数学八年级下册《 提公因式法》省优质课一等奖教案
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案
北师大版八年级数学下册42《提公因式法》优质教案XXX《提公因式法》教案教学目标一、知识与技能让学生了解多项式公因式的意义；初步学会用提公因式法分解因式．二、过程与方法通过找公因式，培养学生的观察能力和类比推理能力．三、情感态度和价值观在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，然后大家讨论结果的正确性，让学生养成独立思考的惯，同时培养学生的合作交流意识．教学重点：能观察出多项式的公因式，并根据分配律把公因式提出来．教学难点：让学生识别多项式的公因式教学过程：一、导入新课1、分解因式的概念：2、整式的乘法与因式分解有什么关系吗？学生回忆回答：把一个多项式化为几个整式乘积的形式，叫做把这个多项式分解因式.分解因式与整式乘法是互逆运算.3、近年来，我国土地沙漠化问题严重，有3队青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植物造林活动．每队都种树37行，其中一队种树102列，二队种树93列，三队种树105列，完成这次植树活动共需要多少棵树苗？学生阐发题意，列出算式：37×102+37×93+37×105提出问题：有没有简便的运算？学生讨论分析，找出简便的方法并计算：共同的因数3737×102+37×93+37×105=37×（102+93+105）=37×300=（棵）想一想：如果m·a+m·b+m·c进行因式分解能用这种方法吗？分析：这个算式也有共同的因数m，所以可用此方法因式分解m·a+m·b+m·c=m (a+b+c)这种方法就是我们这节课要研究的内容-----提公因式法2、新课研究（一）探究提公因式法的界说1、做一做：多项式ma+mb+m有共同的因式m，多项式ab+bc各项都含有不异的因式吗？多项式3x2+x呢？多项式mb2+nb-b呢？测验考试将这几个多项式划分写成几个因式的乘积，并与同伴交换．学生分析讨论，归纳如下：ab+bc：不异的因式是b；ab+bc=b(a+c)3x2+x：相同的因式是x；3x2+x=x(3x+1)mb2+nb-b：不异的因式是b；mb2+nb-b=b(m+n+1)分析：以上多项式的特点是都有共同的因式归纳：多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的公因式.2、议一议：（1）多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么？（2）你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗？与同伴交流．引导学生分析，找出公因式：两项都有系数，系数应是2，是2与6的最大公约数.两项都有含有不异的字母x，x的指数是2与3，应取字母的最低次幂.以是，多项式2x2+6x3中各项的公因式是2x2 据此由学生自主完成第二问的问题：2x2+6x3=2x2(1+2x)以长进行的因式分化，都是应用的提公因式法，你能总结提公因式法的界说吗？学生观察分析，归纳总结：假如一个多项式的各项含有公因式，那末就能够把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的方式．这种因式分化的方法叫做提公因式法．引导学生总结出找公因式的普通步骤：首先：找各项系数的最大公约数，如2和6的最大公约数是2；其次：找各项中含有的不异的字母，不异字母的指数取次数最低的．（二）例题解析例1、将下列各式分解因式：（1）3x+6；（2）7x2-x；（3）8a3b2-12ab3c+abc；（4）-24x3-12x2+28x．分析：首先要找出各项的公因式，然后再提取出来．学生自主完成，解题过程：解：（1）3x +x3=x⋅3+x⋅x2=x(3+x2)；（2）7x3-x2=7x2⋅x-7x2⋅3=7x2(x-3)（3）8a3b2-12ab3c+ab=ab⋅8a2b-ab⋅12b2c+ab⋅1=ab(8a2b-12b2c+1)；(4)- 24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x⋅6x2-4x⋅3x+4x⋅7)=-4x(6x2-3x+7)按照以上的做题进程。
八年级数学下册《提公因式法》教学设计一等奖
八年级数学下册《提公因式法》教学设计一等奖《八年级数学下册《提公因式法》教学设计一等奖》这是优秀的教学设计一等奖文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！1、八年级数学下册《提公因式法》教学设计一等奖一、教材分析本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历从乘法的分配律的逆运算到提取公因式的过程，让学生体会数学的主要思想——类比思想，运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．二、学生知识状况分析学生的技能基础：在上一节课的基础上，学生基本上了解了分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系，能通过观察、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，这为今天的深入学习提供了必要的基础．学生活动经验基础：学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．三、教学目标知识与技能1、经历探索多项式各项公因式的过程，并在具体问题中能确定多项式的公因式。
2、会用提公因式法把多项式分解因式。
3、培养学生解决问题的能力。
过程与方法在探索过程中培养学生解决问题的主动性，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想。
情感、态度与价值观在数学活动中培养学生的合作意识和创新精神，体会数学知识间的整体联系。
教学重点：会用提公因式法分解因式。
教学难点：正确找出多项式中各项的公因式，并注意各项变形的`符号问题。
四、教学过程设计（一）温故知新活动内容：计算：采用什么方法？依据是什么？活动目的：旨在让学生通过乘法分配律的逆运算这一特殊算法，使学生通过类比的思想自然地过渡到理解提公因式法的概念上，从而为提公因式法的掌握埋下伏笔。
八年级数学下册《公因式为单项式的提公因式法》教案、教学设计
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，掌握了整式的乘法法则和基本的因式分解方法。在此基础上，学生对公因式为单项式的提公因式法具有一定的认知基础，但在实际运用过程中可能存在以下问题：对公因式的识别不够准确，提取公因式的技巧不够熟练，以及在解决实际问题时不能灵活运用提公因式法。因此，在教学过程中，教师需要关注以下几点：
（二）过程与方法
在本章节的学习过程中，教师将引导学生：
1.通过实际问题的引入，激发学生对提公因式法的学习兴趣，培养学生主动探究的学习习惯；
2.通过小组讨论、合作学习等方式，培养学生团队协作能力和交流表达能力；
3.通过实际例题的讲解与演练，让学生掌握提公因式法的步骤和技巧，提高解决问题的能力；
4.引导学生总结已学的因式分解方法，形成知识体系，培养学生归纳总结的能力。
接着，我会展示一个具体的数学例子，如计算以下多项式的值：2x^2 + 4x。我会引导学生观察这些项中是否存在可以提取的公因式，从而引出提公因式法的概念。
（二）讲授新知
在讲授新知环节，我会按照以下步骤进行：
1.定义公因式：解释什么是公因式，以及如何识别和提取公因式。
2.提公因式法：详细介绍提公因式法的步骤，并通过具体的例题进行演示。
b)设计不同难度的练习题，让学生在反复练习中掌握提公因式法，并能够解决实际问题。
c)对于含有多个公因式的情况，通过分解步骤的详细讲解，让学生掌握分解方法和技巧。
2.重点：运用提公因式法简化计算过程，提高运算速度和准确性。
难点：在复杂问题中，如何运用提公因式法进行简便计算。
针对这一重点和难点，教学设想如下：1.学生需独立完成作业，确保作业 Nhomakorabea原创性。
2.书写规范，要求字迹清楚，步骤齐全，便于教师批改和反馈。
2024年北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计
2024年北师大版数学八年级下册4.2《提公因式法》教学设计一. 教材分析《提公因式法》是北师大版数学八年级下册第4.2节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握提公因式法分解因式的方法，并能灵活运用解决一些实际问题。
教材通过引入提公因式法，让学生在已有知识的基础上，进一步理解因式分解的实质，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了整式的乘法、因式分解等基础知识，对因式分解有一定的了解。
但部分学生对提公因式法的理解和运用还不够熟练，需要通过本节课的学习进一步巩固和提高。
此外，学生需要具备一定的逻辑思维能力和转化能力，能够将实际问题转化为数学问题，并运用提公因式法解决。
三. 教学目标1.理解提公因式法的概念，掌握提公因式法分解因式的步骤和方法。
2.能够灵活运用提公因式法解决一些实际问题，提高解决问题的能力。
3.培养学生的逻辑思维能力和转化能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的概念和运用。
2.难点：提公因式法的灵活运用和解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过引入实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究。
2.案例教学法：通过分析具体案例，让学生理解提公因式法的原理和应用。
3.小组合作学习：鼓励学生分组讨论，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.引导发现法：教师引导学生发现提公因式法的规律，培养学生的自主学习能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示提公因式法的原理和应用。
2.案例材料：准备一些实际问题，用于引导学生运用提公因式法解决。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际问题：某车间生产一批产品，如果每天生产100个，需要5天完成任务；如果每天生产150个，需要多少天完成任务？引导学生思考：如何将这个问题转化为数学问题？如何运用提公因式法解决这个问题？2.呈现（10分钟）展示提公因式法的原理和步骤，引导学生理解提公因式法的概念。
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第四章 课题 提公因式法——公因式为单项式
2023-2024学年八年级数学北师大版下册名师教案：第四章课题提公因式法——公因式为单项式一. 教材分析《提公因式法——公因式为单项式》是北师大版八年级数学下册第四章的内容。
这一章节的主要目的是让学生掌握提公因式法，并能运用该方法对多项式进行因式分解。
本节课的内容是学生在学习了多项式乘法、因式分解等知识的基础上进行的，是进一步培养学生数学思维和解决问题能力的重要环节。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多项式乘法、因式分解等基本知识，具备了一定的数学思维能力。
但学生在实际操作中，对于如何找到公因式，尤其是公因式为单项式时，可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要引导学生逐步掌握找公因式的方法，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法，并能运用该方法对多项式进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流等方式，培养学生合作学习的能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自主学习能力。
四. 教学重难点1.重点：提公因式法的运用。
2.难点：如何找到公因式，尤其是公因式为单项式时。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等教学方法，引导学生主动探究，合作交流，发现规律，培养学生的数学思维和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教师准备：提前准备相关教学材料，如PPT、教案、练习题等。
2.学生准备：预习相关内容，了解提公因式法的基本概念。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的例子，引导学生回顾多项式乘法，激发学生的学习兴趣。
然后，提出本节课的主题——提公因式法，引导学生思考如何对多项式进行因式分解。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示提公因式法的步骤和注意事项，引导学生发现公因式，并学会如何提取。
同时，教师给出一些例子，让学生跟随步骤进行操作，巩固所学知识。
3.操练（10分钟）学生分组进行练习，教师巡回指导。
数学八年级下册《 提公因式法》省优质课一等奖教案
2提公因式法经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验.自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练.进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法.【重点】用提公因式法分解因式.【难点】确定多项式各项的公因式.第课时1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.自主探索,合作交流.1.通过与因数分解的类比,让学生感悟数学中数与式的共同点,体验数学的类比思想.2.通过对因式分解的教学,培养学生“换元”的意识.【重点】因式分解的概念及提公因式法的应用.【难点】正确找出多项式中各项的公因式.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习有关乘法分配律的知识.导入一:【问题】一块场地由三个长方形组成,这些长方形的长分别为,,,宽都是,求这块场地的面积.解法1:这块场地的面积=×+×+×=++==2.解法2:这块场地的面积=×+×+×=×=×4=2.从上面的解答过程看,解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是将多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.导入二:【问题】计算×15-×9+×2采用什么方法?依据是什么?解法1:原式=-+==5.解法2:原式=×(15-9+2)=×8=5.解法1是按运算顺序:先算乘法,再算加减法进行计算的,解法2是先逆用乘法分配律,再进行计算的,由此可知解法2要简单一些.这个事实说明,有时我们需要将多项式化为几个整式的积的形式,而提公因式法就是把多项式化为几个整式的积的形式的一种方法.[设计意图]让学生通过利用乘法分配律的逆运算这一特殊算法,运用类比思想自然地过渡到提公因式法的概念上,从而为提公因式法的掌握打下基础.一、提公因式法分解因式的概念思路一如果一块场地由三个长方形组成,这三个长方形的长分别为a,b,c,宽都是m,那么这块场地的面积为ma+mb+mc或m(a+b+c),可以用等号来连接,即:ma+mb+mc=m(a+b+c).大家注意观察这个等式,等式左边的每一项有什么特点?各项之间有什么联系?等式右边的项有什么特点?分析:等式左边的每一项都含有因式m,等式右边是m与多项式a+b+c的乘积,从左边到右边的过程是因式分解.由于m是左边多项式ma+mb+mc中的各项ma,mb,mc都含有的一个相同因式,因此m叫做这个多项式各项的公因式.由上式可知,把多项式ma+mb+mc写成m与多项式a+b+c的乘积的形式,相当于把公因式m从各项中提出来,作为多项式ma+mb+mc的一个因式,把m从多项式ma+mb+mc的各项中提出后形成的多项式a+b+c,作为多项式ma+mb+mc的另一个因式.总结:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]通过实例的教学,使学生明白什么是公因式和用提公因式法分解因式.思路二多项式ab+ac中,各项都含有相同的因式吗?多项式 3x2+x呢?多项式mb2+nb-b呢?结论:多项式中各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.多项式2x2+6x3中各项的公因式是什么?你能尝试将多项式2x2+6x3因式分解吗?结论:如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种因式分解的方法叫做提公因式法.[设计意图]从让学生找出几个简单多项式的公因式,再到让学生尝试将多项式分解因式,使学生理解公因式以及提公因式法分解因式的概念.二、例题讲解(教材例1)把下列各式因式分解:(1)3x+x3;(2)7x3-21x2;(3)8a3b2-12ab3c+ab;(4)-24x3+12x2-28x.〔解析〕首先要找出各项的公因式,然后再提取出来.要避免提取公因式后,各项中还有公因式,即“没提彻底”的现象.解:(1)3x+x3=x·3+x·x2=x(3+x2).(2)7x3-21x2=7x2·x-7x2·3=7x2(x-3).(3)8a3b2-12ab3c+ab=ab·8a2b-ab·12b2c+ab·1=ab(8a2b-12b2c+1).(4)-24x3+12x2-28x=-(24x3-12x2+28x)=-(4x·6x2-4x·3x+4x·7)=-4x(6x2-3x+7).【学生活动】通过刚才的练习,大家互相交流,总结出提取公因式的一般步骤和容易出现的问题.总结:提取公因式的步骤:(1)找公因式;(2)提公因式.容易出现的问题(以本题为例):(1)第(2)题中只提出7x作为公因式;(2)第(3)题中最后一项提出ab后,漏掉了“+1”;(3)第(4)题提出“-”号时,没有把后面的因式中的每一项都变号.教师提醒:(1)各项都含有的字母的最低次幂的积是公因式的字母部分;(2)因式分解后括号内的多项式的项数与原多项式的项数相同;(3)若多项式的首项为“-”,则先提取“-”号,然后再提取其他公因式;(4)将分解因式后的式子再进行整式的乘法运算,其积应与原式相等.[设计意图]经历用提公因式法进行因式分解的过程,在教师的启发与指导下,学生自己归纳出提公因式的步骤及提取公因式时容易出现的类似问题,为提取公因式积累经验.1.提公因式法分解因式的一般形式,如:ma+mb+mc=m(a+b+c).这里的字母a,b,c,m可以是一个系数不为1的、多字母的、幂指数大于1的单项式.2.提公因式法分解因式的关键在于发现多项式的公因式.3.找公因式的一般步骤:(1)若各项系数是整系数,则取系数的最大公约数;(2)取各项中相同的字母,字母的指数取最低的;(3)所有这些因式的乘积即为公因式.1.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是()A.-6ab2cB.-ab2C.-6ab2D.-6a3b2c解析:根据确定多项式各项的公因式的方法,可知公因式为-6ab2.故选C.2.下列用提公因式法分解因式正确的是 ()A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)解析:A.12abc-9a2b2=3ab(4c-3ab),错误;B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2),错误;D.x2y+5xy-y=y(x2+5x-1),错误.故选C.3.下列多项式中应提取的公因式为5a2b的是()A.15a2b-20a2b2B.30a2b3-15ab4-10a3b2C.10a2b-20a2b3+50a4bD.5a2b4-10a3b3+15a4b2解析:B.应提取公因式5ab2,错误;C.应提取公因式10a2b,错误;D.应提取公因式5a2b2,错误.故选A.4.填空.(1)5a3+4a2b-12abc=a();(2)多项式32p2q3-8pq4m的公因式是;(3)3a2-6ab+a=(3a-6b+1);(4)因式分解:km+kn=;(5)-15a2+5a=(3a-1);(6)计算:21×3.14-31×3.14=.答案:(1)5a2+4ab-12bc (2)8pq3(3)a (4)k(m+n)(5)-5a (6)-31.45.用提公因式法分解因式.(1)8ab2-16a3b3;(2)-15xy-5x2;(3)a3b3+a2b2-ab;(4)-3a3m-6a2m+12am.解:(1)8ab2(1-2a2b).(2)-5x(3y+x).(3)ab(a2b2+ab-1).(4)-3am(a2+2a-4).第1课时一、提公因式法分解因式的概念二、例题讲解一、教材作业【必做题】教材第96页随堂练习.【选做题】教材第96页习题4.2.二、课后作业【基础巩固】1.把多项式4a2b+10ab2分解因式时,应提取的公因式是.2.(淮安中考)因式分解:x2-3x=.3.分解因式:12x3y-18x2y2+24xy3=6xy·.【能力提升】4.把下列各式因式分解.(1)3x2y-6xy;(2)5x2y3-25x3y2;(3)-4m3+16m2-26m;(4)15x3y2+5x2y-20x2y3.【拓展探究】5.分解因式:a n+a n+2+a2n.6.观察下列各式:12+1=1×2;22+2=2×3;32+3=3×4;….这列式子有什么规律?请你将猜想到的规律用含有字母n(n为自然数)的式子表示出来.【答案与解析】1.2ab2.x(x-3)3.(2x2-3xy+4y2)4.解:(1)3xy(x-2).(2)5x2y2(y-5x).(3)-2m(2m2-8m+13).(4)5x2y(3xy+1-4y2).5.解:原式=a n·1+a n·a2+a n·a n=a n(1+a2+a n).6.解:由题中给出的几个式子可得出规律:n2+n=n·(n+1).本节运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由提公因数到提公因式,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.在小组讨论之前,应该留给学生充分的独立思考的时间,不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的思考,掩盖了其他学生的疑问.由于因式分解的主要目的是对多项式进行恒等变形,它的作用更多的是应用于多项式的计算和化简,比如在以后将要学习的分式运算、解分式方程等中都要用到因式分解的知识,因此应该注重因式分解的概念和方法的教学.随堂练习(教材第96页)解:(1)m(a+b). (2)5y2(y+4). (3)3x(2-3y). (4)ab(a-5). (5)2m2(2m-3).(6)b(a2-5a+9). (7)-a(a-b+c). (8)-2x(x2-2x+3).习题4.2(教材第96页)1.解:(1)2x2-4x=2x(x-2).(2)8m2n+2mn=2mn·4m+2mn·1=2mn(4m+1).(3)a2x2y-axy2=axy·ax-axy·y=axy(ax-y).(4)3x3-3x2+9x=3x(x2-x+3).(5)-24x2y-12xy2-28y3=-(24x2y+12xy2+28y3)=-4y(6x2+3xy+7y2).(6)-4a3b3+6a2b-2ab=-(4a3b3-6a2b+2ab)=-2ab(2a2b2-3a+1).(7)-2x2-12xy2+8xy3=-(2x2+12xy2-8xy3)=-2x(x+6y2-4y3).(8)-3ma3+6ma2-12ma=-(3ma3-6ma2+12ma)=-3ma·(a2-2a+4).2.解:(1)m+m+m=m(++)=3.14×(202+162+122)=2512.(2)∵xz-yz=z·(x-y),∴原式=×(17.8-28.8)=×(-11)=-7. (3)∵ab=7,a+b=6,∴a2b+ab2=ab(a+b)=7×6=42.3.解:(1)不正确,因为提取的公因式不对,应为n(2n-m-1). (2)不正确,因为提取公因式-b后,第三项没有变号,应为-b(ab-2a+3). (3)正确. (4)不正确,因为最后的结果不是乘积的形式,应为(a-2)(a+1).提公因式法是本章的第2小节,占两个课时,这是第一课时,它主要让学生经历从乘法分配律的逆运算到提公因式的过程,让学生体会数学中的一种主要思想——类比思想.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,就利用了类比的数学思想,从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然,容易理解,进而使学生进一步理解因式分解与整式乘法运算之间的互逆关系.已知方程组求7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值.〔解析〕将代数式分解因式,产生x-3y与2x+y两个因式,再根据方程组整体代入,使计算简便.解:7y(x-3y)2-2(3y-x)3=(x-3y)2[7y+2(x-3y)]=(x-3y)2(7y+2x-6y)=(x-3y)2(2x+y).由方程组可得原式=12×6=6.第课时1.经历探索多项式因式分解方法的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式.2.会用提公因式法把多项式分解因式(多项式中的字母指数仅限于正整数的情况).3.进一步了解因式分解的意义,加强学生的逆向思维,并渗透化归的思想方法.1.由学生自主探索解题途径,在此过程中,通过观察、对比等手段,确定多项式各项的公因式,加强学生的逆向思维,渗透化归的思想方法,培养学生的观察能力.2.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解,从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式,进一步发展学生的类比思想.3.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法,培养学生的初步归纳能力.通过观察能合理地进行因式分解,并能清晰地阐述自己的观点.【重点】用提公因式法把多项式分解因式.【难点】探索多项式因式分解方法的过程.【教师准备】多媒体课件.【学生准备】复习提公因式法分解因式的知识.导入一:【问题】把下列各式分解因式:(1)8mn2+2mn;(2)a2b-5ab+9b;(3)-3ma3+6ma2-12ma;(4)-2x3+4x2-8x.[设计意图]回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤,为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础.以板演的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤,使学生真正理解基本方法和步骤.导入二:上节课我们学习了用提公因式法分解因式,知道了一个多项式可以分解为一个单项式与一个多项式的积的形式,那么是不是所有的多项式分解以后都是同样的结果呢?本节课我们就来揭开这个谜.[设计意图]通过设问,创设情境,活跃了课堂气氛,学生对自己探讨、发现出来的知识很有成就感,学习的兴趣自然得到了提高.例题讲解(教材例2)把下列各式因式分解:(1)a(x-3)+2b(x-3);(2)y(x+1)+y2(x+1)2.〔解析〕(1)这个多项式整体而言可分为两大项,即a(x-3)与2b(x-3),每项中都含有x-3,因此可以把x-3作为公因式提出来.(2)这个多项式整体而言可分为两大项,即y(x+1)与y2(x+1)2,每项中都含有y(x+1),因此可以把y(x+1)作为公因式提出来.解:(1)a(x-3)+2b(x-3)=(x-3)(a+2b).(2)y(x+1)+y2(x+1)2=y(x+1)[1+y(x+1)]=y(x+1)(xy+y+1).[设计意图]引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取多项式公因式.(1)题中很明显地表明多项式中的两项都存在着x-3,通过观察,学生较容易找到第(1)题的公因式是x-3,而第(2)题的公因式是y(x+1),找到它即能顺利地进行因式分解.(教材例3)把下列各式因式分解:(1)a(x-y)+b(y-x);(2)6(m-n)3-12(n-m)2.〔解析〕虽然a(x-y)与b(y-x)看上去没有公因式,但仔细观察可以看出x-y与y-x互为相反数,如果把其中一个提取一个“-”号,那么就可以出现公因式,即y-x=-(x-y).同样(m-n)3与(n-m)2也是如此.解:(1)a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).(2)6(m-n)3-12(n-m)2=6(m-n)3-12[-(m-n)]2=6(m-n)3-12(m-n)2=6(m-n)2(m-n-2).[设计意图]有了前面所得的规律,学生容易观察到多项式中括号内符号不同的多项式部分,并把它们转化成符号相同的多项式,再把相同的多项式作为公因式提取出来.进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式得出提取的公因式是多项式的方法与步骤.(教材做一做)请在下列各式等号右边的括号前填入“+”或“-”,使等式成立:(1)2-a=(a-2);(2)y-x=(x-y);(3)b+a=(a+b);(4)(b-a)2=(a-b)2;(5)-m-n=(m+n);(6)-s2+t2=(s2-t2).解:(1)2-a=-(a-2).(2)y-x=-(x-y).(3)b+a=+(a+b).(4)(b-a)2=+(a-b)2.(5)-m-n=-(m+n).(6)-s2+t2=-(s2-t2).[设计意图]学生对于符号问题的解答有一定的困难,因而需要认真比较等号两边两个多项式符号上的异同,确定它们是互为相反数还是相等关系.通过学生的反馈练习,使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位,提取公因式的方法与步骤是否掌握,以便教师能及时地进行查缺补漏.本节课进一步学习了用提公因式法分解因式,公因式可以是单项式,也可以是多项式,要认真观察多项式的结构特点,从而准确熟练地进行多项式的因式分解.1.把多项式(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a)分解因式的结果是()A.8(7a-8b)(a-b)B.2(7a-8b)2C.8(7a-8b)(b-a)D.-2(7a-8b)解析:原式=(7a-8b)(3a-4b-11a+12b)=(7a-8b)(-8a+8b)=8(7a-8b)(b-a).故选C.2.把(x-y)2-(y-x)分解因式得()A.(x-y)(x-y-1)B.(y-x)(x-y-1)C.(y-x)(y-x-1)D.(y-x)(y-x+1)解析:原式=(y-x)2-(y-x)=(y-x)(y-x-1).故选C.3.下列各式分解因式正确的是()A.10ab2c+6ac2+2ac=2ac(5b2+3c)B.(a-b)3-(b-a)2=(a-b)2(a-b+1)C.x(b+c-a)-y(a-b-c)-a+b+c=(b+c-a)(x+y-1)D.(a-2b)(3a+b)-5(2b-a)2=(a-2b)(11b-2a)解析:A.原式=2ac(5b2+3c+1),错误;B.原式=(a-b)2(a-b-1),错误;C.原式=(b+c-a)(x+y+1),错误.故选D.4.当n为时,(a-b)n=(b-a)n;当n为时,(a-b)n=-(b-a)n.(其中n为正整数)解析:互为相反数的两数的偶次方相等,奇次方互为相反数.答案:偶数奇数5.(嘉兴中考)因式分解:ab-a=.解析:直接提取公因式a即可.ab-a=a(b-1).故填a(b-1).6.把下列各式分解因式:(1)15x(a-b)2-3y(b-a);(2)(a-3)2-(2a-6);(3)-20a-15ax;(4)(m+n)(p-q)-(m+n)(q+p).解:(1)3(a-b)(5ax-5bx+y).(2)(a-3)(a-5).(3)-5a(4+3x).(4)-2q(m+n).第2课时例题讲解一、教材作业【必做题】教材第98页随堂练习.【选做题】教材第98页习题4.3.二、课后作业【基础巩固】1.观察下列各组整式,其中没有公因式的是()A.2a+b和a+bB.5m(a-b)和-a+bC.3(a+b)和-a-bD.2x-2y和22.(武汉中考)把a2-2a分解因式,正确的是()A.a(a-2)B.a(a+2)C.a(a2-2)D.a(2-a)3.在括号内填上适当的式子:(1)-x-1=-();(2)a-b+c=a-().【能力提升】4.把下列各式分解因式:(1)2(a-3)2-a+3;(2)3m(x-y)-2(y-x)2;(3)18(a-b)2-12(a-b)3;(4)6x(x+y)-4y(x+y);(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a).【拓展探究】5.把多项式m2(a-2)+m(2-a)分解因式得()A.(a-2)(m2+m)B.(a-2)(m2-m)C.m(a-2)(m-1)D.m(a-2)(m+1)6.(潜江中考)已知3a-2b=2,则9a-6b=.7.若x+y=5,xy=2,则x2y+xy2=.8.已知4x2+7x+2=4,求-12x2-21x的值.【答案与解析】1.A(解析:B.公因式是a-b;C.公因式是a+b;D.公因式是2.故选A.)2.A(解析:原式=a·a-a·2=a(a-2).故选A.)3.(1)x+1(2)b-c4.解:(1)2(a-3)2-a+3=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)(2a-7).(2)3m(x-y)-2(y-x)2=3m(x-y)-2(x-y)2=(x-y)(3m-2x+2y).(3)18(a-b)2-12(a-b)3=6(a-b)2(3-2a+2b).(4)6x(x+y)-4y(x+y)=2(x+y)(3x-2y).(5)a(x-a)+b(a-x)-c(x-a)=a(x-a)-b(x-a)-c(x-a)=(x-a)(a-b-c).5.C(解析:m2(a-2)+m(2-a)=m2(a-2)-m(a-2)=m(a-2)(m-1).故选C.)6.6(解析:∵3a-2b=2,∴9a-6b=3(3a-2b)=3×2=6.故填6.)7.10(解析:x2y+xy2=xy(x+y)=2×5=10.故填10.)8.解:由4x2+7x+2=4得4x2+7x=2,∵-12x2-21x=-3(4x2+7x),∴-12x2-21x=-3×2=-6.运用类比的思想方法,在新概念的提出、新知识点的讲授过程中,可以使学生易于理解和掌握.如学生在接受提公因式法时,由整式乘法的逆运算到提公因式法的概念,由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法,都是利用了类比的数学思想,从而使得学生在接受新的概念时显得轻松自然,容易理解.遇到互为相反数的多项式处理得不太好.遇到互为相反数的项,先转化,再提公因式,转化原则:变后不变前、变偶不变奇、变少不变多.因式分解和整式乘法运算是互逆的关系,所以备课时应让学生们自己将新旧知识前后比较,去理解,去寻找因式分解的方法.随堂练习(教材第98页)解:(1)(a+b)(x+y).(2)(x-y)(3a-1).(3)6·(p+q)(p+q-2).(4)(m-2)(a-b). (5)(x-y)(2x-2y+3). (6)m(m-n)(2n-m).习题4.3(教材第98页)1.解:(1)原式=(a-1)(x+7). (2)原式=3(b-a)2+6(b-a)=3(b-a)(b-a+2). (3)原式=(m-n)[2(m-n)-m]=(m-n)(2m-2n-m)=(m-n)(m-2n).(4)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y)=(x-y)3.(5)原式=(a2+b2)(m+n).(6)原式=6(a-b)2·3(a-b)-6(a-b)2·2b=6(a-b)2[3(a-b)-2b]=6(a-b)2(3a-5b). (7)原式=(2a+b)[(2a-3b)-3a]=(2a+b)(-a-3b)=-(2a+b)(a+3b).(8)原式=x(x+y)[(x-y)-(x+y)]=x(x+y)·(x-y-x-y)=x(x+y)(-2y)=-2xy·(x+y).2.解:(1)原式=x(m-2)(10-3m),∵x=1.5,m=6,∴原式=1.5×(6-2)×(10-3×6)=-48.(2)原式=(2-a)2-6(2-a)=(2-a)[(2-a)-6]=(2-a)(-a-4)=-(2-a)(a+4).当a=-2时,原式=-[2-(-2)](-2+4)=-4×2=-8.3.解:这三块草坪的总面积=(a+b)2+a(a+b)+(a+b)b=(a+b)(a+b+a+b)=(a+b)(2a+2b)=2(a+b)2(m2).已知x2+x+1=0,求代数式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1的值.〔解析〕首先把整式x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1通过提取公因式,分解为含有因式x2+x+1的形式,再将x2+x+1的值作为一个整体代入求解.解:∵1+x+x2=0,∴x2006+x2005+x2004+…+x2+x+1=x2004(x2+x+1)+x2001(x2+x+1)+…+x9(x2+x+1)+x6(x2+x+1)+x3(x2+x+1)+ x2+x+1 =(x2+x+1)(x2004+x2001+…+x6+x3+1)=0.实数a,b,c,x,y,z满足a<b<c,x<y<z,且P=ax+by+cz,Q=ax+cy+bz,S=bx+cy+az,R=bx+ay+cz,试判断P,Q,S,R中哪一个最大.〔解析〕先根据已知条件a<b<c,x<y<z,利用不等式的性质可得a-b<0,b-c<0,a-c<0,x-y<0,y-z<0,x-z<0,再考虑利用作差法计算并判断出P,Q,S,R中哪一个最大.解:∵a<b<c,x<y<z,∴a-b<0,b-c<0,a-c<0,x-y<0,y-z<0,x-z<0,∴P-Q=(ax+by+cz)-(ax+bz+cy)=(b-c)(y-z)>0,∴P>Q;P-R=(ax+by+cz)-(ay+bx+cz)=(a-b)·(x-y)>0,∴P>R;Q-S=(ax+cy+bz)-(bx+cy+az)=(a-b)·(x-z)>0,∴Q>S,∴P>S.∴P最大.。
北师大版八年级数学下册优秀教学案例4.2提公因式法
3.设计具有挑战性的练习题，让学生在实践中不断巩固和提高提公因式法的运用能力。
4.培养学生合作学习、讨论交流的能力，提高学生的团队协作精神。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生积极探究、主动学习的热情。
（二）问题导向
1.教师提出具有启发性的问题，引导学生思考和探讨，激发学生的思维活力。
2.鼓励学生提出疑问，充分调动学生的主观能动性，培养学生的质疑精神。
3.教师引导学生分析问题、解决问题，帮助学生建立提公因式法的解题思路。
4.通过对问题的引导和探讨，培养学生独立思考、解决问题的能力。
（三）小组合作
1.组织学生进行小组讨论，让学生在合作中发现问题、解决问题，培养学生的团队协作精神。
2.教师结合具体实例，详细讲解如何找出多项式的公因式，并运用提公因式法分解因式。
3.教师强调提公因式法在解决实际问题中的重要性，引导学生认识到学习提公因式法的意义。
4.教师通过互动提问，检查学生对提公因式法的理解和掌握程度，及时给予解答和指导。
（三学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组提供几个多项式，要求学生运用提公因式法进行分解。
二、教学目标
（一）知识与技能
1.让学生掌握提公因式法的基本概念，理解其定义和运用方法。
2.培养学生能够找出多项式的公因式，并正确运用提公因式法分解因式的能力。
3.使学生能够运用提公因式法解决实际问题，提高解决问题的能力。
4.培养学生运用数学知识总结规律、归纳方法的能力。
（二）过程与方法
1.通过观察、分析、归纳等方法，让学生自主探究提公因式法的基本步骤和运用方法。
八年级数学下册《公因式为单项式的提公因式法》优秀教学案例
（二）过程与方法
本节课注重培养学生的自主探究能力和合作精神，让学生在学习过程中掌握以下方法：
1.通过小组讨论、交流，培养学生的合作意识，提高解决问题的效率；
2.引导学生运用类比、归纳等思维方法，发现并总结公因式的提取规律；
3.鼓励学生尝试多种解题方法，培养他们的创新意识和发散思维；
二、教学目标
（一）知识与技能
本章节的核心目标是让学生掌握公因式为单项式的提公因式法，并能将其应用于解决实际问题。通过本节课的学习，学生应达到以下知识与技能目标：
1.理解公因式的概念，能够识别并正确提取单项式中的公因式；
2.学会运用提公因式法进行因式分解，熟练掌握相关运算法则；
3.能够将提公因式法应用于解决实际问题，提高数学应用能力；
2.创设具有挑战性的问题情境，引导学生主动参与课堂讨论，积极思考，为接下来的学习打下基础。
（二）问题导向
本节课将围绕问题导向的教学策略，引导学生通过解决问题，逐步掌握提公因式法。
1.设计具有层次性的问题，从简单到复杂，让学生在解决问题的过程中，逐步发现并总结公因式的提取规律。
2.鼓励学生提出自己的疑问，引导学生通过讨论、探究，解决问题，提高他们的自主学习和解决问题的能力。
5.人性化教学设计，关注个体差异
本案例在教学内容和过程设计中，充分考虑到学生的认知水平和个体差异。教师通过巡回指导、个别辅导等方式，关注每一个学生的学习进度和需求，使他们在课堂上都能得到有效的提升。这种人性化教学设计有助于提高教学质量，促进全体学生的全面发展。
（三）小组合作
小组合作是本节课的核心教学策略，旨在培养学生的团队协作能力和交流沟通能力。
北师大版八年级下册4.2《提取公因式法》教案
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了提取公因式法的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对提取公因式法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正确找出公因式和分解步骤这两个重点。对于难点部分，比如在多项式8x^3 - 12x^2中提取公因式4x^2，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与提取公因式法相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。通过实际操作，演示如何找出多项式中的公因式，并进行分解。
其次，在新课讲授环节，我注重了理论与实践相结合，通过案例分析让学生体会提取公因式法的作用。但在讲解过程中，我发现有些学生对找出公因式这一步骤掌握不够熟练，可能是因为我对这个知识点的讲解还不够细致。今后，我可以适当放慢讲解速度，让学生有更多的时间去消化和吸收。
在实践活动环节，分组讨论和实验操作让学生们积极参与，课堂氛围较为活跃。但我也注意到，部分小组在讨论过程中出现了偏离主题的情况。为了提高讨论效果，我应该在活动前给出更明确的讨论要求和指导，确保学生们能够围绕主题展开讨论。
北师大版八年级下册4.2《提取公因式法》教案
一、教学内容
本节课选自北师大版八年级下册第四章《因式分解》4.2节《提取公因式法》。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握提取公因式的方法与步骤，能够正确提取多项式中的公因式。
数学八年级下册《提公因式法》省优质课一等奖教案
2提公因式法
经历探索求多项式各项公因式的过程,能在具体问题中确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式,积累确定公因式的初步经验.
自主探索,合作交流,先学后教,当堂训练.
进一步了解分解因式的意义,加强学生的逆向思维,并逐渐渗透化归的思想方法.
【重点】用提公因式法分解因式.
【难点】确定多项式各项的公因式.
第课时
1.使学生了解因式分解的意义,了解因式分解和整式乘法是整式的两种相反方向的变形.
2.让学生会确定多项式中各项的公因式,会用提公因式法进行因式分解.
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提公因式法优秀教案
提公因式法【课时安排】2课时【第一课时】【教课目的】（一）教课知识点：让学生认识多项式公因式的意义，初步会用提公因式法分解因式。
（二）能力训练要求：经过找公因式，培育学生的察看能力。
（三）感情与价值观要求：在用提公因式法分解因式时，先让学生自己找公因式，而后大家议论结果的正确性，让学生养成独立思虑的习惯，同时培育学生的合作沟通意识，还可以使学生初步感觉因式分解在简化计算中将会起到很大的作用。
【教课要点】能察看出多项式的公因式，并依据分派律把公因式提出来。
【教课难点】让学生辨别多项式的公因式。
【教课过程】（一）创建问题情境，引入新课。
一块场所由三个矩形构成，这些矩形的长分别为 3 ， 3 ，7，宽都是1，求这块场所的4 2 4 2面积。
解法一： S= 1×3+1×3+1×7=3+3+7=2 2 4 2 2 2 4 8 4 8解法二： S= 13 1 3 1 7 1 3 3 7 1 ×2 ×+ ×+ ×= + + )= 4=24 2 2 2 4 2 4 2 4 2从上边的解答过程看，解法一是按运算次序：先算乘，再算和进行的，解法二是先逆用分派律算和，再计算一次乘，由此可知解法二要简单调些。
这个事实说明，有时我们需要将多项式化为积的形式，而提取公因式就是化积的一种方法。
（二）新课解说1．公因式与提公因式法分解因式的看法。
若将方才的问题一般化，即三个矩形的长分别为a、b、c，宽都是m，则这块场所的面积为 ma+mb+mc，或 m(a+b+c)，能够用等号来连结。
ma+mb+mc=m(a+b+c)从上边的等式中，大家注意察看等式左侧的每一项有什么特色？各项之间有什么联系？等式右侧的项有什么特色？等式左侧的每一项都含有因式 m，等式右侧是 m 与多项式 (a+b+c)的乘积，从左侧到右侧是分解因式。
因为 m 是左侧多项式 ma+mb+mc 的各项 ma、 mb、 mc 的一个公共因式，所以 m 叫做这个多项式的各项的公因式。
八年级数学提公因式法优秀教学设计
八年级数学提公因式法优秀教学设计八年级数学提公因式法优秀教学设计1教学目标1、使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系。
2、使学生理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式。
3、通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.教学重点及难点教学重点：因式分解的概念及提公因式法。
教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系。
教学过程：一、复习提问乘法对加法的分配律。
二、新课1、新课引入：用类比的方法引入课题。
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)。
例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7。
在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法。
2、因式分解的概念：请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果。
(老师按学生所说在黑板写出几个。
)如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy(a+b)(a-b)＝a2-b2(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10等等。
再请学生观察它们有什么共同的特点？特点：左边，整式×整式；右边，是多项式。
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的'乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解。
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)。
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc。
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别。
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式。
数学八年级下《 因式分解》省优质课一等奖教案
4.2提公因式法教学设计一、教学内容：北师大版八年级数学下册第四章4.2提公因式法二、单元教学分析：在小学高年级就学习了公因数的意义及乘法对加法的分配律，小学引进公因数有两个目的：一是渗透逆向思想，二是服务于四则混合运算。
而课程标准对“因式分解”的要求是：能用提公因式法、公式法进行因式分解。
教材中设置“因式分解”，其关键是发展逆向思维能力，突出整式乘法运算与因式分解的互逆关系，为后续学习分式化简与运算、解一元二次方程及二次函数的图像与方程的根的关系奠定基础。
本单元在知识与技能方面主要解决两个问题:什么是因式分解?怎样进行因式分解?教学中通过设计因数分解的例子让学生体会因数分解的必要性,继而用字母表示数体现一般化;通过类比因数分解体会提公因式法分解分解因式的意义和提公因式法分解因式的方法,体会数学知识之间的相互联系;通过经历借助拼图解释整式变形的过程,体会几何直观的作用;通过分析因式分解与整式乘法之间的互逆过程,学习因式分解的方法,提高学生对知识间联系的认识。
八年级学生已经学习了数与式以及相关的运算，已经有了初步的抽象思维能力，并能体会用字母表示数的数学思想，这些为因式分解的学习奠定了一定的基础，但是对于部分学生而言，相对于整式的运算，对于“因式分解”的出现显得有些唐突和准备不足，因为这里要求要有较好的逆向思维能力，在学习“因式分解”时也有部分学生会简单地认为它仅仅是整式乘法的逆运算过程，只需左右两边的位置交换即可，从而会放松对“因式分解”学习的警惕。
人教版是把整式的乘法和因式分解合起来做为一章完成，这样可直接通过整式的乘法的逆运算就会自然生成因式解，会节省教学时间，但北师大版是把因式分解单独做为一章，这样做的一个目的自然是为了突出因式分解的重要性和因式分解在数学中的地位，设计时为了体现这一特点，在引入课题时就通过复习小学尝试过的简便运算来引入课题，这样就让学生知道提公因式的自然性和重要性，学生由“数”及“式”地理解因式、公因式、因式分解等概念的意义，在这个过程中能够自然地感受到类比的数学思想，有充分的机会用数学语言进行概括和表达。
数学八年级下册提公因式法优质课市公开课一等奖课件名师大赛获奖课件
提公因式法
（第二学时）
复习：提公因式法
1、多项式的第一项系数为负数时，先提
取“-”号，注意多项式的各项变号；
2、 公因式的系数是多项式各项 __系__数__的__最__大__公__约__数__; 3、 字母取多项式各项中都含有
的_相__似___中最 小的一种,即_最__低__次__幂__.
(-a-b)n = -(a+b)n
(2) a+b与b+a
(a+b)n = (b+a)n
(n是奇数） 互为相似数, (n是整数）
练习一
1.在下列各式右边括号前添上适宜的符号, 使左边与右边相等.
(1) a+2 = __+_(2+a) (2) -x+2y = _+__(2y-x) (3) (m-a)2 = _+__(a-m)2
在下列各式等号右边的括号前 填入“+”或“－”号，使等式成立：
(1) (a-b) =_－__(b-a); (2) (a-b)2 =_+__(b-a)2;
(3) (a-b)3 =_－__(b-a)3; (4) (a-b)4 =_+__(b-a)4;
(5) (a+b)5 =_+__(b+a)5; (6) (a+b)6 =__+_(b+a)6.
典型例题
例1.把 a(x-3)+2b(x-3) 分解因式.
分析： 多项式可当作 a(x-3) 与 2b(x-3) 两项。 公因式为x-3
解： a(x-3)+2b(x-3) ＝（ｘ－３）（ａ＋２ｂ）
例2. 把a(x-y)+b(y-x)分解因式.
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2．提公因式法（二）
教材分析：
本节是因式分解的第2小节，占两个课时，这是第二课时，它主要让学生经历提取公因式从简单到复杂的过程，进一步培养学生的观察能力，体会数学的类比推理能力，让学生进一步了解分解因式与整式的乘法运算之间的互逆关系．一、学生知识状况分析
学生的技能基础：上一节课，学生学习了提取单项式公因式的基本方法，在这个基础上，学生基本上了解了提公因式法的基本步骤和方法，这为今天的深入学习提供了必要的基础．
学生活动经验基础：
学生有了上一节课的活动基础，由于本节课采用的活动方法与上节课很相似，依然是观察、对比等，学生对于这些活动方法较熟悉，有较好的活动经验．二、教学任务分析
学生在初步感知提取公因式的魅力之后，并对数学的逆向思维能力和类比思想有了简单的认识，本课时让学生体会如何将这些简单的知识和能力进一步升华，使学生逐步从提取的单项式公因式过渡到提取的多项式公因式，因此，本课时的教学目标是：
1.会用提取公因式法进行因式分解．
数学能力：
2.由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，确定多项式各项的公因式，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力．
3.由乘法分配律的逆运算过渡到因式分解，从提取的公因式是一个单项式过渡到提取的公因式是多项式，进一步发展学生的类比思想．
4.寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力．情感与态度：
通过观察能合理地进行分解因式的推导，并能清晰地阐述自己的观点．三、教学目标
1．经历探索多项式因式分解方法的过程，并在具体问题中，能确定多项式各项的公因式。
2．会用提公因式法把多项式分解因式（多项式中的字母指数仅限于正整数的情况）。
3.进一步了解分解因式的意义，加强学生的直觉思维并渗透化归的思想方法。
四、教学重难点
教学重点:用提公因式法把多项式分解因式
教学难点:探索多项式因式分解方法的过程
五、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：回顾与思考——例题讲解——做一做——例题讲解——反馈练习——问题解决——小结思考．
第一环节回顾与思考：复习提公因式法及注意事项
活动内容：把下列各式因式分解：
把下列各式分解因式： (1) mn mn 282+ (2) ab b a 52-+9b
(3) ma ma ma 126323-+- (4) x x x 84223-+-
活动目的：回顾上一节课提取公因式的基本方法与步骤，为学生能从容地把提取的公因式从单项式过渡到多项式提供必要的基础．以演板的形式让学生回忆起提取公因式的方法与步骤，使学生真正理解基本方法和步骤。
第二环节 探索新知（ 例题讲解）
活动内容：因式分解：（1）a （x –3）+2b （x –3） （2）()()2211+++x y x y 活动目的：引导学生通过类比将提取单项式公因式的方法与步骤推广应用于提取的多项式公因式．由于题中很显明地表明，多项式中的两项都存在着（x –3），通过观察，学生较容易找到第一题公因式是（x –3），而第二题公因式是y(x+1),并能顺利地进行因式分解．
第三环节 练一练
1、x(a+b)+y(a+b)
2、3a(x-y)-(x-y)
3、6(p+q)2-12(q+p)
4、a(m-2)+b(2-m)
做一做
活动内容：在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
（1）2–a = （a –2）
（2）y –x = （x –y ）
（3）b+a = （a+b ）
（4）（b –a ）2= （a –b ）2
（5）–m –n = （m+n ）
（6）–s 2+t 2= （s 2–t 2）
活动目的：培养学生的观察能力，为解决学生在因式分解中感到比较棘手的符号问题提供知识准备．
此时由学生归纳所得规律：
（1）首先注意分清前后两个多项式的底数部分是相等关系还是互为相反数的关系；
（2）当前后两个多项式的底数相等时，则只要在第二个式子前添上“+”；（3）当前后两个多项式的底数部分是互为相反数时，如果指数是奇数，则在第二个式子前添上“–”；如果指数是偶数，则在第二个式子前添上“+”．第四环节例题讲解
活动内容：将下列各式因式分解：
（1）a（x–y）+b（y–x）（2）3（m–n）3–6（n–m）2
活动目的：
有了前面所得规律，学生易观察到多项式中括号内不同符号的多项式部分，并把它们转换成符号相同的多项式；再把相同的多项式作为公因式提取出来．进一步引导学生采用类比的方法由提取的公因式是单项式类比出提取的公因式是多项式的方法与步骤．
第五环节反馈练习
活动内容：
2、把下列各式因式分解：
（1）x（a+b）+y（a+b）（2）3a（x–y）–（x–y）
（3）6（p+q）2–12（q+p）（4）a（m–2）+b（2–m）
（5）2（y–x）2+3（x–y）（6）mn（m–n）–m（n–m）2
活动目的：学生对于符号问题的解答有一定的困难，因而，需要认真比较这两
个多项式符号上的异同，确定它们是互为相反数还是相等关系．通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对符号的转换的理解是否到位，提取公因式的方法与步骤是否掌握，以便教师能及时地进行查缺补漏．
第六环节 问题解决：
活动内容：某大学有三块草坪，第一块草坪面积为()22
m b a +，第二块草坪面积为
()2m b a a +，第三块草坪面积为()2bm b a +，求这三块草坪的总面积。
活动目的：通过学生的讨论，当提取的公因式由两项过渡到三项时，应该采用何种对策，从而进一步提高学生的观察能力与思维能力．
第七环节 小结思考
活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？
活动目的：学生经历了一个从简单到复杂、提取的公因式从单项式——两项式——三项式的螺旋式上升的认识过程，对确定公因式的方法及提公因式法的步骤有了进一步的理解，更清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，掌握类比等数学思想方法．
通过学生的回顾与反思，强化学生对如果提取的公因式是多项式应该采取的方法，进一步清楚地了解提公因式法与单项式乘多项式的互逆关系，加深对类比数学思想的理解．
作业练习：课本第98页习题4．3第1，2题．
六、教学反思
对学生数学能力及数学思想方法的培养在初中数学教材中尽管没有专门章节进行训练，但始终渗透在整个初中数学的教学过程中．由于一些数学问题的
解决思路常常是相通的，类比思想可以教会学生由此及彼，灵活应用所学知识，它是初中数学一个重要的数学思想．
运用类比的数学方法，在新概念提出、新知识点的讲授过程中，可以使学生易于理解和掌握．如学生在接受提取公因式法时，由整式的乘法的逆运算到提取公因式的概念，由提取的公因式是单项式到提取的公因式是多项式时的分解方法，都是利用了类比的数学思想，从而使得学生接受新的概念时显得轻松自然，容易理解，没有斧凿的痕迹．
教学中那种只重视讲授表层知识，而不注重渗透数学思想、方法的教学，是不完备的教学，它不利于学生对所学知识的真正理解和掌握，使学生的知识水平永远停留在一个初级阶段，难以提高；反之，如果单纯强调数学思想和方法，而忽略表层知识的教学，就会使教学流于形式，成为无源之水，无本之木，学生也难以领略深层知识的真谛．因此数学思想的教学应与整个表层知识的讲授融为一体．。