体积和表面积的比较.ppt
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高中数学1.3.2球的体积和表面积课件新人教A版必修)
3 4 3 解析： V＝ Sh＝ πr h＝ πR ， R＝ 64× 27＝ 12. 3
2
答案：12
能力提升 7．(2009 年中山市学业水平测试)把一个铁制的底面半径为 r，高为 h 的实心圆锥熔化后 铸成一个铁球，则这个铁球的半径为 ( C ) 2 3 2 2 r h rh rh rh (A) (B) (C) (D) 2 4 4 2
球的截面问题 【例 1】 已知球的两平行截面的面积为 5π 和 8π，它们位于球心的同一侧，且相距为 1， 求这个球的表面积和体积．
思路点拨：要求球的表面积和体积，只需求出球的半径，因此要抓住球的截面这个条件．
解：如图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，圆心为 O1 ，以 r2 为半径的截面面积为 8π，圆心为 O2， O1 O2＝ 1，球的半径为 R，设 OO2＝ x，可得下列关系式： 2 2 2 2 2 2 r2 ＝ R － x ， πr2 ＝ π(R － x )＝ 8π， r1 2 ＝ R2－ (x＋ 1)2，πr1 2＝ π[R2－ (x＋ 1)2 ]＝ 5π， ∴ R2－ x2＝ 8， R2 －(x＋ 1)2＝ 5，解得 R＝ 3. 球的表面积为 S＝ 4πR2＝ 4π× 32＝ 36π， 4 3 4 3 球的体积为 V＝ πR ＝ π× 3 ＝ 36π. 3 3 有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面当中圆的有 关问题解决，此题要注意分截面在球心的同侧和两侧讨论．
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则 这个球的表面积是 ( B ) (A)25π (B)50π (C)125π (D)以上都不对
解析：长方体的体对角线是球的直径，体对角线长 l＝ 32＋ 42＋ 52＝ 5 2，2R＝ 5 2，R 5 2 2 ＝ ， S＝ 4πR ＝ 50π. 2
高考数学一轮复习-81-空间几何体的三视图-直观图-表面积与体积课件-新人教A
设球的半径为 R，则 R2＝AO22＝AO2＋OO22＝13a2＋14a2
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
＝172a2.所以 S 球＝4πR2＝4π×172a2＝73πa2.
(2)这个几何体是一个圆台被轴截面割出来的一半．
根据图中数据可知圆台的上底面半径为 1，下底面半径为 2，高为 3，母线长为 2，几何体的表面积是两个半圆的面 积、圆台侧面积的一半和轴截面的面积之和，故这个几何 体的表面积为 S＝12π×12＋12π×22＋12π×(1＋2)×2＋12 ×(2＋4)× 3＝112π＋3 3. 答案 (1)B (2)112π＋3 3
可能是圆柱，排除选项C；又由俯视图可知，该几何体
不可能是棱柱或棱台，排除选项A，B，故选D.
(2)如图，在原图形OABC中， 应有 OD＝2O′D′＝2×2 2 ＝4 2(cm)， CD＝C′D′＝2 cm. ∴OC＝ OD2＋CD2 ＝ （4 2）2＋22＝6(cm)， ∴OA＝OC， 故四边形 OABC 是菱形． 答案 (1)D (2)C
诊断自测
1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) 精彩PPT展示
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是
棱柱．
(×)
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是
棱锥．
( ×)
(3)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同．
(×)
(4)圆柱的侧面展开图是矩形．
(√)
2．(2014·福建卷)某空间几何体的正视图是三角形，则该几
(2)画出坐标系 x′O′y′，作出△OAB 的 直观图 O′A′B′(如图)．D′为 O′A′的中 点．易知 D′B′＝12DB(D 为 OA 的中点)， ∴S△O′A′B′＝12× 22S△OAB＝ 42× 43a2＝ 166a2.
高二数学必修2课件-空间几何体的表面积和体积
步骤三
如果计算正确，则可以庆祝问题 的解决，并享受数学带来的成就 感。
其他的空间几何体常识
名称
圆锥体 圆柱体 球 正方体
特点
底面为圆形，侧面为三角形 底面为圆形，侧面为矩形 表面积为4πr²，体积为(4πr³)/3 6个面组成，每个面积为a²
小结
知识点
• 空间几何体的表面积 • 空间几何体的体积 • 解题方法和步骤
高二数学必修2课件-空间 几何体的表面积和体积 ppt
本课程将带领大家深入理解空间几何体的表面积和体积，掌握重要的公式和 概念，并提供多个实例进行演示。
为什么要学习空间几何体的表面积和 体积？
1 实际应用广泛
几何体是我们日常生活中常见的物体，如箱子、瓶子、汽车等，熟练掌握空间几何体的 表面积和体积可以应用于各种实际计算中。
技能
• 应用公式解决实际问题 • 掌握计算技巧和策略 • 提高自我学习和思考能力
效果
• 成为数学大师 • 提高应对数学竞赛能力 • 在各种实际计算和操作
中表现更加出色
矩形的体积
面积×高：bh
三角形的体积
底面积之和×高的一半：(ah)/2
立体几何体的体积
1
圆柱体的体积
2
பைடு நூலகம்
πr²h
3
球的体积
(4πr³)/3
圆锥体的体积
(πr²h)/3
解题示例：如何计算球的体积？
步骤一
根据题目提供的半径长度，计算 球的表面积公式：4πr³/3
步骤二
把计算结果与题目所需体积相比 较，如相等则问题解决；如不相 等需检查计算过程是否正确。
2 提高数学水平
对于数学专业的学生，掌握空间几何体的表面积和体积是必不可少的，是数学基础中不 可或缺的一部分。
人教版高中数学- 球的体积和表面积(共32张PPT)教育课件
: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
Si
则球的体积为：V V1 V2 V3 Vn
4 R3
3
O
（四）球的表面积公式的推导
讨论：（1）如何求出每一个“准锥体”的体积呢？ 你会算吗可？以怎样处理呢？
展开讨论
“准锥体”的底面是球面的一部分， 底面是“曲”的。
O
Si
Si
hi
O
以平代曲 O
“准锥体”近似看为小棱锥,用小棱锥的体积作 为“准锥体”体积的近似值。
球的体积和表面积
A K
40°
B
O
练习一
一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶 里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸 入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求 钢球的半径.
3cm
3cm
8cm
8.5cm
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
A1
D
A D1 A1
C1
B1
例题讲解
问：圆有内接长方形，那么球有内接长 方体吗？ 球心在哪里？ 半径怎么求？ 若内接长方体的边 长为3、4、5，则 A1 球的表面积是多少？
D1 C1 B1 D O A B C
例题讲解
问：正方体有内切球吗？ 问：正方体的棱与球相切，可以想象？
例题讲解
例: 我国首都北京靠近北纬40度。求 北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）。
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 3 R 3
球的体积与表面积
球的体积
4 3 V球 R 3
球的表面积
S球面 4 R
2
例题讲解
H
R
例１、圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3
分析：正方体内接于球，则由球和正方 D 体都是中心对称图形可知，它们中心重 A 合，则正方体对角线与球的直径相等。
D1
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
40°
B
O
练习一
一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶 里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸 入水中，瓶中的水的高度上升到8.5cm,求 钢球的半径.
3cm
3cm
8cm
8.5cm
练习二
1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的___ 2 倍.
4 倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的___
A1
D
A D1 A1
C1
B1
例题讲解
问：圆有内接长方形，那么球有内接长 方体吗？ 球心在哪里？ 半径怎么求？ 若内接长方体的边 长为3、4、5，则 A1 球的表面积是多少？
D1 C1 B1 D O A B C
例题讲解
问：正方体有内切球吗？ 问：正方体的棱与球相切，可以想象？
例题讲解
例: 我国首都北京靠近北纬40度。求 北纬40度纬线的长度约为多少千米 （地球半径约为6370千米）。
球的体积
高等于底面半径的旋转体体积对比
R
V圆
3 3 R 3
猜测 : V半球
2 3 R 3
球的体积与表面积
球的体积
4 3 V球 R 3
球的表面积
S球面 4 R
2
例题讲解
H
R
例１、圆柱的底面直径与高 都等于球的直径.求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 3
分析：正方体内接于球，则由球和正方 D 体都是中心对称图形可知，它们中心重 A 合，则正方体对角线与球的直径相等。
D1
略解： RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) 2 a 2 ( 2a ) 2 , 得 3 R a 2 S 4R 2 3a 2
长方体正方体表面积和体积ppt(共21张PPT)
长方体的体积=长×宽×高 V=abh
长方体的体积=长×宽×高
=底面积×高
V=Sh
正方体的体积=长×宽×高 =棱长×棱长×棱长
V=a3
长=a
高=h 宽=b
第三节 长方体正方体的体积
习题：
1、求下列图形的体积。
3
第长二方节 体上面（长或方下体面正）方的体面的积表＝面长积×宽
长做方一体 个或如正图方所体示6的个长面方的体总纸面盒积，，长叫6厘做米它，的宽表5面厘积米。，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
4面第5×积三24、是 节=2_0光_(_平_明方_长_厘纸_3方_米_体盒_)正__厂方__体生__的_产_体_；积一1 种正方形1纸2 板箱，棱长是8分米，体积是多少立方分米？
=棱上长面是积1d+m下的面正积方+前体面，积体+积后是面1积d+m左3 面；积+右面积=30 ×2 +24 ×2 +20 ×2 =148（平方厘米）
第三节
长方体正方体的体积
需要引入的概念
计算体积，常用到的体积单位：立方厘米，立方分米，立方米，也可以写成：cm3，dm3，m3
棱长是1cm的正方体，体积是1 cm3 ；
棱长是1m的正方体，体积是1m3
一个手指尖的体积大约是1 cm3
可以用3根1m的木条做成一个互 成直角的架子，放到墙角，看看 体积为1 m3 是多大哦！
4cm 5 第棱二长节 是1dm的长正方方体体正，方体体积的是表1面d积m3 ；
dm
8cm 第5×一4节=20(平方回厘米顾)
第做三一节 个如图所长示方的体长正方方体体纸的盒体，积长6厘米，宽5厘米，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
长方体的体积=长×宽×高
=底面积×高
V=Sh
正方体的体积=长×宽×高 =棱长×棱长×棱长
V=a3
长=a
高=h 宽=b
第三节 长方体正方体的体积
习题：
1、求下列图形的体积。
3
第长二方节 体上面（长或方下体面正）方的体面的积表＝面长积×宽
长做方一体 个或如正图方所体示6的个长面方的体总纸面盒积，，长叫6厘做米它，的宽表5面厘积米。，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
4面第5×积三24、是 节=2_0光_(_平_明方_长_厘纸_3方_米_体盒_)正__厂方__体生__的_产_体_；积一1 种正方形1纸2 板箱，棱长是8分米，体积是多少立方分米？
=棱上长面是积1d+m下的面正积方+前体面，积体+积后是面1积d+m左3 面；积+右面积=30 ×2 +24 ×2 +20 ×2 =148（平方厘米）
第三节
长方体正方体的体积
需要引入的概念
计算体积，常用到的体积单位：立方厘米，立方分米，立方米，也可以写成：cm3，dm3，m3
棱长是1cm的正方体，体积是1 cm3 ；
棱长是1m的正方体，体积是1m3
一个手指尖的体积大约是1 cm3
可以用3根1m的木条做成一个互 成直角的架子，放到墙角，看看 体积为1 m3 是多大哦！
4cm 5 第棱二长节 是1dm的长正方方体体正，方体体积的是表1面d积m3 ；
dm
8cm 第5×一4节=20(平方回厘米顾)
第做三一节 个如图所长示方的体长正方方体体纸的盒体，积长6厘米，宽5厘米，高4 厘米，至少要用多少平方厘米硬纸板？
长方体和正方体的表面积和体积ppt课件
左、右两个面的长是（ ）、宽是（ ）。
前、后两个面的长是（ ）、宽是（ ）。
说一说
正方体有几个 面？
这几个面之间 有什么关系？
你知道吗？
8厘米
4厘米
长方体有几个面？
这几个面之间有什么 关系？ 5厘米 它们可以分成几组？
如果告诉我们这个长方体的长、宽、高， 你能想办法算出做这样的一个长方体纸盒 至少要用多少平方厘米硬纸板吗？
对称
旋转
平移
因数与 倍数
图形的 变换
长方体和 正方体
空间与图形
体积和 容积
分数基 本性质
综合
运用
五
解决
打
年 级 数
问题
电
话
学
下
册
内
容
本册教学总目标及要求：
1、理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分 数化成带分数或整数，会进整数、小数的互化，能够比较熟练地 进行约分和通分。
2、掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及2、 3、5的倍数的特征；会求100以内的两个数的最大工公因数和最 小公倍数。
一起来学习……
重点、难点
长方体正方体的特征， 长方体及正方体表面积和体积计算公式 表面积和体积公式的应用
你还记得吗？
3cm
5cm
4cm
（1）这个长方体的长、宽、高各是
多少？
（2）哪些面的面积相等？
你还记得吗？
3cm
5cm
4cm
（3）这个长方体上、下两个面的长是 （ ）、宽是（ ）。
3、理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法，会解决有关 分数加、减法简单实际问题。
4、知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算， 感受有关体积和容积之间的实际意义。
球的体积和表面积57张.ppt
(2)设木星和地球的半径分别为r、R. 依题意，有4πr2＝120×4πR2，解得r＝2 30R. 所以VV木地＝4343ππRr33＝43π243πR303 R3＝240 30. 故木星的体积约是地球体积是240 30倍．
[点评] 求解球的体积的大小问题，实际是转化为求类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球 的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”，作出轴截 面图，把空间问题转化为平面问题来计算．
(3)此类问题的具体解题流程：
[例3] (2010·全国高考)设长方体的长、宽、高分别为
2a、a、a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )
A．3πa2
第一章
空间几何体
第一章
1．3 空间几何体的表面积与体积
第一章
1．3.2 球的体积和表面积
课前自主预习 思路方法技巧 探索延拓创新
课堂基础巩固 课后强化作业
课前自主预习
温故知新 在初中，我们已经学习了圆的概念和周长、面积公式， 即圆是“在平面内到定点的距离等于定长的点的集合”，周 长c＝2πr ，面积S＝ πr2 ，其中r是圆的半径，而球面是“在空 间中到定点的距离等于定长的点的集合”．以半圆的直径所 在直线为旋转轴，半圆旋转一周，形成的旋转体叫做 球 ，半 圆的圆心叫 球心 ，半圆的 半径 叫球的半径．
43πr2 43πR3
＝
8 27
，所
以Rr ＝23，则这两个球的表面积之比为44ππRr22＝(Rr )2＝49.
6．将一钢球放入底面半径为3cm的圆柱形玻璃容器中， 水面升高4cm，则钢球的半径是________．
[答案] 3cm
[解析] 圆柱形玻璃容器中水面升高4cm，则知钢球的体 积为V＝π·32·4＝36π，即有43πR3＝36π，∴R＝3.
高中数学必修二1.3.2《球的体积和表面积》课件
函数即S＝4πR2.
3．求球的表面积和体积关键是求出球的半径，为此常考虑
球的轴截面．
一个球内有相距9 cm 的两个平行截面，它们的面 积分别为49π cm2和400π cm2，求球的表面积和体积． [提示] 因为题中并没有说明两个平行截面是在球心的 两侧，还是同侧，因此解题时应分类讨论．
[解] (1)当截面在球心的同侧时，如图所 示为球的轴截面．由球的截面性质，知
AO1∥BO2，且O1、O2分别为两截 面圆的圆心，则OO1⊥AO1， OO2⊥BO2. 设球的半径为R. ∵π·O2B2＝49π，∴O2B＝7. 同理，π·O1A2＝400π，∴O1A＝20.
设 OO1＝x，则 OO2＝x＋9. 在 Rt△OO1A 中，R2＝x2＋202， 在 Rt△OO2B 中，R2＝(x＋9)2＋72， ∴x2＋202＝72＋(x＋9)2.解得 x＝15.
设球O的半径为5，一个内接圆台的两底 面半径分别是3和4，求圆台的体积．
[错解] 如图，由球的截面的性质知， 球心到圆台的上、下底面的距离分别为 d1＝ 52－32＝4，d2＝ 52－42＝3. ∴圆台的高为 d1－d2＝h＝4－3＝1. ∴圆台的体积为 V＝13πh(r21＋r22＋r1r2) ＝13×π×1×(32＋42＋3×4)＝337π.
答案：D
探究点三 球的表面积和体积的实际应用
球是非常常见的空间几何体，应用比较广泛， 特别在实际生活中，应用球的表面积和体积公式解 决问题的例子更是普遍．
如图所示，一个圆锥形的空杯 子上放着一个直径为8 cm的半球形的 冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形 杯子(杯口直径等于半球形的冰淇淋的 直径，杯子壁厚忽略不计)，使冰淇淋 融化后不会溢出杯子，怎样设计最省 材料？ [提示] 应使半球的体积小于或等于圆锥的体积．可 先设出圆锥的高，再求其侧面积．
长方体和正方体的体积与表面积比较PPT课件
V＝a × b × h
2021
6
正方体的表面积怎样计算？
上 后
前
正方体的表面积=棱长×棱长×6
用字母表示S=6a2
2021
7
正方体的体积怎样计算？
棱 长 4 厘 米
棱长4厘米
因为正方体是长、宽、高都相等的长方体,所以 正方体的体积=棱长×棱长×棱长
· · V= a a a 或 V= a3
2021
上（下） 前（后） 左（右）
用字母表示S=2ab+2ah +2bh
用字母表示S=（ab+ah20+21bh）× 2
5
长方体的体积怎样计算？
长方体所含体积单位个数正好等于它的长、宽、 高的乘积，所以长方体的体积公式可以写为：
长方体的体积＝长×宽×高
如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表 示长方体的长、宽、高，上面的公式可以写成：
4×3＋4×5×2＋3×5×2 ＝12＋40＋30 ＝82(平方分米)
4×3×5 ＝60(立方分米)
答：至少需用铁皮82平方分米，铁皮箱的体积 是60立方分米。
2021
14
4、一个正方体的棱长总和是36厘米，它 的棱长是多少厘米？表面积是多少平方厘 米？体积是立方厘米？
棱长：36÷12＝3（厘米）
(4×2.5＋4×2.5＋2.5×2.5)×2
＝26.25×2
＝52.5(平方分米)
2021
16
6、有一种长方体容器，它的底面是边长5厘米的 正方形，高为24厘米，求这个容器能盛水多少毫 升？如果人体每日所需补充水4.8升，人每天需要 喝这样几杯水？
5×5×24 =600（立方厘米）
=600（毫升）
球体的表面积与体积-高一数学课件(人教A版2019必修第二册)
典例精析
题型二：球的截面问题
球的截面问题
性质1: 用一个平面去截球，截面是圆面；
性质2: 球心和截面圆心的连线垂直于截面．
性质3: 球心到截面的距离与球的半径及截面的
半径的关系: = −
O1
例4.已知知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这
两个截面间的距离为________．
探究新知
②再探究球的表面积公式
球的体积，等于所有小棱锥的体积和
球 = + + ⋯ +
球 =
+
+ ⋯+
= ( + + ⋯ + )
= 球
∴ 球 =
球
=
×
=
极限思想
02
球体的表面积和体积公式的推导
然后代入体积或表面积公式求解.
2.关键要素：半径和球心是球的关键要素，把握住了这两点，计算球的
表面积或体积的相关题目也就轻松自如了.
典例精析
题型二：球的截面问题
例3.一平面截一球得到直径为 的圆面，球心到这个平面的距离是 ，则
该球的体积是( ).
A.
B.
应用新知
题型一：球的表面积和体积
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是. ，
圆柱高. .如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要. 涂料，
那么给个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(取. )
解：一个浮标的表面积为2 × 0.15 × 0.6 + 4 × 0.152 = 0.8478(2 )，
表面积与体积对比
（3）这个游泳池最多能容水多少立方米？
把两个完全一样的正方体拼成一个长方体， 表面积怎么变化？体积呢?
减少2个面
表面积减少了；体积不变。
把一个长方体切分成两个完全一样的正方体， 表面积怎么变化?体积呢？
表面积增加了；体积不变。
把一根长 30 cm的长方体木料锯成 3 段，
表面积比原来增加了 20 cm2,这根木料原来
一块橡皮泥捏成一个棱长为 6 cm的正方体, 如果把这块橡皮泥捏成一个长 18 cm,宽 4 cm 的长方体,高是多少厘米?
把正方体的橡皮泥捏成长方体，体积不变。 捏成的正方体和长方体的体积相等。 6×6×6 = 216（cm3） 216÷18÷4 = 3（cm）
一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开 后得到一个边长是12厘米的正方形。求这个长方 体的体积是多少？
表面积与体积的比较
类别 表面积 长方体
正方体
概念ห้องสมุดไป่ตู้
六个面 的总面积
常用计量单位 平方米 平方分米 平方厘米
计算方法
S=6a2
体积 长方体
物体所占
空间的大小
正方体
立方米 立方分米 立方厘米
V=abh V= sh V=a3
联系实际生活想一想，下面的问题求的是什么？
1.粉刷教室的墙壁
表面积
2.仓库所占的空间
的体积是多少立方厘米?
20÷4 = 5 (cm2) 30 × 5 = 150 (cm3)
答：这根木材原来的体积是150立方厘米。
把一块长方体的橡皮泥捏成一个正方体。 形状变了 表面积变了 体积不变
①把一块长方体的蜡块熔成一个正方体蜡块; ②把一块长方体的钢块锻造成一个正方体; ③把一块正方体的钢块锻造成一个长方体;
把两个完全一样的正方体拼成一个长方体， 表面积怎么变化？体积呢?
减少2个面
表面积减少了；体积不变。
把一个长方体切分成两个完全一样的正方体， 表面积怎么变化?体积呢？
表面积增加了；体积不变。
把一根长 30 cm的长方体木料锯成 3 段，
表面积比原来增加了 20 cm2,这根木料原来
一块橡皮泥捏成一个棱长为 6 cm的正方体, 如果把这块橡皮泥捏成一个长 18 cm,宽 4 cm 的长方体,高是多少厘米?
把正方体的橡皮泥捏成长方体，体积不变。 捏成的正方体和长方体的体积相等。 6×6×6 = 216（cm3） 216÷18÷4 = 3（cm）
一个底面是正方形的长方体，把它的侧面展开 后得到一个边长是12厘米的正方形。求这个长方 体的体积是多少？
表面积与体积的比较
类别 表面积 长方体
正方体
概念ห้องสมุดไป่ตู้
六个面 的总面积
常用计量单位 平方米 平方分米 平方厘米
计算方法
S=6a2
体积 长方体
物体所占
空间的大小
正方体
立方米 立方分米 立方厘米
V=abh V= sh V=a3
联系实际生活想一想，下面的问题求的是什么？
1.粉刷教室的墙壁
表面积
2.仓库所占的空间
的体积是多少立方厘米?
20÷4 = 5 (cm2) 30 × 5 = 150 (cm3)
答：这根木材原来的体积是150立方厘米。
把一块长方体的橡皮泥捏成一个正方体。 形状变了 表面积变了 体积不变
①把一块长方体的蜡块熔成一个正方体蜡块; ②把一块长方体的钢块锻造成一个正方体; ③把一块正方体的钢块锻造成一个长方体;
《长方体和正方体的表面积、体积》完整版ppt课件
21
0.4m
做一个微波炉的包装箱， 至少要用多少平方米的硬纸板?
这里要求的是这个长方 体包装箱的表面积。
上、下每个面，长_0_._7_m_，宽_0_._5_m_，面积是_0_._3_5_m__2； 前、后每个面，长_0_._7_m_，宽_0_._4_m_，面积是_0_._2_8_m__2； 左、右每个面，长_0_._5_m_，宽_0_._4_m_，面积是_0_._2_m__2_。
精选ppt课件2021
7
折叠后，哪些图形能围成左侧的正 方体?在括号中画“√”。
（√）
（√）
（×）
精选ppt课件2021
8
亮亮家要给一个长0.75m，宽0.5m，高1.6m的简易 衣柜换布罩(如下图，没有底面)。至少需要用布多少 平方米?
0.75×0.5＋0.5×1.6×2＋0.75×1.6×2 ＝0.375＋1.6＋2.4 ＝4.375(m2) 答:至少需要用布4.375m2。
★解法一：
7×5 ×5－7 ×5 ×3 =175 －105 =70(立方分米）
答：这个铁球的体积是70立方分米。
★解法二
7×5 ×（5－3） =35 ×2 =70(立方分米）
答：这个铁球的体积是70立方分米。
精选ppt课件2021
44
一根长方体木料，长5m，横截面的 面积是0.06m2。这根木料的体积是多少？
精选ppt课件2021
24
计量体积要用体积单位，常用的体积单位有： 立方厘米，立方分米和立方米。
可以分别写成cm3，dm3和m3。 （1）棱长是1cm的正方体，体积是1cm3。
一个手指尖的体积 大约是1cm3。
1cm3
（2）棱长是1dm的正方体，体积是1dm3。
体积和表面积的关系
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20XX.XX.XX
体积和表面积的关系
XXX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XXX
目 录
01 体 积 和 表 面 积 的 定 义 02 体 积 和 表 面 积 的 关 系 03 体 积 和 表 面 积 的 应 用 04 体 积 和 表 面 积 的 公 式 05 体 积 和 表 面 积 的 拓 展 知 识
圆锥体的表面积公式：S=π*r*(r+h)
圆锥体的体积和表面积的关系：体积和表面积是相互独立的，但都与半径和高度有关 圆锥体的体积和表面积的应用：在工程、建筑等领域，需要计算圆锥体的体积和表面积， 以确定材料的用量和成本。
体积和表面积的应
03
用
建筑学中的应用
建筑设计：根据体积和表面积的 关系，设计出合理的建筑结构
体积和表面积的优化问题
体积和表面积的关系：体积是物体所占空间的大小，表面积是物体表面积的大小 优化问题：在满足一定条件下，如何使体积和表面积达到最优 优化方法：通过数学模型和算法，求解体积和表面积的最优解 应用领域：建筑设计、工业设计、包装设计等领域
体积和表面积的几何意义
体积：物体所占 空间的大小
建筑节能：根据体积和表面积的 关系，设计出节能的建筑方案
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
建筑材料选择：根据体积和表面 积的关系，选择合适的建筑材料
建筑施工：根据体积和表面积的 关系，优化建筑施工流程和工艺
包装设计中的应用
体积和表面积的关系：体积是物体所占空间的大小，表面积是物体表 面积的总和
包装设计中的应用：根据体积和表面积的关系，设计出合适的包装 尺寸和形状，以减少包装材料和运输成本
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体积和表面积的关系
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汇报人：XXX
目 录
01 体 积 和 表 面 积 的 定 义 02 体 积 和 表 面 积 的 关 系 03 体 积 和 表 面 积 的 应 用 04 体 积 和 表 面 积 的 公 式 05 体 积 和 表 面 积 的 拓 展 知 识
圆锥体的表面积公式：S=π*r*(r+h)
圆锥体的体积和表面积的关系：体积和表面积是相互独立的，但都与半径和高度有关 圆锥体的体积和表面积的应用：在工程、建筑等领域，需要计算圆锥体的体积和表面积， 以确定材料的用量和成本。
体积和表面积的应
03
用
建筑学中的应用
建筑设计：根据体积和表面积的 关系，设计出合理的建筑结构
体积和表面积的优化问题
体积和表面积的关系：体积是物体所占空间的大小，表面积是物体表面积的大小 优化问题：在满足一定条件下，如何使体积和表面积达到最优 优化方法：通过数学模型和算法，求解体积和表面积的最优解 应用领域：建筑设计、工业设计、包装设计等领域
体积和表面积的几何意义
体积：物体所占 空间的大小
建筑节能：根据体积和表面积的 关系，设计出节能的建筑方案
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建筑材料选择：根据体积和表面 积的关系，选择合适的建筑材料
建筑施工：根据体积和表面积的 关系，优化建筑施工流程和工艺
包装设计中的应用
体积和表面积的关系：体积是物体所占空间的大小，表面积是物体表 面积的总和
包装设计中的应用：根据体积和表面积的关系，设计出合适的包装 尺寸和形状，以减少包装材料和运输成本
球的表面积和体积(第2课时) 课件-高中数学人教A版(2019)必修第二册
A.64
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
64
B.
3
C.32
).
32
D.
3
答案：D.
解：设球的半径为，则由题意可知42 = 16，故 = 2.
4
3
所以球的体积 = 3 =
32
.故选D.
3
练习
例1.(2)已知球的体积为
500
，则它的表面积为_____.
3
答案：100.
4
解：设球的半径为，由已知得 3
如图所示.在∆1 中，1 = 5 ，1 = 2 ，
∴球的半径 = =
4
3
22 + ( 5)2 = 3()，
∴球的体积 = × 33 = 36(3 ).故选B.
练习
例2.(2)已知一个球内有相距9 的两个平行截面，它们的面积分别为49 2 和
性质知1 //2 ，且1 ，2 为两截面圆的圆心，则1 ⊥ 1 ，
2 ⊥ 2 .设球的半径为，
∵ ∙ 2 2 = 49，∴2 = 7 .同理，得1 = 20 .
设1 = ，则2 = (9−) .
在∆1 中，2 = 2 + 400.在∆2 中，2 = (9−)2 +49，
2
=
3
，
3
=
1
，所以球的半径
2
3
1
7 2
2
2
) +( ) = ，故球
3
2
12
=
42
=
= 满足
7
2 .故选B.
3
练习
例3.(2)球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半，则该
圆锥的体积和此球体积的比值为________.
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=144×6
=144×12
=864（平方厘米） =1728（立方厘米）
答：它的表面积是864平方厘米；体积 是1728立方厘米。
在（ ）里填上合适的计量单位
1、一个粉笔盒的表面积约是6（平方分米） 2、一个火柴盒的体积约是14（立方厘米 ） 3、一个梨子的体积大约是100（ 立方厘米） 4、一个菠萝的体积约是3（ 立方分米） 5、一台冰箱的容积约是120（ 升 ）
举例
下面的实际问题求的是什么？
①做一个纸盒需要的纸板。 ②仓库所占的空间。 ③游泳池装多少水。 ④操场上的沙坑占地面积。 ⑤集装箱装多少货。 ⑥做一个金鱼缸需要多少玻璃 ⑦粉刷墙壁或给游泳池贴瓷砖。
光明纸盒厂生产一种长方体纸箱， 长8分米，宽5分米，高6分米。
1、做一个纸箱至少要多少平方分米?
2.它的体积是多少？
C、640 ）
1、要认真审题，弄清题目的要求，
是求表面积还是求体积。
2、准确运用公式计算，计算结
果的单位名称不要写错。
ห้องสมุดไป่ตู้
体积：
6×3×5 =90（立方分米）
选择正确答案的序号填在（ ） 号里。
1、制作一个长4厘米，宽3厘米，高2厘米，的
长方体无盖铁盒，至少需用铁皮（ B ）平方厘
米。
（ A、24
B、40
C、52 ）
2、一个长方体的长和宽都是8厘米，高是10
厘米。它的体积应该是（ C ）立方厘米。
（ A、80 B、300
体积和表面积的比较
人教版第十册数学
大同二小 周静
体积和表面积的比较
表面积
体积
概念 长方体或正方体6个 物体所占空间的大小
面的总面积
计量单位平方厘米、平方分米 .平方米立方厘米、立方分米、立方米
需要数据 长、宽、高（棱长） 长、宽、 高（棱长）
计算公式
（长×宽＋长×高 ＋宽×高）×2
棱长×棱长×6
长×宽×高 棱长×棱长×棱长
①（8×5＋8×6＋5×6）×2 ② 8×5×6
=（40＋48＋30）×2
=40×6 =240（立方分米）
=118×2
=236（平方分米）答分：米做硬一纸个板纸。箱它至的少 体要 积是23264平0方 立
方分米。
一个正方体的棱长是12厘米， 求它的表面积和体积。
表面积：
体积：
12×12×6
12×12×12
判断对错
1、一个棱长是6分米的正方体， 它的体积和表面积相等。（× ）
2、表面积是6平方米的正方体，体 积是1立方米。（ ）
计算正方体的表面积和体积。
棱 长 4厘米
8厘米
表面积 96平方厘米 384平方厘米
体 积 64立方厘米 512立方厘米
计算下图的表面积和体积
单位：分米
5 6
3
表面积：
（6×3＋6×5＋3×5）×2 =（18＋30＋15）×2 =63×2 =126（平方分米）