最新四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学(理)试题(解析版)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一､单选题（本大题共12小题，共60.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{}{}220,0,1A xx x B =-≤=∣，则A B ⋂=（）A.[]0,1B.{}0,1 C.[]0,2D.{}0,1,22.复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为（）A.()2,1- B.()1,1- C.()1,2 D.()2,23.函数()3,0ln ,0x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()1f f ⎡⎤-=⎣⎦（）A.-1B.0C.ln2D.24.在极坐标系中，圆2cos ρθ=-的圆心的极坐标是（）A.1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C.()1,0 D.()1,π5.下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（）A.()323f x x x=+ B.()5tan f x x=C.()8f x x=-D.()f x x =+6.执行如图所示的程序框图，输出的结果是（）A.13B.14C.15D.177.树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有4名男生，2名女生，现从中选出4人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有（）A.8种B.14种C.12种D.9种8.收集一只棉铃虫的产卵数y 与温度x 的几组数据后发现两个变量有相关关系，按不同的曲线来拟合y 与x 之间的回归方程，并算出了对应的决定系数2如下表：则这组数据模型的回归方程的最好选择应是（）A.ˆ19.8463.7yx =- B.0.273.84ˆx ye -=C.2ˆ0.367202yx =- D.ˆy =9.若443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，则4321a a a a -+-=（）A.-1B.1C.15D.1610.函数2ln x x y x=的图象大致是（）A. B.C.D.11.函数()3224f x x x x =--+，当[]3,3x ∈-时，有()214f x m m -恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.()3,11- B.()3,11 C.[]2,7D.[]3,1112.已知函数()22(1)sin 1x xf x x ++=+，其导函数记为()f x '，则()()()()2022202220222022f f f f ++--'-'=（）A.-3B.3C.2D.-2二､填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数()i 12i z =+的共轭复数为__________.14.10(1)x -的展开式的第6项系数是__________.15.已知甲，乙，丙三个人中，只有一个人会中国象棋.甲说：“我会”；乙说：“我不会”；丙说：“甲不会”.如果这三句话只有一句是真的，那么甲，乙，丙三个人中会中国象棋的是__________.16.已知,a b 为实数，不等式ln ax b x +≥恒成立，则ba的最小值为__________.三､解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题10.0分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线22:1C x y +=所对应的图形经过伸缩变换2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到图形C '.（1）写出曲线C '的平面直角坐标方程；（2）点P 在曲线C '上，求点P到直线60l y +-=的距离的最小值及此时点P 的坐标.18.（本小题12.0分）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1.（1）求,a b 的值；（2）当[]1,1x ∈-时，求()f x 的最大值.19.（本小题12.0分）随着2022年北京冬季奥运会的如火如茶地进行.2022年北京冬季奥运会吉祥物“冰墩墩”受到人们的青睐，现某特许商品专卖店每天均进货一次，卖一个吉祥物“冰墩墩”可获利50元，若供大于求，则每天剩余的吉祥物“冰墩墩”需交保管费10元/个；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每一个吉祥物“冰墩墩”该店仅获利20元.该店调查上届冬季奥运会吉祥物每天（共计20天）的需求量（单位：个），统计数据得到下表：每天需求量162163164165166频数24653以上述20天吉祥物的需求量的频率作为各需求量发生的概率.记X 表示每天吉祥物“冰墩墩”的需求量.（1）求X 的分布列；（2）若该店某一天购进164个吉祥物“冰墩墩”，则当天的平均利润为多少元.20.（本小题12.0分）光伏发电是利用太阳能电池及相关设备将太阳光能直接转化为电能.近几年在国内出台的光伏发电补贴政策的引导下，某地光伏发电装机量急剧上涨，如下表：年份2011年2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年年份代码x12345678新增光伏装机量y 兆瓦0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2某位同学分别用两种模型：①2ˆybx a =+，②ˆy dx c =+进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，残差图如下（注：残差等于ˆi i y y-）经过计算得()()()()()888211172.8,42,686.8iiii i i i i x x y y x x t ty y ===--=-=--=∑∑∑，()8213570ii tt =-=∑，其中8211,8i ii i t x t t ===∑.（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应该选择哪个模型？并简要说明理由.（2）根据（1）的判断结果及表中数据建立y 关于x 的回归方程，并预测该地区2020年新增光伏装机量是多少.（在计算回归系数时精确到0.01）附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.()()()121ˆˆˆ,niii ni i x x y y bay bx x x ==---==--∑∑21.（本小题12.0分）已知函数()11x f x eax a -=-+-.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）①若()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值集合；②证明.()ln 20xe x -+>22.（本小题10.0分）在极坐标系中，点P 的极坐标是()1,π，曲线C 的极坐标方程为22cos 80ρρθ--=，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为-1的直线l 经过点P .（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 和曲线C 相交于两点,A B ，求PA PB PBPA+的值.答案和解析1.【正确答案】B解：集合{}{}{}22002,0,1A xx x x x B =-≤=≤≤=∣∣，则{}0,1A B ⋂=.2.【正确答案】A解.()()()()223i 1i 3i 33i i i 42i 2i 1i 1i 1i 1i 2z +-+-+--=====-++--则复数3i1iz +=+在复平面内表示的点的坐标为()2,1-.3.【正确答案】D解：根据题意，函数()3,0,ln ,0,x e x f x x x +⎧≤=⎨>⎩，则()210f e -=>，则()21ln 2ln 2f f e e ⎡⎤-===⎣⎦，4.【正确答案】D解：圆2cos ρθ=-即22cos ρρθ=-，即2220x y x ++=，即22(1)1x y ++=，表示以()1,0-为圆心，半径等于1的圆.而点()1,0-的极坐标为()1,π，5.【正确答案】A解：函数()323f x x x =+是奇函数，且在定义域内是增函数，A 正确；函数()5tan f x x =在定义域内不具有单调性，B 错误；函数()8f x x=-在定义域内不具有单调性，C 错误；函数()f x x =+[)0,∞+，不具有奇偶性，D 错误；综上，应选A .6.【正确答案】C解：模拟程序的运行，可得1a =执行循环体，3a =不满足条件10a >，执行循环体，7a =不满足条件10a >，执行循环体，15a =满足条件10a >，退出循环，输出a 的值为15.故选.C 7.【正确答案】B【分析】采用采用间接法，任意选有4615C =种，都是男生有1种，进而可得结果.【详解】任意选有4615C =种，都是男生有1种，则至少有一名女生有14种.故本题选B .8.【正确答案】B由决定系数2R 来刻画回归效果，2R 的值越大越接近1，说明模型的拟合效果最好.故选.B 9.【正确答案】C【分析】利用赋值法结合条件即得.【详解】因为443243210(1)x a x a x a x a x a -=++++，令0x =得，01a =，令1x =-得，443210(2)16a a a a a -+-+=-=，所以，432116115a a a a -+-=-=.故选：C.10.【正确答案】D解：当0x >时，ln ,1ln y x x y x ==+'，即10x e <<时，函数y 单调递减，当1x e>，函数y 单调递增，又因为函数y 为偶函数，故排除ABC ，故选.D 11.【正确答案】D解：因为()3224f x x x x =--+，所以()2344f x x x =--+'，令()0f x '=得23x =或2x =-，可知函数()f x 在[)3,2--上单调递减，在22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在2,33⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，而()()()24033,28,,333327f f f f ⎛⎫-=--=-==-⎪⎝⎭，所以函数()f x 在[]3,3-上的最小值为-33，因为当[]3,3x ∈-时，()214f x m m ≥-恒成立，只需2min 14()m m f x -≤，即21433m m -≤-，即214330m m -+≤，解得311m ≤≤.故选D .12.【正确答案】C【分析】利用求导法则求出()f x '，即可知道()()f x f x '='-，再利用()()2f x f x +-=，即可求解.【详解】由已知得()()2222(1)sin (1)sin 11x x x xf x x x -+----==++，则()()2222(1)sin (1)sin 211x x x xf x f x x x ++--+-=+=++，()()()()222221cos 12(1)sin 1x x x x x x f x x'⎡⎤⎡⎤+++-++⎣⎦⎣⎦=+()()()2222cos 12sin 1x x x xx ++-=+则()()()()2222cos 12sin 1x x x xf x x++--=+'，即()()f x f x '='-，则()()()()2022202220222022f f f f ++-''--()()()()20222022202220222f f f f =+-+'-'-=，故选：C.13.【正确答案】2i --解：复数()i 12i 2i z =+=-+，其共轭复数为2i --.14.【正确答案】-252【分析】应用二项式定理写出第6项系数.【详解】由101011010C (1)(1)C rrr r r rr T xx --+=-=-，所以，第6项为5r =，则5555610(1)252T C x x =-=-，故第6项系数是-252.故-25215.【正确答案】乙解：假设甲会，那么甲､乙说的都是真话，与题意不符，所以甲不会；假设乙会，那么甲､乙说的都是假话，丙说的真话，符合题意；假设丙会，那么乙､丙说的都是真话，与题意不符，所以丙不会.综上可得：会中国象棋的是乙，16.【正确答案】-1【分析】先由ln ax b x +≥恒成立得出ln 1b a ≥--，进而ln 1b a a a--≥，构造函数()ln 1(0)a g a a a--=>求解.【详解】设()ln (0)f x x ax b x =-->，则不等式ln ax b x +≥恒成立等价于max ()0f x ≤成立，显然当0a ≤时不符合题意.当0a >时，()11(0)ax f x a x x x-=-=>'，∴当10x a <<时，()0f x >，当1x a >时，()0f x '<，则()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ∞⎛⎫+⎪⎝⎭上单调递减，max 1()ln 1f x f a b a ⎛⎫∴==--- ⎪⎝⎭.由max ()0f x ≤得ln 1ln 1,b a b a a a --≥--∴≥.令()ln 1(0)a g a a a --=>，则()2ln ag a a='，当01a <<时，()()0,g a g a '<在()0,1上单调递减，当1a >时，()()0,g a g a '>在()1,∞+上单调递增，()min ()11g a g ∴==-，1ba ∴≥-，则min1b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，此时1,1a b ==-.故-1.17.【正确答案】解：（1）由2x x y =⎧⎪⎨=⎪'⎩'得到2x x y ⎧=⎪⎪⎨'⎪=⎪⎩，代入到221x y +=中，得22()()143x y +=.即22143x y +=为曲线C '的直角坐标方程；（2）设()2cos P θθ，则点P到直线60l y +-=的距离为d ==其中255tan 2sin 55ϕϕϕ⎛=== ⎝⎭，当()sin 1θϕ+=时，即()22k k Z πθϕπ+=+∈，于是()sin sin 2cos 25k k Z πθπϕϕ⎛⎫=+-==∈ ⎪⎝⎭，同理25cos sin 5θϕ==，此时6152d =，即距离最小值为6152，此时点4515,55P ⎛ ⎝⎭.18.【正确答案】解：（1）已知函数()322f x x ax bx a =+++在1x =-处取得极大值1，()234f x x ax b =+'+ ，且函数()f x 在1x =-处有极值1，()()13401120f a b f a b a ⎧-=-+=⎪∴⎨-=-+-+='⎪⎩，解得1;1a b =⎧⎨=⎩又当1a b ==时，()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，()f x ∴在(),1∞--和1,3∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减，故()f x 在1x =-处取得极大值，满足题意；综上，1a b ==；（2）当1,1a b ==时，()3221f x x x x =+++，则()()21341313f x x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'，当x 变化时，()f x '与()f x 的变化情况如下表：x -111,3⎛⎫-- ⎪⎝⎭13-1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭1()f x '-0+()f x 1单调递减极小值2327单调递增5所以[]1,1x ∈-时，()f x 的最大值为5.19.【正确答案】解：（1）X 可取162,163,164,165,166，()()()214163162,163,16420102052010P X P X P X =========，()()513165,16620420P X P X =====，所以分布列为：X162163164165166P 1101531014320（2）设Y 表示每天的利润，当162X =时，162502108080Y =⨯-⨯=，当163X =时，16350108140Y =⨯-=，当164X =时，164508200Y =⨯=，当165X =时，16450208220Y =⨯+=，当166X =时，164502208240Y =⨯+⨯=，所以平均利润为1131380808140820082208240818710510420⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.20.【正确答案】解：（1）选择模型①，理由如下：根据残差图可以看出，模型①残差对应点分布在以横轴为对称轴，宽度小于1的水平带状区域内，模型①的各项残差的绝对值要远远小于模型②的各项残差的绝对值，所以模型①的拟合效果相对较好.（2）由（1）知，y 关于x 的回归方程为2ˆˆˆy bx a =+，令2t x =，则ˆˆˆy bt a =+.由所给数据可得8111(1491625364964)25.588i i t t ===⨯+++++++=∑，8111(0.40.8 1.6 3.1 5.17.19.712.2)588i i y y ===⨯+++++++=∑，则()()()81821686.8ˆ0.193570i i i i i t t y y b t t ==--==≈-∑∑，ˆˆ50.1925.50.16ay bt =-≈-⨯≈.所以y 关于x 的回归方程为2ˆ0.190.16yx =+.预测该地区2020年新增光伏装机量为2ˆ0.19100.1619.16y=⨯+=（兆瓦）.21.【正确答案】解：（1）因为()11x f x e ax a -=-+-，所以()1x f x e a -=-'，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在区间R 上单调递增；②当0a >时，令()0,ln 1f x x a >>+'，令()0,ln 1f x x a <<+'，所以()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增.（2）①由（1）可得当0a ≤，函数()f x 在区间R 上单调递增，又()0110f e a a =-+-=，所以1x <，则()0f x <，与条件矛盾，当0a >时，()f x 在(),ln 1a ∞-+上单调递减，在()ln 1,a ∞++上单调递增，所以()()ln 1f x f a ≥+，由已知()ln 10f a +≥，所以aln 10a a --≥，设()ln 1g x x x x =--，则()1ln 1ln g x x x =--=-'，所以当()0,1x ∈时，()0g x '>，函数()ln 1g x x x x =--单调递增，()1,x ∞∈+时，()0g x '<，函数()ln 1g x x x x =--单调递减，又()11ln110g =--=，所以不等式ln 10a a a --≥的解集为{}1.②证明：设()()1ln 2h x x x =+-+，则()11122x h x x x +=-=++'，当()2,1x ∈--时，()0h x '<，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递减，()1,x ∞∈-+时，()0g x '>，函数()()1ln 2h x x x =+-+单调递增，又()10ln10h -=-=，所以()1ln 20x x +-+≥，当且仅当1x =-时取等号，由（1）1x e x ≥+，当且仅当0x =时取等号，所以()ln 20xe x -+>.22.【正确答案】解：（1）点P 的直角坐标是()1,0-，直线l 的倾斜角是34π，∴直线l 的参数方程为21222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（t 为参数），由直角坐标与极坐标互化公式得曲线C 的直角坐标方程为22(1)9x y -+=.（2）将1222x t y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入22(1)9x y -+=，得250t +-=，设,A B 对应参数分别为12,t t，则12125t t t t +==-，根据直线参数方程t 的几何意义得：()()2222221212121212||2251855PA PB t t t t PAPBt t PB PA PA PB t t t t ++--⨯-++=====⋅⋅⋅-.。
2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中考试数学（理）试题一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知复数()()11iz m m =-++，()R m ∈为纯虚数，则实数m 的值为（）A.1- B.1C.0D.1或1-【正确答案】B【分析】根据纯虚数的定义求解.【详解】解：因为复数()()11i z m m =-++，()R m ∈为纯虚数，所以1010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得1m =，故选：B2.在极坐标系中，过点()1,0且垂直于极轴的直线的极坐标方程为（）A.1ρ=B.sin 1ρθ=C.cos 1ρθ= D.π2θ=【正确答案】C【分析】设点(,)P x y 是所求直线上的任意一点，AOP θ∠=．利用直角三角形的边角关系可得cos OAOPθ=，即可得出．【详解】如图所示，设(,)P x y 是所求直线上的任意一点，AOP θ∠=，1OA =，则cos OAOPθ=，cos 1ρθ∴=．故选：C ．3.利用分析法证明不等式M N >成立，只需证明P N >成立即可，则“P N >成立”是“M N >成立”的（）A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要【正确答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】利用分析法证明不等式M N >成立，只需证明P N >成立即可，则P M N N >⇒>，则“P N >成立”是“M N >成立”的充分条件.故选：A .4.已知()00,x y 是圆222x y r +=上一点，则直线200x x y y r +=与圆222x y r +=相切，且()00,x y 为切点，类似的，点()00,x y 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上一点，则以()00,x y 为切点，与椭圆相切的切线方程为（）A.001x x y y +=B.2200x x y y a b +=C.00221x x y ya b -= D.00221x x y ya b+=【正确答案】D【分析】利用换元法，设,,xx ay y b⎧=⎪='⎨'⎪⎪⎪⎩将椭圆转化为圆，先求出过圆上一点圆的切线方程，再转化回椭圆的切线方程.【详解】对于椭圆()222210x y a b a b +=>>，设,,xx a y y b⎧=⎪='⎨'⎪⎪⎪⎩，则椭圆方程()222210x y a b a b +=>>变为圆221x y ''+=，椭圆上的点()00,x y 的坐标变为00(,)x y ''，且000,x yx y a b ''==，因为过圆221x y ''+=上点00(,)x y ''的切线方程为001x x y y ''''+=，所以可得001x y x ya ab b⋅+⋅=，即过椭圆()222210x y a b a b+=>>上点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=.故选：D5.已知复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，若4z =，则双曲线C 的焦距为（）A.8B.4C. D.2【正确答案】B【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C 的焦距.【详解】复数i z x y =+（x ，R y ∈）对应的点在第一象限，则0,0x y >>，又z 的实部和虚部分别是双曲线C 的实轴长和虚轴长，4z =，则双曲线C 的焦距为4==故选：B6.函数()2ex x f x =的大致图像为（）A. B.C. D.【正确答案】A【分析】利用排除法，先利用函数值正负的分布判断B 错误，再利用特殊值判断D 错误,根据极值点确定C 错误，即得答案.【详解】函数2()e x x f x =中，e 0x >，当0x ≠时,()0f x >,看图像知B 选项错误；函数2()ex x f x =中，e 0x >，当0x =时,()0f x =,看图像知D 选项错误；()()22222e e 2()0e e e x x x xx x x x x x f x x '==-=-=-解得120,2x x ==，故120,2x x ==为函数的极值点，故C 选项不符合，.D 选项正确.故选：A.7.将圆221x y +=经过坐标变换4:2x xy y ϕ''=⎧⎨=⎩后得到的曲线方程为（）A.221641x y += B.22421x y += C.221164x y += D.22142x y +=【正确答案】C【分析】先将42x x y y ''=⎧⎨=⎩反解为42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，再代入221x y +=，最后得到新曲线的方程即可.【详解】因为42x x y y ''=⎧⎨=⎩，所以42x x y y ⎧=⎪⎪⎨''⎪=⎪⎩，代入221x y +=，所以得到的新曲线的方程为.221164x y +=故选：C8.已知函数()sin cos f x a x x =+区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的范围是（）A.(],1-∞ B.[)0,∞+C.)+∞D.[)1,+∞【正确答案】D【分析】根据在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，有()0f x '≥恒成立，参变分离求tan y x =在区间π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值，进而求出a 的范围.【详解】解：因为函数()f x 的导函数为()cos sin f x a x x '=-，并且()f x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0f x '≥恒成立，即cos sin 0a x x -≥，则cos sin a x x ≥，即tan a x ³恒成立，π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为tan y x =在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值为1，所以1a ≥.故选.D9.已知0.5e a -=，0.5b =，ln1.5c =，则下列不等关系正确的是（）A.a c b >>B.a b c>> C.b a c>> D.c b a>>【正确答案】B【分析】由256289.e .<<，可得051151617.e ,ln .ln ..-><，即可判断大小关系.【详解】由256289.e .<<，可得0517.1.6e .<<.则050511105172..e ..e-=>>=，故a b >；05151605.ln .ln .ln e .<<=，故b c >.综上，a b c >>.故选：B.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:4E y x =与椭圆C有相同的焦点，点P 为抛物线E 与椭圆C 在第一象限内的交点，直线1PF 与抛物线E 相切，则椭圆C 的长轴长为（）A.2+ B.2+ C.4D.【正确答案】B【分析】先利用题给条件列方程组求得P 的坐标，再利用椭圆定义即可求得椭圆C 的长轴长.【详解】椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线2:4E y x =与椭圆C 有相同的焦点，则2(1,0)F ，1(1,0)F -，设直线1PF 的方程为(1)y k x =+，由2(1)4y k x y x=+⎧⎨=⎩，可得22222(2)0k x k x k +-+=①，则2244(2)40k k --=，解之得1k =或1k =-（舍），由①可得2210x x -+=可得1x =，则(1,2)P ，则212,PF PF ==，2122a PF PF ++==，则椭圆C 的长轴长为2+.故选：B.11.关于函数()1ln 14f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的零点，下列说法正确的是（）A.函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且121=x xB.函数()f x 有两个零点1x ，2x ，且121x x ≠C.函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =D.函数()f x 有三个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x ≠【正确答案】C【分析】求出()f x '，利用()f x 的单调性可得()f x 的大致图象，结合图象可得答案.【详解】函数()()222111410144x xf x x x x x +-⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭=，由()0f x ¢>可得2x >+或2x <-，由()0f x '<可得22x <<所以()f x 在()2+∞，(0,2-上单调递增，在(22+单调递减，且(((12222ll 4n n 2f ⎛-=-=++ ⎝e=10ln 22>-+->，(((12222l l 4n n 2f ⎛=-+=- ⎝e=10ln 22<--<，()3333e e 12110e 4e f --+⎛⎫=< ⎪⎝⎭，()()3333e e 121e 04ef --=>，可得()f x 的大致图象如下，()()01111l 4n1f =--=，所以函数()f x 有三个零点121,,x x ，且120,0x x >>，故AB 错误；故只需验证121=x x 即可，可得211x x =，所以()11111111111114ln l 41n f x f x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=----⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎝+⎭⎭11111111104n 1n 4l x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=---⎝++ ⎪ ⎪⎭⎝=⎭，故C 正确，D 错误.故选：C .12.已知实数a ，b 满足22a b a b +=+，则33+a b 的取值范围是（）A.[]0,2 B.[]0,1 C.[]22-,D.[]1,2【正确答案】A【分析】根据均值不等式可得02a b ≤+≤，进而根据立方和公式化简，构造函数()233f t t t =-，利用导数求解单调性，进而可求值域.【详解】由22a b a b +=+得()()()()222224a b a b a b a b ab a b ab +-+++-=+⇒=≤，故()()()()()222200224a b a b a b a b a b a b +-++≤⇒+-+≤⇒≤+≤，由于()()3322a b a b a b ab+=++-将()()22a b a b ab +-+=和22a b a b +=+代入得()()()()()22333322a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫+-++-++++-= ⎪ ⎪⎝⎭=，不妨设[],0,2a b t t +=∈，则()()2323,63f t t t f t t t '=-∴=-，由于当[]()0,2,0t f t ∈'≥，故()f t 在[]0,2t ∈单调递增，故()()()()[]0024,0,4f f t f f t =≤≤=∴∈，故()[]330,22f t a b +∈=，故选:A方法点睛：处理多变量不等式或者函数最值问题的方法（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化.（3）利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.二、填空题（每小题5分，共20分）13.复数2i12iz -=+的共轭复数为z ，则z =______.【正确答案】i【分析】现根据复数的除法运算求出复数z ，再根据共轭复数的定义即可得解.【详解】()()()()2i 12i 2i 25i 2i 12i 12i 12i 5z -----====-++-，所以i z =.故答案为.i14.在极坐标系中，点π4,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭B ，则线段AB 的长为______.【正确答案】【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式，求出线段AB 的长即可．【详解】由已知π4,6A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，π2,2⎛⎫⎪⎝⎭B ，∴线段AB的长为AB ==故15.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()01f =，且()()f x f x '>，则不等式()e x f x >的解集为______.【正确答案】()0,∞+【分析】首先构造函数()()xf xg x =e，理由导数判断函数的单调性，再求解不等式.【详解】设函数()()xf xg x =e，()()()()()()20x xx x f x f x f x f x g x ''--'==>e e e e ，所以()g x 单调递增，不等式()()e 1ex xf x f x >⇔>，即()()0g x g >，即0x >，所以不等式的解集为()0,∞+.故()0,∞+16.已知函数()sin f x x x =+，()R x ∈，有以下四个命题：①对0x ∀>，不等式()2f x x <恒成立；②πx =是函数()f x 的极值点；③函数()f x 的图象与x 轴及π2x =围成的区域面积为2π18+；④62sinsin π7π77π+<.其中正确的命题有______.【正确答案】①③④【分析】()sin g x x x =-，确定函数单调递增，计算最值得到①正确，函数单调递增，得到②错误，求积分得到③正确，根据①得到④正确，得到答案.【详解】对①：()2f x x <，即sin 0x x ->，设()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=-≥恒成立，函数单调递增，故()()00g x g >=，正确；对②：()1cos 0f x x '=+≥恒成立，函数单调递增，无极值点，错误；对③：()00f =，面积为()ππ22222001ππsin d cos 0011288x x x x x ⎛⎫+=-=--+=+ ⎪⎝⎭⎰，正确；对④：根据①知：sin x x <在()0,∞+上恒成立，则ππsin 77<，故π2π2sin 77<，则62sin sin π7π77π+<，正确.故①③④三、解答题（共70分）17.已知曲线C 的极坐标方程为24cos 3ρρθ=-，A ，B 是曲线C 上不同的两点，且2OA OB =，其中O 为极点.（1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求点B 的极径.【正确答案】（1）()2221x y -+=；（2）2.【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化即可求得曲线C 的直角坐标方程；（2）利用题给条件列方程组即可求得点B 的极径.【小问1详解】由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得：2243+=-x y x ，所以曲线C 的直角坐标方程为()2221x y -+=；【小问2详解】设(),,0B ρθρ>，则由题意可知()2,A ρθ，将A ，B 坐标代入方程24cos 3ρρθ=-得：2248cos 34cos 3ρρθρρθ⎧=-⎨=-⎩，∴22423ρρ-=，得2ρ=(负值舍去)，∴B的极径为2.18.某企业生产的某种乳制品的蛋白质含量x （%）与生产成本y （元）之间的数据如下表：x 00.69 1.39 1.79 2.40 2.56 2.94y19324044525354已知生产成本y 与产品蛋白质含量x 之间具有线性相关关系.（1）求生产成本y 关于蛋白质含量x 的回归方程；（2）根据（1）的结果，若公司准备将生产成本提高到60至70元，则判断生产的乳制品蛋白质含量的取值范围.（精确到小数点后两位）参考公式.()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑ 参考数据： 1.68x =，()7216.79ii x x =-=∑，()()7181.41i i i x x y y =--=∑.【正确答案】（1）11.9921.86y x =+（2）[]3.18,4.02【分析】（1）利用最小二乘法求解；（2）将60y =和70y =代入（1）中回归直线方程求解.【小问1详解】解：由题中数据可得42y =，设生产成本y 关于蛋白质含量x 的回归方程为 y bxa =+ ，∵()()()7172181.411.996.719iii i i x x y y bx x==--===-∑∑ ，∴ 4211.99 1.6821.86ay b x =-⋅=-⨯= ，所以回归方程为11.9921.86y x =+，【小问2详解】当60y =时，由（1）得11.9921.8660x +=.解得 3.18x ≈，当70y =时，由（1）得11.9921.8670x +=.解得 4.02x ≈，所以生产的乳制品蛋白质含量的取值范围为[]3.18,4.02.19.函数()()2exf x xax a =--.（1）若1x =是函数()f x 的极值点，求a 的值，并判断1x =是极大值点还是极小值点；（2）求函数()f x 的单调区间.【正确答案】（1）1a =，极小值点；（2）当2a =-时，函数()f x 在R 上单调递增；当2a <-时，函数()f x 在(),a -∞，()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减；当2a >-时，函数()f x 在(),2-∞-，(),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减.【分析】（1）利用()10f '=，求得1a =，再根据()f x '在1x =两侧的正负，可确定1x =是极大值点还是极小值点；（2）由题意可得()()()e2xf x x x a '=+-，分2a =-、2a <-和2a >-三种情况讨论()f x '的正负，从而即可确定函数单调区间.【小问1详解】解：因为()()()()2e2e 2xx f x xax a x a x x a '=--+-=+-，∵1x =是函数()f x 的极值点，∴()()()1e 1210a f =+-='，解得1a =，当()2,1x ∈-时，()0f x '<，∴()f x 在()2,1-上递减，当()1,x ∈+∞时，()0f x ¢>，∴()f x 在()1,+∞上递增，∴1x =是函数()f x 的极小值点；【小问2详解】解：∵()()()e2xf x x x a '=+-，①当2a =-时，()()2e 20xf x x =+≥'在R 上恒成立，所以函数()f x 在R 上单调递增，②当2a <-时，令()0f x '≥，解得x a <或2x >-，所以函数()f x 在(),a -∞上单调递增，在(),2a -上单调递减，在()2,-+∞上单调递增，③当2a >-时，令()0f x '≥，解得<2x -或x a >，所以函数()f x 在(),2-∞-上单调递增，在()2,a -上单调递减，在(),a +∞上单调递增，综上，当2a =-时，函数()f x 在R 上单调递增，当2a <-时，函数()f x 在(),a -∞，()2,-+∞上单调递增，在(),2a -上单调递减，当2a >-时，函数()f x 在(),2-∞-，(),a +∞上单调递增，在()2,a -上单调递减.20.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PAB 为边长为2的正三角形，且平面PAB ⊥平面ABCD ，E 为线段AD 的中点，PE 与平面ABCD 所成角为45°.（1）求证：平面PCE ⊥平面PBC ；（2）求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析（2）66【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出对应点的坐标，分别求出平面PCE 与平面PBC 的法向量，利用空间向量证明垂直的方式即可证明；（2）结合（1）的结论，利用空间向量的夹角公式即可求解.【小问1详解】取AB 中点O ，连接PO 、OE ，由题知PO ⊥平面ABCD∴45PEO ∠=︒，∴PO OE ==又AE AO ⊥，∴AE =，AD =，如图建立空间坐标系，()1,0,0B -，(P，()1,C -，()0E，(1PC =-，(20)CE =-，，设平面PCE 法向量为()111,,x n y z =则11111200x n CE n PC x ⎧⎧-=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+=⎪⎪⎩⎩ ，令11x =，1y =1z =所以(n =，(1PC =-，(00)BC = ，设平面PBC 的法向量为222(,,)m x y z =，则222200m BC m PC x ⎧⎧=⊥⎪⎪⇒⎨⎨⊥-+=⎪⎪⎩⎩，令2x =，21z =-，20y =，可得)1m =-，又00n m ⋅==所以平面PCE ⊥平面PBC ，【小问2详解】由（1）知，(1,0,PA = ，平面PCE 的法向量(n =，所以6cos ,6PA n ==-，所以直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值为6.21.已知过点()0,2的直线与抛物线24x y =相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线与抛物线交于点N .（1）若抛物线在N 点处的切线的斜率等于2，求直线AB 的方程；（2）设()0,11D ，求DAB 与NAB △面积之差的最大值.【正确答案】（1）22y x =+（2）【分析】（1）设直线方程，联立抛物线，韦达定理求出中点横坐标，即可求出N 点坐标，利用导数几何意义即可求出直线斜率，即可求解；（2）利用弦长公式求出弦长AB ，利用距离公式及面积公式列出面积差的关系式，换元，构造函数，利用导数研究最值即可.【小问1详解】设直线AB 方程为2y kx =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，消y 得2480x kx --=，所以124x x k +=，128x x =-，所以1222M x x x k +==，所以2N x k =，代入抛物线24x y =得()22,N k k ，又函数214y x =的导函数为12y x =，所以抛物线在N 点处的切线的斜率为22kk =，所以2k =所以直线AB 方程为22y x =+；【小问2详解】由（1）问可得12AB x =-=又点()22,N k k到直线AB 的，点()0,11D 到直线AB，所以()22DAB NAB S S S k =-=+△△，令t =≥，所以3182S t t =-，即函数()3182f t t t =-，t ≥则()()2218663f t t t'=-=-，令()0f t '=得t =令()0f t '>t <<()0f t '<得t >，所以函数()f t在区间上单调递增，在)+∞上单调递减，所以t =，函数()3182f t t t =-取到最大为f==即1k =±时，DAB 与NAB △面积之差取得最大值.22.已知函数()()21ln x x xf x =+-.（1）求函数()f x 的最小值；（2）证明不等式()1*12ln 21n nn k n +=>∈+N .【正确答案】（1）2（2）证明见解析【分析】（1）对函数求导，利用导函数的正负判断函数的单调性，进而求出函数的最小值；（2）结合（1）的结论，得到当1x >ln x >成立，用数学归纳法证明112ln 21n nnk +=>+.【小问1详解】对函数求导可得()211l 1n ln 122f x x x x x x x x ⎛⎫'=--=-- ⎪⎝⎭，令函数()12ln g x x x x =--，则()()2221122110x x x g x x x x x--+'=+-==≥，所以函数()g x 在区间()0,∞+上单调递增，又∵()10g =，当()0,1x ∈时，()0g x <，即()0f x '<，当()1,x ∈+∞时，()0g x >，即()0f x ¢>，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴()()min 12f x f ==，【小问2详解】由（1）问知()2ln 12x x x +-≥，即()22ln x ->，所以当1x >ln x >成立，现用数学归纳法证明：12ln 21n nnk +=>+当1n=时，4ln32<-=假设当n k =12ln 21k k+⋅⋅⋅+>+成立，则当1n k =+时，12ln 21k k ++⋅⋅⋅+>+212ln 21k k +++⋅⋅⋅>+，12122ln ln 2121k k k k +++⇐+>++，21122ln ln 2121k k k k +++⇐-<++，1122ln 21k k +++⇐<+，令112221k k x +++=+，则1221k x x +-=-n l x ⇐<=lnx <-⇐<⇐<，>，1x ⇐>∵112261,215k k x +++⎛⎫=∈ ⎪+⎝⎭，∴1x >，成立，212ln 21k k ++⋅⋅⋅+>+成立，综上，对*n ∀∈N ，均有不等式12ln 21n nnk +=>+成立.1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n n =的n 不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明1n k =+时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.。
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
请把答案填在答题卷指定的位置上）1．（4分）下面命题中，正确命题的个数为（）①桌面是平面；②一个平面长3米，宽2米；③用平行四边形表示平面，只能画出平面的一部分；④空间图形是由空间的点、线、面构成的；A．1B．2C．3D．42．（4分）如果OA∥O1A，OB∥O1B，那么∠AOB与∠A1O1B1（）A．相等B．互补C．相等或互补D．以上均不对3．（4分）空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝60°，则β为（）A．60°B．120°C．30°D．60°或120°4．（4分）下面说法错误的是（）A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面C．如果两个不重合的平面有且只有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线D．经过一条直线和一点，有且只有一个平面5．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）A．2条B．3条C．4条D．6条6．（4分）棱柱的侧面一定是（）A．菱形B．矩形C．正方形D．平行四边形7．（4分）两直线不平行是这两直线是异面直线的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（4分）分别在两相交平面内的两条直线的位置关系是（）A．异面B．平行C．相交D．可能共面，也可能异面9．（4分）已知直线a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（）A．一定是异面直线B．一定是相交直线C．不可能是平行直线D．不可能是相交直线10．（4分）已知球的半径为6cm，则它的体积为（）A．36πcm3B．144πcm3C．288πcm3D．864πcm3 11．（4分）下列命题一定正确的是（）A．三点确定一个平面B．依次收尾相接的四条线段必共面C．直线与直线外一点确定一个平面D．两条直线确定一个平面12．（4分）已知平面α∥β，a是直线，则“a⊥α”是“a⊥β”（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件13．（4分）已知斜线段长是它在平面α上的射影长的2倍，则斜线和平面所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°14．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，棱长为1，则异面直线DD1与AB之间的距离为（）A．B．1C．D．15．（4分）如图所示，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中错误的是（）A．AC⊥SBB．二面角S﹣AB﹣D与二面角S﹣BC﹣D相等C．AB∥平面SCDD．平面SAB⊥平面SBC二、填空题：（本答题共5个小题，每小题4分，共20分）16．（4分）若正方体的对角线长为a，那么正方体的表面积为．17．（4分）已知正四棱锥的高为3，底面边长为，则该棱锥的体积为．18．（4分）用长和宽分别为3π和π的矩形硬纸板卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面半径是．19．（4分）将半径为1和2的两个铅球，熔成一个大的铅球，那么，这个大铅球的表面积是．20．（4分）已知一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则它的侧面积是．三、解答题：（本大题共7小题，满分70分。
2023-2024学年四川省成都市高二下学期期中联考数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中联考数学（理）试题一、单选题1．AB BC BA ++=（）A ．AC B ．BCC ．ABD ．0【正确答案】B【分析】利用向量加法的运算法则求解即可．【详解】AB BC BA AC BA BC ++=+=，故选：B ．2．函数()2sin x f x x =+的导函数为（）A ．)2cos x f x x '(=-B ．)2ln2cos x f x x '(=-C ．)2cos x f x x '(=+D ．)2ln2cos x f x x'(=+【正确答案】D【分析】根据给定条件，利用求导公式及导数运算法则求解作答.【详解】函数()2sin x f x x =+，求导得)2ln2cos x f x x '(=+.故选：D3．若可导函数()f x 满足()()11lim 3x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】C【分析】根据导数定义可直接得到结果.【详解】由导数的定义知.()()()111lim 3x f x f f x∆→+∆-'==∆故选：C.4．已知直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则实数x 的值为（）A ．12B ．12-C ．10D ．10-【正确答案】C【分析】依题意可得m n ⊥ ，即可得到0m n ⋅=，从而得到方程，解得即可.【详解】因为直线l 的方向向量为1,2,4)m (-= ，平面α的法向量为,1,2)n x =(-，若直线l 与平面α平行，则m n ⊥ ，即0m n ⋅=，即280x --=，解得10x =.故选：C ．5．若定义在R 上的函数()f x 的导数()f x '的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A ．函数()f x 在区间(),0∞-上单调递减，在区间()0,∞+上单调递增B ．函数()f x 在区间(),1-∞上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减C ．函数()f x 在1x =处取极大值，无极小值D ．函数()f x 在0x =处取极大值，无极小值【正确答案】A【分析】根据导函数的正负可确定()f x 单调性，结合极值点定义可确定正确选项.【详解】对于AB ，由()f x '图象可知：当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，A 正确，B 错误；对于CD ，由单调性可知：()f x 在0x =处取得极小值，无极大值，CD 错误.故选：A.6．若函数()ln f x x x =在点00(,())x f x 处的切线斜率为1，则0x =（）A ．e -B ．eC ．1-D ．1【正确答案】D【分析】先求出()f x '，由已知得0()1f x '=列出方程，求解即可．【详解】因为()ln 1f x x '=+，所以()f x 在点00(,())x f x 处的切线斜率为00()ln 11k f x x '==+=，解得01x =，故选：D ．7．若关于x 的不等式e 0x x a -->恒成立，则a 的取值范围为（）A ．()e,+∞B ．(),1-∞C ．[)1,+∞D ．(],0-∞【正确答案】B【分析】令()e xf x x a =--，将问题转化为()min 0f x >，利用导数可求得()f x 单调性，从而得到()min f x ，解不等式即可求得结果.【详解】令()e xf x x a =--，则()0f x >恒成立，()min 0f x ∴>；()e 1x f x '=- ，∴当(),0x ∈-∞时，()0f x '<；当()0,x ∈+∞时，()0f x ¢>；()f x \在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增，()()min 010f x f a ∴==->，解得：1a <，即a 的取值范围为(),1-∞.故选：B.8．已知正四面体A BCD -的棱长为2，若M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则线段MN 的长为（）A ．2BCD ．2【正确答案】B【分析】以AC 、AB、AD 作为一组基底表示出MN ，再根据数量积的运算律求出MN ，即可得解.【详解】111222MN MA AN AB AC AD =+=-++，又AC 、AB、AD 两两的夹角均为π3，且2AB AC AD === ，22111222MN AB AC ⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭ ()22212224AB AC AD AB AC AB AD AD AC =++-⋅-⋅+⋅2221πππ2cos 2cos 2cos 24333AB AC AD AB AC AB AD AD AC ⎛⎫=++-⋅-⋅+⋅= ⎪⎝⎭，MN ∴.故选：B ．9．函数e ()1xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】根据图象结合函数定义域、单调性判断B ，C 错误；由函数在0x <时函数值的符号可判断D.【详解】由定义域为{1}x |x ≠，∴排除B ；又2e 2))1)x x f x x (-'(=(-，令)0f x '(>，得2x >，()f x ∴的单增区间为2,)(+∞，∴排除C ；当0x <时，()0f x <，∴排除D ；故选：A ．10．若函数()2ln f x x ax x =-+有两个极值点，则a 的取值范围为（）A ．02a <<B ．2222a -<<C ．22a <-22a >D ．22a >【正确答案】D【分析】函数有两个不同的极值点，则()0f x '=在()0,∞+上有两个不同的实数解，转化为二次方程在()0,∞+有两个不同的实数解，求解即可.【详解】由题意可得()f x 的定义域为()0,x ∈+∞，()21212x ax f x x a x x-+'=-+=，因为函数()f x 有两个极值点，所以2210x ax -+=在()0,∞+上有两个不同的实数解，所以28002a a ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解得a >故选：D11．如图，半径为1的球O 是圆柱12O O 的内切球，线段AB 是球O 的一条直径，点P 是圆柱12O O 表面上的动点，则PA PB ⋅的取值范围为（）A ．[0,1]B．C ．[0,2]D ．[1,2]【正确答案】A【分析】先把,PA PB 都用PO 表示，再根据PO的模长的范围求出数量积的范围即可.【详解】))PA PB PO OA PO OB ⋅=(+⋅(+，因为线段AB 是球O 的一条直径，,1OA OB OA OB ∴-=== ,222))1PA PB PO OA PO OA PO OA PO ⋅=(+⋅(-=-=- ，又min1PO=，maxPO = [0,1]PA PB ∴⋅∈，故选：A ．12．若关于x 的不等式2(2)ln 1k x x x +≤+的解集中恰有2个整数，则k 的取值范围是（）A ．113k <≤B ．ln21183k +<≤C ．ln31ln21158k ++<≤D ．ln41ln312415k ++<≤【正确答案】C【分析】将不等式变形为ln 1(2)x k x x ++≤，令()f x =ln 1x x+，)2)g x k x (=(+，数形结合，转化为两个函数图象相交情况分析.【详解】0x >，∴不等式2(2)ln 1k x x x +≤+可化为ln 1(2)x k x x++≤，令()f x =ln 1x x+，2ln ()xf x x -∴='，由()0f x '>解得01x <<，由()0f x '<解得1x >，()f x ∴在0,1)(为增函数，()f x 在,)(1+∞为减函数，令)2)g x k x (=(+，则()g x 的图象恒过2,0)(-，若解集恰有2个整数，当0k ≤时，有无数个整数解，不满足题意；当0k >时，如图，2满足不等式且3不满足不等式，即8ln21k ≤+且15ln31k >+，ln31ln21158k ++∴<≤.故选：C ．二、填空题13．已知2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，则AB =______．【正确答案】3,3,1)(-【分析】利用空间向量的坐标运算求解作答.【详解】因为2,1,3)OA =(- ，1,2,4)OB =(- ，所以3,3,1)AB OB OA =-=(-.故3,3,1)(-14．11)d x x -(2+1=⎰______．【正确答案】2【分析】利用微积分基本定理直接运算求值.【详解】()1211(21)d 2021x x x x -+=+=+=-⎰，故2．15．若函数()cos f x kx x =-在区间()0,π上单调递减，则k 的取值范围是______．【正确答案】(],1-∞-【分析】根据函数的单调性与导函数的关系，利用分离参数法解决恒成立问题，结合三角函数的性质即可求解.【详解】由题意可知，()sin f x k x '=+，因为()f x 在区间()0,π单调递减，所以()sin 0f x k x '=+≤在()0,π上恒成立，等价于()()min sin ,0,πk x x ≤-∈即可，因为()0,πx ∈，所以0sin 1x ≤≤，即1sin 0x -≤-≤，于是有1k ≤-，所以k 的取值范围是(],1-∞-.故(],1-∞-．16．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若空间中的动点P 满足1AP AB AD AA λμν=++，[0,1]λμν∈，，，则下列命题正确的是______．（请用正确命题的序号作答）①若12λμν===，则点P 到平面1AB C ②若12λμν===，则二面角P AB C --的平面角为π4；③若12λμν++=，则三棱锥1P BDA -的体积为2；④若12λμν+-=，则点P 的轨迹构成的平面图形的面积为【正确答案】②④【分析】分别以AB ，AD ，0AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，对于①：直接应用点到平面距离的向量公式，即可判断；对于②：直接应用面面角的向量公式，即可判断；对于③：先求出点P 到平面1BDA 的距离，即可计算出1P BDA V -，得出判断；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D ，作出平面000B D A 与正方体的00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，根据空间向量共面定理得点P 在平面000B D A 上，即可作出判断．【详解】对于①：由空间向量的正交分解及其坐标表示可建立如图空间直角坐标系，所以1,1,1)P (，1(2,0,2)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，1(0,0,2)A ，向量1,1,1)AP =( ，设平面1AB C 的法向量1111,,)n x y z =(，由1(2,0,2)AB =，(2,2,0)AC =uuu r，则11100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即1111220220x z x y +=⎧⎨+=⎩，取11x =-则11,1,1)n =(- ，则点P 与平面1AB C的距离为11|AP n |d |n |⋅=，故①错误；对于②：设平面ABP 的法向量2222,,)n x y z =(，又1,1,1)AP =(，1,0,0)AB =(，2200AP n AB n ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩即2222=00x y z x ++⎧⎨=⎩，取21y =-，则20,1,1)n =(- ，易得平面ABC 的一个法向量3(0,0,1)n =，设二面角P AB C --的平面角为θ，则3232cos n n |n ||n |θ⋅=⋅ θ 是锐角，∴二面角P AB C --的平面角为π4，故②正确；对于③：1AP AB AD AA λμν=++ ，(2,0,0)AB = ，(0,2,0)AD = ，1(0,0,2)AA =，2,2,2)AP λμν∴=( ，则112,2,22)A P AP AA λμν=-=(-，设平面1BDA 的法向量为4444,,)n x y z =(，由(2,2,0)BD =-，1(2,0,2)BA =- ，则4444220220x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取41x =则41,1,1)n =( ，则点P 到平面1BDA的距离为144A P n d n ⋅== 由12λμν++=得3d易知12BDA S =(=△则三棱锥111233P BDA BDA V S d -=⋅=△，故③错误；对于④：延长1A A 至点0A ，使得102A A AA = ，取AB 中点0B ，AD 中点0D ，连接00A B ，00A D 并延长，交棱1BB ，1DD 于点E ，F ，交11A B ，11A D 延长线于点M ，N ，连接MN ，交棱11B C ，11C D 于点G ，H ，连接EG ，HF ，如图所示，则平面000B D A 与正方体的截面为六边形00B D FHGE，00B D =在平面11ABB A 中，01//AA BB ，点0B 为AB 中点，000B A A B EB ∴∠=∠，00AB BB =，在00AB A 和0BB E 中00000000AA B BEB AB A BB E AB BB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ，000()AB A BB E AAS ∴≅ ，01AA BE ∴==，1B E BE ∴=，即点E 为1BB 中点，0B E =，同理可得，0EG GH HF D F ===∴六边形00B D FHGE则其面积26S ==12λμν+-= ，1AP AB AD AA λμν=++，10001)22122)2AP AB AD AA AB AD AA λμλμλμλμ∴=++(+-=++(-- ，整理得00022122)0B P D P A P λμλμ++(--=，∴点P 在平面000B D A 上，∴当12λμν+-=，点P 的轨迹构成的平面图形的面积为故②④．三、解答题17．已知空间向量1,0,1)a =(，2,1,0)b =(- ，4,,)c λλλ=(+- ．(1)若(a b )//c +，求λ；(2)若ka b + 与2a b -相互垂直，求k ．【正确答案】(1)2λ=(2)12k =【分析】（1）根据空间向量共线公式列式求参即可；（2）根据空间向量垂直数量积为0列式求参即可.【详解】（1）311a b (,,)+=- ，()//a b c+ (a b )c μ∴+= ，R μ∈，即34)μλ=(+，且1μλ-=-，1μλ=，解得2λ=；（2）(2,1,)ka b k k +=+- ，2012a b (,,)-= ，又2210(ka b )(a b )k +⋅-=-= ，解得12k =．18．已知函数3215()2333f x x x x =-++．(1)求曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程；(2)求函数在区间[1,4]-的最大值与最小值．【正确答案】(1)3y =(2)max )3f x (=；min 11)3f x (=-【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，并结合切点得到切线方程；（2）先利用导数求得()f x 在区间[1,4]-上的单调区间，进而求得()f x 在区间[1,4]-上的最大值与最小值.【详解】（1）1)3f (= ，∴切点为1,3)(，又2)43f x x x '(=-+ ，1)0f '∴(=，∴切线方程为301)y x -=(-，即3y =，即曲线()y =f x 在点1,1))f ((处的切线方程为3y =；（2）由（1）知2)43f x x x '(=-+，令)0f x '(>，得1x <或3x >，令)0f x '(<，得13x <<，∴函数()f x 在区间[1,1)-，3,4](为增函数，在区间[1,3]为减函数，又1)3f (= ，4)3f (=，max )1)4)3f x f f ∴(=(=(=；又111)3f (-=- ，53)3f (=，min 11)1)3f x f ∴(=(-=-.19．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ==D 是1BB 的中点．(1)求异面直线1A D 与BC 所成角的余弦值；(2)证明：平面11A DC ⊥平面ADC ．【正确答案】77；(2)证明见解析.【分析】（1）分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立空间直角坐标系，求出直线1A D 与BC 的空间向量，即可利用线线角的公式求解.（2）分别求出平面11A DC 和平面ADC 的法向量，利用法向量数量积为0，即可证明.【详解】（1）如图，分别作AC ，11A C 的中点O ，1O ，连接OB ，1OO ，在正三棱柱111ABC A B C -中，1OO ⊥底面ABC ，且BO AC ⊥，则OA ，OB ，1OO 互相垂直，以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，1OO 所在直线为x y z ，，轴，建立如图空间直角坐标系，已知1323AA ==11,0,23)A (，0,3,3)D (，0,3,0)B (，1,0,0)C (-，设异面直线1A D 与BC 所成角为θ，2]π(0,θ∈，1A D =(-，1,BC =(--，11cos |A D BC ||A D ||BC |θ⋅∴==⋅uuu r uu u r uuu r uu u r （2）由题可知1,0,0)A (，1C (-，112,0,0)A C =(-，AD =(- ，2,0,0)AC =(-，设平面11A DC 的法向量为()111,,m x y z =r ，则1111111020m A D x m A C x ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，0,1,1)m ∴=(r ，设平面ADC 的法向量为222,,)n x y z =(r，则2222020n AD x n AC x ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令21y =，0,1,1)n ∴=(-r ，110m n ⋅=-=r r Q ，∴平面11A DC ⊥平面ADC .20．制作一个容积为V 的圆柱体容器（有底有盖，不考虑器壁的厚度），设底面半径为r ．(1)把该容器外表面积S 表示为关于底面半径r 的函数；(2)求r 的值，使得外表面积S 最小．【正确答案】(1)()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞(2)r =【分析】（1）根据圆柱体积公式可表示出圆柱的高h ，结合圆柱表面积公式可表示出()S r ；（2）利用导数可求得()S r 的单调性，进而确定最值点.【详解】（1）设圆柱体水杯的高为h ，则2πV h r =，∴表面积()2222π2π2πV S r r rh r r =+=+，即()222πV S r r r=+，()0,r ∈+∞.（2）由（1）得：()224πV S r r r'=-；令()0S r '=，解得：r则当0r <<()0S r '<，()S r单调递减；当r >时，()0S r '>，()S r 单调递增；∴当r ()S r 取得最小值．21．在如图①所示的长方形ABCD 中，3AB =，2AD =，E 是DC 上的点且满足3DC EC =，现将三角形ADE 沿AE 翻折至平面APE ⊥平面ABCD （如图②），设平面PAE 与平面PBC 的交线为l ．(1)求二面角B l A --的余弦值；(2)求l 与平面ABCE 所成角的正弦值．【正确答案】(1)6655【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角B l A --的余弦值；（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，PF 即为l ，PFO ∠是l 与平面ABCE 所成角，计算求解即可．【详解】（1）如图，取AE 的中点O ，连接PO ，2AD DE ==，则PO AE ⊥，又 平面PAE ⊥平面ABCE ，又平面PAE 平面ABCE AE =，又PO ⊂平面PAEPO ∴⊥平面ABCE ，延长DO 交AB 于点G ，由DE AB ∥，O 为AE 的中点，则2AG DE ==，OG AE ⊥，2OG OA ==，分别以OA OG OP ，，所在直线为x y z ，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，)2,0,0A ,()2,0G ，()0,2,0D -，()2,0,0E ，(2P ，232B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，PO ⊥ 平面ABCE ，OG ⊂平面ABCE ，OG OP ∴⊥，又OG AE ⊥ ，AE OP O = ，,AE OP ⊂平面PAE ，所以OG ⊥平面PAE ，∴平面PAE 的法向量为OG ，且2,0)OG =，又(2,2,0)CB DA == ，232(,2)PB = ，设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = ，则0022CB n PB n x y z ⎧⋅=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1y =，则(1,1,2)n =- ，设二面角B l A --的平面角为θ，cos ,OG n OG n OG n⋅= 由题知π(0,2θ∈，二面角B l A --（2）设直线AE 与BC 相交于点F ，F BC ∈ ，F ∈平面PBC ，同理F ∈平面PAE，由平面公理3可得∈F l ，又P l ∈，PF ∴即为l ，PO ⊥ 平面ABCE ，OF ∴是PF 在平面ABCE 内的投影，PFO ∴∠是l 与平面ABCE 所成角，由PO =，又OF =PF ∴sin PO PFO PF ∠=l ∴与平面ABCE22．已知函数()ln 1)f x x =(+，)e )x g x f x (=(．(1)求函数()g x 的导函数在0,)(+∞上的单调性；(2)证明：0,)a b ∀∈(+∞，，有)))g a b g a g b (+>(+(．【正确答案】(1)()g x '在0,)(+∞上单调递增；(2)证明见解析.【分析】（1）直接对函数求导，利用导数与函数间的关系即可求出结果；（2）构造函数()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，将求证结果转化判断函数值大小，再利用函数的单调性即可求出结果.【详解】（1）因为)e ()e ln(1)x x g x f x x (==+，所以e 1)e ln(1)+=e [ln(1)]11x xx g x x x x x '(=+++++，令))h x g x '(=(，即1)=e [ln(1)]1x h x x x (+++，又因为222121)e [ln(1)]=e [ln(1)]11)1)x x x h x x x x x x +'(=+++++(+(+，又因为0,)x ∈(+∞，所以11,)x +∈(+∞，即有221ln(1)0,0(1)x x x ++>>-，所以()0h x '>，所以)h x (在区间0,)(+∞上单调递增，即()g x '在0,)(+∞上单调递增；（2）由题知(0)0g =，要证)))g a b g a g b (+>(+(，即证)))0)g a b g b g a g (+-(>(-(，令()()()(00)F x g x a g x x a =+->>，，则()()()F b g b a g b =+-，(0)()(0)F g a g =-即证)0)F b F (>(，由（1）知()g x '在区间0,)(+∞上单调递增，又因为x a x +>，所以)))0F x g x a g x '''(=(+-(>，所以))()F x g x a g x (=(+-在区间0,)(+∞上单调递增，因为0b >，所以)0)F b F (>(，故命题得证．。
四川高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)
一、单选题1．设命题，,则为（ ） :0p x ∀>x x =p ⌝A ．， B ．， 0x ∀>x x ≠00x ∀≤00x x =C ．， D ．，0x ∀≤x x =00x ∃>00x x ≠【答案】D【解析】根据全称命题的否定是特称命题写出结果即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以：，. p ⌝00x ∃>00x x ≠故选：D.【点睛】本题考查命题的否定，考查特称命题和全称命题，考查学生对基础知识的理解和掌握，属于基础题.2．已知函数可导，且满足，则函数在x ＝3处的导数为()f x 0(3)(3)lim 2x f x f x∆→-∆-=∆()y f x =（ ） A ．2 B ．1 C ．－1 D ．－2【答案】D【分析】根据导数的定义即可得到答案. 【详解】由题意，，所以.()()()()()Δ0Δ03Δ33Δ3lim lim3ΔΔx x f x f f x f f xx→→----=--'=-()32f '=-故选：D.3．设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（ ） 2()1f x x =-x A ．2.1 B ．0.21 C ．1.21 D ．0.121【答案】A【解析】根据平均变化率的公式求解即可.【详解】， 1.110.1x ∆=-=22(1.1)(1) 1.11(11)0.21y f f ∆=-=---=所以函数在区间上的平均变化率为. 2()1f x x =-[1,1.1](1.1)(1)0.21 2.10.1y f f x x ∆-===∆∆故选：A4．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是（ ） 222kx y +=x k A ． B ．C ．D ．()1,+∞()1,21,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,1【答案】D【分析】将椭圆方程化为标准形式，然后利用焦点在轴上列出不等式，求出实数的取值范围. x k 【详解】由方程，可得， 222kx y +=22222x y k+=因为方程表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得. 222kx y +=x 22k>01k <<所以实数的取值范围是. k ()0,1故选：D5．函数的单调减区间是（ ） ()ln f x x x =A ． B ．C ．D ．(,)e -∞-1(,e-∞1(0,)e(0,)e 【答案】C【分析】求导得到，取解得答案.()'ln 1f x x =+()'0f x <【详解】，则，取，解得. ()ln f x x x =()'ln 1f x x =+()'ln 10f x x =+<10x e<<故选：C.【点睛】本题考查了函数的单调区间，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6．已知非零向量，则“”是“”的（ ）,,a b c a c b c ⋅=⋅ a b =A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】B【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.【详解】如图所示，,当时，与垂直，,,,OA a OB b OCc BA a b ====-AB OC ⊥a b - c，所以成立，此时，a b ≠∴不是的充分条件，a b =当时，，∴,∴成立，a b =0a b -= ()00a b c c -⋅=⋅=r r r r r∴是的必要条件，a b =综上，“”是“”的必要不充分条件故选：B.7．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点Q 坐标为，则22:143x y C +=(1,1)的最大值为（ ）||||PQ PF +A ．3B ．5C D ．13【答案】B【分析】由，结合图形即得.22PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+【详解】因为椭圆，22:143x y C +=所以，， 2,1a b c ===()1,0F -则椭圆的右焦点为，()1,0F '由椭圆的定义得：， 225PQ PF PQ a PF QF a ''+=+-≤+=当点P 在点处，取等号， P '所以的最大值为5， PQ PF +故选：B.8．已知分别是双曲线的左、右焦点，P 是C 上位于第一象限的一点，且12,F F 22144x y C :-=，则的面积为（ ） 210PF PF ⋅=12PF F △A ．2B ．4C ．D ．【答案】B【分析】利用勾股定理、双曲线定义求出，再利用三角形的面积公式计算可得答案.12PF PF ⋅【详解】因为，所以，120PF PF ⋅= 222121232PF PF F F +==由双曲线的定义可得， 124PF PF -=所以，解得，()2221212122PF PF PF PF PF PF ⋅=+--128PF PF ⋅=故的面积为． 12PF F △12142PF PF ⋅=故选：B.9．抛物线：的准线与轴交于点，点为焦点，若抛物线上一点满足M 24y x =x A F M P PA PF ⊥，则以为圆心且过点的圆被轴所截得的弦长约为( )） F P y 2.2≈A B C D 【答案】A【详解】∵，又，所以点P 在以AF 为直径的圆上， ()()1,01,0A F -，PA PF ⊥221x y +=设点P 的横坐标为m ，联立与得. 221x y +=24y x =2410x x +-=∵，∴，∴0m >2m =-112pPF m m =+=+=-+故所求弦长为.=≈故选:A10．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） 212,0x x a ∀≤≤-≤A ． B ． C ． D ．4a ≥5a ≥4a ≤5a ≤【答案】B【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解. 12x ∀≤≤2a x ≥【详解】因为命题“，”是真命题， 12x ∀≤≤20x a -≤所以，恒成立， 12x ∀≤≤2a x ≥所以，4a ≥结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是， 5a ≥故选：B11．双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点,的22221(0,0)x y a b a b-=>>()2,0F AB 、AF中点为，的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线M BF N O MN AB曲线的离心率为（ ）A． B ．C D 42【答案】B【分析】设出点的坐标，根据已知条件求得点，再根据点的坐标满足双曲线方程，整理化简A A A 即可求得，再求离心率即可. ,,a b c 【详解】根据题意，作图如下：设点在第一象限，因为原点在以为直径的圆周上，(),A m n MN 所以又因为、分别是、的中点，所以， OM ON ⊥M N AF BF AF BF ⊥则在直角三角形中，，即， ABF 2OA OF ==224m n +=因为直线，AB nm =解得：，，即点的坐标为， m =32n =A 32⎫⎪⎪⎭代入双曲线方程得，又， 2279144a b-=224a b +=解得，则离心率为. 2221,3,4a b c ===2故选：.B 12．若定义在上的函数满足，且的导函数的图象如图所示，记R ()f x (0)0f =()f x ()f x '，，则（ ）|(1)|(1)f f α'=-+|(1)|(1)f f β'=+-A ．B ．C ．D ．αβ=αβ>αβ<2αβ=【分析】根据导函数的图象为直线，且，得到函数为过原点的二次函数，设(0)0f =()f x ，利用导函数图象，通过原函数的单调性得到，，再去绝对值分2()(0)f x ax bx a =+≠a<012ba->别求得，再比较大小.,αβ【详解】因为导函数的图象为直线，且， (0)0f =所以函数为过原点的二次函数， ()f x 设，2()(0)f x ax bx a =+≠所以由导函数图象可知在上单调递增，在上单调递减，()f x ,2b a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,2b a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭则， a<0又由，得， 12ba->2b a >-则， (1)20,(1)0f a b f a b a '=+>=+>->，(1)20,(1)0f a b f a b '-=-+>-=-<所以，， |(1)|(1)2f f a b α'=-+=+|(1)|(1)2f f a b β'=+-=-+所以， (2)(2)20a b a b a αβ-=+--+=<故选：C【点睛】本题主要考查导数与原函数的关系，还考查了数形结合的思想和转化求解的能力，属于中档题.二、填空题13．抛物线的焦点坐标是______. 22y x =【答案】10,8⎛⎫⎪⎝⎭【分析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，212x y =0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭14p =所以焦点坐标为，10,8⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：.10,8⎛⎫⎪⎝⎭14．在函数的图象上，点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()2f x x=()()000,0P x y x >___________.【分析】根据已知条件，结合导数的几何含义和三角形面积公式，即可求解. 【详解】解：∵， ()2f x x=∴， ()22f x x '=-∴函数在点处的切线为，化简为， ()f x ()()000,0P x y x >()020022y x x x x =--+20024y x x x =-+令，，，， 0x =04y x =0y =02x x =故点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积. ()()000,0P x y x >0014242S x x ==故答案为：4.15．有限集S 中的元素个数记作，设A 、B 是有限集合，给出下列命题： ()n S （1）的充分不必要条件是； A B ⋂=∅()()()n A B n A n B =+ （2）的必要不充分条件是； A B ⊆()()n A n B ≤（3）的充要条件是 A B =()()n A n B =其中假命题是（写题号）________________. 【答案】(1)(3)【分析】(1)分别判断充分性与必要性证明即可.(2)根据元素与集合的关系以及充分与必要条件的定义判断即可. (3)根据集合相等的定义判断即可.【详解】(1)当时,即为集合的元素个数之和,即为. A B ⋂=∅()n A B ,A B ()()n A n B +又当时,中的元素个数和等于中的元素个数,故. ()()()n A B n A n B =+ ,A B A B ⋃A B ⋂=∅故是的充要条件.故(1)错误.A B ⋂=∅()()()n A B n A n B =+ (2)当时,中的元素个数小于等于中的元素个数,故, A B ⊆A B ()()n A n B ≤但当时也可能有不属于的元素.()()n A n B ≤A B 故是的充分不必要条件,即的必要不充分条件是. A B ⊆()()n A n B ≤A B ⊆()()n A n B ≤故(2)正确.(3)当意为中的元素个数相等,并不一定有.故(3)错误. ()()n A n B =,A B A B =故答案为：(1)(3)【点睛】本题主要考查了集合的基本关系与充分必要条件等的判定,属于基础题.16．已知双曲线左，右焦点分别为，若双曲线右支上存在点22221(0,0)x y a b a b-=>>()()12,0,,0F c F c -使得，则离心率的取值范围为_______.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=【答案】()1【分析】在中，由正弦定理可得，再由已知可得，根据点12PF F △122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠12PF c PF a =在双曲线右支上，得到关于的不等式，从而可求出的范围.P e e 【详解】由题意可得点不是双曲线的顶点，否则无意义.P 1221sin sin a cPF F PF F ∠∠=在中，由正弦定理得.12PF F △122112sin sin PF PF PF F PF F =∠∠因为，所以，所以. 1221sin sin a c PF F PF F ∠∠=12PF c PF a =12cPF PF a =⋅因为点在双曲线右支上，所以，P 122PF PF a -=所以，得. 222c PF PF a a -=222a PF c a =-由双曲线的性质可得，2PF c a >-所以，化简得， 22a c a c a>--2220c ac a --<所以，解得. 2210e e --<11e +<因为， 1e>所以.11e <<即双曲线离心率的取值范围为. ()1故答案为：.()1三、解答题17．已知函数.()31f x x ax =--（1）若在区间上为增函数，求a 的取值范围. ()f x (1,)+∞（2）若的单调递减区间为，求a 的值. ()f x (1,1)-【答案】（1）；（2）3.(],3-∞【分析】（1）由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，转化为不等()0f x '≥(1,)+∞23a x ≤(1,)+∞式右边的最小值成立，可得答案；（2）显然，否则函数在上递增.利用导数求出函数的递减区间为，再根0a >()f x R ()f x (据已知递减区间，可得答案【详解】（1）因为，且在区间上为增函数，()23f x x a '=-()f x (1,)+∞所以在上恒成立，即在(1，+∞)上恒成立， ()0f x '≥(1,)+∞230x a -≥所以在上恒成立，所以，即a 的取值范围是23a x ≤(1,)+∞3a ≤(],3-∞（2）由题意知.因为，所以.0a >()31f x x ax =--()23f x x a '=-由，得 ()0f x '<x <<所以的单调递减区间为， ()f x (又已知的单调递减区间为， ()f x (1,1)-所以， (=(1,1)-，即. 1=3a =【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，特别要注意：函数在某个区间上递增或递[,]a b 减与函数的递增或递减区间是的区别，属于基础题.[,]a b 18．设：，：.p ()224300x ax a a -+<>q 211180x x -+≤(1)若命题“，是真命题”，求的取值范围； ()1,2x ∀∈p a (2)若是的充分不必要条件，求的取值范围. p q a 【答案】(1)2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2) []2,3【分析】（1）解不等式得到解集，根据题意列出不等式组，求出的取值范围；（2）先解不等a 式，再根据充分不必要条件得到是的真子集，进而求出的取值范围. (,3)a a []2,9a 【详解】（1）因为，由可得：， 0a >22430x ax a -+<3a x a <<因为“，”为真命题， ()1,2x ∀∈22430x ax a -+<所以，()()1,2,3a a ⊆即，解得：.1,32,a a ≤⎧⎨≥⎩213a ≤≤即的取值范围是.a 2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）因为，由可得：，0a >22430x ax a -+<3a x a <<，21118029x x x -+≤⇔≤≤因为是的充分不必要条件，所以是的真子集，p q (,3)a a []2,9所以（等号不同时取），解得：，2,39,a a ≥⎧⎨≤⎩23a ≤≤即的取值范围是.a []2,319．已知双曲线：：(，)与有相同的渐近线，且经过点C 22221x y a b-=0a >0b>22142-=y x .M（1）求双曲线的方程；C （2）已知直线与双曲线交于不同的两点､，且线段的中点在圆0x y m -+=C A B AB 2220x y +=上，求实数的值.m 【答案】（1）；（2）.2212y x-=2m =±【解析】（1）根据共渐近线设双曲线的方程，然后代入点计算；（2）联立直线与双M曲线的方程，得关于的一元二次方程，写出韦达定理，然后表示出的中点坐标，代入圆的方x AB 程计算.【详解】（1）由题意，设双曲线的方程为，又因为双曲线过点，22(0)42λλ-=≠y x M，所以双曲线的方程为：221422λ=-=-2212y x -=（2）由得2212y x m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩22220x mx m ---=设，则，，所以()11,A x y ()22,B x y 122x x m +=2122x x m ⋅=--124y y m +=则中点坐标为，代入圆 AB (),2m m 2220x y +=得，所以.2520=m 2m =±20．设命题：实数使曲线表示一个圆；命题：直线p m 222426120x y x y m m +---++=q的倾斜角为锐角；(1)10m x my --+=（1）若为真命题，求的取值范围；p q ∧m （2）是否存在使得为假命题，若存在求的取值范围，若不存在说明理由.m p q ⌝∨m 【答案】（1）；（2）不存在，理由见解析. ()(),17-∞-+∞ ，m 【分析】（1）求得命题、为真时，实数的范围，再为真命题，求得的取值范围； p q m p q ∧m （2）要使为假命题，则为真命题，为假命题，可判断是否存在m .p q ⌝∨p q 【详解】（1）命题：实数使曲线表示一个圆，即p m 222426120x y x y m m +---++=表示圆，()()2222167x y m m -+-=--则需，解得或，设集合， 267>0m m -->7m 1m <-()(),17A =-∞-+∞ ，命题：直线的倾斜角为锐角，则，解得或，设集合q (1)10m x my --+=1>0m m-0m <>1m ；()(),01B =-∞+∞ ，因为为真命题，所以，所以的取值范围为p q ∧()()(),17m A B ∈=-∞-+∞ ，m ()(),17-∞-+∞ ，；（2）要使为假命题，则需都为假命题，即为真命题，为假命题，由（1）得p q ⌝∨p q ⌝，p q ，而，[]U 01B =，ð()U A B =∅ ð所以不存在使得为假命题.m p q ⌝∨21．已知函数.()1x f x e ax =--（1）当时，求曲线在处的切线方程；2a =()()1,1f （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围.()()2g x f x x =-()g x [)0,∞+a 【答案】（1）；（2）.()210e x y ---=2a e ≤-【解析】（1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果；（2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用()g x [)0,∞+21x e x a x --≤()21x x e xh x --=导数求得最小值即可求得结果.【详解】解：（1）当时，，2a =()21x f x e x =--()13f e =-∴，，()2x f x e '=-()12f e '=-∴切线方程为，()()()321y e e x --=--即()210e x y ---=（2）∵，()()0000g f =-=∴原条件等价于：在上，恒成立.()0,∞+()210x g x e x ax =---≥化为 21x e x a x--≤令， ()21x x e xh x --=则 ()()()()()2222111x x x x e x e x x e x h x x x -------'==令，则()1x m x e x =--()1x m x e '=-在上，，()0,∞+()0m x '>∴在上，()0,∞+10x e x -->故在上，；在上，()0,1()0h x '<()1,+∞()0h x '>∴的最小值为，∴()h x ()12h e =-2a e ≤-22．已知，，三点中有两点在椭圆上，椭圆⎛ ⎝1,⎛ ⎝1,⎛- ⎝2222:1(0)x y C a b a b +=>>C的右顶点为，过右焦点的直线与交于点，，当垂直于轴时A l C M N l x MN =(1)求椭圆的方程；C (2)若直线与轴交于点，直线与轴交于点，在轴是否存在定点，使得AM y P AN y Q x S 0PS QS ⋅= ，若存在，求出点，若不存在，说明理由.S 【答案】(1) 2212x y +=(2)在轴上存在定点或，使得 x 1,0)S (1,0)S -0PS QS ⋅=【分析】（1）根据对称性可得点，在椭圆上，再由得到方程组，解⎛ ⎝1,⎛- ⎝22b MN a =得、，即可得解；a b （2）设存在定点，过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分别为(,0)S t ()1,0l 1x my =+C ，，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设直线()11,M x y ()22,N x y，求出点坐标，同理可得点坐标，根据求出的值，即可得:AM l y x =P Q 0PS QS ⋅= t 解. 【详解】（1）根据椭圆的对称性可知，点，在椭圆上，⎛ ⎝1,⎛- ⎝对于，令得，解得，所以， 22221x y a b +=xc =22221c y a b +=2b y a =±22b MN a=则， 222111221a a b b b a⎧+=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪⎩∴椭圆的方程为. C 2212x y +=（2）解：设存在定点，设过右焦点的直线的方程为，且与曲线的交点分(,0)S t ()1,0l 1x my =+C 别为，，()11,M x y ()22,N x y 联立， ()22221221012x my m y my x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩则由韦达定理有：，， 12222m y ym +=-+12212y y m -⋅=+由的标准方程得， C)A设直线，当时，， :AM l yx =0x =P ⎛ ⎝同理，设直线，当时，， :AN l y x =0x=Q ⎛ ⎝∴，，PS t ⎛= ⎝QS t⎛= ⎝ ∴22PS PQ t t ⋅== 2t=+，解得，22(30t t =+=-+=(1t =±故在轴上存在定点或，使得. x 1,0)S (1,0)S 0PS QS ⋅=。
2020年四川省蓉城名校联盟高二(下)期中数学试卷(理科)
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0 分）1. （2-3i）2=（）A. 13+12iB. 13-12iC. -5+12 iD. -5-12i2. 已知命题p为?x∈R，5x2-2x+2≥0，则命题p 的否定为（）A. ?x∈R，5x2-2x+2<0B. ?x∈R，5x2-2x+2≤0C. ?x∈R，5x2-2x+2<0D. ?x∈R，5x2-2x+2≤03. 曲线y=x2与x轴及直线x=2 所围成的图形的面积为（）4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A. B. C. D.5. 函数 f （x）=2cos2x+sin 2x 的最小正周期为（）A. B. π C. D. 2π如图是函数y= f（x）的导函数y=f'（x）的图象，下列说法正确的是（A. x=-1 是函数y=f（x）的极小值点B. x=1 是函数y=f（x）的极大值点6.C. 函数 y=f （ x ）在（ 1，+∞）是减函数D. 函数 y=f （ x ）在（ -2，2）上是增函数7.已知直线 a ， b ，平面 α，β，则下列结论正确的是（ ）A. 若 a ∥b ， b? α，则 a ∥αB. 若 a ∥b ， a ∥α，b ∥β，则 α∥βC. 若 a? α， α∥β，则 a ∥βD. 若 a ⊥b ， b ⊥α，则 a ∥α8.执行如图的程序框图，则输出的 s 为（ ）10. 已知函数 存在极值点，则实数 a 的取值范围为（ ）A. （ 2，+∞）B. （-∞， -2）C. [2，+∞）D. （-∞， -2]∪[2，+∞）11. 设函数 f （x ）是定义在 R 上的可导函数，其导函数为 f'（x ），且，2f （x ）f'（x ）> ，则 [f （x ）]2< x+ 的解集为（ ）B 两点，连接 AF 、BF ，若 AF ⊥BF ，，则 E 的离心率为（）二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13. 函数 y=e -x 的导数 y'= ____ ．14. 某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为 780人、 720 人、 660人、 为了解他们的视力是否存在显著差异， 用分层抽样法抽取了一个容量为 n 的样本进 行了调查，其中从高二年级抽取了 12 人，则 n 为 _________ ．15. 在区间 [0，1]上随机取一个数 x ，在区间 [0 ，2]上随机取一个数 y ，要使 x+y ≤1成立的概率为 ____ ．16. 已知抛物线 C 1：y=2x 2+4x 和 C 2： y=-2x 2+m 有且仅有 1 条公切线（同时与 C 1和 C 2相切的直线称为 C 1和 C 2 的公切线），则 m= _____ ． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70.0 分）A. 100B. 919.若不等式，当 x ∈（ 0，A.B. 2C. 90D. 892）时恒成立，则实数t 的最大值为（）C.D.12. A. （ 2， +∞）B. （ -∞，2）C.-2，+∞）D. （ -∞， -2）已知椭圆 E ：的左焦点为 F ，椭圆 E 与过原点的直线相交于 A 、A. B.17. 若曲线f（x）=x3-3ax+2在x=1处切线方程为3x+y+m=0．（1）求a，m 的值；（2）求函数f（x）在区间[1，2]上的最值．18. 某家庭为了解冬季用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某 5 天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温一定范围内，用电量与气1y x2）在这 5 天中随机抽取2天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率．附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为19. 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别是a，b，c，且（2b-c）cosA=acosC．（1）求角 A 的大小；（2）若a=2，且S△ABC= ，求b+c 的值．20. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，已知PD⊥平面BCD，E 为PC的中点，PD=CD=2，过点E作EF ⊥PB于F，连接DF、BD、DE．（1）求证：平面DEF ⊥平面PBC；（2）若直线 BP 与平面 ABCD 所成角的正切值为 ，求平面 DEF 与平面 ABCD 所 成锐二面角的余弦值．在椭圆 中， 点 A ，F 分别为椭圆的左顶点和右焦点， 若已知离心率为 ，且 A 在直线 x+y+2=0 上． （1）求椭圆 C 的方程；（2）过点 F 的直线与椭圆 C 交于 P 、Q 两点，连接 AP 、AQ 分别交直线 x=4于点M ， N ，求证：以 MN 为直径的圆经过点 F ．22. 若函数 ．（ 1）讨论函数 f （x ）的单调性；（2）若 f （x ）≥0在（-1，+∞）上恒成立，求实数 a 的取值范围；3）求证：对任意的正整数 n 都有，⋯+ >．21.答案和解析1. 【答案】D【解析】解：（2-3i）2=22-12i+（3i）2=-5-12i．故选： D ．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2. 【答案】C【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p 为?x∈R，5x2-2x+2≥0，则命题p 的否定为：?x∈R，5x2-2x+2< 0．故选：C．直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．3. 【答案】A【解析】解：由题意知曲线y=x2与x轴及直线x=2 所围成的图形的面积为S=∫x2dx= x3|= ．故选：A．由题意知曲线y=x2与x轴及直线x=2 所围成的图形的面积为S=∫x2dx．本题考查了微积分基本定理，属于简单题．4. 【答案】C【解析】解：几何体的直观图如图：是长方体的一部分，PA=3，AB=1，AC=2，∴根据几何体的性质得出PC 最长，∴PC= = ，故选：C．根据三视图得出某几何体的直观图：三棱锥为P-ABC，根据几何体的性质得出PC 最长，运用直角三角形判断即可．本题考查了由三视图运用，关键是对几何体正确还原，并根据三视图的长度求出几何体的几何元素的长度，考查了空间想象能力．5. 【答案】B解析】解：函数f（x）=2cos2x+sin2x=1+cos x=1+ =+ cos2x 的最小正周期为=π，故选：B．利用三角恒等变换化简函数的解析式，再余弦函数的周期性，得出结论．本题主要考查三角恒等变换、余弦函数的周期性，属于基础题．6. 【答案】D故实数 t 的最大值为 ，第 6 页，共 14 页【解析】 解：由导数图象知当 x ≤2时， f ′（ x ）≥0，即函数的单调递增区间为（ -∞，2］， 当 x >2时， f ′（x ）<0，函数单调递减，即函数的单调递减区间为（ 2，+∞）．即当 x=2 时函数 f （ x ）取得极大值， 故 A ，B ，C 都不正确，正确的是 D ， 故选： D ． 根据函数图象，得到 f ′（ x ）≥0和 f ′（ x ）< 0的解，从而确定函数的单调区间以及极 值，然后进行判断即可．本题主要考查函数导数与单调性，极值的应用，结合图象判断 f ′（ x ）> 0和 f ′（x ）< 0 的解是解决本题的关键，比较基础．7. 【答案】 C【解析】 解：对于 A ，若 a? α，显然结论不成立，故 A 错误；对于 B ，若 α∩βm =， a ∥b ∥m ， a? α，b? β，显然条件成立，结论不成立，故 B 错误； 对于 C ，若 a? α，α∥β，则 a 与β没有公共点，故 a ∥β，故 C 正确； 对于 D ，若 a?α，显然结论不成立．故选： C ． 根据空间线面位置关系的定义、性质判断或举出反例说明． 本题考查了空间线面位置关系的判断，性质，属于中档题．8. 【答案】 B解析】 解：第一次， i=1，i <4成立， s=0+100=100 ， k=- =-10，i=2，第三次， i=3，i <4 成立， s=90+1=91 ，k=- ，i=4， 第四次， i=4 ，i <4 不成立，输出 s=91， 故选： B ．根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，结合条件利用模拟运算法是解决本题的关键．9. 【答案】 C【解析】 解：设 f （ x ）= + ， x ∈（0， 2）， ∴f ′（ x ）=- =令 f ′（ x ） =0，解得 x= ，x=3（舍去）， 当 0< x < 时， f ′（ x ）< 0，函数单调递减， 当 <x <2 时，f ′（x ）> 0，函数单调递减增， =，∴t ≤，第二次， i=2 ，i <4 成立， s=100-10=90 ，k =- =1， i=3，∴f （x ） min =f （ ）=故选：C．构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出实数t 的最大值．本题给出关于x的不等式恒成立，求参数t 的取值范围．着重考查了利用导数求出函数的最值和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．10. 【答案】A【解析】【分析】求函数的导数和定义域，函数f（x）存在极值点等价为f′（x）=0，在（0，+∞）上有变号根，构造二次函数，结合二次函数的性质进行求解即可．本题主要考查函数极值和导数的关系，求函数的导数，将条件转化为f′（x）=0 ，在（0，+∞）上有变号根，构造二次函数，利用二次函数的性质进行求解是解决本题的关键．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=- -1+ = =- ，若函数存在极值点，则f′（x）=0，则在（0，+∞）上有解，即x2-ax+1=0 ，则在（0，+∞）上有变号根，设h（x）=x2-ax+1，则满足，即得a>2，即实数 a 的取值范围是（2，+∞），故选：A．11. 【答案】B【解析】解：设g（x）=f2（x）- x，∴g′（x）=2f（x）f'（x）- >0，∴g（x）在R 上单调递增，∵g（2）=f2（2）- =2- = ，∴g（x）< g（2），∴x<2，故选：B．构造函数g（x）=f2（x）- x，利用导数求出，根据导数和函数的单调性即可求出不等式的解集本题考查了导数和函数的单调性的关系，关键是构造函数，属于中档题12. 【答案】B【解析】解：设椭圆右焦点为则四边形AMBF 是平行四边形，∴AF+BF=AF+AM=2a，∵AF⊥BF，∴AB=2OF=2c，∵sin ∠FAB= ， ∴cos ∠FAB= ，故选： B ．根据直角三角形的性质可知 AB=2c ，根据锐角三角函数的定义得出 AF ，BF 的长，而 AF +BF =2a ，从而得出 a ，c 的关系，求出离心率． 本题考查了椭圆的定义，性质，属于中档题．13. 【答案】 -e -x【解析】 解：函数 y=e -x 的导数 y'=-e -x ， 故答案为： -e -x 根据复合函数的求导法则计算即可 本题考查复合函数的求导法则，属于基础题14. 【答案】 36【解析】 解：由分层抽样方法得： ，解得 n=36，故答案为： 36． 由分层抽样的方法，按比例抽样即可得解． 本题考查了分层抽样的方法，属简单题．【解析】 解：由题意可得在区间 [0， 1]上随机取 一个数 x ，在区间 [0 ，2] 上随机取一个数 y ，所围 成的面积为 2，其中 x+y ≤1成立的面积为 ， 故要使 x+y ≤1成立的概率为 ， 故答案为：根据几何概型的概率公式计算即可 本题考查了几何概型的概率问题，属于基础题 16.【答案】 -1【解析】 解：函数 y=2 x 2+4 x 的导数 y ′ =4x+4， 曲线 C 1 在点 P （x 1，2x 12+4x 1）的切线方程是： y-（2x 12+4x 1）=（4x 1+4）（ x-x 1）， 即 y=（4x 1+4）x-2x 12 ① 函数 y=-2x 2+m 的导数 y ′=-4x ，曲线 C 2 在点 Q （x 2，-2x 22+m ）的切线方程是 即 y-（ -2x 22+m ） =-4x 2（ x-x 2）．2y=-4x 2x+2x 2 +m ．②AF =ABcos ∠FAB =，∴BF=ABsin ∠FAB= ， 15.【答案】如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l 的方程，22 4x1+4=-4x2，即x1+1=-x2且-2x12=2x22+m．消去x2 得方程4x12+4x1+2+m=0．则判别式△=16-4×4（2+m）=0 时，即m=-1 ，法2：若抛物线和有且仅有 1 条公切线，则两条抛物线相切，即2x2+4x=-2x2+m 只有一个解，即4x2+4x-m=0，则判别式△=16+16m=0，得m=-1 ，故答案为：-1法1：先分别求出各自在某点处的切线，然后根据是公切线建立等量关系，要使C1 和C2有且仅有一条公切线，可利用判别式进行判定法2：抛物线若只有一条公切线，等价为两条抛物线相切，利用判别式△=0 进行求解即可．本题主要考查导数的几何意义的应用，结合抛物线相切求出切线方程或者转化为抛物线相切是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）曲线f（x）=x3-3ax+2 可得：f′ （x）=3x2-3a，曲线f（x）=x3-3ax+2 在x=1 处切线方程为3x+y+m=0．可得3-3a=-3 ，解得a=2，曲线f（x）=x3-6x+2，x=1 则y=-3 ，（1，-3）代入3x+y+m=0，解得m=0 ．（2）曲线f（x）= x3-6x+2 可得：f′（x）=3x2-6=0 ，解得x=± ，只有x= [1，2]，因为f（1）=-3，f（2）=-2，f（）=2-4 ，所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值2-4 ，最大值-2．出a，求出切点坐标代入切线方程即可求m 的值；（2）求出函数的导数，求出极值点，求解极值以及函数的端点值，然后求解函数解析】（1）求出函数的导数，利用切线的斜率求f（x）在区间[1，2]上的最值．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．18.【答案】解：．∴用电量y关于气温x 的线性回归方程为y= ；（2）这5天中用电量低于10（度）的有 2 天，分别记为A，B；高于10（度）的有 3 天，分别记为a，b，c．在这5天中随机抽取 2 天，基本事件总数为（A，B），（A，a），（A，b），（A，c），（B，a），（B，b），（B，c），（a，b），（a，c），（b，c）共10 种．其中至少有一天用电量低于10（度）的有7 种，则在这 5 天中随机抽取 2 天，至少有一天用电量低于10（度）的概率为．【解析】（1）由已知表格中的数据求得，，则回归方程可求；（2）直接利用枚举法取随机事件的概率．本题考查线性回归方程的求法，考查利用枚举法求随机事件的概率，考查计算能力，是中档题．19. 【答案】解：（1）在△ABC 中，∵（2b-c）cosA=acosC，∴由正弦定理可得：2sinBcosA-sinC cosA=sinAcosC，∴化简可得2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，∵sinB> 0，∴得：cosA = ，∵A∈（0，π），∴．（2）∵a=2，，且S△ABC = ，∴ = bcsin A= bc，解得：bc=4，∵由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得：4=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-12，∴解得：b+ c=4．【解析】（1）由条件利用正弦定理可得2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC，利用两角和的正弦公式化简求得cosA 的值，结合 A 的范围可求 A 的值．（2）由已知利用三角形的面积公式可求bc=4，由余弦定理即可解得b+c 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式的应用，考查了转化思想，属于基础题．20. 【答案】（1）证明：∵PD⊥平面BCD，BC? 平面BCD ，∴PD ⊥BC，∵四边形ABCD 是矩形，∴BC ⊥CD ，又PD∩CD =D ，∴BC ⊥平面PCD ，又DE? 平面PCD，∴BC ⊥DE ，∵PD =CD ，E 是 PC 的中点，∴DE ⊥PC ，又 PC ∩BC=C ， ∴DE ⊥平面 PBC ，∵DE? 平面 DEF ，∴平面 DEF ⊥平面 PBC ．（ 2）解： ∵PD ⊥平面 ABCD ，∴∠PBD 为直线 BP 与平面 ABCD 所成角，∴tan ∠PBD = = ，∴BD =2 ，∴AD = =4，PB= =2 ，∵PD =CD =2， E 是 PC 的中点， ∴PC=2 ，PE= ， 由（ 1）知 BC ⊥平面 PCD ，∴BC ⊥PC ， 又 EF ⊥PB ， ∴Rt △PEF ∽Rt △PBC ，∴ ，即 ，解得 PF = ，以 D 为坐标原点，以 DA ，DC ，DP 为坐标轴建立空间直角坐标系 D-xyz ，∵DP ⊥平面 ABCD ，∴=（0，0，1）为平面 ABCD 的一个法向量， cos < > = = = ． 故平面 DEF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为 ．【解析】 （1）证明 BC ⊥平面 PCD 得出 DE ⊥BC ，结合 DE ⊥PC 得出 DE ⊥平面 PBC ，故 而平面 DEF ⊥平面 PBC ；（ 2）计算 AD ，建立空间坐标系求出两平面的法向量， 计算法向量的夹角得出二面角的大小．本题考查了面面垂直的判定， 空间向量与二面 角的计算，属于中档题．21. 【答案】 解：（ 1）在椭圆中，点 A ，F 分别为椭圆的左顶点和右焦点，已知离心率为 ，且 A 在直线 x+ y+2=0 上．则 D （ 0， 0，0）， E （0，1，1）， B （4，2，0），P （0，0，2）， ∴ =（0， 1，1）， =（0，0， 2）， =（4，2，-2），设平面 DEF 的法向量为 =（x ， y ，z ） 令 z=1 可得 =（ -2， -1，1），，则 ，即∴， ∴c=1 ， b= ， ∴ ， ∴c=1，b= ，∴椭圆 C 的方程为 ．证明：（ 2）由（ 1）可得 A （ -2， 0）．当直线 PQ 的斜率不存在时，可得 P （1， ）， 直线 AP 方程为 y= （x+2），令 x=4，得 M （ 4， 3），同理，得 N （4， -3）∵F （1，0）， ∴ =（3，3）， =（ 3， -3）， ∴=0．∴∠MFN=90 °， ∴F 在以 MN 为直径的圆上．当直线 PQ 存在斜率时，设 PQ 方程为 y=k （x-1），P （x 1，y 1）、 Q （x 2，y 2） 由 ，得（ 3+4k 2）x 2-8k 2x+4k 2-12=0 ． 由题意 △> 0，x 1+x 2=直线 AP 方程为 y=（x+2），得 M （4， ），同理， N （4， ）=9-9=0 ，∴∠MFN =90 °， F 在以 MN 为直径的圆上， 综上， F 在以 MN 为直径的圆上．【解析】 （1）由点 A ，F 分别为椭圆的左顶点和右焦点，离心率为，且 A 在直线x+y+2=0 上，列出方程组能求出 a ，b ，c ，由此能求出椭圆 C 的方程． （2）求出 A （-2，0）．当直线 PQ 的斜率不存在时， P （1， ），求出 M （4，3），N （ 4，-3）． F （ 1，0），从而 =（3， 3）， =（ 3，-3）， =0 ．F 在以 MN 为直 径的圆上． 当直线 PQ 存在斜率时， 设 PQ 方程为 y= k （ x-1），P （ x 1，y 1）、Q （x 2，y 2）．由， x 1x 2= ，∴ =9+∵y 1=k （x 1-1）， y 2=k （ x 2-1），=-9．，得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0．求出M（4，），同理N（4，）．=（3，），=（3，），由韦达定理推导出=9+ =0 ，由此能证明 F 在以MN 为直径的圆上．本题考查椭圆方程的求法，考查点在圆上的证明，考查椭圆、直线方程、韦达定理、圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22. 【答案】解：（1）f'（x）= +x-a= ．若a≤0，则当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递减；若0＜a＜1，则当x∈（-1，a-1）或x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（a-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；若a=1，则f'（x）≥0恒成立，当且仅当x=0时取等号，所以f（x）在（-1，+∞）单调递增；若a＞1，则当x∈（-1，0）或x∈（a-1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，a-1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；（2）f（0）=-a-所以当x∈（-1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0， f （x）单调递减；当x=0 时，f（x）取最小值f（0）≥0；所以a∈[- ，+∞）．（3）当a=- 时，f（x）= ≥0? 对任意x∈（-1，+∞）恒成立，当且仅当x=0 时取等号．所以所以对任意的正整数n，，【解析】（1）求出f'（x）并通分、因式分解，发现分子是含参数a 的一元二次不等式，所以分类讨论得到不等式的解集，并确定单调性；（2）恒成立问题都是最值问题，先找特殊点，当x=0 时，ln（x+1）=0 ，所以令x=0，从f（0）≥0中可以得到参数 a 的大致范围，再根据（1）中所求单调性确定最小值；（3）利用（2）的结论，确定ln（x+1 ）的不等式关系，再累加得到结果．本题考查导数的应用，函数的单调性等知识，运用了构造法、裂项求和、分类讨论等方法，属于中档题．。
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中监测数学(理)试题(含解析)
2023-2024学年四川省成都市高二下册期中监测数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．命题“02x ∃>，320020x x -<”的否定为A ．2x ∀>，3220x x -≥B ．2x ∀>，3220x x ->C ．02x ∃<，320020x x -≥D ．02x ∃<，320020x x ->2．已知复数3i3iz -=+，则z 的虚部为A ．45B ．4i5C ．35D ．35i3．函数f （x ）=2ln x －x 2的单调递增区间为A ．（－∞，－1）B ．（1，+∞）C ．（－1，1）D ．（0，1）4．用数学归纳法证明“nn n n ++++++12111 ≥2411（n ∈N *）”时，由n =k 到n =k +1时，不等试左边应添加的项是A ．221121+++k k B ．)2(21+k C ．2111221121+-+-+++k k k k D ．11221121+-+++k k k 5．已知a =（2，0，2），b =（3，0，0）分别是平面α，β的法向量，则平面α，β交线的方向向量可以是A ．（1，0，0）B ．（0，1，0）C ．（0，0，1）D ．（1，1，1）6．设m ∈R ，“m =－1”是“复数z =（m 2－m －2）+（m 2－3m －2）i 为纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件7．下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是①y =cos x ，x ∈R 是三角函数；②三角函数是周期函数；③y =cos x ，x ∈R 是周期函数．A ．①②③B ．②①③C ．②③①D ．③②①8．函数f （x ）的导函数是)(x f '，下图所示的是函数)()1(x f x y '⋅+=（x ∈R ）的图像，下列说法正确的是A ．x =－1是f （x ）的零点B ．x =2是f （x ）的极大值点C ．f （x ）在区间（－2，－1）上单调递增D ．f （x ）在区间[－2，2]上不存在极小值9．若函数y =f （x ）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y =f （x ）具有T 性质．下列函数中具有T 性质的是A ．y =sin xB ．y =ln xC ．y =e xD ．y =x 310．设双曲线12222=-by a x （0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）、（0，b ）两点，且原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率A ．2B ．332C ．2和332D ．2和311．作为平面直角坐标系的发明者，法国数学家笛卡尔也研究了不少优美的曲线，如笛卡尔叶形线，其在平面直角坐标系xOy 下的一般方程为x 3+y 3－3axy =0．某同学对a =1情形下的笛卡尔叶形线的性质进行了探究，得到了下列结论，其中错误．．的．是A ．曲线不经过第三象限B ．曲线关于直线y =x 对称C ．曲线与直线x +y =－1有公共点D ．曲线与直线x +y =－1没有公共点12．芯片制作的原料是晶圆，晶圆是硅元素加以纯化，晶圆越薄，成产的成本越低，但对工艺要求就越高．某大学为鼓励更多的有志青年投入到芯片事业中，成立3个科研小组，用A ，B ，C 三种不同的工艺制作芯片原料，其厚度分别为21sin 31=a ，31sin 21=b ，87cos31=c （单位：毫米），则三种芯片原料厚度的大小关系为A ．c ＞b ＞aB ．c ＞a ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．若方程191622=-+-my m x 的图形是双曲线，则实数m 的取值范围是．14．在平面上，点（x 0，y 0）到直线Ax +By +C =0的距离公式为2200||BA C By Ax d +++=，通过类比的方法，可求得：在空间中，点（2，1，－3）到平面x +2y +3z +3=0的距离为．15．如图，在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是棱BC ，CC 1的中点，P 是侧面BB 1C 1C 上一点，若A 1P ∥平面AEF ，则下列说法正确的是．①线段A 1P 的最大值是25②A 1P ⊥B 1D③A 1P 与DE 一定异面④三棱锥B －A 1PC 1的体积为定值16．若实数a ，b 能使不等式x ln x －a ln x ≥x +b 对任意x ∈R +恒成立，则ab的取值范围是是．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（本题满分10分）设F 为抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若线段AB 的中点D 的横坐标为1，︱AB ︱=3．求点D 到抛物线C 的准线的距离和抛物线C 的方程．18．（本题满分12分）已知函数f （x ）=ax 2－1－2ln x ，a ∈R ．（1）当a =1时，求证：f （x ）≥0；（2）若函数f （x ）有两个零点，求实数a 的取值范围．19．（本题满分12分）已知函数f （x ）=21ax 2+（2a －1）x －2ln x ．（1）当a =1时，求在点（2，f （2））处的切线方程；（2）当a ＞0时，求证：f （x ）≥a254-．20．（本题满分12分）已知四棱锥P －ABCD 中，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，PA =2AD =2，PD =5．（1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若AB =BC =2，PB =22，线段PC 上是否存在一点G ，使二面角G －AD －P 的余弦值为552？若存在，求出PC PG 的值；若不存在，请说明理由．21．（本题满分12分）设函数f （x ）=（x －1）3－ax +b ，x ∈R ，其中a ，b ∈R ．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若f （x ）存在极值点x 0，且f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，求x 1+2x 0的值．22．（本题满分12分）如图，A 、F 是椭圆C ：12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左顶点和右焦点，P 是C 上在第一象限内的点．（1）若P （1，23），FP ⊥x 轴，求椭圆C 的方程；（2）若椭圆C 的离心率为e （21＜e ＜1），0=⋅PF P A ，求直线PA 的倾斜角θ的正弦．OFAxPy试题答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）ACDDBABBAACA二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13．9＜m ＜1614．71415．①④16．（－∞，－1]三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．解：过A 、B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为E 、H ，则根据抛物线的定义，有AF =AE ，BF =BH ，所以AE +BH =AF +BF =AB =3．因此在直角梯形ABHE 中，点D 到抛物线C 的准线的距离232=+=BH AE d ．………………5分设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），根据抛物线的定义有︱AF ︱=︱AE ︱=12x p +，︱BF ︱=︱BH ︱=22x p+，∴︱AF ︱+︱BF ︱=︱AB ︱=p +x 1+x 2=3，而x 1+x 2=2，∴p =1，故抛物线C 的方程y 2=2x ．……………………10分另解：显然直线l 的斜率k 存在且不为0，设方程为2(px k y -=，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立y 2=2px 和2(p x k y -=，消去y ，整理，得04)21(222=++-p x kp x ，∴x 1+x 2=)21(2kp +，x 1x 2=42p ，于是︱AB ︱2=（x 1－x 2）2+（y 1－y 2）2=（1+k 2）[（x 1+x 2）2－4x 1x 2]=9，代入整理，得2p （1+k 2）=3k 2．（1）注意到221(2=+kp ．（2）所以由（1）（2）解得p =1，k =2±，因此，抛物线C 的方程为y 2=2x ．18．（本题满分12分）证明：（1）当a =1时，f （x ）=x 2－1－2ln x （x ＞0），f （1）=0，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='，当x ∈（0，1）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（1，+∞）时，f ′（x ）＞0，∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，当x =1时，函数f （x ）取得最小值，因此f （x ）≥f （1）=0，即f （x ）≥0．……………………6分（2）xax x f 22)(-='，x ＞0，①当a ≤0时，f ′（x ）＜0，函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，至多有一个零点，不符合题意．②当a ＞0时，x a x a x a xax x f )1)(1(222)(-+=-='，可得当x =a1时，函数f （x ）取得最小值．当x →0时，f （x ）→+∞；当x →+∞时，f （x ）→+∞．∵函数f （x ）有两个零点，∴f （x ）min =0ln 1ln211)1(<=--=a aaf ，解得0＜a＜1．∴实数a 的取值范围是（0，1）．……………………12分法二由f （x ）=ax 2－1－2ln x =0，得a =2ln 21x x+．设h (x )=2ln 21xx+，∵f （x ）有两个零点，∴a =h （x ）有两个解．又h ′(x )=342ln 42)ln 21(2x x x xx x x -=⋅+-⋅．由h ′(x )＞0，得ln x ＜0，∴0＜x ＜1；由h ′(x )＜0，得ln x ＞0，∴x ＞1，∴函数h （x ）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h （x ）max =h （1）=1．当x →0时，h （x ）→－∞，当x →+∞时，h （x ）→0，画出h (x )=2ln 21xx+的草图，如图所示，由a =h （x ）有两个解，可知0＜a ＜1，故实数a 的取值范围是（0，1）．19．解：（1）当a =1时，x x x x f ln 221)(2-+=，x ＞0，则xx x f 21)(-+='，2)2(='f ，而f （2）=4－2ln 2，所以在点（2，f （2））处的切线方程为y =2（x －2）+4－2ln 2，即y =2x －2ln 2．……………………4分（2）对f （x ）求导得xx ax x a ax x f )2)(1(2)12()(+-=--+='，x ＞0．当a ＞0时，令f ′（x ）=0⇒x =a 1，所以x ∈（0，a1）时f ′（x ）＜0，所以函数f （x ）单调递减；当x ∈（a1，+∞）时f ′（x ）＞0，所以函数f （x ）单调递增，所以f （x ）min =f （a 1）=221ln 2+-aa ．只需证明221ln 2+-aa ≥a 254-⇔11ln -+aa ≥0（a ＞0）恒成立．设11ln )(-+=x x x g ，x ＞0，则22111)(xx x x x g -=-='，x ＞0．当x ∈（0，1）时，)(x g '＜0，函数g （x ）单调递减；当x ∈（1，+∞）时，)(x g '＞0，函数g （x ）单调递增；所以g （1）=0是g （x ）的极小值，故g （x ）≥g （1）=0，表明11ln -+aa ≥0（a ＞0）恒成立，故f （x ）≥a254-．……………………12分20．解：（1）由已知可知，PB ⊥BC ，BC ∥AD ，所以PB ⊥AD ．因为PA =2AD =2，PD =5，所以PA 2+AD 2=PD 2，所以PA ⊥AD ．所以AD ⊥平面P AB ，而AD ⊂平面ABCD ，所以平面PAB ⊥平面ABCD ．……………………4分（2）由AB =BC =2，PB =22，得PA 2+AB 2=PB 2，所以AB ⊥PA ，说明AB ，AD ，AP 两两垂直，所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示坐标系，则A （0，0，0），D （0，1，0），P （0，0，2），C （2，2，0）．设线段PC 上存在一点G ，即PC PG λ=（0≤λ≤1），使二面角G －AD －P 的余弦值为552，因为PC =（2，2，－2），则PG =（2λ，2λ，－2λ），所以G （2λ，2λ，2－2λ），AG =（2λ，2λ，2－2λ），AD =（0，1，0）．因为AB ⊥平面ADP ，所以平面ADP 的法向量为AB 方向的单位向量b =（1，0，0）．设平面GAD 的法向量a =（x ，y ，z ），则()22220AG a x y z AD a y λλλ⎧⋅=++-+⎪⎨⋅==⎪⎩ ，令z =λ，得a =（λ－1，0，λ），因为二面角G －AD －P 的平面角β为锐角，所以552122|1||||||,cos |cos 2=+--=⋅=><=λλλβb a b a b a ，解得31=λ（舍去负值）．故线段PC 上存在一点G 使二面角G －AD －P 的余弦值为552，此时31=PC PG ．………………12分21．解：（1）由f （x ）求导，可得)(x f '=3（x －1）2－a ．下面分两种情况讨论：①当a ≤0时，有)(x f '≥0恒成立，所以f （x ）的单调递增区间为（－∞，+∞）；②当a ＞0时，令)(x f '=0，解得31ax ±=．当x 变化时，)(x f '，f （x ）的变化情况如下表：x （－∞，31a -）31a -31a -31a +31a +（31a+，+∞）)(x f '+0－0+f （x ）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f （x ）的单调递减区间为31a -31a +，单调递增区间为（－∞，31a-），（31a +，+∞）．……………………6分（2）因为f （x ）存在极值点，所以由（1）知a ＞0，且x 0≠1，由题意，得)(0x f '=3（x 0－1）2－a =0，即a =3（x 0－1）2．进而由f （x 1）=f （x 0），其中x 1≠x 0，得（x 1－1）3－ax 1+b =（x 0－1）3－ax 0+b ⇔（x 1－1）3－（x 0－1）3－ax 1+ax 0=0⇔[（x 1－1）－（x 0－1）][（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2]－a （x 1－x 0）=0⇔（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）+（x 0－1）2－a =0⇔（x 1－1）2+（x 1－1）（x 0－1）－2（x 0－1）2=0⇔[（x 1－1）+2（x 0－1）][（x 1－1）－（x 0－1）]=0⇔（x 1+2x 0－3）（x 1－x 0）=0⇔x 1+2x 0=3． (12)分22．解：（1）由已知可得c =1，所以a 2=b 2+1．又点P （1，23）在椭圆C ：12222=+b y a x 上，所以149122=+ba ．联立，解得a 2=4，b 2=3，因此椭圆C的方程为13422=+y x ．……………………4分（2）由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2=b 2+c 2，ace =．设点P 的坐标为P （x 0，y 0），则),(00y x a P A ---=，),(00y x c PF --=，∵0=⋅PF P A ，∴PF P A ⊥，表明△PAF 是直角三角形，于是0))((2000=+---=⋅y x c x a PF P A ，∴2000020)())((x x a c ac x c x a y --+=-+=．①∵P 是椭圆C 上在第一象限内的点，∵1220220=+by a x ，即22202202b a y a x b =+．②将①代入②得222002202])([b a x x a c ac a x b =--++，即0)()()(22022022=-+-+-b ac a x a c a x a b ，∴0)]())[((20220=-+-+b ac a x a b a x ，由于x 0+a ＞0，∴只有0)()(2022=-+-b ac a x a b ，得2220)(ba b ac a x --=．∵c =ea ，b 2=a 2－c 2，∴222220)1()(ee e a c a c ac a x -+=-+=．③根据椭圆的定义，有002)(||ex a x ca e PF -=-=，而c a AF +=||，∴在Rt △PAF 中，有ca ex a AF PF +-==0||||sin θ．④将③代入④得ee e e e e ae a a ae ae ae c a e e e a e a -=+-=++--=+-+⋅-=1)1(1)()1(sin 2222θ．……………………12分解法二：由题意知A （－a ，0），F （c ，0），a 2=b 2+c 2，ace =，则直线PA 的方程为y =（x +a ）tan θ，20πθ<<．（*）将直线PA 的方程与椭圆方程联立，消去y 后，得（b 2+a 2tan 2θ）x 2+2a 3tan 2θ·x +a 4tan 2θ－a 2b 2=0．（**）OFAxPy因为点A （－a ，0）和P （x 0，y 0）的坐标满足方程（*）和（**），所以，有θθ222230tan tan 2)(a b a a x +-=-+，即θθ2222220tan )tan (a b a b a x +-=，y 0=（x 0+a ）tan θ=θθ2222tan tan 2a b ab +．若0=⋅PF P A ，则PF P A ⊥，表明△PAF 是直角三角形，从而有︱PA ︱2+︱PF ︱2=︱AF ︱2，∴（x 0+a ）2+y 02+（x 0－c ）2+y 02=（a +c ）2，∴x 02+y 02+（a －c ）x 0=ac ．将x 0、y 0代入上式，得222222222)tan ()tan (θθa b a b a +-+2222242)tan (tan 4θθa b b a ++θθ222222tan )tan )((a b a b c a a +--=ac ．去分母，整理，得)2())(()2()(tan 22222222ac a c a c a c a ac b a a c a b +---=+--=θ=2222)()2)(())((a ac c a a c c a a c a c a --=-+-+，将c =ea 代入，得12)1(tan 22--=e e θ⇔12)1(sin 1sin 222--=-e e θθ⇔222)1(sin e e -=θ，于是e e -=1sin θ．解法三：过P 作PQ ⊥x 轴于Q ，设P （x 0，y 0），则有︱AF ︱=a +c ．∵0=⋅PF P A ，∴PA ⊥PF ，得︱PA ︱=︱AF ︱·cos θ=（a +c ）cos θ，︱PF ︱=（a +c ）sin θ．由︱PA ︱2=︱AF ︱·（a +x 0），得（a +c ）2cos θ=（a +x 0），∴a +x 0=（a +c ）cos 2θ⇒x 0=（a +c ）cos 2θ－a ．根据椭圆的定义有，002)(||ex a x ca e PF -=-=，而c a AF +=||，∴sin θ=ca ex a +-0，即a －ex 0=（a +c ）sin θ⇒]sin )([10θc a a e x +-=，∴a c a c a a e--+=+-)sin 1)((]sin )(12θθ由ac e =，得c =ea 代入上式，整理得e sin 2θ－sin θ+1－e =0，显然sin θ≠1，所以，得sin θ=e e -1．O F A x Py Q。
2023_2024学年四川省成都高二下册期中考试数学(理)试题(附答案)
2023_2024学年四川省成都高二下册期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知为虚数单位，复数，则（ ）i 1ii z -=z =A ．1B C D ．2【正确答案】B【分析】由复数的四则运算可得，再由复数模的计算公式求解即可.1i z =--【详解】解：因为，21i (1i)i(i i )1i i i i z --⋅===--=--⋅.=故选：B.2．如图茎叶图记录了甲乙两位射箭运动员的5次比赛成绩（单位：环），若两位运动员平均成绩相同，则运动员乙成绩的方差为（ ）A ．2B ．3C ．9D ．16【正确答案】A【分析】根据甲、乙二人的平均成绩相同求出x 的值，再根据方差公式求出乙的方差即可.【详解】因为甲乙二人的平均成绩相同，所以，解得，8789909193888990919055x+++++++++=2x =故乙的平均成绩，8889909192905++++=则乙成绩的方差.222222[(8890)(8990)(9090)(9190)(9290)]25s -+-+-+-+-==故选：A.3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>20x y -=C 为（ ）A ．2B C D 【正确答案】D【分析】先求得，进而求得双曲线的离心率.ba 【详解】依题意，双曲线的一条渐近线方程为，20,2x y y x -==所以.2,b c e a a =====故选：D4．已知m ，n 表示两条不同的直线，表示平面．下列说法正确的是（ ）αA ．若，，则B ．若，，则m α n α∥m n ∥m α⊥n α⊥m n ∥C ．若，，则D ．若，，则m α⊥m n ⊥n α∥m α m n ⊥n α⊥【正确答案】B【分析】根据空间直线与平面间的位置关系判断．【详解】对于A ，若，，则m 与n 相交、平行或异面，故A 错误；m α n α∥对于B ，若，，由线面垂直的性质定理得，故B 正确；m α⊥n α⊥m n ∥对于C ，若，，则或，故C 错误；m α⊥m n ⊥n α∥n ⊂α对于D ，若，，则n 与相交、平行或，故D 错误．m α m n ⊥αn ⊂α故选：B ．5．“”是“直线与直线平行”的（ ）4m =()34420m x y -+-=220mx y +-=A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】C 【分析】由直线与直线平行可求得的值，集合充分条()34420m x y -+-=220mx y +-=m 件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线与直线平行，()34420m x y -+-=220mx y +-=则，解得.()()23442342m m m m ⎧-=⎪⎨--≠-⎪⎩4m =因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件.4m =()34420m x y -+-=220mx y +-=故选：C.6．执行该程序框图，若输入的、分别为、，则输出的（ ）a b 3528=aA ．B ．C ．D ．171428【正确答案】B【分析】根据程序框图列举出循环的每一步，即可得出输出结果.【详解】第一次循环，，，成立，成立，则；35a =28b =a b ¹a b >35287a =-=第二次循环，，，成立，不成立，则；7a =28b =a b ¹a b >28721b =-=第三次循环，，，成立，不成立，则；7a =21b =a b ¹a b >21714b =-=第四次循环，，，成立，不成立，则.7a =14b =a b ¹a b >1477b =-=，则不成立，跳出循环体，输出的值为.7a b ==a b ¹a 7故选：B.7．函数的图像大致是（ ）()()22e xf x x x =-A ．B ．C ．D ．【正确答案】B 【分析】由函数有两个零点排除选项A ，C ；再借助导数探讨函数的单调性与极值()f x ()f x 情况即可判断作答．【详解】由得，或，选项A ，C 不满足，即可排除A ，C ()0f x =0x =2x =由求导得，()()22e xf x x x =-()()22e xx x f '=-当或，x <x()0f x ¢>当时，，x <()0f x'<于是得在和上都单调递增，在上单调递减，()fx (,-∞)+∞(所以在处取极大值，在D 不满足，B 满足．()f x x =x =故选：B8．已知曲线(为参数).相交于不同的两点，1cos :sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩θy+=C ,A B则的值为ABA ．BC ．1D 12【正确答案】C【详解】分析：消参求出曲线C 的普通方程：，再求出圆心到直线的距22(1)1x y -+=(1,0)离，则弦长d AB =详解：根据 ，求出曲线C 的普通方程为，22cos sin 1θθ+=22(1)1x y-+=圆心到直线的距离，所以弦长，选C.(1,0)d AB ==点睛：本题主要考查将参数方程化为普通方程，直线与圆相交时，弦长的计算 ，属于中档题．9．过椭圆：右焦点的直线：交于，两点，为C ()222210x y a b a b +=>>F l 20x y --=C A B P 的中点，且的斜率为，则椭圆的方程为（ ）AB OP 12-C A ．B ．22184x y +=22195x y +=C ．D ．22173x y +=221106x y +=【正确答案】A【分析】由与x 轴交点横坐标可得半焦距c ，设出点A ，B 坐标，利用点差法求出的关l 22,a b 系即可计算作答.【详解】依题意，焦点，即椭圆C 的半焦距，设，，(2,0)F 2c =1122(,),(,)A x y B x y 00(,)P x y 则有，两式相减得：，2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩2212121212()()a ()()0b x x x x y y y y +-++-=而，且，即有，1201202,2x x x y y y +=+=0012y x =-2212122()()0b x x a y y --+-=又直线的斜率，因此有，而，解得，经验证符l 12121y y x x -=-222a b =2224a b c -==228,4a b ==合题意，所以椭圆的方程为.C 22184x y +=故选：A10．赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设，22DF AF ==若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是A ．B C．D 413926【正确答案】A【分析】根据几何概率计算公式，求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可．【详解】在中，，，，由余弦定理，得ABD ∆3AD =1BD =120ADB ∠=︒，AB ==所以DF AB所以所求概率为.24=13DEF ABC S S ∆∆=故选A.本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．11．如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，P ABCD -ABCD PA ⊥ABCD 2PA AB ==，为的中点，则面与直线所成角的余弦值为（ ）4=AD EPC PCD BE A ．BCD35【正确答案】D【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标A AB AD AP x y z 系，利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得面与直线所成角的余弦值.PCD BE 【详解】因为平面，四边形为矩形，PA ⊥ABCD ABCD 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角A AB AD AP x y z 坐标系，则、、、、，()2,0,0B ()2,4,0C ()0,4,0D ()002P ,,()1,2,1E 设平面的法向量为，，，PCD (),,n x y z =()2,0,0DC =u u u r()0,4,2DP =-u u u r则，取，可得，，20420n DC x n DP y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩1y =()0,1,2n = ()1,2,1BE =- 所以，cos ,BE n BE n BE n⋅===⋅所以，，sin ,BE n === 因此，面与直线PCD BE 故选：D.12．已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是()ln 1f x x ax=+-1x 2x 12x x <（ ）①；②；③；④；01a <<122x x a +<121x x ⋅>2111x x a ->-A ．个B ．个C ．个D ．个1234【正确答案】C 【分析】由可得，设，其中，则直线与函数()0f x =1ln x a x +=()ln 1x g x x +=0x >y a =的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构()g x ()g x 造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分()()2h x f x f x a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭10x a <<()h x 析出、，利用不等式的基本性质可判断④.1211e x x <<<1210x x a <<<【详解】由可得，令，其中，()0f x =ln 1x a x +=()ln 1x g x x +=0x >则直线与函数的图象有两个交点，，y a =()g x ()2ln xg x x '=-由可得，即函数的单调递增区间为，()0g x '>01x <<()g x ()0,1由可得，即函数的单调递减区间为，()0g x '<1x >()g x ()1,+∞且当时，，当时，，如下图所示：10e x <<()ln 10x g x x +=<1e x >()ln 10x g x x +=>由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对；01a <<y a =()g x 对于②，由图可知，，1211e x x <<<因为，由可得，由可得，()11ax f x a x x -'=-=()0f x ¢>10x a <<()0f x '<1x a >所以，函数的增区间为，减区间为，则必有，()f x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭1210x x a <<<所以，，则，110x a <<121x a a ->令，其中，()()222ln ln h x f x f x x a x x ax a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=----+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭10x a <<则，则函数在上单调递减，()212112022a x a h x a x x x x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭'=-+=<⎛⎫-- ⎪⎝⎭()h x 10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，即，即，()110h x h a ⎛⎫>= ⎪⎝⎭()1120f x f x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭()112f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭又，可得，()20f x =()212f x f x a ⎛⎫<- ⎪⎝⎭因为函数的单调递减区间为，则，即，②错；()f x 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭212x x a >-122x x a +>对于③，由，两式相加整理可得，1122ln 1ln 1ax x ax x =+⎧⎨=+⎩()1212ln 22x x x x a a ++=>所以，，可得，③对；()12ln 0x x >121x x >对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对.1211e x x <<<11x ->-21x a >2111x x a ->-故选；C.证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法：（1）证明（或）：122x x a +<122x x a +>①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调()()()2g x f x f a x =--()y f x =()y g x =性；②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得12x a x <<()()12f x f x =()1g x ()g a 与零进行大小比较；()()()()()1112122g x f x f a x f x f a x =--=--③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；()y f x =(),a +∞2x 12a x -（2）证明（或）（、都为正数）：212x x a <212x x a >1x 2x ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性；()()2a g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()y f x =()y g x =②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得12x a x <<()()12f x f x =()1g x ()g a 与零进行大小比较；()()()2211211a a g x f x f f x f x x ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题；()y f x =(),a +∞2x 21a x （3证明极值点偏移：121212ln ln 2x x x xx x -+<<-①由题中等式中产生对数；②将所得含对数的等式进行变形得到；1212ln ln x x x x --③利用对数平均不等式来证明相应的问题.二、填空题13．已知函数，则______．()sin cos f x x x=+π4f ⎛⎫'=⎪⎝⎭【正确答案】0【分析】求出，代值计算可得出的值.()f x 'π4f ⎛⎫' ⎪⎝⎭【详解】因为，则，故.()sin cos f x x x =+()cos sin f x x x '=-πππcos sin 0444f ⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭故答案为.014．天府绿道是成都人民朋友圈的热门打卡地，经统计，天府绿道旅游人数x （单位：万人）与天府绿道周边商家经济收入y （单位：万元）之间具有线性相关关系，且满足回归直线方程为，对近五个月天府绿道旅游人数和周边商家经济收入统计如下表：ˆ12.60.6yx =+x23 3.5 4.57y26384360a则表中的值为___________.a 【正确答案】88【分析】根据样本平均值满足回归直线方程求解.【详解】样本平均值满足回归直线方程，x 的平均值为，23 3.5 4.5745++++=则y 的平均值，解得，2638436012.640.65a++++=⨯+88a =故88.15．已知函数f （x ）＝e x +ax ﹣3（a ∈R ），若对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2，都有成立，则a 的取值范围是 __.()()()211212x f x x f x a x x -<-【正确答案】（﹣∞，3]【分析】原不等式等价于，构造，由函数单调性的定义()()1212f x af x a x x ++＜()()f x a h x x+=可知，h （x ）在[1，+∞）上单调递增，即有h '（x ）≥0在[1，+∞）上恒成立，亦即a ﹣3≤xe x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，构造g （x ）＝x e x ﹣e x ，由导数求解函数g （x ）的最小值，即可得到a 的取值范围.【详解】原不等式等价于,令，则不等式等价于h （x 1）()()1212f x af x a x x ++＜()()f x a h x x+=＜h （x 2）对于任意的x 1，x 2∈[1，+∞）且x 1＜x 2都成立，故函数h （x ）在[1，+∞）上单调递增，又函数f （x ）＝e x +ax ﹣3，则，所以h '（x ）在()e 3x ax a h x x +-+=2e e 30x x x a x -+-=≥[1，+∞）上恒成立，即x e x ﹣e x +3﹣a ≥0在[1，+∞）上恒成立，即a ﹣3≤x e x ﹣e x 在[1，+∞）上恒成立，令g （x ）＝x e x ﹣e x ，因为g '（x ）＝x e x ＞0在[1，+∞）上恒成立，所以g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则g （x ）≥g （1）＝0，所以a ﹣3≤0，解得a ≤3，所以实数a 的取值范围是（﹣∞，3].故（﹣∞，3].16．已知点为抛物线的焦点，，点为抛物线上一动点，当最小时，F 28y x =()2,0M -N NFNM 点恰好在以、为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为______．N M F【正确答案】2+【分析】作出图形，分析可知与抛物线相切时，取最小值，设直线的方MN 28y x =NFNM MN 程为，将该直线的方程与抛物线的方程联立，求出的值，进而可求出点的坐2x my =-m N 标，利用双曲线的定义求出的值，结合的值可得出，即为所求.a c 22221b c a a =-【详解】抛物线的焦点为，其准线为，如下图所示：28y x =()2,0F :2l x =-过点作，垂足为点，由抛物线的定义可得，N NE l ⊥E NF NE=易知轴，则，//EN x NMF MNE ∠=∠所以，，cos cos NF NEMNE NMF MN MN==∠=∠当取最小值时，取最大值，此时，与抛物线相切，NF NMNMF ∠MN 28y x =设直线的方程为，联立可得，MN 2x my =-228x my y x =-⎧⎨=⎩28160y my -+=则，解得，264640m ∆=-=1m =±由对称性，取，代入可得，解得，代入直线的1m =28160y my -+=28160y y -+=4y =MN 方程可得，即点，2x y =-2x =()2,4N 则224NF =+==设双曲线的标准方程为，()222210,0x y a b a b -=>>由双曲线的定义可得，所以，，24a MN NF =-=-)21a =又因为，则，2c =1c a ==所以，.)222221112b c a a =-=-=+故答案为.2+三、解答题17．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以原点O 为极点，x122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设，求的值.()2,0M MA MB【正确答案】，0y --=24y x=(2)323【分析】（1）根据直线参数方程消掉参数t 即可得到直线的普通方程；（2）由直线参数方程中t 的几何意义即可求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴消去t 可得直线l 的普通方程为.0y --=∵曲线C 的极坐标方程为，即，2sin 4cos 0ρθθ-=22sin 4cos 0ρθ-ρθ=又∵，，cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为.24y x =（2）将（t 为参数）代入，122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24y x =得，显然，即方程有两个不相等的实根，238320t t --=0∆>设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是，，1t 2t 则，，1283t t +=12323t t =-∴.12323MA MB t t ==18．已知函数，若曲线在处的切线方程()32f x x x ax b=-++()y f x =()()0,0f 为．1y x =-+(1)求，的值；a b (2)求函数在上的最小值．()y f x =[]22-,【正确答案】(1)；1a =-1b =(2)9-【分析】（1）根据函数的切线方程即可求得参数值；（2）判断函数在上单调性，进而可得最值.[]22-,【详解】（1）由已知可得．()01f b ==又，()232f x x x a'=-+所以．()01f a '==-（2）由（1）可知，，()321f x x x x =--+()2321f x x x '=--令，解得或，()0f x ¢>13x <-1x >所以在和上单调递增，在上单调递减．()f x 12,3⎡⎫--⎪⎢⎣⎭[]1,21,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭又，，()29f -=-()10f =所以函数在上的最小值为．()y f x =[]22-,9-19．某校组织全体学生参加“数学以我为傲”知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50），[50，60），[60，70），……，[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，求两人都在[90，100]的概率．【正确答案】(1)70.5(2)110【分析】（1）根据频率分布直方图直接代入平均数的计算公式即可求解；（2）根据分层抽样在分组中抽取的人数为人，在分组中抽取的[)80,9015531015⨯=+[]90,100人数为2人，利用古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】（1）由频率分布直方图的数据，可得这100名学生得分的平均数：分．()450.01550.015650.02750.03850.015950.011070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）在和两组中的人数分别为：100×(0.015×10)=15人和100×(0.01×10)=10[)80,90[]90,100人，所以在分组中抽取的人数为人，记为a ，b ，c ，[)80,9015531015⨯=+在分组中抽取的人数为2人，记为1，2，[]90,100所以这5人中随机抽取2人的情况有：，共10种取法，()()()()()()()()()(){},,,1,2,1,2,1,2,12ab ac bc a a b b c c Ω=其中两人得分都在的情况只有，共有1种，[]90,100(){}12所以两人得分都在的概率为．[]90,100110P =20．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形ADPQ 是梯形，，平面ABCD ，且．PD//QA PD ⊥22PD QA ==(1)求证：平面QAB ；BC ⊥(2)求平面PBQ 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．【正确答案】(1)证明见解析【分析】（1）由平面ABCD ，，可得平面ABCD ，进而得到，PD ⊥PD//QA QA ⊥QA BC ⊥结合，进而得证；BC AB ⊥（2）以为轴，为轴，为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出平面DA x DC y DP z D 与平面的法向量，根据两面的法向量即可求解．PBQ PCD 【详解】（1）证明：∵平面ABCD ，，PD ⊥PD//QA ∴平面ABCD ．QA ⊥∵平面ABCD ，BC ⊂∴．QA BC ⊥在正方形ABCD 中，，BC AB ⊥又，AB ，平面QAB ，AB QA A ⋂=QA ⊂∴平面QAB ．BC ⊥（2）建立空间直角坐标系如图：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DP 为z 轴，D为原点，则有，，，，，()2,2,0B ()002P ,,()2,0,1Q ()0,2,1QB =-()2,0,1PQ =-设平面PBQ 的一个法向量为，(),,m x y z =则有，得，00m QB m PQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020y z x z -=⎧⎨-=⎩令，则，，，2z =1x =1y =()1,1,2m = 易知平面PCD 的一个法向量为，()1,0,0n =r设平面PBQ 与平面PCD 所成二面角的平面角为，α则cos m n m n α⋅===⋅ 即平面PBQ 与平面PCD21．已知椭圆、，为的()2222:10x y Ca b a b +=>>1F 2F P C 上顶点，且的周长为12PF F △4+(1)求椭圆的方程；C (2)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为()0,2M l C A B AOB ∠O 坐标原点），求直线的斜率的取值范围．l k【正确答案】(1)2214x y +=(2)2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭【分析】（1）由椭圆的定义以及离心率可得出、的值，进而可求得的值，由此可得出椭a c b 圆的方程；C （2）分析可知直线的斜率存在，设直线的方程为，设、，将l l 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，由结合可求得的取值l C 0∆>0OA OB ⋅>k 范围.【详解】（1）设椭圆的半焦距为．C c 因为的周长为①12PF F △1212224PF PF F F ac ++=+=+因为椭圆②C ca=由①②解得，，所以椭圆的方程为．2a =c 1b ==C 2214x y +=（2）若直线轴，此时，直线为轴，则、、三点共线，不合乎题意，l x ⊥l y A O B 设直线的方程为，设、，l 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立，()22221141612042x y k x kx y kx ⎧+=⎪⇒+++=⎨⎪=+⎩，解得，()()()222Δ164411216430k k k =-+⨯=->234k >由韦达定理可得，，1221641kx x k +=-+1221241x x k =+则，()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++又为锐角，、、不共线，则，AOB ∠A O B cos 0AOB ∠>即()()()22221212121221213216412441k k k OA OB x x y y k x x k x x k +-++⋅=+=++++=+ ，解得，所以，，解得，22164041k k -=>+204k <<2344k <<2k -<<2k <<所以实数的取值范围为．k 2,2⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭方法点睛：圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略：（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.22．已知函数.()2ln f x x x ax a=-+（1）若，求的取值范围；()f x a ≤a （2）若存在唯一的极小值点，求的取值范围，并证明.()f x 0x a ()0210a f x -<<【正确答案】（1）（2）；证明见解析；1[,)e +∞12a <【分析】（1）可利用分离参数法，将问题转化为恒成立，然后研究的单调ln xa x ≥ln ()x g x x =性，求出最大值； （2）通过研究在内的变号零点，单调性情况确定唯一极小值点；若不能直接确()f x '()0,∞+定的零点范围及单调性，可以通过研究的零点、符号来确定的单调性，和()f x '()g x '()f x '特殊点（主要是能确定符号的点）处的函数值符号，从而确定的极值点的存在性()f x '()f x 和唯一性．【详解】(1)的定义域为.()f x ()0,∞+由，得在恒成立，()f x a≤ln xa x ≥()0,x ∈+∞转化为maxln ()x a x ≥令，则，ln ()x g x x =21ln ()xg x x -'=∴在单调递增，在单调递减，ln ()xg x x =()0,e (),e +∞∴的最大值为，∴.()g x 1(e)g e =1a e ≥∴的取值范围是.a 1[,)e +∞(2)设，则，，.()()g x f x '=()ln 12g x x ax=+-1()2g x a x '=-0x >①当时，恒成立，在单调递增，a<0()0g x '>()g x ()0,∞+又，()1120g a =->212121()21122(1)0a a a g e a ae a e ---=-+-=-<所以存在唯一零点.()g x ()10,1x ∈当时，，()10,x x ∈()()0f xg x '=<当时，.()1,1x x ∈()()0f xg x '=>所以存在唯一的极小值点.()f x 01x x =②当时，，在单调递增，，0a =()ln 1g x x =+()g x ()0,∞+1(0g e =所以在有唯一零点.()g x ()0,∞+1e 当时，，1(0,)∈x e ()()0f x g x '=<当时，.1(,1)x e ∈()()0f x g x '=>所以存在唯一的极小值点.()f x 01x e =③当时，令，得；0a >()0g x '>1(0,)2x a ∈令，得，()0g x '<1(,)2x a ∈+∞∴在单调递增，在单调递减，()g x 1(0,2a 1(,)2a +∞所以的最大值为()g x 1()ln(2)2g a a=-④当时，，，，102a <<1()0g e <()1120g a =->1()02g a >21212()212(110l 1n g a a aa a =-+-<--+-=-<(或用)11111()20aag eae a --=-<由函数零点存在定理知：在区间，分别有一个零点，()g x ()0,1()1,+∞2x 3x 当时，；()20,x x ∈()()0f xg x '=<当时，；()23,x x x ∈()()0f xg x '=>所以存在唯一的极小值点，极大值点.()f x 02x x =3x ⑤当时，，12a ≥102g a ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭()()0f x g x '=≤所以在单调递减，无极值点.()f x ()0,∞+由①②④可知，a 的取值范围为，1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭当时，；()00,x x ∈()0f x '<所以在单调递减，单调递增.()f x ()00,x ()0,1x 所以.()0(1)0f x f <=由，得.()000ln 120f x x ax '=+-=00ln 21x ax =-所以20000ln ()f x x ax ax =-+2000(21)x ax ax a=--+200ax a x =+-2000()(21)1f x a ax a x --=--+，[]00(1)(1)1x a x =-+-21/21因为，，0(0,1)x ∈1,2a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭所以，010x -<()01112102a x +-<⨯-=所以，即；()0(21)0f x a -->()021f x a >-所以.()0210a f x -<<本题通过导数研究函数的零点、极值点的情况，一般是先研究导函数的零点、单调性，从而确定原函数的极值点存在性和个数．同时考查学生运用函数思想、转化思想解决问题的能力和逻辑推理、数学运算等数学素养．。
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2018-2019学年四川省蓉城名校联盟高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．()223i -=（ ） A ．1312i + B ．1312i -C ．512i -+D ．512i --【答案】D【解析】根据复数的乘法运算法则计算可得结果. 【详解】()22234129512i i i i -=-+=--.故选：D . 【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题.2．已知命题p 为x R ∀∈，25220x x -+≥，则命题p 的否定为（ ） A ．x R ∀∈，25220x x -+< B ．x R ∀∈，25220x x -+≤ C ．x R ∃∈，25220x x -+< D ．x R ∃∈，25220x x -+≤【答案】C【解析】根据含全称量词命题的否定的定义可直接得到结果. 【详解】由含全称量词的否定的定义可得命题p 的否定为：x R ∃∈，25220x x -+<. 故选：C . 【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.3．曲线2y x =与x 轴及直线2x =所围成的图形的面积为（ ）A ．83B ．43C ．34D ．12【答案】A【解析】根据定积分的几何意义将所围图形面积转化为定积分求解. 【详解】依题意所围图形面积为22321833x dx x==⎰故选：A【点睛】本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积，属于基础题.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱长为（）A．5B．10C．13D．32【答案】C【解析】根据三视图知几何体为三棱锥，勾股定理求出最长棱长.【详解】根据三视图知几何体为三棱锥，其中1,3,3AC BC DC===，且,,AC BC BC CD DC CA⊥⊥⊥，该几何体的最长棱长为222313BD=+=故选：C【点睛】本题考查根据三视图还原几何体，属于基础题.5．函数()222cos sinf x x x=+的最小正周期为（）A．2πB．πC．32πD．2π【答案】B【解析】利用同角三角函数的平方关系及降幂公式化简函数解析式，ω的值代入周期计算公式即可得解。
【详解】因为()213cos 1cos 222f x x x =+=+，所以()f x 的最小正周期为22ππ=. 故选：B 【点睛】本题考查同角三角函数的平方关系及降幂公式，余弦型函数的周期性，属于基础题. 6．如图是函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象，下列说法正确的是（ ）A ．1x =-是函数()y f x =的极小值点B ．1x =是函数()y f x =的极大值点C ．函数()y f x =在()1,+∞上是减函数D ．函数()y f x =在()2,2-上是增函数 【答案】D【解析】根据导函数的符号可确定()f x 的单调性，结合极值点的定义可确定正确结果. 【详解】由图象可知，当()2,2x ∈-时，()0f x '≥；当()2,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x ∴在()2,2-上单调递增，在()2,+∞上单调递减，可知C 错误，D 正确； 1x ∴=-和1x =不是函数的极值点，可知,A B 错误.故选：D . 【点睛】本题考查根据导函数图象与原函数之间的关系，涉及到极值点的定义的应用，属于基础题.7．已知直线a 、b ，平面α、β，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，b α⊂，则//a αB ．若//a b ，a α⊂，b β⊂，则//αβC ．若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，则//αβD ．若a b ⊥r r，b α⊥，a α⊄，则//a α【答案】D【解析】根据线面平行、面面平行的判定定理排除A 、B 、C 即可确定答案. 【详解】A 选项，若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂；B 选项，若//a b ，a α⊂，b β⊂，则//αβ或,αβ相交；C 选项，若a α⊂，b α⊂，//a β，b β//，加上条件a 、b 相交可推出//αβ；D 选项正确.故选：D 【点睛】本题考查空间中点线面之间的位置关系，线面平行、面面平行的判定定理，属于基础题. 8．执行如图程序框图，则输出的s 为（ ）A ．100B ．91C ．90D ．89【答案】B【解析】按照程序框图运行程序，直到不满足4i <时，输出结果即可. 【详解】按照程序框图运行程序，输入：1i =，100=k ，0s =，满足4i <，循环；0100100s =+=，1001010k =-=-，2i =，满足4i <，循环；1001090s =-=，10110k -=-=，3i =，满足4i <，循环； 90191s =+=，110k =-，4i =，不满足4i <，输出91s =. 故选：B . 【点睛】本题考查根据程序框图的循环结构计算输出结果的问题，属于基础题. 9．若不等式1363t x x≤+-，当()0,2x ∈时恒成立，则实数t 的最大值为（ ） A ．43B ．2C ．83 D ．103【答案】C 【解析】令()1363f x x x=+-，利用导数可求得()f x 在()0,2上的最小值，得到()min t f x ≤，从而得到结果.【详解】 令()()()21318918802636336x x xf x x x x x x x x+--=+==<<---+， ()()()()()()()()222222222836188661229924108108363636x x x x x x x x f x x x x x x x --+---+--+-+-'∴===-+-+-+()()()221223336x x x x ---=-+，∴当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在3,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()min 318292362f x f ⎛⎫∴==+=⎪⎝⎭-， ()t f x ≤Q 对()0,2x ∈恒成立，()min 83t f x ∴≤=，即t 的最大值为83.故选：C . 【点睛】本题考查恒成立问题的求解，关键是能够将恒成立问题转化为函数最值的求解问题，通过导数求得函数最值，从而得到参数范围. 10．已知函数()1ln f x x a x x=-+存在极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()2,+∞B ．(),2-∞-C ．[)2,+∞D ．(][),22,-∞-+∞U【答案】A【解析】求出函数的定义域及导数，函数()f x 存在极值点则方程210x ax -+=在(0,)+∞上有解，分类讨论函数单调性从而确定极值点.【详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，22211()1a x ax f x x x x-+'=--+=-， 对于一元二次方程210x ax -+=，24a =-△，函数()f x 存在极值点则方程210x ax -+=在(0,)+∞上有解，240a =-≥⇒V 2a ≥或2a ≤-，方程的根为2a x ±=， ①当2a =时，()0f x '≤恒成立，()f x 在(0,)+∞上单调递减且无极值点；②当2a >时，在02a x <<及x >时，()0f x '<，函数()f x 单调递减；x <<时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，则函数有2个极值点；③当2a ≤-时，0x =<，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '<，函数()f x 单调递减且无极值点. 综上所述，2a >. 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值点，属于中档题.11．设函数()f x 是定义在R 上的可导函数，其导函数为()'f x ，且()2f ，()()32'10f x f x >，则()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣的解集为（ ） A ．()2,+∞ B ．(),2-∞ C ．()2,-+∞ D ．(),2-∞-【答案】B【解析】构造新函数()237105()x F x f x =-⎡⎤⎣⎦-，求出函数导数利用所给不等式确定()F x '符号从而确定函数()F x 的单调性，结合(2)0F =即可解不等式()0F x <即()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣. 【详解】令()237105()x F x f x =-⎡⎤⎣⎦-，则()()3()210F x f x f x ''=-， 因为()()3210f x f x '>，所以()0F x '>，函数()F x 在R 上单调递增，且237(2)[(2)]055F f =--=，所以不等式()0F x <即()237105x f x <⎤⎦+⎡⎣的解集为(),2-∞. 故选：B 【点睛】本题考查利用函数单调性解不等式，复合函数求导，构造新函数是解题关键，属于中档题.12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，E 与过原点的直线相交于A 、B 两点，连接AF 、BF ，若AF BF ⊥，5sin 13FAB ∠=，则E 的离心率e 为（ ） A ．1316B ．1317C ．1318 D ．1319【答案】B【解析】设椭圆右焦点为F '，可证得四边形AFBF '为矩形，从而得到2FF AB c '==；利用椭圆定义和直角三角形边长关系可求得17213AB a =，从而构造出关于,a c 的齐次方程，从而求得离心率. 【详解】设椭圆右焦点为F '，连接,AF BF ''.O Q 为,AB FF '中点，∴四边形AFBF '为平行四边形，又AF BF ⊥，∴四边形AFBF '为矩形，2FF AB c '∴==.5sin 13FAB ∠=Q ，513BF AB ∴=，则1213AF AB =，1213BF AF AB '∴==， 17213BF BF AB a '∴+==，即34213c a =，1317c e a ∴==.故选：B . 【点睛】本题考查椭圆离心率的求解问题，关键是能够结合椭圆的对称性和定义构造出关于,a c 的齐次方程，进而配凑出离心率的形式.二、填空题13．函数xy e -=的导数'y =______. 【答案】x e --【解析】直接利用复合函数求导法则求导即可. 【详解】x y e -'=-【点睛】本题考查复合函数的导数，属于基础题.14．某校有高一、高二、高三三个年级的学生，数量分别为780人、720人、660人，为了解他们的视力是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从高二年级抽取了12人，则n 为______. 【答案】36【解析】根据高二年级人数和总人数可计算得到抽样比，利用抽样比可求得样本容量. 【详解】由题意得：高二年级抽样比为72017807206603=++，123613n ∴==.故答案为：36. 【点睛】本题考查分层抽样中样本容量、抽样比的计算，属于基础题.15．在区间[]0,1上随机取一个数x ，在区间[]0,2上随机取一个数y ，使1x y +≤成立的概率为______.【答案】14【解析】在平面直角坐标系中画出(),x y 构成的平面区域以及满足1x y +≤的点构成的区域，根据几何概型概率公式可求得结果. 【详解】由题意得：(),x y 构成的平面区域为如下图所示的矩形，则满足1x y +≤的所有点所构成的区域为图中的阴影部分：∴使1x y +≤成立的概率11112124P ⨯⨯==⨯. 故答案为：14.【点睛】本题考查几何概型中的面积型问题的求解，属于基础题.16．已知抛物线1C ：224y x x =+和2C ：22y x m =-+有且仅有一条公切线（同时与1C 和2C 相切的直线称为1C 和2C 的公切线），则m =______.【答案】1-【解析】设公切线与两曲线相切于()00,x y ，利用导数的几何意义可构造方程求得0x ，进而可利用220000242y x x x m =+=-+求得结果.【详解】由224y x x =+得：44y x '=+；由22y x m =-+得：4y x '=-.设公切线与两曲线相切的切点为()00,x y ，则00444x x +=-，解得：012x =-， 220000242y x x x m ∴=+=-+，即20044121m x x =+=-=-.故答案为：1-.【点睛】本题考查利用曲线的公切线求解参数值的问题，关键是能够根据导数的几何意义，得到斜率的等量关系.三、解答题17．已知函数3()32f x x ax =-+，曲线()y f x =在1x =处的切线方程为30x y m ++=.（Ⅰ）求实数a ，m 的值； （Ⅱ）求()f x 在区间[1,2]上的最值.【答案】（Ⅰ）最大值为2-，最小值为2-（Ⅱ）最大值为2-，最小值为2-【解析】（Ⅰ）切点(1,)y 在函数3()32f x x ax =-+上，也在切线方程为30x y m ++=上，得到一个式子，切线的斜率等于曲线()y f x =在1x =的导数，得到另外一个式子，联立可求实数a ，m 的值；（Ⅱ）函数()f x 在闭区间的最值在极值点或者端点处取得，通过比较大小可得最大值和最小值. 【详解】解：（Ⅰ）2()33f x x a '=-，∵曲线3()32f x x ax =-+在1x =处的切线方程为30x y m ++=，∴(1)333(1)333f a f a m=-=-⎧⎨=-=--'⎩解得2a =，0m =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()62f x x x =-+，则2()36f x x '=-，令()0f x '=，解得x =∴()f x 在上单调递减，在上单调递增，又(1)1623f =-+=-，3(2)26222f =-⨯+=-，3622f=-=-∴()f x 在区间[1,2]上的最大值为2-，最小值为2-【点睛】本题主要考查导函数与切线方程的关系以及利用导函数求最值的问题.18．某家庭为了解冬季用电量y （度）与气温()x C ︒之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天气温，并制作了对照表，经过统计分析，发现气温在一定范围内时，用电量与气温具有线性相关关系：（1）求出用电量y 关于气温x 的线性回归方程；（2）在这5天中随机抽取两天，求至少有一天用电量低于10（度）的概率.（附：回归直线方程的斜率和截距的最小二乘法估计公式为()()()121nii i nii xx y ybxx==--=-∑∑$，a y bx =-$$）【答案】（1） 1.714.4y x =-+ （2）710【解析】（1）根据表中数据计算得到最小二乘法所需数据，根据最小二乘法计算可得结果；（2）采用列举法得到所有基本事件和满足题意的基本事件个数，根据古典概型概率公式可求得结果. 【详解】（1）由表格数据知：0123425x ++++==，151********y ++++==， ()()()()()()10215114281117ni i i x x y y =--=--+⋅⋅⋅+--=-∑Q ，()()()()2222102124210ni i x x =-=-+-+⋅⋅⋅+-=∑，()()()12117 1.710niii ni i x x y y bx x ==--∴=--==-∑∑$，$()11 1.7214.4ay bx =--⨯==-$. ∴用电量y 关于气温x 的线性回归方程为 1.714.4y x =-+.（2）假设事件A 为随机从5天中抽取2天，至少有一天用电量低于10度，从这5天中随机抽取2天，总共有()15,12，()15,11，()15,9，()15,8，()12,11，()12,9，()12,8，()11,9，()11,8，()9,8，10种抽取方法；用电量至少有1天低于10度的情况有()15,9，()15,8，()12,9，()12,8，()11,9，()11,8，()9,8，共7种情况；()710P A ∴=. ∴在这5天中随机抽取两天，至少有一天用电量低于10度的概率为710. 【点睛】本题考查利用最小二乘法求解线性回归直线、古典概型概率问题的求解；对于基本事件个数较少的古典概型问题，通常采用列举法来进行求解.19．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()2cos cos b c A a C -=. （1）求A ∠的大小；（2）若2a =，且ABC S ∆，求b c +的值. 【答案】（1）3A π=（2）4b c +=【解析】（1）利用正弦定理边化角，结合两角和差公式可求得cos A ，进而得到结果； （2）利用三角形面积公式可构造方程求得bc ，代入余弦定理中，构造出关于b c +的方程，解方程求得结果. 【详解】（1）由正弦定理得：()2sin sin cos sin cos B C A A C -=， 即()2sin cos sin cos cos sin sin sin B A A C A C A C B =+=+=，()0,B π∈Q ，sin 0B ∴≠，1cos 2A ∴=. ()0,A π∈Q ，3A π∴=.（2）11sin sin 223ABC S bc A bc π∆===Q 4bc ∴=，由余弦定理得：2222214cos 228b c a b c A bc +-+-===， ()()2222288b c b c bc b c ∴+=+-=+-=，解得：4b c +=.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理边化角的应用、余弦定理和三角形面积公式的应用等知识，属于常考题型.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，已知PD ⊥平面ABCD ，E 为PC 的中点，2PD CD ==，过点E 作EF PB ⊥于F ，连接DF ，BD ，DE .（1）求证：平面DEF ⊥平面PBC ；（2）若直线BP 与平面ABCD 5，求平面DEF 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （26【解析】（1）证明BC ⊥平面PCD 推出BC DE ⊥，再证明DE ⊥平面PBC 推出DE PB ⊥，然后证明PB ⊥平面DEF 从而由线面垂直推出面面垂直；（2）利用线面角的正切值求出AD ，以D 为坐标中心建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，代入公式cos ,PD BP PD BP DP BP⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r 即可得解. 【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，∴PD BC ⊥，又∵DC BC ⊥，DC PD D ⋂=，DC ⊂平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， ∴BC ⊥平面PCD ，∴BC DE ⊥， 又∵PD CD =，∴DE PC ⊥，DE BC DE PC BC PC C ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩Q ，∴DE ⊥平面PBC ，∴DE PB ⊥， 又∵DE PB EF PB DE EF E ⊥⎧⎪⊥⎨⎪⋂=⎩，∴PB ⊥平面DEF ，又∵PB ⊆平面PBC ，∴平面DEF ⊥平面PBC .（2）∵DP ⊥平面ABCD ，∴BP 与平面ABCD 所成角为PBD ∠， ∴5tan 5DP PBD BD ∠==，假设AD a=，∴24 BD a=+，∴22554DPBD a==+，∴4a=，以D为坐标中心建立如图所示的空间直角坐标系O xyz-，()4,0,0A，()4,2,0B，()0,0,0D，()0,2,0C，()002P,,，()0,1,1E，由（1）可知PB⊥平面DEF，∴BPu u u r为平面DEF的法向量，又∵PD⊥平面ABCD，∴PDu u u r为平面ABCD的法向量，∵()0,0,2PD=-u u u r，()4,2,2BP=--u u u r，∴cos,PD BPPD BPDP BP⋅=⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r()()()()()222040222662422⨯-+⨯-+-⨯==-⨯-+-+.∴平面DEF与平面ABCD所成角的余弦值为66.【点睛】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，空间向量法求二面角的余弦值，属于中档题. 21．在椭圆C：()222210x ya ba b+=>>中，点A，F分别为椭圆的左顶点和右焦点，若已知离心率12e=，且A在直线20x y++=上.（1）求椭圆C的方程；（2）过点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，连接AP，AQ分别交直线4x=于点M ，N ，求证：以MN 为直径的圆经过定点F .【答案】（1）22143x y += （2）证明见解析【解析】（1）根据A 点坐标、离心率和椭圆,,a b c 关系可求得,,a b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:1PQ x my =+，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式；分别利用12,y y 表示出,M N 的坐标，从而得到,FM FN u u u u r u u u r ；根据平面向量数量积运算可得0FM FN ⋅=u u u u r u u u r，得到FM FN ⊥，从而证得结论. 【详解】（1）Q 椭圆C 的左顶点A 在直线20x y ++=上且A 位于x 轴上，()2,0A ∴-，2a ∴=.12c e a ==Q ，1c ∴=，2223b a c ∴=-=， ∴椭圆C 的方程为：22143x y +=.（2）由（1）知：()1,0F ， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，PQ ∵过点F ，∴可设PQ 的直线方程为：1x my =+，联立方程221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：()2234690m y my ++-=，122634m y y m -∴+=+，122934y y m -⋅=+. 设直线AP 的方程为()1122y y x x =++， 1164,2y M x ⎛⎫∴ ⎪+⎝⎭，即1164,3y M my ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，同理可得：2264,3y N my ⎛⎫⎪+⎝⎭， 1163,3y FM my ⎛⎫= ⎪+∴⎝⎭u u u u r ，2263,3y FN my ⎛⎫= ⎪+⎝⎭u u u r ， 从而()()121236933y y FM FN my my ⋅=+++u u u u r u u u r()122121236939y y m y y m y y =++++222293634999096393434m m m m m m -⨯+=+=-=--⨯+⋅+++. FM FN ∴⊥，即点F 在以MN 为直径的圆上.【点睛】本题考查直线与椭圆综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、定点定值问题的求解；本题证明的关键是能够根据圆的性质将问题转化为证明两向量垂直的问题，进而根据平面向量数量积求得结果.22．若函数()()()211ln 1122a x x a f x x ++-+-=. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：对任意的正整数n 都有，11111ln 2ln 3ln 4ln n n n-+++⋅⋅⋅+>. 【答案】（1）答案不唯一，见解析 （2）12a ≤- （3）证明见解析【解析】（1）求出导数，令()0f x '>即()10x x a +->，分类讨论不等式的解集确定导数的符号从而确定函数的单调性；（2）由题意知()1002f a =--≥则12a ≤-，由（1）确定函数单调性从而求出函数()f x 在()1,-+∞上的最小值，根据不等式恒成立的条件即可求出a 的范围；（3）取12a =-由（2）可推出()2ln 1x x x +≤+成立，取1x x =-得2ln x x x ≤-，取2x =时，得111ln 22>-，取3x =，得111ln 323>-，…，取xn =，得111ln 1n n n>--，累加即得所需证明的不等式. 【详解】（1）∵()()()211ln 1122a x x a f x x ++-+-=， ∴()()()211111x a x x x a ax a x f x x x +-+-=+-=+'=++， 令()0f x '>即()10x x a +->，方程()10x x a +-=的根为0，1a -,①当10a -=即1a =时，()f x 在(1,0)-，(0,)+∞上单调递增；②当10a ->即1a >时，()f x 在()1,0-和()1,a -+∞上单调递增，在()0,1a -上单调递减；③当110a -<-<即01a <<时，()f x 在()1,1a --和()0,∞+上单调递增，在()1,0a -上单调递减；④当11a -=-即0a =时，()f x x '=，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增；⑤当11a -<-即0a <时，()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 当01a <<时，()f x 在()1,1a --和()0,∞+上单调递增，在()1,0a -上单调递减； 当1a =时，()f x 在(1,0)-，(0,)+∞上单调递增；当1a >时，()f x 在()1,0-和()1,a -+∞上单调递增，在()0,1a -上单调递减； （2）∵()0f x ≥在()1,-+∞上恒成立，∴()1002f a =--≥，∴12a ≤-，由（1）知，当0a ≤时，函数()f x 在()1,0-上单调递减，在()0,∞+上单调递增； ∴()()min 1002f x f a ==--≥，∴12a ≤-；（3）取12a =-，∴()()2111ln 10222x x x f x =-+++≥⇒()2ln 1x x x +≤+， 取1x x =-，可得2ln x x x ≤-，当1x >时，∵ln 0x >，20x x ->，∴()211111ln 11x x x x x x x>==----， 取2x =时，得111ln 22>-； 取3x =，得111ln 323>-； …取xn =，得111ln 1n n n>--； 将这n 个式子相加，得11111ln 2ln 3ln 4ln n n n-+++⋅⋅⋅+>. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，利用导数证明不等式恒成立，裂项相消法，属于难题.。