表面积和体积的复习
二、空间几何体的表面积与体积复习课件
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
答案： 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
5．(2009年高考上海卷)若等腰直角三角形的直 角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋 转一周所成的几何体体积是________．
8π 答案： 3
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
2 ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ . 2 1 ∴S△ABC＝ AB· BC 2 1 ＝ × 2×2＝ 2， 2 1 ∴VEABC＝ S△ ABC· EG 3 1 2 1 ＝ × 2× ＝ . 3 2 3
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
双 基 研 习 • 面 对 高 考
解：如图所示，只有当圆柱的底面圆为直三棱 柱的底面三角形的内切圆时，圆柱的体积最大， 削去部分体积才能最小，设此时圆柱的底面半 径为R，圆柱的高即为直三棱柱的高．
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
考 向 瞭 望 • 把 脉 高 考
第8章 立体几何
考点探究•挑战高考
考点突破 几何体的表面积 求解有关多面体表面积的问题，关键是找到其特征 几何图形，如棱柱中的矩形，棱台中的直角梯形， 棱锥中的直角三角形，它们是联系高与斜高、边长 等几何元素间的桥梁，从而架起求侧面积公式中的 未知量与条件中已知几何元素间的联系；求球的表 面积关键是求其半径；旋转体的侧面积就是它们侧 面展开图的面积．
双 基 研 习 • 面 对 高 考
考 点 探 究 • 挑 战 高 考
体积和表面积的计算知识点总结
体积和表面积的计算知识点总结在数学中，体积和表面积是与三维图形相关的重要概念。
无论是在现实生活中还是在科学研究中，我们都需要计算物体的体积和表面积。
本文将总结几种常见图形的体积和表面积的计算方法。
一、立方体的体积和表面积计算方法立方体是最简单的三维图形之一，其所有的面都是正方形。
我们可以通过边长（a）来计算立方体的体积和表面积。
1. 立方体的体积计算公式：V = a^3其中，V表示立方体的体积，a表示立方体的边长。
2. 立方体的表面积计算公式：S = 6a^2其中，S表示立方体的表面积。
二、长方体的体积和表面积计算方法长方体是另一种常见的三维图形，其所有的面都是矩形。
我们可以通过长（l）、宽（w）、高（h）来计算长方体的体积和表面积。
1. 长方体的体积计算公式：V = lwh其中，V表示长方体的体积，l表示长方体的长，w表示长方体的宽，h表示长方体的高。
2. 长方体的表面积计算公式：S = 2lw + 2lh + 2wh其中，S表示长方体的表面积。
三、圆柱体的体积和表面积计算方法圆柱体是由一个圆和一个高相交而成的三维图形。
我们可以通过底面半径（r）和高（h）来计算圆柱体的体积和表面积。
1. 圆柱体的体积计算公式：V = πr^2h其中，V表示圆柱体的体积，π表示圆周率（约等于3.14），r表示圆柱体的底面半径，h表示圆柱体的高。
2. 圆柱体的表面积计算公式：S = 2πr^2 + 2πrh其中，S表示圆柱体的表面积。
四、球体的体积和表面积计算方法球体是一个完全由曲面围成的三维图形。
我们可以通过半径（r）来计算球体的体积和表面积。
1. 球体的体积计算公式：V = (4/3)πr^3其中，V表示球体的体积，π表示圆周率（约等于3.14），r表示球体的半径。
2. 球体的表面积计算公式：S = 4πr^2其中，S表示球体的表面积。
总结：本文总结了立方体、长方体、圆柱体和球体的体积和表面积的计算方法。
通过不同的公式和参数，我们可以准确地计算出这些常见三维图形的体积和表面积。
2023高考数学基础知识综合复习第18讲简单几何体的表面积与体积 课件(共24张PPT)
(2)旋转体的形成
几何体
旋转图形
圆柱
矩形
旋转轴
矩形一边所在的直线
圆锥
直角三角形
一直角边所在的直线
圆台
直角梯形或等腰梯形
球
半圆或圆
直角腰所在的直线或等腰梯形
上下底中点连线所在的直线
直径所在的直线
2.空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其画法步骤为:
①画轴:在平面图形上取互相垂直的x轴和y轴,作出与之对应的x'轴
3
4
3 = .故选 D.
考点一
考点二
考点三
本题考查四面体的体积的最大值的求法,涉及空间中线线、线面、
面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于难题.处理
此类问题时,往往先去找到不变的量,再根据题中的所给条件的变
化规律找到最值,从而得到体积的最值.
和y'轴,使得它们正方向的夹角为45°(或135°);
②画线(取长度):平面图形中与x轴平行(或重合)的线段画出与x'轴
平行(或重合)的线段,且长度不变,平面图形中与y轴平行(或重合)的
线段画出与y'轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半;
③连线(去辅助线):连接有关线段,擦去作图过程中的辅助线.
径,从而进一步求解.
考点一
考点二
考点三
◆角度3.体积最值问题
例5(1)(2019年1月浙江学考)如图,线段AB是圆的直径,圆内一条动
弦CD与AB交于点M,且MB=2AM=2,现将半圆沿直径AB翻折,则三
棱锥C-ABD体积的最大值是(
)
2
3
1
3
A.
长方体和正方体的表面积、体积整理与复习
长方体和正方体的表面积、体积整理与复习
一、长方体和正方体的特征
二、意义：
棱长总和：12条棱长的长度之和 表面积：6个面的总面积
面 棱 顶点 意义
计算 意义
单位、进率 计算
体积：物体所占空间的大小
容积：容器所能容纳物体的体积
三、计算公式
长方体的棱长总和=（长+宽+高）×4
长方体的表面积=长×宽×2 + 长×高×2 + 宽×高×2 bh
2+
2
+
=
ah
ab
S2
上下前后左右
长方体的体积=长×宽×高abh
V=
正方体的棱长总和=棱长×12
正方体的表面积=棱长×棱长×6 a
=2
S6
V=3
正方体的体积=棱长3a
体积单位：立方米、立方分米、立方厘米
四、单位（1立方米=1000立方分米，1立方分米=1000立方厘米）
容积单位：升、毫升（1升=1000毫升）。
长方体和正方体的表面积与体积的整理与复习
长方体和正方体的表面积与体积的整理一、填空、选择1、每瓶医用酒精500毫升,装120瓶需要酒精( )升,如果有3.5立方分米的酒精,可装( )瓶。
2、一个正方体的棱长如果扩大到原来的2倍,那么表面积扩大到原来的( )倍,体积扩大到原来的( )倍。
3、一个长方体的长、宽、高分别扩大到原来的2倍,它的表面积扩大到原来的( ）倍， 体积扩大到原来的( ）倍。
4、长方体的长扩大到原来的5倍,宽缩小到原来的51，高不变,体积（ ） A.扩大到原来的5倍 B.缩小到原来的51 C.不变 5、把一个长、宽、高分别是8分米,5分米、10分米的长方体截成棱长2分米的小正方体,最多能截（ ）个．6、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，体积是（ ）立方厘米。
7、做二节15米长的通风管，管口周长为9分米的长方形，，至少需要铁皮（ ）平方米。
8、一个长方体，如果高减少3厘米，就成为一个正方体，这时表面积比原来减少了96平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）立方厘米。
9、一个底面积是25平方厘米的长方体容器，高10厘米，里面的水深6厘米，这个容器还可以再倒入（ ）立方厘米的水。
二、判断1.体积相等的两个正方体,棱长一定相等。
（ ）2.水箱的体积就是水箱的容积。
（ ）3.容积的单位只有升和毫升。
（ ）4.一个正方体的棱长是6分米,它的表面积和体积相等。
（ ）5.至少要4个相同的小正方体，才能拼成一个比较大的正方体。
（ ）6.两个正方体的体积相等，它们的表面积也一定相等。
（ ）三、棱长总和：1、一根铁丝可以焊接成一个棱长8厘米的正方体框架，如果焊接成一个高9厘米、宽4厘米的长方体框架，那么长方体框架长（）厘米。
2、一个长方体的长、宽、高分别是7厘米、6厘米、5厘米，它的棱长总和是（）厘米。
做这样一个无盖的长方体盒子，至少需要（）平方厘米材料。
3、一个长方体的棱长总和是56分米，已知它的底面是边长为2分米的正方形，则高是多少?4、用一根88厘米长的铁丝围成一个长方体框架，再在外面蒙一层纸。
初一数学七年级2.5 立体图形表面积和体积的整理与复习
（2）准备粉刷客厅的四周和顶面，除去门、电视墙等10平方米不粉刷外，实际粉刷的面积是多少平方米？
（3）朋友装修新房时，所选的木料是直径40厘米，长是3米的圆木自己加工，大约需要5根。求装修新房时所需木料的体积？
（4）课本98页做一做。
（1）把一个棱长6分米的正方体木块削成最大的圆柱形，要削去多少立方分米？
（2）一个底面直径是40厘米的圆柱容器中，水深12厘米，把一块石头沉入水中完全浸没后，水面上升了5厘米。这块石头的体积是多少立方厘米？
（3）一个酒瓶里面深30厘米,底面直径是8厘米,瓶里有酒深10厘米,把酒瓶塞紧后倒置(瓶口向下),这时酒深20厘米,你能算出酒瓶的容积是多少毫升来吗?
6.6.2.5立体图形表面积和体积的整理与复习
课型
复习课
使用教师
主备人
徐长云
修改人
张伟
教学内容：
教科书第98页例4及做一做。
教学目标：
1．学生在整理、复习的过程中，进一步熟悉立体图形的表面积和体积的内涵，能灵活地计算它们的表面积和体积，加强知识之间的内在联系，将所学知识进一步条理化和系统化。
2．在学生对立体图形的认识和理解的基础上，进一步培养空间观念。
3．让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神
重点、难点：
1.灵活运用立体图形的表面积和体积的计算方法解决实际问题。
2.沟通立体图形体积计算方法之间的联系。
教学准备：
课件
教学过程
一、回忆旧知，揭示课题一
1、谈话揭示课题。
师：昨天我们对立体图形的认识进行了整理和复习，今天我们来走入立体图形的表面积和体积的整理与复习。（板书：立体图形表面积和体积的整理与复习）
2023年高考数学二轮复习第一部分专题攻略专题四立体几何第一讲空间几何体的表面积与体积
专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积——小题备考微专题1 空间几何体的表面积和体积常考常用结论1．柱体、锥体、台体、球的表面积公式： ①圆柱的表面积S ＝2πr (r ＋l )； ②圆锥的表面积 S ＝πr (r ＋l )；③圆台的表面积S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )； ④球的表面积S ＝4πR 2.2．柱体、锥体和球的体积公式： ①V 柱体＝Sh (S 为底面面积，h 为高)； ②V 锥体＝13Sh (S 为底面面积，h 为高)；③V 球＝43πR 3.保 分 题1.[2022·山东枣庄三模]若圆锥的母线长为2，侧面积为2π，则其体积为( ) A ．√6π B ．√3π C ．√63π D ．√33π2．[2022·河北保定一模]圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．2∶33．[2022·湖北武汉二模]如图，在棱长为2的正方体中，以其各面中心为顶点构成的多面体为正八面体，则该正八面体的体积为( )A ．2√23B ．43 C ．4√23D ．83提分题例1 (1)[2022·河北张家口三模]如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，过A1B1的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则CDAC＝()A．13B．12C．2−√32D．√3−12(2)[2022·湖南雅礼中学二模]某圆锥高为1，底面半径为√3，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为()A．2 B．√3C．√2D．1听课笔记：【技法领悟】1．求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键．求三棱锥的体积，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．2．求不规则几何体的体积，常用分割或补形的方法，将不规则几何体转化为规则几何体，易于求解．巩固训练11.[2022·山东菏泽一模]如图1，在高为h的直三棱柱容器ABC A1B1C1中，AB＝AC＝2，AB⊥AC.现往该容器内灌进一些水，水深为2，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为A 1B 1C (如图2)，则容器的高h 为( )A ．3B ．4C ．4√2D ．62．[2022·福建福州三模]已知AB ，CD 分别是圆柱上、下底面圆的直径，且AB ⊥CD ，O 1，O 分别为上、下底面的圆心，若圆柱的底面圆半径与母线长相等，且三棱锥A BCD 的体积为18，则该圆柱的侧面积为( )A ．9πB ．12πC ．16πD ．18π微专题2 与球有关的切、接问题常考常用结论1．球的表面积S ＝4πR 2，体积V ＝43πR 3.2．长方体、正方体的体对角线等于其外接球的直径． 3．n 面体的表面积为S ，体积为V ，则内切球的半径r ＝3VS .4．直三棱柱的外接球半径：R ＝√r 2+(L2)2，其中r 为底面三角形的外接圆半径，L 为侧棱长，如果直三棱柱有内切球，则内切球半径R ′＝L2.5．正四面体中，外接球和内切球的球心重合，且球心在高对应的线段上，它是高的四等分点，球心到顶点的距离为外接球的半径R ＝√64a (a 为正四面体的棱长)，球心到底面的距离为内切球的半径r ＝√612a ，因此R ∶r ＝3∶1.保 分 题1.[2022·广东深圳二模]已知一个球的表面积在数值上是它的体积的√3倍，则这个球的半径是( )A ．2B ．√2C ．3D ．√32．已知正四棱锥P ABCD 中，AB ＝√6，P A ＝2√3，则该棱锥外接球的体积为( )A．4π B．32π3C．16π D．16π33．[2022·天津红桥一模]一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1、√2、3，则此球的体积为________．提分题例2 (1)[2022·江苏苏州三模]《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺．”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺．”(注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体)，若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的体积为()立方尺A．√41πB．41π3D．3√41πC．41√41π6(2)[2022·山东泰安三模]如图，已知三棱柱ABC A1B1C1的底面是等腰直角三角形，AA1⊥底面ABC，AC＝BC＝2，AA1＝4，点D在上底面A1B1C1(包括边界)上运动，则三棱锥D ABC 的外接球表面积的最大值为()π B．24πA．814C．243π D．8√6π16听课笔记：【技法领悟】1．确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与几何体的位置和数量关系．2．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．3．补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体．巩固训练21.已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球O，球O的表面积为8π，则该圆柱的体积为()A．√22π B．√2πC．2π D．2√2π2．[2022·广东潮州二模]已知△ABC是边长为3的等边三角形，三棱锥P ABC全部顶点都在表面积为16π的球O的球面上，则三棱锥P ABC的体积的最大值为()A．√3B．3√32C．9√34D．√32专题四 立体几何第一讲 空间几何体的表面积与体积微专题1 空间几何体的表面积和体积保分题1．解析：设圆锥的底面半径为r ，高为h ，则πr ×2＝2π，可得r ＝1，则h ＝√22−r 2＝√3，因此，该圆锥的体积为V ＝13πr 2h ＝13π×12×√3＝√33π. 答案：D2．解析：设球的半径为r ，依题意圆柱的底面半径也是r ，高是2r ， 圆柱的侧面积＝2πr ·2r ＝4πr 2 ，球的表面积为4πr 2 ， 其比例为1∶1. 答案：A3．解析：该正八面体是由两个同底的正四棱锥组成，且正四棱锥的底面是边长为√2的正方形，棱锥的高为1，所以该正八面体的体积为2×13×√2×√2×1＝43.答案：B提分题[例1] 解析：(1)由题可知平面A 1B 1ED 与棱柱上、下底面分别交于A 1B 1，ED ， 则A 1B 1∥ED ，ED ∥AB ， 显然CDE - C 1A 1B 1是三棱台，设△ABC 的面积为1，△CDE 的面积为S ，三棱柱的高为h ， ∴12·1·h ＝13h (1＋S ＋√S )， 解得√S ＝√3−12，由△CDE ∽△CAB ，可得CD AC ＝√S√1＝√3−12. (2)如图，截面为△P AB ，设C 为AB 中点，设OC ＝x ，x ∈[0，√3)，则AB ＝2√3−x 2，PC ＝√x 2+1，则截面面积S ＝12×2√3−x 2×√x 2+1＝√−(x 2−1)2+4，则当x 2＝1时，截面面积取得最大值为2. 答案：(1)D (2)A[巩固训练1]1．解析：在图1中V 水＝12×2×2×2＝4，在图2中，V 水＝V ABC − A 1B 1C 1− V C − A 1B 1C 1＝12×2×2×h －13×12×2×2×h ＝43h ， ∴43h ＝4，∴h ＝3.答案：A2．解析：分别过A ，B 作圆柱的母线AE ，BF ，连接CE ，DE ，CF ，DF ，设圆柱的底面半径为r ，则三棱锥A - BCD 的体积为两个全等四棱锥C - ABFE 减去两个全等三棱锥A - CDE ， 即2×13×r ×2r ×r －2×13×r ×12×2r ×r ＝23r 3＝18，则r ＝3，圆柱的侧面积为2πr ×r ＝18π答案：D微专题2 与球有关的切、接问题保分题1．解析：设球的半径为R ，则根据球的表面积公式和体积公式， 可得，4πR 2＝43πR 3×√3，化简得R ＝√3. 答案：D2．解析：正方形ABCD 的对角线长√6+6＝2√3，正四棱锥的高为 √(2√3)2−(2√32)2＝3，设外接球的半径为R ，则(3－R )2＋(2√32)2＝R 2⇒R ＝2， 所以外接球的体积为4π3×23＝32π3.答案：B3．解析：长方体外接球的直径为√12+(√2)2+32＝2√3，所以外接球半径为√3，所以球的体积为4π3×(√3)3＝4√3π.答案：4√3π提分题[例2] 解析：(1)作出图象如图所示：由已知得球心在几何体的外部， 设球心到几何体下底面的距离为x ， 则R 2＝x 2＋(52)2＝(x ＋1)2＋(√52)2，解得x ＝2，∴R 2＝414， ∴该球体的体积V ＝4π3×(√412)3＝41√41π6.(2)因为△ABC 为等腰直角三角形，AC ＝BC ＝2，所以△ABC 的外接圆的圆心为AB 的中点O 1, 且AO 1＝√2，连接O 1与A 1B 1的中点E ，则O 1E ∥AA 1，所以O 1E ⊥平面ABC ， 设球的球心为O ，由球的截面性质可得O 在O 1E 上， 设OO 1＝x ，DE ＝t (0≤t ≤√2)，半径为R ， 因为OA ＝OD ＝R ，所以√2+x 2＝√(4−x )2+t 2， 所以t 2＝8x －14，又0≤t ≤√2， 所以74≤x ≤2，因为R 2＝2＋x 2，所以8116≤R 2≤6，所以三棱锥D －ABC 的外接球表面积的最大值为24π. 答案：(1)C (2)B [巩固训练2]1．解析：设外接球的半径为R ，圆柱底面圆的半径为r ，因为圆柱的轴截面为正方形，所以圆柱的高h ＝2r ，由球O 的表面积S ＝4πR 2＝8π，得R ＝√2，又R ＝ √(h2)2+r 2＝√2r ，得r ＝1，所以圆柱的体积V ＝πr 2·2r ＝2πr 3＝2π.答案：C2．解析：球O 的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得：R ＝2，由已知可得：S △ABC ＝√34×32＝9√34，其中AE ＝23AD ＝√3，球心O 到平面ABC 的距离为√R 2−(√3)2＝1， 故三棱锥P - ABC 的高的最大值为3， 体积最大值为13S △ABC ·3＝9√34.答案：C。
高考复习 第8篇 第1讲 空间几何体及其表面积与体积知识点+例题+练习 含答案
第1讲空间几何体及其表面积与体积知识梳理1．多面体的结构特征(1)棱柱：一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体叫做棱柱；棱柱两个底面是全等多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形．(2)棱锥：当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥；棱锥底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形．(3)棱台：棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．2．旋转体的结构特征(1)将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台；这条直线叫做轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面．不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做母线．(2)球：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球体，简称球．3．柱、锥、台和球的侧面积和体积面积体积圆柱S侧＝2πrh V＝Sh＝πr2h圆锥S侧＝πrlV＝13Sh＝13πr2h＝13πr2l2－r2圆台S侧＝π(r1＋r2)lV＝13(S上＋S下＋S上S下)h＝13π(r21＋r22＋r1r2)h直棱柱S侧＝Ch V＝Sh正棱锥S侧＝12Ch′V＝13Sh续表4.(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等于侧面积与底面面积之和．辨析感悟1．柱体、锥体、台体与球的面积(1)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(×)(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为3πa2.(×)2．柱体、锥体、台体的体积(3)(教材练习改编)若一个球的体积为43π，则它的表面积为12π.(√)(4)在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝120°，使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(×)3．柱体、锥体、台体的展开与折叠(5)将圆心角为2π3，面积为3π的扇形作为圆锥的侧面，则圆锥的表面积等于4π.(√)(6)(2014·青州模拟改编)将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD＝a，则三棱锥D－ABC的体积为312a3.(×)[感悟·提升]两点注意一是求几何体的体积，要注意分割与补形．将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则的几何体求解．二是几何体展开、折叠问题，要抓住前后两个图形间的联系，找出其中的量的关系．考点一空间几何体的结构特征【例1】给出下列四个命题：①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱②侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥③侧面都是矩形的直四棱柱是长方体④底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱其中不正确的命题为________．解析对于①，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故①错；对于②，对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图)，故②错；对于③，若底面不是矩形，则③错；④正确．答案①②③规律方法解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．【训练1】设有以下四个命题：①底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；②底面是矩形的平行六面体是长方体；③直四棱柱是直平行六面体；④棱台的相对侧棱延长后必交于一点．其中真命题的序号是________．解析命题①符合平行六面体的定义，故命题①是正确的．底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直，故命题②是错误的．因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形，故命题③是错误的．命题④由棱台的定义知是正确的． 答案 ①④考点二 几何体的表面积与体积【例2】 如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，∠ABD ＝60°，∠BDC ＝45°， △ADP ∽△BAD . (1)求线段PD 的长；(2)若PC ＝11R ，求三棱锥P －ABC 的体积． 解 (1)∵BD 是圆的直径，∴∠BAD ＝90°， 又∵△ADP ∽△BAD ，∴AD BA ＝DP AD ， ∠PDA ＝∠BAD ＝90°， DP ＝AD 2BA ＝(BD sin 60°)2BD sin 30°＝4R 2×342R ×12＝3R . ∴DP 的长为3R .(2)在Rt △BCD 中，BC ＝CD ＝BD cos 45°＝2R ， ∵PD 2＋CD 2＝9R 2＋2R 2＝11R 2＝PC 2，∴PD ⊥CD ， 又∠PDA ＝90°，AD ∩CD ＝D ，∴PD ⊥底面ABCD ， 则S △ABC ＝12AB ·BC sin(60°＋45°) ＝12R ·2R ⎝ ⎛⎭⎪⎫32×22＋12×22＝3＋14R 2.所以三棱锥P －ABC 的体积为V P －ABC ＝13·S △ABC ·PD ＝13·3＋14R 2·3R ＝3＋14R 3.规律方法 求几何体的体积问题，可以多角度、全方位地考虑问题，常采用的方法有“换底法”、“分割法”、“补体法”等，尤其是“等积转化”的数学思想方法应高度重视．【训练2】 (2014·苏州模拟)一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm 和6 cm ，高是32 cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积． 解(1)设O 1、O 分别为正三棱台ABC －A 1B 1C 1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O 1O ＝32，过O 1作O 1D 1⊥B 1C 1，OD ⊥BC ，则D 1D 为三棱台的斜高；过D 1作D 1E ⊥AD 于E ，则D 1E ＝O 1O ＝32， 因O 1D 1＝36×3＝32，OD ＝36×6＝3，则DE ＝OD －O 1D 1＝3－32＝32.在Rt △D 1DE 中， D 1D ＝D 1E 2＋ED 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3(cm)． (2)设c 、c ′分别为上、下底的周长，h ′为斜高， S 侧＝12(c ＋c ′)h ′＝12(3×3＋3×6)×3＝2732(cm 2)，S 表＝S 侧＋S 上＋S 下＝2732＋34×32＋34×62＝9934(cm 2)．故三棱台斜高为 3 cm ，侧面积为2732 cm 2，表面积为9934 cm 2.考点三 球与空间几何体的接、切问题【例3】 (1)(2013·新课标全国Ⅱ卷)已知正四棱锥O －ABCD 的体积为322，底面边长为3，则以O 为球心，OA 为半径的球的表面积为________．(2)(2013·辽宁卷改编)已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为________．审题路线 (1)根据正四棱锥的体积求高⇒求底面正方形的对角线长⇒由勾股定理求OA ⇒由球的表面积公式求解．(2)BC 为过底面ABC 的截面圆的直径⇒取BC 中点D ，则球心在BC 的垂直平分线上，再由对称性求解． 解析 (1)设正四棱锥的高为h ， 则13×(3)2×h ＝322，解得h ＝322. 又底面正方形的对角线长为2×3＝ 6. 所以OA ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝ 6. 故球的表面积为S 球＝4π×(6)2＝24π.(2)因为在直三棱柱中AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径，取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球的直径，所以2r ＝122＋52＝13，即r ＝132.答案 (1)24π (2)132规律方法 解决球与其他几何体的切、接问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．【训练3】(2012·辽宁卷)已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，P A⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为23的正方形．若P A＝26，则△OAB的面积为________．解析根据球的内接四棱锥的性质求解．如图所示，线段PC就是球的直径，设球的半径为R，因为AB＝BC＝23，所以AC＝2 6.又P A＝26，所以PC2＝P A2＋AC2＝24＋24＝48，所以PC＝43，所以OA＝OB＝23，所以△AOB是正三角形，所以S＝12×23×23×32＝3 3.答案3 3考点四几何体的展开与折叠问题【例4】(1)如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC，OD折叠，使OA，OB重合，则以A，B，C，D，O为顶点的四面体的体积为________．(2)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一动点，沿棱柱表面使CP＋P A1最小，则最小值为________．解析 (1)折叠后的四面体如图所示．OA ，OC ，OD 两两相互垂直，且OA ＝OC ＝OD ＝22，体积V ＝13 S △OCD ·OA ＝13×12×(22)3＝823.(2)由题意知，A 1P 在几何体内部，把面BB 1C 1C 沿BB 1展开与面AA 1B 1B 在一个平面上，如图所示，连接A 1C 即可． 则A 1、P 、C 三点共线时，CP ＋P A 1最小， ∵∠ACB ＝90°，AC ＝4，BC ＝C 1C ＝3，∴A 1B 1＝AB ＝42＋32＝5，∴A 1C 1＝5＋3＝8，∴A 1C ＝82＋32＝73.故CP ＋P A 1的最小值为73.答案 (1)823 (2)73规律方法 (1)有关折叠问题，一定要分清折叠前后两图形(折前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数量关系，哪些变，哪些不变．(2)研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化为平面上两点间的最短距离问题．【训练4】如图为一几何体的展开图，其中ABCD是边长为6的正方形，SD＝PD＝6，CR＝SC，AQ＝AP，点S，D，A，Q共线，点P，D，C，R共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，则需要________个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的正方体．解析由题意知，将该展开图沿虚线折叠起来以后，得到一个四棱锥P－ABCD(如图所示)，其中PD⊥平面ABCD，因此该四棱锥的体积V＝13×6×6×6＝72，而棱长为6＝3个这样的几何体，才能拼成的正方体的体积V＝6×6×6＝216，故需要21672一个棱长为6的正方体．答案 31．对于基本概念和能用公式直接求出棱柱、棱锥、棱台与球的表面积的问题，要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决．2．求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．3．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径．方法优化5——特殊点在求解几何体的体积中的应用【典例】 (2012·山东卷)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．[一般解法] 三棱锥D 1－EDF 的体积即为三棱锥F －DD 1E 的体积．因为E ，F 分别为AA 1，B 1C 上的点，所以在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中△EDD 1的面积为定值12，F 到平面AA 1D 1D 的距离为定值1，所以VF －DD 1E ＝13×12×1＝16. [优美解法] E 点移到A 点，F 点移到C 点，则VD 1－EDF ＝VD 1－ADC ＝13×12×1×1×1＝16. [答案] 16[反思感悟] (1)一般解法利用了转化思想，把三棱锥D 1－EDF 的体积转化为三棱锥F －DD 1E 的体积，但这种解法还是难度稍大，不如采用特殊点的解法易理解、也简单易求．(2)在求几何体体积时还经常用到等积法、割补法． 【自主体验】 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1与侧面BCC1B1的距离为2，侧面BCC1B1的面积为4，此三棱柱ABC－A1B1C1的体积为________．解析补形法将三棱柱补成四棱柱，如图所示．记A1到平面BCC1B1的距离为d，则d＝2.则V三棱柱＝12V四棱柱＝12S四边形BCC1B1·d＝12×4×2＝4.答案 4基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．其中正确命题的个数是________．解析命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行．答案 12．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD－A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．答案①③④⑤3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________．解析设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×12×a2＝3，底面积为34×22＝3，表面积为3＋ 3.答案3＋ 34．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________．解析 设圆锥的底面圆半径为r ，高为h ，母线长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧ πrl ＝2π，πr 2＝π，∴⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴h ＝l 2－r 2＝22－12＝ 3.∴圆锥的体积V ＝13π·12·3＝33π. 答案 33π5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为________． 解析如图，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO ′＝2，O ′M ＝1，∴OM ＝(2)2＋1＝3，即球的半径为3，∴V ＝43π(3)3＝43π.答案 43π 6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为32，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为22，所以体积V ＝13×1×1×22＝26. 答案 267．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为9π2，则正方体的棱长为________．解析 设正方体的棱长为a ，外接球的半径为R ，由题意知43πR 3＝9π2，∴R 3＝278，而R ＝32.由于3a 2＝4R 2，∴a 2＝43R 2＝43×⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3，∴a ＝ 3.答案 38.如图，在多面体ABCDEF 中，已知ABCD 是边长为1的正方形，且△ADE ，△BCF 均为正三角形，EF ∥AB ，EF ＝2，则该多面体的体积为________．解析 如图，分别过点A ，B 作EF 的垂线，垂足分别为G ，H ，连接DG ，CH ，容易求得EG ＝HF ＝12，AG ＝GD ＝BH ＝HC ＝32，∴S △AGD ＝S △BHC ＝12×22×1＝24，∴V ＝V E －ADG ＋V F －BHC ＋V AGD －BHC ＝2V E －ADG ＋V AGD －BHC ＝13×24×12×2＋24×1＝23. 答案 23 二、解答题 9.如图，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .(1)求证：PC ⊥AB ；(2)求点C 到平面APB 的距离． (1)证明 取AB 中点D ，连接PD ，CD .因为AP ＝BP ，所以PD ⊥AB ， 因为AC ＝BC ，所以CD ⊥AB .因为PD ∩CD ＝D ，所以AB ⊥平面PCD .因为PC ⊂平面PCD ，所以PC ⊥AB . (2)解 设C 到平面APB 的距离为h ，则由题意，得AP ＝PB ＝AB ＝AC 2＋BC 2＝22， 所以PC ＝AP 2－AC 2＝2.因为CD ＝12AB ＝2，PD ＝32PB ＝6， 所以PC 2＋CD 2＝PD 2，所以PC ⊥CD .由(1)得AB ⊥平面PCD ，于是由V C －APB ＝V A －PDC ＋V B －PDC ， 得13·h ·S △APB ＝13AB ·S △PDC ，所以h ＝AB ·S △PDCS △APB＝22×12×2×234×(22)2＝233.故点C 到平面APB 的距离为233.10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r ，水面半径BC 的长为3r ，则容器内水的体积为 V ＝V 圆锥－V 球＝13π(3r )2·3r － 43πr 3＝53πr 3，将球取出后，设容器中水的深度为h ， 则水面圆的半径为33h ，从而容器内水的体积为 V ′＝13π⎝ ⎛⎭⎪⎫33h 2h ＝19πh 3，由V ＝V ′，得h ＝315r .能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝3，∠ASC ＝∠BSC ＝30°，则棱锥S －ABC 的体积为________．解析 由题意知，如图所示，在棱锥S －ABC 中，△SAC ，△SBC 都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB ＝3，SC ＝4，所以SA ＝SB ＝23，AC ＝BC ＝2，作BD ⊥SC 于D 点，连接AD ，易证SC ⊥平面ABD ，因此V S －ABC ＝13×34×(3)2×4＝ 3. 答案 32.(2014·南京模拟)如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，M 为线段B 1B 上的一动点，则当AM ＋MC 1最小时，△AMC 1的面积为________．解析 如图，当AM ＋MC 1最小时，BM ＝1，所以AM 2＝2，C 1M 2＝8，AC 21＝14，于是由余弦定理，得cos ∠AMC 1＝AM 2＋MC 21－AC 212AM ·MC 1＝－12，所以sin ∠AMC 1＝32，S △AMC 1＝12×2×22×32＝ 3. 答案 33.如图，已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为2 cm 、高为5 cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A 1的最短路线的长为________cm. 解析 根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 cm.答案 13 二、解答题4．如图1，在直角梯形ABCD 中，∠ADC ＝90°，CD ∥AB ，AB ＝4，AD ＝CD ＝2，将△ADC 沿AC 折起，使平面ADC ⊥平面ABC ，得到几何体D －ABC ，如图2所示．(1)求证：BC ⊥平面ACD ； (2)求几何体D －ABC 的体积．(1)证明 在图中，可得AC ＝BC ＝22， 从而AC 2＋BC 2＝AB 2， 故AC ⊥BC ，又平面ADC ⊥平面ABC ， 平面ADC ∩平面ABC ＝AC ， BC ⊂平面ABC ， ∴BC ⊥平面ACD .(2)解 由(1)可知，BC 为三棱锥B －ACD 的高，BC ＝22，S △ACD ＝2，∴V B －ACD ＝13S △ACD ·BC ＝13×2×22＝423，由等体积性可知，几何体D －ABC 的体积为423.。
立体图形的表面积和体积的整理和复习
立体图形的表面积和体积是证明几何定理的重要工具，如利用表面 积和体积证明等积定理、等周定理等。
在日常生活中的应用
01
02
03
建筑设计
在建筑设计中，需要计算 建筑物的表面积和体积， 以确定建筑物的外观、材 料用量和建筑成本。
包装设计
在包装设计中，需要计算 包装盒的表面积和体积， 以确定包装盒的大小、材 料用量和运输成本。
工、铸造等。
经济学
在经济学中，立体图形的表面积 和体积用于计算资源的分布、利 用和优化，如题与解析
基础习题
题目
一个长方体的长、宽、高 分别为5cm、4cm、3cm， 求其表面积和体积。
题目
一个正方体的棱长为4cm， 求其表面积和体积。
题目
一个圆柱体的底面半径为 3cm，高为5cm，求其表 面积和体积。
02
立体图形的表面积
表面积的定义与计算方法
定义
立体图形的表面积是指其外部表面的总面积。
计算方法
对于规则的立体图形，如长方体、圆柱体等，可以通过公式直接计算其表面积； 对于不规则的立体图形，通常需要将其拆分成若干个规则的立体图形进行计算。
常见立体图形的表面积计算
长方体
圆柱体
圆锥体
球体
长方体的表面积 = 2 × (长×宽 + 长×高 + 宽×
面积和体积。
感谢您的观看
THANKS
04
立体图形的表面积和体积 的应用
在几何学中的应用
计算几何形状的面积和体积
立体图形的表面积和体积是几何学中的基本概念，用于计算各种 几何形状的面积和体积，如长方体、圆柱体、圆锥体等。
解决几何问题
立体图形的表面积和体积是解决几何问题的关键，如计算几何体的 表面积和体积、求几何体的侧面积、求几何体的体积等。
《立体图形的表面积和体积(整理复习)》教案
在本次《立体图形的表面积和体积》的教学中，我发现学生们对于立体图形的概念和计算公式掌握得还算不错。但在实际应用方面，他们还显得有些吃力。我觉得有几个地方值得我们共同反思和改进。
首先，关于立体图形的认识，虽然学生们在课堂上能够理解长方体、正方体、圆柱体和圆锥体等基本立体图形，但在遇到一些不规则立体图形时，他们的空间想象力还是显得不足。为了提高学生的空间想象力，我考虑在今后的教学中，可以增加一些立体图形的实物模型展示，让学生更直观地感受和认识立体图形。
（3）在实际问题中，学生需要学会如何将现实生活中的物体抽象为立体图形，并运用相应的表面积和体积知识进行计算。例如，计算一个游泳池的水泵每分钟需要抽多少水，需要知道游泳池的体积，并考虑实际情境。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《立体图形的表面积和体积》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要计算物体大小或容量的情况？”（如计算游泳池的水量、包装盒的用料等）。这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索立体图形表面积和体积的奥秘。
-圆锥体的表面积计算公式：πrl+πr²。
2.教学难点
（1）对立体图形的认识和空间想象力；
（2）表面积和体积公式的推导过程；
（3）在实际问题中灵活运用立体图形的表面积和体空间想象力，学生需掌握立体图形的各个面的特征及其相互关系。例如，长方体的三个相互垂直的面，圆柱体的侧面和上下底面等。
其次，在表面积和体积公式的推导过程中，虽然我尽力通过举例和实物演示来帮助学生理解，但仍有部分学生难以跟上课堂节奏。我意识到，对于这部分学生，可能需要更详细的步骤分解和个别辅导。在今后的教学中，我会尽量关注每个学生的学习进度，及时给予他们个性化的指导。
空间几何体的表面积与体积的复习课课件
2. 所 有 棱 长 为 1 的 正 三 棱 锥 的 全 面 积 3 为 . 解析 3 2 S＝4× × ＝ 3. 1 4
3. 如 图 所 示 ， 在 棱 长 为 4 的 正 方 体 ABCD—A1B1C1D1 中，P 是 A1B1 1 上一点，且 PB1＝ A1B1，则多 4 面 体 为
解析
16 3
a，则长方体的体对角线长为 (2a)2＋a2＋a2＝ 6a.又长方体外接球的直径 2R 等于长方体的 体对角线，∴2R＝ 6a.∴S 球＝4πR2＝6πa2.
题型剖析
题型一 几何体的展开与折叠 例 1 有一根长为 3π cm， 底面半径为 1 cm 的圆 柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕 2 圈， 并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线 的两端，求铁丝的最短长度为多少？ 思维启迪： 把圆柱沿这条母线展开，将问题转
P—BCC1B1 的 体 积 .
∵四棱锥 P—BB1C1C 的底面积为 16，
高 PB1＝1， 1 16 ∴VP—BB1C1C＝ × 1＝ . 16× 3 3
4. 若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个 面的中心为顶点的凸多面体的体积为( B ) 2 2 3 2 A. B. C. D. 6 3 3 3
化为平面上两点间的最短距离.
解
把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平
面上得到矩形 ABCD(如图所示)， 由题意知 BC ＝3π cm，AB＝4π cm， A 点 与点 C 分别是铁丝的起、 止 位置，故线段 AC 的长度即 为铁丝的最短长度. AC＝ AB2＋BC2＝5π cm， 故铁丝的最短长度为 5π cm.
1 V＝ (S 上＋S 下 3 圆台 ＋ S上S下)h＝ π(r1＋r2)l S 侧＝________ 1 π(r2＋r2＋ 3 1 2 r1r2)h 直棱 柱 正棱 锥
2022复习立体几何----空间几何体及其表面积与体积(学
空间几何体的表面积和体积知识梳理1.多面体的表(侧)面积多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和.2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式3.1.正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R(1)若球为正方体的外接球，则2R＝3a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝2a.2.长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝a2＋b2＋c2.3.正四面体的外接球的半径R＝64a，内切球的半径r＝612a，其半径R∶r＝3∶1(a为该正四面体的棱长).诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)锥体的体积等于底面面积与高之积.()(2)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方.()(3)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差.()(4)已知球O的半径为R，其内接正方体的边长为a，则R＝32a.()2.已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为()A.1 cmB.2 cmC.3 cmD.32cm3.如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________.4.(2020·天津卷)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.24πC.36πD.144π5.(2020·全国Ⅲ卷)如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A.6＋42B.4＋42C.6＋23D.4＋236.(2020·浙江卷)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是__________.考点一空间几何体的表面积与侧面积1.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为()A.122πB.12πC.82πD.10π2.(2020·北京卷)某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为()A.6＋ 3B.6＋23C.12＋ 3D.12＋233.(2021·成都诊断)如图，四面体各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面圆心，圆柱的侧面积是()A.23π B.324πC.223π D.22π考点二空间几何体的体积角度1简单几何体的体积【例1】(1)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是()A.158B.162C.182D.324(2)(2019·天津卷)已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为 5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.【训练1】(1)(2019·江苏卷)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E－BCD的体积是________.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.角度2不规则几何体的体积【例2】如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF 均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________.【训练2】(2020·浙江卷)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积(单位：cm3)是()A.73 B.143C.3D.6考点三多面体与球的切、接问题【例3】(经典母题)(2021·长沙检测)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是________.【迁移】本例中若将“直三棱柱”改为“棱长为4的正方体”，则此正方体外接球和内切球的体积各是多少？【训练3】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________.(2)(2021·济南质检)已知球O是三棱锥P－ABC的外接球，P A＝AB＝PB＝AC＝2，CP＝22，点D是PB的中点，且CD＝7，则球O的表面积为()A.28π3 B.14π3C.2821π27 D.16π3空间几何体的实际应用“强调应用”也是高考卷命题的指导思想，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念，既有利于培养考生的探究意识和创新精神，又能够很好地提升考生的数学综合素养，因而成为高考试卷中的一道亮丽的风景线.如全国Ⅲ卷第16题是以学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型为背景创设的与空间几何体的体积有关的问题.考查运用空间几何求解实际问题的能力.【典例】(2019·全国Ⅲ卷)学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体ABCD－A1B1C1D1挖去四棱锥O－EFGH后所得的几何体.其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度为0.9 g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为______g.【训练】(2021·潍坊联考)如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，AA1＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为()A.32π3，4 B.9π2，3C.6π，4D.32π3，3A级基础巩固一、选择题1.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A.12πB.32 3πC.8πD.4π2.(2021·郑州调研)现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为()A.3πB.3π2C.5π2 D.5π3.如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为3，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为()A.3B.3 2C.1D.3 24.已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为()A.3172B.210C.132D.3105.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )A.πB.3π4 C.π2 D.π46.(2020·全国Ⅱ卷)已知△ABC 是面积为934的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) A. 3 B.32 C.1 D.327.一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为r 的圆，若该几何体的体积为98π，则它的表面积是( )A.92πB.9πC.454πD.544π8.(2021·安庆调研)已知在四面体P ABC 中，P A ＝4，BC ＝26，PB ＝PC ＝23，P A ⊥平面PBC ，则四面体P ABC 的外接球的表面积是( ) A.160π B.128π C.40π D.32π二、填空题9.如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________.10.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M－EFGH的体积为________.11.某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)为________.12.(2021·太原质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A、B满足△SAB为等边三角形，且面积为43，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________.B级能力提升13.(2020·全国Ⅰ卷)已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，则球O的表面积为()A.64πB.48πC.36πD.32π14.已知四面体ABCD中，AB＝AD＝BC＝DC＝BD＝5，AC＝8，则四面体ABCD的体积为________.15.(2021·贵阳调研)如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB＝3，∠ACB＝60°，∠BCD＝90°，AB⊥CD，CD＝22，则该球的体积为________.16.(2019·北京卷)某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为______.。
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）
长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计（5篇范例）第一篇：长方体与正方体表面积和体积复习课教学设计《长方体与正方体表面积和体积复习课》教学设计一、教学目标1、通过整理与复习，使学生进一步长方掌握体和正方体的特征内在联系，表面积、体积、容积的概念以及相邻单位间进率；2、熟练掌握长方体和正方体表面积和体积的计算方法，以及不规则图形体积的计算方法，并在具体情境中正确运用。
3、进一步培养学生的空间观念，提高空间想象能力。
二、教学重难点重点：归纳整理有关长方体和正方体的知识，形成知识体系。
熟练掌握不同长方体和正方体表面积和体积的计算方法。
难点：灵活运用所学知识，解决实际问题。
三、教具准备长方体正方体模具四：教学过程（一）复习导入师：这一节课我们来进行长方体和正方体表面积和体积的复习，对于这一章，你还能记住哪些内容？生：长方体和正方体都有六个面、八个顶点、12条棱。
生：长方体和正方体体积和表面积的计算方法… …师：本单元的主要内容就是从同学们刚才所说的特征、表面积、体积这三方面展开的。
（板书）下面请同学们独立、认真、快速的完成复习提纲（二）整理1、组内整理2、小组汇报（1）特征。
分别从长方体和正方体的面、棱、顶点三方面汇报，其他小组补充。
（2）表面积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充（3）体积。
分别从概念、长方体和正方体各自的计算方法、常用单位三方面汇报，其他小组补充3、教师总结：对于空间几何体来说，特征是核心。
特征是区分表面积和体积的依据，正因为特征不同，表面积和体积的计算方法不同，单位也不同。
长方体和正方体在计算各自的体积和表面积时，计算方法也不一样。
（三）巧设练习，运用知识师：通过刚才同学们的汇报，大家已经对本单元的知识有了系统的了解，下面我们一起做几个练习题，检查一下同学们能否灵活运用这些知识。
本环节共四关，同学们做好准备了吗？开始：第一关：一、填空：1、一个长方体的长、宽、高分别是4厘米、2厘米、1厘米。
1.3.2球的表面积与体积
例题讲解 2.如图,圆柱的底面直径与高都等
O
于球的直径,求证: (1)球的体积等于圆柱体积的三分之二. (2)球的表面积等于圆柱的侧面积.
例题讲解 3.一个圆锥形的空杯子上面放着一个半
球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了， 会溢出杯子吗？ 分析：分别计算它们体积进行比较。
大为原来的___9_____倍，体积扩大为原来的 ____2_7___倍.
(2)把球的表面积扩大到原来的2倍，那么其半
径扩大为原来的_____2__倍，体积扩大为原来 的__2___2__倍.
(3)三个球的表面积之比为1:2:3，则它们的体积 之比为_1_:_2___2_:_3__3_.
(4)三个球的体积之比为1:8:27，则它们的表面
1.3.2 球的表面积与体积
复习导入 1. 柱、锥、台的体积计算公式？ 圆柱、
圆锥的侧面积、表面积计算公式？
2.设球的半径为R，它的表面积 怎么求呢？它的体积怎么求呢？
引入新知
球的体积与表面积公式:
球的体积：
V球
4 3
R3
球的表面积： S球 4 R2
例题讲解
1.(1)把球的半径扩大为原来的3倍，则表面积扩
球的截面的性质：
球心和截面圆心的连线垂直于截面 球心到截面的距离为d，球的半径为R，则
r2 R2 d2
O
Rd
α
r
例题讲解
6.一球的球面面积为256π cm2，过此球的一条 半径中点，作垂直于这条半径的截面，求截面圆 的半径和面积．
O
Rd
α
r
课堂小结
球的体积公式： V球
4 3
πR3
球的表面积公式：S球 4R2
体积和表面积的知识点梳理
体积和表面积的知识点梳理本文将对初中数学中体积和表面积的知识点进行梳理和总结，帮助学生更好地理解和应用这些概念。
一、体积1. 定义体积是一个物体所占据的三维空间的大小。
在初中数学中，我们通常研究的是几何体的体积，如长方体、正方体、圆柱体等。
2. 计算公式不同几何体的体积计算公式略有不同，下面是一些常见几何体的体积计算公式：- 长方体：体积 = 长 ×宽 ×高- 正方体：体积 = 边长 ×边长 ×边长- 圆柱体：体积 = 底面积 ×高，其中底面积可以根据圆面积公式计算3. 实际应用体积的概念在生活中有很多实际应用。
例如，在购买油漆时，我们需要计算房间的体积以确定所需的油漆量；在装车时，我们需要计算货物的体积以确定所需的运输空间等等。
二、表面积1. 定义表面积是一个物体外表面的总面积。
在初中数学中，我们通常研究的是几何体的表面积，如长方体、正方体、圆柱体等。
2. 计算公式不同几何体的表面积计算公式也有所不同，下面是一些常见几何体的表面积计算公式：- 长方体：表面积 = 2 × (长 ×宽 + 长 ×高 + 宽 ×高)- 正方体：表面积 = 6 ×边长 ×边长- 圆柱体：表面积 = 2 ×圆底面积 + 2 ×圆底半径 ×圆柱体的高，其中圆底面积可以根据圆面积公式计算3. 实际应用表面积的概念在生活中同样有很多实际应用。
例如，在装修房间时，我们需要计算墙壁的表面积以确定所需的瓷砖面积；在包装商品时，我们需要计算包装纸的表面积以确定所需的包装材料等等。
总结起来，体积和表面积是初中数学中重要的几何概念，它们在生活中有着广泛的应用。
通过理解和掌握它们的概念和计算方法，我们可以更好地解决实际问题。
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表面积和体积的复习
教学内容:立体图形的表面积和体积的复习.
教学目标: 1、熟练掌握立体图形表面积计算公式和体积公式；
2、能清晰的区分立体图形表面积和体积之间的区别；
3、把数学问题生活化,同时也能把生活问题数学化,以此加
强解决实际应用问题的能力；
4、培养学生对空间图形的想象能力,从不同的角度去思考
问题的能力,以及对数学学习的兴趣,引导学生主动学习。
教学过程
一、熟练立体图形的表面积和体积的计算
（一）默写长方体、圆柱体、圆锥的体积公式，长方体、圆柱体的表面积公式。
（二）听题、解题
1、（课件：出示标有数据的长方体）你们看，这是一个长方体，它底面长为5厘米，宽是4
厘米，高是6厘米。
你能快速的求出它的表面积？体积？
2、现在在这个立方体里面放进一个最大的圆柱体，它的直径是多少？高是多少？它的表面积？体积？（提示：有几种可能？它们一样大吗？）
3、这个圆柱体里面再取出一个最大的圆锥，它的直径，高又是多少？它的体积？
二、数学问题生活化（区分立体图形表面积和体积之间的区别）
（一）分别出示第4、5题
4、造一个长50米，宽30米，深3米的游泳池。
要挖出多少土？
（提示：求什么？怎么求？）
5、如果在这个游泳池的四壁和底面贴上瓷砖，那么需要多少平方米的瓷砖？
（这次求的是什么？怎么求？）
（二）独立练习第6、7题
6、一个圆柱铁皮水桶，高50厘米，底面直径是40厘米，做这样的水桶至少要用铁皮多少？它能容纳多少的水？
7、一堆细碎石呈圆锥形，高1.8米，沿底面走一圈是6.28米，这堆碎石共多少立方米？
三、生活问题数学化（组合图形）
8、一个圆锥形石堆，底面半径为10米，高为2.5米。
用这堆石子在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多长的路？
9、这里有两块积木，它们的高度相等，圆柱的底面直径是10厘米，立方体的棱长是14厘米。
你们能根据这些信息，自己提出问题吗？并加以解决。
四、自我评价
今天，同学们完成的都非常棒，接下来请同学们从以下几点进行自我评价：
（1）你觉得这节课自己是否认真参与，认真完成？
（2）上课是否积极思考、举手、发言？
（3）是否有精彩回答或提问？。