力法的简化计算
高等工程力学1 超静定结构内力计算
M i 、Qi、N i ——任取的基本体系在单位力作用下的内力图，而单位力是加在 要求位移的截面上的；
—RK—基本体系支座k在单位力作用下的反力；
cK——k支座的实际位移。 公式（1-7）的前三项表示基本体系在荷载和多余未知力的作用下的位移，后
三项表示基本体系在温度变化和支座移动情况下引起的位移。
1 超静定结构内力计算
⑵ 有结点线位移的情况 计算这类结构时；原利用公式（1-11）考虑各结点的弯矩平衡外，还需考虑 相应杆端剪力的平衡。取适当的截面截出结构的一部分，通常是截断各柱的柱顶 端。取出横梁。考虑剪力平衡，建立剪力平衡方程，即
Qx 0
(1-12)
补充了剪力平衡方程后，方程式的数目仍然与未知数的数目相等，方程式总是 可以求解的。
1 超静定结构内力计算
§1.1.1力法的基本原理（续4）
由力法方程解出未知力X1、X2、…Xn后，超静定结构的内力可根据叠加原理 用下式计算：
M M1X1 M2X2 MnXn MP Q Q1 X 1 Q2 X 2 Qn X n QP N N1X1 N2 X 2 Nn X n NP
§1.2.4利用典型方程求解结构的位移和内力(续1)
同理附加链杆处的反力也为零，即
R2 R21 R22 R2P 0
或写成
r11Z1 r12Z2 R1P 0 r21Z1 r22Z2 R2P 0
对于有n个基本未知数的结构，位移法典型方程式为：
r11Z1 r12 Z2 r1n Zn R1P 0 r21Z1 r22 Z2 r2n Zn R2P 0
§1.2.1等截面直杆的转角位移方程式（续1）
AB杆产生位移后，杆端的总弯矩为
M AB
M
/ AB
M
力法位移法总结
在支座 位移条 件下内 力计算
当用位移法分析支座位 移、温度变化等非荷载因素 引起的内力时，基本原理及 解题步骤与在荷载作用下相 同，只是位移法中自由项应 该是由支座位移、温度变化 等作用所引起的基本结构中
除与支座相应的多余约束，可以减少Δ ic 项的计算。
在温度 改变作 用下内 力计算
（1） 注意杆件伸长/缩短对自 由项Δiz 符号的影响； （2）力法方程中自由项Δiz 可利用静定结构由于制造误 差产生的位移计算公式求出； （3） 计算内力列平衡方程时， 不考虑截断链杆的微量缩短 及各杆轴向变形对杆件尺寸 的影响仍采用原尺寸。
（1）一般应以切断（而不是去掉）多余链杆的结构作 位移法解桁架结构，以结点线位移为基本未知量，链杆的刚度方程为 FN=EAΔ/l，基本方 为基本结构，若选取了去掉多余链杆的结构作为基本 程为结点的平衡方程。 结构变形（伸长为正，缩短为负）； 位移法解组合结构，以组合结点的角位移和线位移为基本未知量。刚性杆和链杆组 （2）力法方程中自由项:链杆只考虑轴力影响，梁式 合体系， 以刚性杆独立的角位移和线位移为基本未知量基本方程为结点和截面平衡方程。 杆件(刚架杆件)只考虑弯矩影响。
一些特 殊情况 下的计 算
含有弹 性支承 的超静 定结构
(1)若去掉弹性支承，则典型方程右边为基本 结构和荷载共同作用下沿 X 方向的位移，原结 构在弹性支承点处的位移不为零，典型方程右 边应为-Xi/k； (2)若保留弹性支承，则在计算系数δij 和自 由项ΔiP 时应考虑支座位移的影响， 即力法方 程中柔度系数和自由项均应包括两部分：一部 分是杆件变形引起的位移，另一部分是弹性支 座引起的刚体位移，两者线性无关。
力法
准备知识 基本未知量 基本结构 基本方程 基本方程系数 基本方程自由项 平衡条件 应满足 变形条件 条件 物理条件
力法
需要指出，对于 同一结构，可用各 种不同方式去掉多 余约束而得到不同 的静定结构。但是， 无论哪种方式，所 去掉的多余约束的 个数必然是相等的。
由于去掉多余约束的方式的多样性，所以，在 力法计算中，同一结构的基本结构可有各种不同的 形式。例如图a所示结构，可以将某一截面改成铰结 而得到图b 所示的基本结构，也可以去掉两铰支座 中任一根水平链杆，得到图c 所示的基本结构。但 应注意，基本结构必须是几何不变的，因此，某些 约束是绝对不能去掉的。例如对于上述结构中任一 根竖向支座链杆就不能去掉，否则将成为瞬变体系 （图d）
例1 用力法计算图a所示 刚架，并作出最后弯矩图。
解 (1) 选取基本体系 此刚架为一次超静定结构， 选取基本体系图b所示。
(2) 建立力法典型方程
1
X1 11 X12 01 0 12X 121X 2 X 1 21 X X X 0 2 0 (3) 求系数和自由项 22 12 222 2
常见的超静定结构有：超静定梁（图a），超静 定刚架（b），超静定桁架（图c），超静定拱（图 d），超静定组合结构（图e），铰接排架（图f）等。
第二节 力法的基本概念
下面以图a所示超静定梁为例，来说明力法的基本概念。 一、力法的基本结构和基本未知量 图a所示超静定梁，具有一个多余约束，为一次超静定 结构。 若将支座B作为多余约束去掉，代之以多余未知力 X1，则得到图b所示的静定结构。b基本体系、c基本结 构。如果设法求出多余未知力X1，那么原结构的计算问 题就可转化为静定结构的计算问题。因此，多余未知力 是最基本的未知力，称为力法的基本未知量。
11
(5) 求各杆的最后轴力 由公式 FN F N1 X1 FN 求得各杆 轴力如图e所示。例如，求BC杆 的最后轴力
结构力学第4章 力法计算简化.
FP
2
FP
单位弯矩（图）和荷载弯矩（图）为：
FP R
FP 2
FP R
FP
FP R
FP
M1 1
MP
FP R 2
sin
若只考虑弯矩对位移的影响，有：
11
M12ds EI
R
2EI
,
1 P
M1M Pds EI
FP R2 2EI
,
X1
FP R
弯矩为：
M
M1 X1
MP
FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /2 FP /4 FP /4 FP /2 FP /4
FP /4 FP /4
FP /4
I/2
FP /4
FP /4
又看到您了！ FP /4 FP /4
FP /4
I/2
I/2
二、 使单位弯矩图限于局部
ij ji 0 i 1,, n 2
3. 力法计算的简化
无弯矩状态的判别
前提条件：结点荷载； 不计轴向变形。 刚结点变成铰结点后，体系仍然几何不变的情况
刚结点变成铰结点后，体系几何可变。但是，添 加链杆的不变体系在给定荷载下无内力的情况
利用上述结论，结合对称结构的对称性，可使 手算分析得到简化。
一、 对称性 (Symmetry) 的利用
P
例： FP
FP
由于 0 ，问题无法化简 12
（2）未知力分组和荷载分组
FP
X1 Y1 Y2 , X2 Y1 Y2 , 12 0
力法典型方程成为：
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1.单位荷载法只适用于小变形问题，但线性和非线性都可用。
2.功的互等定理只适用于线弹性体系3.虚功原理和虚功方程适用于一切线性结构和非线性结构。
4.叠加原理:线弹性小变形。
5.力法典型方程只适用于线弹性小变形结构。
6.单位荷载法基于虚力原理推出的。
7.刚度EI（梁式结构）反应了结构抵抗弯曲变形的能力，弹性模量EA（桁架结构）反应了结构抵抗拉压变形的能力8.在竖向均布荷载作用下，三角拱的合理拱轴线是二次抛物线。
在填土重量下，三角拱的合理拱轴线是一条悬链线。
在法向均布压力下，三角拱的合理拱轴线是圆弧线。
9.瞬变体系:结构微变形后，铰接点处才能平衡10.两刚片定理:（1）.两刚片用三根链杆相连，且三根杆不交于同一点，且组成几何不变的整体，且没有多余约束。
（2）.两个刚片用一个铰和一根链杆相连接，且三个铰不在一条直线上，则组成几个不变体系，且没有多余约束。
11.计算超静定连续梁时，采用将铰插入梁内的基本结构的优点就更为突出，不少的副系数和自由项会等于012.在荷载作用下的超静定结构的内力仅取决于杆件刚度的相对比值，而与杆件的刚度无关。
13.截面单杆:如果某个截面所截的内力为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点（或彼此平行，交点在无穷远处），则称此杆为该截面的单杆。
14.节点单杆:如果在同一节点的所有内力为未知的各杆中，除某一杆外，其余各杆都共线，则该杆称为该节点的单杆。
15.主内力:按理想桁架算出的内力，各杆·只有轴力。
16.次内力:实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。
17.桁架的三项假定:两端理想铰（光滑无摩擦）连接，各杆轴线为直线，荷载和反力都作用在节点上。
18.对称结构受对称荷载作用，内力和反力（支座反力均为对称。
受反对称荷载作用，内力和反力均为反对称。
19.计算联合桁架时不宜用节点法，应用截面法，利用截面单杆。
20.集中力的弯矩图为反向，剪力图为同乡（待求证）21.平行弦桁架上下弦杆内力为等代梁对应弯矩除以桁架高，上压下拉。
第六章-力法(二) ,同济大学结构力学课件,朱慈勉版教材,吕凤悟老师课件
半结构选取的关键在于正确判别另外半结构对选取半结构的约束作用。 判别方法有两种：
根据对称轴上的杆件和截面的变形（或位移）特征判别。(适用于所有结构)
根据对称轴上的杆件和截面的内力特征判别。 (一般只适用于奇数跨结构)
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。 各杆 EI C 。
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
【例】试用力法求作图示刚架的弯矩图。各杆 EI C 。
【解】利用对称性简化为一次超静定。
11X1 1p 0
11
144 EI
,
1 p
1800 EI
X1 12.5kN
M M1X1 M p
Strucural Analysis
School of Civil Engineering, Tongji Univ.
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
取半结构计算
§6-5 对称性的利用—力法简化计算
对称性的概念
对称结构：几何形状、支承情况、刚度分布均对称的结构。
支承不对称
对称结构
几何对称 支承对称 刚度对称
非对称结构
刚度不对称
对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等,方向和作用点对称的荷载。 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧,大小相等，作用点对称,方向
13X 3 23X 3
1 p 2p
0 0
31X1 32 X 2 33 X 3 3 p 0
结构力学第五章力法
12kN/m
EI
2
2 M1 基本体系
24
2EI
2EI
4m
MP
6 216
6
d11 =
D1 P =
1 6 6 2 6 1 1 2 2 2 2 224 2 = 2 EI 2 3 EI 2 EI 2 3 3EI
M
1 6 216 3 6 2 EI 3 4 1 2 24 3 2 984 1 = 4 EI EI 2 EI 3
(A)
由上述，力法计算步骤可归纳如下： 1）确定超静定次数，选取力法基本体系； 2）按照位移条件，列出力法典型方程； 3）画单位弯矩图、荷载弯矩图，用（A）式求系数和自由项； 4）解方程，求多余未知力； 5）叠加最后弯矩图。 M = M i X i M P
q=23kN/m
q=23kN/m
6m
=
撤除约束时需要注意的几个问题： （1）同一结构可用不同的方式撤除多余约束但其超静定次数相同。
（2）撤除一个支座约束用一个多余未知力代替， 撤除一个内部约束用一对作用力和反作用力代替。 （3）内外多余约束都要撤除。
（4）不要把原结构撤成几何可变或几何瞬变体系
4 5 1 2 外部一次，内部六次 撤除支杆1后体系成为瞬变 不能作为多余约束的是杆 1、2、 5 共七次超静定 1 3
力法基本体系的合理选择
1 1 2 1 1 1 21 aa qa2 21= 2a = d a = qa3 d12P = d 21 = D1d 11力法基本体系有多种选择，但必须是几何不变体系。同时应 == = ,22 D 2 P = 0 EI 3 3 624 EI EI EI2 28 32 3EI EI 尽量使较多的副系数、自由项为零或便于计算。所选基本体系应 含较多的基本部分，使Mi,MP尽可能分布局部。 qa 2 用力法解图示连续梁， 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 15 各跨EI=常数,跨度为a. 2kN/m ↓↓↓↓↓↓↓↓ 2kN/m 2a X1 qa 2 X2 d 11 = = d 22 ↓↓↓↓↓↓↓↓ 3EI 60 a d 12 = d 21 = X1=1 M1 6 EI qa3 D1P = , D2P = 0 1 24 EI X2=1 M 2
7.4用力法计算1
q
11
l 3EI
22
l 3EI
A
拐点 拐点
B l A q
12 21
l 6 EI
Δ2 P ql 3 24EI
B
ql 3 Δ1 P 24EI
MP图
X1=1
ql2/8
B A
1
(5)解方程，求多余未知力
M 1图
X2=1
ql 2 X1 X 2 12
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a
A 2a E C a FP
X1
X1
基本体系
X1 X1
11 X 1 Δ1P 0
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(4)求系数和自由项
2 FN1 l 11 EA 1 (0.707) 2 (a) 4 (1) 2 (1.414a) 2 EA 4.828a EA F F l Δ1P N1 NP EA 1 (0.707) FP a 0.707FP a EA EA
M(kN.m), FN(kN)
四、铰接排架
EA=∞
屋架
EI1
100kN
A C D B
E
F
拉杆AE、EF、FB：Eg=2×108kN/m2， A2=0.12×10-2m2
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3m
2m
2m
3m
2m
解：为了简化计算，首先求出如下各比值：
Eh I 6.63 104 2 2 4 . 018 10 m Eh A1 1.65 102
8kN
D
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§6-4 力法计算的简化目的: 使选用的基本结构和基本未知量便于计算。
¾ 尽可能缩小计算规模，降低线性方程组的阶数； ¾ 使尽可能多的副系数等于零. （减少未知量数；减小未知力和外载的影响范围）16-4-1 无弯矩状态的判别不计轴向变形前提下，下列情况无弯矩，只有轴力。
(1) 集中荷载沿柱轴作用 (2) 等值反向共线集中荷载沿杆轴作用。
(3) 集中荷载作用在不动结点。
FP FP FP FP26-4-2 对称性的利用(1) 结构对称性(Symmetry) 的概念几何对称 支承对称 刚度对称3反对称结构？？？对称结构 （1）选取对称的基本结构X2 FP FP X3 X3 X2 X1 X1 基本未知量 的性质？4X1---反对称基本未知量 X2、 X3---对称的基本未量⎧δ11X1 + δ12X2 + δ13X3 + Δ1P = 0 ⎪ ⎨δ21X1 + δ22X2 + δ23X3 + Δ2P = 0 ⎪δ X + δ X + δ X + Δ = 0 ⎩ 31 1 32 2 33 3 3P作单位弯矩图，荷载弯矩图； 求出系数和自由项 δ Δ1+ + = 0 ⎧δ XX 11 1δ Pδ 11 1+ 12 X2 13 X3 + Δ1P = 0 ⎪ δ2122 X δ2 23 X Δ +X =00 +2 +δ Δ22P X1 δ22 X+ ⎨δ 233 3+ P = X1 = 1 ⎪δ X + δ X + δ X + Δ = 0 X 2 32 + δ2 33 X 31 333 + 3 Δ33 P = 0 ⎩δ 32 1 P M反对称X2 = 115δ12 = δ 21M2=0基本方程分为两组： 一组只含反对称未知量 一组只含对称未知量对称X3 = 1δ13 = δ31对称=0M3选用对称的基本结构计算， 降低线性方程组的阶数对称结构2FP（2）荷载分解荷载分解为对称荷载及反对称荷载6FPFPFPFP正对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相 等，方向和作用点对称的荷载； 反对称荷载：作用在对称结构对称轴两侧，大小相 等，作用点对称，方向反对称的荷载对称荷载及反对称荷载7对称荷载分析:X2 FP FP FP X3 X3 X1 X1X20 ⎧δ11X1 +δ12X2 +δ13X3 +Δ1P = 8 ⎪ ⎨δ21X1 +δ22X2 +δ23X3 +Δ2P = 0 ⎪δ X +δ X +δ X +Δ = 0 ⎩ 31 1 32 2 33 3 3PFP对称M图M2M3MPM1X2 = 1M1X 1 = 1X3 = 1反对称M图M2FP FPδ12 = δ21 = 0δ13 = δ31 = 0Δ1P = 0M3MP结构对称、荷载对称反对称未知力X1= 0 δ11 X 1 = 0 δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + Δ2 P = 0 对称未知力X2和X3 δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + Δ3P = 09由此可得出如下结论：对称结构在对称荷载作用下，变形是对称 分布的，支座反力和内力也是对称分布的。
在对称轴处，反对称的未知力必等于零， 只需计算对称未知力。
反对称荷载分析: 反对称荷载分析X2 FP FP FP X3 X3 X1 X1X20 ⎧δ11X1 +δ12X2 +δ13X3 +Δ1P = 10 ⎪ ⎨δ21X1 +δ22X2 +δ23X3 +Δ2P = 0 ⎪δ X +δ X +δ X +Δ = 0 ⎩ 31 1 32 2 33 3 3PFP对称M图M2M3X2 = 1反对称M图M1M1 X 1 = 1X3 = 1M2FP FPMPδ12 = δ21 = 0δ13 = δ31 = 0Δ2P = 0M3MPΔ3 P = 0结构对称、荷载反对称δ11 X 1 + Δ1P = 0 ⎫ ⎪ δ 22 X 2 + δ 23 X 3 = 0⎬ δ 32 X 2 + δ 33 X 3 = 0 ⎪ ⎭反对称未知力X1 对称未知力X2= 0、X3= 011由此可得出如下结论：对称结构在反对称荷载作用下，变形是反对称分 布的，支座反力和内力也是反对称分布的。
在对称轴处，对称的未知力必等于零，只需计算反 对称未知力。
例题1作图示梁弯矩图FP EIFP X3 2l12对称结构在对称荷载 作用下，在对称轴处 反对称未知量X1=0； 对称轴力与对称弯矩 图乘为零Δ2P=0，所以 X2=0。
FP 2X2FP X3 2X1=0FP 213δ 33 X 3 + Δ3P = 0l δ 33 = EI1 FPl/4X3 = 1FP 2 FP 2X3 = 11 FPl/4FP l 3 Δ3P = 8 EIFP l X3 = − 8FP l 8FPFP l 8FP l 8M = M3 X3 + MPM例题3用力法计算，并作图示结构的M图。
EI = 常数 。
1410 kN /m 10 kN10 kN /m10kN 2m2m4m4m2m对称荷载 反对称荷载M′ = 0M ′′ ≠ 0反对称荷载作用10 kN /m 10 kN 10 kN /m 10kN2m 2m152m4m4m2mq X1X 2 =0q基本体系δ11 X 1 + Δ1P = 0求系数和自由项q416X 2 =0 X X1 1=1q320 δ 11 = 3EI4M120qX 2 =0 X1q320 Δ1P = − EIX 1 = 3kN (↓↑ )20MP由叠加法绘M图q417X 2 =0 q X X1 1=1q20M = M P + M 1 Xq1X 2 =04X X 1 120= 3kN (↓ )M120MP12 8 8 12 208 8M 图 ( kN . m ) ( 4 分 )练习判断荷载的对称性18FPM正对称荷载反对称荷载对称结构（3）取半结构计算19要使半结构能等效代替原结构的受力和变 形状态。
关键在于被截开处应按原结构上的位移条件及相应的静力条件设置 相应合适的支撑。
A、奇数跨结构 对称荷载FP A ΔCx = 0 对称轴 C FP B A ϕC ≠ 0 ΔCy = 0 半结构 （等代结 构） 对称轴 FP20反对称荷载FP C FP BϕC = 0FP21B、偶数跨结构=C ϕ0=Cx Δ0=Cy Δ0=Cy Δ对称荷载反对称荷载ABCF P F PF PF PF PABCF P对称轴对称轴0≠ϕC22对称荷载：无中柱对称结构（奇数跨结构）F P F PF P FPFP反对称荷载：FP 例题23有中柱对称结构（偶数跨结构）对称荷载:反对称荷载:F PF P F PF PF P EI2F PEI例题由于两根分柱的弯矩、剪力相同，故总弯矩和总剪力为分柱弯矩和剪力的两倍；又由于两根分柱的轴力绝对值相同而正负号相反，故总轴力为零。
24半边结构小结F P F P奇数跨（以单跨为例）：根据对称轴截面内力进行分析。
(1) 对称荷载F P 半边结构对称轴截面内力结构与荷载25(2) 反对称半边结构对称轴截面内力结构与荷载qF PF PF Pq F Pq26F PF P偶数跨结构（以双跨为例）：根据对称轴截面的位移来分析(1) 对称荷载半边结构对称轴截面位移结构与荷载A 点没有任何位移F PF PA 点没有水平和竖向位移。
只有转角位移F PqAqA27PF PF (2) 反对称荷载半边结构对称轴截面位移结构与荷载EIB PF 2EI EIB2EI 2EI B 点只能有转角位移PF PF 2EI 2EI B 点只能有转角位移PF 2EI28FPl lFP/2FP/2FP/2FP/21 将荷载分解：对称荷载作用时，结构的弯矩M1=0，M2=M。
2 利用对称性，将反对称荷载作用时的结构取半边结构F P l/2FPl/2FPl/2例解FP/2半边结构M1=0M2=MFN1≠0FN2≠0注意：FN1≠0，故FN= F N1+ F N229F PllF P /2F P /2F P /2F P /2M 1≠0M 2≠0F P /2F P /2一次超静定是否有必要利用对称性，请斟酌！！【讨论】MM【讨论】MM根据对称性直接判断零杆，不必取半边结构！！30418P qaEIΔ=−EIa 3311=δ138qa X =P M 图qa 2/2X 11M 图1111P 0X δ+Δ=【解】1 基本体系2 力法方程3 求系数和自由项，解方程11P=+M M X M 482qa M 图半边结构qaa2a例题例题FPEI EI EI EI EI31FP 2EIFP 42 EI2 EI2 EI EIa2 EIEIEIEIaFP 8aa3 564 56a3 564 56+3 564 56 4 563 56=6 566 568 56M图(FPa)3 564 563 566 563 568 568 568 564 56练习M32MMaEIFP EI lFPlFPaFPEI lFPlFP练习利用对称性取半结构分析FP33FPFPFP练习利用对称性取半结构34qqq练习利用对称性取半结构35FPqq例题用力法计算，并作图示对称结构M图。
EI = 常数。
q36x1lllδ11 X 1 + Δ1P = 0求系数和自由项lX X 1 1=137δ11 = 2l / 3EI3M1qΔ1P = − ql / 24 EI4ql 2 8X1X 1 = ql / 16MP由叠加法绘M图lX X 1 1=138M = M P + M1 X 1X 1 = ql / 16ql 2 /16 3ql 2 /32X1M1qql 2 8MPM图例题用力法计算图示结构，并作M图。
EI = 常数。
X1l /2 P P l /2 l39P /2δ11 X 1 + Δ1P = 0求系数和自由项140X11 X =1 P /2P/2P /21M1Pl/4MPδ 11 = l / ( EI )X 1 = Pl / 16Δ 1 P = - Pl / (16 EI )2由叠加法绘M图141X11 X =1 P /2P/2P /21M1Pl /16Pl/4MPPl /16M = M P + M1 X 1X 1 = Pl / 16Pl /16l /4 PlPl /16例题 用力法计算图示结构，并作M图。
EI =常数P42P/2P/24344l/4 X1X1=1 l/4M1Pl/4MPδ11 X 1 + Δ1P = 07l 3 δ 11 = 96 EIPl 3 Δ1P = − 32 EIM = M P + M1 X 13P X1 = 7例题454610 10 5kN 5kN10例题q D C作图示结构M图E474a A B a 2a 2a a2qa 2例题 图示结构在所示荷 载作用下正确的弯 矩形状是 （ B ）m m48ABDC例题P用力法计算图示桁架，求杆a、b的 内力。