体积和表面积、容积的区别
体积和表面积、容积的区别
表面积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词，一定是求表面积的问题。②判读面的个数。
首先找题中是否含有：“无盖、上下面不贴等关键词，如果无盖，就是计算五个面的总面积，上下面不贴就是求前后、左右四个面的面积。
其次根据问题的实际情况判断，如游泳池和鱼缸就不算上面，衣柜和洗衣机罩就不算底面等，即求5个面的总面积。烟囱给长（高）的数值，一般左右（或上下）是空的，就是求四个面的总面
积。
表面积典型实际问题：
类型一：计算长方体的五个面的总面积。（无底或无盖）
计算公式：S长=a×b+ 2×a×+2×b×h
技巧：记住求6个面长方体表面积的计算公式，当少算上面的面积或下面的面积时，就把2个长乘宽的面，只算一个。正方体就只算5个正方形的面。
典型问题：亮亮家要给一个长0.75米，宽0.5米，高1.6米的简易衣柜换布罩，没有底面，至
少需要用不多少平方米？
同步练习：
（1）计算长方体的五个面的总面积。（无底）
学校要粉刷新教室。已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗的面积是11.4m2。如果每平方米（求表面积的特征）需要4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？
（2）计算长方体的五个面的总面积。（无盖）
新建的游泳池长50m，长是宽的2倍，深2.5m，现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需
要多少平方分米（求表面积的特征）的瓷砖？
拓展延伸：如果每块瓷砖的边长是20cm，共需要多少块瓷砖？
（3）计算正方体的五个面的总面积。（无盖）
一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是6dm 。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米（求表面积的特征）?
×
类型二：计算长方体的四个面的总面积。（无上下底）
1.缺少长×宽的两个面：一个长方体茶叶盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴着一圈商标纸（上下面不贴），这张商标纸的面积至少需要多少平方厘米？
2.缺少长×宽的两个面：一个大厅有4根长方体柱子,它的底面是边长为4分米的正方形,
柱子高3米,把这4根柱子涂上油漆,涂漆的面积是多少？
3.缺少长×高的两个面：一通风管尺寸如图，求做这个通分管至少需要多少铁皮？
棱是用角钢做四周用玻璃做成
底面用铁板
60cm
30cm
类型三：拼接或截断计算变化之后的物体的表面积。
计算方法：拼接：原来的总面积-重叠处减少的总面积。 截断：原来的总面积+增加的面积。 典型问题：
（1）拼接：A 两个棱长为1厘米的正方体拼成大长方体，求大长方体的表面积与两个小正方体的表面积？
B 计算下列组合图形的表面积。
（2）截断：如图：把一个长6厘米、宽5厘米、高4厘米的长方体截成两个完全一样的长方体，这两个长方体的表面积之和是多少平方厘米？
思维拓展：若使截成的两个长方体的表面积之和最大，应怎样截，此时两个小长方体的表面积之和是多少平方厘米？ 同步练习：
A.拼接：用3个长6cm,宽5cm,高3cm 的长方体木块，拼成一个如下图所示的长方体。这个长方体的表面积是多少平方厘米？
拓展延伸：这三个相同的长方体怎样拼，拼成的长方体表面积最大？拼成的长方体表面积最小？
B.截断：如图：大长方体的长为7.5厘米，宽为2厘米，高为1厘米，算一算，把大长方体截成相同的小长方体，原长方体共增加了多少表面积？
类型四：凹凸问题
1. 凹陷问题
计算方法：在顶点处凹陷，各个面平移后，原来的表面积不变。 在面的中间处凹陷，原来的表面积+凹陷处立体图形周围四个面的面积。 （1）在顶点处凹。
一个棱长为2cm 的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长为1cm 的小正方体，它的表面积是多少cm 2？
（2）在面的中间凹：
在一个长方体的中间挖去了一个棱长2cm 的小正方体，求挖掉后图形的表面积.
2. 凸起问题
计算技巧：凸起时计算表面积，要把原来几个物体的表面积之和去掉两个重合面的面积。 典型例题：有一个形状如图的零件，由一个长方体和一个正方体组合而成。长方体的长和宽都是6cm ，高是3cm ，正方体的棱长是2cm 。求这个零件的表面积。
3cm
2c m
类型五：折叠问题
解题技巧：
①折叠问题求长方体的表面积，可不需折叠后再求长方体的表面积。
②折叠问题求长方体的表面积，如果未指定面，则表面积和长方体的长、宽、高数值的顺序无关。
③可设定长、宽、高的数值顺序，再进行计算。
（1）.一块长方形铁皮，长40cm,宽30cm,像下图这样从4个角各剪掉一个边长为5厘米的正方形，然后做成盒子，这个盒子的表面积是多少平方厘米？
解题技巧：
方法一：
盒子的长=长-2×正方形的边长
盒子的宽=宽-2×正方形的边长
盒子的高=正方形的边长
盒子的表面积=盒子的长×盒子的宽+盒子的长×盒子的高×2+盒子的宽×盒子的宽×2
方法二：盒子的表面积=长方形的面积-正方形的面积×4
（2）小明从一个长方体纸盒上撕下两个相邻的面（展开后如图，单位：厘米），这个纸盒的面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。
6
解题技巧：本题尽管未给出长方体的另6个面，但根据本题的条件，立起来的长度为高，数值为6，标注“前”字的面中的“5”为长方体的长，标注“右”字的面中的“3”为长方体的宽。
（3）.学校大门前有5级台阶，每级台阶长6米，宽0.4米，高0.2米。给这些台阶上铺地砖，至少需要铺多少平方米地砖？
解题技巧：台阶铺瓷砖之处为盒子的长×盒子的宽×4+盒子的长×盒子的高×5
体积实际问题解决技巧：
①抓典型特征
A 含有“立方米，立方分米，立方厘米，体积是多少，能截多少块木块，能装沙子多少吨，能装砂石多少方、铸造、锻造、水面升高、水面下降”等关键词，一定是求体积的问题。 B
含有“最大容积是多少升、可乘水多少，能装多少水，能装多少沙子，能装汽油多少升、净含量是多少”，一般就是求容积的问题。
体积典型实际问题： 1. 直接计算体积.
（1）已知长、宽、高求长方体体积或已知正方体的棱长，求正方体的体积：
①早在夏朝，中国人就已经掌握了存储冰块的技术,一块棱长30cm 的正方体冰块，它的体积是多少立方厘米?
②一个长方体的无盖水族箱，长是6m,宽是60cm,高是1.5m ，它的体积是多少?
③建筑工地要挖一个长50m 、宽30m 、深50cm 的长方体土坑，一共要挖出多少方的土?（在工程上，1m 3的土、沙、石等均简称“1方”。）
④红星村要修一条长1800m ，宽12m 的公路，要先铺10cm 厚的三合土，再铺6cm 后的沙石。需要三合土、沙石各多少立方米？
⑤花园小区为居民新安装了50个休息的凳子，凳面的长、宽、高分别是100cm 、45cm 、4.5cm.凳腿的长、宽、高分别是45cm 、5cm 、35cm.这些凳子一共至少用了混凝土多少方?
⑥长方体木块被平均分为4段，求每块木头的表面积是多少平方分米？
2. 计算体积实际问题的变式练习.
（1）求小正方体拼成的正方体或长方体的体积： ①每个小正方形棱长为1
②.把2块棱长为1.5dm ?
（2）已知长方体的底面正方形的边长，或底面积和高，或底面周长，求正方体或长方体的体积：
4.8dm
2dm
1dm
①已知底面正方形的边长和长方体的长：一个长方体纸盒，长7m，横截面是一个正方形，边长为5分米。这个长方体纸盒表面积是多少？
②已知横截面的边长和长方体的长：有一根长0.5米的方木料，横截面的边长为2厘米，这根方木，平放时占地面积有多大？体积是多少？
③已知横截面的面积和长方体的长：家具厂订购500根方木，每根方木横截面的面积是2.4dm2,长是3m。这些木料一共是多少方?
④已知增加的横截面的总面积和长方体的长：一个底面是正方形的长方体木料，长是5米，把它截成4段，表面积增加36平方米，求长方体的体积？
⑤已知底面正方形的周长和长方体的长：一个长方体底面为周长12厘米的正方形，高为3分米，它的体积是多少？
（3）已知正方体的棱长和（或体积）和长方体的长、宽、高中的两个，求长方体的另一个数据及长方体的体积：
①一个长方体和一个正方体的楼长总和相等。已知正方体的棱长为7dm，长方体的宽、高分别为5dm.4dm,那么长方体的长是多少分米? 它们的体积相等吗?
②把一个棱长8dm铁块铸成一个长10dm，宽4dm的长方体，铸成的这个长方体铁块的高是多少分米？
（4）与体积有关的其他问题：
①已知长方体的体积，长和宽，求长方体的高：
学校运来7.6m3的沙子，铺在一个长5m.宽38dm的沙坑里，可以铺多厚？
②大体积分成小体积，求块数：
A儿童节前，全市的小学生代表用楼长3cm的正方体塑料排插积术在广场中央搭起了一面长6m、高2.7m、厚6cm的奥运心愿墙。这面墙一共用了多少块积木?
B一个长6dm，宽4dm，高5dm的长方体盒子，最多能放多少块棱长为2dm的正方体木块？
③体积和物体尺寸大小的比较：
容积计算典型实际问题
（1）直接计算规则物体的容积：
①A一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是6 dm。此容器最大容积是多少升?
B一个木盒从外面和里面测量尺寸如下图，计算这个长方体的容积。
②2块棱长是3dm的正方体木块刚好能够放是进一个长方体纸箱内，纸箱的容积是多少?
③A某健身馆计划新建一个游泳池，该游泳池的长是25m，宽12m，深1.4m. 如果游泳池全装满水，能装多少升水？
B一长方体游冰池,长30米,宽10米,深1.6米,池的四壁和地面用瓷砖砌,如果雨季用来储水,最多可乘多少水？
C5某辆汽车的油箱是长方体，长０.８米，宽０.５米，高０.３米，这个油箱最多能装汽油多少升？如果每１００升汽油能行驶７.５千米，这箱汽油最多能行驶多少千米？
④.一种牛奶的包装盒如图，它的净含量是否存在虚假?为什么?
2.计算不规则物体的体积。
①.一个长方体水箱，长8分米，宽5分米，水深4分米。把一个铁球浸没在水中，水面升高到6分米。这个铁
球的体积是多少立方分米？
②A 一个长5分米，宽2分米，高4分米的长方体水缸里注入了15厘米深的水。将一块石头放入水中后，水位上升到18厘米，这些石头的体积是多少dm3？
B 一个正方体玻璃容器棱长2dm ，向容器中到入6L 水，再把一块石头放入水中。这时量得容器内水深17 cm 。石头的体积是多少立方厘米？ 牛奶
净含量 780ml
10cm
12cm 6.5cm
C.珊瑚石的体积是多少？
③下面中，大球的体积是多少？小球的体积是多少？
体积与容积教学设计
体积与容积教学设计 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】
体积与容积教学设计 一、教材分析 体积和容积是比较抽象的概念，教材中是让学生在充分体验的基础上理解他们的意义。教材首先借助学生已有的生活经验，让学生交流物体的大小和容器盛放东西的多少，感受“物体有大有小，容器盛放的物体有多有少。”接着，教材围绕“土豆和红薯哪一个大”的问题，引导学生开展实验活动。从中发现两个物体放入水中后都占据了一定的空间，而且水面上升的高度不一样，说明这两个物体所占空间的大小不一样。然后，教材揭示体积的概念。最后，教材通过学生实验研究“哪个杯子装水多，”在学生感受容器所能容纳物体体积的大小打基础上，揭示容积的概念。随后，教材还设计了搭物体等活动，使学生进一步体会体积和容积的意义。这节课的重点就是形成体积和容积的两个具有抽象性的概念。概念形成一般采用不完全归纳的方法，大致有以下几个步骤：(1)引导学生注意观察教师所提供的感性材料，或者从学生已有的经验中，作出新的探讨。(2)在感性认识的基础上，从各种属性或特征中，找出本质的属性或特征，舍弃非本质的属性或特征。(3)由这些本质属性或特征，抽象概括成一般的概念。 二、学情分析 《体积和容积》是学生学习几何体积的开始，在学习这个内容之前，学生在他们的生活中已经具备了许多关于体积和容积的具体的感性积累，本节课老师在充分了解学生的基础上，主要充当了一个“先行组织者”为学生的有意义的学习呈现典型材料，在学生已知和未知之间架起一座沟通的桥梁，帮助学生自主建构正确的概念。 三、教学目标 1、知识与技能目标： ①通过具体的实验活动，了解体积和容积的实际含义，初步理解体积和容积的概念。 ②能够知道体积和容积之间的联系与区别。 2、过程与方法目标： ①在操作、交流中，感受物体体积的大小，发展学生的空间观念。 ②培养学生观察、操作、概括的能力以及利用所学知识合理灵活地分析、解决实际问题的能力。 3、情感与态度目标：在学生的合作交流中，注意数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。 四、教学重难点： 教学重点：通过具体的实验活动，理解体积与容积的含义。教学难点：理解体积与容积之间的联系与区别。 五、教学用具：课件、两个容积一样的烧杯、土豆、红薯，纸杯，和纸杯差不多大的瓶子 六、教学过程： （一）激趣导入，提出问题 1、谈话：同学们一定听过《乌鸦喝水》的故事。在这个故事中乌鸦是用数学方法来解决问题的。你们想知道乌鸦用了什么数学方法吗？下面我们再来欣赏一下乌鸦喝水的故事吧！
三视图及其表面积体积
三视图及其表面积体积 一、选择题 1．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ．38 B ．π34 C ．π12 D ．π338 3．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ） A. 320 B. 10 C. 340 D. 3 50 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为233 ，则该锥体的俯视图可以是（ ）
A ． B ． C ． D ． 5．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ） A.π23 B.3+π C.323+π D.325+π 6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ） A ．126+π B ．246+π C ．1212+π D ．1224+π 7．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 8．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为
A ．8π3+ B ．8π23+
C ． 8π83+ D ．8π163+ 9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ） A ．320 B ．316 C ．68π - D ．38π - 10．一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ） A ．22514++ B ．16214+ C ．8214+ D ．814+ 11．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A.16 B.26 C.32 D.25 2034+12．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥
体积和表面积、容积的区别
体积和表面积、容积的区别 表面积实际问题解决技巧： ①抓典型特征 含有“求布料、贴纸、玻璃、瓷砖、铁皮、涂料的多少”等关键词，一定是求表面积的问题。②判读面的个数。 首先找题中是否含有：“无盖、上下面不贴等关键词，如果无盖，就是计算五个面的总面积，上下面不贴就是求前后、左右四个面的面积。 其次根据问题的实际情况判断，如游泳池和鱼缸就不算上面，衣柜和洗衣机罩就不算底面等，即求5个面的总面积。烟囱给长（高）的数值，一般左右（或上下）是空的，就是求四个面的总面
积。 表面积典型实际问题： 类型一：计算长方体的五个面的总面积。（无底或无盖） 计算公式：S长=a×b+ 2×a×+2×b×h 技巧：记住求6个面长方体表面积的计算公式，当少算上面的面积或下面的面积时，就把2个长乘宽的面，只算一个。正方体就只算5个正方形的面。 典型问题：亮亮家要给一个长0.75米，宽0.5米，高1.6米的简易衣柜换布罩，没有底面，至少需要用不多少平方米？ 同步练习： （1）计算长方体的五个面的总面积。（无底） 学校要粉刷新教室。已知教室的长是8m，宽是6m，高是3m，门窗的面积是11.4m2。如果每平方米（求表面积的特征）需要4元涂料费，粉刷这个教室需要花费多少钱？ （2）计算长方体的五个面的总面积。（无盖） 新建的游泳池长50m，长是宽的2倍，深2.5m，现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖，一共需要多少平方分米（求表面积的特征）的瓷砖？ 拓展延伸：如果每块瓷砖的边长是20cm，共需要多少块瓷砖？
（3）计算正方体的五个面的总面积。（无盖） 一个无盖玻璃鱼缸的形状是正方体，棱长是6dm。制作这个鱼缸时至少需要玻璃多少平方分米（求表面积的特征） ? × 类型二：计算长方体的四个面的总面积。（无上下底） 宽的两个面：一个长方体茶叶盒，长10厘米，宽6厘米，高12厘米。如果围着它贴1.缺少长 × 着一圈商标纸（上下面不贴），这商标纸的面积至少需要多少平方厘米？ 宽的两个面：一个大厅有4根长方体柱子,它的底面是边长为4分米的正方形,柱子高3 2.缺少长 × 米,把这4根柱子涂上油漆,涂漆的面积是多少？ 高的两个面：一通风管尺寸如图，求做这个通分管至少需要多少铁皮？ 3.缺少长 ×
专题由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积和体积一、方法与技巧 二、常见几何体 1．（2016?XX模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）
A．60 B．54 C．48 D．24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4， 底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60． 故选：A． 2．（2016?凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥 其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3 故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12 故选B 3．（2016?XX校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A． B． C．27﹣3πD．18﹣3π 【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱，
由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==， 故选：B． 4．（2016?XX二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（） A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3 【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3 故选A 5．（2016?江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A．12πB．15πC．24πD．36π 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积S1=π×（）2=9π． 侧面积S2=π×3×5=15π， 表面积为S1+S2=24π． 故选C．
《体积与容积》教学反思
《体积与容积》教学反思 《体积与容积》教学反思 《体积与容积》教学反思【1】 这节课的重点就是引导学生掌握体积和容积的概念。因为体积和容积是两个相关联的概念，它们既有联系又有区别，因此在教学中，教师采用对比法，让学生通过对比，分清“什么是体积，什么是容积”。在学生感知体积的概念时，根据学生的认知规律，通过直观演示让学生直接感知体积，这是学生理解概念的重要环节。因此，在帮助学生认识体积概念时，引导学生动手做实验，分别把土豆和红薯放入两个水面高度相同的杯中，通过观察水面高度的变化来理解体积的概念。接着通过对比、动手实验的教学，理解容积的概念。 本节课最大的亮点是在具体的生活情境中联系生活实际，运用合理的教具和学具，利用学生已有的经验，加以升华抽象出本质的概念，让学生形成体积和容积的概念，由此让每一个学生都得到发展。 《体积与容积》教学反思【2】 本节课教学在通过研究教材，研读教法，充分准备的基础上，顺利的结束了。回顾起来有如下几点体会： 1、在观察、操作、比较等活动中，理解体积、容积的概念。体积、容积是比较抽象的概念，我认为体积概念最难理解的是“占空间”、容积概念最难理解的是“能容纳”，只有把抽象的概念，通过操作形象化了才能使学生充分理解。我通过实验让学生看到“水面升
高了”来体验“物体占有一定的空间”，比较水面升高的多少，使学生体验“物体所占的空间有大有小”。通过杯子和瓶子谁的容积比较大的实验，让学生体验“容器所能容纳物体的体积有多有少”这样将难以理解的“占空间”“能容纳”变得可观察、可感受。通过这些具体的实验活动，基本上达到了学生初步建立了体积和容积的概念教学目标。 2、密切联系实际，引导学生在充分体验的基础上理解概念。教学中我不仅仅通过一个实验来让学生理解体积的概念，而且联系实际，借助生活经验使学生对体积有初步的认识，在本课开始时，我就让学生举出许多在教室里、在生活中看到的哪些物体所占的空间比较大、哪些物体所占比较小的例子，感知物体的体积有大有小，在此基础上揭示概念，有利于学生对概念的理解。 3、本节课时概念课，体积和容积的概念比较抽象，学生难理解，因此要准备大量的教学用具。在探究土豆和梨谁占的空间大时？由于所选取的实验材料的问题，实验过程中出现了误差，梨浮在了水面上，致使实验没有达到目的。课件制作略显粗糙，个别结论性的内容过早的出示。 4、由于本节课学生动手实验多，因此课堂节奏前松后紧，在巩固练习时为了急于完成教学任务，习题处理的比较仓促。如果在学生操作中再能增加些练习的内容，如捏捏橡皮泥就能更加直观的感受到形状变了体积不变。动手摆摆小正方体进一步加强对体积概念的理解。 《体积与容积》教学反思【3】
体积和表面积的比较
体积和表面积的比较 教材简析 本节课的整理和复习，主要是对长方体和正方体的特征、表面积与体积的意义和计算方法，以及体积、容积单位以及进率等知识的回顾。通过整理让学生更好地掌握所学知识，学会使用所学知识解决一些简单的实际问题，培养学生解决问题的水平增加应用知识。 学情分析 方体、正方体的基础上实行教学的。通过学习长方体和正方体，学生对自己周围的空间和空间中的物体形成了初步的空间观点，是进一步学习其他几何图形的基础。通过这部分的学习，绝大部分学生都深入理解了长方体、正方体，掌握了它们的表面积、容积和体积的计算方法，了解了体积和容积单位以及进率换算。但因为知识点多，很多概念学生很容易混淆。学生常常会把公式记得滚瓜烂熟，但是在解答一些实际问题时，却不会灵活使用。所以，本节课除了要协助学生梳理知识，还应通过迁移比较，促动学生掌握混淆知识的联系与区别，加深印象，形成表象。 教学内容 教科书第56页中的习题1、2、3、4以及相对应的练习。 教学目标 1、通过学生的自主探究等实践活动，使学生准确区分长方体与正方 体的表面积和体积的概念，知道两个知识点间的联系和区别。 2、使学生在准确区分概念的基础上，使用知识解决实际的问题。 3、培养学生独立思考和团结合作的精神。 教学重点 区分长、正方体的表面积与体积的概念． 教学难点 进一步建立体积和表面积的空间观点． 教学过程
一、开门见山，导入新知 教师谈话，导入新课：我们已经学会了长方体、正方体的表面积和体积的计算，在以前的练习中，有些同学容易将这两个概念实行比较。 板书：体积和表面积的比较． 二、合作学习，探究新知． （一）说说长方体和正方体有什么相同点和不同点。（书第56页第一题） 长方体有个面，相对的面； 有条棱，相对的棱； 有个顶点。 正方体有个面，每个面； 有条棱，每条棱； 有个顶点。 （二）体积和表面积的对比． 1、教师让学生拿出准备好的长方体牙膏盒，要求学生分小组看着牙膏盒说说： （1）什么是长方体或正方体的表面积？什么是长方体或正方体的体积？相对应的计算公式各是什么？ （2）常用的表面积和体积的计量单位各是什么？相邻两个单位间的进率各是多少 归纳小结： 长方体或正方体的表面积指它的六个面的总面积，而体积则是指它所占空间的大小． 表面积用面积单位来计量，常用的面积单位有平方米、平方分米、平方厘米．
专题-由三视图求表面积和体积
由三视图求表面积和体积 一、方法与技巧 二、常见几何体 1．（2016?益阳模拟）若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（） A．60 B．54 C．48 D．24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为4，
底面三角形为直角三角形，直角边长分别为3，4，斜边长为5． ∴几何体的表面积S=S棱柱侧+S底面=（3+4+5）×4+2××3×4=48+12=60． 故选：A． 2．（2016?凉山州模拟）一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积是（） A．6 B．12 C．24 D．36 【解答】解：由已知的三视图可得该棱锥是以俯视图为底面的四棱锥 其底面长和宽分别为3，4，棱锥的高是3 故棱锥的体积V=Sh=×3×4×3=12 故选B 3．（2016?衡水校级一模）已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．27﹣3πD．18﹣3π 【解答】解：由三视图可知，该几何体为放到的直四棱柱，且中间挖去半个圆柱， 由三视图中的数据可得：四棱柱的高为3，底面为等腰梯形，梯形的上、下底边分别为2、4，高为2， 圆柱的高为3，圆柱底面的半径都是1， ∴几何体的体积V==， 故选：B． 4．（2016?广元二模）一个多面体的三视图分别是正方形、等腰三角形和矩形，其尺寸如图，则该多面体的体积为（）
A．48cm3B．24cm3C．32cm3D．28cm3 【解答】解：由三视图可知该几何体是平放的直三棱柱，高为4，底面三角形一边长为6，此边上的高为4 体积V=Sh==48cm3 故选A 5．（2016?江门模拟）一个几何体的三视图及其尺寸如下，则该几何体的表面积为（） A．12πB．15πC．24πD．36π 【解答】解：由三视图可知该几何体为一个圆锥，底面直径为6，母线长为5， 底面圆的面积S1=π×（）2=9π． 侧面积S2=π×3×5=15π， 表面积为S1+S2=24π． 故选C． 6．（2016?安康二模）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（） A．B．C．D．
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形
如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式S=1/4周长×周长） S =（3.14159÷4）×3.14159 = 2.4674㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等
分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。 从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。
则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 或：V = D（直径的三次方）×0.616849233 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式） V =πR平方×周长的1/4 = 3.14159×0.25×0.7853975 = 0.616849233 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程： S =（1.570795×0.7853975）= 1.2336㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有0.337㎡的面积。 计算过程： S = 1×3.14159÷2 = 1.570795㎡
北师大版数学五年级下册《体积与容积》教学设计
北师大五年级数学下册《体积与容积》教学设计 [教学内容] 北师大版五年级数学四单元《长方体（二）》第一课《体积与容积》，教材第36、37页。 [教学目标] 1、知识与技能：通过实验活动，体验和感知体积和容积的含义，初步理解体积和容积的概念。 2、数学思考：经历猜想、实验、归纳结论等活动过程，形成空间观念，提高自己的概括能力。 3、问题解决：初步学会从数学的角度发现问题，分析问题，运用生活经验形成解决问题的基本策略，学会与人合作交流，提高动手操作能力。 4、情感态度：养成合作交流，动手操作等习惯，激发学生学习数学的兴趣及探索精神。 [教学重难点] 重点：通过具体的生活情境，理解体积和容积的意义。 难点：理解体积和容积的意义，体会体积与容积的联系与区别。 [教学准备] 2个大小相同的烧杯，土豆，红薯，小球，橡皮泥，外观大小差异较大的杯子 [教学过程] 一、引入 (媒体播放乌鸦喝水视频） 师：真是一只聪明的乌鸦，它想了什么办法喝到水的呢？谁来说说。师：为什么，石子放进去，水面就上升了呢？ 生：石子放进水里，占了水的空间，把水给挤上来了。 师：那么石子和水占空间吗？（占） 师：看来石子和水都是占空间的。 （板书：占空间） 二、认识体积，理解体积的意义
（一）结合实际例子，体会物体都占有空间，明确概念 师：刚才大家说石子占了空间，假设我把它拿出来，它还占空间吗？仍然占。 师：也就是说物体无论放在哪里，它都会占空间。 师：在你的课桌周围还有哪些物体占空间？ 生自由回答。 师小结：看来，所有的物体都占有一定的空间。（板书：物体）（二）结合实物明确体积的概念 师：（出示土豆）那老师手上这个土豆也一定占空间了。（请生上台，）你能比划一下指出它占的空间是什么样的吗？ 预设生用手包围土豆。（从生手中拿出土豆）请大家看，这就是土豆所占的空间。（土豆还原到手里）大家看看，这个同学是怎样表示土豆的空间的。（生：沿着物体的轮廓） 再请一生上台表示小球的空间。 师：请大家观察你能看出这两个物体所占空间有什么差别吗？（大小）师：看来物体不但占空间，所占空间还有大小之分。（板书：大小）那么我们就把土豆所占空间的大小叫做土豆的体积。 这个小球的体积是什么呢？谁会说一说？ 请生说一说身边物体的体积是什么？ 师：我们说了这么多东西的体积，大家认为什么是物体的体积呢？ 生发言（你同意吗？谁再来说说）板书完整概念。齐读。 （三）探索比较体积大小的方法。 1.现在我们知道什么是物体的体积了。那土豆和小球谁的体积 大呢？你是怎么知道的？（直接观察） 出示长条橡皮泥，它和小球谁的体积大呢？ （请生上台来比，预设将橡皮泥搓成圆球来比） 刚才我们把橡皮泥搓成和小球一样的形状方便比较，是因为我们改变了橡皮泥的形状，但是它所占的空间也就是它的体积不变。 我们把它叫做等积变形。 2.（出示大小比较接近的土豆和红薯） 师：刚才，我们通过“观察”便判断出物体所占空间的大小。
球的体积和表面积公式具体推导过程精编版
1..3.2球的体积和表面积（1） 设球的半径为R ，将半径OAn 等分，过这些分点作平 面把半球切割成n 层，每一层都是近似于圆柱形状的“小 圆片”，这些“小圆片”的体积之和就是半球的体积。 由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱的体积。它的高就是“小圆片”的厚度 n R ，底面 就是“小圆片”的下底面。 由勾股定理可得第i 层（由下向上数）“小圆片”的下底面半径： 2 2)]1([--=i n R R r i ，（i ＝1,2,3，···，n ） 第i 层“小圆片”的体积为： V ≈π2i r ·n R ＝??? ???????? ??--2311n i n R π， （i ＝1,2,3，···，n ） 半球的体积：V 半径＝V 1＋V 2＋···＋Vn ≈n R 3π{1＋（1－221n ）＋（1－222n ）＋···＋［1－2 2)1(n n -］} ＝n R 3π［n －2222)1(21n n -+???++］（注：)12)(1(6 121222++=+???++n n n n ） ＝n R 3π［n －6)12()1(12--?n n n n ＝236)12)(1(1(n n n R ---π）＝????????????---6)12)(11(13n n R π ① 当所分的层数不断增加，也就是说，当n 不断变大时，①式越来越接近于半球的 体积，如果n 无限变大，就能由①式推出半径的体积。 事实上，n 增大， n 1就越来越小，当n 无限大时，n 1趋向于0，这时，有 V 半径＝332R π，所以，半径为R 的球的体积为： V ＝33 4R π
知识总结：体积与容积的对比
体积与容积的对比 1、体积和容积意义上的辨析 （1）体积：物体所占空间的大小 （2）容积：容器所能容纳物体的体积 （3）长方体木箱的体积与容积比较（） ①一样大②体积大③容积大④无法比较大小 分析与解：像这个长方体木箱的体积除了里面能容纳物体的体积外，还有做成木箱的木板的体积。一个物体的体积要比一个物体的容积大，因为体积还包括自身材料的体积。 2、体积（容积）单位上的辨析 （1）用列表的形式来表述体积单位的大小，以利于记忆。 （2）用合适的单位来表示下列题中的数量。 ①一种卡车水箱的体积约是120（）。 ②三年级语文课本的体积是297（）。 ③一个蓄水池的体积是4.2（）。 分析与解：卡车上水箱可容纳100多个粉笔盒的大小，因为一个粉笔盒约是1立方分米，而1立方分米=1升。所以题①就不难解决了。题②用手指比划一下不难得出该填什么体积单位。题③是蓄水池的体积，它肯定超过1立方米。 点评：根据自己的生活经验选择合适的单位名称。首先要确定选择哪种量的单位名称，再次是根据实际情况选择合适的单位名称。 3、解决问题中的比较
问题一： （1）一个长方体长10厘米，宽8厘米，高5厘米，求它的体积是多少立方厘米？（2）一个正方体的棱长是4厘米，它的体积是多少立方厘米？ （3）一个长方体的底面积是56立方厘米，高是8厘米，求它的体积是多少立方厘米？ 分析与解：因为长方体的体积都是由它的长、宽、高决定的，它的体积=长×宽×高。正方体是特殊的长方体，长=宽=高，因而它的体积是由棱长决定的，体积=棱长×棱长×棱长。因为长方体和正方体的底面积是两条棱长决定的，即长方体底面积=长×宽；正方体的底面积=棱长×棱长；所以长方体和正方体的体积又可以说是由底面积和高决定的，它们的体积=底面积×高。 （1）长方体的体积=长×宽×高 10×8×5 = 400（立方厘米） （2）正方体的体积=棱长×棱长×棱长 4×4×4 = 64（立方厘米） （3）长方体的体积=底面积×高 56×8=448（立方厘米） 问题二： 一种油箱，从里面量，底面正方形的面积是16平方分米，高是5分米，按每升汽油重0.68千克计算，现有50千克这种汽油，这个油箱能装得下吗？ 分析与解：先用底面积乘高求出这个油箱的容积，再求出这个油箱能装多少千克汽油，最后再把结果和50千克比较。 16×5×0.68 = 54.4（千克） 54.4千克>50千克 答：这个油箱能装下50千克汽油。 点评：解答这类题目有两种思路：一是和例题的解法一样，先求出这种油箱能装多少千克汽油，再去比较；二是先求出50千克汽油的体积是多少升，再和这种油箱比较容积的大小。 问题三：
三视图及其表面积体积
三视图及其表面积体积 一、选择题 1．一只蚂蚁从正方体1111ABCD A B C D 的顶点A 处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点1C 位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ） A.①② B.①③ C.③④ D.②④ 2．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积是（ ） A ． 3 8 B ．π34 C ．π12 D ．π338 3．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是（ ） # A. 320 B. 10 C. 340 D. 3 50 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为 23 3 ，则该锥体的俯视图可以是（ ） A ． B ． C ． D ．
5．若某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ） A.π23 B.3+π C.323+π D.32 5 +π 6．已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ ） （ A ．126+π B ．246+π C ．1212+π D ．1224+π 7．某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱 8．一个机器零件的三视图如图所示，其中俯视图是一个半圆内切于边长为2的正方形，则该机器零件的体积为 A ． 8π3+ B ．8π 2 3+ C ． 8π83+ D ．8π163+ 9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 （ ） }
球的体积与表面积教案设计(参考)
球的体积和表面积 一、教材分析 本节内容是数学2第一章空间几何体第3节空间几何体的表面积与体积的第2课时球的体积和表面积，是在学习了柱体、锥体、台体等基本几何体的基础上，通过空间度量形式了解另一种基本几何体的结构特征．从知识上讲，球是一种高度对称的基本空间几何体，同时它也是进一步研究空间组合体结构特征的基础；从方法上讲，它为我们提供了另外一种求空间几何体体积和表面积的思想方法；从教材编排上，更重视学生的直观感知和操作确认，为螺旋式上升的学习奠定了基础． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解球的体积公式和表面积公式及公式的应用． 二、教学目标 知识与技能 （1）通过对球的体积和面积公式的推导，了解推导过程中所用的基本数学思想方法：“分割——求和——化为准确和”，有利于同学们进一步学习微积分和近代数学知识． （2）能运用球的面积和体积公式灵活解决实际问题． （3）培养学生的空间思维能力和空间想象能力． 过程与方法 通过球的体积和面积公式的推导，从而得到一种推导球体积公式3 3 4 =R V π和面积公式24=R S π的方法，即“分割求近似值，再由近似和转化为球的体积和面积”的方法，体现了极限思想． 情感与价值观 通过学习，使我们对球的体积和面积公式的推导方法有了一定的了解，提高了空间思维能力和空间想象能力，增强了我们探索问题和解决问题的信心． 三、教学重点、难点 重点：引导学生了解推导球的体积和面积公式所运用的基本思想方法．
难点：推导体积和面积公式中空间想象能力的形成,以及与球有关的组合体的表面积和体积的计算． 四、学法和教学用具 学法：学生思考老师提出的问题，通过阅读教材，发挥空间想象能力，了解并初步掌握“分割、求近似值、再由近似值的和转化为球的体积和面积”的解题方法和步骤． 教学用具：投影仪，旨在通过动态图形使得学生对球这一立体图形有一个直观的认识． 五、教学设计 创设情景 ⑴教师提出问题：乌鸦喝水的问题我们都知道， 只有一颗一颗的小圆石头往水瓶里投乌鸦才能喝到 水，那么我们是不是可以用数学方法精确的计算出乌 鸦具体需要投入几颗小圆石头呢？这里就涉及到了 小石子的体积了，假设小石子都是均匀的球体，我们 知道球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考． ⑵教师设疑：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球 的体积和面积公式． 探究新知 1．球的体积： 如果用一组等距离的平面去切割球，当距离很小之时得到很多“小圆片”，“小圆片”的体积的体积之和正好是球的体积，由于“小圆片”近似于圆柱形状，所以它的体积也近似于圆柱形状，所以它的体积有也近似于相应的圆柱和体积，因此求球的体积可以按“分割——求和——化为准确和”的方法来进行．【设计意图】通过大家所熟知的寓言小故事引出教学内容，提高学生学习兴趣．
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公 式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
图解球体表面积和体积正确计算方法及计算公式 一、球体面积 球体表面是可以由N个带弧形的等腰三角形拼凑而成，见图一、图二、图三。设球体的二分之一水平中心为腰线，在球顶和球底正中各设一个顶点和底点a，然后从顶点到腰线按等分分割成N个带弧形的等腰三角形。根据定义：线的长度不因弯曲而改变，球面可无限分割成N个等腰三角形 如图二、图四、图五所示，所有分割好带弧形的等腰三角形都可以自然平展成标准的等腰三角形，亦可将等腰三角形拼凑成方形。 在理解上述图例球体表面和等腰三角形的关系后，我们可以对球体表面积的计算有比较清晰的判断。即，球体表面可以分割成N个相等的等腰三角形，等腰三角形亦可拼凑成方形，由此推导出球体面积可以用矩形公式计算。 即S = 长×宽，如果我们设球体1/4之一的周长为宽，设球体的周长为长，则球体表面积公式为：S=1/4周长×周长（见图六） 例1：已知球体直径是1个单位，求球体表面积（用上述最新推导公式 S=1/4周长×周长） S =（÷4）× = ㎡ 二、球体体积 设以球心作一条垂线或水平中心线，然后以垂线或水平中心向外将球体按等分无限分割成N个半圆楔形体。见图七、图八。 球体分割完成后，将半圆楔形体镜像排列成圆柱体，见图九、图十。
从图七、图八、图九、图十看，球体从中心按等分分割成半圆楔形体后可以排列堆砌成圆柱体，根据计算得出定义：与球体同直径同体积的圆柱体的柱高正好是球体周长的1/4。 则球体体积公式为：V =πR平方×周长的1/4 例2：已知球体直径是1个单位，求球体体积（用上述最新推导公式）V =πR平方×周长的1/4 = ×× 三、公知公式在球体面积、体积计算中出现的错误 1、球体面积 如何检验球体面积计算的正确，最好的方法就是用计算结果制成N个等腰三角形的薄膜反贴球体表面。如薄膜能完整不剩的覆盖球体表面则公式应用和计算正确，如薄膜有剩余或薄膜未能完全覆盖球体表面则公式应用和计算不正确，见图十一。 图十一是用新公式和公知公式分别计算球体直径同是一个单位半球面积的结果对比，新公式计算结果反贴复原后正好能覆盖直径是一个单位半球的球体面积。 计算过程：？ S =（×） = ㎡ 公知公式计算结果反贴复原后剩余有㎡的面积。 计算过程：？
人教版9年级下册数学 由三视图确定几何体的表面积或体积教案与教学反思
第3课时由三视图确定几何体的表面积或 李度一中陈海思体积 【知识与技能】 熟练掌握已知空间几何体的三视图求其表面积和体积的方法. 【过程与方法】 1.通过空间几何体三视图的应用，培养学生的创新精神和探究能力. 2.通过研究性学习，培养学生的整体性思维. 【情感态度】 通过研究三视图，研究我国著名建筑物的三视图研究，培养学生的爱国情结. 【教学重点】 观察，实践，猜想和归纳的探究过程. 【教学难点】 如何引导学生进行合理的探究. 一、复习提问 1.如何求空间几何体的表面积和体积（例如：球，棱柱，棱台等）； 2.三视图与其几何体如何转化. 二、思考探究，获取新知 如图是一个几何体的三视图，已知左视图是一个等边三角形，根据图中尺寸（单位：m)，求该几何体的面积和体积. 解该几何体是正三棱柱，由正视图知正三棱柱的高为3cm，底面三角形的
高为3cm.则底面边长为2cm ，故S 底面面积=）（2cm 3232=÷ S 侧面面积=2×3×3=18 (cm2) 故这个几何体的表面积S = 2S 底面面积十S 侧面面积 =）（2cm 1832+ 三棱柱的体积是V=）（3cm 3333=? 【教学说明】空间几何体的表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小；先将直观图的各个要素弄清 楚，然后再代公式进行计算. 求空间几何体的表面积是将几何体的各个面的面积相加求得；求体积是将几何体各个部分的体积相加求得，那么请同学们动脑筋想一想，假设没 有给出几何体的直观图，只是给出一个几何体的三视图，我们怎样解决求该几何体的表面积和体积呢？此时应首先将该三视图转化为几何体的直观图，然后弄清给出直观图的各个要素，再代公式进行计算 思考 如何求出四棱台的表面积和体积？ 请大家回想一下，在解答的过程中，容易出错的地方是什么（让学生思考）. 【总结归纳】求组合几何体的表面积的时候容易出错. 三、典例精析、掌握新知 例1 长方体的主视图与俯视图如图所示，则这个长方体的体积是（ ） A.52 B.32 C24 D.9 【分析】由主视图可知，这个长方体的长和高分别为4和3，由俯视图可知，这个长方体的长和宽分别为4和2，因此这个长方体的长、宽、高分别为4、3、2，因此这个长方体的体积为4×2×3 = 24(平 方单位） 【答案】C
球的体积和表面积(附答案)
~ 球的体积和表面积 [学习目标] 1.记准球的表面积和体积公式，会计算球的表面积和体积.2.能解决与球有关的组合体的计算问题. 知识点一 球的体积公式与表面积公式 1.球的体积公式V ＝43πR 3 (其中R 为球的半径). 2.球的表面积公式S ＝4πR 2 . 思考 球有底面吗球面能展开成平面图形吗 答 球没有底面，球的表面不能展开成平面. % 知识点二 球体的截面的特点 1.球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆，它的三视图也都是圆. 2.利用球半径、截面圆半径、球心到截面的距离构建直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要途径. 题型一 球的表面积和体积 例1 (1)已知球的表面积为64π，求它的体积； (2)已知球的体积为500 3 π，求它的表面积. 解 (1)设球的半径为R ，则4πR 2 ＝64π，解得R ＝4，
# 所以球的体积V ＝43πR 3＝43π·43 ＝2563π. (2)设球的半径为R ，则43πR 3＝500 3π，解得R ＝5， 所以球的表面积S ＝4πR 2＝4π×52 ＝100π. 跟踪训练1 一个球的表面积是16π，则它的体积是( ) π π 答案 D - 解析 设球的半径为R ，则由题意可知4πR 2 ＝16π，故R ＝2.所以球的半径为2，体积V ＝ 43πR 3 ＝323 π. 题型二 球的截面问题 例2 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1.球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为( ) π π π π 答案 B 解析 如图，设截面圆的圆心为O ′， M 为截面圆上任一点， 则OO ′＝2，O ′M ＝1. 》 ∴OM ＝2 2 ＋1＝ 3. 即球的半径为 3.
专题-由三视图求表面积和体积
4, 由二视图求表面积和体积 方法与技巧 提風：商单几何体的三视图可概 括如下： (1) 棱柱：两矩形和一多边形$ (2) 械锥；两三角形和一梦边形』 (3) 械台*两拼形和两多边形(多 边 瞄相似且顶点相连)* (4) Ifl 拄*两矩形舸一M t (5) 圆锥：两三角号和一个带有3D 心的?h (6) m 台：荫辅形和两同心圆$ 竹) 球：三个大小相等的圆* L 技巧：根据几何体的三視图想 象其 直观图时*可以从熟知的某 一视图出发，想字岀直观图'再验 证其他视图是否正璃. 2, 技巧：根据几何体的直现田想 象 其三视田时，若儿何体是某一 熟蠱的几何图形通过分割形成 的，可以将几何体还原塔求 3. 技巧：同一几何体的三视图，由 于 几何体放ZUX 不同，几何体 的三视谢也不一致. 4. 技巧：本题中根据正视图粗例 视 困知，三核锥一条侧祓与底而 蠡直，结合其直观图抑斷三視图 的敎择在直观图中对应的几何量■ 解法蘭簿二：将三视图还原成直 观图是解决该类问题的关键?其 解题技巧是熟练拿握一些简单几 何体的三觇图，想象该几何体的 构曲復或将三亍方向获得的信恵 综合?绘制几何图形，然后检验其 三視图是否与已知相符合，确保 无误后再进行计算. 提醮：说三视图为栽体考查凡何 怵的衷面积、体和，关键是能够对 给出的三观图进行恰省的分析” 从三视圉中发现凡何体中务无彖 间的位11关系及数量关系* 二、常见几何体 1. ( 2016?益阳模拟)若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( A . 60 B . 54 C . 48 D . 24 【解答】解：由三视图知：几何体是一个侧面向下放置的直三棱柱，侧棱长为 ?— 4 — ? t 3 1 正视團
!体积与容积、容量的分析与比较
体积与容积、容量的分析与比较在五下的数学课堂上学到了体积、容积、容量三个数学名词。我以为挺简单，可是在做作业中，总有同学把它们混淆起来，为了避免错误的出现，我仔细查阅了书本和课外资料，终于明白了原来体积、容积、容量这三者之间既有关系，又有区别。具体反映在下面： 一、体积、容积、容量的相同点： （1）计算方法相同。 体积、容积、容量的计算方法都是相同的，计算时都用可以用长×宽×高来计算，比如：一个一个长方体纸盒的长为10厘米，宽为8厘米，高为5厘米，（纸盒材料的厚度不计）这个纸盒的体积和容积各是多少？计算方法均为：10×8×5=400（立方厘米）（2）单位相同。计算体积、容积都可以用上相同的体积单位（立方米、立方分米、立方厘米等，）不过计算物体的容量，一般常用容量单位：升、毫升。 （3）容积和容量的定义、测量方法、计算方法都相同， 二、它们的不同点： （1）定义不同。体积是指物体所占空间的大小；容积、容量是指器皿所能容纳的物体的体积。容纳物体、气体的体积，一般说容积；容纳液体的体积，一般说容量。 （2）测量方法不同。计算体积时，计算需要的长、宽、高的数据要从物体的外面度量；而计算容积或容量时，要去掉器皿周壁的厚度，必须从容器的里面度量。例如：用一块厚度为5毫米的玻璃制作一个长为50厘米，宽为40厘米，高为35厘米的鱼缸，这个鱼缸能放入69.5升的水吗？试用计算说明？有同学这样计算：50×40×35=70000（毫升）70000毫升大于69.5升，所以能。这样就错了，从题目中可以发现水是倒入鱼缸的，也就是说，我们应该计算的是鱼缸的容积，在50、40、35中应该减去玻璃厚度，列式为：49×39×34.5=65929.5（毫升）65929.5毫升小于69.5升，所以不能。因此在计算中我们要千万要注意看清题目要求计算体积还是容积、容量。 通过我的整理，同学们对体积、容积、容量之间的关系就比较清楚了。 体积与容积、容量的分析与比较在五下的数学课堂上学到了体积、容积、容量三个数学名词。我以为挺简单，可是在做作业中，总有同学把它们混淆起来，为了避免错误的出现，我仔细查阅了书本和课外资料，
高中数学专题专练13 三视图与体积表面积
十三 三视图与体积、表面积 1．由三视图求面积 例1：一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_________． 【答案】33π 【解析】由三视图可得该几何体由一个半球和一个圆锥组成， 其表面积为半球面积和圆锥侧面积的和．球的半径为3， ∴半球的面积211 43182 S = ?π?=π，圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∴圆锥的侧面积为23515S rl =π=π??=π，∴表面积为1233S S S =+=π． 2．由三视图求体积 例2：某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A ．4 B ． C ． D ．8 【答案】D 【解析】由于长方体被平面所截， ∴很难直接求出几何体的体积，可以考虑沿着截面再接上一个一模一样的几何体，
从而拼成了一个长方体，∵长方体由两个完全一样的几何体拼成， ∴所求体积为长方体体积的一半。从图上可得长方体的底面为正方形， 且边长为2，长方体的高为314+=， ∴22416V =?=长方体，∴1 82 V V ==长方体，故选D ． 一、单选题 1．某几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为，则俯视图中圆的半径为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】由三视图可知该几何体为一个长方体挖去了一个半球，设圆半径为r ， ∴该几何体的表面积2222242216S r r r r r r =??+??-π?+π?=+π，得1r =，故选A ． 2．正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1AA 的中点（如图）用过点1B E D 、、的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（ ） 对点增分集训