩求f (x )傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数a 5. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.求函数f (x ,y )=(x 2-1)(2y -y 2)的极值.24.求由平面x =1,y =0,y =x ,z =0及抛物面z =x 2+y 2所围立体的体积. 25.将函数21()23f x x x =+-展开为（x +1）的幂级数.。
2023年4月高等数学(00023)试卷参考答案
2023年4月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题答案（课程代码00023）一、单项选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分1.B2.C3.B4.A5.D6.D7.A8.D9.C10.C二、计算题：本大题共10小题，每小题6分，共60分11.解：由题意可得设平面方程为1x y za a a++= 将点(),-321，带入上述平面方程可得a =2,故平面方程为20x y z ++-=12.解：由题意可得取所求直线的方向向量为{}3,0,1n =-则所求的直线方程为x y z --+==-12330113.解：令(),,F x y z x y z =++-2222315 ，则()()()()()()()2,2,12,2,12,2,1,,2,4,64,8,622,4,3x y z nF F F x y z ====切平面方程为()()()2242310243150x y z x y z -+-+-=⇒++-=14.解：由题意可得grad u u u u i j k y zi xyz j xy k x y z∂∂∂=++=++∂∂∂222 所以有()(),,,,grad u y zi xyz j xy ki j k =++=++221111112215.解：令(),,F x y z x y z xyz =++-3333，则有2233,33x z F x yz F z xy =-=-则有x z F z x yz yz x x F z xy z xy∂--=-=-=∂--22223333 16.解：积分区域为():,D θπr ≤≤≤≤0202极坐标，则πDπd θr dr ==⎰⎰222016317解：曲线::,L x y ds =-→==222，则LI y ds π-===⎰⎰2222418解：由意义可知()(),,,xy xy P x y ye xy y Q x y xe x xy =++=++22，由格林公式可得()()()xy xy L D DQ P I ye xy y dx xe x xy dy dxdy y dxdy x y ⎛⎫∂∂=+++++=-=- ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰221 其中区域:,D y y x -≤≤≤≤2111关于x 轴对称，则()yDDy dxdy dxdy dy dx --=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰211141319解：该级数nn ∞=∑013为几何级数，且其公比q =<113，故该级数收敛。
自考00023高等数学(工本)201301
2013年1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：00023考生答题注意事项：1. 本卷所有试卷必须在答题卡上作答。
答在试卷和草稿纸上的无效。
2. 第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。
3. 第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号，使用0.5毫米黑色字迹笔作答。
4. 合理安排答题空间，超出答题区域无效。
选择题部分一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.在空间直角坐标系中，点（2，-1，4）到oyz 坐标面的距离为 A.1 B.2 C.42.点（1，2）是函数(1)(2)2z x y =---的 A.极小值点 B.极大值点 C.最大值点D.间断点 3.设积分曲线L ：y =1+x (0≤x ≤1)，则对弧长的曲线积分()Lx y ds -=⎰A.C.D.-4.微分方程2(2)(6)x xy dx x xy dy -=+是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程C.一阶线性齐次微分方程D.一阶线性非齐次微方程5.下列条件收敛的无穷级数是A.31(1)nn n∞=-∑ B.1(1)1n n n n ∞=-+∑C.1(1)2nnn ∞=-∑D.nn ∞=非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 6.已知向量α=｛1，-1，1｝，β=｛-2，C ，-2｝,并且α×β=0，则常数C =______. 7.已知函数cos yz e x =，则(,0)2zx π∂=∂______. 8.设积分区域：Ω0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1，则三重积分()x y z dv Ω++=⎰⎰⎰______.9.微分方程6y x ''=的通解为______.10.已知无穷级数23111111113323232n n u ∞==-+-+⋅⋅⋅∑，则通项u n =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求过点P 1(-2,3,-1)和P 2(3,3,5)的直线方程.12.设f 是可微的二元函数，并且22(23,)z f x y x y =-+，求全微分dz . 13.已知方程222325x y z z -+-=，确定函数(,)z z x y =，求z x ∂∂和z y∂∂. 14.设函数(,)cos()xf x y e x y =-，求梯度grad (,)f x y . 15.计算二重积分2222x y De dxdy --⎰⎰，其中积分区域D ：224x y +≤16.计算三重积分ydxdydz Ω⎰⎰⎰，其中积分区域Ω是由0,0,0x y z ===及1x y z ++=所围的.17.验证对坐标的曲线积分22(23)(2)Lxy y dx x xy dy ++++⎰与路径无关，并计算(1,0)22(0,1)(23)(2)I xy y dx x xy dy =++++⎰.18.计算对坐标的曲面积分333=I x d y d z y d z d x z d x d y ∑++⎰⎰，其中∑是球面2229x y z ++=的外侧.19.求微分方程22211xy xy x x '+=++的通解. 20.求微分方程320y y y '''-+=的通解.21.判断无穷级数1()31nn nn ∞=-∑的敛散性.22.已知f (x )是周期为2π的周期函数，它在[-π，π）上的表达式为,0,()1,0,x x f x x ππ-⎧=⎨<⎩≤＜≤ 求f (x )傅里叶级数01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑中系数a 0. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23.从斜边之长为k 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形. 24.求由曲面228z x y =--和22z x y =+所围成的立体的体积. 25.将函数21()56f x x x =-+展开为x 的幂级数.。
00023高等数学(工本) 笔记
高等数学是大学阶段数学的重要学科，是理工科学生必修的一门课程。
它不仅是理工科学生的必修课，也是数学专业学生的基础课，其内容包括微积分、复变函数、常微分方程、泛函分析等。
它为学生提供了深刻的数学基础，培养了学生的数学思维和分析解决问题的能力。
以下将对高等数学做一个全面的评估，并撰写一篇深入、广泛的文章。
一、微积分微积分是高等数学中的重要组成部分，涉及到导数、积分、微分方程等内容。
在微积分中，我们学习了函数的极限、导数、微分、积分等内容，在实际运用中常常用于求解函数的极值、曲线的切线方程、定积分的应用等。
二、复变函数复变函数是高等数学中的一门重要课程，其内容包括复数、解析函数、留数定理等。
复变函数的概念和方法对数学、物理、工程等领域具有重要的应用价值，是现代科学技术发展中的重要工具。
三、常微分方程常微分方程是高等数学中的一门重要课程，其内容包括一阶微分方程、高阶微分方程、微分方程的解法等。
常微分方程在科学技术发展中有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学等领域都有着重要的应用。
四、泛函分析泛函分析是高等数学中的一门重要课程，其内容包括巴拿赫空间、希尔伯特空间、算子理论等。
泛函分析在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，是数学的重要分支之一。
通过以上论述，我们可以看出高等数学在提升学生的数学素养、提高学生的分析问题的能力方面起着至关重要的作用。
它在实际的科学、技术领域中也有着广泛的应用，对于培养学生的科学技术素养有着重要的作用。
在我个人看来，高等数学是一门非常重要的学科，它不仅有着深厚的理论基础，同时也有着广泛的应用价值。
通过学习高等数学，可以培养学生的抽象思维能力和解决实际问题的能力，帮助学生更好地理解和应用数学知识。
我认为高等数学是大学阶段不可或缺的一门重要学科。
高等数学是一门具有深刻理论基础和广泛应用价值的学科，对于培养学生的数学思维和解决问题的能力有着重要的作用。
通过学习高等数学，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，为他们未来的学习和工作打下坚实的数学基础。
自考00023《高等数学(工本)》考点押题版
1. a b a x bx a y b y a z bz
2. a b 的充要条件是： a b 0
3. cos( ab)
ab ab
2：向量的向量积{一级重点}{选择、计算} 公式：
i
1. a b a x
j ay by
k a z (a y bz a z b y )i (a z bx a x bz ) j (a x b y a y bx )k bz
2
1
dx
r2 ( )
r1 ( )
rdr
z 2 ( r , )
z1 ( r , )
f (r cos , r sin , z )dz
x r cos sin 3. 利用球面坐标计算： 为 y r sin sin y r cos
z z u z v x u x v x
z z u z v y u y v y
2. 设 z f (u, v), u ( x, y ), v ( x, y )
dz z du z dv dx u dx v dx
3. 设 F ( x, y, z ) 0
f ( x, y)dxdy, 曲面 : z
D
f ( x, y )
2. 设 V 为 的体积： V dv
3. 设 为曲面 z f ( x, y )
曲面的面积为 S
1 f x2 f y2 d
第四章 曲线积分与曲面积分
1：两类曲线积分的计算{一类重点}{计算题} 公式： 1. 对弧长的曲线积分计算： {1}若 L： y f ( x), a x b ，则
00023自考高等数学(工本)
00023自考高等数学(工本) D则常数c=______.7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______. 8．二次积分I =⎰⎰--21011d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______. 10.幂级数∑∞=+013n nn x 的收敛半径R =______.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．将直线⎩⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程.12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z( x, y ),其中f 为可微函数，求xz∂∂和y z ∂∂.13.求曲面z = 2y + ln y x 在点（1，1，2）处的切平面方程.14.求函数z = x2 - y2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B（3，3+3）的方向l的导数.15.计算二重积分()⎰⎰+Dy xxy ddsin32，其中积分区域D是由y = | x |和y = 1所围成.16.计算三重积分I=⎰⎰⎰Ωzyxxy ddd，其中积分区域Ω是由x2+y2=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域.17.计算对弧长的曲线积分I=⎰Ldsy2，其中L为圆周x2+y2=9的左半圆.18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++Lyy x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。
20．求微分方程x ye xy=+1d d 的通解.21.设α为任意实数，判断无穷级数∑∞=1n 2)sin(n n α的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？22．设函数f ( x )=x 2cos x 的马克劳林级数为∑∞=0n nn x a ，求系数a 6.四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数z=ln(x +y )，证明2x xz ∂∂+2y y z ∂∂=1.24.求函数f ( x, y )=3+14y +32x -8xy -2y 2-10x 2的极值.25.将函数f ( x )=322--x x x 展开为x 的幂级数.自考高等数学（工本）历年真题（2010-2016）齐全，请@上传者“GeDa4012”11。
全国2020年10月自考00023高等数学(工本)试题及答案
D020·00023(附参考答案）绝密★考试结束前2020年10月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）（课程代码:00023）1.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
2.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
选择题部分注意事项：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.在空间直角坐标系中，点（2，-1，-9）在A.第一卦限B.第四卦限C.第五卦限D.第八卦限 2.极限()y xy y x 3sin lim 02→→ A.等于2B.等于3C.等于6D.不存在 3.已知dy e dx e y x y x ---是某函数u （x ，y ）的全微分，则u （x ，y ）=A.y x e -B.y x e --C.x y e -D.x y e -- 4.方程y dxdy =的通解为 A.Cx e y = B.x Ce y = C.x e C y += D.x C e e y +=5.下列无穷级数中，条件收敛的无穷级数是A.()∑∞=--111n n nB.()∑∞=•-1251n n n nC.()∑∞=+•-111n n n nD.()∑∞=--1121n nn非选择题部分注意事项：用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上。
二、填空题：本大题共5空，每空2分，共10分。
6.设向量{}{}1,2,3,0,1,1--=βα，则βα-2= .7.已知()()2,y x y x xy f +=-，则()y x f ,= . 8.设()404:≤≤=+x y x C ，则对弧长的曲线积分()ds y x C+⎰2= . 9.微分方程2x '=y 满足初始条件()00=y 的特解•y = .10.设函数()x f 是周期为π2的周期函数，()x f 的傅里叶级数为()nx n n n sin 212111∑∞=+•-+，则()x f 的傅里叶系数1a = .三、计算题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
00023高等数学(工本)200410【答案在试卷后】
2004年下半年高等教育自学考试福建省统一命题考试高等数学（工本） 试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分） 1.函数f(x)=xxx +-11lg1的定义域是（ ） A.-1<x<1 B.0<x<1 C.-1<x<0 D.0<|x|<1 2.设函数f(x)=3x ，则f[f(x)]=（ ） A.9x B.6x 2 C. 3x3 D. 3x33.极限+∞→x limxarctgx=（ ） A.0 B.1C.+∞D.不存在4.当x→0时，下列表达式不正确的是（ ） A. e x -1~x B.sinx~x C.ln(1+x)~x 2D.x x 21~11-+ 5.曲线y=x 3在点（0，0）处的切线方程为（ ） A.x=0 B.y=0 C.x=y D.不存在 6.设函数y=sec 2xtgx ，则dxdy=（ ） A.sec 2x(3tg 2x - 1) B.3sec 4x - 2sec 2x C.2sec 4xtgx D.2sec 2xtgx+21sec xx+ 7.函数f(x)=(5-x)x 32的临界点的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 8.曲线y=3ln -x x（ ） A.有一条渐近线 B.有二条渐近线 C.有三条渐近线 D.不存在渐近线 9.若⎰+=C x F dx x f )()(,则dx e f ex x)(--⎰=（ ）A. F(e x)+C B. -F(e x-)+C C. F(x)+C D. -F(x)+C10.设函数f(x)在[-a,a]上连续，则下列正确的结论是（ ） A. ⎰-aa dx x f )(=⎰--aadx x f )( B.⎰-aa dx x f )(=⎰--adx x f x f 0)]()([C.⎰-aadx x f )(=2⎰adx x f 0)( D.⎰-aadx x f )(=011.下列广义积分收敛的是（ ） A.dx xx ⎰+∞1ln 1B. dx x ⎰101C.dx x ⎰-22)2(1D.dx x⎰+∞+021112.设向量a=2i+3k ，b=i+j-k ，则a×b=（ ） A.-3i+5j+2k B.-3i-5j+2k C.-3i+2j-k D.-113.曲面394222=++z y x 在（-2，3，-1）处的切平面方程是（ ） A. x-32y+2z=0 B.3x-2y+6z+18=0 C.x+32y+2z+2=0 D.3x-2y-6z+6=014.极限22200)sin(lim x y x y x →→=（ ） A.0 B.1C.9D.不存在 15.设u=222z y x ++,则（ ）A.x u ∂∂ +y u ∂∂+z u∂∂=1 B. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22zu ∂∂=1 C. 22x u ∂∂+22y u ∂∂+22z u ∂∂=0 D. （x u ∂∂）2+（y u ∂∂）2+（zu ∂∂）2=116.已知B:y=x,y=0及y=22x a -(x≥0)所围成的第一象限区域，则⎰⎰Bd σ=（ ）A.281a π B. 241a πC. 283a π D. 221a π17.下列各组函数中，哪组是线性相关的（ ） A.e x,sinx B.x,x-3 C.ex 3cos4x,ex3sin4x D. )1ln(),1ln(22x x x x -+++18.微分方程yy ’=y ’2的通解是（ ） A.y= e Cx B.y=C 1exC 2C.y=C 1x+C 2D.y=C 1+ e xC 219.下列级数中，收敛的级数是（ ）A.∑∞=11.01n nB. ∑∞=11sin n nnC. ∑∞=178n n nD.∑∞=11.01n n 20.幂级数n n n nx ∑∞=-+1])3(21[的收敛半径是（ ）A.31 B. 21C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 请在每小题的空格中填上正确答案。
高等数学(工本)00023历年试题及参考答案
高等数学(工本)历年试题及参考答案 自学考试高等数学（工本）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．在空间直角坐标系下，方程2x 2+3y 2=6表示的图形为（ ） A ．椭圆 B ．柱面 C ．旋转抛物面D ．球面2．极限021lim →→y x arcsin(x +y 2)=（ ）A ．6πB ．3π C ．2π D ．π3．设积分区域22:y x Ω+≤R 2，0≤z ≤1，则三重积分⎰⎰⎰=+Ωdxdydz y xf )(22（ ）A ．⎰⎰⎰π200102)(Rdz r f drd θ B ．⎰⎰⎰π20012)(Rdz r f rdrd θC ．⎰⎰⎰+π20122)(Rrdz y x f dr d θD ．⎰⎰⎰π102)(Rdz r f rdrd θ4．以y =sin 3x 为特解的微分方程为（ ） A ．0=+''y y B ．0=-''y y C ．09=+''y y D ．09=-''y y5．设正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（ ）A ．∑∞=+1100n nuB ．∑∞=++11)(n n n u uC ．∑∞=1)3(n nuD ．∑∞=+1)1(n nu二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．向量a ={1,1,2}与x 轴的夹角=α__________. 7．设函数22),(y x xy y x f -=，则=)1,(x yf __________.8．设∑是上半球面z =221y x --的上侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰∑=dxdy y 3__________.9．微分方程x y y sin 3='+'''的阶数是__________.10．设)(x f 是周期为2π的函数，)(x f 在[)ππ,-上的表达式为[)[)⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=.π,0,23sin .0,π,0)(x x x x f )(x S 是)(x f 的傅里叶级数的和函数，则S （0） =__________.三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11．设平面π过点P 1（1，2，－1）和点P 2（－5，2，7），且平行于y 轴，求平面π的方程. 12．设函数22ln y x z +=，求yx z∂∂∂2.13．设函数232y x e z -=，求全微分dz .14．设函数)2,(22xy y x f z -=，其中f (u , v )具有一阶连续偏导数，求xz ∂∂和y z ∂∂. 15．求曲面x 2+y 2+2z 2=23在点（1，2，3）处的切平面方程. 16．计算二重积分⎰⎰+D dxdy y x )sin(22，其中积分区域D ：x 2+y 2≤a 2.17．计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω是由曲面z =x 2+y 2，z =0及x 2+y 2=1所围区域.18．计算对弧长的曲线积分⎰Cds x 2，其中C 是圆周x 2+y 2=4的上半圆.19．计算对坐标的曲线积分⎰+-+-Cdy y x dx y )21()31(，其中C 为区域D ：| x |≤1，| y |≤1 的正向边界曲线.20．求微分方程02=-+-dy e dx e y x y x 的通解. 21．判断无穷级数∑∞=--+1212)1(1n n n 的敛散性. 22．将函数51)(+=x x f 展开为x +1的幂级数. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．设函数)(x yz ϕ=，其中)(u ϕ为可微函数.证明：0=∂∂+∂∂y zy x z x24．设曲线y =y (x )在其上点（x , y ）处的切线斜率为xyx -24，且曲线过点（1，1），求该曲线的方程. 25．证明：无穷级数∑∞=-=++-+121)122(n n n n .全国2011年1月自学考试高等数学(工本)试题一、单项选择题(本大题共5小题。
00023高等数学(工本)200810
全国2008年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：0023一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设向量a ={2，1，-1}与y 轴正向的夹角为β，则β满足( )A.0<β<2πB.β=2πC.2π<β<π D.β=π2.若f x (x 0，y 0)=f y (x 0，y 0)=0，则点(x 0，y 0)一定是函数f (x ，y )的( )A.驻点B.极大值点C.极小值点D.极值点3.设积分区域D 是由直线x =y ，y =0及x =2π所围成，则二重积分⎰⎰Ddxdy 的值为() A.21 B.2πC.42πD.82π4.下列微分方程中为线性微分方程的是( ) A.y x y dx dy sin += B.x e x xy dx yd )1(222+=- C.y x dx dy cos = D.x dx dy x dx y d 1)(222=+5.在下列无穷级数中，收敛的无穷级数是( ) A.∑∞=-1121n n B.∑∞=1)23(n nC.∑∞=1231n n D.∑∞=++12231n n n二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.已知向量a ={-1，3，-4}和b ={2，0，1}，则3a +b =_________.7.设函数z =2x 2-3y 2，则全微分dz =_________.8.设积分区域D :x 2+y 2≤4，则二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(在极坐标下化为二次积分为_________.9.微分方程y ″+y =8的一个特解y *=_________.10.无穷级数1+1+ ++++!1!31!21n 的和为_________. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）11.求过点（3，3，-2）并且与平面2x -y +z -3=0垂直的直线方程.12.求空间曲线L ：x =2t ，y =t 2，z =t 3在点（2，1，1）处的法平面方程.13.求函数f (x ，y ，z )=x 2-y +z 2在点P （2，-1，2）处沿方向L ={2，-1，2}的方向导数.14.已知函数z =f (2x +y ，x -3y )，其中f 具有连续的一阶偏导数，求yz ∂∂. 15.计算积分I=⎰⎰101.sin x dy y y dx16.计算三重积分⎰⎰⎰+Ωdxdydz y x 22，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=2，z =0及z =2所围成.17.计算对弧长的曲线积分⎰+C y x ds e 222，其中C 是圆周x 2+y 2=1. 18.计算对坐标的曲线积分⎰-+C dy y x ydx x )(2，其中C 为曲线y =x 2从点（0，0）到（1，1）的一段弧. 19.求微分方程y ″-2y ′-3y =0的通解.20.已知曲线y =f (x )上任意点（x ，y ）处的切线斜率为y -x ，且曲线过原点，求此曲线方程.21.判断无穷级数∑∞=+131n n n 的敛散性.22.求幂级数n n n n x n ∑∞=--1132)1(的收敛区间. 四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）23．求函数f (x ，y )=x 2+xy +y 2-6x -3y 的极值.24．求锥面z =22y x +被柱面z 2=2x 所割下部分的曲面面积S .25．将函数f (x )=x-31展开为x 的幂级数.。
成人自考00023《高等数学(工本)》考点
第一章空间解析几何与向量代数考点一：空间直角坐标系1．空间直角坐标系建立过空间定点O作三条垂直的数轴，以O为原点，具有相同单位长度，三条数轴分别为x轴、y轴、z轴，统称坐标轴。
三条坐标轴的任意两条都可确定一个平面，称为坐标面。
分别是x和y确定的Oxy平面，y和z确定的Oyz平面,x和z确定的Oxz平面。
三个相互垂直的坐标面把空间分为八个部分，每一部分称为一个卦象。
2．空间中两点间的距离公式设空间两点（）,（）,他们两点之间的距离为：||==。
特别地，点P（x，y，z）到原点O（0，0，0）的距离|OP|=。
考点二：向量代数1.向量的概念由数值决定大小的量，如：质量，温度，面积，密度等，称之为标量（数量）。
有大小还有方向，如：力，加速度，速度等，称之为向量。
空间中以A为起点，B为终点的线段称为有向线段，记为，简记为，将向量的长度记为||或||，称为向量的模。
如果向量的模为零，称为零向量。
定义1：如果两个向量与的长度相等且方向相同，则称这两个向量是相等的向量，记作=。
一个向量在空间中平移到任何位置而得到的向量与原向量相等，称为自由向量。
将若干个向量起点平移到同一个点后，它们的起点和终点都位于同一直线上，则称向量是共线的；起点和终点都位于同一个平面上，则称这些向量是共面的。
不论长度大小，两向量与的方向相反或相同，称与平行，记为。
2.向量的加法平行四边形法则：给定两个向量与，平移到同一个O点，设它们终点为A和B，则=，=，以，为邻边构造一个平行四边形OBCA。
以O为起点C为终点的向量=称为向量与的和，记为+=，即+=。
三角形法则：给定两个向量与，将平移，使其起点平移到的终点，此时的终点与用平行四边形法则确定的点C重合，从而=，于是与的和为+=。
零向量起点与终点重合，对于任何向量，三角形法则可得+0=。
向量加法的逆运算称为向量减法。
给定向量与，如存在使得=，则称是向量与的差，记为-=。
设=，=，有三角形法则可知=+，于是-=。
自考本科00023高等数学(工本)01月考试真题及答案
1月高等教育自学考试全国统一命题考试高等数学（工本）试题课程代码：0023一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.函数f(x)=cos2x +sin 4x 的周期为（ ） A.2π B.πC.2πD.4π 2.极限=+∞→arctgx lim x （ ） A.-2π B.0 C.2π D.+∞ 3. 极限=---+++∞→)1x 2x 1x 3x (lim 22x （ ）A.0B.21C. 25D.∞4.函数f(x)= x x 1x 1lim n2n2n +-+∞→的间断点个数是（ ） A.1B.2C.3D.4 5.设函数f(x)=x 1x 1+-，则=')0(f （ ） A.-2B.0C.1D.26.曲线y=ctgx 在点（1,4π）处的法线方程为（ ） A.y-1=-2(x-4π) B.y-1=21(x-4π) C. y-1=-21(x-4π) D. y-1=2 (x-4π) 7.下列结论正确的是（ ）A.点（0，0）不是曲线y=3x 3的拐点B.点（0，0）是曲线y=3x 3的拐点C.x=0是函数y=3x 3的极大值点D. x=0是函数y=3x 3的极小值点8.函数f(x)=cos πx2的一个原函数是（ ） A.ππ-x2sin 2B.ππ-x2sin 2 C.ππx2sin 2 D.ππx2sin 29.已知f(x)=dt t 13x 32⎰+,则)2(f '=（ ） A.-62 B.-3C.3D.6210.下列广义积分发散的是（ ） A.⎰+∞∞-+dx x 112 B.⎰+∞∞-dx x 1C. ⎰-a 022dx x a 1D. ⎰+∞12dx x 111.过点(3,-2,-1)并且平行于xoz 坐标面的平面方程为（ ）A.x-3=0B.z-1=0C.y+2=0D.y-2=012.设有平面p:x-2y+z-1=0和直线L:26z 11y 11x --=+=-,则p 与L 的夹角为（） A.6πB.4πC.3πD.2π13.设函数f(x-y,x+y)=x 2-y 2，则=∂∂)y ,x (f y （ ）A.-2yB.x-yC.x+yD.x14.设函数u=(z y)x ，则du|(1,1,1)=（ ）A.dx+dy+dzB.dx+dyC.dx-dy+dzD.dy-dz15.设积分区域B ：x 2+y 2≤4，则二重积分⎰⎰σ+B 22d )y x (f 在极坐标下的累积分为（）A.⎰⎰πρρρθ20202d )(f dB.⎰⎰πρρθ20202d )(f dC.⎰⎰πρρρθ20402d )(f d D.⎰⎰πρρθ20402d )(f d 16.设积分区域G 是由坐标面和平面x+2y+3z=6所围成的，则三重积分⎰⎰⎰=Gdv （ ） A.6B.12C.18D.36 17.微分方程0x 3y )y (y y 2=-+''+'''的阶数是（ ）A.1B.2C.3D.418.微分方程x sin y =''的通解为y=（ ）A.sinx+C 1x+C 2B.sinx+C 1+C 2C.-sinx+C 1x+C 2D.-sinx+C 1+C 2 19.下列绝对收敛的级数是（ ） A.∑∞=--1n nn 1n 23)1( B.∑∞=--1n 1n n )1( C.∑∞=--1n 51n n )1( D.∑∞=--1n n 21)1( 20.幂级数1+x++++n 2x !n 1x !21的收敛半径R=（ ） A.0B.1C.2D.+∞二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
2023年全国10月高等教育自学考试高等数学(工本)试题课程代码00023
全国2023年10月高等教育自学考试高等数学（工本）试题课程代码：00023请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色笔迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题纸上相应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试题卷上。
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目规定的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1．在空间直角坐标系中，点（-1, 2, 4）到x 轴的距离为A ．1B ．2C D 2．设函数(,)z f x y =在00(,)x y 某领域内有定义，则(0,0)|x y z x∂=∂ A ．0(,)(,)lim h f x h y f x y h→+- B ．0(,)(,)limh f x h y h f x y h →++- C ．00000(,)(,)lim h f x h y h f x y h →++- D ．00000(,)(,)lim h f x h y f x y h →+- 3．设积分曲线22:1L x y +=，则对弧长的曲线积分()L x y ds +=⎰A ．0B ．1C ．πD ．2π4．微分方程xy y '+A ．可分离变量的微分方程B ．齐次微分方程C ．一阶线性齐次微分方程D ．一阶线性非齐次微分方程5．已知函数()f x 是周期为2π的周期函数，它在[)-π,π上的表达式为0,π0()1,0πx f x x -<⎧=⎨<⎩≤≤，()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则(2π)S = A ．0B ．12C ．1D ．2非选择题部分注意事项：用黑色笔迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
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全国2012年4月高等教育自学考试
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）
A ．z = x 2
B ．z = y 2
C ．z = x 2 + y 2
D ．x + y + z =1
2．已知函数h ( x, y ) = x – y + f ( x + y ),且h (0,y ) = y 2,则f ( x + y )为（ ）
A ．y (y + 1)
B ．y (y - 1)
C ．( x + y )( x + y -1)
D ．( x + y )( x + y +1)
3．下列表达式是某函数u (x,y )的全微分的为（ ）
A ．x 2y d x + xy 2d y
B ．x d x + xy d y
C ．y d x - x d y
D ．y d x + x d y 4．微分方程y x
y d d =x 的阶数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 5．无穷级数∑∞=2!
1n n 的和为（ ）
A ．e + 1
B ．e - 1
C ．e - 2
D ．e + 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）
6．已知向量a ={ -2, c, 6}与向量b ={ 1, 4, -3}垂直，则常数c=______.
7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______.
8．二次积分I =⎰⎰--2101
1d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.
9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______.
10.幂级数∑∞=+013n n
n x 的收敛半径R =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
11．将直线⎩
⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程.
12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z ( x, y ),其中f 为可微函数，求x z ∂∂和y z ∂∂.
13.求曲面z = 2y + ln y
x 在点（1，1，2）处的切平面方程.
14.求函数z = x 2 - y 2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B （3，3+3）的方向l 的 导数.
15.计算二重积分
()⎰⎰+D y x x y d d sin 32，其中积分区域D 是由y = | x |和y = 1所围成.
16.计算三重积分I =⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2
=4及平面z = 0，z = 2所围的在第一卦限内的区域.
17.计算对弧长的曲线积分I =
⎰L ds y 2，其中L 为圆周x 2+y 2=9的左半圆.
18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++L y y x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域
D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.
19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。
20．求微分方程x
y e x
y =+1d d 的通解.
21.设α为任意实数，判断无穷级数∑∞=1n 2)sin(n
n α的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
22．设函数f ( x )=x 2cos x 的马克劳林级数为∑∞=0n n n
x a ，求系数a 6.
四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
23．设函数z=ln(x +y )，证明2x x
z ∂∂+2y y z ∂∂=1.
24.求函数f ( x, y )=3+14y +32x -8xy -2y 2-10x 2的极值.
25.将函数f ( x )=3
22--x x x 展开为x 的幂级数.。