清华第五版数值分析第5章课件
数值分析课件 第五章2
1 M4 = 5
f ′( x ) = − ∫ t sin txdt = ∫ t cos( tx +
0 0 1 2 1 2
1
1
π
2
)dt
2π f ′′( x ) = − ∫ t cos txdt = ∫ t cos( tx + )dt 0 0 2 1 kπ (k ) k 归纳法知 由归纳法知 f ( x ) = t cos( tx + )dt ∫0 2 1 1 kπ 1 (k ) k k f ( x ) ≤ ∫ t cos( tx + ) dt ≤ ∫ t dt = 0 0 2 k +1
xi
f ( xi )
1/2
0.958851 0.936156 0.908858 0.877193 0.841471
复化梯形公式 复化梯形公式(n=8) 梯形公式( )
h= 1
1 1 3 1 T8 ( f ) = f (0) + 2 f ( ) + f ( ) + f ( ) 2×8 4 8 8
b−a 2 Rn ( f ) = I − Tn ( f ) = − h f ′′(η ),η ∈ [a , b] 12
设 M 2 = max] | f ′′( x ) |，则 x∈[ a , b
b−a 2 | Rn ( f ) |≤ h M2 12
2
复化梯形公式是收敛的 复化梯形公式是收敛的，误差阶是O ( h 公式是收敛 以通过 M 2 求出 n 。
在区间[ xk , xk +1 ] , k
b a
b−a 将积分区间 [ a , b ] n等分 分点 xk = a + kh, h = 等分: 等分 n
清华第五版数值分析第5章课件
第一步：选 ai ,1 max ai 1 ,交换第1行和第i1行，
1 i n
然后进行消元，得
( a111 ) [ A( 2 ) , b ( 2 ) ]
( 1 a121 ) a1( n ) ( (2 a222 ) a2 n )
( an 2 ) 2
(2 ann )
三
高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组 AX b的增广矩阵为 a11 a (1) (1) 21 [ A , b ] [ A , b] an1 具体步骤为：
1
b1 a22 a2 n b2 an 2 ann bn a12 a1 n
如此至多经过n-1步,就得到与之同解的上三角形方 程组的增广矩阵,再用回代过程即可得方程组的解.
例：用Gauss列主元消去法解方程组 2 4 6 x1 3 4 9 2 x 5 2 1 1 3 x3 4
(1)
1 2 n
a (1) 0 0
a (1) a (1)
12 1n
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
b(1) ( 2) b2 ( 2) bn
1
则
a 令m i 1 , i 2,3,...,n a
n
a (1) 0 0
11
a (1) a (1)
12
(2 ( a22 ) a22 ) n
( (2 an22) ann)
数值分析第五版第5章学习资料
n
即 de(A t) aijAij (i1,2,,n), j1
其中 A ij 为 a ij 的代数余子式，Aij(1)ijMij, M ij 为元素 a ij 的余子式.
行列式性质：
( ad ) ( A e ) d t B ( A e )d ( t B )A e , ,B t R n n .
有非零解，故系数行列式 deIt (A)0，记
a11 a12 p()det(I A) a21 a22
a1n a2n
（1.3）
an1 an2 ann n c1n1cn1cn 0.
p()称为矩阵 A的特征多项式，方程(1.3)称为矩阵 A的特
征方程.
9
因为 n次代数方程 p() 在复数域中有 n个根
其中用 ri 表示矩阵的第 i行. 由此看出，用消去法解方程组的基本思想是用逐次消
去未知数的方法把原方程组 Axb化为与其等价的三角 形方程组，而求解三角形方程组可用回代的方法.
上述过程就是用行的初等变换将原方程组系数矩阵化 为简单形式(上三角矩阵)，从而将求解原方程组(2.1)的 问题转化为求解简单方程组的问题.
n
n
trA aii i.
i1
i1
（1.4） （1.5）
称 trA为 A的迹.
A的特征值 和特征向量 x还有一下性质：
(1) AT 与 A有相同的特征值 及特征向量 .
(2)若 A非奇异，则 A1 的特征值为 1，特征向量为 x.
(3)相似矩阵 BS1AS有相同的特征多项式.
11
例1 求 A的特征值及谱半径
4x2x3 5,
2x3 6.
显然，方程组(2.6)是容易求解的，解为
x (1,2,3)T.
数值分析第五章电子教案(欧阳洁)
第五章函数插值§1 插值问题与插值多项式§2 Lagrange插值法§3 Newton插值法§4 等距节点插值§5 Hermite插值§6 分段低次插值§7 三次样条插值欧阳洁1问题提出仅有采样值，但需要知道非采样点处的函数值。
解决上述问题的一种思路：对用数据表给出的未知函数，建立一个便于计算的近似函数作为表达式。
函数插值法是建立近似函数表达式的一种基本方法。
欧阳洁2§1 插值问题与插值多项式一插值问题二插值多项式欧阳洁3欧阳洁4一插值问题ni x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ已知定义于区间[a,b ]上的实值函数f (x )在n+1 个互异节点处的函数值。
若函数集合Φ中的函数ϕ(x )满足{}n i i x f 0)(={}],[0b a x n i i ⊂={}n i i x 0=则称ϕ(x )为f (x )在函数集合Φ中关于节点的一个插值函数，称f (x )为被插值函数,[a,b ]为插值区间。
{}ni i x 0=称为插值节点。
n i x f x i i ,,1,0),()(L ==ϕ称为插值条件。
如何求插值函数ϕ(x )称为插值问题。
欧阳洁71 代数插值多项式的存在唯一性分析：对于多项式插值问题，插值条件等价于确定多项式的系数，使得满足如下的线性方程组：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡)()()()(111210************n n n n n n n n x f x f x f x f a a a a x x x x x x x x x M M L L L L L L L L 当节点互异, 系数矩阵非奇异, 故满足插值条件的不超过n 次的插值多项式是存在惟一的。
{}n i i x 0=二插值多项式定理满足插值条件的不超过n 次的插值多项式存在惟一。
数值分析(第五版)计算实习题第五章作业教学资料
>> format compact
>> A=[3.01 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.987 -4.81 9.34];
>> b=[1;1;1];
>> [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b),h=det(A),C=cond(A)
输出：
请注意：因为RA=RB，所以方程组有唯一解
ans =
-9.5863 18.3741 -3.2258 3.5240
xX =
10.4661
jxX =
0.9842
Xgxx =
22.7396
xAb =
0.0076
xAbj =
0.0076
Acp =
2.9841e+03
第四题：
（1）输入：
建立m文件:
forn=2:6
a=hilb(n);
pnH(n-1)=cond(a,inf);
RA =
3
RB =
3
n =
3
X =
1.0e+03 *
1.5926
-0.6319
-0.4936
h =
-0.0305
C =
3.0697e+04
(2)输入：
>> A=[3.00 6.03 1.99;1.27 4.16 -1.23;0.990 -4.81 9.34];
>> b=[1;1;1];
>> [RA,RB,n,X]=liezhu(A,b),h=det(A)
>> r=b-H*X,deltax=X-x
输出：
X =
数学分析讲义(第五版)课件
设z
zn x2, 幂级数 n1 n 32n
的收敛半径为
R
1
lim
n
n
|
n
32n
|
9 lim n
n
1
n 32n
9,
从而 x2 z 9时原级数收敛, x2 z 9 原级数发
散,
所以
n1
n
x2n 32n
的收敛半径为
R
3.
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方法2 应用柯西-阿达玛定理 (n 奇数时, an 0), 由于
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一、幂级数的收敛区间
幂级数的一般形式为
an( x x0 )n a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2
n0
an( x x0 )n ,
(1)
为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
an xn a0 a1 x a2 x2 an xn
an
xn1 .
0
n0 n 1
证 由定理14.7, 级数(2), (7), (8)具有相同的收敛半
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径R. 因此,对任意一个 x (R, R) , 总存在正数 r, 使得|x| < r < R, 根据定理14.4, 级数(2), (7)在[-r, r]上 一致收敛.再由第十三章§2的逐项求导与逐项求积 定理, 就得到所要证明的结论(i)与(ii). 注 由本定理立即可以得到幂级数在其收敛区间上 可以逐项求导和逐项求积. (并没有要求在其收敛区 间上一致收敛!)
上一致收敛.
对于一般幂级数(1)的收敛性问题, 可仿照上述的办
法来确定它的收敛区间和收敛半径. 请看例子.
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例5 级数
数值分析第五版李庆扬王能超课件第5章(2)
xk
xk+1
f ( xk ) x k 1 [ x k ] (1 ) xk f ( xk ) xk f ( xk ) f ( xk )
xk 1 (1 ) xk , [0, 1]
注： = 1 时就是Newton’s Method 公式。 当 = 1 代入效果不好时，将 减半计算。
§1.牛顿法
定理 （收敛的充分条件）设 f C2[a, b]，若
(1) f (a) f (b) < 0；(2) 在整个[a, b]上 f ”不变号且 f ’(x) 0；
(3) 选取 x0 [a, b] 使得 f (x0) f ”(x0) > 0；
则Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到f (x) 在 [a, b] 的 唯一根。 产生的序列单调有 有根 根唯一 定理 （局部收敛性）设 f C2[a, b]界，保证收敛。 ，若 x* 为 f (x) 在[a, b] 上的根，且 f ’(x*) 0，则存在 x* 的邻域 B ( x*) 使得任取初 值 x0 B ( x*)，Newton’s Method产生的序列{ xk } 收敛到x*， 且满足 x * x k 1 f ( x*) lim k ( x * x ) 2 2 f ( x*) k
f ( x) 其中 g( x ) x ，则 f ( x ) f ( x*)2 f ( x*) f ( x*) 1 | g( x*) | 1 1 1 2 f ( x*) n
A1: 有局部收敛性，但重数 n 越高，收敛越慢。 Q2: 如何加速重根的收敛？ A2: 将求 f 的重根转化为求另一函数的单根。
这是一个充分条件。 g ( p ) ( k )
数值分析第五版
数值分析第五版第一章绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=≈ 9．正方形的边长大约为了100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ？解：正方形的面积函数为2()A x x =(*)2*(*)A A x εε∴=.当*100x =时，若(*)1A ε≤,则21(*)102x ε-≤故测量中边长误差限不超过0.005cm 时，才能使其面积误差不超过21cm第二章插值法1．当1,1,2x =-时，()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。
解：0120121200102021101201220211,1,2,()0,()3,()4;()()1()(1)(2)()()2()()1()(1)(2)()()6()()1()(1)(1)()()3x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x xl x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------==-+--则二次拉格朗日插值多项式为220()()k k k L x y l x ==∑0223()4()14(1)(2)(1)(1)23537623l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2．给出()ln f x x =的数值表 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx-0.916291-0.693147-0.510826-0.356675-0.223144用线性插值及二次插值计算ln 0.54的近似值。
数值分析 第5章haha
, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计 算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯 消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初 始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收 敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍 直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作 行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
数值分析容第五章
第五章 函数插值实践中常有这样的问题：由实验得到某一函数y = f (x )在一系列点x 0, x 1,…, x n 处的值y 0, y i ,…, y n ，其函数的解析表达式是未知的，需要构造一个简单函数P (x )作为y = f (x )的近似表达式；或者y = f (x )虽有解析式，但计算复杂，不便于使用，需要用一个比较简单且易于计算的函数P (x )去近似代替它；本章所介绍的插值法就是建立这种近似公式的基本方法。
§1 代数插值 设已知某个函数关系y = f (x )在某些离散点上的函数值：nn y y y y yx x x x x 21210 （6.1）插值问题就是根据这些已知数据来构造函数y = f (x )的一种简单的近似表达式，以便于计算点i x x ≠的函数值)(x f ，或计算函数的一阶、二阶导数值。
一种常用的方法就是从多项式中选一个P n (x )，使得n i y x P i i n ,,2,1,0,)( ==（6.2）作为f (x )的近似。
因为多项式求值方便，且还有直到n 阶的导数。
我们称满足关系（6.2）的函数P n (x )为f (x )的一个插值函数，称x 0, x 1,…, x n 为插值节点，并称关系（6.2）为插值原则。
这种用代数多项式作为工具来研究插值的方法叫做代数插值。
设 x 0 < x 1< …< x n记a = x 0, b = x n ，则 [a, b] 为插值区间。
插值多项式存在的唯一性： 设所要构造的插值多项式为：n n n x a x a x a a x P ++++= 2210)(由插值条件n i y x P ii n ,,1,0)( ==得到如下线性代数方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++⋅=+++⋅=+++⋅n n n n n n nn nya x a x a y a x a x a y a x a x a101111000100111 此方程组的系数行列式为∏≤<≤-==ni j j innnnnnx xx x x x x x x x x D 0212110200)(111此为范得蒙行列式，在线性代数课中，已经证明当j i x x ≠，;,2,1n i = n j ,2,1=时，D ≠ 0，因此，P n (x )由a 0, a 1,…, a n 唯一确定。
数值分析_清华李庆杨第五版第四章_数值积分
式有3次代数精度。下面以梯形公式为例进行验证
b
a
ba f (a) f (b) f ( x) dx 2
b
取f(x)=1时， a 1dx b a, 取f(x)=x时,
1 2 2 a xdx 2 (b a ),
b
ba (1 1) b a 2
两端相等
ba 1 2 2 (a b) (b a ) 2 2
两端相等
取f(x)=x2 时,
b
a
1 3 ba 2 1 2 3 2 x dx (b a ), (a b ) (a b 2 )( b a) 3 2 2
2
两端不相等
所以梯形公式只有1次代数精度。
例4.2 试确定一个至少具有2次代数精度的公式
y y=f(x)
在这三个公式中, 梯形公式 把f(a), f(b)的加权平均值
1 f (a) f (b) 作为平均高度 2
a a
(a+b)/2 (a+b)/2
b b
f()的近似值而获得的一种数值积分方法。
中矩形公式把[a,b] 的中点处函数值
f (
a b ) 2
作为平均高度f()的近似值而获得的一种数值积 分方法。
n j k
x xj
这里
( x) ( x x0 )(x x1 )( x xn )
多项式P(x)易于求积,所以可取
b
a
f ( x)dx 的近似值，即
b
a
P( x)dx 作为
b
a
f ( x)dx
n
数值分析第五版课后答案知识讲解
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计算方法数值分析第五章考点总结CH.5
第六章数值逼近问题(I)—插值及其数值计算§ 1插值的基本概念插值方法是数值分析中一个很古老的分支，它有着悠久的历史。
插值理论和方法也是现代数值分析中最基本的内容之一，它在数值积分，曲线曲面拟合，求微分方程数值解等方面有着广泛的应用。
在工程技术与科学研究中，有时对一个函数只知道它在某些点上的数值，为了进一步研究其性质，需要用其他函数去近似代替它，这时就可以用插值方法。
有时候，虽然函数有解析表达式，但形式过于复杂，为了便于处理，先在某些点上取值作表格函数，再通过插值建立易于处理的新函数，这也是插值理论的一个应用。
先介绍一般的插值概念。
设f(x) , a,b lo已知它在n，1个互异的点x0，…，x n处的函数值y0,y i，…，y n，即：f (xj r , i =o, 1,…，n求解插值问题就是从函数类 G中求(x)使「(X)* , i =0 , 1,…,(1.1 ) 这里的f(x)称为被插函数，a,b 1称为插值区间，x i, i=0, 1,…，n,称为插值节点，(1.1 )式称为插值条件，而(x)和「分别为插值函数和插值函数类。
通常选定的插值函数类是有限维线性空间，它可看成是某一组基：[(x)二张成的线性空间：二Span「1(x)角对_ [ ：•：」，有＜a i笃使得n：(x)八3i ：i(x)i=0于是确定函数:(x)归结为确定数列E 寫。
从理论上看，插值问题包含以下内容：(1)确定门的基'；：i(x)^=o，一般地说基不唯一，选择合适的基可以简化问题的解法；(2)讨论满足(1.1 )的(x)的存在性，求法及唯一性；(3)寻找插值问题的截断误差，即余项：R(x)二f(x)-「(x)的表达式与估计。
§ 2多项式插值本节选取常用的多项式函数类作插值函数类。
多项式函数属于解析函数类，形式简单，计算方便，其导数与不定积分易于求出。
下面把不超过n次的多项式函数类记为P n2.1 Lagrange 插值设已知f(x) , a,b 1在相异节点X o ,治，…，X n上的函数值f(X i) = y i , i=0 , 1,…，n,取：•：」=P n,下面求f (x)的插值函数。
数值分析课件第5章
cn1xn1
fn1
an bn xn fn
其中|i-j|>1时,aij=0,且满足如下的对角占优条件:
(1)|b1|>|c1|>0,|bn|>|an|>0
(2)|bi|≥|ai|+|ci|, aici≠0, i=2,3,…,n-1.
工科研究生公共课程数学系列
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b1 c1
为单位下三角矩阵
这就是说，高斯消去法实质上产生了一个将A分解为 两个三角形矩阵相乘的因式分解，于是我们得到如下重要 定理。
工科研究生公共课程数学系列
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定理 7矩 ( 阵L的 U 分解 )设A为n阶矩阵， A的如 顺果 序主 Di 0(i1,2,,n1)，则 A可分解为一个 角单 矩L和 位 阵下 一个上三U的 角乘 矩积 阵，且这 唯种 一分 的解 。是
a(2) m2
a1(1n) a2(2n)
b1(1) b2(2)
mi2aa22((2221))
(a2(22) 0)
(i3,,m)
am(2n)
bn(2)
a1(11) 0
a(1) 12
a(2) 22
a1(1n)
a2(2n)
b1(1) b2(2)
A(3)
: b(3)
0
0
am(3n)
a(k) kk
工科研究生公共课程数学系列
()
机动 上页 下页 首页 结束
高斯消去法的条件
定理5 设Axb,其中ARnn
(1) 如果ak(kk) 0(k 1,2,,n)，则可通过高斯将 消去法 Axb约化为等价的三组 角(方 )，程且计算公 (式 )。
《数值分析》第五章课件
取 h = 0.2 ，要求保留六位小数.
校正： cn+1 = y n + 2 ( y n' + mn' +1 )
解：Euler 迭代格式为
校正的改进：
1 y n +1 = c n +1 + ( p n +1 − c n+1 ) 5
yk +1 = yk + 0.2(− yk − xk yk2 ) = 0.8 yk − 0.2 xk yk2
差分方程：关于未知序列的方程.
例如： y n +3 = 5 y n + 2 − 3 y n +1 + 4 y n
例如： y ' ' ( x) − a ( x) y '+b( x) y + c( x) = 0
3
4
微分方程的应用情况
实际中，很多问题的数学模型都是微分方程. 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在 理论研究与工程实际上应用很广泛. 很多问题 的数学模型都可以归结为常微分方程. 很多偏 微分方程问题，也可以化为常微分方程问题来 近似求解.
且
可得，
y(xn+1) − yn+1 = hf y (xn+1,η)[ y(xn+1) − yn+1] − h2 '' y (xn ) + O(h3 ) 2
f (xn+1, y(xn+1)) = y' (xn+1) = y' (x n ) + hy'' (xn ) + O(h2 )
19
20
2 考虑到 1 − hf y ( xn+1 ,η ) = 1 + hf y ( xn+1 ,η ) + O(h ) ，则有
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b(1) 1
a(2) 22
x2
......
a(2) 2n
xn
b(2) 2
......
a(n) nn
xn
b(n) n
其中，ai(ii) 0,i 1,2,...,n
xn xi
b(n) n
(bi(i)
/an(nn)
n
a(i ij
)
x
j
)/ai(ii )
j i 1
i n 1,...2,1
高斯消去法条件 (高斯消去法适用范围)
定理：若A的各阶顺序主子式不等于0，则高斯消 去法能顺序进行消元，得到唯一解。
a11 ... a1i det(Ai ) ... ... ...
ai1 ... aii
证明：高斯消去法能进行下去的充要条件是
a(i) ii
0
(i 1, , n 1)
而消元过程不会改变顺序主子式
det(
Ai
)
a a (1) (2) 11 22
a(i) ii
的值。所以
a(i) ii
det( Ai ) / det( Ai1)
解的唯一性又要求 | A | 0
高斯消去法存在的问题：
mik
a(k ik
)
：消元因子
a( k) kk
1.在高斯消去法消去过程中可能出现
a( k ) kk
的0
情况，这时高斯消去法将无法进行
b b m b ( 3 )
(2)
i
i
(2) i2 2
(i 3,...,n)
• 重复上述过程, 最后得
a1(11 )
a( 1 ) 12
a( 2 ) 22
... ...
... ...
...
a( 1 ) 1n
...
a( 2 ) 2n
b( 1
b( 2
1 2
) )
[ A( n )b( n )]
(2)
22
23
(2)
(2)
2n
2
0
0
( 3 )
(3)
(3)
a a b 33
3n
3
0
0
( 3 )
(3)
(3)
a a b n3
nn
n
令mi 2
则
a(2) i2
a(2) 22
,i
2,3,..., n
a a m a ( 3 )
(2)
ij
ij
(2) i2 2j
(i 3,...,n; j 3,...,n)
b( n
2
)
max 第
二
步
：
选a ( 2 ) i2 ,2
令mi1
则
a(1) i1
a(1) 11
,i
2,3,..., n
a a m a (2)
(1)
ij
ij
(1) i1 1 j
(i 2,...,n; j 2,...,n)
b b b m (2)
(1)
(1)
i
i
1 i1
(i 2,...,n)
第二步：当a2(22)
0,第2行
a(2) i2 a(2) 22
xn xi
bn /unn
n
(bi uij
j i 1
x
j
)/uii
i n 1,...2,1
二 高斯消去法步骤如下： 设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b
第一步：当a(1)
0,第1行
a(1) i1
第i行,i
2,, n
11
a(1)
a(1) a(1) a(1) b(1)
11
2.如果某个
a(k kk
)
,但0很小，会引入较大的误差。
三 高斯列主元消去法
基本思想：在每轮消元之前，选列主元素 （绝对值最大的元素）
设方程组AX b的增广矩阵为
a11 a12 a1n b1
[
A(
1
)
,b( 1
)]
[
A,b]
a21
a22
a2n
b2
具体步骤为：
an1
an2
ann
bn
... ... ... ... ...
a(k ) kk
...
a(k ) kn
b( k
k
)
... ... ...
a b ( n )
(n)
nn
n
x b 再解 A( n ) ( n )
原方程组的同解方程组
Gauss 消去法
消元过程
对于k 1,2,...,n 1
a( k1 ) ij
a( k ij
)
m a(k ik kj
)
,i
k
1,...,n;
j
k
1,...,n
b( k1 ) i
b( k i
)
m b( k ik k
)
,i
k
1,...,n
其中mik
ai(kk ak( kk
) )
,
i
k
1,...,n
上三角方程组的回代求解：
a(1) 11
x1
a(1) 12
x2
......
a (1) 1n
xn
, bn )T.
引言
• 关于线性方程组的数值解法一般有两类。
– 直接法：经过有限步算术运算，可求得方程组 的精确解的方法（若在计算过程中没有舍入误 差）. 代表性的算法是高斯(Gauss)消去法。计 算代价高.
– 迭代法：用某种极限过程去逐步逼近线性方程 组精确解的方法. 简单实用。
5.1 高斯消去法
第一步：选ai1,1 max ai1 ,交换第1行和第i1行， 1 i n
然后进行消元，得
a( 1 ) 11
[ A( 2 ) ,b( 2 ) ]
a( 1 ) 12
a( 2 ) 22
a( 2 ) n2
a(1) 1n
a(2) 2n
a( 2 ) nn
b ( 1 ) 1
b( 2
2
)
思 路
首先将A通过初等行变换化为上三角阵，此
过程称为消去过程，再求解如下形状的方程
组，此过程称为回代求解。
=
上三角方程组的回代求解：
u11 x1 u12 x2 ...... u1n xn b1
u22 x2 ...... u2n xn b2
......
unn xn bn
其中，uii 0,i 1,2,...,n
第五章 线性代数方程组的数值解法
n 阶线性方程组：
a x a x
11 1
12 2
a x a x
21
1
22
2
a x a x Biblioteka 11n22
a x b
1n n
1
a x b
2n n
2
a x b
nn n
n
矩阵表示记为 AX b
a 这里 A
, 我们假设 A 0,
ij nn
X (x1 , , xn )T , b (b1 ,
第i行,i
3,, n
a (1) 11
a a (1)
(1)
12
1n
b(1) 1
0
a a b ( 2 )
(2)
(2)
22
2n
2
0
a( 2 ) n2
a( 2) nn
bn( 2 )
a (1) 11
a (1) 12
a a (1)
(1)
13
1n
b(1) 1
0 a a a b ( 2 )
12
1n
1
a a a b (1)
(1)
21
22
(1)
(1)
2n
2
(1)
(1)
a a a b n1
n2
(1)
(1)
nn
n
a a a b 11 (1)
(1)
(1)
(1)
11
12
1n
1
0
a a b (2)
(2)
(2)
22
2n
2
0
a(2)
n2
a(2)
nn
b(2
n
)