【理数】2020哈九中高三下学期三模试卷+答案!(高清版)
哈尔滨市第九中学2020届高三数学第三次模拟考试试题理含解析
A. B。 C。 D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由等差数列的前 项和公式和等差数列的性质，可得 。由无穷等差数列 的各项都为正数，可得公差 ，逐项判断，即得答案.
【详解】 ，
，故 正确.
∵无穷等差数列 的各项都为正数，∴公差 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查利用二项式通项求指定项的系数，同时也考查了利用二项式系数比求参数,考查计算能力,属于中等题.
15. 在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且a2 ab+b2＝1，c＝1,则 a﹣b的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据 ， ,由余弦定理知 ,再根据正弦定理得到 ， ，于是 ，最后利用三角函数 性质就可求出相应的范围。
，故 正确.
，
故 错误。
，
故 正确.
故选:C。
【点睛】本题考查等差数列的前 项和公式和等差数列的性质，属于基础题。
11。 已知A，B是双曲线 实轴的两个端点，M，N是双曲线上关于x轴对称的两点，直线 ， 的斜率分别为 ， ,且 ,若 恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A。 B. C. D.
【答案】B
则对于任意 ，存在 ， ,使得 成立,即 ，
所以 当 时，不存在 ， ,使得 成立，故②错误；
对于③，若 是 在 上的“被追逐函数"，此时必有 ,解得 ,
当 时， 和 在 上单调递减,
若 是 在 上的“被追逐函数”,
则对于任意 ，存在 ， ,使得 成立,
即 ，所以 ，即 ,则 ，
构造函数 ,则 ，则 在 上单调递减,又 ,则 恒成立,
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(含解析)
2020届黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.以下命题：①任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立；②存在复数z，有z2=|z|2成立；③若y=sin(x+π3)是奇函数且最小正周期为2π；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是真命题．其中正确命题的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 42.已知i为虚数单位，复数z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，则实数a的值为()A. 2B. −2C. 2或−2D. ±2或03.若集合A={x|x2≤4}，B={x|x≥0}.则A∩B=()A. {x|0≤x≤2}B. {x|x≥−2}C. {0,1，2}D. {1,2}4.设随机变量X服从B(6,12)，则P(X=3)的值是()A. 316B. 516C. 38D. 585.有3个学习兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为()A. 34B. 23C. 12D. 136.已知a，b，a+b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0<log m(ab)<1，则m的取值范围是()A. m>1B. 1<m<8C. m>8D. 0<m<1或m>87.若函数f(x)=sin(ωx+π3)的图象向右平移π3个单位后与原函数的图象关于x轴对称，则ω的最小正值是()A. 12B. 1C. 2D. 38.已知e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，则a⃗=2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ 与b⃗ =−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ 的夹角的正弦值是()A. √32B. −12C. 12D. −√329.已知函数f(x)=|lgx|，若f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则b所在区间为()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)10.过双曲线x2a2−y2b2=1(a,b>0)的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为P，线段OP的垂直平分线交y轴于点Q(其中O为坐标原点).若△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. 2D. √511.某四面体的三视图均为直角三角形，如图，则该四面体的表面积为()A. 72+24√2B. 96+24√2C. 126D. 6412.已知等差数列{a n}的前9项的和为27，则2a2+a8=()A. 16B. 2C. 64D. 128二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对任何有限集S，记p(S)为S的子集个数．设M={1,2，3，4}，则对所有满足A⊆B⊆M的有序集合对(A,B)，p(A)p(B)的和为______．14.若x，y满足约束条件{x−y+1≥0x+y≤0y≥0则z=2x−y的最小值为______15.在平面直角坐标系中，动点P满足到x轴的距离与到原点O的距离之和等于2.记动点P的轨迹为曲线C，下面对于曲线C的描述正确的是______.(把所有正确的命题的序号填在横线上)①曲线C关于原点对称；②曲线C关于直线y=x对称；③若点P(x,y)在曲线C上，则|y|≤1；④若点P(x,y)在曲线C上，则1≤|PO|≤2．16.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.一商场对每天进店人数和商品销售件数进行了统计对比，得到如下表格：人数 i x10152025303540件数 i y471215202327其中 i=1，2，3，4，5，6，7.(1)以每天进店人数为横轴，每天商品销售件数为纵轴，画出散点图；(2)求回归直线方程；(结果四舍五入后保留到小数点后两位)(3)预测进店人数为80人时，商品销售的件数．(结果保留整数)(参考公式：)参考数据：18.设A，B，C为△ABC的三个内角，向量m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC．(1)求角A的大小；(2)求sinB+sinC的取值范围．19.如图，四棱锥P−ABCD底面为一直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥面ABCD，E为PC中点(Ⅰ)求证：平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)求证：BE//平面PAD(Ⅲ)假定PA=AD=CD，求二面角E−BD−C的正切值．20.在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到两个定点F1(−√2,0)，F2(√2,0)的距离的和为定值4．(1)求点P运动所成轨迹C的方程；(2)设O为坐标原点，若点A在轨迹C上，点B在直线y=2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系，并证明你的结论．21. 已知函数f(x)=x 3+2x −sinx(x ∈R)．(Ⅰ)证明：函数f(x)是R 上单调递增函数； (Ⅱ)解关于x 的不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0．22. 在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数)． (Ⅰ)求曲线C 的普通方程；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，已知直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，求|AB|．23. 已知函数f(x)={2−3x ,x ≥012x 2+x +1,x <0．(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)若函数ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点，求实数a 的取值范围；(3)若2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]，b ∈[−2,2]恒成立，求实数t 的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，则任意向量a⃗2，有a⃗2=|a⃗2|成立，故①正确；②当复数z为实数时，则必存在复数z，有z2=|z|2成立，故②正确；③由于sin(−x+π3)=−sin(x−π3)≠−sin(x+π3)，故y=sin(x+π3)不是奇函数，故③不正确；④如果命题p是真命题，命题q是假命题，则命题“p且q”是假命题，故④不正确，故选：B．①由于a⃗2=|a⃗|⋅|a⃗|⋅cos<a⃗,a⃗>=|a⃗2|，即可判断①正确；②当复数z为实数时，有z2=|z|2成立，即可判断②正确；③由于f(−x)=f(x)知③不正确；④由复合命题的真假判断④不正确．本题通过命题的判定考查了平面向量，复数，三角函数的性质，复合命题的真假判断等知识，是综合题．2.答案：C解析：解：z1=a+i，z2=2−i，且|z1|=|z2|，所以|z1|2=|z2|2，根据复数模的计算公式得出a2+1=22+(−1)2=5，整理a2=4，所以a=2或−2故选C根据复数模的计算公式|z|=√a2+b2，得出关于a的方程并解出即可．本题考查复数模的计算公式及应用．属于基础题．3.答案：A解析：解：集合A中的x2≤4解得：−2≤x≤2，则{x|−2≤x≤2}集合B={x|x≥0}，则A ∩B ={x|0≤x ≤2}， 故选：A ．先求出集合A 中的一元二次不等式的解集，然后求出公共解集即为两集合的交集． 本题属于以不等式的解集为平台，求集合的交集的基础题，也是高考常会考的题型．4.答案：B解析：解：∵随机变量X 服从(6,12)，∴P(X =3)=C 63(12)3(12)3=2026=516故选：B ．根据随机变量符合二项分布，写出对应的自变量的概率的计算公式，代入自变量等于3时的值． 本题考查二项分布，本题解题的关键是写出变量对应的概率的表示式，本题是一个基础题，若出现一定是一个送分题目．5.答案：D解析：解：总的可能性为3×3=9种， 两位同学参加同一个兴趣小组的情况为3种， ∴所求概率P =39=13， 故选：D ．由题意可得总的可能性为9种，符合题意的有3种，由概率公式可得． 本题考查古典概型及其概率公式，属基础题．6.答案：C解析：解：∵a ，b ，a +b 成等差数列， ∴2b =2a +b ，即b =2a.① ∵a ，b ，ab 成等比数列，∴b 2=a 2b ，即b =a 2(a ≠0,b ≠0).② 由①②得a =2，b =4． ∵0<logm 8<1， ∴m >1．∵logm8<1，即logm8<logm m∴m>8故选C由已知可得b=2a，b2=a2b，联立可求a，b，代入已知不等式即可求解m的范围本题主要考查了等差数列及等比数列的性质及对数不等式的求解，属于知识的简单应用．7.答案：D解析：解：根据函数的平移法则可得，把已知函数的图象向右平移π3个单位的函数y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称则有sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得，ω=6k+3，k∈Z，故当k=0时ω的最小值为：3．故选D．先根据函数的平移法则求出把已知函数的图象向右平移π3个单位所得的函数，然后由已知y=sin(ωx+π3−ωπ3)与f(x)=sin(ωx+π3)的图象关于x轴对称可得sin(ωx+π3)=−sin(ωx+π3−ωπ3)，解方程可得ω，进而求最小值三角函数的左右平移一定要注意x上的变化量是解题中容易出错的地方，要引起注意，而函数的图象变换也是函数的重要知识，要熟练掌握．8.答案：A解析：本题考查了平面向量的数量积，向量的模以及向量的夹角，属于基础题．先求得a⃗⋅b⃗ 以及|a⃗|、|b⃗ |，再根据向量的夹角公式求得a⃗,b⃗ 的夹角的余弦值，即可求得结果．解：∵e1⃗⃗⃗ ，e2⃗⃗⃗ 是夹角为60°的两个单位向量，∴|e1⃗⃗⃗ |=|e2⃗⃗⃗ |=1，e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =1×1×cos60°=12．∴a⃗⋅b⃗ =(2e1⃗⃗⃗ +e2⃗⃗⃗ )·(−3e1⃗⃗⃗ +2e2⃗⃗⃗ )=−6e1⃗⃗⃗ 2+2e2⃗⃗⃗ 2+e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =−6+2+12=−72．|a⃗|=√4e1⃗⃗⃗ 2+e2⃗⃗⃗ 2+4e1⃗⃗⃗ ⋅e2⃗⃗⃗ =√4+1+2=√7，|b ⃗ |=√9e 1⃗⃗⃗ 2+4e 2⃗⃗⃗ 2−12e 1⃗⃗⃗ ⋅e 2⃗⃗⃗ =√9+4−6=√7， 设a ⃗ =2e 1⃗⃗⃗ +e 2⃗⃗⃗ 与b ⃗ =−3e 1⃗⃗⃗ +2e 2⃗⃗⃗ 的夹角为θ， 则cosθ=a⃗ ⋅b ⃗ |a ⃗ | |b⃗ |=−72√7×√7=−12，∴sinθ=√1−cos 2θ=√32． 故选：A ．9.答案：D解析：解：画出函数f(x)=|lgx|的图象， ①设a+b 2≥1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =2lga+b 2，ab =1，可得a =1b ， 则b =(1b +b2)2，化为：f(b)=b 4−4b 3+2b 2+1=0，(b >1)． f′(b)=4b(b 2−3b +1)=4b(b −3+√52)(b −3−√52)，可知：当b ∈(1,3+√52)时，f′(b)<0，f(b)的单调递减；当b >3+√52时，f′(b)>0，f(b)的单调递增．由f(1)=0，可知：f(3+√52)<0，而f(3)=−8<0，f(4)=33>0，∴此时存在唯一零点b ∈(3,4)． ②设0<a+b 2<1，∵f(a)=f(b)=2f(a+b 2)(0<a <b)，则−lga =lgb =−2lg a+b 2，∴ab =1，1b =(a+b 2)2， 化为：f(b)=b 4+2b 2−4b +1=0，(2>b >1)． f′(b)=2(2b 3+b −2)>0，可知：当b ∈(1,2)时，函数f(b)的单调递增． 由f(1)=0，f(b)>0，此时函数f(b)不存在零点． 综上可得：b 所在区间为(3,4)．画出函数f(x)=|lgx|的图象，①设a+b2≥1，由f(a)=f(b)=2f(a+b2)(0<a<b)，则−lga=lgb=2lg a+b2，可得b=(1b+b2)2，化为：f(b)=b4−4b3+2b2+1=0，(b>1).利用导数研究其单调性即可得出；②设0<a+b2<1，同理可得．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．10.答案：B解析：解：双曲线x2a2−y2b2=1的一条渐近线方程为y=bax，右焦点F(c,0)，由题意可得直线PF的方程为y=−ab(x−c)，联立渐近线方程y=ba x，可得P(a2c,abc)，可得OP的垂直平分线方程为y−ab2c =−ab(x−a22c)，令x=0，可得y=ac2b ，即Q(0,ac2b)，又|PF|=√a2+b2=b，|OP|=√|OF|2−|PF|2=√c2−b2=a，由△OFP的面积是△OPQ的面积的4倍，可得12c⋅abc=4⋅12⋅ac2b⋅a2c，即有b2=2a2，可得c2=a2+b2=3a2，e=ca=√3，故选：B．求出双曲线的渐近线方程，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1，可得PF的方程，联立渐近线方程，解得交点P的坐标，运用中点坐标公式可得OP的垂直平分线方程，可得Q的坐标，运用三角形的面积公式，结合离心率公式，即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程，以及三角形的面积公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．解析：解：由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为8，底面为直角三角形，直角边长分别为6、8，如图：SB=8√2，BC⊥SB，AC=10，SA⊥平面ABC，∴SA⊥AC∴几何体的表面积S=12×8×8+12×8×6+12×10×8+12×8√2×6=96+24√2．故选：B．几何体是三棱锥，且三棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图判断各面的形状，根据三视图的数据求相关几何量的数据，把数据代入三角形面积公式计算．本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是关键．12.答案：C解析：由本题考查等差数列的求和公式，涉及等差数列的性质，属于基础题．等差数列的求和公式和性质可得结论．解：∵等差数列{a n}的前9项的和为S9=27，∴S9=9(a1+a9)2=9(a2+a8)2=27，解得a2+a8=6，∴2a2+a8=26=64故选：C13.答案：2401解析：解：当B为n(0≤n≤4)元集时，则p(B)=2n，且B集合的个数为C4n，又A⊆B则①A为n元集时，则p(A)=2n且A的个数为C n n②A为n−1元集时，则p(A)=2n−1且A的个数为C n n−1以此类推③A 为⌀时，p (A)=20且A 的个数为C n0 则p (A)P (B)=C 4n 2n (C n 020+C n 121+⋯+C n n 2n ) =C 4n 2n (1+2)n=C 4n 6n当n 依次取0，1，2，3，4时p (A)p (B)的和为C 4060+C 4161+⋯+C 4464=2041，故答案为：2401．先由B 为n(0≤n ≤4)元集时，则p (B)=2n ，且B 集合的个数为C 4n ，然后在这种情况下分别讨论集合A 的个数与集合A 的子集个数，推导出通项公式，再将n =0，1，2，3，4代入计算即可． 本题考查了集合间的关系，同时考查了二项式定理，知识间交汇较好．14.答案：−2解析：解：作出x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0x +y ≤0y ≥0对应的平面区域(阴影部分)由z =2x −y ，得y =2x −z ，平移直线y =2x −z ，由图象可知当直线y =2x −z 经过点A时，直线y =2x −z 的截距最大，此时z 最小．由{y =0x −y +1=0， 解得A(−1,0)，此时z 的最小值为z =2x −y =−2，故答案为：−2．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小值．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．15.答案：①③④解析：解：设P(x,y)，由动点P 满足到x 轴的距离与到原点O 的距离之和等于2，可得|y|+√x 2+y 2=2，可得x 2+y 2=(2−|y|)2，化为x2+4|y|=4，将上式中的x换为−x，y换为−y，方程不变，可得曲线C关于原点对称，故①正确；由于将x换为y，y换为x，方程变为y2+4|x|=4和原方程不同，故②错误；若点P(x,y)在曲线C上，可得|y|≤1，故③正确；若点P(x,y)在曲线C上，可得|PO|2=x2+y2=4−4|y|+y2=(|y|−2)2，由0≤|y|≤1可得−2≤|y|−2≤−1，则1≤|PO|≤2，故④正确．故答案为：①③④．设P(x,y)，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，列方程化简方程可得曲线C的方程，再将x换为−x，y换为−y，可判断①；将x换为y，y换为x，可判断②；由x2≥0，即可判断③；运用两点的距离公式和0≤|y|≤1，结合二次函数的值域求法，可判断④．本题考查轨迹方程的求法，注意运用两点的距离公式，考查曲线的性质，注意运用对称结论和二次函数的性质，考查运算能力，属于中档题．16.答案：100解析：解：由题意知：故答案是100．17.答案：，，．解析：(1)根据所给的这一组数据，得到7个点的坐标，把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图，从散点图可以看出，这两个两之间是正相关．(2)根据所给的数据，做出x，y的平均数，即得到这组数据的样本中心点，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数，写出线性回归方程．(3)利用上一问做出的线性回归方程，把x的值代入方程，预报出对应的y的值．18.答案：解：(1)∵m⃗⃗⃗ =(sinB+sinC,0)，n⃗=(0,sinA)，且|m⃗⃗⃗ |2−|n⃗|2=sinBsinC，∴(sinB+sinC)2−sin2A=sinBsinC，∴sin2B+sin2C−sin2A=−sinBsinC由正弦定理可得b2+c2−a2=−bc，∴cosA=b2+c2−a22bc =−bc2bc=−12，∵A∈(0,π)，∴A=2π3；(2)由(1)知，B+C=π3，∴sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，∵0<B<π3，∴π3<B+π3<2π3，∴√32<sin(B+π3)≤1，∴sinB+sinC的取值范围是(√32,1]．解析：(1)利用向量的模长公式，结合正弦定理、余弦定理，即可(1)求角A的大小；(2)由(1)知，B+C=π3，故sinB+sinC=sinB+sin(π3−B)=12sinB+√32cosB=sin(B+π3)，即可求sinB+sinC的取值范围．本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查三角函数的化简与求值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥DC，∵DC⊥AD且AD∩PA=A，∴DC⊥面PAD，∵DC⊂面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD(Ⅱ)证明：取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，∴在△PDC中：EF=//12DC，∴EF=//AB，∴四边形ABEF为平行四边形，即BE//AF，∵AF⊂面PAD且BE⊄面PAD，∴BE//平面PAD．(Ⅲ)解：连接AC，取AC中点O，连接EO．在△PAC中：EO=//12PA，∴EO⊥面ABC，得EO⊥BD，过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG．EO∩OG=O，∴BD⊥面EGO，∴BD⊥EG，∵BD为平面EBD与平面CBD的交线，EG⊂平面EBD，OG⊂平面CBD，∴∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，∴EO=a连DO并延长交AB于B′，则四边形AB′CD为正方形，且B′B=a，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′．∴OG=12B′G′=12BB′⋅sin∠B′BG′=12BB′⋅sin∠ABD=12a⋅ADBD=12a√(2a)2+a2=√5在△EOG中：tan∠EGO=EOOG=a1√5a=√5，故二面角E−BD−C的平面角的正切值为√5．解析：(Ⅰ)证明PA⊥DC，DC⊥AD，然后证明DC⊥面PAD，平面PDC⊥平面PAD；(Ⅱ)取PD的中点F，连接EF，FA，∵E为PC中点，证明四边形ABEF为平行四边形，推出BE//AF，然后证明BE//平面PAD；(Ⅲ)连接AC，取AC中点O，连接EO.过O作OG⊥BD交BD于G，连接EG.则∠EGO为所求二面角E−BD−C的平面角，设PA=AD=CD=2a，AB=a，连DO并延长交AB于B′，O为DB′中点，过B′作B′G′⊥DB交BD于G′，在△EOG中求解二面角E−BD−C的平面角的正切值．本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面平行与垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20.答案：解：(1)∵动点P 到两点F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)的距离之和为4，∴由椭圆的定义可知，点P 的轨迹是以F 1(−√2,0)，F 2(√2,0)为焦点，以4为长轴的椭圆， ∵c =√2，a =2，∴b =√2，∴C 的方程为x 24+y 22=1．(2)直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0．∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 即tx 0+2y 0=0，解得t =−2y 0x 0． 当x 0=t 时，y 0=−t 22，代入椭圆C 的方程得t =±√2，故直线AB 的方程为x =±√2，圆心O 到直线AB 的距离d =√2．此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y −2=y 0−2x 0−t (x −t)，即(y 0−2)x −(x 0−t)y +2x 0−ty 0=0．圆心O 到直线AB 的距离d =000202． 又x 02+2y 02=4，t =−2y 0x 0． 故d =|2x 0+2y 02x 0|√x 02+y 02+4y 0x 02+4=|4+x 02x 0|√x 0+8x 0+162x 02=√2． 此时直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．综上所述，直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．解析：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题，解决此类问题的必须熟悉曲线的定义和曲线的图形特征，属于中档题．(1)由椭圆的离心率公式及椭圆的性质，根据已知离心率与四个顶点组成菱形面积求出a 2与b 2的值，即可确定出椭圆C 的方程；(2)设出点A ，B 的坐标分别为(x 0,y 0)，(t,2)，其中x 0≠0，由OA ⊥OB 得到OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，用坐标表示后把t 用含有A 点的坐标表示，然后分A ，B 的横坐标相等和不相等写出直线AB 的方程，然后由圆x 2+y 2=2的圆心到AB 的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x 2+y 2=2相切．21.答案：证明：(I)∵f(x)=x 3+2x −sinx ，∴f′(x)=3x 2+2−cosx =3x 2+(2−cosx)．∵3x 2≥0，2−cosx >0恒成立，故f′(x)>0，故函数f(x)是R 上单调递增函数；(Ⅱ)∵f(−x)=(−x)3+2(−x)−sin(−x)=−(x 3+2x −sinx)=−f(x)，∴函数f(x)是奇函数．原不等式可化为f(x 2−a)<−f(x −ax)=f(ax −x)，由(1)可得x 2−a <ax −x ，即x 2+(1−a)x −a <0，即(x +1)(x −a)<0，当a <−1时，原不等式的解集为(a,−1)；当a =−1时，原不等式的解集为⌀；当a >−1时，原不等式的解集为(−1,a)．解析：(I)根据已知函数的解析式，求出函数的导函数，根据二次函数和余弦函数的性质，分析导函数的符号，即可判断出函数的单调性；(II)根据函数奇偶性的定义及函数解析式，可判断出函数为奇函数，结合(I)中函数的单调性和定义域，可将不等式f(x 2−a)+f(x −ax)<0化为(x +1)(x −a)<0，分别讨论对应方程两根a 与−1的大小，即可得到不同情况下原不等式的解集．本题考查的知识点是函数的单调性与奇偶性的证明及应用，熟练掌握导数法证明单调性及定义法证明奇偶性是解答的关键．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的参数方程为{x =√2cosαy =√2sinα(α为参数).转换为直角坐标方程为x 2+y 2=2． (Ⅱ)线l 方程为√2ρsin(π4−θ)+1=0，转换为直角坐标方程为x −y +1=0．所以圆心(0,0)到直线x −y +1=0的距离d =√2=√22，所以|AB|=2√(√2)2−(√22)2=√6．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (Ⅱ)利用点到直线的距离公式的应用和垂径定理的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)作出函数f(x)的图象，如图所示，结合图象可知，f(x)的单调递增区间(−1,0)，单调递减区间(−∞,−1)，[0,+∞)，(2)由ℎ(x)=2f(x)−a 恰有3个不同零点可得f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象可知，当12<12a <1即1<a <2时，满足题意，(3)由(1)的图象可知，当x ∈[−2,2]时，2f(x)∈[−14,2]，因为2f(x)≤2t 2−bt +2对所有x ∈[−2,2]恒成立，所以2≤2t 2−bt +2对任意b ∈[−2,2]恒成立，即2t 2−bt ≥0对任意b ∈[−2,2]恒成立，令F(b)=2t 2−bt ，b ∈[−2,2]，则{F(−2)=2t +2t 2≥0F(2)=2t 2−2t ≥0， 解可得，t ≥1或t ≤−1或t =0，故实数t 的取值范围{t|t ≥1或t ≤−1或t =0}．解析：(1)先作出函数的图象，然后结合函数的图象即可求解函数单调区间，(2)由题意可转化为f(x)=12a 有3个不同的零点，结合函数的图象即可求解，(3)结合函数的图象可Ian 求出2f(x)的最大值，然后变换主元，结合一次函数的性质可求．本题主要考查了利用函数的图象求解函数的单调区间，及函数的零点个数的求解，及不等式的恒成立与最值求解的相互转化，体现了数形结合及转化思想的应用．。
黑龙江省哈九中高三数学第三次模拟考试 理
黑龙江省哈九中高三数学第三次模拟考试 理【会员独享】1．若B A ,均为集合{}9,7,5,3,1=U 的子集，且{}3=B A ，(){}9=A B C U ，则=A A . {}3,1 B . {}9,7,3 C .{}9,5,3 D .{}9,32. 已知直线22=+y x 与x 轴、y 轴分别交于B A ,两点，若动点()b a P ,在线段AB 上，则ab 的最大值为A . 21B . 2C .3D .31 3. 在复平面内复数i 56+，i 32+-对应的点分别为B A ,，若C 为线段AB 的中点，则点C 位于A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限4. 程序框图如图所示，该程序运行后输出的S 的值是A ．2B ．21-C ．3-D ．31 5. 设()[)[]⎩⎨⎧∈-∈=2,1,21,0,2x x x x x f ，则()dx x f ⎰20的值为 A . 43 B . 54 C . 65 D . 67 6. 已知直线⊥l 平面α，直线⊂m 平面β，有下面四个命题：（1）α//m l ⊥⇒β；（2）l ⇒⊥βα//m ；（3）l //βα⊥⇒m ；（4）α⇒⊥m l //β； 其中正确的命题 A . ()()21 B . ()()31 C . ()()42 D . ()()437．若一个圆台的正视图如图所示，则圆台的体积等于A . π6B .π14C . π37D . π314 8．若O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足|2|||OA OC OB OC OB -+=-，则ABC ∆的形状为A . 等腰直角三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等边三角形9．若对于任意的实数x ，有3322103)2()2()2(-+-+-+=x a x a x a a x ，则2a 的值为A . 3B . 6C . 9D . 1210．用二分法求函数43)(--=x x f x 的一个零点，其参考如下数据：由此可得到的方程043=--x 的一个近似解（精确到01.0）为A . 55.1B . 56.1C . 57.1D . 58.1 11．曲线161022=-+-m y m x 与曲线15922=-+-my m x 具有相同的焦距，则m 的取值范围是A .)5,(-∞B .)6,5(C . )5,(-∞)6,5(D . )5,(-∞)9,6()6,5(12．函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，0)1(=-f ，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)22011()1()21()0(f f f f ++++ 的值是 A .0 B . 21 C . 1 D .25 13．已知向量)2,(cos α=a ，)1,(sin α=b 且b a //，则=︒-)45tan(α14．已知数列 {}n a ()*∈N n 中，11=a ，121+=+n n n a a a ，则n a = 15．某校安排5个班到4个社区进行社会实践，每个班去一个社区，每个社区至少安排一个班，不同的安排方法共有 种（用数字作答）16．下列四个结论中，正确结论的序号是①函数xy 2=与x y 2log =的图像关于直线x y =对称；②为了得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin πx y 的图象，只需把函数x y 2sin =的图象上的所有点向右平移3π个单位长度； ③当0=n 或1=n 时，幂函数nx y =的图象都是一条直线；④已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<=2,42120,log 2x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且()()()c f b f a f ==，则abc 的取值范围是()4,2.17. 在一个特定的时间段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域，点E 正北55海里处有一雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东 45且与点A 相距240海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已经驶到点A 北偏东θ+ 45（其中)900,2626sin <<=θθ且与点A 相距1310海里的C 处. ()1 求该船的行驶速度；()2 若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒线水域，并说明理由.18. 从装有2个红球，2个白球和1个黑球的袋中逐一取球，已知每个球被抽取的可能性相同.（1）若抽取后又放回，抽取3次，分别求恰有2次是红球的概率及抽全三种颜色球的概率；（2）若抽取后不放回，求抽完红球所需次数不少于4次的概率；（3）记红球、白球、黑球对应的号码为3,2,1，现从盒中有放回地先后抽出的两球的号码分别记为y x ,，记|||2|x y x -+-=ξ，求随机变量ξ的分布列.19.下图是一几何体的直观图、正（主）视图、侧（左）视图、俯视图.（1）若F 为PD 的中点，求证：⊥AF 平面PCD ；（2）求平面PEC 与平面PCD 所成的二面角（锐 角）的余弦值.20. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 的焦距为2，点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22,1M 在椭圆C 上，()1 求椭圆C 的标准方程；()2 若过点)2,0(B 的直线与()1中的椭圆交于不同的两点E D ,（D 在B 、E 之间）； 试求OBD ∆与OBE ∆面积之比的取值范围.21. 已知函数164)(21+=x mx x f ,||2)21()(m x x f -=（其中R m ∈且0≠m ）. （1）讨论函数)(1x f 的单调性；（2）若2-<m ，求函数)()()(21x f x f x f +=,]2,2[-∈x 的最值；（3）设函数⎩⎨⎧<≥=2),(2),()(21x x f x x f x g ,当2≥m 时，若对于任意的),2[1+∞∈x ，总存在唯一 的)2,(2-∞∈x ，使得)()(21x g x g =成立．试求m 的取值范围．A22．如图，圆O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为OA 上一点，BM 的延长线交圆O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P 。
黑龙江省哈九中2020届高三数学第三次月考理科卷
黑龙江省哈九中2020届高三第三次月考试题数学试题(理)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每题5分，共60分。
在每题所给的四个选项中，只有一个是正确的） 1．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则=++543a a a（ ）A ．33B ．72C ．84D ．189 2．若3)4tan(=-απ，则αcot 等于（ ）A ．2-B ．21-C ．21D ．23．函数()011<-+=x e e y xx 的反函数是 （ ）A ．)1(11ln>-+=x x x y B ． )1(11ln -<-+=x x x yC ．)1(11ln >+-=x x x yD ． )1(11ln -<+-=x x x y4．)12112131211(lim +-+-+-+++-+∞→n nn n n n n n Λ的值为（ ）A ．1-B ．0C ．21D ．15．下列各式中，值为23的是（ ）A ．015cos 15sin 2 B ．02215sin 15cos -C ．115sin 202-D ．02215cos 15sin +6．等差数列{}n a 的公差0<d ，且21121a a =，则数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值时的项数n 是（ ）A ．5B ．6C ．5或6D ．6或77．给出如下三个命题： ① 四个非零实数d c b a ,,,依次成等比数列的充要条件是bc ad =； ② 函数)(x f y =和函数2)1(+-=x f y 的图像一定不能重合；③ 若x x f 2log )(=，则)(x f 是偶函数。
其中不正确命题的序号是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．①③ 8．已知1cos sin >-θθ，则角θ所在的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限9．设)1(11216121+++++=n n S n Λ，且431=⋅+n n S S ，则n 的值为 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．610．现有四个函数：①x x y sin ⋅= ②x x y cos ⋅= ③x x y cos ⋅= ④xx y 2⋅=的图像（部分）如下，但顺序被打乱，则按照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一）A ．④①②③B ．①④③②C ．①④②③D ．③④②①11．数列{}n a 的前n 项和是n S ，如果*)(23N n a S n n ∈+=，则这个数列一定是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列C ．除去第一项后是等比数列D ．除去第一项后是等差数列12．已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且在区间[)+∞,0上是增函数。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷（理科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合A ={x|2x ≥8}，集合B ={x|y =lg(x −1)}，则A ∪B =( )A. [1,3)B. (1,3]C. (1,+∞)D. [3,+∞)2. 已知i 为虚数单位，则z =i1−2i 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数，且在(−∞,0)上单调递增的是( )A. f(x)=x 23 B. f(x)=2|x|C. f(x)=log 21|x+1|D. f(x)=1|x|−|x|4. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=xe x 在(1,f(1))处的切线方程为( )A. 2ex −y −e =0B. x −2ey −e =0C. 2ex −y −e +1=0D. x −2ey −e +1=07. “克拉茨猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半；如果n 为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m 经过5次运算后得到1，则m 的值为( )A. 32或5B. 16或2C. 16D. 32或5或48. 小李和小王相约本周六在14：00到15：00进入腾讯会议室线上交流，假设两人在这段时间内的每个时刻进入会议室是等可能的，先到者等候另一人10分钟，过时即离去．则两人能在会议室相遇的概率为( )A. 2536B. 1136C. 49D. 599. 某程序框图如图所示，若输入的a 、b 分别为5、3，则输出的n =( )A. 2B. 3C. 4D. 510. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左右焦点，P 为y 轴上一点，Q 为左支上一点，若(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，且△PF 2Q 周长最小值为实轴长的3倍，则双曲线C 的离心率为( )A. 2B. √3C. √2D. 2√211. 已知数列{a n }，a n =n 2sin n2π，则数列{a n }的前100项和为( )A. 5000B. −5000C. 5050D. −505012. 已知△ABC 中，长为2的线段AQ 为BC 边上的高，满足：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BH =( )A. 4√77B. 4√7C. 4√33D. 2√7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫√4−x 22−2dx =______．14. 直线l 过抛物线C ：y 2=2px(p >0)的焦点F ，交抛物线C 于点A(点A 在x 轴上方)，过点A 作直线x =−p2的垂线，垂足为M ，若垂足M 恰好在线段AF 的垂直平分线上，则直线l 的斜率为______． 15. 新型冠状病毒蔓延以来，世界各国都在研制疫苗，某专家认为，某种抗病毒药品对新型冠状病毒具有抗病毒、抗炎作用，假如规定每天早上7：00和晚上7：00各服药一次，每次服用该药药量700毫克具有抗病毒功效，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的70%，该药在人体内含量超过1000毫克，就将产生副作用，若人长期服用这种药，则这种药______(填“会”或者“不会”)对人体产生副作用．16.在三棱锥S−ABC中，AB=6，BC=8，AC=10，二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小均为π4，设三棱锥S−ABC的外接球球心为O，直线SO交平面ABC于点M，则三棱锥S−ABC的内切球半径为______，SOOM=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若f(x)=2√63，且π2<x<3π4，求cos2x．18.如图，三棱锥P−ABC中，底面△ABC是边长为2的正三角形，PA=2，PA⊥底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点．(1)求证：平面BEF⊥平面PAC；(2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成的角的余弦值为√77？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由．19. 函数f(x)=lnx −2(x−1)x+1．(1)求证：函数f(x)在(0,+∞)上单调递增； (2)若m ，n 为两个不等的正数，试比较lnm−lnn m−n与2m+n 的大小，并证明．20. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√22，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆C 1过点(1,0)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点M(2,0)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且与圆C 1没有公共点，设G 为椭圆C 上一点，满足(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=t OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点)，求实数t 的取值范围．21. (1)某中学理学社为了吸收更多新社员，在校团委的支持下，在高一学年组织了抽签赠书活动．月初报名，月末抽签，最初有30名同学参加．社团活动积极分子甲同学参加了活动．(ⅰ)第一个月有18个中签名额．甲先抽签，乙和丙紧随其后抽签．求这三名同学同时中签的概率．(ⅰ)理学社设置了第n(n ∈N +)个月中签的名额为2n +16，并且抽中的同学退出活动，同时补充新同学，补充的同学比中签的同学少2个，如果某次抽签的同学全部中签，则活动立刻结束．求甲同学参加活动时间的期望．(2)某出版集团为了扩大影响，在全国组织了抽签赠书活动．报名和抽签时间与(1)中某中学理学社的报名和抽签时间相同，最初有30万人参加，甲同学在其中．每个月抽中的人退出活动，同时补充新人，补充的人数与中签的人数相同．出版集团设置了第n(n ∈N +)个月中签的概率为p n =19+(−1)n180，活动进行了2k(k ∈N +)个月，甲同学很幸运，中签了，在此条件下，求证：甲同学参加活动时间的均值小于9.5个月．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为{x =−1+ty =−t(t 为参数)，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点． (1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若P(−1,0)，求1|AP|+1|BP|的值．23. 已知函数f(x)=|x +a|−|x −1|和函数g(x)=−2x +1．(1)当a =2时，求关于x 的不等式f(x)≥−1的解集；(2)若对任意x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f(x 1)=g(x 2)成立，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由2x≥8得：x≥3，∴集合A={x|x≥3}，由x−1>0得：x>1，∴集合B={x|x>1}，∴A∪B={x|>1}，故选：C．利用指数函数和对数函数的性质求出集合A，B，再利用集合的并集运算即可求出结果．本题主要考查了集合的基本运算，以及指数函数和对数函数的性质，是基础题．2.【答案】B【解析】解：z=i1−2i =i(1+2i)(1−2i)(1+2i)=−2+i5，故z在复平面内对应的点位于第二象限，故选：B．对复数z进行化简，从而求出其所在的象限即可．本题考查了复数的运算，考查复数的几何意义，是一道基础题．3.【答案】D【解析】解：函数f(x)=x23在(−∞,0)上单调递减，即A错误；函数f(x)=2|x|在(−∞,0)上单调递减，即B错误；函数f(x)=log21|x+1|的定义域为(−∞,−1)∪(−1,+∞)，是非奇非偶函数，即C错误；对于选项D，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=1|−x|−|−x|=1|x|−|x|=f(x)，是偶函数，当x<0时，f(−x)=−1x+x，任取x1<x2<0，则f(x1)−f(x2)=−1x1+x1+1x2−x2=(x1−x2)(1x1x2+1)，∵x1<x2<0，∴x1−x2<0,1x1x2+1>0，∴f(x1)<f(x2)，即函数f(x)在(−∞,0)上单调递增，即D正确．选项A 和B 对应的函数在(−∞,0)上均单调递减，选项C 的函数是非奇非偶，故可以作出判断；也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，对选项D 的函数进行证明．本题考查函数的单调性和奇偶性，熟练掌握基本初等函数的图象与性质、及图象的变换法则是解题的关键，本题既可以用排除法，也可以从函数单调性和奇偶性的定义出发，直接进行证明，考查学生的逻辑推理能力和分析能力，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：设等差数列{2a n+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，∴2a1+1=1，2a3+1=3，∴3=1+2d ，解得d =1． ∴2a n +1=1+n −1=n ，∴a n =2n −1．那么a 2020=22020−1=−10091010． 故选：B ． 设等差数列{2an+1}的公差为d ，且a 1=1，a 3=−13，可得2a 1+1=1，2a 3+1=3，3=1+2d ，解得d.可得通项公式，进而得出结论．本题考查了等差数列的通项公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵从散点图可分析得出：只有D 点偏离直线远，去掉D 点，变量x 与变量y 的线性相关性变强，∴相关系数变大，相关指数变大，残差的平方和变小， 故选：A ．利用散点图分析数据，判断相关系数，相关指数，残差的平方和，的变化情况．本题考察了利用散点图分析数据，判断变量的相关性问题，属于运用图形解决问题的能力，属于容易出错的题目．【解析】解：函数f(x)=xe x 的导数为f′(x)=(x +1)e x ， 可得函数f(x)=xe x 在(1,f(1))处的切线的斜率为k =2e ， 切点为(1,e)，则切线方程为y −e =2e(x −1)， 化为y =2ex −e.即2ex −y −e =0． 故选：A ．求得f(x)的导数，可得切线的斜率和切点，由直线的点斜式方程可得所求切线方程． 本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，化简运算能力，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，正整数m 经过5次运算后得到1， 所以正整数m 经过4次运算后得到2， 经过3次运算后得到4，经过2次运算后得到8或1(不符合题意，舍去)， 经过1次运算后得到16， 可得正整数m 的值为32或5， 故选：A ．利用正整数m 经过5次运算后得到1，按照变换规则，逆向逐项分析，即可得到m 的所有可能的取值． 本题主要考查了归纳推理的应用，按照变换规则，进行逆向分析是解题关键，考查了学生的推理能力，是中档题．8.【答案】B【解析】解：设小李和小王进入会议的时间为14点x 分和14点y 分， 则{0≤x ≤600≤y ≤60， 由先到者等候另一人10分钟，可得两人能在会议室相遇的事件为|x −y|≤10， 故两人能在会议室相遇的概率P =1−12×50×50×260×60=1−2536=1136．故选：B ．先设小李和小王进入会议的时间为14点x 分和14点y 分，则{0≤x ≤600≤y ≤60，由先到者等候另一人10分钟，可得两人能在会议室相遇的事件为|x −y|≤10，然后求出相应的面积，根据与面积有关的几何概率公式即可求解．几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关．解决的步骤均为：求出满足条件A 的基本事件对应的“几何度量”N(A)，再求出总的基本事件对应的“几何度量”N ，最后根据P =N(A)N求解．9.【答案】A【解析】解：模拟程序的运行，可得 a =5，b =3，n =1 a =152，b =6不满足条件a ≤b ，执行循环体，n =2，a =454，b =12满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值为2． 故选：A ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．10.【答案】C【解析】解：如图，由(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得(OP ⃗⃗⃗⃗⃗ +OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OP ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0，即|OF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则|OP|=|OF 2|=c ，|PF 2|+|F 2Q|+|PQ|=|PF 2|+|PQ|+|F 1Q|+2a=|PF 2|+|PF 1|+2a ．最小值为2×√2c +2a =2a +2√2c ． 由题意，2a +2√2c =6a ，即2a =√2c ， ∴e =c a=√2．故选：C ．由已知向量等式可得|OP|=|OF 2|=c ，画出图形，利用双曲线的定义把三角形周长最小转化为|PF 1|最小，求出周长最小值，再由△PF 2Q 周长最小值为实轴长的3倍列式求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的就与思想方法，考查双曲线定义的应用，是中档题．11.【答案】B【解析】解：∵a n =n 2sin n2π，∴当n 为偶数时，a n =0； 当n 为奇数时，a 3+a 1=−8， 而(a 2n+5+a 2n+3)−(a 2n+1+a 2n−1)=−(2n +5)2+(2n +3)2+(2n +1)2−(2n −1)2=(2n +3+2n +5)(2n +3−2n −5)+(2n +1+2n −1)(2n +1−2n +1)=−8n −16+8n =−16．而数列{a n }的前100项中，偶数项均为0，奇数项有50项， 则前100项的和即为所有奇数项的和，看作是以−8为首项，以−16为公差的前25项的和． 为−8×25+25×24×(−16)2=−5000．故选：B ．由已知数列通项公式，可得数列的偶数项为0，奇数项可构造等差数列，然后利用等差数列的求和公式求解．本题考查等差数列前n 项和的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．12.【答案】D【解析】解：如图，过Q 分别作AC 、AB 的平行线交AB 于M ，交AC 于N ． ∴AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ sinB +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC =AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ sinB ，AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ sinC ， ∵AQ ⊥BC ，∴|AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinB =|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinC ， ∴四边形AMQN 是菱形， 且∠BAQ =∠CAQ =60°， AB =AC =2AQ =2AM =2AN ，∵AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴H 是AC 的中点，即与N 重合． AB =4，AH =2，∴BH 2=AB 2+AH 2−2AB ⋅AHcos∠BAH =42+22−2×4×2cos120°=28， ∴BH =2√7． 故选：D ．由题，过Q 分别作AC 、AB 的平行线交AB 于M ，交AC 于N.由向量加法的平行四边形法则可得AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，结合平面向量基本定理可得M ，N 分别是AB ，AC 的中点，∠BAC =120°，然后由余弦定理可得结论． 本题考查平面向量基本定理，余弦定理，考查学生数形结合的思想，解题关键是作出平行四边形AMQN ．13.【答案】2π【解析】解：∫√4−x 22−2dx ，积分式的值相当于以原点为圆心，以2为半径的一个半圆面的面积， 故其值是2π 故答案为：2π．根据定积分的定义，找出根号函数f(x)=√4−x 2的几何意义，计算即可．此题考查利用定积分的几何意义，求解定积分的值，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．14.【答案】√3【解析】解：由抛物线的性质可得AF=AM，又M恰好在线段AF的垂直平分线上，所以MF=AM，所以可得△AMF为等边三角形，所以∠MAF=60°，又因为AM//OF，所以∠AFx=60°，所以直线l的斜率为k=tan60°=√3，故答案为：√3．由抛物线的性质可得AF=AM，又M恰好在线段AF的垂直平分线上，所以MF=AM，所以可得△AMF为等边三角形，所以∠MAF=60°，进而求出直线l的斜率．本题考查抛物线的性质及中垂线的性质，属于中档题．15.【答案】不会【解析】【分析】本题主要考查了函数的实际应用，以及等比数列的实际应用，是中档题．设人第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，由题意可得a n=700+0.3a n−1(n≥2)，变形可得a n−1000=0.3(a n−1−1000)，再利用等比数列的通项公式求出a n，即可得出结论．【解答】解：设人第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1=700，a2=700+a1×(1−70%)=700+0.3a1，a3=700+a2×(1−70%)=700+0.3a2，……以此类推可得：a n=700+0.3a n−1(n≥2)，变形可得a n−1000=0.3(a n−1−1000)，∴数列{a n−1000}是首项为−300，公比为0.3的等比数列，∴a n−1000=−300×0．3n−1<0，∴a n<1000，∴人长期服用这种药，不会对人体产生副作用．16.【答案】2√2−232【解析】解：如图，∵二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小相等，∴S在底面射影为底面三角形ABC的内心，设为E，∵AB=6，BC=8，AC=10，∴AB2+BC2=AC2，可得△ABC是以角B为直角的直角三角形．过E作EF⊥AC，连接SF，则EF为三角形ABC内切圆的半径，且∠SFE为二面角S−AC−B的平面角为π4．由等面积法求得：12BC⋅AB=12(AB+BC+AC)×EF，得EF=2，可得三边上的斜高相等为2√2．设三棱锥S−ABC的内切球半径为r，则13×12×6×8×2=13[12×(6+8+10)×2√2]r+13×12×6×8r，得r=2√2−2；如图，设D是AC的中点，则D是三角形ABC的外心，三棱锥S−ABC的外接球球心为O，则OD⊥平面ABC，则OD//SE，∴M，D，E共线，在直角三角形ABC中，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立平面直角坐标系，由E(2,2)，D(4,3)，得DE=√(4−2)2+(3−2)2=√5．设三棱锥S−ABC的外接球的半径为R，即OC=OA=R，若O与S在平面ABC的同侧，由直角梯形SEDO与直角三角形ODC得：2−√R2−5=√R2−52，R无解；若O与S在平面ABC的异侧，则√R2−52+2=√R2−5，解得R=√41，此时OD=√41−25=4．∴SMMO =SEOD=24=12，则SOOM=32．故答案为：2√2−2；32．由二面角S−AB−C、S−AC−B、S−BC−A的大小相等，得S在底面射影为底面三角形ABC的内心，设为E，利用等面积法求得底面内切圆的半径，再求出底面三边的斜高，然后利用等体积法求三棱锥内切球的半径；设D是AC的中点，则D是三角形ABC的外心，由三棱锥S−ABC的外接球球心为O，得OD⊥平面ABC，可得OD//SE，则M，D，E共线，利用解析法求得DE，设三棱锥S−ABC的外接球的半径为R，即OC=OA=R，然后利用三角形相似列式求得R，进一步得到SOOM的值．本题考查二面角、三棱锥的内切球与外接球等问题，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由图象可知A=2，周期T=2πω=2×(11π12−5π12)=π，则ω=2，又f(5π12)=2sin(2×5π12+φ)=2，可得2×5π12+φ=2kπ+π2，k∈Z，解得φ=2kπ−π3，k∈Z，由于−π2<φ<π2，可得：φ=−π3，可得函数解析式为：f(x)=2sin(2x−π3).(2)由题意知：π2<x<3π4，∴2π3<2x−π3<7π6，∵f(x)=2sin(2x−π3)=2√63，可得：sin(2x−π3)=√63，cos(2x−π3)=−√33，∴cos2x=cos(2x−π3+π3)=cos(2x−π3)cosπ3−sin(2x−π3)sinπ3=(−√33)×12−√63×√32=−√3−3√26．【解析】(1)由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f(x)的解析式，(2)由题意可求范围2π3<2x−π3<7π6，根据已知可求sin(2x−π3)，利用同角三角函数基本关系式可求cos(2x−π3)的值，进而根据两角和的余弦函数公式即可求解cos2x的值．本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，三角函数的化简求值，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．18.【答案】(1)证明：因为PA⊥底面ABC，BE⊂底面ABC所以PA⊥BE，又因为BE⊥AC，PA∩AC=A所以BE⊥平面PAC，因为BE⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAC，(2)解：因为EB，EC，EF两两垂直，所以以E为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 的正方向为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则E(0,0,0),B(√3,0,0),C(0,1,0),A(0,−1,0),P(0,−1,2),F(0,0,1)，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,−2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,1,0)， 设平面PBC 的法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，由{m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0得{√3x +y −2z =0−√3x +y =0， 不妨设x =1，则y =z =√3，所以m ⃗⃗⃗ =(1,√3,√3)，设PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,−2λ)，则AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,2−2λ)，由题知|cos〈AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉|=|AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ ||AG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=√3√7⋅√4λ2+4(1−λ)2=√427， 解得λ=12．【解析】(1)证明PA ⊥BE ，结合BE ⊥AC ，推出BE ⊥平面PAC ，然后证明平面BEF ⊥平面 PAC ， (2)通过EB ，EC ，EF 两两垂直，以E 为坐标原点，分别以EB ，EC ，EF 的正方向为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面PBC 的法向量，结合AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3λ,λ,2−2λ)，通过向量的数量积转化求解即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法与应用，考查空间想象能力以及计算能力．19.【答案】解：(1)证明：f′(x)=1x −4(x+1)2=(x−1)2x(x+1)2≥0，∴f(x)在(0,+∞)上单调递增 (2)不妨设m >n ， 则lnm−lnn m−n −2m+n=1m−n(lnm n−2(m−n)m+n)=1m−n(lnm n−2(mn −1)m n+1)，令mn =t >1，设ℎ(t)=lnt −2(t−1)1+t，ℎ(t)=f(t)由(1)知在(0,+∞)上单调递增，ℎ(1)=0，t >1， ∴ℎ(t)>0， 又m >n ， ∴lnm−lnn m−n>2m+n，【解析】(1)先对函数求导，然后结合导数与单调性关系即可证明；(2)要比较大小，只要作差后进行变形，然后结合结构特点构造函数，结合单调性即可证明． 本题主要考查了导数与单调性关系及利用构造函数结合函数性质比较大小，属于中档试题．20.【答案】解：(1)依题意：椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，且以原点为圆心，以短轴长为直径的圆C 1过点(1,0).所以b =1，e =c a=√22，则b =c ，所以a =√2，所以椭圆方程为x 22+y 2=1．(2)由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：x =ny +2， {x =ny +2x 22+y 2=1得(2+n 2)y 2+4ny +2=0.由△=8n 2−16>0得n 2>2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由韦达定理y 1+y 2=−4n2+n 2,y 1y 2=22+n 2， 因为OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以G(8t(2+n 2),−4nt(2+n 2)) 因为点G 在椭圆上∴64t 2(2+n 2)2+2×16n 2t 2(2+n 2)2=2得t 2=16n 2+2， 直线与圆没有公共点，则√1+n 2>1，所以2<n 2<3，t 2=16n 2+2，令y =t 2，x =n 2，可知y =16x+2在x ∈(2,3)上，是减函数，y ∈(165,4)，即：t 2∈(165,4)， ∴t ∈(−2,−4√55)∪(4√55,2)．【解析】(1)利用已知条件求出a ，b ，然后求解椭圆方程．(2)由题意直线AB 斜率不为0，设直线AB ：x =ny +2，通过{x =ny +2x 22+y 2=1得(2+n 2)y 2+4ny +2=0.设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，利用韦达定理以及斜率的关系，求解G ，代入椭圆方程得到t 2=16n 2+2，利用直线与圆没有公共点，列出不等式，求解即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，椭圆方程的求法，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.【答案】(1)解：(i)三明同学同时中奖的概率为：C 183C 303=18×17×1630×29×28=2041015．( ii)由题意可知，参加活动的人数每月递减2人，而中奖名额每月递增2人，故活动举行4个月后结束． 设甲参加活动的时间X 的可能取值为1，2，3，4， 则P(X =1)=1830=35，P(X =2)=(1−1830)×2028=27，P(X =3)=(1−1830)×(1−2028)×2226=44455，P(X =4)=(1−1830)×(1−2028)×(1−2226)×1=8455， 则甲参加活动的时间的期望为EX =1×35+2×27+3×44455+4×8455=697455．(2)证明：甲在第奇数个月中奖的概率为110，再第偶数个月中奖的概率为19， 设甲中签为事件A ，则P(A)=1−[(910×89)×(910×89)×…(910×89)]=1−(45)k设m ≤k ，m ∈N +，甲在第2m −1，2m 个月中中签的概率为P(X =2m −1)=P(X =2m)=110(45)m−1， 则甲在事件A 发生的条件下，第2m −1，2m 个月中中签的概率为110(45)m−1P(A)，则甲在事件A 发生的条件下，甲参加活动时间的均值为EX =110P(A)[(1+2)+45(3+4)+(45)2(5+6)+⋯(45)k−1(2k −1+2k)]，设S =3+7×45+11×(45)2+⋯(4k −1)(45)k−1，则45S =3×45+7×(45)2+⋯(4k −5)(45)k−1+(4k −1)(45)k ，∴15S =3+4[45+(45)2+⋯(45)k−1]−(4k −1)(45)k S =5×19[1−(45)k ]−20k(45)k ， 所以 EX =19[1−(45)k ]−4k(45)k2[1−(45)k ]=192−2k(45)k[1−(45)k ]<192．【解析】(1)(i)根据组合数公式计算概率；(ii)分别计算甲在第x 个月的中奖概率，得出数学期望； (2)计算甲同学在第m 个月的中奖概率，得出参加活动时间的数学期望关于k 的函数，利用不等式得出结论．本题考查了离散型随机变量的分布列，数学期望计算，属于中档题．22.【答案】(1)直线l 的参数方程为{x =−1+ty =−t(t 为参数)，转换为直角方程为x +y +1=0．曲线C 的极坐标方程为ρ=−4cosθ，整理得ρ2=−4ρcosθ，根据{x =ρcosθρ2=x 2+y 2转换为直角坐标方程(x +2)2+y 2=4．(2)直线的参数方程可化为标准式为{x =−1−√22t y =√22t(t 为参数)，代入(x +2)2+y 2=4得到：t 2−√2t −3=0，所以t 1+t 2=√2，t 1t 2=−3， 故：1|AP|+1|BP|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√143．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)a=2时，f(x)=|x−2|−|x−1|．不等式f(x)≥−1，即|x−2|−|x−1|≥−1．当x<−2时，不等式化为−3≥−1，x无解；当−2≤x≤1时，不等式化为2x+1≥−1，解得−1≤x≤1；当x>1时，不等式化为3≥−1，则x>1．综上，f(x)≥−1的解集为{x|x≥−1}；(2)f(x)=|x+a|−|x−1|≤|(x+a)−(x−1)|=|a+1|，g(x)=−2x+1∈(−∞,1)，由题意知，f(x)的值域是g(x)的值域的子集，即|a+1|<1，解得−2<a<0．∴实数a的取值范围为−2<a<0．【解析】(1)把a=2代入函数解析式，得到不等式|x−2|−|x−1|≥−1.然后分x<−2，−2≤x≤1，x>1三类去绝对值求解，取并集得答案；(2)利用绝对值的不等式可得f(x)≤|a+1|，又g(x)=−2x+1∈(−∞,1)，再由题意可得|a+1|<1，求解绝对值的不等式得答案．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，考查数学转化思想方法，是中档题．。
2019-2020年高三下学期三模考试数学(理)试题含答案.doc
2019-2020年高三下学期三模考试数学（理）试题含答案理科数学试题第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{}2,|x 5x 60U R A x ==-+≥，则U C A =A.{}|2x x >B. {}|32x x x ><或 C. {}|23x x ≤≤ D. {}|23x x << 2.设复数z 满足()25i z i -=（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知,a b R ∈，则"01a ≤≤且01"b ≤≤是"01"ab ≤≤的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.已知向量,a b 的夹角为60，且1,23a a b =-=，则b =A. 1B.D.25.在一次数学竞赛中，30名参赛学生的成绩（百分制）的茎叶图如图所示：若将参赛学生按成绩由高到低编为1—30号，再用系统抽样法从中抽取6人，则其中抽取的成绩在[]77,90内的学生人数为A. 2B. 3C. 4D.56.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学中的秦九韶算法，执行该程序框图，则输出的结果S 表示的值为 A.0123a a a a +++ B. ()30123a a a a x +++C. 230123a a x a x a x +++D. 320123a x a x a x a +++ 7.已知函数()()sin 20f x x ωω=>，将()y f x =的图象向右平移个4π单位长度后，若所得图象与原图象重合，则ω的最小值等于A.2B. 4C.6D. 8 8.给出以下四个函数的大致图象：则函数()()()()ln ln ,,,x xx e f x x x g x h x xe t x x x====对应的图象序号顺序正确的是 A.②④③① B.④②③① C.③①②④ D.④①②③9.在一次抽奖活动中，8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.甲、乙、丙、丁四名顾客每人从中抽取2张，则不同的获奖情况有 A.24种 B.36种 C.60种 D.96种10.已知12,F F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，以原点O 为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆相交于四个点，设位于y 轴右侧的两个交点为,B A ，若1ABF 为等边三角形，则椭圆的离心率为A.1B. 1C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共计25分.11.若存在实数x 使4x a x -+≤成立，则实数a 的取值范围是 .12.已知函数()1x xe mf x mx e -=++是定义在R 上的奇函数，则实数m = . 13.圆心在x 轴的正半轴上，半径为双曲线221169x y -=的虚半轴长，且与该双曲线的渐近线相切的圆的方程是 .14. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为 . 15.已知函数()2h x x ax b =++在()0,1上有两个不同的零点，记{}()()min ,m m n m n n m n ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，则()(){}min 0,1h h 的取值范围为 .三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3c o s c o s 13s i n s i n cAB A B +=+ （1）求C（2）若ABC 的面积为5b =，求sin .A17.(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是直角梯形，190,//,2,2A D C ABCD A DD C ∠===平面PBC ⊥平面A B C D .（1）求证：;AC PB ⊥（2）若PB PC ==，问在侧棱PB 上是否存在一点M ，使得二面角M AD B --的余弦值为9？若存在,求出PMPB的值;若不存在，说明理由.18.(本小题满分12分)某校在高二年级实行选课走班教学，学校为学生提供了多种课程，其中数学科提供5种不同层次的课程，分别称为数学1、数学2、数学3、数学4、数学5，每个学生只能从这5种数学课10人进行分析.（1）从选出的10名学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人选择数学2的概率； （2）从选出的10名学生中随机抽取3人，记这3人中选择数学2的人数为X ，选择数学1的人数为Y ，设随机变量X Y ξ=-，求随机变量ξ的分布列和数学期望()E ξ.19.(本小题满分12分)下表是一个由2n 个正数组成的数表，用ij a 表示第i 行第j 个数(),,i j N ∈已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等.已知113161351,9,48.a a a a =+==（1）求1n a 和4n a ； （2）设()()()()4144121nn n n n n a b a n N a a +=+-∈--，求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系中内动点(),P x y 到圆()22:11F x y +-=的圆心F 的距离比它到直线2y =-的距离小1.（1）求动点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为曲线E ，过点F 的直线l 的斜率为k ，直线l 交曲线E 于,A B 两点，交圆F 于C,D 两点（A,C 两点相邻）.①若BF tFA =，当[]1,2T ∈时，求k 的取值范围；②过,A B 两点分别作曲线E 的切线12,l l ，两切线交于点N ，求ACN 与BDN 面积之积的最小值.21.(本小题满分14分) 已知函数()()l n1.a fx x x a Rx=-++∈ （1）讨论()f x 的单调性与极值点的个数；（2）当0a =时，关于x 的方程()()f x m m R =∈有2个不同的实数根12,x x ，证明：12 2.x x +>。
2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)
2022年黑龙江省哈尔滨九中高考数学三模试卷（理科）1.已知，，则的子集个数为( )A. 2B. 3C. 4D. 52.若，则( )A. 1 B. 2C.D.3.双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为( )A.B.C.D.4.某市有甲乙两个工厂生产同一型号的汽车零件，零件的尺寸分别记为X ，Y ，已知X ，Y 均服从正态分布，²，²，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是( )A. 甲工厂生产零件尺寸的平均值大于乙工厂生产零件尺寸的平均值B. 甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值C. 甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性D. 甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性5.牛顿曾经提出了常温环境下的温度冷却模型：，其中t 为时间单位：，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度，假设在室内温度为的情况下，一杯开水由降低到需要，则k 的值约为( )结果精确到，参考数据：，A.B.C.D.6.已知x ，y 都是正数，且，则下列选项不恒成立的是( )A.B.C.D. 7.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为( )A. 139B. 160C. 174D. 1888.如图给出的是计算的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )A. B. C. D.9.已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则以下命题一定正确的序号是( )①如果，，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，，那么A. ①②B. ①②③C. ②③④D. ③④10.甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，四名同学各自的五次点数统计结果如下：甲：平均数为3，中位数为2；乙：中位数为3，众数为2；丙：中位数为3，极差为4；丁：平均数为2，方差为通过以上数据可以判断一定没出现6点的是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11.已知圆C：，MN为圆C的动弦，且满足，G为弦MN的中点．两动点P，Q在直线l：上，且，MN运动时，始终为锐角，则线段PQ中点的横坐标取值范围是( )A. B.C. D.12.已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值为( )A. B. C. D.13.已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若网格纸上小正方形的边长为1，则______.14.在的展开式中，含的项的系数是______.15.写出一个同时满足下列性质①②③的函数：______.①对定义域内任意的，，都有；②对任意的，都有；③的导函数为奇函数．16.设函数，，设数列的前n项和，则的最小值为______.17.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，点D，E分别在棱和棱上，且，，M为棱的中点．求证：；求二面角的正弦值．18.在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知求角A的大小；设，N是所在平面上一点，且与A点分别位于直线BC的两侧，如图，若，，求四边形ABNC面积的最大值．19.2021年10月16日，是第41个世界粮食日．黑龙江作为全国粮食生产大省，连续十一年粮食产量位居全国首位．近年来受疫情影响，全国各地经济产值均有所下降．为改变现状，各省均推出支持企业落户创业政策，哈市某企业响应号召，引进一条先进食品生产线，以稻米为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为，其质量指标等级划分如表：质量指标值m质量指标等级废品次品三级二级一级特级为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产，现从试生产的产品中随机抽取了10000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：若将频率作为概率，从这10000件产品中随机抽取2件产品，记事件A为“抽出的产品中至少有1件为二级及以上产品”，求事件A发生的概率；若从质量指标值m不低于90的样本中利用分层抽样的方法抽取6件产品，然后从这6件产品中任取3件产品，求质量指标值的件数X的分布列及数学期望；若每件产品的质量指标值m与利润单位：元的关系如表：质量指标值m利润元2t3t4t5t每件产品的平均利润达到最大值时，试确定t值及此最大值结果保留一位小数参考数值：，20.已知直线l：，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，垂足为N，且为坐标原点求动点M的轨迹E的方程；已知点，直线与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．21.已知函数求在上的极值；判断函数在上的零点个数．22.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，如图所示，曲线的图形是过极点且关于极轴对称的两条射线OA，OB，其中请写出曲线的普通方程和曲线的极坐标方程；已知点P在曲线上，，延长AO、BO分别与曲线交于点M、N，求的面积．23.已知a，b，c为正实数且求的最小值；当时，求的值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：，，，故的子集个数为，故选：先求，从而写出子集个数．本题考查集合的基本运算，基本知识的考查．2.【答案】A【解析】解：，，故选：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：双曲线的右焦点到渐近线：即的距离为：，据此可知，所以双曲线的渐近线方程为，故选：根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b即可求得．本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：X，Y均服从正态分布，²，²，结合正态概率密度函数的图象可知，，，故甲工厂生产零件尺寸的平均值的等于乙工厂生产零件尺寸的平均值，故AB错误，甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性，故C正确，D错误．故选：结合正态概率密度函数的图象可知，，，即可求解．本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：由题意可知，，，，则有，所以，所以故选：根据题意及所给数据，代入公式计算，即可得解．本题考查了指数、对数的基本运算，属于易做题．6.【答案】D【解析】解：由基本不等式及其等号成立的条件知，，，恒成立；当，时，，故选：由基本不等式及其等号成立的条件依次判断即可．本题考查了基本不等式及其等号成立的条件，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：设该数列为，数列的前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则数列满足，，所以，所以故选：根据高阶等差数列的知识，结合累加法求出数列的通项公式，再求出该数列的第17项．本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据程序运行的结果是计算并输出的值，程序中首先给变量S，n赋值，，判断条件满足，执行，；判断条件满足，执行，；判断条件满足，执行，；…，由此看出，当执行…时，执行，在判断时判断框中的条件应不满足，所以判断框中的条件应是故选：根据程序框图是计算的值，模拟程序的运行过程，得出执行完的值后n值为23，根据程序运行时n满足的条件，由此得出正确的答案．本题考查了程序框图的应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．9.【答案】A【解析】解：，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，对于①，如果，，，那么由面面垂直的判定定理得，故①正确；对于②，如果，，那么由面面平行的性质得，故②正确；对于③，如果，，那么m与l相交、平行或异面，故③错误；对于④，如果，，，那么与相交或平行，故④错误．故选：根据空间中线线、线面间的位置关系直接判断．本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：对于甲，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6；对于乙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6；对于丙，当投掷骰子出现结果为2，2，3，3，6时，满足中位数为3，极差为4，可以出现点数6；对于丁，若平均数为2，且出现6点，则方差，所以平均数为2，方差为时，一定没有出现点数故选：根据题意利用举例法说明命题是否成立，即可得出正确的选项．本题考查了命题真假的判断问题，也考查了平均数、中位数、众数、方差等基础知识，是基础题．11.【答案】A【解析】解：由题意，圆C：，可得圆心坐标为，半径为，因为，G为弦MN的中点，可得，又由两动点P，Q在直线l：上，且，设PQ的中点当M，N在圆C上运动时，且恒为锐角，可得以C为圆心，以2为半径的圆与以M为圆心，以2为半径的圆相外离，则，即，解得或，所以线段PQ中点的横坐标取值范围是故选：由，得到，设PQ的中点，根据恒为锐角，转化为以C为圆心，以2为半径的圆与以M为圆心，以2为半径的圆相外离，结合圆与圆的位置关系，列出不等式，即可求解．本题主要考查直线与圆的位置关系，圆中的最值与范围问题等知识，属于中等题．12.【答案】C【解析】解：由题意得：由，，可知，整理得：，，所以，记函数，函数的值域为集合A，对任意的，都存在，使得成立，，当时，，函数的值域为，故A错误；当时，，函数的值域为，不满足，故B错误；当时，，函数的值域为，满足，故C正确；当时，，函数的值域为，不满足，故D错误．故选：根据题意化简可知，要是条件成立，的值域需要满足，逐项代入求解．本题考查了三角函数的值域问题，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：建立如图所示的坐标系，则，，，所以故答案为：通过建系，求出相关向量，然后求解向量的数量积即可．本题考查向量的数量积的运算，是基础题．14.【答案】【解析】解：的展开式中含的项为，所以含的项的系数为，故答案为：利用二项式定理先求出含的项，由此即可求解．本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．15.【答案】【解析】【分析】本题考查了导函数的求法，函数的奇偶性和单调性的定义，属基础题．③导函数为奇函数，原函数为偶函数，②联想函数为下凸函数，①联想对应法则是积的形式，由此联想初等函数．【解答】解：由三个性质联想，①对定义域内任意的，，；②对任意的，，所以；③为奇函数．故答案为：答案不唯一，例如也满足16.【答案】【解析】解：因为，所以，当时，①，…②，①+②得，……，所以，因为，所以，当时，；当时，…，所以，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得最小值，因为，所以当时，；当时，，显然，所以的最小值为故答案为：由，结合倒序相加法，求得数列的通项公式，再确定的通项公式，进一步求出的最小值．本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握倒序相加法，对勾函数的性质是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．17.【答案】证明：依题意，以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系如图，可得、、、、，，，，，依题意，，，从而，所以；解：平面的一个法向量为，，，设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得，，所以，二面角的正弦值为【解析】以C为原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．通过求解，证明；求出平面的一个法向量，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的正弦值即可．本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．18.【答案】解由正弦定理得，，，即，即，，即在中，由余弦定理得，，，，由和，得是等腰直角三角形，于是，四边形ABCD的面积，当时，S取最大值，即四边形ABCD的面积的最大值是【解析】由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化解即可求解A；由已知结合余弦定理先表示出BC，然后结合三角形面积公式进行化简，再由正弦函数的性质可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：抽取到为二级及以上产品的件数为Y，则由频率分布直方图可得，任取1件产品为二级及以上产品的概率为：，则，则；或者；由频率分布直方图得指标值大于或等于90的产品中，的频率为，的频率为，利用分层抽样抽取的6件产品中，的有4件，的有2件，从这6件产品中，任取3件，质量指标值的产品件数X的所有可能取值为0，1，2，则：，，，的分布列为：X012P的数学期望为：；由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润元的关系如表所示，质量指标值m利润元2t3t4t5tP每件产品的平均利润：，，则，令，解得，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，取最大值为，当时，每件产品的平均利润达到最大约为【解析】根据二项分布的性质进行求解即可；根据分层抽査的性质，结合古典概型计算公式、数学期望的公式进行求解即可；根据每件产品的平均利润表达式，结合导数的性质进行求解即可．本题考查了古典概型和二项分布的应用，属于中档题．20.【答案】解：设，则，，，，则E的方程为；证明：设，，，，联立，得，则，，，直线PA的方程为，联立，得，由韦达定理得为，所以，同理可得：，则，则，直线CD的斜率为定值．【解析】设则，由已知条件，利用向量数量积的坐标表示列方程即可得轨迹方程；设A，B，C，D坐标，联立已知直线与曲线E，由判别式求t的范围，并根据韦达定理得到坐标的表达式，写出直线PA、PB方程，联立曲线E，应用韦达定理得到C，D关于A，B坐标的关系，最后利用两点式可得，化简即可证结论．本题考查了动点的轨迹方程和直线斜率为定值的证明，属于中档题．21.【答案】解：由题得，当时，，当时，，在单调递增，当时，，在单调递减，所以时极小值，无极大值；由已知得，则，①当时，因为，所以在上单调递减，所以，所以在上无零点；②当时，因为单调递增，且，，所以存在，使，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，且，所以，设，则，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以，所以，所以在上存在一个零点，所以在上有2个零点；③当时，，所以在上单调递增，因为，所以在上无零点；综上所述，在上的零点个数为【解析】利用导数研究的符号判断的单调性，进而确定极值情况；由题设可得，讨论、、分别研究的符号判断的单调性，结合零点存在性定理判断零点个数即可．本题考查了导函数及零点存在性定理，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，可得的普通方程为曲线是由过极点且关于极轴对称的两条射线，其中则，故曲线的极坐标方程为和直线AO的方程为代入的普通方程，可得和，即，同理可得点，由，且P在曲线上得P点横坐标为3，所以【解析】直接利用转换关系，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；根据条件求出M，N的坐标，再结合三角形的面积公式求解即可．本题考查的知识要点，参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：由柯西不等式得，，故；当且仅当，即，，时，等号成立；故的最小值为；由基本不等式可得，，，，故，故，当且仅当，且，即，，时，等号成立，又，，即，，，【解析】由已知条件，应用三元柯西不等式求目标式的最小值，注意等号成立条件；由基本不等式可得，结合条件得，从而求a、b、c 的值，即可得的值．本题考查了三元柯西不等式及基本不等式的应用，属于中档题．。
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科) (含解析)
2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学三模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设集合 A ={x|x 2−3x +2≥0}，B ={x|2x <4}，则 A ∪B =( )A. ⌀B. {x|x ∈R}C. {x|x ≤1}D. {x|x >2}2. 复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 下列函数中是偶函数且在(0,+∞)上单调递增的是( )A. y =2−xB. y =lnxC. y =x −2D. y =|x|−14. 数列{2an+1}是等差数列，且a 1=1，a 3=−13，那么a 2020=( ) A. 10091010B. −10091010C. 20192020D. −201920205. 有一散点图如图所示，在5个(x,y)数据中去掉D(3,10)后，下列说法正确的是( )A. 残差平方和变小B. 相关系数r 变小C. 相关指数R 2变小D. 解释变量x 与预报变量y 的相关性变弱6. 函数f(x)=e x +x 2+x +cosx ，则f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为( )A. 2x −y +2=0B. 2x +y +2=0C. x +2y +2=0D. x −2y +2=07. “卡拉兹猜想”又称“3n +1猜想”，是德国数学家洛萨·卡拉兹在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n ，如果n 为偶数，就将它减半；如果n 为奇数，就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1.已知正整数m 经过6次运算后得到1，则m 的值为 ( )A. 10B. 64C. 10或64D. 328. 欧阳修在《卖油翁》中写道：“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径3cm ，中间有边长为1cm 的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计)，则油恰好落入孔中的概率是( )A. 14πB. 12πC. 1πD. 2π9. 阅读如图所示的程序框图，若输入a =0.45，则输出的k 值是( )A. 3B. 4C. 5D. 610. F 1，F 2分别是双曲线C ：x 29−y 27=1的左、右焦点，P 为双曲线C 右支上一点，且|PF 1|=8，则△PF 1F 2的周长为( )A. 15B. 16C. 17D. 1811. 数列{a n }的通项公式为a n =1(n+1)(n+2)，则{a n }的前10项之和为( )A. 14B. 512C. 34D. 71212. 在△ABC 中，点D 在BC 边上，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. x =13,y =23B. x =14,y =34C. x =23,y =13D. x =34,y =14二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. ∫(1−1√1−x 2−1)dx = ______ ．14. 过抛物线C:y 2=4x 的焦点F ，且斜率为√3的直线交C 于点M(M 在x 轴的上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为____.15.某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，且每过滤一，则要使产品达到市场要求，至少应过滤________次．(取lg2=0.3010，次可使杂质含量减少13lg3=0.4771)16.在三棱锥S−ABC中，ΔABC是边长为3的等边三角形，SA=√3,SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为120°，则此三棱锥的外接球的表面积为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示，其中A>0，ω>0，|φ|<π，则2(Ⅰ)求f(x)的解析式；(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
2020年哈九中三模理科数学试卷
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在 2020 年端午节当日投入至少
1 艘至多 3 艘 A 型游船供游客乘坐观光. 由 2010 到 2019 这 10 年间的数据资料显示每年端午节当日
客流量 X （单位：万人）都大于 1，将每年端午节当日客流量数据分成 3 个区间整理得下表：
27
(x) max { f (x), g(x)}，若(x) x 在 (0,) 上恒成立，则实数 a 的取值范围是
.
3
哈尔滨市第九中学 2020 届高三第三次模拟考试 理科数学 第 1页（共 2 页）
三、解答题（共 70 分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，
哈尔滨市第九中学 2020 届高三第三次模拟考试
数学(理)试题
A.20
B. 20 3
C.4
D. 4
3
9.《易 系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图，洛书是中华文化，阴阳术数之
源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，
本试卷分为第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题），共 23 题，满分 150 分，考试时间 120 分钟．
（）
A.52
B.56
C.45
D.42
3.下列选项中，满足 z 1 为实数的复数 z 是（ ） z
A.z 1 i
B.z 1 i
C.z 1 3 i
D.z 1 3 i
4.若非零向量 a, b 满足 b
4
a
,
2a
b
a
，则
a
与
b
22
的夹角为（
）
2
A.
黑龙江省哈尔滨市第九中学2021届高三下学期第三次模拟考试 理科数学试题 PDF版含答案
②该汽车交易市场对使用 8 年以下(含 8 年)的二手车收取成交价格的 4%的佣金，对使用时
间 8 年以上(不含 8 年)的二手车收取成交价格的 10%的佣金。在图①对使用时间的分组中，
以各组的区间的中点值代表该组的值，若以 2020 年的数据为决策依据，计算该汽车交易市
场对成交的每辆二手车收取的平均佣金.
为 0.07×4＝0.28，使用时间在(12,16]年内的频率为 0.03×4＝0.12，
所以 P(A)＝0.28＋0.12＝0.4。
(2)①由 y eabx 得 ln y a bx ，即 Y 关于 x 的线性回归方程为 Yˆ aˆ bˆx
n
因为 bˆ
xiYi nxY
i 1
n
xi2
2
21.(本小题 12 分)已知函数 f (x) 1 x3 sin x 3
（1）证明：函数 f (x) 有三个零点；
（2）若对
x
0,
2
，不等式 e x
a cos
x
ax 2
恒成立，求实数
a
的取值范围.
请考生在 22，23 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.
(本小题 10 分)
22.在直角坐标系
23.已知函数 f (x) x 1 2 x
（1）解不等式 f (x) 2
（2）若
f
(x)
的最小值为
A ，且正实数
m, n
满足 m
n
A
，求
1 m
+m
1 n
n
的最小值.
理数第 2 页
哈九中理科数学第三次模拟答案 1-12 DCBAB DACBD AB
13-16 3 9x 8y 26 0 13 4