2019年人教版中考压轴题汇编：因动点产生的相似三角形问题

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(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)

b 8，
3，解得
k b
1 2
8，
，
∴ y 1 x 8 ,则点 P 的坐标为（16，0）。 2
（3）满足条件的直线 l 有 2 条:y=－2x+12，
y=2x－12。
如图 2：准确画出两条直线。
练习 3
解：(1）二次函数图象顶点的横坐标为 1,且过点 (2，3) 和 (3，12) ，
由
4a2ba
4
4
⑵如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时，
OB,
由0
1 4
(x
2) 2
1得
x1
0, x 2
4
，
∴B(4，0）,OB＝4。
-五-
x
O
C
CD
图1
(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)(word 版可编辑修改)
∴D 点的横坐标为 6 将 x＝6 代入 y 1 (x 2)2 1，得 y＝－3，
-三-
(完整版)中考专题练习_函数中因动点产生的相似三角形问题(含答案)(word 版可编辑修改)
y
C
B
E
O
D Ax
练习 2 图
练习 3、在平面直角坐标系 xOy 中，已知二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象与 x 轴交于 A，B
两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴交于点 C ，其顶点的横坐标为 1，且过点 (2，3) 和 (3，12) ．
（3）在 x 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG x 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标;否则，请说明理由．

专题12 难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略(原卷版)

专题12难点探究专题：相似三角形中动点问题压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 (1)【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 (2)【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 (4)【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 (5)【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 (7)【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】 (9)【典型例题】【考点一相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】1．（2023秋·安徽安庆·九年级统考期末）如图，在钝角A出发运动到点B停止，动点E运动的速度为2cm/s．如果两点同时运动，那么当以点2．（2023·上海·九年级假期作业）如图，米/秒的速度同时开始运动，其中点直移动到点A为止．经过多长时间后，3．（2022·辽宁·灯塔市第一初级中学九年级期中）如图，在平面直角坐标系内，已知点0），动点P从点A开始在线段段BA上以每秒2个单位长度的速度向点(1)当t为何值时，△APQ与△AOB相似？(2)当t为何值时，△APQ的面积为24 5【考点二相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】【变式训练】2．（2023春·江苏无锡·八年级宜兴市实验中学校考阶段练习）如图，在矩形连接BD，点M，N分别是边BC，终落在BD上，当PBM为直角三角形时，线段3．（2023·江苏盐城·校考一模）如图，在动点，过点E作DE⊥为等腰三角形时，当BCF4．（2023·山东济宁·统考一模）如图，在矩形点P是直线BC上的一个动点．若【考点三相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】【变式训练】1．（2023·江苏苏州AE翻折得AFE△连接PF，则PQ2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，矩形△M，连接EM、BM，将BEM为．3．（2023春·安徽·九年级专题练习）如图，在正方形，上的动点，且BEG是AB CD为．4．（2023·江苏南通·统考三模）点C 的坐标为()0,3上一点，且3AQ PQ =【考点四相似三角形中的动点问题与函数图像问题】例题：（2023春·河南安阳·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 一边AB 在直线l 上，P 是直线l 上点A 左侧的一点，24AB PA ==，E 为边AD 上一动点，过点P ，E 的直线与正方形ABCD 的边交于点F ，连接BE BF ，，若设DE x =，BEF △的面积为S ，则能反映S 与x 之间函数关系的图象是（）A ．B ．．．2023·山西运城·统考二模）如图中，36B ∠=︒，动点P 速运动至点C 停止．点P 的运动速度为，设点P 的运动时间为t （函数图像如图2所示．当AP 时，BP 的长为（）A ．252+B ．425-C ．4+2．（2023·河南焦作·统考二模）如图，在Rt ABC △中，过点P 作直线l AB ⊥，交折线ACB 于点Q ．设AP x =A ．．．．2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形ABCD 中，1AB =，动点P 从A 点出发沿和BC 上匀速移动，连接DP 交BC 或BC 的延长线于Q ，记点移动的距离为x ，的函数图像大致是（）A ．B ．C ．D ．4．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线l 是线段AB 的中垂线，l 与AB 相交于点C ，D 是位于直线AB 下方的l 上的一动点（点D 不与点C 重合），连接AD BD ，，过点A 作AE BD ∥，过点B 作BE AE ⊥于点E ，若6AB =，设AD x =，AE y =，则y 关于x 的函数关系用图像可以大致表示为（）．A ．B ．C ．D ．【考点五相似三角形中的动点问题与几何综合问题】例题：（2023春·山东济宁·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OABC 的两边分别在x 轴和y 轴上，点B 的坐标为()12,8，现有两动点P ，Q ，点P 以每秒3个单位的速度从点O 出发向终点A 运动，同时点Q 以每秒2个单位的速度从点A 出发向终点B 运动，连接PC ，PQ ，CQ ．设运动时间为t 秒()0t >．(1)点P 的坐标为______，点Q 的坐标为______（用含t 的代数式表示）；(2)请判断四边形APCQ 的面积是否会随时间t 的变化而变化，并说明理由；(3)若A ，P ，Q 为顶点的三角形与OCP △相似时，请求出t 的值．【变式训练】(1)BM =________；BN =__________．(2)若BMN 与ABC 相似，求t 的值；(3)连接AN CM ，，如图2，若AN CM ⊥BC=，点E是AD边上的一个动点，以CE为边在CE的右（2）如图2，四边形ABCD是矩形，2AB=，4CG CE=，连接DG，BE．判断线段DG与BE，有怎样的数量关系和位置关系，侧作矩形CEFG，且:1:2并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点E是从点A运动D点，则点G的运动路径长度为______；+的最小值为______．（4）如图3，在（2）的条件下，连接BG，则2BG BE【考点六相似三角形中的动点探究应用问题】【变式训练】【基础巩固】（1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论；（2）A 、B 、C 、是同一直线l 上从左到右顺次的点，点P 是直线外一动点，【尝试应用】①若2AB =，1BC =，延长AB 至D ，使CD BC =【拓展提高】②拓展：若AB m =，BC n =，()m n ≠，P 点在长为___________（用含m 、n 的式子表示）．。

2019年中考数学压轴题集锦系列：因动点产生的相似三角形问题(一)课件(24张PPT)

第一讲：听力解题技巧
解得故直线AB的解析式为y=x+2；
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
【分析】（1）根据题意易得点M、P的坐标，利用待定系数法来求直线AB的解析
式；
（2）如图①，过点Q作x轴的垂线QC，交AB于点C，再过点Q作直线AB的垂线，垂
足为D，构建等腰直角△QDC，利用二次函数图象上点的坐标特征和二次函数最
值的求法进行解答；
第一讲：听力解题技巧
（3）根据相似三角形的对应角相等推知：△PBQ中必有一个内角为45°；需要分
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
第一讲：听力解题技巧
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22019年中考数学压轴题集锦系列
第一讲：听力解题技巧
因动点产生的相似三角形问题（一）
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2的对称轴绕着点P（0，2）顺时针旋转45°后与该抛物线交于A、B两点，点Q是该抛物线上一点．（1）求直线AB的函数表达式；（2）如图①，若点Q在直线AB的下方，求点Q到直线AB的距离的最大值；（3）如图②，若点Q在y轴左侧，且点T（0，t）（t＜2）是射线PO上一点，当以P、B、Q为顶点的三角形与△PAT相似时，求所有满足条件的t的值．

冲刺2019届中考2019年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦(含答案与解析)

（△S ABD ＝（）（（冲刺 2019 届中考：2019 年全国各地中考模拟卷《相似三角形》压轴题集锦（含答案与解析）一．选择题1． 2019△?萧山区模拟）如图，已知在 ABC 中，点 D 为 BC 边上一点（不与点 B ，点 C 重合），连结 AD ，点 E 、点 F 分别为 AB 、AC 上的点，且 EF ∥BC ，交 AD 于点 G ，连结 BG ，并延长BG 交 AC 于点 H ．已知＝2，①若 AD 为 BC 边上的中线，的值为；②若 BH ⊥AC ，当 BC ＞2CD 时，＜2sin ∠DAC ．则（）A ．①正确；②不正确C ．①不正确；②正确B ．①正确；②正确D ．①不正确；②正确2． 2019 春△?北碚区校级月考）如图， ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：3D ．8：9 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或（△S BDF ；4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）C ．（﹣4，﹣3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）D ．（3，2）或（﹣3，﹣2）5．（2019•平房区一模）如图，在矩形 ABCD 中，点 F 在 AD 上，射线 BF 交 AC 于点 G ，交 CD的延长线于点 E ，则下列等式正确的为（）A ．B ．C ．＝D ．＝6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，则 OC 的长度是（）A ．1B ．2C ．D ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①②若 AF ＝；AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）FA．①②B．①②④C．①②③D．①②③④8．（2019•杭州模拟）如图，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长，分别交对角线BD于点F，交BC边延长线于点E．若FG＝2，则AE的长度为（）A．6B．8C．10D．12 9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB，BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DBC．AD•BC＝AC•CDB．AC•DB＝BC•ADD．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为AB、AC边上的点，GE∥BC，BD∥（CE交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二．填空题12．（2019△?沈阳模拟）如图，在ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是．13．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为．16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．20．（2019•简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为；22221第4个正方形的面积为．三．解答题21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE ，求BE的长．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，（垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．26．（2019宣州区一模）将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．11/5727．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为；②∠AMB的度数为；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．12/5728．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．13/5729．（2019曹县一模）如图1，ABCD中，点E是AB中点，连接DE并延长，交CB的延长线于点F．（△1）求证：ADE≌△BFE；（2）如图2，点G是边BC上任意一点（点G不与点B、C重合），连接AG，交DF于点H，连接HC，过点A作AK∥HC，交DF于点K．①求证：HC＝2AK；②当点G是边BC中点时，求的值．14/5730．（2019春江岸区校级月考）如图（1），AB⊥BC，CD⊥BC，点E在线段BC上，AE⊥ED，求证：＝．（△2）在ABC中，记tan B＝m，点E在边AB上，点D在直线BC上．①如图（2），m＝2，点D在线段BC上且AD⊥EC，垂足为F，若AD＝2EC，求；②如图（3），m＝＝2AC，若CD＝3，点D在线段BC的延长线上，ED交AC于点H，∠CHD＝60°，ED，BC＝4△，直接写出BED的面积．15/5731．（2019春包河区校级月考）如图（1），已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，GF⊥CD．（1）①求证：四边形CEGF是正方形；②推断：的值为：（2）将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角（0°＜α＜45°），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系；（3）正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交AD于点H．若AG＝6，GH＝2，求正方形CEGF和正方形ABCD的边长．16/57（答案与解析一．选择题1．2019萧山区模拟）如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H．已知＝2，①若AD为BC边上的中线，的值为；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时，＜2sin∠DAC．则（）A．①正确；②不正确C．①不正确；②正确B．①正确；②正确D．①不正确；②正确解：①过点B作BM∥AC，与AD的延长线相交于点M，∴∠C＝∠MBD，在△ACD和△MBD中，，∴△ACD≌△MBD（ASA），∴AD＝MD，∵EF∥BC，，∴∴，，∵BM∥AC，∴△MBG∽△AHG，∴∴，，17/57△S ABD ＝（）（故①正确；（2）过点 D 作 DN ⊥AC 于点 N ，则 DN ＝AD sin ∠DAC ，∵BH ⊥AC ，DN ⊥AC ，∴BH ∥DN ，∴，即，∵BC ＞2CD ，∴∴，．故②错误；故选：A ．2． 2019 春北碚区校级月考）如图，△ABC 中，点 D 为边 BC 的中点，点 E 、F 分别是边 AB 、AC 上两点，且 EF ∥BC ，若 AE ：EB ＝2：1，则： △S AEFA ．2：1B ．4：9C ．2：318 / 57D ．8：9△S ABC ，（解：∵AE ：EB ＝2：1，∴AE ：AB ＝2：3，∵EF ∥BC ，∴△AEF ∽△ABC ，∴ ＝（）2＝（）2＝，∵D 为 BC 的中点，∴BD ＝CD ，△S ABD∴ ＝∴＝，故选：D ． 3． 2019•云南模拟）如图，点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，且 AB ＝9，AC ＝6，AD ＝3，若使△ADE 与△ABC 相似，则 AE 的长为（）A ．2B ．C ．2 或D ．3 或解：①若∠AED 对应∠B 时，解得 AE ＝；＝，即＝，②当∠ADE 对应∠B 时，＝，即＝，解得 AE ＝2．故选：C ．4．（2019•郑州模拟）在平面直角坐标系中，已知两点 A （7，5），B （4，3），先将线段 AB向右平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位，然后以原点 O 为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段 CD ，则点 A 的对应点 C 的坐标为（）A ．（4，3）B ．（4，3）或（﹣4，﹣3）19 / 57C．（﹣4，﹣3）D．（3，2）或（﹣3，﹣2）解：∵点A（7，5），B（4，3），先将线段AB向右平移1个单位，再向上平移1个单位，∴点A，B平移后的对应点的坐标为A′（8，6），B（5，4），∵以原点O为位似中心，将其缩小为原来的，得到线段CD，∴则点A′的对应点C的坐标为：（4，3）或（﹣4，﹣3）．故选：B．5．（2019平房区一模）如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，射线BF交AC于点G，交CD 的延长线于点E，则下列等式正确的为（）A．B．C．＝D．＝解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴△ABF∽△DEF，△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△ABG∽△CEG，∵△ABF∽△DEF，∴＝，故A错误；∵△AFG∽△CBG，△ABG∽△CEG，∴∴＝＝，＝，，故B正确；∵△AFG∽△CBG，∴＝，故C错误；∵△EFD∽△EBC，∴＝，故D错误；故选：B．20/57（△S BDF ；6． 2019•成华区模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 △B ，将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，则 OC 的长度是（）A ．1B ．2C ．D ．解：∵点 A （4，2），过点 A 作 AB ⊥x 轴于点 △B ．将 AOB 以坐标原点 O 为位似中心缩小为原图形的，得到△COD ，∴C （2，1），则 OC 的长度＝．故选：C ．7．（2019•铁西区三模）如图，在 △R tABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ，点 D 是线段 AB 上的一点，连结 CD ．过点 B 作 BG ⊥CD ，分别交 CD 、CA 于点 E 、F ，与过点 A 且垂直于 AB 的直线相交于点 G ，连结 DF ，给出以下四个结论：①；②若 AF ＝AB ，则点 D 是 AB 的中点；③若△S ABC＝1，则＝9④当 B 、C 、F 、D 四点在同一个圆上时，DF ＝DB ；其中正确的结论序号是（）A ．①②B ．①②④C ．①②③D ．①②③④解：依题意可得 BC ∥AG ，∴△AFG ∽△BFC ，∴ ＝，又AB＝BC，∴＝．故结论①正确；如右图，∵∠1+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，∴∠3＝∠4．在△ABG与△BCD中，∴△ABG≌△BCD（ASA），∴AG＝BD，又BD＝AD，∴AG＝AD，在△AFG与△AFD中，∴△AFG≌△AFD（SAS），∵△ABC为等腰直角三角形，，，∴AC＝AB；∵△AFG≌△A FD，∴AG＝AD＝AB＝BC；∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC＝2AF，∴AF＝AC＝AB．故结论②正确；当B、C、F、D四点在同一个圆上时，∴∠2＝∠ACB∵∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠ACB＝∠CAB＝45°，∴∠2＝45°，∴∠CFD＝∠AFD＝90°，△S ABC ；△S ABF ，△S BDF ＝△S BDF ． ∴CD 是 B 、C 、F 、D 四点所在圆的直径，∵BG ⊥CD ，∴＝，∴DF ＝DB ，故③正确；∵∴＝，∵AG ＝BD ，＝，＝，∴ ＝，AF ＝ AC ，△S ABF ∴ ＝△S BDF ∴ ＝△S ABC △S ABC ∴，即＝12故结论④错误．故选：B ．8．（2019 杭州模拟）如图，在正方形 ABCD 中，G 为 CD 边中点，连接 AG 并延长，分别交对角线 BD 于点 F ，交 BC 边延长线于点 E ．若 FG ＝2，则 AE 的长度为（）A ．6解：∵AB ∥DG ，∴△ABF ∽△GDF ．∴＝2．B ．8C ．10D ．1223/57F，∴AG＝6．在△ADG和△ECG中，∴△ADG≌△ECG（AAS）．∴AG＝EG．∴AE＝2AG＝12．故选：D．9．（2019•宣州区一模）如图示，用七巧板拼成一幅装饰图，放入长方形ABCD内，装饰图中的三角形顶点E，分别在边AB BC上，三角形①的边GD在边AD上，则的值是（）A．B．C．D．解：设七巧板的边长为x，则AB＝x+x，BC＝x+x+x＝2x，∴＝＝．故选：C．10．（2019△?中原区校级模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AC＜BC，则下列结论中错误的是（）A．CD2＝AD•DB B．AC•DB＝BC•ADC．AD•BC＝AC•CD解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB∴CD2＝AD•DB，BC2＝BD•AB，故A、D选项正确；∵△ACD∽△CBD，∴＝＝，∴AC•DB＝BC•CD，故B选项错误；AD•BC＝AC•CD，故C选项正确；故选：B．D．BC2＝BD•AB11．（2019△?香坊区一模）如图，ABC中，G、E分别为A B、AC边上的点，GE∥BC，BD∥CE 交EG延长线于D，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝解：如图，设AB交CD于点O．∵DG∥BC，∴△DOG∽△COB，∴＝，∵BD∥AC，∴△DOB∽△COA，∴＝，∵BD∥AC，DE∥BC，∴四边形DECB是平行四边形，∴BD＝EC，∵GE∥BC，∴∴＝＝，，故选：D．二．填空题（共9小题）12．（2019沈阳模拟）如图，在△ABC中，AB：AC＝5：4，AD为△ABC的角平分线，点E在BC的延长线上，EF⊥AD于点F，点G在线段AF上，FG＝FD，连接EG交AC于点H，若点H是AC的中点，AG＝8，则线段DF的长是6．解：∵点H是AC的中点，∴AC＝2AH∵FG＝FD，EF⊥AD，∴EF为DG的中垂线∴GE＝DE∴∠EDG＝∠EGD∴∠AGH＝∠ADB∵AD平分∠BAC（∴∠BAD＝∠CAD，且∠AGH＝∠ADB∴△AGH∽△ADB∴∴＝＝＝，且AB：AC＝5：4，∴AD＝AG＝20∴DG＝AD﹣AG＝12，∴DF＝DG＝×12＝6故答案为：613．2019•拱墅区校级模拟）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，且AB＝5，BC＝3，则的值为．解：∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，∵∠CAD＝∠BAC∴△ACD∽△ABC，∴．故答案为：．14．（2019△?福田区校级模拟）如图，分别以ABC中BC和AC为腰向外作等腰直角△EBC和等腰直角△DAC，连结DE，且DE∥BC，EB＝BC＝6，四边形EBCD的面积为24，则AB的长为．△S DEC＝24﹣18＝6 △S ABC ＝＝3解：∵ ＝ BC ×BE ＝18，四边形 EBCD 的面积为 24，△S BEC ∴∵△EBC 与△DAC 是等腰直角三角形∴BE ＝BC ＝6，AC ＝DA ，∠EBC ＝∠DAC ＝90°，∠ECB ＝45°＝∠DCA ，∴EC ＝∵BC ，DC ＝ AC ，∠BCA ＝∠DCE ，，且∠BCA ＝∠DCE ，∴△ABC ∽△DEC∴∠DEC ＝∠ABC ，∴∵DE ∥BC∴∠DEC ＝∠ECB ＝45°∴∠ABC ＝45°如图，过点 A 作 AM ⊥BC 于 M∵ ＝ ×BC ×AM ＝3△S ABC∴AM ＝1∵∠ABC ＝45°，AM ⊥BC∴BM＝AM＝1，∴AB＝故答案为：15．（2019•昆明模拟）如图所示，在ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝7：2，连接AE交BD于点△F，则DEF的面积与△BAF的面积之比为49：81．解：∵＝，∴＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴∠FDE＝∠FBA，∠FED＝∠FAB，＝，∴△DFE∽△BFA，∴＝（）2＝，故答案为：49：81．μ16．（2019•道外区一模）如图，AD为△ABC的角平分线，AC＝BC，E在AC延长线上，且AD ＝DE，若AB＝6，CE＝2，则BD的长为2+．解：过D点作DF∥AB，∴∠1＝∠4，∵∠1＝∠3，∴∠3＝∠4，∴AF＝DF，∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，∴∠FDE＝∠2＝∠B ∴CD＝CF，∴BD＝AF，∵AD＝AF，∴∠3＝∠E，∴∠E＝∠1，在△ABD和EFD中，，△ABD≌△EFD（AAS）∴EF＝AB＝6，∵CE＝2，∴CF＝4，∵DF∥AB，∴△ABC∽FDC∴，∴，解得，（舍去）故答案为：2+．17．（2019春•和平区校级月考）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧做等腰△R t ABC和等腰△R t ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD＝MA•ME；③2CB2＝CP•CM．其中正确的是①②③解：∵△ABC是等腰直角三角形，∴＝，∠BAC＝45°，同理，＝，∠EAD＝45°，∴＝，∠BAE＝∠CAD，∴△BAE∽△CAD，①正确；∵△BAE∽△CAD，∴∠BEA＝∠CDA，又∠PME＝∠AMD，∴△PME∽△AMD，∴＝，∴MP•MD＝MA•ME，②正确；∵∠BEA＝∠CDA，∴P、E、D、A四点共圆，∴∠APM＝∠AED＝90°，∵∠BAC＝∠EAD＝45°，∴∠CAM＝90°，∴△CAP∽△CMA，∴＝，∴AC2＝CP•CM，∵AC2＝2CB2，∴2CB2＝CP•CM，③正确，故答案为：①②③．18．（2019•邗江区校级一模）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为AB的中点，P为BC 上一动点，作PQ⊥EP交直线CD于点Q，设点P每秒以1个单位长度的速度从点B运动到点C停止，在此时间段内，点Q运动的平均速度为每秒个单位．解：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝6，∠B＝∠C＝90°，∴∠BEP+∠BPE＝90°∵E为AB的中点，∴BE＝3∵PQ⊥EP∴∠BPE+∠CPQ＝90°，∴∠BEP＝∠CPQ，且∠B＝∠C＝90°∴△BEP∽△CPQ∴∴CQ＝∴CQ的最大值为＝∴点Q路程＝2×＝∴点Q运动的平均速度＝÷（8÷1）＝故答案为：19．（2019•咸宁模拟）如图，▱ABCD中，点E是边BC上一点，AE交BD于点F，若BE＝2，EC＝△3，BEF的面积是1，则▱ABCD的面积为．△S DFA＝△S BAF＝△S AFD＝+＝解：▱ABCD中，BE∥AD，∴△BFE∽△DFA而△BEF的面积是1，∴又∵△BFE∽△DFA∴利用＝，即可知△S ABD△S BAF△S DFA而＝+∴∴▱ABCD的面积＝×2＝故答案为．20．（2019简阳市模拟）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2），延长CB交x轴于点A，作正方形A B C C；延长C B111111交x轴于点A，作正方形A B C C…按这样的规律进行下去，第1个正方形的面积为5；22221第4个正方形的面积为（）3×5．解：∵点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．在△R t AOD中，AD＝∴正方形ABCD的面积为：（＝，）2＝5；∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠DAB＝∠ABC＝∠ABA＝90°＝∠DOA，1∴∠ADO+∠DAO＝90°，∠DAO+∠BAA＝90°，1∴∠ADO＝∠BAA，1∵∠DOA＝∠ABA，1∴△DOA∽△ABA，1∴＝，即＝，解得：A B＝1，∴A C＝A B+BC＝11，∴正方形A B C C的面积为：（111）2＝；∵第1个正方形ABCD的面积为：5；第2个正方形A B C C的面积为：＝×5；111同理可得：第3个正方形A B C C的面积为：××5＝（）2×5；2221∴第4个正方形A B C C的面积为：（）3×5．3332故答案为：5，（）3×5．三．解答题（共11小题）21．（2019•徐汇区二模）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．（△1）求证：ABE∽△DAF；（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DAF＝∠B，∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，∴∠DEC＝∠BAE，∵AD∥BC，∴∠DEC＝∠ADF，∴∠BAE＝∠ADF，∴△ABE∽△DAF．（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，∴AB•FC＝AE•EC，∴＝，∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，∴△BAE∽△CEF，∴＝，∴＝，∴FC＝EF，∴∠FEC＝∠FCE，∵∠FCE＝∠B，∴∠B＝∠FEC，∴AB∥DE，∵AD∥BE，∴四边形ADEB是平行四边形，∴AD＝BE．22．（2019青山区模拟）（1）如图1，AH⊥CG，EG⊥CG，点D在CG上，AD⊥CE于点F，求证：；（△2）在ABC中，记tan B＝m，点D在直线BC上，点E在边AB上①如图2，m＝3，点D在线段BC上，且AD⊥CE于点F，若AD＝3CE，则＝；②如图3，m＝＝2AC，CD＝，点D在线段BC的延长线上，连接DE交AC于M，∠CMD＝60°，DE，求BE的长．（1）证明：∵AH⊥CG，EG⊥CG，AD⊥CE，∴∠AHD＝∠G＝∠AFC＝90°，∴∠A+∠ADC＝∠C+∠CDF＝90°，∴∠A＝∠C，∴△ADH∽△CEG，∴；（2）解：如图2，过点A作AM⊥BC于点M，过点E作EH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝2＝＝，∴设EH＝2x，BH＝x，AM＝2BM∴BE＝＝x，∵AF⊥EC，AM⊥CD∴∠ADC+∠DCE＝90°，∠ADC+∠DAM＝90°，∴∠DAM＝∠DCE，且∠AMD＝∠EHC＝90°∴△EHC∽△DMA，且AD＝2EC，∴＝＝＝2，∴DM＝2EH＝4x，AM＝2HC，∵AM＝2HC，AM＝2BM∴HC＝BM∴HC﹣HM＝BM﹣HM∴BH＝MC＝x∴DC＝DM+MC＝5x∴＝＝，故答案为：；（3）解：如图3，作∠BCF＝∠B，交AB于点F，过点D作GD⊥BD交BA的延长线于点G，过点F作FH⊥BC于点H，∵tan B＝m＝，∴∠B＝30°，∵∠BCF＝∠B＝30°，∴BF＝FC，且FH⊥BC，BC＝4，∴BH＝HC＝2，且∠B＝30°，FH⊥BC∴FH＝2，BF＝FC＝4，∵CD＝3∴BD＝7，BC＝4，，又∵∠BCF＝∠B＝30°，GD⊥BD，∴∠G＝60°，∠AFC＝60°，GD＝7，BG＝2DG＝14，∵∠BCA＝∠BDE+∠CMD＝∠BDE+60°＝∠BCF+∠ACF＝30°+∠ACF，∴∠ACF＝30°+∠BDE，且∠AEM＝∠B+∠BDE＝30°+∠BDE，∴∠ACF＝∠AEM，且∠G＝∠AFC＝60°∴△GED∽△FCA（∴＝＝，且DE＝2AC，∴GD＝2AF，EG＝2FC＝8，∴AF＝，∴BE＝BG﹣EG＝14﹣8＝6．23．2019闵行区二模）如图1，点P为∠MAN的内部一点．过点P分别作PB⊥AM、PC⊥AN，垂足分别为点B、C．过点B作BD⊥CP，与CP的延长线相交于点D．BE⊥AP，垂足为点E．（1）求证：∠BPD＝∠MAN；（2）如果sin，AB＝2，BE＝BD，求BD的长；（3）如图2，设点Q是线段BP的中点．联结QC、CE，QC交AP于点F．如果∠MAN＝45°，且BE∥QC，求的值．（1）证明：∵PB⊥AM，PC⊥AN，∴∠PBA＝∠PCA＝90°，∵∠BAC+∠PCA+∠BPC+∠PBA＝360°，∴∠BAC+∠BPC＝180°，∵∠BPD+∠BPC＝180°，∴∠MAN＝∠BPD；（2）解：∵BE⊥AP，∠D＝90°，BE＝BD，∴∠BPD＝∠BPE．∴∠BPE＝∠BAC，在△R t ABP中，由∠ABP＝90°，BE⊥AP，∴∠APB＝∠ABE，∴∠BAC＝∠ABE，∴sin∠BAC＝sin∠ABE＝＝，，∵AB＝2∴AE＝6，∴BE＝＝2，∴BD＝BE＝2；（3）解：过点B作BG⊥AC，垂足为点G．过点Q作QH∥BD，设BD＝2a，PC＝2b，∵∠BPD＝∠MAN＝45°，∴DP＝BD＝2a，∴CD＝2a+2b，在△R t ABG和△R t BDP中，∠BAC＝∠BPD＝45°，∴BG＝AG，DP＝BD，∵QH∥BD，点Q为BP的中点，∴PH＝PD＝a．QH＝BD＝a，∴CH＝PH+PC＝a+2b，∵BD∥AC，CD⊥AC，BG⊥AC，∴BG＝DC＝2a+2b．∴AC＝4a+2b，∵BE∥QC，BE⊥AP，∴∠CFP＝∠BEP＝90°，又∠ACP＝90°，∴∠QCH＝∠PAC，∴△ACP∽△QCH，∴＝，即＝，解得，a＝b，∴CH＝3a．由勾股定理得，CQ＝＝a，∵∠QHC＝∠PFC＝90°，∠QCH＝∠PCF，∴△QCH∽△PFC，∴＝，即＝，解得，FC＝a，∴QF＝QC﹣FC＝a，∵BE∥QC，Q是PB的中点，∴PE＝EF，∴△PQF与△CEF面积之比等于高之比，∴＝＝．24．（2019•合肥二模）如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE 并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．（△1）求证：ABE≌△ADE；（2）求证：EB2＝EF•EG；（3）若菱形ABCD的边长为4，∠ABC＝60°，AE：EC＝1：3，求BG的长．解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，又AE＝AE，∴△ABE≌△ADE（SAS）；（2）∵AB∥CG，∴∠ABG＝∠EGD，由（△1）得ABE≌△ADE，∴ED＝EB，∠ABG＝∠ADE，∴∠EGD＝∠ADE，∵∠FED＝∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴，所以ED2＝EF•EG；∴EB2＝EF•EG；（3）∵AB＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC＝AB＝4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA＝OC＝2，OB＝2，∵AE：EC＝1：3，∴AE＝OE＝1．．∴BE＝∵AD∥BC，∴，∴EF＝BE＝．由（2）得EB2＝EF•EG，∴EG＝，∴BG＝BE+EG＝4．25．（2019•安徽一模）如图，四边形ABCD内一点E满足EB＝EC，EA＝ED，∠BEC＝∠AED＝90°，AC交DE于点F，交BD于点G．（1）∠AGB的度数为90°．（2）若四边形AECD是平行四边形．①求证：AC＝AB；②若AE＝2，求AF•CG的值．解：（△1）在DEB和△AEC中，，∴△DEB≌△AEC（SAS）．∴∠EDB＝∠EAC．∵∠EFA+∠EAF＝90°，∠EFA＝∠DFG，∴∠DFG+∠FDG＝90°，∴∠AGB＝90°．故答案为90°；（2）①∵四边形AECD是平行四边形，∴∠AED＝∠EDC＝90°，AE＝AD．∵△ADE是等腰三角形，∴AE＝ED．∴ED＝EC，∠CED＝45°．∴∠BED＝90°+45°＝135°．∵∠AED＝∠BEC＝90°，∴∠AEB＝360°﹣90°﹣90°﹣45°＝135°．又EB＝EB，ED＝EA，∴△BAE≌△BDE（SAS），∴DB＝AB；∵∠BEC＝∠AED＝90°，∴∠BED＝∠CEA．∵EB＝EC，EA＝ED，∴△BED≌△CEA（SAS），∴BD＝CA，∴AC＝AB．②∵△BAE≌△BDE，∴△CAE≌△BAE．∴∠BAE＝∠CAE＝∠BDE．∵∠EAF+∠AFE＝90°，∴∠AFE+∠BAE＝90°．∵∠GFD＝∠AFE，∠EDB＝∠EAB，∴∠EDB+∠GFD＝90°，即∠CGD＝90°．∵∠FAE＝90°，∠GCD＝∠AEF，∴△CGD∽△AEF，∴，∴AF•CG＝CD•AE＝4．故答案为90°．26．（2019△?宣州区一模）将ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．（1）如图1，若∠BAC＝α＝60°．①证明：AB∥EC；②证明：△DAF∽△DEC；（2）如图2，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．解：（△1）①∵ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∴AC＝AE，∵∠EAC＝α＝60°．∴△AEC为等边三角形，∴∠ACE＝∠BAC＝60°，∴AB∥EC；②∵△ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠ADE＝∠FDC，∴△ADE∽△FDC，∴＝，∴＝，又∵∠ADF＝∠EDC，∴△DAF∽△DEC；（△2）①∵ABC≌△ADE，∴∠AED＝∠ACB，又∵∠AGE＝∠FGC，∴△AGE∽△F G C；②∵△AGE∽△FGC，∴∴＝＝，，又∵∠AGF＝∠EGC，△AGF∽△EGC；综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；27．（2019郊区一模）（1）问题发现如图（△1），在OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝36°，连接AC，BD 交于点M．①的值为1；②∠AMB的度数为36°；（2）类比探究如图（△2），在OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，交BD的延长线于点M．请计算的值及∠AMB的度数．（3）拓展延伸在（△2）的条件下，将OCD绕点O在平面内旋转，AC，BD所在直线交于点M．若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．解：（1）①∵∠AOB＝∠COD＝36°，∴∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，∴∠COA＝∠DOB，又∵OA＝OB，OC＝OD，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，故答案为：1；②设AO与BD交于点E，由①知，△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，∵∠AOB+∠DBO＝∠DEO，∠AMB+∠CAO＝∠DEO，∴∠AOB＝∠AMB＝36°，故答案为：36°；（△2）在OAB和△OCD中，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，∴tan30°＝＝＝，∵∠AOB+∠DOA＝∠COD+∠DOA，即∠DOB＝∠COA，∴△DOB∽△COA，∴＝＝，∠DBO＝∠CAO，∵∠DBO+∠OEB＝90°，∠OEB＝∠MEA，∴∠CAO+∠MEA＝90°，∴∠AMB＝90°，∴＝，∠AMB＝90°；（3）①如图3﹣1，当点M在直线OB左侧时，在△R t OCD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，在△R t OAB中，∠OAB＝30°，OB＝∴AB＝2，，由（2）知，∠AMB＝90°，且＝，∴设BD＝x，则AC＝AM＝在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，x，∴（x）2+（x+2）2＝（2）2，解得，x＝3，x＝﹣4（舍去），12∴AC＝AM＝3；②如图3﹣2，当点M在直线OB右侧时，在△R t AMB中，AM2+MB2＝AB2，∴（x）2+（x﹣2）2＝（2）2，解得，x＝4，x＝﹣3（舍去），12∴AC＝AM＝4，综上所述，AC的长为3或4．28．（2019都江堰市模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，tan A＝，AC＝6，以BC 为斜边向右侧作等腰直角△EBC，P是BE延长线上一点，连接PC，以PC为直角边向下方作等腰直角△PCD，CD交线段BE于点F，连接BD．（1）求证：PC：CD＝CE：BC；（2）若PE＝n（0＜n≤△4），求BDP的面积；（用含n的代数式表示）（△3）当BDF为等腰三角形时，请直接写出线段PE的长度．（△1）证明：∵PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴CD＝PC，BC＝CE，∴∴＝＝＝，＝＝，（2）解：如图1中，作PH⊥BD于H，∵△PCD，△EBC都是等腰直角三角形，∴∠PCD＝∠BCE＝45°，∠PBC＝∠PDC＝45°，∴B、C、P、D四点共圆，∴∠DBP＝∠PCD＝45°，∴∠CBD＝∠DBP+∠PBC＝45°+45°＝△90°，PBH是等腰直角三角形，∵∠BCE＝∠DCP＝45°，∴∠BCD＝∠ECP，∵∠CEP＝∠CBD＝90°，∴△CBD∽△CEP，∴＝＝，∵PE＝n，∴BD＝∵tan A＝∴BC＝4n，＝，AC＝6，，∴EC＝BE＝4，∴PB＝4+n，PH＝BH＝（4+n），。

2019全国中考真题解析考点汇编☆相似三角形

相似三角形（2019，北京）如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于（）D (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

（2019，宁德）图，在□ABCD 中，AE ＝EB ，AF ＝2，则FC 等于_____．（2019，甘肃）在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则这棵树的高度为米. 9.6(2019,珠海)天，小青在校园内发现：旁边一颗树在阳光下的影子和她本人的影子在同一直线上，树顶的影子和她头顶的影子恰好落在地面的同一点，同时还发现她站立于树影的中点（如图所示）.如果小青的峰高为1.65米，由此可推断出树高是_______米. 3.3（2019，梧州）如图(2)，在Y ABCD 中，E 是对角线BD 上的点，且EF ∥AB ，DE ：EB=2：3， EF=4，则CD 的长为_____________。

ABCD EFA E BCD（2019，桂林）如图，已知△ADE 与△ABC 的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC 的面积比为（）． A ． 1：2 B ． 1：4C ． 2：1D ． 4：1（2019，黔东南）如图，若CD C ABC Rt ,90,0=∠∆为斜边上的高，ACD n AB m AC ∆==则,,的面积与BCD ∆的面积比SsACDBCD ∆∆的值是（）A. 22mn B. 221m n -C. 122-m nD. 122+mn（2019，河南）如图，△ABC 中，点DE 分别是ABAC 的中点，则下列结论：①BC =2DE ；②△ADE ∽△ABC ；③ACABAE AD =．其中正确的有【】（A ）3个（B ）2个（C ）1个（D ）0个（2019，河南）如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，∠ABC =30°，AB =6．点D 在AB 边上，点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），且DA =DE ，则AD 的取值范EDCBA围是___________________．（2019，沈阳）如图，在□ ABCD 中，点E 在边BC 上，BE ：EC =1：2，连接AE 交BD 于点F ，则△BFE 的面积与△DF A 的面积之比为。

中考数学：因动点产生的相似三角形问题 (精选大题6例,含13中考,含精细思路点拨,18页)

1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 2019年上海市中考第24题如图1，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）经过点A 和x轴正半轴上的点B，AO＝BO＝2，∠AOB＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM，求∠AOM的大小；（3）如果点C在x轴上，且△ABC与△AOM相似，求点C的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△AB C与△AOM相似．请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C在x轴上运动，可以体验到，点C在点B的右侧，有两种情况，△ABC与△AOM相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

思路点拨1．第（2）题把求∠AOM的大小，转化为求∠BOM的大小．2．因为∠BOM＝∠ABO＝30°，因此点C在点B的右侧时，恰好有∠ABC＝∠AOM．3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC与△AOM相似．满分解答（1）如图2，过点A作AH⊥y轴，垂足为H．在Rt△AOH中，AO＝2，∠AOH＝30°，-．所以AH＝1，OH A(1因为抛物线与x轴交于O、B(2,0)两点，-，可得设y＝ax(x－2)，代入点A(1a=．图23所以抛物线的表达式为2(2)333y x x x x =-=-．（2）由221)y x x ==-得抛物线的顶点M 的坐标为(1,．所以tan BOM ∠=．所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．（3）由A (1-、B (2,0)、M (1,3-，得tan ABO ∠=AB =OM =所以∠ABO ＝30°，OAOM= 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°． △ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：①如图3，当BA OABC OM ==时，2BC ===．此时C (4,0)．②如图4，当BC OABA OM==时，6BC =．此时C (8,0)．图3 图4考点伸展在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．图5例2 2019年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线211(1)444by x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．思路点拨1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．满分解答（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,4b )．（2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ．因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．如图3，联结OP ．所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428b x b x bx ⨯⋅+⨯⋅=＝2b ．解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)．图2 图3 （3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ．当BA QA QA OA=，即2QA BA OA =⋅时，△BQA ∽△QOA ．所以2()14bb =-．解得8b =±Q 为(1,2．②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

挑战中考数学压轴题(学生版)

第一部分函数图象中点的存在性问题1.1 因动点产生的相似三角形问题例1 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．图1例2 如图1，已知抛物线的方程C1：1(2)()y x x m=-+-(m＞0)与x轴交于点B、C，m与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H 的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．图1例3 直线113y x =-+分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°后得到△COD ，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A 、C 、D 三点．(1) 写出点A 、B 、C 、D 的坐标；(2) 求经过A 、C 、D 三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3) 在直线BG 上是否存在点Q ，使得以点A 、B 、Q 为顶点的三角形与△COD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例4 Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图象与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式；（3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1例5如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2例6 如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22=++上．y mx mx n （1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形A A′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB′的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B′、C、D为顶点的三角形与△ABC相似．图1例7 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,例8 如图1，△ABC中，AB＝5，AC＝3，cos A＝3．D为射线BA上的点（点D不与点10B重合），作DE//BC交射线CA于点E.．(1) 若CE＝x，BD＝y，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使△ABC与△DEF相似？若存在，请求出线段BF的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图备用图1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．图1例2 如图1，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．图1例3 如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2例4 如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x 的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y 轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O —C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P 和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N 以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1例6 如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC 上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1例7 已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连结DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图11.3 因动点产生的直角三角形问题例1如图1，抛物线233384y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y轴交于点C ．（1）求点A 、B 的坐标；（2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标；（3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．图1例2在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1,k)和点B(－1,－k)．（1）当k＝－2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随x增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k 的值．例3 如图1，已知抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C(0，－3)，对称轴是直线x＝1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）求直线BC的函数表达式；（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P在第三象限．①当线段34PQ AB时，求tan∠CED的值；②当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．温馨提示：考生可以根据第（3）问的题意，在图中补出图形，以便作答．图1例4 设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1与l 2：y ＝k 2x ＋b 2，若l 1⊥l 2，垂足为H ，则称直线l 1与l 2是点H 的直角线．（1）已知直线①122y x =-+；②2y x =+；③22y x =+；④24y x =+和点C (0，2)，则直线_______和_______是点C 的直角线（填序号即可）；（2）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的顶点A (3，0)、B (2，7)、C (0，7)，P 为线段OC 上一点，设过B 、P 两点的直线为l 1，过A 、P 两点的直线为l 2，若l 1与l 2是点P 的直角线，求直线l 1与l 2的解析式．图1例5 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22153244m my x x m m -=-++-+与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2,n )在这条抛物线上．（1）求点B 的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从点O 出发向点A 运动，过点P 作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E ，延长PE 到点D ，使得ED ＝PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧作等腰直角三角形PCD （当点P 运动时，点C 、D 也随之运动）．①当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；②若点P 从点O 出发向点A 作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从点A 出发向点O 作匀速运动，速度为每秒2个单位（当点Q 到达点O 时停止运动，点P 也停止运动）．过Q 作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F ，延长QF 到点M ，使得FM ＝QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当点Q 运动时，点M 、N 也随之运动）．若点P 运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．图1例6 如图1，已知A 、B 是线段MN 上的两点，4=MN ，1=MA ，1>MB ．以A 为中心顺时针旋转点M ，以B 为中心逆时针旋转点N ，使M 、N 两点重合成一点C ，构成△ABC ，设x AB =．（1）求x 的取值范围；（2）若△ABC 为直角三角形，求x 的值；（3）探究：△ABC 的最大面积？图1例 7 如图1，直线434+-=x y 和x 轴、y 轴的交点分别为B 、C ，点A 的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC 是等腰三角形；（2）动点M 从A 出发沿x 轴向点B 运动，同时动点N 从点B 出发沿线段BC 向点C 运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M 运动t 秒时，△MON 的面积为S ．① 求S 与t 的函数关系式；② 设点M 在线段OB 上运动时，是否存在S ＝4的情形？若存在，求出对应的t 值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON 为直角三角形时，求t 的值．图11.4 因动点产生的平行四边形问题例 1 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2例 2 如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1例 3 已知平面直角坐标系xOy （如图1），一次函数334y x =+的图象与y 轴交于点A ，点M 在正比例函数32y x =的图象上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A 、M ．（1）求线段AM 的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B 在y 轴上，且位于点A 下方，点C 在上述二次函数的图象上，点D 在一次函数334y x =+的图象上，且四边形ABCD 是菱形，求点C 的坐标．图1例4将抛物线c1：2y=x轴翻折，得到抛物线c2，如图1所示．（1）请直接写出抛物线c2的表达式；（2）现将抛物线c1向左平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线c2向右也平移m个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为N，与x轴的交点从左到右依次为D、E．①当B、D是线段AE的三等分点时，求m的值；②在平移过程中，是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m的值；若不存在，请说明理由．图1例5 如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4,0)、B(0,－4)、C(2,0)三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MAB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．图1 图2例6 在直角梯形OABC中，CB//OA，∠COA＝90°，CB＝3，OA＝6，BA＝．分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系．（1）求点B的坐标；（2）已知D、E分别为线段OC、OB上的点，OD＝5，OE＝2EB，直线DE交x轴于点F．求直线DE的解析式；（3）点M是（2）中直线DE上的一个动点，在x轴上方的平面内是否存在另一点N，使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．图1 图2例 7 如图1，等边△ABC的边长为4，E是边BC上的动点，EH⊥AC于H，过E作EF∥AC，交线段AB于点F，在线段AC上取点P，使PE＝EB．设EC＝x（0＜x≤2）．（1）请直接写出图中与线段EF相等的两条线段（不再另外添加辅助线）；（2）Q是线段AC上的动点，当四边形EFPQ是平行四边形时，求平行四边形EFPQ 的面积（用含x的代数式表示）；（3）当（2）中的平行四边形EFPQ面积最大值时，以E为圆心，r为半径作圆，根据⊙E与此时平行四边形EFPQ四条边交点的总个数，求相应的r的取值范围．图1例8 如图1，抛物线322++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．图11.5 因动点产生的梯形问题例1已知直线y ＝3x －3分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，抛物线y ＝ax 2＋2x ＋c 经过点A ，B ．（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）记该抛物线的对称轴为直线l ，点B 关于直线l 的对称点为C ，若点D 在y 轴的正半轴上，且四边形ABCD 为梯形．①求点D 的坐标；②将此抛物线向右平移，平移后抛物线的顶点为P ，其对称轴与直线y ＝3x －3交于点E ，若73t a n =∠D P E ，求四边形BDEP 的面积．图1例2 如图1，把两个全等的Rt△AOB和Rt△COD方别置于平面直角坐标系中，使直角边OB、OD在x轴上．已知点A(1，2)，过A、C两点的直线分别交x轴、y轴于点E、F．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过O、A、C三点．（1）求该抛物线的函数解析式；（2）点P为线段OC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点M，交x轴于点N，问是否存在这样的点P，使得四边形ABPM为等腰梯形？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若△AOB沿AC方向平移（点A始终在线段AC上，且不与点C重合），△AOB在平移的过程中与△COD重叠部分的面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．图1例3 已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)．（1）求此抛物线和直线的解析式；（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．备用图例 4 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x＝4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）如图1，在直线y＝2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒2个单位长度的速度由点P向点O 运动，过点M作直线MN//x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN 对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒，求S关于t的函数关系式．图1 图2例5 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的解析式是y ＝2114x ，点C 的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC 的顶点A ，B 在抛物线上，AB 与y 轴交于点M ，已知点Q (x ，y )在抛物线上，点P (t ，0)在x 轴上．(1) 写出点M 的坐标；(2) 当四边形CMQP 是以MQ ，PC 为腰的梯形时． ① 求t 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围；② 当梯形CMQP 的两底的长度之比为1∶2时，求t 的值．图1例 6 已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C的坐标为)20(-，，直线x y 32-=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标；(2)抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图1例7 如图1，二次函数)0(2<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0，－1），△ABC 的面积为45．（1）求该二次函数的关系式；（2）过y 轴上的一点M （0，m ）作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点，求m 的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点D ，使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．图11.6 因动点产生的面积问题例 1 如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0)，将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质．图1例 2 如图1，在平面直角坐标系中，直线112y x =+与抛物线y ＝ax 2＋bx －3交于A 、B 两点，点A 在x 轴上，点B 的纵坐标为3．点P 是直线AB 下方的抛物线上的一动点（不与点A 、B 重合），过点P 作x 轴的垂线交直线AB 于点C ，作PD ⊥AB 于点D ．（1）求a 、b 及sin ∠ACP 的值；（2）设点P 的横坐标为m ．①用含m 的代数式表示线段PD 的长，并求出线段PD 长的最大值；②连结PB ，线段PC 把△PDB 分成两个三角形，是否存在适合的m 的值，使这两个三角形的面积比为9∶10？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．图1例 3 如图1，直线l经过点A(1，0)，且与双曲线myx=(x＞0)交于点B(2，1)．过点(,1)P p p-(p＞1)作x轴的平行线分别交曲线myx=(x＞0)和myx=-(x＜0)于M、N两点．（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；（3）是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由．图1例4 如图1，在平面直角坐标系xOy中，直角梯形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，CB∥OA，OC＝4，BC＝3，OA＝5，点D在边OC上，CD ＝3，过点D作DB的垂线DE，交x轴于点E．（1）求点E的坐标；（2）二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点B和点E．①求二次函数的解析式和它的对称轴；②如果点M在它的对称轴上且位于x轴上方，满足S△CEM＝2S△ABM，求点M的坐标．图1例5 如图1，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．图1例 6 如图1，在△ABC中，∠C＝90°，A C＝3，BC＝4，CD是斜边AB上的高，点E 在斜边AB上，过点E作直线与△ABC的直角边相交于点F，设AE＝x，△AEF的面积为y．（1）求线段AD的长；（2）若EF⊥AB，当点E在斜边AB上移动时，①求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；②当x取何值时，y有最大值？并求出最大值．（3）若点F在直角边AC上（点F与A、C不重合），点E在斜边AB上移动，试问，是否存在直线EF将△ABC的周长和面积同时平分？若存在直线EF，求出x的值；若不存在直线EF，请说明理由．图1 备用图例7 如图1，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；（2）求正方形边长及顶点C的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．（4）如果点P、Q保持原速度速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．图1 图21.7 因动点产生的相切问题例1 如图1，A(－5,0)，B(－3,0)，点C在y轴的正半轴上，∠CBO＝45°，CD//AB，∠CDA＝90°．点P从点Q(4,0)出发，沿x轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t秒．（1）求点C的坐标；（2）当∠BCP＝15°时，求t的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形ABCD的边（或边所在的直线）相切时，求t的值．图1例2如图1，菱形ABCD的边长为2厘米，∠DAB＝60°．点P从A出发，米的速度沿AC向C作匀速运动；与此同时，点Q也从点A出发，以每秒1厘米的速度沿射线作匀速运动．当点P到达点C时，P、Q都停止运动．设点P运动的时间为t秒．（1）当P异于A、C时，请说明PQ//BC；（2）以P为圆心、PQ长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t为怎样的值时，⊙P与边BC分别有1个公共点和2个公共点？图一1.8 因动点产生的线段和差问题例1 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2, －4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点．（1）求抛物线y＝ax2＋bx＋c的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM＋OM的最小值．图1例2 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A、B两点，与y 轴交于点C，点D是抛物线的顶点．（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l//AC交抛物线于点Q．试探究：随着点P 的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标．图1第二部分函数图象中点的存在性问题2.1 由比例线段产生的函数关系问题例1 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，53sin B ，⊙B 的半径长为1，⊙B 交边CB于点P ，点O 是边AB 上的动点．（1）如图1，将⊙B 绕点P 旋转180°得到⊙M ，请判断⊙M 与直线AB 的位置关系；（2）如图2，在（1）的条件下，当△OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图3，点N 是边BC 上的动点，如果以NB 为半径的⊙N 和以OA 为半径的⊙O 外切，设NB ＝y ，OA ＝x ，求y 关于x 的函数关系式及定义域．图1 图2 图3例2 如图1，甲、乙两人分别从A、B两点同时出发，点O为坐标原点．甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小时4千米的速度行走，t小时后，甲到达M点，乙到达N点．（1）请说明甲、乙两人到达点O前，MN与AB不可能平行；（2）当t为何值时，△OMN∽△OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN的长．设s＝MN2，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值．图1。

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希望教育 2019年中考数学一轮复习讲义学生：全慧第一讲相似三角形1、比例对于四条线段a ,b ,c ,d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如a c bd=（即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段．1.若322=-y y x , 则_____=yx； 2．以下列长度（同一单位）为长的四条线段中，不成比例的是（）A ．2,5，10，25B ．4，7,4，7C ．2，0.5，0。

5,4D ．2，5，52，253．若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a ，则___________,____,===c b a ； 4．：若43===f e d c b a ，则______=++++fd be c a 5、已知023a b=≠，求代数式()225224a b a b a b -⋅--的值．2、平行线分线段成比例定理：平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线(不少于3条）所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边（或两边延长线）所得的对应线段成比例。

练习1，如下图，EF ∥BC ，若AE ∶EB=2∶1，EM=1，MF=2,则AM ∶AN=____,BN ∶NC=_____2、已知：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。

2019年全国中考试题解析版分类汇编-相似三角形判定和性质(92页)

2019年全国中考试题解析版分类汇编-相似三角形判定和性质（92页）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017湖北荆州，7，3分〕如图，P为线段AB上一点，AD与BC交干E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD于E，AD交PC于G，那么图中相似三角形有〔〕A、1对B、2对C、3对D、4对考点：相似三角形的判定、专题：证明题、分析：根据题目提供的相等的角和图形中隐含的相等的角，利用两对应角对应相等的两三角形相似找到相似三角形即可、解答：解：∵∠CPD=∠A=∠B，∴△PCF∽△BCP△APG∽△BFP△APD∽△GPD应选B、点评：此题考查相似三角形的判定、识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角、2.〔2017江苏无锡，7，3分〕如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形、假设OA：OC=0B：OD，那么以下结论中一定正确的选项是〔〕A、①与②相似B、①与③相似C、①与④相似D、②与③相似考点：相似三角形的判定。

分析：由OA：OC﹣=0B：OD，利用对顶角相等相等，两三角形相似，①与③相似，问题可求、解答：证明：∵OA：OC=0B：OD，∠AOB=∠COD〔对顶角相等〕，∴①与③相似、应选B、点评：此题解答的关键是熟练记住所学的三角形相似的判定定理，此题难度不大，属于基础题、3.〔2017山西，11，2分〕如图，△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G 、F 在BC 边上，四边形DEFG 是正方形、假设DE ＝2㎝，那么AC 的长为〔〕A、B 、4cm C、D、考点：三角形中位线，相似三角形的相似比专题：相似三角形分析：由题意知DE 是等腰△ABC 的中位线，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ，因为DE ＝2㎝，所以BC ＝4㎝、又DE ∥BC ，所以△ADE ∽△ABC ，且相似比为12、过点A 作AM ⊥BC 于点M 、那么MC ＝2㎝，由点E 是边AC 的中点，EF ∥AM ，所以FC ＝1㎝、在△EFC 中，因为正方形DEFG 的边长是2㎝，所以根据勾股定理得ECAC＝)cm ，应选D 、解答：D点评：此题是三角形中位线，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的相似比等的综合应用、过点A 作AM ⊥BC 于点M ，构造等腰三角形的高学生不易想到、4.〔2017陕西，9，3分〕如图，在□ABCD 中，E 、F 分别是AD 、CD 边上的点，连接BE 、AF ，他们相交于点G ，延长BE 交CD 的延长线于点H ，那么图中的相似三角形共有〔〕A 、2对B 、3对C 、4对D 、5对考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质。

中考—动点产生的相似三角形、等腰三角形、直角三角形、平行四边形问题含答案

一、动点产生的相似三角形问题1、满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM，x AM -=4．如果2==CO AOPM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==COAOPM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得0=x ．此时点P 与点O 重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P 的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D 作x 轴的垂线交AC 于E ．直线AC 的解析式为221-=x y ．设点D 的横坐标为m )41(<<m ，那么点D 的坐标为)22521,(2-+-m m m ，点E 的坐标为)221,(-m m ．所以)221()22521(2---+-=m m m DE m m 2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆m m S DAC m m 42+-=4)2(2+--=m ．当2=m 时，△DCA 的面积最大，此时点D 的坐标为（2，1）．图5 图6,2、满分解答（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-+-，得124(2)m m =-⨯-．解得m ＝4．（2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)．所以S △BCE ＝1162622BC OE ⋅=⨯⨯=．（3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EOCP CO=．因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2．（4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF=，即2BC CE BF =⋅时，△BCE ∽△FBC ．设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m+-=+．解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)．由'CO BF CE BF =4m BF +=．所以BF =．由2BC CE BF =⋅，得2(2)m +=整理，得0＝16．此方程无解．图2 图3 图4②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF=，即2BC BE BF =⋅时，△BCE ∽△BFC ．在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m+-=+．解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2)BF m =+．由2BCBE BF =⋅，得2(2)2)m m +=+．解得2m =±综合①、②，符合题意的m为2+考点伸展第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．二、因动点产生的等腰三角形问题满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (－1,0)、B (3, 0)两点，设y ＝a (x ＋1)(x －3)，代入点C (0 ,3)，得－3a ＝3．解得a ＝－1．所以抛物线的函数关系式是y ＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3．（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1．当点P 落在线段BC 上时，P A ＋PC 最小，△P AC 的周长最小．设抛物线的对称轴与x 轴的交点为H ．由BH PHBO CO=，BO ＝CO ，得PH ＝BH ＝2．所以点P 的坐标为(1, 2)．（3）点M 的坐标为(1, 1)、、(1,)或(1,0)．设点M 的坐标为(1,m )．在△MAC 中，AC 2＝10，MC 2＝1＋(m －3)2，MA 2＝4＋m 2．①如图3，当MA ＝MC 时，MA 2＝MC 2．解方程4＋m 2＝1＋(m －3)2，得m ＝1．此时点M 的坐标为(1, 1)．②如图4，当AM ＝AC 时，AM 2＝AC 2．解方程4＋m 2＝10，得m =此时点M 的坐标为或(1,．③如图5，当CM ＝CA 时，CM 2＝CA 2．解方程1＋(m －3)2＝10，得m ＝0或6．当M (1, 6)时，M 、A 、C 三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)．图3 图4 图54.思路点拨1．用含m 的代数式表示表示△APD 的三边长，为解等腰三角形做好准备． 2．探求△APD 是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H 的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt △OHM 的斜边长OM 是定值，以OM 为直径的圆过点H 、C ．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MCBD DM MB===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-．①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）．②当P A ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H ．三、①因动点产生的直角三角形问题5、满分解答（1）设抛物线的函数表达式为2(1)y x n =-+，代入点C (0，－3)，得4n =-．所以抛物线的函数表达式为22(1)423y x x x =--=--．（2）由223(1)(3)y x x x x =--=+-，知A (－1，0)，B (3，0)．设直线BC 的函数表达式为y kx b =+，代入点B (3，0)和点C (0，－3)，得30,3.k b b +=⎧⎨=-⎩ 解得1k =，3b =-．所以直线BC 的函数表达式为3y x =-．（3）①因为AB ＝4，所以334PQ AB ==．因为P 、Q 关于直线x ＝1对称，所以点P 的横坐标为12-．于是得到点P 的坐标为17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点F 的坐标为70,4⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以75344FC OC OF =-=-=，522EC FC ==．进而得到51322OE OC EC =-=-=，点E 的坐标为10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．直线BC:3y x =-与抛物线的对称轴x ＝1的交点D 的坐标为（1，－2）．过点D 作DH ⊥y 轴，垂足为H ．在Rt △EDH 中，DH ＝1，13222EH OH OE =-=-=，所以tan ∠CED 23DH EH ==．②1(12)P -，25(1)2P -．图2 图3 图4②动点产生的平行四边形问题 2 满分解答(1) 因为抛物线与x 轴交于A (－4,0)、C (2,0)两点，设y ＝a (x ＋4)(x －2)．代入点B (0,－4)，求得12a =．所以抛物线的解析式为211(4)(2)422y x x x x =+-=+-． (2)如图2，直线AB 的解析式为y ＝－x －4．过点M 作x 轴的垂线交AB 于D ，那么2211(4)(4)222MD m m m m m =---+-=--．所以2142MDA MDB S S S MD OA m m ∆∆=+=⋅=--2(2)4m =-++．因此当2m =-时，S 取得最大值，最大值为4．(3) 如果以点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形，那么PQ //OB ，PQ ＝OB ＝4．设点Q 的坐标为(,)x x -，点P 的坐标为21(,4)2x x x +-．①当点P 在点Q 上方时，21(4)()42x x x +---=．解得2x =-±此时点Q 的坐标为(2-+-（如图3），或(2--+（如图4）． ②当点Q 在点P 上方时，21()(4)42x x x --+-=．解得4x=-或0x =（与点O 重合，舍去）．此时点Q 的坐标为(－4,4) （如图5）．。

2019中考数学试题分类汇编考点36相似三角形含解析.doc

2019中考数学试题分类汇编：考点36 相似三角形一．选择题（共28小题）1．（2019?重庆）制作一块3m×2m长方形广告牌的成本是120元，在每平方米制作成本相同的情况下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是（）A．360元B．720元C．1080元D．2160元【分析】根据题意求出长方形广告牌每平方米的成本，根据相似多边形的性质求出扩大后长方形广告牌的面积，计算即可．【解答】解：3m×2m=6m2，∴长方形广告牌的成本是120÷6=20元/m2，将此广告牌的四边都扩大为原来的3倍，则面积扩大为原来的9倍，∴扩大后长方形广告牌的面积=9×6=54m2，∴扩大后长方形广告牌的成本是54×20=1080m2，故选：C．2．（2019?玉林）两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是（）A．： B．2：3 C．4：9 D．8：27【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵两三角形的相似比是2：3，∴其面积之比是4：9，故选：C．3．（2019?重庆）要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为 2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】根据相似三角形的对应边成比例求解可得．【解答】解：设另一个三角形的最长边长为xcm，根据题意，得： =，解得：x=4.5，即另一个三角形的最长边长为 4.5cm，故选：C．4．（2019?内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．5．（2019?铜仁市）已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为（）A．32 B．8 C．4 D．16【分析】由△ABC∽△DEF，相似比为2，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可得△ABC 与△DEF的面积比为4，又由△ABC的面积为16，即可求得△DEF的面积．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，相似比为2，∴△ABC与△DEF的面积比为4，∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积为：16×=4．故选：C．6．（2017?重庆）已知△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：1【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方计算即可．【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且相似比为1：2，∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，故选：A．7．（2019?临安区）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可．【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB=180°﹣45°=135°，A、C、D图形中的钝角都不等于135°，由勾股定理得，BC=，AC=2，对应的图形B中的边长分别为1和，∵=，∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，故选：B．8．（2019?广东）在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（）A．B．C．D．【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的面积之比．【解答】解：∵点D、E分别为边AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2=．故选：C．9．（2019?自贡）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC 的面积为（）A．8 B．12 C．14 D．16【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【解答】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∵=，∴=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选：D．10．（2019?崇明县一模）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．3：4 B．9：16 C．9：1 D．3：1【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=3：1，∴DE：DC=3：4，∴DE：AB=3：4，∴S△DFE：S△BFA=9：16．故选：B．11．（2019?随州）如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为（）A．1 B．C． 1 D．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合S△ADE=S四边形BCED，可得出=，结合BD=AB﹣AD即可求出的值，此题得解．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴（）2=．∵S△ADE=S四边形BCED，∴=，∴===﹣1．故选：C．12．（2019?哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，∴=， =，∴==．故选：D．13．（2019?遵义）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD 为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】先求出AC，进而判断出△ADF∽△CAB，即可设DF=x，AD=x，利用勾股定理求出BD，再判断出△DEF∽△DBA，得出比例式建立方程即可得出结论．【解答】解：如图，在Rt△ABC中，AB=5，BC=10，∴AC=5过点D作DF⊥AC于F，∴∠AFD=∠CBA，∵AD∥BC，∴∠DAF=∠ACB，∴△ADF∽△CAB，∴，∴，设DF=x，则AD=x，在Rt△ABD中，BD==，∵∠DEF=∠DBA，∠DFE=∠DAB=90°，∴△DEF∽△DBA，∴，∴，∴x=2，∴AD=x=2，故选：D．14．（2019?扬州）如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE分别交于点P，M．对于下列结论：；③2CB2=CP?CM．其中正确的是（）①△BAE∽△CAD；②MP?MD=MA?MEA．①②③B．①C．①② D．②③【分析】（1）由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三边份数关系可证；（2）通过等积式倒推可知，证明△PAM∽△EMD即可；（3）2CB2转化为AC2，证明△ACP∽△MCA，问题可证．【解答】解：由已知：AC=AB，AD=AE∴∵∠BAC=∠EAD∴∠BAE=∠CAD∴△BAE∽△CAD所以①正确∵△BAE∽△CAD∴∠BEA=∠CDA∵∠PME=∠AMD∴△PME∽△AMD∴∴MP?MD=MA?ME所以②正确∵∠BEA=∠CDA∠PME=∠AMD∴P、E、D、A四点共圆∴∠APD=∠EAD=90°∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90°∴△CAP∽△CMA∴AC2=CP?CM∵AC=AB∴2CB2=CP?CM所以③正确故选：A．15．（2019?贵港）如图，在△ABC中，EF∥BC，AB=3AE，若S四边形BCFE=16，则S△ABC=（）A．16 B．18 C．20 D．24【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出则S△ABC的值．【解答】解：∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∵AB=3AE，∴AE：AB=1：3，∴S△AEF：S△ABC=1：9，设S△AEF=x，∵S四边形BCFE=16，∴=，解得：x=2，∴S△ABC=18，故选：B．16．（2019?孝感）如图，△ABC是等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，∠BAD=90°，AE⊥BD于点E，连CD分别交AE，AB于点F，G，过点A作AH⊥CD交BD于点H．则下列结论：①∠ADC=15°；②AF=AG；③AH=DF；④△AFG∽△CBG；⑤AF=（﹣1）EF．其中正确结论的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】①由等边三角形与等腰直角三角形知△CAD是等腰三角形且顶角∠CAD=150°，据此可判断；②求出∠AFP和∠FAG度数，从而得出∠AGF度数，据此可判断；③证△ADF≌△BAH即可判断；④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得证；⑤设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x，根据△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x，据此得出EH=a，证△PAF∽△EAH得=，从而得出a与x的关系即可判断．【解答】解：∵△ABC为等边三角形，△ABD为等腰直角三角形，∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD，∠ADB=∠ABD=45°，∴△CAD是等腰三角形，且顶角∠CAD=150°，∴∠ADC=15°，故①正确；∵AE⊥BD，即∠AED=90°，∴∠DAE=45°，∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°，∠FAG=45°，∴∠AGF=75°，由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG，故②错误；记AH与CD的交点为P，由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°，则∠BAH=∠ADC=15°，在△ADF和△BAH中，∵，∴△ADF≌△BAH（ASA），∴DF=AH，故③正确；∵∠AFG=∠CBG=60°，∠AGF=∠CGB，∴△AFG∽△CBG，故④正确；在Rt△APF中，设PF=x，则AF=2x、AP==x，设EF=a，∵△ADF≌△BAH，∴BH=AF=2x，△ABE中，∵∠AEB=90°、∠ABE=45°，∴BE=AE=AF+EF=a+2x，∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a，∵∠APF=∠AEH=90°，∠FAP=∠HAE，∴△PAF∽△EAH，∴=，即=，整理，得：2x2=（﹣1）ax，由x≠0得2x=（﹣1）a，即AF=（﹣1）EF，故⑤正确；17．（2019?泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是（）A．B．C．D．【分析】如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．设DE=a，则AE=3a，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；【解答】解：如图作，FN∥AD，交AB于N，交BE于M．∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，∵FN∥AD，∴四边形ANFD是平行四边形，∵∠D=90°，∴四边形ANFD是解析式，∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a，∵AN=BN，MN∥AE，∴BM=ME，∴MN=a，∴FM=a，∵AE∥FM，∴===，18．（2019?临安区）如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴===．故选：A．19．（2019?恩施州）如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据正方形的性质可得出AB∥CD，进而可得出△ABF∽△GDF，根据相似三角形的性质可得出==2，结合FG=2可求出AF、AG的长度，由CG∥AB、AB=2CG可得出CG为△EAB的中位线，再利用三角形中位线的性质可求出AE的长度，此题得解．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=CD，AB∥CD，∴∠ABF=∠GDF，∠BAF=∠DGF，∴△ABF∽△GDF，∴==2，∴AF=2GF=4，∴AG=6．∵CG∥AB，AB=2CG，∴CG为△EAB的中位线，∴AE=2AG=12．故选：D．20．（2019?杭州）如图，在△ABC中，点D在AB边上，DE∥BC，与边AC交于点E，连结BE．记△ADE，△BCE的面积分别为S1，S2（）A．若2AD＞AB，则3S1＞2S2B．若2AD＞AB，则3S1＜2S2C．若2AD＜AB，则3S1＞2S2D．若2AD＜AB，则3S1＜2S2【分析】根据题意判定△ADE∽△ABC，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方解答．【解答】解：∵如图，在△ABC中，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴=（）2，∴若2AD＞AB，即＞时，＞，此时3S1＞S2+S△BDE，而S2+S△BDE＜2S2．但是不能确定3S1与2S2的大小，故选项A不符合题意，选项B不符合题意．若2AD＜AB，即＜时，＜，此时3S1＜S2+S△BDE＜2S2，故选项C不符合题意，选项D符合题意．故选：D．21．（2019?永州）如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC 的长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】只要证明△ADC∽△ACB，可得=，即AC2=AD?AB，由此即可解决问题；【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴=，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4，故选：B．22．（2019?香坊区）如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、AC、BC上的点，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式一定成立的是（）A． = B． = C． = D． =【分析】用平行线分线段成比例定理和相似三角形的判定即可得出结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵EF∥AB，∴，∵EF∥AB，∴△CEF∽△CAB，∴，∵DE∥BC，EF∥AB，∴四边形BDEF是平行四边形，∴DE=BF，EF=BD，∴，，，，∴正确，故选：C．23．（2019?荆门）如图，四边形ABCD为平行四边形，E、F为CD边的两个三等分点，连接AF、BE交于点G，则S△EFG：S△ABG=（）A．1：3 B．3：1 C．1：9 D．9：1【分析】利用相似三角形的性质面积比等于相似比的平方即可解决问题；【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵DE=EF=FC，∴EF：AB=1：3，∴△EFG∽△BAG，∴=（）2=，故选：C．24．（2019?达州）如图，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上两点，AE=CF=AC．连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为（）A．B．C．D．1【分析】首先证明AG：AB=CH：BC=1：3，推出GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得==（）2=（）2=， =，由此即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC，DC=AB，∵AC=CA，∴△ADC≌△CBA，∴S△ADC=S△ABC，∵AE=CF=AC，AG∥CD，CH∥AD，∴AG：DC=AE：CE=1：3，CH：AD=CF：AF=1：3，∴AG：AB=CH：BC=1：3，∴GH∥AC，∴△BGH∽△BAC，∴==（）2=（）2=，∵=，∴=×=，故选：C．25．（2019?南充）如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD的中点，连结AP，过点B作BE⊥AP于点E，延长CE交AD于点F，过点C作CH⊥BE于点G，交AB于点H，连接HF．下列结论正确的是（）A．CE=B．EF=C．cos∠CEP=D．HF2=EF?CF【分析】首先证明BH=AH，推出EG=BG，推出CE=CB，再证明△CEH≌△CBH，Rt△HFE≌Rt△HFA，利用全等三角形的性质即可一一判断．【解答】解：连接EH．∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AB═BC=AD=2，CD∥AB，∵BE⊥AP，CH⊥BE，∴CH∥PA，∴四边形CPAH是平行四边形，∴CP=AH，∵CP=PD=1，∴AH=BH，在Rt△ABE中，∵AH=HB，∴EH=HB，∵HC⊥BE，∴BG=EG，∴CB=CE=2，故选项A错误，∵CH=CH，CB=CE，HB=HE，∴△ABC≌△CEH，∴∠CBH=∠CEH=90°，∵HF=HF，HE=HA，∴Rt△HFE≌Rt△HFA，∴AF=EF，设EF=AF=x，在Rt△CDF中，有22+（2﹣x）2=（2+x）2，∴x=，∴EF=，故B错误，∵PA∥CH，∴∠CEP=∠ECH=∠BCH，∴cos∠CEP=cos∠BCH==，故C错误．∵HF=，EF=，FC=∴HF2=EF?FC，故D正确，故选：D．26．（2019?临沂）如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是（）A．9.3m B．10.5m C．12.4m D．14m【分析】先证明∴△ABE∽△ACD，则利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质求【解答】解：∵EB∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=10.5（米）．故选：B．27．（2019?长春）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．【解答】解：设竹竿的长度为x尺，∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺，∴，解得x=45（尺）．故选：B．28．（2019?绍兴）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为（）A．0.2m B．0.3m C．0.4m D．0.5m【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO，据此得=，将已知数据代入即可得．【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABO=∠CDO=90°，又∵∠AOB=∠COD，∴△ABO∽△CDO，则=，∵AO=4m，AB=1.6m，CO=1m，∴=，解得：CD=0.4，故选：C．二．填空题（共7小题）29．（2019?邵阳）如图所示，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF．写出图中任意一对相似三角形：△ADF∽△ECF ．【分析】利用平行四边形的性质得到AD∥CE，则根据相似三角形的判定方法可判断△ADF∽△ECF．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥CE，∴△ADF∽△ECF．故答案为△ADF∽△ECF．30．（2019?北京）如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．【分析】根据矩形的性质可得出AB∥CD，进而可得出∠FAE=∠FCD，结合∠AFE=∠CFD（对顶角相等）可得出△AFE∽△CFD，利用相似三角形的性质可得出==2，利用勾股定理可求出AC的长度，再结合CF=?AC，即可求出CF的长．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AD=BC，AB∥CD，∴∠FAE=∠FCD，又∵∠AFE=∠CFD，∴△AFE∽△CFD，∴==2．∵AC==5，∴CF=?AC=×5=．故答案为：．31．（2019?包头）如图，在?ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F，3AE=2EB，连接DF．若S△AEF=1，则S△ADF的值为．【分析】由3AE=2EB可设AE=2a、BE=3a，根据EF∥BC得=（）2=，结合S△AEF=1知S△ADC=S △ABC=，再由==知=，继而根据S△ADF=S△ADC可得答案．【解答】解：∵3AE=2EB，∴可设AE=2a、BE=3a，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴=（）2=（）2=，∵S△AEF=1，∴S△ABC=，∵四边形ABCD是平行四边形，∴S△ADC=S△ABC=，∵EF∥BC，∴===，∴==，∴S△ADF=S△ADC=×=，故答案为：．32．（2019?资阳）已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED 的面积为9 ．【分析】设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，由题意知DE∥BC且DE=BC，从而得=（）2，据此建立关于x的方程，解之可得．【解答】解：设四边形BCED的面积为x，则S△ADE=12﹣x，∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE=BC，∴△ADE∽△ABC，则=（）2，即=，解得：x=9，即四边形BCED的面积为9，故答案为：9．33．（2019?泰安）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步面见木？”用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步（“步”是古代的长度单位）的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木（即点D在直线AC上）？请你计算KC的长为步．【分析】证明△CDK∽△DAH，利用相似三角形的性质得=，然后利用比例性质可求出CK的长．【解答】解：DH=100，DK=100，AH=15，∵AH∥DK，∴∠CDK=∠A，而∠CKD=∠AHD，∴△CDK∽△DAH，∴=，即=，∴CK=．答：KC的长为步．故答案为．34．（2019?岳阳）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为5步，股（长直角边）长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．【分析】如图1，根据正方形的性质得：DE∥BC，则△ADE∽△ACB，列比例式可得结论；如图2，同理可得正方形的边长，比较可得最大值．【解答】解：如图1，∵四边形CDEF是正方形，∴CD=ED，DE∥CF，设ED=x，则CD=x，AD=12﹣x，∵DE∥CF，∴∠ADE=∠C，∠AED=∠B，∴△ADE∽△ACB，∴，∴，x=，如图2，四边形DGFE是正方形，过C作CP⊥AB于P，交DG于Q，设ED=x，S△ABC=AC?BC=AB?CP，12×5=13CP，CP=，同理得：△CDG∽△CAB，∴，∴，x=，∴该直角三角形能容纳的正方形边长最大是（步），故答案为：．35．（2019?吉林）如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB= 100 m．【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°，∴△ABD∽△ECD，∴，，解得：AB=（米）．故答案为：100．三．解答题（共15小题）36．（2019?张家界）如图，点P是⊙O的直径AB延长线上一点，且AB=4，点M为上一个动点（不与A，B重合），射线PM与⊙O交于点N（不与M重合）（1）当M在什么位置时，△MAB的面积最大，并求岀这个最大值；（2）求证：△PAN∽△PMB．【分析】（1）当M在弧AB中点时，三角形MAB面积最大，此时OM与AB垂直，求出此时三角形面积最大值即可；（2）由同弧所对的圆周角相等及公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证．【解答】解：（1）当点M在的中点处时，△MAB面积最大，此时OM⊥AB，∵OM=AB=×4=2，∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4；（2）∵∠PMB=∠PAN，∠P=∠P，∴△PAN∽△PMB．37．（2019?株洲）如图，在Rt△ABM和Rt△ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD，其中AM=AN．（1）求证：Rt△ABM≌Rt△AND；（2）线段MN与线段AD相交于T，若AT=，求tan∠ABM的值．【分析】（1）利用HL证明即可；（2）想办法证明△DNT∽△AMT，可得由AT=，推出，在Rt△ABM中，tan∠ABM=．【解答】解：（1）∵AD=AB，AM=AN，∠AMB=∠AND=90°∴Rt△ABM≌Rt△AND（HL）．（2）由Rt△ABM≌Rt△AND易得：∠DAN=∠BAM，DN=BM∵∠BAM+∠DAM=90°；∠DAN+∠ADN=90°∴∠DAM=∠AND∴ND∥AM∴△DNT∽△AMT∴∵AT=，∴∵Rt△ABM∴tan∠ABM=．38．（2019?大庆）如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点（不与O，B重合），作EC⊥OB，交⊙O于点C，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB．（1）求证：AC平分∠FAB；（2）求证：BC2=CE?CP；（3）当AB=4且=时，求劣弧的长度．【分析】（1）根据等角的余角相等证明即可；（2）只要证明△CBE∽△CPB，可得=解决问题；（3）作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，利用相似三角形的性质求出BM，求出tan∠BCM的值即可解决问题；【解答】（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠BCP+∠ACF=90°，∠ACE+∠BCE=90°，∵∠BCP=∠BCE，∴∠ACF=∠ACE，即AC平分∠FAB．（2）证明：∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵PF是⊙O的切线，CE⊥AB，∴∠OCP=∠CEB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，∠BCE+∠OBC=90°，∴∠BCE=∠BCP，∵CD是直径，∴∠CBD=∠CBP=90°，∴△CBE∽△CPB，∴=，∴BC2=CE?CP；（3）解：作BM⊥PF于M．则CE=CM=CF，设CE=CM=CF=3a，PC=4a，PM=a，∵∠MCB+∠P=90°，∠P+∠PBM=90°，∴∠MCB=∠PBM，∵CD是直径，BM⊥PC，∴∠CMB=∠BMP=90°，∴△BMC∽△PMB，∴=，∴BM2=CM?PM=3a2，∴BM=a，∴tan∠BCM==，∴∠BCM=30°，∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°，∠BOD=120°∴的长==π．39．（2019?江西）如图，在△ABC中，AB=8，BC=4，CA=6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC 于点E，求AE的长．【分析】根据角平分线定义和平行线的性质求出∠D=∠CBD，求出BC=CD=4，证△AEB∽△CED，得出比例式，求出AE=2CE，即可得出答案．【解答】解：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD，∵AB∥CD，∴∠D=∠ABD，∴∠D=∠CBD，∴BC=CD，∵BC=4，∴CD=4，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴=，∴=，∴AE=2CE，∵AC=6=AE+CE，∴AE=4．40．（2019?上海）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如课=．求证：EF=EP．【分析】（1）利用正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，根据等角的余角相等得到∠1=∠3，则可判断△ABE≌△DAF，则BE=AF，然后利用等线段代换可得到结论；（2）利用=和AF=BE得到=，则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA，所以∠4=∠3，再证明∠4=∠5，然后根据等腰三角形的性质可判断EF=EP．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．41．（2019?东营）如图，CD是⊙O的切线，点C在直径AB的延长线上．（1）求证：∠CAD=∠BDC；（2）若BD=AD，AC=3，求CD的长．【分析】（1）连接OD，由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于180°，利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合BD=AD、AC=3，即可求出CD的长．【解答】（1）证明：连接OD，如图所示．∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB．∵CD是⊙O的切线，OD是⊙O的半径，∴∠ODB+∠BDC=90°．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠OBD+∠CAD=90°，∴∠CAD=∠BDC．（2）解：∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，∴△CDB∽△CAD，∴=．∵BD=AD，∴=，∴=，又∵AC=3，∴CD=2．42．（2019?南京）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明△AFG∽△DFC，只要证明∠FAG=∠FDC，∠AGF=∠FCD；（2）首先证明CG是直径，求出CG即可解决问题；【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．43．（2019?滨州）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：（1）直线DC是⊙O的切线；（2）AC2=2AD?AO．【分析】（1）连接OC，由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC，据此知OC∥AD，根据AD⊥DC 即可得证；（2）连接BC，证△DAC∽△CAB即可得．【解答】解：（1）如图，连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠DAB，∴∠OAC=∠DAC，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD，又∵AD⊥CD，∴OC⊥DC，∴DC是⊙O的切线；（2）连接BC，∵AB为⊙O的直径，∴AB=2AO，∠ACB=90°，∵AD⊥DC，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠DAC=∠CAB，∴△DAC∽△CAB，∴=，即AC2=AB?AD，∵AB=2AO，∴AC2=2AD?AO．44．（2019?十堰）如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．（1）求证：FG是⊙O的切线；（2）若tanC=2，求的值．【分析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG；（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得===，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题；【解答】（1）证明：连接AD、OD．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，∵AC=AB，∴CD=BD，∵OA=OB，∴OD∥AC，∵DF⊥AC，∴OD⊥DF，∴FG是⊙O的切线．（2）解：∵tanC==2，BD=CD，∴BD：AD=1：2，∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠GDB=∠GAD，∵∠G=∠G，∴△GDB∽△GAD，设BG=a．∴===，∴DG=2a，AG=4a，∴BG：GA=1：4．45．（2019?杭州）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△BDE∽△CAD．（2）若AB=13，BC=10，求线段DE的长．【分析】（1）想办法证明∠B=∠C，∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题；（2）利用面积法：?AD?BD=?AB?DE求解即可；【解答】解：（1）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠B=∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB=∠ADC，∴△BDE∽△CAD．（2）∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，在Rt△ADB中，AD===12，∵?AD?BD=?AB?DE，∴DE=．46．（2019?烟台）如图，已知D，E分别为△ABC的边AB，BC上两点，点A，C，E在⊙D上，点B，D 在⊙E上．F为上一点，连接FE并延长交AC的延长线于点N，交AB于点M．（1）若∠EBD为α，请将∠CAD用含α的代数式表示；（2）若EM=MB，请说明当∠CAD为多少度时，直线EF为⊙D的切线；（3）在（2）的条件下，若AD=，求的值．【分析】（1）根据同圆的半径相等和等边对等角得：∠EDB=∠EBD=α，∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，再根据三角形内角和定理可得结论；（2）设∠MBE=x，同理得：∠EMB=∠MBE=x，根据切线的性质知：∠DEF=90°，所以∠CED+∠MEB=90°，同理根据三角形内角和定理可得∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；根据（1）的结论计算∠MBE=30°，证明△CDE是等边三角形，得CD=CE=DE=EF=AD=，求EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，根据三角形内角和及等腰三角形的判定得：EN=CE=，代入化简可得结论．【解答】解：（1）连接CD、DE，⊙E中，∵ED=EB，∴∠EDB=∠EBD=α，∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α，⊙D中，∵DC=DE=AD，∴∠CAD=∠ACD，∠DCE=∠DEC=2α，△ACB中，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴∠CAD==；（2）设∠MBE=x，∵EM=MB，∴∠EMB=∠MBE=x，当EF为⊙D的切线时，∠DEF=90°，∴∠CED+∠MEB=90°，∴∠CED=∠DCE=90°﹣x，△ACB中，同理得，∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°，∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴，∴∠CAD=45°；（3）由（2）得：∠CAD=45°；由（1）得：∠CAD=；∴∠MBE=30°，∴∠CED=2∠MBE=60°，∵CD=DE，∴△CDE是等边三角形，∴CD=CE=DE=EF=AD=，Rt△DEM中，∠EDM=30°，DE=，∴EM=1，MF=EF﹣EM=﹣1，△ACB中，∠NCB=45°+30°=75°，△CNE中，∠CEN=∠BEF=30°，∴∠CNE=75°，∴∠CNE=∠NCB=75°，∴EN=CE=，∴===2+．47．（2019?陕西）周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D，竖起标杆DE，使得点E与点C、A共线．已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC=1m，DE=1.5m，BD=8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，求河宽AB．【分析】由BC∥DE，可得=，构建方程即可解决问题．【解答】解：∵BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴=，∴=，∴AB=17（m），经检验：AB=17是分式方程的解，答：河宽AB的长为17米．48．（2019?济宁）如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH ⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【分析】（1）结论：CF=2DG．只要证明△DEG∽△CDF即可；（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK；【解答】解：（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴==，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小．值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK由题意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，∴EH=2DH=2，∴HM==2，∴DM=CN=NK==1，在Rt△DCK中，DK===2，∴△PCD的周长的最小值为10+2．49．（2019?聊城）如图，正方形ABCD中，E是BC上的一点，连接AE，过B点作BH⊥AE，垂足为点H，延长BH交CD于点F，连接AF．（1）求证：AE=BF．（2）若正方形边长是5，BE=2，求AF的长．【分析】（1）根据ASA证明△ABE≌△BCF，可得结论；（2）根据（1）得：△ABE≌△BCF，则CF=BE=2，最后利用勾股定理可得AF的长．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABE=∠BCF=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∵BH⊥AE，∴∠BHE=90°，∴∠AEB+∠EBH=90°，∴∠BAE=∠EBH，在△ABE和△BCF中，41，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE=BF；（2）解：∵AB=BC=5，由（1）得：△ABE≌△BCF，∴CF=BE=2，∴DF=5﹣2=3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD=5，∠ADF=90°，由勾股定理得：AF====．50．（2019?乌鲁木齐）如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．（1）求证：直线BC是⊙O的切线；（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．【分析】（1）根据角平分线的定义和同圆的半径相等可得OD∥AC，证明OD⊥CB，可得结论；（2）在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，证明△ACD∽△ADE，表示a=，由平行线分线段成比例定理得：，代入可得结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵AG是∠HAF的平分线，∴∠CAD=∠BAD，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠ODA，∴OD∥AC，42∵∠ACD=90°，∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，∵D在⊙O上，∴直线BC是⊙O的切线；（4分）（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，连接DE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°，由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，∴△ACD∽△ADE，∴，即，∴a=，由（1）知：OD∥AC，∴，即，∵a=，解得BD=r．（10分）43。

中考复习11——因动点产生的相似三角形

因动点产生的相似三角形1、抛物线经过点A （4，0）、B （1，0）、C （0，－2）。

（1）求此抛物线的解析式（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

（3）在直线AC 上方的抛物线上有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标。

2、已知点A （－2，4）和点B （1，0）都在抛物线22y mx mx n =++上。

（1）求m 、n（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ’,点B 的对应点为B ’，若四边形AA ’B ’B 为菱形，求平移后抛物线的表达式。

（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ’的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ’、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似。

3、如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++>交x 轴于A 、B 两点（A 点在B 点左侧），交y 轴于点C 。

已知B （8，0），tan ∠ABC ＝12，△ABC 的面积为8. （1）求抛物线的解析式（2）若动直线EF （EF ∥x 轴）从点C 开始，以每秒1个长度单位的速度沿y 轴负方向平移，且分别交y 轴、线段BC 于E 、F 两点，动点P 同时从点B 出发，在线段OB 上以每秒2个单位的速度向原点O 运动。

连结FP ，设运动时间t 秒。

当t 为何值时，EF OPEF OP+ 的值最大，求出最大值。

（3）在满足（2）的条件下，是否存在t 的值，使以P 、B 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似。

若存在，试求出t 的值；若不存在，请说明理由。

4、已知在△ABC 中，∠A ＝45°，AB ＝7，tanB ＝43，动点P 、D 分别在射线AB 、AC 上，且∠DPA ＝∠ACB ，设AP ＝x ，△PCD 的面积为y 。

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】(含答案)

2019年中考数学试卷重难题专题【相似三角形】（含答案）知识点睛借助相似整合信息的通常思路：利用相似时，往往可以将_______________等信息组合搭配在一起进行研究，并能实现三类信息之间的转化，进而达到整合信息、解决问题的目的．为了借助相似实现_______________等条件的综合应用，往往会通过___________或作_________的方式来构造相似模型．构造相似模型是我们整合多个比例信息时常用的一种手段．一、单选题1．（2018·浙江初三期中）如图，在中，是线段上的点，且，是线段ABC D AB :1:2AD BD F 上的点，，．小亮同学随机在内部区域投针，则针扎到（阴影）BC DE BC FE BA ABC DEF 区域内的概率是（）A ．B ．C ．D ．1329518492．（2018·四川中考真题）如图，E ，F 是平行四边形ABCD 对角线AC 上两点，AE=CF=AC ．连接14DE ，DF 并延长，分别交AB ，BC 于点G ，H ，连接GH ，则的值为（）S △ADGS △BGHA ．B ．C ．D ．11223343．（2019·湖北沙市中学初二期末）彼此相似的矩形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…，按如图所示的方式放置．点A 1，A 2，A 3，…，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y=kx+b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1、B 2的坐标分别为（1，2），（3，4），则Bn的坐标是（）A ．（2n ﹣1，2n ）B ．（2n ﹣，2n ）12C ．（2n﹣1﹣，2n﹣1）D ．（2n﹣1﹣1，2n﹣1）124．（2014·浙江初三期末）如图，矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，AH 与BE 、BF 、DF 、DG 、CG 分别交于点P 、Q 、K 、M 、N ．设△BPQ ，△DKM ，△CNH 的面积依次为S 1，S 2，S 3．若S 1+S 3＝20，则S 2的值为（）A ．6B ．8C ．10 D ．125．（2018·全国初一单元测试）如图，是三个正方形拼成的一个长方形，则∠1+∠2+∠3=（）A ．60°B ．75°C ．90°D ．105°6．（2018·广东中考模拟）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=8，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作OE 垂直AC 交AD 于点E ，则DE 的长是（）A ．5B ．C ．D ．32741547．（2018·广西中考真题）如图，在平面直角坐标系中，M 、N 、C 三点的坐标分别为（，1），（3，1），12（3，0），点A 为线段MN 上的一个动点，连接AC ，过点A 作交y 轴于点B ，当点A 从M 运动AB ⊥AC 到N 时，点B 随之运动，设点B 的坐标为（0，b ），则b 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．−14≤b ≤1−54≤b ≤1−94≤b ≤12−94≤b ≤18．（2018·江西初三期末）如图，△ABC 是一块锐角三角形材料，高线AH 长8 cm ，底边BC 长10 cm ，要把它加工成一个矩形零件，使矩形DEFG 的一边EF 在BC 上，其余两个顶点D ，G 分别在AB ，AC 上，则四边形DEFG 的最大面积为( )A ．40 cm 2B ．20 cm 2C ．25 cm 2D ．10 cm 29．（2017·江阴初级中学初三期中）如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB ＝1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF 的值为（）A ．B ．C ．D ． 4535566710．（2017·安徽初三期中）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在边BC ，DC 上，AE 、AF 分别交BD于点M 、N ，连接CN 、EN ，且CN =EN ．下列结论：①AN =EN ，AN ⊥EN ；②BE+DF=EF ；③∠DFE =2∠AMN ；④；④图中有4对相似三角EF 2=2BM 2+2DN 2形．其中正确结论个数是（）A ．5B ．4C ．3D ．211．（2018·全国初三期末）如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 边的中点，BE ⊥AC ，垂足为点F ，连接DF ，下列结论：①△AEF ∽△CAB ；②CF=2AF ；③tan ∠CAD=．其中正确的结论有（）2A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个12．（2017·安徽中考模拟）如图，沿对角线AC 折叠正方形ABCD ，使得B 、D 重合，再折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，测得折痕AF 的长为3，则C 到AF 的距离CG 为：A ．B ．C ．D ．32235−113．（2019·全国初二单元测试）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝3，AC ＝4，点P 为BC 上任意一点，连接PA，以PA ，PC 为邻边作平行四边形PAQC ，连接PQ ，则PQ 的最小值为（）A ．B ．C ．D ．2651255314．（2019·广东中考模拟）如图，将边长为3的正方形纸片ABCD 对折，使AB 与DC 重合，折痕为EF ，展平后，再将点B 折到边CD 上，使边AB 经过点E ，折痕为GH，点B 的对应点为M ，点A 的对应点为N ，那么折痕GH 的长为（）AB ．C ．D1037215．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于G ，E 为AD 的中点，连接BE 交AC 于F ，连接FD ，若∠BFA=90°，则下列四对三角形：①△BEA 与△ACD ；②△FED 与△DEB ；③△CFD 与△ABG ；④△ADF 与△EFD ，其中相似的为（）A．①④B．①②C．②③④D．①②③④二、填空题16．（2018·天津中考模拟）如图．在直角坐标系中，矩形ABCO的边OA在x轴上，边OC在y轴上，点B的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC翻折，B点落在D点的位置，且AD交y轴于点E．那么点D 的坐标为______．17．（2018·山东中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，点E、F分别在BC、CD上，若AE=5，∠EAF=45°，则AF的长为_____．218．（2018·湖北中考真题）如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，2连接AP交BC于点E．若BE=，则AP的长为_____．19．（2017·湖北中考模拟）赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x轴和y轴，大正方形的顶点B1、C1、C2、C3、…、C n在直线y=- x+ 上，顶点D1、D2、D3、…、D n在x轴上，则第n个阴影小1 27 2正方形的面积为________．20．（2017·全国初三课时练习）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，2)．延长CB交x轴于点A1，作第1个正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作第2个正方形A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第2016个正方形的面积是______．21．（2018·安徽中考真题）矩形ABCD中，AB=6，BC=8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为数___________.22．（2018·江苏中考真题）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，P、Q分别为边BC、AB上的两个动点，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ =________．23．（2018·贵州中考模拟）如图，在△ABC 中，BC=8，高AD=6，矩形EFGH 的一边EF 在边BC 上，其余两个顶点G 、H 分别在边AC 、AB 上，则矩形EFGH 的面积最大值为_____．24．（2017·湖北中考真题）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别在AC ，BC 上，且∠CDE ＝∠B ，将△CDE 沿DE 折叠，点C 恰好落在AB 边上的点F 处，连接CF .若AC ＝8，AB ＝10，则CD 的长为__25．（2018·乌拉特前旗第六中学中考模拟）如图,点P 是矩形ABCD 内一点,连接PA 、PB 、PC 、PD,已知AB=3,BC=4,设△PAB, △PBC, △PCD, △PDA,的面积分别为,,, ,以下判断: ① PA+PB+PC+PD 的最小S 1S 2S 3S 4值为10;②若△PAB ≌△PCD,则△PAD ≌△PBC ;③若=,则=；④若△PAB ∽△PDA,则PA=2.4.其中正S 1S 2S 3S 4确的是_____________(把所有正确的结论的序号都填在横线上)26．（2018·广西中考真题）如图，点 C 为 Rt △ACB 与 Rt △DCE 的公共点，∠ACB=∠DCE=90°，连接 AD 、BE ，过点 C 作 CF ⊥AD 于点 F ，延长 FC 交 BE 于点 G ．若 AC=BC=25，CE=15， DC=20，则的值为___________．EG BG参考答案1．B【解析】解：∵，，∴，．DE BC 12AD BD =ADE ABC ∽13AD AE DE AB AC BC ===又∵，∴，∴，．FE BA CFE CBA ∽23CE CF CA CB ==21CF BF =设的面积，则，∴梯形面积．ADE ADE S S = 9ABC S S = DECB 8DECB S S =梯∵，∴，∴．DE BC 1112EDBF EFC S BF S FC == 平行四边形4EFC EDBF S S S == 平行四边形在平行四边形中，，∴．故BDEF 122BOF DEF BDEF S S S === 平行四边形29DEF ABC S S = 选．B 点睛：此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．2．C【解析】分析：首先证明AG ：AB=CH ：BC=1：3，推出GH ∥AC ，推出△BGH ∽△BAC ，可得,，由此即可解决问题．S △ADCS △BGH =S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94S △ADG S △ADC =13详解：∵四边形ABCD 是平行四边形∴AD=BC ，DC=AB ，∵AC=CA ，∴△ADC ≌△CBA ，∴S △ADC =S △ABC ，∵AE=CF=AC ，AG ∥CD ，CH ∥AD ，14∴AG ：DC=AE ：CE=1：3，CH ：AD=CF ：AF=1：3，∴AG ：AB=CH ：BC=1：3，∴GH ∥AC ，∴△BGH ∽△BAC ，∴，S △ADCS △BGH=S △BAC S △BGH =（BA BG ）2=（32）2=94∵，S △ADG S △ADC =13∴.S △ADG S △BGH =94×13=34故选：C ．点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．3．A【解析】【分析】根据矩形的性质求出点的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求出，12A A 、k b 、从而得到一次函数解析式，再根据一次函数图像上点的坐标特征求出的坐标，然后求出3A 的坐标，...，最后根据点的坐标特征的变化规律写出的坐标即可.3B n B 【详解】，()11,2B 相似矩形的长是宽的倍，∴2点的坐标分别为， 12B B 、()()1,23,4，，∴()()120,21,4A A ，点在直线上，12A A 、y kx b =+，∴24b k b =⎧⎨+=⎩解得，22k b =⎧⎨=⎩，∴22y x =+点在直线上，3A 22y x =+，∴2328y =⨯+=点的坐标为，∴3A ()3,8点的横坐标为，∴3B 13872+⨯=点，∴()37,8B …,的坐标为.n B ()21,2n n -故选：.A 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，一次函数图象上点的坐标特征，根据点的系列坐标判断A 出相应矩形的长，再求出宽，然后得到点的系列坐标的变化规律是解题的关键.B 4．B【解析】试题分析：∵矩形AEHC 是由三个全等矩形拼成的，∴AB=BD=CD ，AE ∥BF ∥DG ∥CH ，∴四边形BEFD ，四边形DFGC 是平行四边形，∠BQP=∠DMK=∠CHN ，∴BE ∥DF ∥CG∴∠BPQ=∠DKM=∠CNH ，∵△ABQ ∽△ADM ，△ABQ ∽△ACH ，∴，，AB AD =BQ MD =12BQ CH =AB AC =13∴△BPQ ∽△DKM ∽△CNH∴，BQ MD=12BQ CH =13∴S 1S 2=14，S 1S 3=19∴S 2=4S 1，S 3=9S 1，∵S 1+S 3=20，∴S 1=2，∴S 2=8．故选B ．考点：1.矩形的性质，2.三角形的面积，3.相似三角形的判定与性质．5．C【解析】【分析】容易看出∠3=45°,关键求出∠2与∠1的和是45°，根据证AI CI =IJ IA ∆AIJ~∆CIA,得∠2=∠CAI,再由∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°可推出结果.【详解】如图设三个小正方形的边长为1个单位．在正方形ABCD 中∠3=45°，则∠AIC=135°，且∠1=∠CAD ．∵∠AIJ=∠CIA ，,AI CI =22,IJ IA =22即，AI CI =IJ IA 所以∆AIJ~∆CIA,所以∠2=∠CAI,又∠1=∠CAD ，则∠1+∠2=∠CAI+∠CAD =45°，∴∠1+∠2+∠3=90°．故正确选项为：C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．也考查了勾股定理以及正方形的性质．6．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC 的长，然后证明△AEO ∽△ACD ，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=AC=5，12∵EO ⊥AC ，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD ，∴△AEO ∽△ACD ，∴，AE AC=AO AD 即，AE 10=58解得，AE=，254∴DE=8﹣=，25474故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．7．A【解析】分析：分两种情形：当A 与点N 、M 重合时来确定b 的最大与最小值即可.详解：如图1，当点A 与点N 重合时，CA ⊥AB ，∴MN 是直线AB 的一部分，∵N （3，1）∴OB=1，此时b=1；当点A 与点M 重合时，如图2，延长NM 交y 轴于点D ，易证△MCN ∽△BMD∴BD MN =DM NC ∵MN=3-=,DM=，CN=1125212∴BD=DM·MN CN =54∴OB=BD-OD=-1=,即b=-，541414∴b 的取值范围是.-14≤b ≤1故选A.点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..8．B【解析】【分析】设矩形DEFG 的宽DE=x ，根据相似三角形对应高的比等于相似比列式求出DG ，再根据矩形的面积列式整理，然后根据二次函数的最值问题解答即可．【详解】如图所示：设矩形DEFG 的宽DE=x ，则AM=AH-HM=8-x ，∵矩形的对边DG ∥EF ，∴△ADG ∽△ABC ，∴，AM AH =DG BC即，8−x 8=DG 10解得DG=（8-x ），54四边形DEFG 的面积=（8-x ）x=-（x 2-8x+16）+20=-（x-4）2+20，545454所以，当x=4，即DE=4时，四边形DEFG 最大面积为20cm 2．故选：B ．【点睛】考查了相似三角形的应用，二次函数的最值问题，根据相似三角形的对应高的比等于相似比用矩形DEFG 的宽表示出长是解题的关键．9．A【解析】解：由折叠的性质可得，∠EDF =∠C =60º，CE =DE ，CF =DF ．∵∠BDF +∠ADE =∠BDF +∠BFD =120º，∴∠ADE =∠BFD ，又∵∠A =∠B =60º，∴△AED ∽△BDF ，∴ ，设DE AD AE DF BF BD==AD =a ，BD =2a ，AB =BC =CA =3a ，再设CE ==DE =x ，CF ==DF =y ，则AE =3a -x ，BF =3a -y ，所以，整理可得ay =3ax -xy ，2ax =3ay -xy ，即xy =3ax -ay ①，xy =3ay -332x a a x y a y a-==-2ax ②；把①代入②可得3ax -ay =3ay -2ax ，所以5ax =4ay ，，即，4455x a y a ==45CE CF =故选A ．点睛：主要考查了翻折变换的性质及其应用问题；解题的关键是借助相似三角形的性质分别求出CE 、CF 的长度（用含有k 的代数式表示）；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．10．B【解析】【详解】将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADH ,因为四边形ABCD 是正方形,所以AB =BC =AD , ∠BAD ＝∠ABC =90°,∠ABD ＝∠CBD =45°,在△BNA 和△BNC 中,,{BN =BN∠NBA ＝∠BA =BC NBC所以△BNA ≌△BNC ,所以AN =CN ,∠NEC =∠NCE =∠BAN ,因为∠NEC +∠BEN =180°,所以∠BAN +∠BEN =180°,所以∠ABC +∠ANE =180°,所以∠ANE =90°,所以AN =NE ,AN ⊥NE ,故①正确,因为∠3=45°, ∠1=∠4,所以∠2+∠4=∠2+∠1=45°,所以∠3=∠FAH =45°,因为AF =AF ,AE =AH ,所以△AFE ≌△AFH ,所以EF =FH =DF +DH =DF +BE , ∠AFH =∠AFE ,故②正确,因为∠MAN =∠NDF =45°, ∠ANM =∠NDF ,所以∠AMN =∠AFD ,又因为∠AFE =∠AFD , ∠DFE=∠AFE +∠AFD所以∠DFE =2∠AMN ,故③正确,因为∠MAN =∠EAF , ∠AMN =∠AFE ,所以△AMN ∽△AFE ,所以,NMEF =AN AE =12所以MN ,EF =2如图2中,将△ABN 绕点A 逆时针旋转90°,得到△ADG ,易证△ANG ≌△ANM , △GDN 是直角三角形,所以MN =GN ,所以,MN 2=DN 2+DG 2=DN 2+BM 2所以,故④正确,EF 2=2DN 2+2BM 2图中相似三角形有△ANE ∽△BAD ∽△BCD , △ANM ∽△AEF , △ABN ∽△FDN ,△BEM ∽△DAM 等,故⑤错误,故选B.11．B【解析】【分析】①正确．只要证明∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°即可；②正确．由AD ∥BC ，推出△AEF ∽△CBF ，推出，由AE=AD=BC ，推出=，即AE BC =AF CF 1212AF CF 12CF=2AF ；④错误，设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，可得ba =2ab 2tan ∠CAD==即可得.CD AD b 2a 【详解】如图，过D 作DM ∥BE 交AC 于N ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∠ABC=90°，AD=BC ，∵BE ⊥AC 于点F ，∴∠EAC=∠ACB ，∠ABC=∠AFE=90°，∴△AEF ∽△CAB ，故①正确；∵AD ∥BC ，∴△AEF ∽△CBF ，∴，AE BC =AF CF ∵AE=AD=BC ，1212∴=，AF CF 12∴CF=2AF ，故②正确；设AE=a ，AB=b ，则AD=2a ，由△BAE ∽△ADC ，有，即b=a ，b a =2a b 2∴tan ∠CAD===，故③错误，CD AD b 2a 22所以正确的有2个，故选B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质以及解直角三角形的综合应用，正确的作出辅助线构造平行四边形是解题的关键．解题时注意：相似三角形的对应边成比例．12．A【解析】试题分析：设正方形ABCD 的边长=a ，根据勾股定理得到AC =a ，根据折叠的性质得到2AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，根据等腰直角三角形的性质得到EF =CE =a –a ，根据勾股定2理得到a =AC =，EF =（–1）×32+22322+22232+22到结论．试题解析：设正方形ABCD 的边长=a ，则AC =a ，2∵折叠△ACD ，点D 恰好落在AC 上的点E 处，∴AE =AD =a ，∠AEF =∠D =90°，∴CE =a –a ，2∵∠ECF =45°，∴EF =CE =a –a ，2∵AF 2=AE 2+EF 2，∴32=a 2+（a –a ）2，∴a =232+22∴AC =，EF =（ –1）×，322+22232+22∵∠EAF =∠CAG ∠AEF =∠G =90°，∴△AEF ∽△AGC ，∴，∴CG =．ACAF =CG EF 32故选A ．13．B【解析】【分析】记AC 与PQ 的交点为O ，由平行四边形的性质可知O 是AC 中点，PQ 最短也就是PO 最短；过O 作BC 的垂线P′O ，则PO 最短为P′O ；接下来可证明△P′OC 和△ABC 相似，进而利用相似三角形的性质即可求出PQ 的最小值．【详解】解：记AC 与PQ 的交点为O.∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴=5.∵四边形APCQ 是平行四边形，∴PO=QO ，CO=AO ，∴PQ 最短也就是PO 最短.过O 作BC 的垂线OP′.∵∠ACB=∠P′CO ，∠CP′O=∠CAB=90°，∴△CAB ∽△CP′O ，∴，'CO OP BCAB ∴OP′=，65∴则PQ 的最小值为2OP′=，125故答案为：．125【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形.14．A【解析】【分析】利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH 的长，得出△EDM ∽△MCH ，进而求出MC 的长，依据△GPH ≌△BCM ，可得GH=BM ，再利用勾股定理得出BM ，即可得到GH 的长．【详解】设CM ＝x ，设HC ＝y ，则BH ＝HM ＝3﹣y ，故y 2+x 2＝（3﹣y ）2，整理得：y ＝，21362x -+即CH ＝，21362x -+∵四边形ABCD 为正方形，∴∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，由题意可得：ED ＝1.5，DM ＝3﹣x ，∠EMH ＝∠B ＝90°，故∠HMC +∠EMD ＝90°，∵∠HMC +∠MHC ＝90°，∴∠EMD ＝∠MHC ，∴△EDM ∽△MCH ，∴ ，ED DM MC CH =即，21.531362x x x -=-+解得：x 1＝1，x 2＝3（不合题意），∴CM ＝1，如图，连接BM ，过点G 作GP ⊥BC ，垂足为P ，则BM ⊥GH ，∴∠PGH ＝∠HBM ，在△GPH 和△B CM 中，HGP CBM GP BC GPH C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△GPH ≌△BCM （SAS ），∴GH ＝BM ，∴GH ＝BM．=故选：A ．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及正方形的性质、相似三角形的判定与性质和勾股定理的综合运用，作辅助线构造全等三角形，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．15．D【解析】【分析】根据判定三角形相似的条件对选项逐一进行判断.【详解】①根据题意得：，∠BAE =∠ADC =∠AFE =90°，∴∠AEF +∠EAF =90°,∠DAC +∠ACD =90°，∴∠AEF =∠ACD ①中两三角形相似；∴②，∵∠AEB =∠FEA,∠AFE =∠EAB =90°，∴△AFE ∽△BAE ，∴AE EF =EB AE 又，∵AE =ED ，∴ED EF =EB ED 而，∠BED =∠BED ，∴△FED ∽△DEB 故②正确；③，∵AB‖CD ，∴∠BAC =∠GCD ，且，∵∠ABE =∠DAF,∠EBD =∠EDF ∠ABG =∠ABE +∠EBD ，∴∠ABG =∠DAF +∠EDF =∠DFC ，∵∠ABG =∠DFC,∠BAG =∠DCF ，∴△CFD ∽△ABG 故③正确；④，∵△FED ∽△DEB ，∴∠EFD =∠EDB，∵AG =DG ，∴∠DAF =∠ADG ，∴∠DAF =∠EFD ，∴△ADF ∽△EFD 故④正确；故选：.D 【点睛】此题考查了相似三角形的判定：（1）有两个对应角相等的三角形相似；（2）有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；（3）三组对应边的比相等，则两个三角形相似.16．（﹣，）45125【解析】【分析】首先过D 作DF ⊥AF 于F ，根据折叠可以证明△CDE ≌△AOE ，然后利用全等三角形的性质得到OE=DE ，OA=CD=1，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，利用勾股定理即可求出OE 的长度，而利用已知条件可以证明△AEO ∽△ADF ，而AD=AB=3，接着利用相似三角形的性质即可求出DF 、AF 的长度，也就求出了D 的坐标．【详解】解：如图，过D 作DF ⊥AO 于F ，∵点B 的坐标为（1，3），∴BC=AO=1，AB=OC=3，根据折叠可知：CD=BC=OA=1，∠CDE=∠B=∠AOE=90°，AD=AB=3，在△CDE 和△AOE 中，，{∠CDE =∠AOE∠CED =∠AEOCD =AO ∴△CDE ≌△AOE ，∴OE=DE ，OA=CD=1，AE=CE ，设OE=x ，那么CE=3﹣x ，DE=x ，∴在Rt △DCE 中，CE 2=DE 2+CD 2，∴（3﹣x ）2=x 2+12，∴x=，43∴OE=，AE=CE=OC﹣OE=3﹣=，434353又∵DF ⊥AF ，∴DF ∥EO ，∴△AEO ∽△ADF ，∴AE ：AD=EO ：DF=AO ：AF ，即：3=：DF=1：AF ，5343∴DF=，AF=，12595∴OF=﹣1= ，9545∴D 的坐标为：（﹣，）．45125故答案为：（﹣，）．45125【点睛】此题主要考查了图形的折叠问题、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质．解题的关键是把握折叠的隐含条件，利用隐含条件得到全等三角形和相似三角形，然后利用它们的性质即可解决问题．17．4103【解析】分析：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，则NF=x ，再利用矩形的性质和已知条件证明△AME ∽△FNA ，利用相似三角形的性质：对2应边的比值相等可求出x 的值，在直角三角形ADF 中利用勾股定理即可求出AF 的长．详解：取AB 的中点M ，连接ME ，在AD 上截取ND=DF ，设DF=DN=x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠BAD=∠B=90°，AD=BC=4，∴NF=x ，AN=4﹣x ，2∵AB=2，∴AM=BM=1，∵AE=，AB=2，5∴BE=1，∴ME=，BM 2+BE 2=2∵∠EAF=45°，∴∠MAE+∠NAF=45°，∵∠MAE+∠AEM=45°，∴∠MEA=∠NAF ，∴△AME ∽△FNA ，∴，AMFN=MEAN∴，12x =24-x 解得：x=43∴AF=AD 2+DF 2=4103故答案为：4103点睛：本题考查了矩形的性质、相似三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，正确添加辅助线构造相似三角形是解题的关键，18．1632【解析】【分析】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，构建方程组求出a 、b 值即可解决问题.2【详解】设AB=a ，AD=b ，则ab=32，2由∽可得：，△ABE △DAB BEAB=ABAD∴，b =22a 2∴，a 3=64∴，，a =4b =82设PA 交BD 于O ，在中，，Rt △ABD BD =AB 2+AD 2=12∴OP =OA =AB ⋅AD BD=823∴，AP =1632故答案为：．1632【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和应用相关的性质定理是解题的关键.19．2223n -⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】由已知可得△ A 1B 1M ≌△DA 1N 1，∴B 1M=A 1N ，A 1M=D 1N ，又A 1D 1//B 1C 1，∴OA 1：OE=OD 1：OF ，由直线y=﹣可得E （0，），1722x +72F （7，0）,∴OD 1=2OA 1，由矩形OA 1ND 1，得A 1N =2D 1N ，∴可设B 1（b,3b ），代入y=﹣得b=1,∴A 1N=2，A 1M=1，∴S 1=1；1722x +由b=1,可得C 1（3，2），同理可知S 2=( )2= ；212-233⨯⨯223⎛⎫ ⎪⎝⎭同理可知C 2（，），S 3=( )2== ；133434241-3333⨯⨯249⎛⎫ ⎪⎝⎭423⎛⎫ ⎪⎝⎭……∴S n = .2n-223⎛⎫⎪⎝⎭点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，一次函数、图形的变化规律等，能正确地识图是解题的关键.20．5×（）4030【解析】解：如图，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC ，∴∠ABA1=90°，∠DAO+∠BAA 1=180°﹣90°=90°，∵∠AOD=90°，∴∠ADO+∠DAO=90°，∴∠ADO=∠BAA 1，在△AOD 和A1BA 中11AOD ABA ADO BAA ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩∴△AOD ∽△A 1BA ，∴，∴BC=2A 1B.121OD AB AO A B ==∴A 1C=BC ，则A 2C 1=A 1C ，A 3C 2=A 2C 1，323232即后一个正方形的边长是前一个正方形的边长的倍.32∴第2016个正方形的边长为BC.201532⎛⎫ ⎪⎝⎭∵A 的坐标为（1，0），D 点坐标为（0，2），∴.=∴第2011个正方形的面积为.22015403033522BC ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故答案为.4030352⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭21．3或1.2【解析】【分析】由△PBE ∽△DBC ，可得∠PBE=∠DBC ，继而可确定点P 在BD 上，然后再根据△APD 是等腰三角形，分DP=DA 、AP=DP 两种情况进行讨论即可得.【详解】∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠C=90°，CD=AB=6，∴BD=10，∵△PBE ∽△DBC ，∴∠PBE=∠DBC ，∴点P 在BD 上，如图1，当DP=DA=8时，BP=2，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=2：10，∴PE ：6=2：10，∴PE=1.2；如图2，当AP=DP 时，此时P 为BD 中点，∵△PBE ∽△DBC ，∴PE ：CD=PB ：DB=1：2，∴PE ：6=1：2，∴PE=3；综上，PE 的长为1.2或3，故答案为：1.2或3.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质等，确定出点P 在线段BD 上是解题的关键.22．或154307【解析】分析：分两种情形分别求解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时；详解：①如图1中，当AQ=PQ ，∠QPB=90°时，设AQ=PQ=x ，∵PQ ∥AC ，∴△BPQ ∽△BCA ，∴，BQBA=PQAC ∴，10−x 10=x6∴x=，154∴AQ=．154②当AQ=PQ ，∠PQB=90°时，如图2，设AQ=PQ=y ．∵△BQP ∽△BCA ，∴，PQAC=BQBC ∴，y 6=10−y 8∴y=．307综上所述，满足条件的AQ 的值为或．154307点睛：本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题．23．12【解析】【分析】设HG =x ，根据相似三角形的性质用x 表示出KD ，根据矩形面积公式列出二次函数解析式，根据二次函数的性质计算即可．【详解】设HG =x ．∵四边形EFGH 是矩形，∴HG ∥BC ，∴△AHG ∽△ABC ，∴=，即=，解得：HG BC AKAD x 86-KD6KD =6﹣x ，则矩形EFGH 的面积=x （6﹣x ）=﹣x 2+6x =（x ﹣4）2+12，则矩形EFGH 的343434﹣34面积最大值为12．故答案为：12．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、二次函数的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．24．238【解析】分析：由对称性可知CF ⊥DE ，可得∠CDE=∠ECF=∠B ，得出CF=BF ，同理可得CF=AF ，由此可得F 是AB 的中点，求得CF=5，再判定△CDF ∽△CFA ，得到CF 2=CD×CA ，进而得出CD 的长．详解：由对称性可知CF ⊥DE ，又∵∠DCE=90°，∴∠CDE=∠ECF=∠B ，∴CF=BF ，同理可得CF=AF ，∴F 是AB 的中点，∴CF=AB=5，12又∵∠DFC=∠ACF=∠A ，∠DCF=∠FCA ，∴△CDF ∽△CFA ，∴CF 2=CD×CA ，即52=CD×8，∴CD=.258故答案是：.258点睛：考查了折叠问题，四点共圆以及相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是根据四点共圆以及等量代换得到F 是AB 的中点．25．①②③④【解析】分析：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA+PB+PC+PD 的值最小，根据勾股定理可得PA+PB+PC+PD 的最小值，即可判断；②根据全等三角形的性质可得PA=PC ，PB=PD ，那么P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上，即P 是矩形ABCD 两对角线的交点，易证△PAD ≌△PBC ，即可判断；③易证S 1+S 3=S 2+S 4，所以若S 1=S 2，则S 3=S 4，即可判断；④根据相似三角形的性质可得∠PAB=∠PDA ，∠PAB+∠PAD=∠PDA+∠PAD=90°，利用三角形内角和定理得出∠APD=180°-（∠PDA+∠PAD ）=90°，同理可得∠APB=90°，那么∠BPD=180°，即B 、P 、D 三点共线，根据三角形面积公式可得PA=2.4，即可判断．详解：①当点P 是矩形ABCD 两对角线的交点时，PA +PB +PC +PD 的值最小，根据勾股定理得，AC =BD =5，所以PA +PB +PC +PD 的最小值为10，故①正确；②若△PAB ≌△PCD ,则PA =PC ,PB =PD ,所以P 在线段AC 、BD 的垂直平分线上,即P 是矩形ABCD 两对角线的交点,所以△PAD ≌△PBC ，故②正确；③若=,易证+=+,则=，故③正确；S 1S 2S 1S 3S 2S 4S 3S 4④若△PAB ∼△PDA ,则∠PAB =∠PDA ,∠PAB +∠PAD =∠PDA +∠PAD =90°,∠APD =180°−(∠PDA +∠PAD )=90°,同理可得∠APB =90°,那么∠BPD =180°，B.P 、D 三点共线，P 是直角△BAD 斜边上的高，根据面积公式可得PA =2.4，故④正确.故答案为①②③④.点睛：本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的性质.26．34【解析】【分析】过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于 P ，依据△EHG ∽△BPG ，可得=，再根据EG BG EHBP △DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，即可得到 EH=CF ，BP=CF ，进而得出=．34EG BG 34【详解】如图，过 E 作 EH ⊥GF 于 H ，过 B 作 BP ⊥GF 于P ，则∠EHG=∠BPG=90°，又∵∠EGH=∠BGP ，∴△EHG ∽△BPG ，∴=，EG BG EHBP ∵CF ⊥AD ，∴∠DFC=∠AFC=90°，∴∠DFC=∠CHF ，∠AFC=∠CPB ，又∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠CDF=∠ECH ，∠FAC=∠PCB ，∴△DCF ∽△CEH ，△ACF ∽△CBP ，∴，EHCF =CE DC ,BPCF =BCCA =1本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。

2019中考数学压轴试题复习第一部分专题一因动点产生的相似三角形问题

§1．1 因动点产生的相似三角形问题课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两边表示出来，按照对应边成比例，分AB DEAC DF=和AB DFAC DE=两种情况列方程．应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等．应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）．还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好．如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减．图1例 1 2014年湖南省衡阳市中考第28题二次函数y ＝a x 2＋b x ＋c （a ≠0）的图象与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，与y 轴交于点C (0,－3m )（m ＞0），顶点为D ．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m 的代数式表示）；（2）如图1，当m ＝2时，点P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC 的面积为S ，试求出S 与点P 的横坐标x 之间的函数关系式及S 的最大值；（3）如图2，当m 取何值时，以A 、D 、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳28”，拖动点P 运动，可以体验到，当点P 运动到AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动y 轴上表示实数m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角．思路点拨1．用交点式求抛物线的解析式比较简便．2．连结OP ，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC ．3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形是否相似．4．直角三角形ACD 存在两种情况．图文解析（1）因为抛物线与x 轴交于A (－3, 0)、B (1, 0)两点，设y ＝a (x ＋3)(x －1)．代入点C (0,－3m )，得－3m ＝－3a ．解得a ＝m ．所以该二次函数的解析式为y ＝m (x ＋3)(x －1)＝mx 2＋2mx －3m ．（2）如图3，连结OP ．当m ＝2时，C (0,－6)，y ＝2x 2＋4x －6，那么P (x , 2x 2＋4x －6)．由于S △AOP ＝1()2P OA y ⨯-＝32-(2x 2＋4x －6)＝－3x 2－6x ＋9， S △COP ＝1()2P OC x ⨯-＝－3x ，S △AOC ＝9，所以S ＝S △APC ＝S △AOP ＋S △COP －S △AOC ＝－3x 2－9x ＝23273()24x -++．所以当32x =-时，S 取得最大值，最大值为274．图3 图4 图5（3）如图4，过点D 作y 轴的垂线，垂足为E ．过点A 作x 轴的垂线交DE 于F ．由y ＝m (x ＋3)(x －1)＝m (x ＋1)2－4m ，得D (－1,－4m )．在Rt △OBC 中，OB ∶OC ＝1∶3m ．如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为1∶3m ． ①如图4，当∠ACD ＝90°时，OA OC EC ED =．所以331m m =．解得m ＝1．此时3CA OC CD ED ==，3OC OB =．所以CA OC CD OB =．所以△CDA ∽△OBC ．②如图5，当∠ADC ＝90°时，FA FD ED EC =．所以421m m =．解得m =．此时2DA FD DC EC m ===32OC m OB ==．因此△DCA 与△OBC 不相似．综上所述，当m ＝1时，△CDA ∽△OBC ．考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图6，过点P 作x 轴的垂线与AC 交于点H ．由直线AC ：y ＝－2x －6，可得H (x ,－2x －6)．又因为P (x , 2x 2＋4x －6)，所以HP ＝－2x 2－6x ．因为△PAH 与△PCH 有公共底边HP ，高的和为A 、C 两点间的水平距离3，所以 S ＝S △APC ＝S △APH ＋S △CPH ＝32(－2x 2－6x ) ＝23273()24x -++．图6例 2 2014年湖南省益阳市中考第21题如图1，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝60°，AB ＝10，BC ＝4，点P 沿线段AB 从点A 向点B 运动，设AP ＝x ．2·1·c·n·j·y（1）求AD 的长；（2）点P 在运动过程中，是否存在以A 、P 、D 为顶点的三角形与以P 、C 、B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为S 1、S 2，若S ＝S 1＋S 2，求S 的最小值. 动感体验图1请打开几何画板文件名“14益阳21”，拖动点P 在AB 上运动，可以体验到，圆心O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段．观察S 随点P 运动的图象，可以看到，S 有最小值，此时点P 看上去象是AB 的中点，其实离得很近而已．思路点拨1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似．2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上．而BP 与AP 是相关的，这样就可以以AP 为自变量，求S 的函数关系式．图文解析（1）如图2，作CH ⊥AB 于H ，那么AD ＝CH ．在Rt △BCH 中，∠B ＝60°，BC ＝4，所以BH ＝2，CH ＝AD ＝（2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角三角形．①如图3，当∠CPB ＝90°时，AP ＝10－2＝8．所以APAD ，而PC PB APD 与△PCB 不相似．图2 图3 图4②如图4，当∠BCP ＝90°时，BP ＝2BC ＝8．所以AP ＝2．所以APAD APD ＝60°．此时△APD ∽△CBP ．综上所述，当x ＝2时，△APD ∽△CBP ．（3）如图5，设△ADP 的外接圆的圆心为G ，那么点G 是斜边DP 的中点．设△PCB 的外接圆的圆心为O ，那么点O 在BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点E ，与AB 交于点F ．设AP ＝2m ．作OM ⊥BP 于M ，那么BM ＝PM ＝5－m ．在Rt △BEF 中，BE ＝2，∠B ＝60°，所以BF ＝4．在Rt △OFM 中，FM ＝BF －BM ＝4－(5－m )＝m －1，∠OFM ＝30°，所以OM 1)m -．所以OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．在Rt △ADP 中，DP 2＝AD 2＋AP 2＝12＋4m 2．所以GP 2＝3＋m 2．于是S ＝S 1＋S 2＝π(GP 2＋OB 2) ＝22213(5)(1)3m m m π⎡⎤++-+-⎢⎥⎣⎦＝2(73285)3m m π-+．所以当167m =时，S 取得最小值，最小值为1137π．图5 图6考点伸展关于第（3）题，我们再讨论个问题．问题1，为什么设AP ＝2m 呢？这是因为线段AB ＝AP ＋PM ＋BM ＝AP ＋2BM ＝10．这样BM ＝5－m ，后续可以减少一些分数运算．这不影响求S 的最小值．问题2，如果圆心O 在线段EF 的延长线上，S 关于m 的解析式是什么？如图6，圆心O 在线段EF 的延长线上时，不同的是FM ＝BM －BF ＝(5－m )－4＝1－m ．此时OB 2＝BM 2＋OM 2＝221(5)(1)3m m -+-．这并不影响S 关于m 的解析式．例 3 2015年湖南省湘西市中考第26题如图1，已知直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y＝－x2＋bx＋c 经过A、B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以每秒1个单位的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE//y轴，交AB于点E，过点Q作QF//y轴，交抛物线于点F，连结EF，当EF//PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连结BP、BM、MQ，问：是否存在t的值，使以B、Q、M为顶点的三角形与以O、B、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“15湘西26”，拖动点P在OA上运动，可以体验到，△APQ有两个时刻可以成为直角三角形，四边形EPQF有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ与△BOP有一次机会相似．思路点拨1．在△APQ中，∠A＝45°，夹∠A的两条边AP、AQ都可以用t表示，分两种情况讨论直角三角形APQ．2．先用含t的式子表示点P、Q的坐标，进而表示点E、F的坐标，根据PE＝QF列方程就好了．3．△MBQ与△BOP都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论．图文解析（1）由y＝－x＋3，得A(3, 0)，B(0, 3)．将A(3, 0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得930,3.b cc-++=⎧⎨=⎩解得2,3.bc=⎧⎨=⎩所以抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．（2）在△APQ中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ．分两种情况讨论直角三角形APQ：①当∠PQA＝90°时，AP．解方程3－t＝2t，得t＝1（如图2）．②当∠QPA＝90°时，AQ－t)，得t＝1.5（如图3）．图2 图3（3）如图4，因为PE //QF ，当EF //PQ 时，四边形EPQF 是平行四边形．所以EP ＝FQ ．所以y E －y P ＝y F －y Q ．因为x P ＝t ，x Q ＝3－t ，所以y E ＝3－t ，y Q ＝t ，y F ＝－(3－t )2＋2(3－t )＋3＝－t 2＋4t ．因为y E －y P ＝y F －y Q ，解方程3－t ＝(－t 2＋4t )－t ，得t ＝1，或t ＝3（舍去）．所以点F 的坐标为(2, 3)．图4 图5（4）由y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，得M (1, 4)．由A (3, 0)、B (0, 3)，可知A 、B 两点间的水平距离、竖直距离相等，AB ＝由B (0, 3)、M (1, 4)，可知B 、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 所以∠MBQ ＝∠BOP ＝90°．因此△MBQ 与△BOP 相似存在两种可能：①当BM OB BQ OP =3t=．解得94t =（如图5）．②当BM OPBQ OB =3t =．整理，得t 2－3t ＋3＝0．此方程无实根．考点伸展第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P (t , 0)，E (t , 3－t )，Q(3－t , t )，按照P →E 方向，将点Q 向上平移，得F (3－t , 3)．再将F (3－t , 3)代入y ＝－x 2＋2x ＋3，得t ＝1，或t ＝3．。

2019年全国数学中考试卷分类汇编：三角形相似

数学精品复习资料中考全国100份试卷分类汇编相似三角形1、（2013•昆明）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A，B重合），对角线AC，BD相交于点O，过点P分别作AC，BD的垂线，分别交AC，BD于点E，F，交AD，BC于点M，N．下列结论：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；④△POF∽△BNF；⑤当△PMN∽△AMP时，点P是AB的中点．其中正确的结论有（）PE=EM=PMFP=FN=NPPE=EM=NP OA=2、（2013•新疆）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（）3、（2013•新疆）如图，△ABC中，DE∥BC，DE=1，AD=2，DB=3，则BC的长是（）=，=4、（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）5、（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（），AG=6、（2013•雅安）如图，在▱ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F，若AE：BE=4：3，且BF=2，则DF=..．故答案为：．7、（2013•雅安）如图，DE是△ABC的中位线，延长DE至F使EF=DE，连接CF，则S△CEF：S四边形BCED的值为（）8、（2013聊城）如图，D是△ABC的边BC上一点，已知AB=4，AD=2．∠DAC=∠B，若△ABD的面积为a，则△ACD的面积为（）A．a B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质．分析：首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为a，进而求出△ACD的面积．解答：解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为a，∴△ACD的面积为a，故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，是中考常见题型．9、（2013菏泽）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（）A．16 B．17 C．18 D．19考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质．专题：计算题．分析：由图可得，S1的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．解答：解：如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC=x，x=CD，∴AC=2CD，CD==2，∴EC2=22+22，即EC=；∴S2的面积为EC2==8；∵S1的边长为3，S1的面积为3×3=9，∴S1+S2=8+9=17．故选B．点评：本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质，考查了学生的读图能力．10、（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）．．=，=，，，．11、（2013•宜昌）如图，点A，B，C，D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）12、（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）．a∴小鸟在花圃上的概率为13、（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）=，DB14、（9-2图形的相似·2013东营中考）如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4及x，那么x的值（）A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个10.B.解析：当直角边为6，8时，且另一个与它相似的直角三角形3，4也为直角边时，x的值为5，当8，4为对应边且为直角三角形的斜边时，x，故x的值可以为5.两种情况。

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所以点B的坐标为(4, 2)．
设直线BC为y＝x＋b，代入点B(4, 2)，得b＝－2．
所以点C的坐标为(0,－2)．
由A(2, 4)、B(4, 2)、C(0,－2)，可知A、B两点间的水平距离和竖直距离都是2，B、C两点间的水平距离和竖直距离都是4．
所以AB＝，BC＝，∠ABC＝90°．
所以S△ABC＝＝＝8．
△BPQ与△ABC相似，存在两种情况：
①如果，那么．解得t＝1．
②如果，那么．解得．
图3图4
（2）作PD⊥BC，垂足为D．
在Rt△BPD中，BP＝5t，cosB＝，所以BD＝BPcosB＝4t，PD＝3t．
当AQ⊥CP时，△AC Q∽△CDP．
所以，即．解得．
图5图6
（3）如图4，过PQ的中点H作BC的垂线，垂足为F，交AB于E．
图1
思路点拨
1．直线AD//BC，和坐标轴夹角为45°．
2．求△ABC的面积，一般用割补法．
3．交流△ACE与△ACD相似，寻找一组等角，再根据对应边成比例，分两种情况列方程。
满分解答
（1）将点A(2,m)代入y＝x＋2，得m＝4．所以点A的坐标为(2, 4)．
将点A(2, 4)代入，得k＝8．
（2）将点B(n, 2)，代入，得n＝4．
图3图4
考点伸展
第（2）题我们在计算△A B C的面积时，恰好△A B C是直角三角形。
一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法．
如图5，帮△ABC外接矩形HCNM，MN//y轴。
由S矩形HCNM＝24，S△AHC＝6，S△AMB＝2，S△BCN＝8，得S△ABC＝8．
图5
例
如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．
如图9，当⊙H与AC相切时，直径，
半径等于FC＝4．所以．
解得，或t＝0（如图10，但是与已知0＜t＜2矛盾）．
图7图8图9图10
例
如图1，已知抛物线（b是实数且b＞2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C．
（1）点B的坐标为______，点C的坐标为__________（用含b的代数式表示）；
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO、△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
图1图2
因动点产生的相似三角形问题答案
例
如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k≠0）与直线y＝x＋2都经过点A(2,m)．
（1）求k与m的值；
（2）此双曲线又经过点B(n, 2)，过点B的直线BC与直线y＝x＋2平行交y轴于点C，联结AB、AC，求△ABC的面积；
（3）在（2）的条件下，设直线y＝x＋2与y轴交于点D，在射线CB上有一点E，如果以点A、C、E所组成的三角形与△ACD相似，且相似比不为1，求点E的坐标．
（3）由A(2, 4)、D(0, 2)、C(0,－2)，得AD＝，AC＝．
因∠DAC＋∠ACD＝45°,∠ACE＋∠ACD＝45°,所以∠DAC＝∠ACE．
所以,△ACE与△ACD相似，分两种情况：
①如图3，当时，CE＝AD＝．
此时,△ACD≌△CAE，相似比为1．
②如图4，当时，．解得CE＝．此时C、E两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以E(10, 8)．
由于H是PQ的中点，HF//PD，所以F是QD的中点．
又因为BD＝Q＝4t，所以BF＝CF．
因此F是BC的中点，E是AB的中点．
所以PQ中点H在△ABC的中位线E F上．
考点伸展
本题情景下，如果以PQ为直径的⊙H与△ABC的边相切，求t的值．
如图7，当⊙H与AB相切时，QP⊥AB，就是，．
如图8，当⊙H与BC相切时，PQ⊥BC，就是，t＝1．
（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；
（2）如图2，连接AQ、CP，若AQ⊥CP，求t的值；
（3）试证明：PQ的中点在△ABC的一条中位线上．
图1图2
动感体验
请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点P运动，可以体验到，若△BPQ可以两次成为直角三角形，与△ABC相似．当AQ⊥CP时，△ACQ∽△CDP．PQ的中点H在
图1
满分解答
（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )．
（2）如图2，过点P作PD⊥x轴，PE⊥y轴，垂足分别为D、E，那么△PDB≌△PEC．
因此PD＝PE．设点P的坐标为(x, x)．
如图3，联结OP．
所以S四边形PCOB＝S△PCO＋S△PBO＝＝2b．
（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
例
如图1，已知抛物线的方程C1： (m＞0)与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．
（1）若抛物线C1过点M(2, 2)，求实数m的值；
（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH＋EH最小，求出点H的坐标；
图1
例
如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．
△ABC中位线EF上．
思路点拨
1．△BPQ与△ABC有公共的角，按照夹角相等定律，对应边成比例，分两种情况列方程．
2．作PD⊥BC于D，动点P、Q的速度，暗含了BD＝CQ．
3．PQ的中点H在哪条中位线上？画两个不同时刻P、Q、H的位置，一目了然．
满分解答
（1）Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．