四川省蓉城名校联盟2020-2021学年度高二下学期期中联考理数试题
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期中联考数学(理)试题(解析版)
2019-2020学年四川省蓉城名校联盟高二上学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点()2,1,3A ，()4,3,0B -，则A ，B 两点间的距离是（ ） A ．5 B ．6- C ．7 D ．8【答案】C【解析】根据空间中两点间的距离公式，准确运算，即可求解. 【详解】由题意，根据空间中两点间的距离公式，可得7AB ==.故选：C. 【点睛】本题主要考查了空间中两点间的距离公式的应用，其中解答中熟记空间中两点间的距离公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 2．命题“1x ∀≥，2210x x -+≥”的否定是（ ）A ．01x ∃≥，200210x x -+<B ．01x ∃<，200210x x -+<C ．01x ∃≥，200210x x -+≤ D ．01x ∃<，200210x x -+≤【答案】A【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解. 【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“21,210x x x ∀≥-+≥”的否定是“01x ∃≥，200210x x -+<”.故选：A. 【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题与存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题. 3．若命题p 是真命题，q ⌝是真命题，则下列命题中，真命题是（ ） A ．p q ∧B ．p q ⌝∨C ．p q ⌝∧⌝D ．p q ∨【答案】D【解析】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，根据真值表，即可判定，得到答案. 【详解】由题意，命题q ⌝是真命题，则q 是假命题，由真值表可得，命题p q ∧和p q ⌝∨和p q ⌝∧⌝都为假命题，只有命题p q ∨为真命题. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复合命题的真假判定，其中解答中熟记复合命题的真假判定的真值表，准确判定是解答的关键，着重考查了推理与辨析能力，属于基础题.4．双曲线22125100x y -=的渐近线方程是（ ）A ．4y x =±B ．2y x =±C ．14y x =±D ．12y x =±【答案】B【解析】由双曲线的方程，求得5,10a b ==，进而得到双曲线的渐近线的方程，得到答案. 【详解】由双曲线22125100x y -=，可得2225,100a b ==，即5,10a b ==，所以双曲线的渐近线的方程为2by x x a=±=±. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.5．若圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=外切，则正数r 的值是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．6【答案】C【解析】由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，圆1C ：()()22111x y -+-=与圆2C ：()()22223x y r +++=， 可得圆心坐标分别为12(1,1),(2,3)C C --，半径分别为121,r r r ==，又由圆1C 和圆2C 相外切，可得1212C C r r =+1r =+，解得4r =. 故选：C. 【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的判定方法，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据直线与圆相切，求得1c =或3c =，结合充分条件和必要条件的判定，即可求解. 【详解】由题意，圆()()22212x y -++=的圆心坐标为(2,1)-， 当直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=相切，可得d r =，即d ==12c +=，解得1c =或3c =，所以“1c =”是“直线0x y c ++=与圆()()22212x y -++=”相切的充分不必要条件. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，以及充分条件、必要条件的判定，其中解答中熟练应用直线与圆的位置关系，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.7．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左右顶点分别为()1,0A a -，()2,0A a ，点()0,B b ，若三角形12BA A 为等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D ．3【答案】A【解析】由双曲线的几何性质，根据12BA A ∆为等腰直角三角形，求得a b =，得到222c a =，即可求解双曲线的离心率，得到答案.【详解】由题意，三角形12BA A 为等腰直角三角形，可得a b =，即22a b =，又由222c a b =+，所以222a c a =-，即222c a =，所以222c a=，即22e =，又因为1e >，所以双曲线的离心率e =故选：A. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质，其中解答中熟记双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()221225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）A ．[]4,10B ．[]3,5C ．[]8,10D ．[]6,10【答案】D【解析】由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=，又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ，当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.9．经过点()1,1P 作直线l 交椭圆22132x y +=于M ，N 两点，且P 为MN 的中点，则直线l 的斜率为（ ） A ．23-B ．23C ．32-D ．32【答案】A【解析】设()11,M x y ，()22,N x y ，利用直线与圆锥曲线的“点差法”，即可求得直线的斜率. 【详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则22112222132132x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，可得22222121032x x y y --+=，整理得()()()()21212121032x x x x y y y y +-+-+=，所以()()2121212123x x y y k x x y y +-==-+，又由P 为MN 的中点，可得12122,2x x y y +=+=，则222323k ⨯=-=-⨯， 即直线l 的斜率为23-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用，其中解答中熟练应用“点差法”求解直线的斜率是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10．已知圆M ：()22225x y -+=（M 为圆心），点()2,0N -，点A 是圆M 上的动点，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，则动点P 的轨迹是（ ） A ．两条直线 B ．椭圆C ．圆D ．双曲线【答案】B【解析】由线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =，得到5PM PN +=，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案.【详解】由题意，线段AN 的垂直平分线交线段AM 于P 点，AP PN =， 又由5AM AP PM r =+==，即54PM PN MN +=>=， 根据椭圆的定义，可得点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆. 故选：B.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.11．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左右焦点分别为1F ，2F ，且128F F =，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，连接2PF ，2QF ，若三角形2PQF 的周长为20，290QPF ∠=︒，则三角形12PF F 的面积为（ ） A ．9 B ．18C ．25D ．50【答案】A【解析】由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222121064PF PF PF PF ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，求得1218PF PF =，进而求得直角12PF F ∆的面积，得到答案.【详解】由题意，过左焦点1F 的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，三角形2PQF 的周长为20， 根据椭圆的定义，可得420a =，解得5a =， 又由128F F =，即28c =，解得4c =，又由290QPF ∠=︒和椭圆的定义，可得1222212210(1)(2)64(2)PF PF a PF PF c ⎧+==⎪⎨+==⎪⎩，由2(1)(2)-，可得1218PF PF =， 所以直角12PF F ∆的面积为12192S PF PF ==. 故选:A 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及三角形面积的计算，其中解答中熟练应有椭圆的定理和直角三角形的勾股定理，求得12PF PF 的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.12．已知圆1C ：()()22111x y -+-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动员.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为（ ）A ．3B ．2C 3D 3【答案】D【解析】根据圆的几何性质，结合点关于直线的对称，得到1222PC PC PC PC CC +=+≥，即可求解.【详解】由题意，点动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上， 线段MN 的中点为P ，可得点P 在直线0x y +=上， 又由1122123PA PB PC r PC r PC PC +≥-+-=+-， 点()11,1C 关于直线0x y +=对称的点()1,1C --，则1222PC PC PC PC CC +=+≥=所以PA PB +3.故选：D 【点睛】本题主要考查了圆的几何性质的应用，以及直线的对称最值问题的求解，其中解答中根据圆的几何性质，以及结合点关于直线的对称最值求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题13．双曲线2214x y k -=的其中一个焦点坐标为)，则实数k =________.【答案】2【解析】由双曲线方程，得到22,4a k b ==，根据222c a b =+，即可求解. 【详解】由双曲线2214x y k -=，可得22,4a k b ==，又由222c a b =+，即46k +=，解得2k =. 故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理利用222c a b =+，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.14．两圆2220x y +-=，220x y x y +--=相交于M ，N 两点，则公共弦MN 所在的直线的方程是______.（结果用一般式表示） 【答案】20x y +-=【解析】根据两圆方程相减，即可求解两圆的公共弦所在直线的方程，得到答案. 【详解】由题意，圆2220x y +-=，220x y x y +--=， 两圆方程相减，可得直线方程为20x y +-=， 即两圆的公共弦所在直线的方程为20x y +-=. 故答案为：20x y +-=. 【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的公共弦所在直线方程的求法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.15．已知定点()2,0A -，()2,0B ，若动点M 满足8MA MB +=，则MA 的取值范围是__________. 【答案】[]2,6【解析】由根据椭圆的定义，得到点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆，再由根据椭圆的性质，得到[],MA a c a c ∈-+，即可求解. 【详解】由题意，动点M 满足84MA MB AB +=≥=，根据椭圆的定义，可得点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且28,24a c ==，解得4a =，2c =，根据椭圆的性质，可得[],MA a c a c ∈-+，即[]2,6MA ∈. 故答案为：[]2,6. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义的应用，以及椭圆的几何性质的应用，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.16．给出下列说法：①()210y -=表示的图形是一个点；②命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”为真命题；③已知双曲线224x y -=的左右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 被双曲线截得的弦长为4的直线有3条；④已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>上有两点()00,A x y ，()00,B x y --，若点(),P x y 是椭圆C 上任意一点，且0x x ≠±，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值22b a-；⑤已知命题“x ∃，y R ∈满足224x y +=，23y m x -≤-”是真命题，则实数2m ≤.其中说法正确的序号是__________. 【答案】①②④【解析】利用曲线与方程可判定①是正确；根据四种命题的关系，可得②是正确的；根据双曲线的几何性质，可得③是不正确的；根据直线与椭圆的位置关系，可判定④是正确的；直线与圆的位置关系，可判定⑤是不正确的，得到答案. 【详解】对于①()210y -=，可得1010x y +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =-⎧⎨=⎩，即方程表示的图形是一个点()1,1-，所以是正确的；对于②中，根据四种命题的定义，可得命题“若0x y +≠，则1x ≠-或1y ≠”的逆否命题为“若1x =且1y =-，则0x y +=”为真，所以原命题为真，所以是正确的； 对于③中，根据双曲线的性质，可得两支总实轴最短，最短为24a =，同支焦点弦通径最短，最短为224b a=，所以满足条件的直线只有2条，所以不正确；对于④中，由已知可得220001222000y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⨯=-+-， 又由220022222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减可得22222220002222200x x y y y y b a b x x a ---+=⇒=--， 则2122b k k a⋅=-，所以是正确的；对于⑤中，令23y k x -=-，即23y kx k -=-，数形结合，如图所示，2≤，解得120,5k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又由由已知可得23y m x -≤-存在成立，则125m ≤，所以不正确. 综上可得：正确命题的序号为：①②④.【点睛】本题主要考查了命题的真假判断与应用，其中解答中涉及双曲线的几何性质，四种命题的关系，直线与圆的位置关系的应用等知识点的综合应用，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题.三、解答题17．命题p ：方程221313x ym m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线：命题q ：若存在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，使得02tan 0m x -=成立.（1）如果命题p 是真命题，求实数m 的取值范围；（2）如果“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）133m <<；（2）()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】（1）由方程表示焦点在x 轴上的双曲线，得到31030m m ->⎧⎨-<⎩，即可求解；（2）由（1）中命题p 为真命题时，得到133m <<，再求得命题q 为真命题，得到22m -≤≤，结合“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，得p 、q 两个命题一真一假，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）由题意，方程221313x y m m +=--表示焦点在x 轴上的双曲线，则满足31030m m ->⎧⎨-<⎩，解得133m <<，即命题p 为真命题时，实数m 的取值范围是133m <<. （2）若命题q 为真命题，则02tan m x =在0,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦有解，解得22m -≤≤， 又由“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，则p 、q 两个命题一真一假，若p 真q 假，则13322m m m ⎧<<⎪⎨⎪-⎩或，解得23m <<；若p 假q 真，则13322m m m ⎧≤≥⎪⎨⎪-≤≤⎩或，解得123m -≤≤，综上，实数m 的取值范围为()12,2,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定及应用，以及利用复合命题的真假求解参数的范围，其中解答中正确求解命题,p q ，合理利用复合命题的真假，分类讨论是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.18．已知直线1l ：24y x =+，直线2l 经过点()2,1. （1）若12l l ⊥，求直线2l 的方程；（2）若2l 与两坐标轴的正半轴分别交于P 、Q 两点，求OPQ ∆面积的最小值（其中O 为坐标原点）. 【答案】（1）122y x =-+；（2）4. 【解析】（1）设直线2l 的方程为12y x b =-+，代入点()2,1，求得2b =，即可求解直线的方程；（2）设为斜率为()0k k <，得到2l 的方程为()12y k x -=-，求得其在坐标轴上的截距，得出面积的表示，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）由题意，可设直线2l 的方程为12y x b =-+ 又由直线经过()2,1点，代入可得1122b =-⨯+，解得2b = 即直线2l 的方程为122y x =-+. （2）由题意可知，直线2l 的斜率存在且小于0，设为斜率为()0k k <， 可得2l 的方程为()12y k x -=-，令0x =，可得2l 与y 轴的交点为()0,21Q k -+ 令0y =，可得2l 与x 轴的交点为12,0P k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，其中k 0< 故三角形OPQ 的面积()112122S k k ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭()1222k k ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2≥+=4（当且仅当12k =-时等号成立） 即三角形OPQ 的面积最小值为4 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解及应用，以及基本不等式求最值的应用，其中解答中熟练应用两条直线的位置关系，合理应用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.19．已知圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，且圆心在直线l ：240x y +-=上. （1）求圆C 的方程；（2）从y 轴上一个动点P 向圆C 作切线，求切线长的最小值及对应切线方程.【答案】（1）()2221x y -+=；（2）min d =，y =±. 【解析】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题设条件，列出方程组，求得,,D E F 的值，即可求得圆的方程；（2）利用圆的切线长公式22221PC d r d =+=+，结合直线与圆的位置关系，分类讨论，即可求解. 【详解】（1）设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=， 由圆C 经过()3,0M ，()2,1N 两点，可得930D F ++=， ……① 520D E F +++=，……② 又由圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭在直线240x y +-=上，即402E D ---=，……③ 由①②③，可解得4D =-，0E =，3F =， 所以圆C 的方程为：22430x y x +-+=， 即圆C 的方程()2221x y -+=.（2）对于动点P ，设切线长为d ，则22221PC d r d =+=+， 所以要使得切线长最短，必须且只需PC 最小即可，最小值为圆心()2,0到y 轴的距离，此时距离为2，故切线长的最小值为min d ==P 点为原点，过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆C 相切； 当斜率存在时，设直线方程为y kx =,代入圆C ：22430x y x +-+=，可得()22430x kx x +-+=，即()221430k xx +-+=,令()()2244310k∆=--⨯+=，解得k =,故切线方程为y x =【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记圆的方程，以及合理应用直线与圆的位置关系，合理判定与计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.20．已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0a b >>的实轴长为2.（1）若C 的一条渐近线方程为2y x =，求b 的值；（2）设1F 、2F 是C 的两个焦点，P 为C 上一点，且12PF PF ⊥，12PF F ∆的面积为9，求C 的标准方程.【答案】（1）2；（2）2219y x -=.【解析】（1）由双曲线C 的实轴长为2，求得1a =，再由渐近线方程为2y x =，得到2ba=，即可求解； （2）由12PF PF ⊥和12PF F △的面积为9，求得1218PF PF =，再结合直角三角形的勾股定理和双曲线的定义，即可求解3b =，得到双曲线的方程. 【详解】（1）由题意，双曲线C ：22221x y a b-=的实轴长为2，即22a =，则1a =，又由双曲线一条渐近线方程为2y x =，所以2ba=，可得22b a ==. （2）由双曲线定义可得1222PF PF a -==，又因为12PF PF ⊥，且12PF F △的面积为9，即121182PF PF ⨯=， 所以1218PF PF =，且222212124PF PF F F c +==又由()2221212124240c PF PF PF PF PF PF =+=-+=，解得210c =，所以2221019c a b =-==-，解得3b =，故双曲线C 的标准方程为：2219y x -=.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，以及双曲线的标准方程及几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的标准方程，以及合理应用双曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21．已知直线1l ：()0x my m R +=∈，2l ：()240mx y m m R --+=∈. （1）求证：无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交； （2）求1l 与2l 的交点P 的轨迹方程C .【答案】（1）证明见解析；（2）()222400x y x y y +--=≠.【解析】（1）当0m =时，求得两直线有交点()0,4，当0m ≠时，分别求得直线12,l l 的斜率，判定得到两直线斜率不可能相等，即可得到结论； （2）由直线1l 的方程，当0y ≠时，求得xm y=-，代入2l ，整理可得轨迹方程，再验证当0y =时，适合题意，即求解. 【详解】（1）由题意，当0m =时，1l :0x =，2l ：4y =，两直线有交点()0,4； 当0m ≠时，直线()1:0l x my m R +=∈斜率为11k m=-， 直线()2:240l mx y m m R --+=∈的斜率2=k m ， 令12k k =，即1m m-=，此时方程无解，即故两直线斜率不可能相等，即两直线必定相交，综上可得，无论m 取何实数，直线1l 与2l 一定相交. （2）由直线()1:0l x my m R +=∈，当0y ≠时，可得x m y=-， 代入直线()2:240l mx y m m R --+=∈，可得2240x x y y y--++= 整理得()222400x y x y y +--=≠当0y =时，由()1:0l x my m R +=∈，得0x =，此时交点坐标为()0,0，满足上式， 综上可得，点P 点轨迹方程为：()222400x y x y y +--=≠.【点睛】本题主要考查了两条直线的位置关系的应用，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟记两条直线的位置关系的判定方法，以及合理分类讨论，利用代入法求解曲线的轨迹方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.22．已知椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ， 离心率2e =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）作一条垂直于x 轴的直线，使之与椭圆C 在第一象限相交于点M ，在第四象限相交于点N ，若直线AM 与直线BN 相交于点P ，且直线OP 的斜率大于25，求直线AM 的斜率k 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=；（2）11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭.【解析】（1）利用已知条件，求得,a c ，再由222b a c =-，求得b 的值，即可求解；（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -，求得直线,AM BN的方程，联立方程组，求得点P 的坐标，得出直线OP 斜率，结合椭圆的范围，即可求解斜率k 的取值范围. 【详解】（1）由题意知，椭圆C 长轴的两个端点分别为()2,0A -，()2,0B ，可得2a =，又由e =c a =c =，又因为2222221b a c --===，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（2）设()00,M x y ，其中002x <<，001y <<，可得()00,N x y -， 由斜率公式，可得002AM y k x =+，02BN y k x =-，所以直线AM 的方程为()0022y y x x =++；直线BN 的方程为()0022yy x x =--，联立方程组()()00002222y y x x y y x x ⎧=+⎪+⎪⎨⎪=-⎪-⎩，解得00024,y x y x x ==，即点00024,y P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以000022425OPy x y k x ==>，即0415y <<，又由)00200224y y k x y ====+-t =，30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则0y =所以111222k ====， 因为30,5t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以25,214t ⎛⎫∈⎪+⎝⎭，则111,242⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,42k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即实数直线AM 的斜率k 的取值范围11,42⎛⎫⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了椭圆方程及其简单的几何性质，以及直线与椭圆的位置关系的综合应用，其中解答中合理利用直线的斜率公式和椭圆的几何性质，求得斜率k 的表达式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，以及转化思想的应用，试题有一定的难度，属于中档试题.。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期期中联考数学(理)Word版含答案
蓉城名校联盟2020～2021学年度下期高中2019级期中联考理科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”。
2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效。
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数f(x)＝x 3＋1，当自变量x 由1变为2时，函数f(x)的平均变化率为 A.3 B.5 C.7 D.92.已知空间两点A(2，1，1)，B(3，2，1)，下列选项中的a 与AB 共线的是 A.a ＝(1，0，1) B.a ＝(2，1，1) C.a ＝(2，－2，0) D.a ＝(2，2，0)3.已知向量a ＝(1，2，0)，b ＝(0，2，1)，a ，b 的夹角为θ，则sinθ＝ A.35 B.45 C.－35 D.－454.已知函数f(x)的导数是f'(x)，且f'(3)＝1，则()()h 0f 3f 3h lim h→-+＝A.1B.－1C.3D.－3 5.下列关于空间向量的四个命题中正确的是 A.若空间向量a ，b 满足|a|＝|b|，则a ＝bB.若{a ，b ，c}为空间中一组基底，则{a ＋b ，a －b ，c}可构成空间另一组基底C.若11OC OA OB 24=+，则A 、B 、C 三点一定共线 D.已知A ，B ，C 三点不共线，若111OD OA OB OC 234=++，则A ，B ，C ，D 四点一定共面6.已知函数f(x)的导数是f'(x)，且满足f(x)＝f'(2π)cosx ＋2x ，则f(0)＝A.0B.1C.2D.4 7.定积分()1x1e1dx -+⎰的值为A.e －1e ＋1 B.e ＋1e ＋1 C.e －1e ＋2 D.e －1e8.已知R 上可导函数f(x)的图象如图所示，则不等式(x －3)f'(x)>0的解集为A.(－2，2)∪(3，＋∞)B.(－∞，－3)∪(3，＋∞)C.(－∞，－2)∪(3，＋∞)D.(－∞，－2)∪(2，＋∞)9.如图，在三棱锥S －ABC 中，点E ，F 分别是SA ，BC 的中点，点G 在棱EF 上，且满足EG 1GF 2=，若SA a SB b SC c ===，，，则SG ＝A.13a －12b ＋16c B.13a ＋16b ＋16c C.16a －13b ＋12c D.13a －16b ＋12c 10.如图，在四棱锥S －ABCD 中，侧面SCD 是等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，∠BCD ＝2π，AD ＝CD ＝4，BC ＝8，侧面SCD ⊥底面ABCD ，点M 是SD 的中点，则直线SC 与AM 所成角的余弦值是A.－5B.5C.－9510D.951011.已知函数f(x)是定义域R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且满足f(x)>f'(x)恒成立，则下列不等式一定正确的是A.5f(ln2)>2f(ln5)B.6f(ln3)<3f(ln6)C.5f(ln5)<2f(ln2)D.3f(ln3)>6f(n6)12.已知函数f(x)＝e x－1＋ax2＋1的图象在x＝1处的切线与直线x＋3y－1＝0垂直，若对任意的x∈R，不等式f(x)－kx≥0恒成立，则实数k的最大值为A.1B.2C.3D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学(理)试卷及答案
2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷★祝考试顺利★ (含答案)时间120分钟,满分150分注意事项：1.答题前,考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚,考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2.选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上,如需改动,用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答,超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“若两条直线平行,则这两条直线在同一个平面内”和它的逆命题、否命题、逆否命题,这四个命题中真命题的个数为（ ） A ．0B ．2C ．3D ．42.袋中装有大小和材质均相同的红球4个,黄球2个,白球1个,从中随机取出一个球,记事件A 为“取出的是红球”,事件为B “取出的是黄球”,则下列关于事件A 和事件B 的关系说法正确的是（ ） A ．不互斥但对立B ．不互斥也不对立C ．互斥且对立D ．互斥但不对立3.命题“2x ∀≥,2+ 6x x ≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≥,26x x +< B ．02x ∃≥,206x x +< C ．2x ∀<,26x x +<D ．02x ∃<,206x x +< 4.平面内有两个定点A 、B 和一个动点M ,5AB =,MA MB a +=（a 为常数）.若p 表示"6a >",q 表示“点M 的轨迹是椭圆”．则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5.若方程222450x y x ay a ++--=表示圆,则下列四个数中a 不能取的是（ ） A ．1-B ．2-C ．1D ．26.某校高二年级有980名同学,编号为1到980,采用系统抽样的方法从中抽出49人,已知被抽出的编号中有一个为22,则下列编号中没有被抽中的是（ ） A ．82B ．202C ．372D ．5627.圆()22:216M x y ++=与圆()22():4836N x y -++=的位置关系为（ ） A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切8.从1,2,3,4,5,6,7这七个数字中随机抽取一个,记事件A 为“抽取的数字为偶数”,事件B 为“抽取的数字为3的倍数”,则事件A B +发生的概率为（ ）A ．57B ．67C ．37D ．479.已知抛物线22y ax =的焦点在直线3260x y +-=上,则a =（ ） A ．4B ．6C ．124D ．11610.圆M 内有一内接正六边形ABCDEF ,把点Q 随机投入圆M 内（含边界）,则点Q 落在正六边形ABCDEF 内（含边界）的概率为（ ）A B C ．D11.已知关于x 的方程 5x +=只有一个实数根,则实数m 的值为（ ）A ．34-B ．43C ．43-D ．3412.已知椭圆()2222:10x y M a b a b +=>>的离心率为12,左、右焦点分别为1F 、2F ,过2F 作y 轴的平行线交椭圆M 于A 、B 两点,O 为坐标原点,双曲线N 的虚轴长为3,且以1F 、2F 为顶点,以直线OA 、OB 为渐近线,则椭圆M 的短轴长为（ ）A ．2BC ．D ．二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.执行如图所示的程序框图,输出的s 的值是________________.14.为了研究商品猪存栏量与猪肉平均市场价格的关系,有关人员调查了某省商品猪存栏量与该省猪肉平均市场价格的情况,得到如下表中的数据：根据这组数据,得到了该省猪肉的平均市场价格y （元/千克）关于商品猪存栏量x （千万头）的线性回归方程为31y x a =-+,则a =___________________.15.已知抛物线25y x =上一点Q 到焦点F 的距离为254,则坐标原点到直线FQ 的距离为____________.16.已知圆()()22:254C x y -+-=,T 为圆C 外的动点,过点T 作圆C 的两条切线,切点分别为M 、N ,使TM TN ⋅取得最小值的点T 称为圆C 的萌点,则圆C 的萌点的轨迹方程为_________________.三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知命题[]:1,2P x ∀∈,20xm -≥,命题q ：方程22142x y m m +=-+表示双曲线． （1）若命题q ⌝为假命题,求实数m 的取值范围；（2）若命题p q ∨为真,且p q ∧为假,求实数m 的取值范围． 18.已知圆C 经过点()2,5,()5,2,()2,1-. （1）求圆C 的方程；（2）设点(), P x y 在圆C 上运动,求()()2221x y +++的最大值与最小值．19.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都市举行,成都市某大学为了解该校大学生每天的体育锻炼情况,在全体大学生中随机抽取了200名学生,对他们每天的体育锻炼时间（单位：分钟）进行统计,由此得到频率分布直方图（如下图）．（1）求t 的值；（2）根据频率分布直方图,估计该校大学生每天体育锻炼时间的平均数；（3）若要从每天体育锻炼时间在[)40,50,[)50,60的两组学生中,采用分层抽样的方法选取5人了解他们的锻炼方式,再从这5人中随机抽取2人做志愿者,求抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组内的概率．20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ,点F 到直线10x y ++=的距离为2,点P 是椭圆上的一动点,PF 的最大值为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,线段AB 的中点为()1,1T -,求直线l 的方程． 21.已知在平面直角坐标系中,动点P 到点()0,2的距离比到直线3y =-的距离短l . （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）经过点()0,3作任一直线l 与轨迹E 相交于A 、B 两点,过A 点作直线3y =-的垂线,垂足为C 点,求证：直线BC 过x 轴上的定点,并求出定点坐标．22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为),点()2,1P 在椭圆C 上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0T 且斜率大于0的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M 和N ,直线PM 、PN 分别交x 轴于A 、B 两点,记PAT 、PBT 的面积分别为1S 、2S ,求12 S S +的取值范围．2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）参考答案一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分. 1～5：BDBAA6～10：CBDCA11～12：BC二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．12214．14815．116．()()2225x y -+-=三、解答题：本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.解：（1）因为q ⌝为假命题,则命题q 为真命题.即()()420m m -+<,4m >或2m <-.故m 的取值范围为{}|42m m m ><-或（2）命题[]:1,2p x ∀∈,20x m -≥,即2x m ≥对于[]1,2x ∀∈恒成立只需()min 2x m ≤,所以2m ≤. 因为命题p q ∨为真,且p q ∧为假,所以p 、q 一真一假.当p 真q 假时：224m m ≤⎧⎨≤≤⎩,即22m -≤≤.当p 假q 真时：242m m m >⎧⎨><-⎩或,即4m >综上：m 的取值范围为{}|422m m m >-≤≤或. 18．解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=.2529522925D E F D E F D E F ++=-⎧⎪++=-⎨⎪-+=-⎩,得441D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=-⎩224410x y x y ∴+---=即22(2)(2)9x y ∴-+-= （2）22(2)(1)x y +++表示点(), P x y 与点()2,1--距离的平方. 圆心()2,2与()2,1--的距离5d ==.故距离最大值为8d R +=,距离最小值为2d R -=.所以22(2)(1)x y +++的最大值为64,最小值为4.19.解：（1）由题意知：20101t ⨯=,得0.005t =. （2）由频率分布直方图得：平均值350.05450.2550.3650.2750.15850.160x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（3）[)40,50,[)50,60的两组学生中,[)40,50组选2人,分别记为A ,B ；[)50,60组选3人,分别记为a ,b ,c ,从这5人中随机抽取2人做志愿者的选法为(),A B ,(),A a ,(),A b ,(),A c ,(),B a ,(),B b ,(),B c ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共10种,其中抽取2人为同一组的包含(),A B ,(),a b ,(),a c ,(),b c 共4种由古典概型知：抽取的2人每天体育锻炼时间在同一组的概率为25P =. 20.解：（1）由题意知：(),0F c-2=,2c =或0c =（舍）PF 的最大值为2,即ac +=所以a =2b =故椭圆c 的方程为22184x y +=. （2）设()11,A x y ,()22,B x y .由点()1,1T -为AB 中点得：122x x +=-,122y y +=且221122222828x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,相减得：22221212220x x y y -+-=.整理得：()121212122y y x x x x y y -+=--+,得12k =. 故直线方程为()1112y x -=+,即230x y -+=. （说明：运用直线与椭圆联立求解,结果正确也给分）21.解：（1）由已知可得,动点P 到点()0,2的距离等于到直线2y =-的距离. 由抛物线的定义知,点P 的轨迹为抛物线,点()0,2为焦点,直线2y =-为准线 故4p =,点P 的轨迹方程为28x y =.（2）当0k =时,直线l 为3y =,由对称性,直线BC 与x 轴交于点()0,0O 下面证明一般情况下,直线BC 与x 轴交于定点()0,0O .由题意知：直线l 的斜率存在.设直线方程为3y kx =+,设()11,A x y ,()22,B x y .直线与抛物线联立：238y kx x y=+⎧⎨=⎩,得28240x kx --=.x ∆>恒成立,128x x k ∴+=,1224x x =-. 点()22,B x y ,()1,3C x -,()0,0O 共线2123OC OB y k k x x -⇔=⇔=12230x y x ⇔+= 122(3)30x ky x ⇔++=12123()0kx x x x ⇔++=而12123()24240kx x x x k k ++=-+= 即直线BC 过定点(0)0，.22.解：（1）由题意知：223b a +=.将点P 代入得：22411a b +=. 22223411b a ab ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩,得2263a b ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩故椭圆的方程为：22163x y += （2）如图所示：由题意知直线TM 的斜率大于0,所以可设直线方程为3x ty =+,设()11,M x y ,()22,N x y .直线与椭圆联立：22326x ty x y =+⎧⎨+=⎩,得()222630t y ty +++= 0∆>,即()22361220t t -+>,21t >,,由于斜率大于0,1t ∴>12262t y y t -+=+,12232y y t =+ 直线PM 的斜率：1112y x --,PM 的方程：()111122y y x x --=--,令0y =,则11221A x x y -=+- 直线PN 的斜率：2212y x --,PN 的方程：()221122y y x x --=--,令0y =,则22221B x x y -=+- 112311A x TA x y -=-=+-,222311B x TB x y -=-=+-,()12112S S TA TB +=⨯⨯+12121222211x x y y ⎫⎛--=++⎪ --⎝⎭现求12122211x x y y --+--的取值范围：12122211x x y y --+--122112(2)(1)(2)(1)(1)(1)x y x y y y --+--=--将x 用y 表示代入：原式()()()121212122121ty y t y y y y y y +-+-=-++由韦达定理得：原式()2244165t t t t -=>++原式()224(1)24441655t t t t t +=-=->+++所以12123(1)5S S t t +=->+,函数为递增,()121,3S S +∈. （说明：直线设成()3y k x =-,0k >,结果正确也给分）. 12.解：设椭圆M 的半焦距为c ,由已知得12c a =,所以2a c =,b =, 椭圆M 的方程可化为2222143x y c c +=,把x c =代入,解得32y c =±所以3,2A c c ⎫⎛ ⎪⎝⎭,直线3:2OA y x =设双曲线N 的实半轴长为'a ,虚半轴长为'b ,半焦距为'c则'a c =,由'3'2b a =,得33''22b ac == 由已知可得3'2b =,所以3322c =,1c =所以b ==所以椭圆M的短轴长为16.解：()()2222cos 12sin TM TN TM MTN TC MCMTC ⋅=∠=--∠()222241CM TC TC ⎫⎛=--⎪ ⎪⎝⎭()22228324112TC TC TC TC ⎫⎛=--=+-⎪⎪⎝⎭12≥=当且仅当2TC =.由T 在圆C 外知TC的取值范围是()2,+∞,所以2TC=故TM TN ⋅的最小值为12-.由2TC =,萌点T 的轨迹为圆,方程为()()2225x y -+-=2020-2021学年四川省蓉城名校联盟高二上学期1月期末联考数学（理）试卷。
四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高二下学期期末联考试题+数学(理)含答案
蓉城名校联盟2021～2022学年度下期高中2020级期末联考理科数学考试时间120分钟，满分150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1A x x =≤，{}220B x x x =-<，则A B ⋃=（）A.[)0,1 B.[)1,2- C.[)0,2 D.[)1,2【答案】B2.已知i 为虚数单位，复数z 满足()1i 43i z -=+，则z =（）A.2B.52C.522D.72【答案】C3.命题“x ∀∈R ，e ln 2x x ≥+”的否定是（）A.0x ∃∈R ，00e ln 2xx <+ B.x ∀∈R ，e ln 2x x <+C.0x ∃∈R ，00e ln 2xx ≥+ D.0x ∃∉R ，00e ln 2xx <+【答案】A4.在等差数列{}n a 中，已知43a =，2810a a +=，则数列{}n a 的公差为（）A.－1 B.0C.1D.2【答案】D5.设x ，y 满足约束条件2313x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =+的最大值为（）A.3B.5C.7D.9【答案】D6.若函数()22ln ,0,1,0,x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩则1e f f ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（）A.3B.211e- C.2e 1- D.8【答案】A7.执行如图所示的程序框图，如果输入n ＝5，则输出的S ＝（）A.37B.49C.511D.613【答案】C8.在()0,1内随机取两个数，则这两个数的和小于54的概率为（）A.932B.925C.2332D.1625【答案】C9.如图，已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，PC 是球O 的直径，若平面PCA ⊥平面PCB ，PA ＝AC ，PB ＝BC ，三棱锥P －ABC 的体积为643，则球O 的表面积为（）A.16πB.32πC.48πD.64π【答案】D10.已知函数()313f x x x =-+在区间()26,a a -上有最小值，则a 的取值范围为（）A.(]1,2- B.(- C.(]2,2- D.(]1,1-【答案】A11.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线的左支上存在一点P ，使得2PF 与双曲线的一条渐近线垂直于点Q ，且223PF F Q =，则双曲线的渐近线方程为（）A.34y x =± B.43y x =±C.23y x =±D.32y x=±【答案】D12.若关于x 的不等式()2e 2ln 1xx a x x ≥++对()0,x ∀∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围为（）A.{}1 B.[)1,e C.[)1,+∞ D.[)e,+∞【答案】A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3cos 5C =-，a ＝1，b ＝5，则c ＝______．【答案】14.已知a ，b 是单位向量，若()2a b b -⊥ ，则a ，b 的夹角为______．【答案】π3##60︒15.记定义在R 上的可导函数()f x 的导函数为()f x '，且()()0f x f x '-<，()21f =，则不等式()2e x f x ->的解集为______．【答案】(,2)-∞16.已知F 为抛物线C ：24y x =的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点A ，B ，抛物线在点A ，B 处的切线分别为1l 和2l ，若1l 和2l 交于点P ，则2164PF AB+的最小值为______．【答案】4三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x （亿元）与产品的收益y （亿元）的数据统计如下：投入x （亿元）23456产品收益y （亿元）3791011（1）是否可用线性回归模型拟合y 与x 的关系？请用相关系数r 加以说明（当0.751r ≤≤时，变量x ，y 有较强的线性相关关系）；（2）利用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑y bx a =+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211nniii ii i nnii i i x x y y x y nx ybx x x nx ====---==--∑∑∑∑ ，a y bx =-$$．本题相关数据：()()5119iii x x y y =--=∑，()52140ii y y =-=∑．【答案】（1）可以（2） 1.90.4y x =+，预计收入为19.4亿元；18.已知函数()321f x x ax bx b =+++-在x =1处取得极值0，其中a ，b ∈R ．（1）求函数()f x 在点()()22f ,处的切线方程；（2）求函数()f x 在[]1,2-上的最大值和最小值．【答案】（1）58y x =-（2）24-，19.如图，点O 是正方形ABCD 的中心，CD DE ⊥，//CD EF ，22CD EF ==，AC OE ⊥．（1）证明：DE ⊥平面ABCD ；（2）若直线OE 与平面ABCD 所成角的正弦值为33，求二面角E AC F --的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）3.【小问1详解】四边形ABCD 为正方形，AC BD ∴⊥，又AC OE ⊥，BD OE O ⋂=，,BD OE ⊂平面ODE ，AC ∴⊥平面ODE ，DE ⊂ 平面ODE ，AC DE ∴⊥；又CD DE ⊥，AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ABCD ，ED ∴⊥平面ABCD .【小问2详解】以D 为坐标原点，,,DA DC DE uu u r uuu r uuu r的正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，ED⊥平面ABCD，∴直线OE与平面ABCD所成角为EOD∠，3sin3EDEODOE∴∠==，解得：1ED=；()0,0,1E∴，()2,0,0A，()0,2,0C，()0,1,1F，()2,2,0AC∴=-，()2,0,1AE=-，()0,1,1CF=-，设平面EAC的法向量(),,n x y z=，则22020AC n x yAE n x z⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令x=，解得：1y=，2z=，()1,1,2n∴=；设平面FAC的法向量(),,m a b c=，则220AC m a bCF m b c⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1a=，解得：1b=，1c=，()1,1,1m∴=；cos,3m nm nm n⋅∴<>==⋅，二面角E AC F--为锐二面角，∴二面角E ACF--的余弦值为3.20.已知函数()ln f x x x kx =-．（1）求()f x 的单调区间；（2）若对任意的()2,x ∈+∞，Z k ∈，不等式()210f x k ++>恒成立，求整数k 的最大值．【答案】（1）()f x 的单调递减区间是()10,e k -，单调递增区间是()1e,k -+∞；（2）2.21.已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：4x =与x 轴相交于点H ，过点A 作AD l ⊥，垂足为点D ．（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围；（2）证明：直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标．【答案】（1）(]0,6；（2）详见解析.【小问1详解】由题设知(10)F ，，设直线AB 的方程为+1()R x my m =∈，()()1122,,,A x y B x y ，由221,1,43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得22(34)690m y my ++-=，∵()223636340m m ∆=++>，则12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，所以12||y y -==234m +，所以四边形OAHB 的面积12|2|1S OH y y ⨯-=⨯=122434m ⨯⨯+234m =+，t =，则1t ≥，所以22431t S t =+2413t t=+，因为13y t t =+在[1,)+∞上单调递增，134y t t=+≥，所以06S <≤，故四边形OAHB 的面积的取值范围为(]0,6；【小问2详解】由221(,),4),(B x y D y 可知直线BD 的斜率1224y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1y y -=1224y y x -- (4)x -，令0y =，得212124x y y x y y -=-1212124my y y y y y +-=-，∵12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，所以()121232y y my y +=，∴1212123()4522y y y y x y y ++-==-，所以直线BD 过定点E 5(,0)2．22.在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12,x t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2222cos ρθ=-．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若曲线1C 与2C 交于A ，B 两点，且点()1,0P ，求11PA PB+的值．【答案】（1）曲线1C的极坐标方程为2cos 06πρθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，曲线2C 的直角坐标方程为2212xy +=；（2）。
四川蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期入学考试物理试题含答案解析
3．如图所示电路中，A、B为完全相同的两个灯泡，L是一直流电阻可忽略的电感线圈，a、b为线圈的左右两端点，下列说法正确的是
A．合上开关S，A先亮，B后亮，最后一样亮
B．断开开关S，a点电势高于b点，B灯缓慢熄灭
C．断开开关S，a点电势高于b点，B灯立即熄灭
D．断开开关10A
B．电动机的热功率是2W
C．电动机的输出功率是10W
D．整个电路消耗的电功率是18W
6．一质子（ ）和 粒子（ ）以相同的初动能垂直射入同一匀强磁场（不计粒子重力），则这两个粒子做圆周运动半径之比为：
A．1：1B．1：2C．1：4D．1：8
7．如图所示，三个电阻R1、R2、R3的阻值相同，允许消耗的最大功率分别为8W、6W、4W，此电路中允许消耗的最大功率为
A．18WB．16WC．12WD．10W
8．有一种电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图所示.其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒,此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场,再经偏转电场后打到纸上,显示出字符.已知偏移量越小打在纸上的字迹越小,现要缩小字迹,下列措施可行的是( )
A．增大墨汁微粒的比荷
A．对着圆心入射的粒子，速度越大在磁场中通过的弧长越长，运动时间越长
B．对着圆心入射的粒子，速度越小在磁场中做圆周运动的圆心角越小
C．对着圆心入射的粒子，其出射方向的反向延长线一定过圆心
D．只要速度满足v=RqB/m，沿不同方向射入的粒子射出后均可垂直打在MN上
13．如图所示，边长为L、电阻不计的单匝正方形金属线框位于竖直平面内，连接的小灯泡的额定功率为P、额定电压为U，线框及小灯泡的总质量为m，在线框的下方有一匀强磁场区域，区域宽度为l，磁感应强度方向与线框平面垂直，其上、下边界与线框底边均水平．线框从图示位置开始静止下落，穿越磁场的过程中，小灯泡始终正常发光．则
成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试 理科数学试题(含答案)
成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二上学期期中考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1.若直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，则直线a与直线b的位置关系为A.异面B.相交C.平行D.平行或异面2.已知直线l经过点A(1，－1)，B(2，m)，若直线l的斜率为1，则m的值为A.0B.1C.－1D.23.某校高一、高二、高三共有2800名学生，为了解暑假学生在家的每天学习情况，计划用分层抽样的方法抽取一个容量为56人的样本，已知从高二学生中抽取的人数为19人，则该校高二学生人数为A.900B.950C.1000D.10504.已知点A(1，0)，直线l：x－y＋1＝0，则点A到直线l的距离为A.1B.2C.2D.225.若直线2x－y＋a＝0始终平分圆x2＋y2－4x＋4y＝0的周长，则a的值为A.4B.6C.－6D.－26.设α、β是互不重合的平面，l、m、n是互不重合的直线，下列命题正确的是，A.若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB.若l⊥n，m⊥n，则l//mC.若m//α，n//β，α⊥β，则m⊥nD.若l⊥α，l//β，则α⊥β7.若实数x，y满足约束条件y2x402y x80y20--≤⎧⎪+-≤⎨⎪-≥⎩，则z＝3x－y的最小值为A.－6B.－5C.－4D.－28.如图，在以下四个正方体中，直线MN与平面ABC平行的是9.直线2y－x＋1＝0关于y－x＋3＝0对称的直线方程是A.2x－y－8＝0B.2x－y－10＝0C.2x＋y－12＝0D.2x＋y－10＝010.如图，在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，SA＝2，AC＝2，BC＝1，∠ACB＝90°，则直线SC与平面SAB所成角的正弦值为A.1010B.24C.22D.3101011.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AD⊥PA，BC⊥PB，PB＝BC，PA＝AB，M为PB的中点，若PC上存在一点N使得平面PCD⊥平面AMN，则PN NCA.12B.13C.23D.112.已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝r2(r>0)，若圆C上至少有3个点到直线x＋y＋2＝0的距离为2，则实数r的取值范围为A.(0，22)B.(22，32]C.(32，＋∞)D.[32，＋∞)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二下学期期末联考文科数学试题 (含答案)
蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考文科数学考试时间120分钟，满分150分注意事项：1. 答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.3. 考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合35A x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭，{}21B x Z x =∈≤，则AB =（ ）A. {}1B. {}0,1C. {}1,0,1-D. 3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦2.）A. B.C. D. 3. 命题p ：“直线a ，b 平行”是“直线a ，b 共面”的充分条件；命题q ：由归纳推理得到的结论一定正确，则下列命题为假命题的是（ ） A. p q ∧ B. p q ∨ C. ()p q ∧⌝D. ()()p q ⌝∨⌝4. 已知函数()3lg xf x x =+，则下列选项正确的是（ ）A. ()f x 是奇函数B. ()f x 是偶函数C. ()f x 是周期函数D. ()f x 没有最大值5. 已知向量()3,4a =-，3b =，()31a a b ⋅+=，则()b a b ⋅-=（ ） A. 2B. -3C. -2D. 36. 双曲线C ：22221x y a b-=的两焦点为1F ，2F ，虚轴的一个端点为A ，线段12F F 的一个三等分点为B ，若直线AB 与C 的一条渐近线平行，则双曲线C 的离心率为（ ）A. 6B.C. 3D.7. 要从96个接种了新冠疫苗的人中抽取16人检查体内的抗体情况，将这96人随机编为1到96号，再用系统抽样法抽出16个号.把抽出的号从小到大排列，已知第1，3，13个号成等比数列，则抽出的最大号为（ ） A. 92B. 93C. 95D. 968. 已知圆221x y +=与直线10ax ++=（a ，b 为非零实数）相切，则2213a b+的最小值为（ ） A. 10B. 12C. 13D. 169. 直线l 20y -+=与x 轴交于点A ，把l 绕点A 顺时针旋转45︒得直线m ，m 的倾斜角为α，则cos α=（ ）A. B.C. D.10. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为（ ）A. 17πB. 68πC. 13πD. 23π11. 某老师随机抽样调查了5名学生周末上网的时间，再与这5名学生在全年级的成绩排名对应，得到下表中的数据，并根据这些数据求得学生成绩排名关于周末上网时间的线性回归方程为0.95y x a =+.若运行如图所示的程序框图，输出的值为185，则a 的值为（ ）A. -9B. -10C. -11D. -1212. 已知2log 3a =，4log 7b =，0.2525c =，则下列不等式成立的是（ ）A. a b c <<B. b a c <<C. a c b <<D. c b a <<二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数2()sin f x x x =-，则曲线()y f x =在点()0,0处切线的斜率为___________.14. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，若sin 2A A =，b =3c =，则a =__________.15. 已知实数x ，y 满足32624x y x y x y ≤⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则23z x y =-的最大值为___________.16. 过抛物线C ：24y x =的焦点F 的动直线交C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为N ，点()12,4P .当NA NP +的值最小时，点N 的横坐标为___________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知函数321()23f x ax x x =+-+，其中a R ∈. （1）若函数()f x 恰好有三个单调区间，求实数a 的取值范围；（2）已知函数()f x 的图象经过点()1,3，且[]2,2x ∈-，求()f x 的最大值和最小值.18. 为了纪念建党100周年，某班举行党史知识答题竞赛，其中A ，B 两组各6名同学的答题成绩的统计数据茎叶图如下，茎叶图中有一个数字记录模糊，无法辨认，用“”表示.（1）若A 组同学的平均成绩大于B 组同学的平均成绩，分别求A ，B 两组同学成绩的中位数；（2）若A ，B 两组同学的平均成绩相同，分别求出A ，B 两组同学成绩的方差2A s 和2B s ，并由此分析两组同学的成绩；（3）若从A 组6名同学中，随机选取3名同学参加学校红歌合唱，求选取的3名同学中既有成绩在[)80,90分，又有成绩在[)90,100分的概率.19. 如图1所示，在菱形ABCD 中，AB AC ==，对角线AC 与BD 相交于点O ，现沿着对角线AC 折成一个四面体ABCD ，如图2所示，使得BD =P 是线段BD 的三等分点（靠近点D ）.（1）在图2中，证明：AC BD ⊥； （2）求三棱锥C APD -的体积.20. 已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的一个顶点为1B ，且11126F B F F ⋅=，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）若过点()1,0任作一条斜率不为0的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，与直线4x =交于点C ，过点()1,0且垂直于x 轴的直线与椭圆交于点P ，记直线AP ，CP ，BP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，试探究132k k +与2k 的大小关系，并证明你的结论.21. 已知函数2()22ln 1()f x ax x a R =++∈，e 为自然对数的底数， 2.718e =⋅⋅⋅. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若1a ≤，2()2()x g x x e f x =-，证明：()0g x >. 22. （选修4—4：坐标系与参数方程）在直角坐标系xOy 中，曲线1C：22x y ϕϕ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin 8ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）设射线l 的极坐标方程为0,02πθααρ⎛⎫=<<> ⎪⎝⎭，射线l 与曲线1C 交于点A ，与曲线2C 交于点B （原点除外），64OA OB ⋅=，求α.蓉城名校联盟2020~2021学年度下期高中2019级期末联考文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1-5：BAADB6-10：CBDCA11-12：CB9. 解：设l 的倾斜角为θ，则tan θ=60θ=︒， 由题意知456045αθ=-︒=︒-︒，∴()cos cos 6045cos60cos45sin60sin 45α=︒-︒=︒︒+︒︒122224=⨯+=. 11. 解：运行过程为：1n =，125x x =+，155x S +=； 2n =，25x x =+，125555x x S ++=+； 3n =，35x x =+，312555555x x x S +++=++； 4n =，45x x =+，312455555555x x x x S ++++=+++；5n =，55x x =+，3512455555555555x x x x x S x +++++=++++=+； 所以，最后输出的结果为5x +，则5185x +=，180x =，160y =，1600.9518016010.957111a y x -⨯=-==-=-.12. 解：∵2log 3a =，∴2a <，∵4221log 7log 7log 2b ===b a <，∵0.250.52552c ===>，∴b a c <<.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. -1 14. 15. 4 16. 916. 解：设抛物线C 的准线为l ，作BD l ⊥，NG l ⊥，AE l ⊥，垂足分别为D ，G ，E . 则2AB BF AF BD AE NG =+=+=，∴AN NG =，∴NA NP NG NP +=+，点P 到直线l 的距离为13，∴13NG NP +≥，当G ，N ，P 三点共线且N 在G ，P 之间时，13NG NP PG +==， 此时，点N 的纵坐标为4N y =. ∵AB 过点()1,0F ， 故设AB 方程为1x my =+， 代入24y x =，得2440y my --=，()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=.当G ，N ，P 三点共线时，1228N y y y +==， ∴48m =，2m =，直线AB 的方程为21x y =+，()9,4N .点N 在G ，P 之间，13NG NP PG +==成立，所以，当NA NP +的值最小时，点N 的横坐标为9.三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 解：（1）由321()23f x ax x x =+-+， 得2'()21f x ax x =+-. ∵()f x 存在三个单调区间，∴'()0f x =有两个不相等的实数根，即2210ax x +-=.∴00a ≠⎧⎨∆>⎩，即0440a a ≠⎧⎨+>⎩， 故()()1,00,a ∈-+∞.（2）∵()f x 图象经过点()1,3，∴1(1)233f a =+=，得3a =， ∴32()2f x x x x =+-+，2321('()31)(1)x x x x f x =+-=-+，[]2,2x ∈-. ()f x 的单调性和极值情况列表如下：故的最大值为12，最小值为0. 18. 解：（1）B 组的平均分838885929498906B x +++++==，设模糊数字对应的分数为x ，因为A 组的平均成绩大于B 组的平均成绩， 即8583919293906A x x+++++=>，96x >，所以A 组的中位数为919291.52+=，B 组的中位数为8892902+=. （2）由A 组的平均分与B 组的平均分相等，则模糊数字为6，对应分数为96，∴90A B x x ==.2222222162(5)(7)162363A s ⎡⎤=-+-++++=⎣⎦，22222221(7)(2)(5)248276B s ⎡⎤=-+-+-+++=⎣⎦. 由于A B x x =，22A B s s <，所以A 组和B 组的成绩整体水平相当，但A 组的成绩更稳定一些.（3）A 组成绩在[)80,90分同学分别记为1A ，2A ，成绩在[)90,100分同学分别记为1a ，2a ，3a ，4a . 随机选取3名同学参加学校红歌合唱包含基本事件：()121,,A A a ，()122,,A A a ，()123,,A A a ，()124,,A A a ，()112,,A a a ，()113,,A a a ，()114,,A a a ， ()123,,A a a ，()124,,A a a ，()134,,A a a ，()212,,A a a ，()213,,A a a ，()214,,A a a ，()223,,A a a ，()224,,A a a ，()234,,A a a ，()123,,a a a ，()124,,a a a ，()134,,a a a ，()234,,a a a ，有20种，其中既有成绩在[)80,90分，又有成绩在[)90,100分的共16种. 故概率45P =. 19.（1）证明：∵ABCD 是菱形，点O 是AC 中点， ∴AC OB ⊥，AC OD ⊥， 又OBOD O =，∴AC ⊥平面BOD ， ∴BD ⊂平面BOD ， ∴AC BD ⊥.（2）∵ABC ∆和ACD △是等边三角形，边长为O 是中点，∴6OB OD ==，BD = ∴222OB OD BD +=，则BO OD ⊥. 又BO AC ⊥，DO AC O =，∴BO ⊥平面ACD .因为C APD P ACD V V --=，点P 是线段BD 的三等分点，所以111333C APD P ACD B ACD ACD V V V S OB ---===⋅⋅=△20. 解：（1）设()10,B b ，()1,0F c -，()2,0F c ，()11,FB c b =，()122,0F F c =， ∵11126F B F F ⋅=，即226c =，c =又2e =，∴2a =， 故椭圆E 的方程为2214x y +=. （2）1322k k k +=.证明：不妨取点P ⎛⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线l 的方程为1x ty =+. 直线与椭圆联立：22144x ty x y =+⎧⎨+=⎩，得()224230t y ty ++-=， 0∆>恒成立，12224t y y t -+=+，1223(*)4y y t -=+， 直线l ：1x ty =+，令4x =，则3y t =，即34,C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故23241t k ==-，11121y k x -=-，23221y k x -=-，)121212121312121222222211y y y y y y y y k k x x ty ty ty y -----++=+=+=--， 将()*代入得2221322326264244433344t t t t t k k t t t t t ---⋅-++++++===--⋅++。
四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高二(下)期中联考物理试题
（1）电压表的示数；
（2）此时电流的瞬时值；
（3）若线圈转过 ，这个过程中电阻R所产生的焦耳热。
【答案】（1） （2） （3）
17.如图所示，实线为一列沿x轴传播的简谐横波在 时刻的波形图，经过 波形图变为如图虚线。求：
【答案】(1).11.50(2).C(3).偏小
15.某课外实验兴趣小组用如图甲所示的电路通过控制开关的闭合和断开将电流表改装成电压表，改装后的电压表有两个量程，分别为（0~1V）和（0~6V），其中表头的满偏电流 ，内阻 。请回答下列问题：
（1）甲图电路中，定值电阻 ___________ ，定值电阻 ___________ 。
A.电流的有效值为 B.电动势的有效值为
C.前 时间内流过R的电荷量为 D.时间T内R上产生的热量为
【答案】AD
11.图甲为沿x轴方向传播的简谐横波在 时的波形图，图乙为 处的质点P的振动图像，已知图甲中质点Q的平衡位置为 。下列说法正确的是（ ）
A.这列波的周期为6sB.这列波沿x轴正方向传播
C. 时，Q质点处于平衡位置D. 时刻，O质点向y轴负方向振动
A. B.
C. D.
【答案】C
二、多项选择题：本题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.许多智能手机都有无线充电功能。其基本原理是：充电底座以及手机终端分别内置了线圈，送电线圈通有一定频率的交流电，当两者靠近，通过电磁感应在手机受电线圈中产生一定的感应电流，从而将电能从发射端转移到接收端，便开始从充电座向手机进行供电，忽略送电线圈和受电线圈的电阻。下列关于无线充电的说法正确的是（ ）
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10．已知函数 存在极值点，则实数 的取值范围为（）
A． B．
C． D．
11．设函数 是定义在 上的可导函数，其导函数为 ，且 ， ，则 的解集为（）
A． B． C． D．
12．已知椭圆 ： 的左焦点为 ， 与过原点的直线相交于 、 两点，连接 、 ，若 ， ，则 的离心率 为（）
由图象可知，当 时， ；当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，可知 错误， 正确；
和 不是函数的极值点，可知 错误.
故选： .
【点睛】
本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系，涉及到极值点的定义的应用，属于基础题.
7．D
【分析】
根据线面平行、面面平行的判定定理排除A、B、C即可确定答案.
【详解】
A． B． C． D．
二、填空题
13．函数 的导数 ______.
14．某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人，为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为 的样本进行调查，其中从高二年级抽取了12人，则 为______.
15．在区间 上随机取一个数 ，在区间 上随机取一个数 ，使 成立的概率为______.
利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式， 的值代入周期计算公式即可得解。
【详解】
因为 ，所以 的最小正周期为 .
故选：B
【点睛】
本题考查同角三角函数的平方关系及降幂公式，余弦型函数的周期性，属于基础题.
6．D
【分析】
根据导函数的符号可确定 的单调性，结合极值点的定义可确定正确结果.
【详解】
， ， ，满足 ，循环；
， ， ，满足 ，循环；
， ， ，不满足 ，输出 .
故选： .
【点睛】
本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题.
9．C
【分析】
令 ，利用导数可求得 在 上的最小值，得到 ，从而得到结果.
【详解】
令 ，
，
当 时， ；当 时， ，
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
C．函数 在 上是减函数
D．函数 在 上是增函数
7．已知直线 、 ，平面 、 ，则以下结论正确的是（）
A．若 ， ，则
B．若 ， ， ，则
C．若 ， ， ， ，则
D．若 ， ， ，则
8．执行如图程序框图，则输出的 为（）
A．100B．91C．90D．89
9．若不等式 ，当 时恒成立，则实数 的最大值为（）
20．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，已知 平面 ， 为 的中点， ，过点 作 于 ，连接 ， ， .
（1）求证：平面 平面 ；
（2）若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值.
21．在椭圆 ： 中，点 ， 分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率 ，且 在直线 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 的直线与椭圆 交于 ， 两点，连接 ， 分别交直线 于点 ， ，求证：以 为直径的圆经过定点 .
22．若函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围；
（3）求证：对任意的正整数 都有， .
参考答案
1．D
【分析】
根据复数的乘法运算法则计算可得结果.
A选项，若 ， ，则 或 ；
B选项，若 ， ， ，则 或 相交；
C选项，若 ， ， ， ，加上条件a、b相交可推出 ；
D选项正确.
故选：D
【点睛】
本题考查空间中点线面之间的位置关系，线面平行、面面平行的判定定理，属于基础题.
8．B
【分析】
按照程序框图运行程序，直到不满足 时，输出结果即可.
【详解】
按照程序框图运行程序，输入： ， ， ，满足 ，点睛】
本题考查复数的乘法运算，属于基础题.
2．C
【分析】
根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果.
【详解】
由含全称量词的否定的定义可得命题 的否定为： ， .
故选： .
【点睛】
本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.
3．A
【分析】
根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解.
3．曲线 与 轴及直线 所围成的图形的面积为（）
A． B． C． D．
4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）
A． B． C． D．
5．函数 的最小正周期为（）
A． B． C． D．
6．如图是函数 的导函数 的图象，下列说法正确的是（）
A． 是函数 的极小值点
B． 是函数 的极大值点
16．已知抛物线 ： 和 ： 有且仅有一条公切线（同时与 和 相切的直线称为 和 的公切线），则 ______.
三、解答题
17．已知函数 ，曲线 在 处的切线方程为 .
（Ⅰ）求实数 ， 的值；
（Ⅱ）求 在区间 上的最值.
18．某家庭为了解冬季用电量 （度）与气温 之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：
四川省蓉城名校联盟2018~2019学年度高二下学期期中联考理数试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
2．已知命题 为 ， ，则命题 的否定为（）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【详解】
依题意所围图形面积为
故选：A
【点睛】
本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题.
4．C
【分析】
根据三视图知几何体为三棱锥，勾股定理求出最长棱长.
【详解】
根据三视图知几何体为三棱锥，
其中 ，且 ，
该几何体的最长棱长为 .
故选：C
【点睛】
本题考查根据三视图还原几何体，属于基础题.
5．B
【分析】
0
1
2
3
4
（度）
15
12
11
9
8
（1）求出用电量 关于气温 的线性回归方程；
（2）在这5天中随机抽取两天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率.
（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为 ， ）
19．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 .
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 ，求 的值.
对 恒成立， ，即 的最大值为 .
故选： .
【点睛】
本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将恒成立问题转化为函数最值的求解问题，通过导数求得函数最值，从而得到参数范围.
10．A
【分析】
求出函数的定义域及导数，函数 存在极值点则方程 在 上有解，分类讨论函数单调性从而确定极值点.