高二数学最新教案-如何把四面体补成平行六面体 精品
高二数学 平行六面体与长方体 课件
课本P63习题9.9第4、5题
∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0。∴最短线路长为
a 2 b 2 c 2 2bc
2、平面图形立体化思想
［例4］如图是正方体的一个展开图，当 用它合成原来的正方体时，与边P重合的边 是哪一条？ 分析：此题可先将正方 体合成，结论很快得到 解决，若只考虑边的重 合，会更快地得出结论. 解：首先有L和K重合， 其次有I和J重合，则P 与H重合.
底面是正方形 ，侧棱与 底面垂直 ，棱长 都 相等 。
长方体
正方体
根据所学概念，回答下列问题：
问题1：平行六面体的各个面是什么样的四
边形？直平行六面体、长方体、正方体呢？ 问题2：长方体是直四棱柱，直四棱柱是
长方体吗？ 问题3：正方体是正四棱柱，正四棱柱是正 方体吗？
四棱柱的分类 平行六面体 四棱柱 底面是平 侧棱与底面垂直 行四边形 侧棱与底面垂直 底面是平 行四边形 底面是正方形 直四棱柱 直平行六面体
教学难点及突破方法
如何将旧知识重新组合灵活解决新问题 的能力.在处理平行六面体的性质时，引导 学生用联系的观点、类比的思想方法分析 解决问题，从而得到既解决了新问题又找 到了新旧知识间的联系的目的.并通过典型 习题的讲解、剖析，及设置相关问题引导 学生思考来突破难点。
教学方法 讲练结合，渗透研究性学习。
求证：对角线AC1、BD1、CA1、DB1相交
于一点，且在点O处互相平分.
证法一：转化为证四条 对角线的中点重合。即证 某个顶点到四个中点的向 量相等。 证法二：先证两条线交 于一点，再证其余两线也 过此点.
O
例2.已知平行六面体ABCD－ A`B`C`D`, AB=1,AD=3,AA`=2;AB、AD、 AA` 两 两夹角均为60º ;M为CC`的中点 .
高中数学立体几何教案
高中数学立体几何教案
教学内容：平行六面体
教学目标：
1. 了解平行六面体的定义和性质。
2. 掌握平行六面体的体积和表面积的计算方法。
3. 能够运用平行六面体的性质解决相关问题。
教学重点、难点：
重点：平行六面体的定义和性质、体积和表面积计算方法。
难点：运用平行六面体的性质解决相关问题。
教学过程：
一、导入（5分钟）
通过思考问题引入平行六面体的概念：什么是平行六面体？平行六面体有什么性质？平行六面体的体积和表面积如何计算？
二、讲解与示例（15分钟）
1. 讲解平行六面体的定义和性质，包括底面、侧面、顶面等概念。
2. 讲解平行六面体的体积计算公式：V = 底面积 × 高度。
3. 讲解平行六面体的表面积计算公式：S = 2 × 底面积 + 侧面积。
4. 举例说明如何计算平行六面体的体积和表面积。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 给学生出一些计算平行六面体的体积和表面积的练习题，让学生在课堂上完成并相互讨论。
2. 引导学生设计一些实际生活中的问题，让他们运用平行六面体的性质解决问题，并与同学分享解决方法。
四、总结与作业布置（5分钟）
总结平行六面体的性质、体积和表面积的计算方法，强化学生对知识点的掌握。
布置作业：完成课后练习题，巩固所学知识。
教学反思：
教师应根据学生的实际水平和反应情况，灵活调整教学方法，合理安排教学过程，保证教学效果。
同时，要充分激发学生的学习兴趣，引导他们主动参与课堂活动，提高他们的学习积极性。
巧用补形法研究四面体问题
巧用补形法研究四面体问题作者：***来源：《数学教学通讯·高中版》2020年第11期[摘要] 立体几何问题中，有一类问题可以通过补形法，得到一个常见的几何体，使复杂的线面关系变得清晰明了. 文章从一道例题出发分析解决这类问题的方法，并在此基础上总结规律，归纳常见的一些四面体的补形方法.[关键词] 立体几何;四面体;补形教学中，遇到这样一个问题：已知在半径为2的球面上有A，B，C，D 四点，若AB=CD=2，则四面体ABCD的体积最大值为多少？这是某年数学全国卷的第12题，主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线间的距离，通过球这个载体考查学生的空间想象能力和推理计算能力.解答是这样的：过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，交AB于P. 设点P到CD的距离为h，则有V■=■×■×2×h×2=■h，当直径通过AB与CD中点时，h■=2■=2■，故V■=■.本小题这个解答当中，学生比较疑惑的有两点：（1）为什么可以过CD作平面PCD，使AB垂直于平面PCD，能这样作的前提是AB和CD要垂直，那为什么认定体积最大时AB和CD要垂直？（2）为什么直径通过AB与CD中点时，距离h最大？要解释清楚这两个疑点，首先需要补充说明一个公式.四面体体积公式：如果一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，那么它的体积为V■=■abdsinθ（证明见后）.根据这个公式，我们首先得到结论：AB和CD必须垂直，即sinθ=90°时才能得到最大的体积.其次，由于AB=CD=R（球的半径），所以连结球心O和四个顶点，则容易知道△OAB 和△OCD都是正三角形.设AB的中点为E，CD的中点为F，则OE⊥AB，OF⊥CD.设AB与CD间的距离为d，有d≤EF≤OE+OF. （异面直线间公垂线段最短）因此，OEF共线时，四面体的体积可以达到最大值，因为OE=OF=■，故V■=■.？摇？摇这样解决一个选择题比较花费时间，而且在高中数学教学中，不涉及四面体的体积公式，异面直线的距离即公垂线段的长度在教学中也仅仅要求了解.下面我们用补形的思路来解决这个问题.因为题目当中两条线段长度一样，所以考虑把这个四面体补形成一个长方体：如图1：则四面体的外接球即是长方体的外接球，四面体的体积是长方体的体积减去四个全等的小三棱锥的体积.设长方体的边长为a，b，c，体对角线即为外接球的直径，得到：a2+b2+c2=42，b2+c2=22，所以a=2■，则V■=V■-4V■=abc-4×■×■abc=■abc=■.又b2+c2=22 ，所以V■=■≤■（b2+c2）=■，当且仅当b=c=■时，等号成立.从等号成立的条件可以比较容易地看出是在AB和CD垂直时，四面体的体积取到了最大值.我们会发现，使用补形，一下子把陌生的几何体变得熟悉了，原本错综复杂的线面关系也变得清晰起来. 利用这一方法解决某些几何问题，思路清晰明朗，较其他方法简洁明了.比如刚才提到的四面体的体积公式也可以用补形法得到.一个四面体的两条相对棱的长分别是a，b，它们的距离为d，所成的角为θ，将四面体补形成平行六面体（因为相对棱的长度不确定，相等的时候才能补成长方体）.如图2：那么该平行六面体的底面积为S=■absinθ，平行六面体的体积为V■=■abdsinθ. 同样，该平行六面体由原四面体和四个全等的三棱锥构成. 三棱锥与平行六面体的高相等，底面积为平行六面体的一半，V■=■×■×■absinθ=■absinθ.所以V■=V■-4×V■=■absinθ.一起来看一下常见的几种四面体补形方式：一、把四面体的四个面各补上一个三棱锥，最后形成一个平行六面体. 其中正四面体是最特殊的形式，可以补成正方体. 而对棱相等的四面体则可以补形成一个长方体.例1：正四面体棱长为a，求外接球的半径R.正四面体补形为一个正方体，正四面体的外接球即为正方体的外接球.如图3：正方体的面对角线是正四面体的棱长，体对角线为外接球的直径.设正方体边长为b，则a=■b，2R=■b，所以R=■a.例2：在三棱锥A-BCD中，AB=CD=3，AD=BC=4，AC=BD=5，求三棱锥A-BCD外接球的半径.因为有三组对棱相等，把四面体补成一个长方形，如图4：长方体的三个面的面对角线是三棱锥的棱长，体对角线是外接球的直径.设长方体的棱长为a，b，c，外接球的半径为R，则a2+b2=32，b2+c2=42，a2+c2=52，（2R）2=a2+b2+c2，所以R=■.二、把四面体的一个角作为平行六面体的一个角补形成平行六面体.例3：四面体ABCD，侧棱AB，AC，AD两两垂直，AB=2，AC=3，AD=4，求四面体的外接球的半径R.因为四面体的侧棱两两垂直，所以可以把这个角看作长方体的一个角，把四面体补形成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球四面体的三条侧棱就是长方体的长、宽、高，外接球的直径就是长方体的体对角线，则（2R）2=AB2+AC2+AD2=29，所以R=■.例4：若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2■，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，求球O的半径R.根据已知条件可以得到△ABC是直角三角形，把四面体补成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径就是长方体的体对角线.则（2R）2=SA2+AC2=16，所以R=2.例5：已知四面体PABC的侧面PAC与平面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2■，AB=2，且PA⊥PC，PA=PC，求异面直线PC与AB所成角的余弦值.解答：把四面体补成如图所示平行六面体，异面直线PC与AB所成角即為PC与CD所成角的补角的余弦值.取AC中点M，PA=PC，则PM⊥AC，又因为平面PAC与平面ABC垂直，所以PM⊥平面ABC.△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=2■，所以∠ACB=30°，AC=4.△PAC中，PA⊥PC，PA=PC，AC=4，所以PM=2，PC=2■.底面四边形ABDC中，DM2=DC2+CM2-2DC·CM·cos120°，得到DM=2■.Rt△PMD中，PD=4.△PCD中，cos∠PCD=■= -■.所以异面直线PC与AB所成角的余弦值为■.此题也可以用空间向量法解答，用补形能更好地体现线面关系.三、把四面体补形成三棱柱例6：已知某几何体底面ABC是棱长为1的等边三角形，PA⊥平面ABC，PA=3，求该几何体的外接球的半径.解答：将该四面体补形成一个三棱柱四面体的外接球就是三棱柱的外接球.先求三棱柱底面三角形外接圆半径r=■·■=■.又因为PA⊥平面ABC，PA=3，所以三棱柱的外接球半径为R=■=■.四面体的问题可以通过补形变成正方体、长方体乃至平行六面体的问题.尤其在正方体和长方体中，点线面的关系是我们所熟悉的. 一些几何题的证明和求解，由原几何图形分析探究会比较烦琐，通过补形填补成一个新的几何图形，能使原问题的本质得到充分的体现，解决起来比较容易. 本文着重讨论四面体的补形问题，希望窥一斑而知全豹，探究立体几何中补形法这一重要的转化策略.。
四面体的一种补形方法及其应用
说 明 一般地 ， 将 正 四面 体按 图 ２的方
法 补 为平 行 六 面 体后 ， 所 得 的平 行 六 面 体 为
方 体ห้องสมุดไป่ตู้
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（ 收 稿 日期 ： ２ ０ ０ ６ —０ ６ —０ １ ）
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图５ 例 ２图
解 如图 ３ ， 将 四面体 Ａ ＢＣ Ｄ 补成 平行
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维普资讯
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数 学 通 讯
２ ０ ０ ７年 第 ６期
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说 明 一般 地 ， 将 三
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组 对 棱 分 别 相 等 的 四 面
・
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Ｃ Ｔ Ａ Ｂ ｃ Ｄ 为菱形 ． 上面
上蔚 ．
，
体， 按 图 ２的方 法 补 为 平 行 六 面体 后 ， 所 得 的 平 行 六 面 体为长 方体． 图７ 例４ 图
Ｃ （ Ｏ ， ｌ ＇ １ ） ＇ 亢 一（ 一 ， ｌ ，
。
（ Ａ ） 莩 ．
（ Ｂ ３ ｒ ．
（ ｃ ） ．
（ Ｄ ） 莩 ．
．
． ｃ ｏ ｓ ＜ 亢 ＞ ＝ 器
・
＝
解 长 为 ｌ的两 条棱 不 可能 同在 三 棱
锥 的一个 面 内 ， 必 为对棱 ．
高二数学教案：平行六面体、长方体(2)
平行六面体与长方体一、课题：平行六面体与长方体二、教学目标：1．掌握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；2．会利用平行六面体、长方体的性质解决有关长度与角度问题．三、教学重点、难点：平行六面体、长方体的概念及性质． 四、教学过程： （一）复习：1．凸多面体的概念，棱柱的概念； 2．平行六面体的概念． （二）新课讲解：1．平行六面体、长方体、正方体把学过的平行六面体与棱柱对照知：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底 面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的 长方体叫正方体．2．平行六面体、长方体的性质定理：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．证明：设O 是AC '的中点，则11()22AO AC AB AD AA ''==++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r，设,,P M N 分别是,,BD CA DB '''的中点，同理：1()2AP AB AD AA '=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，1()2AM AB AD AA '=++u u u u r u u u r u u u r u u u r，1()2AN AB AD AA '=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以，,,,O P M N 四点重合，定理得证．定理：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和．已知：长方体AC '中，AC '是一条对角线，求证：2222AC AB AD AA ''=++．证明：∵AC AB AD AA ''=++u u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴2||()()AC AB AD AA AB AD AA '''=++⋅++u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，∵AB AD ⊥u u u r u u u r ，AB AA '⊥u u u r u u u r ，AA AD '⊥u u u r u u u r ，D'C'B'A'DC BAH OA'D'C'B'DCBA∴2||AC AB AB AD AD AA AA '''=⋅+⋅+⋅u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 222||||||AB AD AA '=++，即2222AC AB AD AA ''=++．（三）例题分析：例1．如图平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''的面积．解：∵BD AD AB =-u u u r u u u r u u u r ，∴()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∵A AB A AD ''∠=∠，,AB AD a AA b '===，∴()(cos cos )0AA BD AA AD AB ab A AB A AD ''''⋅=⋅-=∠-∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴AA BD '⊥，∵//AA DD ''，∴DD BD '⊥，所以，对角面BB D D ''是矩形，它的面积是BD BB ab '⨯=． 例2．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2， （1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '的距离。
高中数学第一册(上)平行六面体与长方体
D'C'B'A'DC BA平行六面体与长方体一、课题：平行六面体与长方体二、教学目标：1．掌握平行六面体、长方体、正方体的概念及性质；2．会利用平行六面体、长方体的性质解决有关长度与角度问题．三、教学重点、难点：平行六面体、长方体的概念及性质． 四、教学过程： （一）复习：1．凸多面体的概念，棱柱的概念； 2．平行六面体的概念． （二）新课讲解：1．平行六面体、长方体、正方体把学过的平行六面体与棱柱对照知：底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体．侧棱与底 面垂直的平行六面体叫直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体长方体，棱长都相等的 长方体叫正方体．2．平行六面体、长方体的性质定理：平行六面体的对角线交于一点，求证：对角线,,,AC BD CA DB ''''相交于一点，且在点O 处互相平分．证明：设O 是AC '的中点，则11()22AO AC AB AD AA ''==++， 设,,P M N 分别是,,BD CA DB '''的中点，同理：1()2AP AB AD AA '=++，1()2AM AB AD AA '=++，1()2AN AB AD AA '=++，所以，,,,O P M N 四点重合，定理得证．定理：长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上的三条棱长的平方和． 已知：长方体AC '中，AC '是一条对角线，求证：2222AC AB AD AA ''=++． 证明：∵AC AB AD AA ''=++，∴2||()()AC AB AD AA AB AD AA '''=++⋅++，∵AB AD ⊥，AB AA '⊥，AA AD '⊥，∴2||AC AB AB AD AD AA AA '''=⋅+⋅+⋅222||||||AB AD AA '=++，即2222AC AB AD AA ''=++．（三）例题分析：例1．如图平行六面体ABCD A B C D ''''-中，,3A AB A AD BAD π''∠=∠∠=，,AB AD a AA b '===，求对角面BB D D ''的面积．解：∵BD AD AB =-，∴()AA BD AA AD AB ''⋅=⋅-，∵A AB A AD ''∠=∠，,AB AD a AA b '===，H OA'D'C'B'DCBA∴()(cos cos )0AA BD AA AD AB ab A AB A AD ''''⋅=⋅-=∠-∠=， ∴AA BD '⊥，∵//AA DD ''，∴DD BD '⊥，所以，对角面BB D D ''是矩形，它的面积是BD BB ab '⨯=．例2．已知：正四棱柱ABCD A B C D ''''-的底面边长为2（1）求二面角B AC B '--的大小；（2）求点B 到平面AB C '的距离。
借助平行六面体模型解决四面体问题
借助平行六面体模型解决四面体问题周益勇【摘要】四面体是最简单的多面体，而平行六面体特别是长方体是最熟悉的多面体，它们在立体几何中都有着非常重要的地位，以它们为载体考查立体几何的有关问题，在高考与竞赛中出现的频率很高．四面体经过补形可以成为平行六面体，平行六面体进行分割可以得到四面体，利用这种关系可以将四面体问题转化为平行六面体问题来解决．【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2008(000)010【总页数】2页(P44-45)【关键词】平行六面体;四面体;立体几何;问题转化;多面体;长方体;补形;高考【作者】周益勇【作者单位】永嘉中学,浙江永嘉325114【正文语种】中文【中图分类】G633.6四面体是最简单的多面体，而平行六面体特别是长方体是最熟悉的多面体，它们在立体几何中都有着非常重要的地位，以它们为载体考查立体几何的有关问题，在高考与竞赛中出现的频率很高.四面体经过补形可以成为平行六面体，平行六面体进行分割可以得到四面体，利用这种关系可以将四面体问题转化为平行六面体问题来解决.1 利用平行六面体模型解决四面体问题若过四面体的每一条棱作平行于对棱的平面，则6个平面围成的几何体是平行六面体.例1 在四面体ABCD中，设直线AB与CD的距离为2，夹角为求四面体ABCD 的体积.(2003年全国数学竞赛试题)图1解如图1，把四面体补形成平行六面体，此时平行六面体的底面A1DB1C的面积为平行六面体的高即AB与CD的距离为2，因此平行六面体的体积为从而易得四面体ABCD的体积例2 求证：连结四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点，且这点将所在线段分成的比为3∶1，该点称为四面体的重心.图2分析如图2，将四面体A1BDC1补形成一个平行六面体，对角线AC1与面A1BD 交于点O，点G为平行六面体的中心，容易证得点O为△A1BD重心，且C1G∶GO=3∶1，同理可证另3条平行六面体的对角线也通过四面体的各面的重心，它们交于点G，同理可得比为3∶1，所以连结四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点，且这点将所在线段分成的比为3∶1.2 利用正方体模型解决正四面体问题过正四面体的每一条棱作平行于对棱的平面，则6个平面围成的几何体是正方体. 例3 金刚石是由碳原子组成的单质，在金刚石的晶体里，每个碳原子都被相邻的4个碳原子包围，且处于4个碳原子的中心，以共价键跟这4个碳原子结合.那么，在金刚石的晶体结构中，相邻的2个共价键之间的夹角(用反三角函数表示)是________.(第十五届希望杯数学竞赛试题)分析以相邻的4个碳原子为顶点构成正四面体，把该四面体补形成正方体，则该碳原子位于正方体的中心，相邻的2个共价键之间的夹角就是正方体2条对角线的夹角的补角，为例4 已知P是四面体ABCD内一点，且∠APB=∠APC=∠APD=∠BPC=∠BPD=∠CPD=θ，求sinθ的值.(1985年浙江省温州市数学竞赛试题)解在PA，PB，PC，PD上分别取点A1，B1，C1，D1，使得PA1=PB1=PC1=PD1，则四面体A1B1C1D1是正四面体.把它补形成正方体，则P为中心，同例3的解法可求得3 利用长方体模型解决直角四面体问题3条侧棱两两垂直的四面体(直角四面体)，以3条侧棱为边可以补成一个长方体. 例5 设P为直角四面体O-ABC的斜面ABC上的任意一点，则有下列结论成立：(1)若OP与OA，OB，OC所成的角依次为α,β,γ，则cos2α+cos2β+cos2γ=1；(2)若OP与3个直角面所成的角依次为α′，β′，γ′，则cos2α′+cos2β′+cos2γ′=2.图3分析如图3，该题可由直角四面体生成一个长方体，适当调整OA，OB，OC的长，使得OP所在直线为长方体的对角线，这样问题就转化为在长方体中，对角线与同一顶点发出的3条棱所成角的关系，对角线与同一顶点发出的3个面所成角关系.经过这样的转化，问题变得常规且简单，极易解决.引申已知S-ABC是3条棱两两互相垂直的三棱锥，O为底面ABC内一点，若∠OSA=α,∠OSB=β,∠OSC=γ，则tanαtanβtanγ的取值范围是( )(2007年全国高中数学联赛(吉林赛区)试题)解过点O分别作与SA,SB,SC平行的平面，得到一个长方体，且OS为长方体的对角线，因此cos2α+cos2β+cos2γ=1,于是sin2α=cos2β+cos2γ≥2cosβcosγ.同理sin2β=cos2α+cos2γ≥2cosαcosγ，sin2γ=cos2β+cos2α≥2cosβcosα，因此故选A．例6 在三棱锥S-ABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为△ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP．证明：(1)DP与SM相交；(2)设DP与SM的交点为D′，则D′为三棱锥S-ABC的外接球球心.(1993年高中数学竞赛试题)图4分析如图4，将三棱锥S-ABC补成长方体SAC′B-CB′S′A′，这时CSC′S′是长方形，AB与SC′互相平分于点D，且CD在平面CSC′S′上.因为DP∥SC，所以DP也在平面CSC′S′内，设SS′分别交PD,CD于H,N.由可得CN=2DN，因此N=M，H=D′.因为DP与SM相交于点D′,D′为SS′的中点，即长方体对角线的交点，所以D′为三棱锥S-ABC的外接球球心.4 利用长方体模型解决等腰四面体问题3组对棱分别相等的四面体(等腰四面体)过每一条棱作平行于对棱的平面，得到的平行六面体是长方体.例7 在三棱锥D-ABC中，AD=a,BD=b,AB=CD=c,且∠DAB+∠BAC+∠DAC=180°,∠DBA+∠ABC+∠DBC=180°.(1)求证：∠DCB+∠BCA+∠DCA=180°；(2)求异面直AD与BC所成角的大小.(2004年浙江省温州市数学竞赛试题)图5 图6解 (1)将三棱锥D-ABC的侧面沿各条侧棱剪开后,展在底面所在的平面上,如图6.由∠D1AB+∠BAC+∠D2AC=180°，可得D1,A,D2三点共线.又由∠D1BA+∠ABC+∠D3BC=180°，可得D1,B,D3三点共线.因为AD1=AD2,BD1=BD3,所以AB是△D1D2D3的中位线，即D2D3=2AB=2c.而CD2=CD3=c，因此CD2+CD3=D2D3，即D2,C,D3三点共线，从而∠DCB+∠BCA+∠DCA=180°.(2)由第(1)小题可知△ABD1≌△BCD3≌△ACD2，因此AD=BC=a,BD=AC=b.图7又AB=CD=c，所以三棱锥D-ABC的各对对棱均相等.将三棱锥放入如图7所示的长方体中,设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则解得因此故异面直AD与BC所成角的是由以上叙述可知，利用四面体与平行六面体之间的关系来认识四面体，研究四面体的性质，是一种重要的方法，这体现了转化的思想.参考文献【相关文献】[1] 虞关寿.四面体与平行六面体的关系探析[J].数学通讯，2005(9)：18-19.[2] 赵京育.四面体与它的外接平行六面体[J].高中数学教与学,2006(11)：9-10.。
第二十一章平行六面体的性质及应用
第二十一章平行六面体的性质及应用【基础知识】平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质．性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心．推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5）性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和．推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍．推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一．推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和．性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍．性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分．性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍．推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和．性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则111122222AC A C BD B DS l l l l +++≤． 性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分．推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一．推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一．性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积． 推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为V abc ==若记()12θαβγ=++，则2V =． 性质9()11113/22222124AC A C BD BDV l l l l +++≤；3/26S V ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大．推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大．性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．性质10在平行六面体1111ABCD A B C D -中，截面分别与AB 、AD 、1AA 、1AC 交于0B 、0C 、0A 、0D 各点，则11000AC AA AB AD AC AB AD AA =++． 下面介绍平行六面体与四面体的密切关系． 1．对应关系作四面体的外接平行六面体，且使四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线．此时，四面体与其外接平行六面体是一一对应的．特别地，一个正四面体对应着一个正方体，一个等腰四面体（三对对棱分别相等的四面体）对应着一个长方体，一个两对对棱分别相等的四面体对应着一个直平行六面体，一个对棱均互相垂直的四面体（直角四面体或正三棱锥四面体）对应着一个菱形六面体等等．当四面体的共一顶点的三棱成为平行六面体的共顶点的三棱时，一个四面体对应着四个外接平行六面体，特别地，一个正四面体对应着一个一顶点面角均为60︒的菱形六面体，一个等腰四面体对应着两个一顶点面角之和为180︒的平行六面体等等． 2．隐显关系从本世纪初开始，人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题解答起来非常费劲，甚至未能解决．下面的例题将启示我们：四面体某些数量关系的发现及几何特征的显露，借助于其外接平行六面体的性质的运用是一种方便的重要途径．因此，可以说四面体的一些性质可以利其外接平行六面体来显现，平行六面体隐含了四面体的一些重要性质． 【典型例题与基本方法】例1在四面体ABCD 中，AB m =，CD n =，AD p =，BC q =，AC u =，BD u =．若AB 与CD 所成的角为θ，则()()2222cos 2p q u v mn+--=．证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-，使四面体的棱都成为平行六面体的侧面对角线．A'B'C 'D '图21-1DA C显然，AB 与CD 所成的角θ就是A B ''与CD 所成的角，于是 ()()2222221/21/24cos 112222m n B D m n B D mn m n θ'+-⎡⎤⎡⎤'+-⎣⎦⎣⎦==⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222242222A D B D B D A D B D mn mn'''''+--==()()22222222222222p q u v A D D D D D B D mn mn+--''''---==． 例2若四面体的六条棱长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，体积为V ，则有333333a b c d e f +++++≥(Weisenbock 不等式的一种三维推广)．证明如图211-，将四面体ABCD 补成平行六面体，则3ABCD V V =平行六面体．设平行六面体共顶点A 的三条棱长为l 、m 、n ，由前面的性质2的推论1，即有()2222222224a b c d e f l m n +++++=++．又由V l m n ⋅⋅平行六面体≤及幂平均值不等式，有113333332222223266a b c d e f a b c d e f ⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．于是()322224212ABCD l m nV ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦①()32222222112a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦()312233333331612a b c d e f ⎧⎫⎪⎪⎡⎤+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤②)333333a b c d e f =+++++．故333333a b c d e f +++++≥．其中等号当且仅当①、②中满足l 、m 、n 互相垂直且l m n ==，即平行六面体为正方体，亦即a b c d e f =====时成立．类似上例，并运用前面的性质5的推论，可证明Weisenbock 不等式的另一种三维推广：若四面体各顶点A 、B 、C 、D 所对的面的面积分别为A S 、B S 、C S 、D S ，体积为V ，则33332A B C D S S S S +++ 例3空间四平面互相平行，相邻两面间距离都是h ．今有一正四面体，它的四个顶点分别在这四个面上．求正四面体的棱长．解设正四面体ABCD 的外接正方体为'AC BD A CB D '''-．又设过棱D D '及B C '中点F 的截面为3α，过棱C C '及A D '中点E 的截面为2α，过棱A A '，过棱B B '且与3α、2α平行的平面分别为1α、4α，这样这四个平面即为两相邻距离都相等的互相平行的四平面．又设过A B ''的中点O '与CE 垂直的直线为l ，l 与4α、3α、2α、1α的交点分别为B ''、D ''、C ''、A ''，如图21-2(b)，则4α、3α、2α、1α两相邻平面间距离为B D ''''、D C ''''、C A ''''．DEGO 'B"A"C "D "A'B'C 'D (b)(a)D图21-2CF当A C h ''''=时，可求得A E '=，从而A B ''=．这就是我们所要求的正四面体的棱长． 例4四面体ABCD 中，若AB CD ⊥，AC BD ⊥，则AD BC ⊥．（1957年天津市、1979年上海市中学竞赛题）证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-．由平行六面体每一侧面两对角线所夹的角（锐角）的余弦值等于这侧面两相邻棱的平方差的绝对值除以这两条侧面对角线长的乘积，即()22cos A D DB A B CD A B CD''-'=''⋅．由AB CD ⊥，则()cos cos()0AB CD A B CD ''==，从而A D DB ''=，即侧面A DB C ''为菱形，同理，由AC BD ⊥．有侧面A CC A ''为菱形，从而侧面A DD A ''也为菱形，故AD BC ⊥． 例5求证四面体的三双对棱中点连线必交于一点，且互相平分．证明如图213-，设E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是四面体ABCD 的六条棱的中点．作四面体的外接平行六面体1A C ，则E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是其六侧面对角线的交点．图21-3G N EH OCDBAC 1A 1D 1B 1MF在11AAC C 中，连EF ，则11EF AA CC ∥∥，且过六面体对角线1A C 的中点O ，同时被O 平分．因六面体的四条对角线共点O ，于是同理可证GH 、MN 过O ，且被O 平分．例6立方体八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点．求出立方体的表面积与四面体的表面积之比．（1980年美国中学生竞赛AHSME 第16题） 解设立方体表面积为S ，四面体表面积为0S ，由平行六面体所有三角形截面（三角形的边由六面体侧面对角线组成）面积的平方和等于所有侧面面积的平方和，有2206/4264S S ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0/S S =【解题思维策略分析】1．善于将四面体问题转化为平行六面体问题例7若A 、B 、C 、D 表示空间四点，AB 表示A 、B 两点间的距离，AC 表示A 、C 两点间的距离，⋯．证明：222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．（第4届美国中学生竞赛题） 证明以空间四边形的边为侧面对角线构造平行六面体，由平行六面体所有侧面对角线的平方和等于所有棱的平方和的两倍及图213-，有222222222111444AC BD AD BC AB CD AD AA A B +++++=++()22242AD AB CD =++故222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．当A 、B 、C 、D 共面时，10AD =，上式取等号．此时，可看作是压扁了的四面体．例8在四面体ABCD 中，BDC ∠是直角，由D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足H 是ABC △的垂心，证明：()()22226AB BC CA AD BD CD ++++≤．（IMO 12-试题）证明如图214-，平行六面体1111AC BD B D AC -为四面体ABCD 的外接平行六面体．由题设，D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足是ABC △的垂心，知这个四面体的对棱互相垂直，又BDC ∠是直角，即知四面体ABCD 的三面角D ABC -是直三面角，故此平行六面体为长方体．CDBAC 1A 1D 1B 1图21-4H由()2222AD BD CD ++()()()222222AD BD BD CD CD AD =+++++222AB BC AC =++．故()()22222263AD BD CD AB BC AC ++=++222222AB BC CA AB BC BC CA AB CA +++⋅+⋅+⋅≥ ()2AB BC CA =++．例9若a 、b 、c 是四面体共顶点的三条棱的长，α、β、γ，是这三条棱组成的面角，ω是这三个面角和的一半，则四面体的体积为：13V abc =四面体证明如图21-4，设DA a =，DB b =，DC c =，BDC α∠=，ADC β∠=， ADB γ∠=．由平行六面体的体积公式()V abc S A =⋅平行六面体，其中()S A= 有16V V =四面体平行六面体1=3abc 2．善于构造平行六面体解答有关问题例10已知a 、b 、c +∈R ，且2221a b c ++=3a b c ++>．证明由2221a b c ++=3a b c ++>．参见图212- (a)，构作长方体AB '．设对角线1AB '=，AD a '=，AC b '=，AA c '=，则A B ''B C ''=，B D ''．在A AB ''△中，A A A B B A ''''+>，即1c >．同理，1b >1a >．以上三式相加，即证．例11锐角α．β、γ满足222sin sin sin 1αβγ++=，求证：π3π24αβγ<++<． 证明构造长方体D AC B DA CB ''''-，参见图212- (a)，使其长、宽、高分别为sin D A α'=，sin AC β'=，sin C C γ'=，则1AB D C ''===，D B A α''∠=，C B A β''∠=，C D C γ''∠=，且AB BA '>．sin sin sin D A D AD B A D BA B A BA α'''''∴=∠=<=∠'， sin sin sin AC AC C B A C BA B A BAβ'''''=∠=<=∠'．从而D BA α'<∠，C BA β'<∠． 1π2D BA C BA αβ''∴+<∠+∠=．同理，π2βγ+<，π2αγ+<，即3π4αβγ++<． 设B A '与D C '相交于O ，则知2D OA α'∠=，2AOC β'∠=，2C OC γ'∠=． 由于三面角的任意两个面角的和大于第三个面角，则 22D OA AOC D OC αβ'''+=∠+∠>∠． ()2πD OC C OC αβγ''∴++=∠+∠=．故π3π24αβγ<++<． 3．注意特殊平面体的性质的运用例12正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求正方体底面ABCD 内切圆周上的点与过顶点1A 、C 和1B 的圆周上的点之间的最小距离．（第19届全苏奥林匹克题）图21-5C1A B解如图215-，考察两个圆周分别在以正方体的对称中心为球心的两个同心球面上，即与正方体各棱都）上，这两个球面上的点之间的最小距离是它们的半径之差12d =．如果两圆周上各有一点恰好在球心O 发出的同一射线上，那么d 即为最小值．考察在以O 为位似比的变换下，小球面变为大球面，而小球面上的圆周的象集为大球面上的圆周．注意到ABCD 的内切圆1O 与线段BD 的交点E 和F 在该位似变换下的象在平面1AB C 的两侧（因11145O OF BB O ∠=︒>∠，故射线OF 不与平面1AB C 相交），因此，1O 的象集（圆周）将与过顶点A ，C 和1B 的圆周相交．设一交点为N ，而N 的原象为M，那么M ，N 之间的距离就是考察的两圆周上的点之间的距离的最小值，其值为12d =．【模拟实战】习题A1．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是面ABCD 的中心，1O 是面11ADD A 的中心．求异面直线1D O 与1BO 所成角的余弦值．2．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于口α，求α的值．3．能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面是否为正五边形？4．设一个平面截棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1C ，交1A D 1中点于E ，1A A 距A 较近的一个三等分点于F ，AB 于G ，BC于H ．求截面1C EFGH 的周长．5．已知一个平面截棱长为1的正方体所得截面是—个六边形．证明：此六边形周长≥． 6．正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于多少？7．已知111ABC A B C -是直三棱柱，90BAC ∠=︒，点1D ，1F 分别是11A B ，11B C 的中点．若1AB CA AA ==，求1BD 与1CF 所夹角的余弦值．8．已知ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且2GC =．求点B 到面EFG 的距离．9．在四面体SABC 中，已知SA BC a ==，SC AB b ==，SB AC c ==，求此四面体的体积． 10．在四面体1234A A A A 中，相应对棱中点的三条连线分别为1m ，2m ，3m ，顶点i A 所对侧面的重心为i G ，其四面体体积记为V ，则 （Ⅰ）1233m m m V ⋅⋅≥；（Ⅱ）421412716i j i i i j i A A AG =-∑∑≤≤≤≥（Ⅲ）421i i i AG =∑ 11．已知α，β，γ是锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=．求证：（Ⅰ）tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （Ⅱ）3ππ4αβγ<++<． 12．已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．习题B1．有一立方体，中心和边长为a b c <<的长方体的对称中心重合，诸界面与长方体各界面平行，求立方体的棱长，使得它与长方体的并的体积减去它与长方体的交的体积的差最小．（1979年捷克竞赛题） 2．证明：在棱长为a 的立方体内部可以作两个棱长为a 的正四面体，使得它们没有公共点．（1983年民主德国竞赛题）。
第21章平行六面体的性质及应用
第二十一章平行六面体的性质及应用【基础知识】平行六面体是平行四边形的一个三维类比模型，平行四边形的一系列有趣性质可推证到平行六面体中去．平行四边形与三角形有着极为密切的关系，因而平行六面体与四面体也有着极为密切的关系，这些构成了平行六面体一系列既有趣又有重要应用的性质．性质1平行六面体的四条对角线相交于一点，且在这一点互相平分，并称该点为中心．推论称侧面对角线的交点为侧面中心，则相对侧面中心的连线也交于平行六面体的中心，且在这一点互相平分．（见例5）性质2平行六面体所有对角线的平方和等于所有棱的平方和．推论1平行六面体所有侧面对角线的平方和等于其所有（体）对角线平方和的两倍．推论2平行六面体每一侧棱的平方等于与这侧棱共面的两侧面四条面对角线的平方和减去与这侧棱不共面而共端点的两条侧面对角线平方和所得差的四分之一．推论3平行六面体的每一对角线长的平方等于过这条对角线一端点的三条侧面对角线的平方和减去过另一端点的三条棱的平方和．性质3平行六面体的每一对角线长的平方等于共一端点的三条棱长的平方和减去这三条棱中每两条棱长及其所夹角余弦之积的两倍．性质4平行六面体的每一对角线通过与该对角线共端点的三条棱的另一端点构成的三角形截面的重心，且被这三角形截面分成三等分．性质5平行六面体的每个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积平方的4倍，等于这截面所截三个侧面面积的平方和减去这三个侧面中每两个侧面面积及其所夹二面角余弦之积的两倍．推论平行六面体的八个由三条侧面对角线构成的三角形截面面积的平方和等于六个侧面面积的平方和．性质6设平行六面体的全面积为S ，四条对角线长为1AC l 、1A C l 、1BD l 、1BD l 、1B D l ，则111122222AC A C BD BDS l l l l +++≤． 性质7通过平行六面体中心的任何平面，将平行六面体分成体积相等的两部分．推论1以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条棱的端点构成的四面体体积是平行六面体体积的六分之一．推论2以平行六面体任一顶点及这顶点出发的三条侧面对角线端点构成的四面体体积是平行六面体体积的三分之一．性质8平行六面体的体积等于底面积与高的乘积，或任一侧面面积与相对面距离之积． 推论设共一顶点的三条棱长为a 、b 、c ，每两条棱的夹角为α、β、γ，则体积V 为V abc =若记()12θαβγ=++，则2V = 性质9()11113/22222124AC A C BD B D V l l l l +++≤；3/26S V ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤．推论l 表面积一定的平行六面体中，以正方体之体积为最大．推论2在各个侧面面积为定值的平行六面体中，以长方体之体积为最大．性质11由平行六面体的各顶点，至不截此体的一平面所引诸垂线段之和，等于由其对角线之交点至同平面所引垂线段之和的8倍．性质10在平行六面体1111ABCD A B C D -中，截面分别与AB 、AD 、1AA 、1AC 交于0B 、0C 、0A 、0D 各点，则110000AC AA AB AD AC AB AD AA =++． 下面介绍平行六面体与四面体的密切关系． 1．对应关系作四面体的外接平行六面体，且使四面体的六条棱均成为平行六面体的侧面对角线．此时，四面体与其外接平行六面体是一一对应的．特别地，一个正四面体对应着一个正方体，一个等腰四面体（三对对棱分别相等的四面体）对应着一个长方体，一个两对对棱分别相等的四面体对应着一个直平行六面体，一个对棱均互相垂直的四面体（直角四面体或正三棱锥四面体）对应着一个菱形六面体等等．当四面体的共一顶点的三棱成为平行六面体的共顶点的三棱时，一个四面体对应着四个外接平行六面体，特别地，一个正四面体对应着一个一顶点面角均为60︒的菱形六面体，一个等腰四面体对应着两个一顶点面角之和为180︒的平行六面体等等． 2．隐显关系从本世纪初开始，人们试图将三角形的许多性质引申到四面体——最简单的多面体，事实证明发展四面体的几何学比三角形几何学困难得多，有些提法并不复杂的问题解答起来非常费劲，甚至未能解决．下面的例题将启示我们：四面体某些数量关系的发现及几何特征的显露，借助于其外接平行六面体的性质的运用是一种方便的重要途径．因此，可以说四面体的一些性质可以利其外接平行六面体来显现，平行六面体隐含了四面体的一些重要性质． 【典型例题与基本方法】例1在四面体ABCD 中，AB m =，CD n =，AD p =，BC q =，AC u =，BD u =．若AB 与CD 所成的角为θ，则()()2222cos 2p q u v mn+--=．证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-，使四面体的棱都成为平行六面体的侧面对角线．A'B'C 'D '图21-1DA C显然，AB 与CD 所成的角θ就是A B ''与CD 所成的角，于是 ()()2222221/21/24cos 112222m n B D m n B D mn m n θ'+-⎡⎤⎡⎤'+-⎣⎦⎣⎦==⎛⎫⎛⎫⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 222222242222A D B D B D A D B D mn mn'''''+--==()()22222222222222p q u v A D D D D D B D mn mn+--''''---==．例2若四面体的六条棱长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ，体积为V ，则有333333a b c d e f +++++≥(Weisenbock 不等式的一种三维推广)．证明如图211-，将四面体ABCD 补成平行六面体，则3ABCD V V =平行六面体．设平行六面体共顶点A 的三条棱长为l 、m 、n ，由前面的性质2的推论1，即有()2222222224a b c d e f l m n +++++=++．又由V l m n ⋅⋅平行六面体≤及幂平均值不等式，有113333332222223266a b c d e f a b c d e f ⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭≥．于是()322224212ABCD l m nV ⎡⎤++⎢⎥⎢⎥⎣⎦①()32222222112a b c d e f ⎡⎤=+++++⎢⎥⎣⎦()312233333331612a b c d e f ⎧⎫⎪⎪⎡⎤+++++⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭≤②)333333a b c d e f =+++++．故333333a b c d e f +++++≥．其中等号当且仅当①、②中满足l 、m 、n 互相垂直且l m n ==，即平行六面体为正方体，亦即a b c d e f =====时成立．类似上例，并运用前面的性质5的推论，可证明Weisenbock 不等式的另一种三维推广：若四面体各顶点A 、B 、C 、D 所对的面的面积分别为A S 、B S 、C S 、D S ，体积为V ，则33332A B C D S S S S +++ 例3空间四平面互相平行，相邻两面间距离都是h ．今有一正四面体，它的四个顶点分别在这四个面上．求正四面体的棱长．解设正四面体ABCD 的外接正方体为'AC BD A CB D '''-．又设过棱DD'及B C '中点F 的截面为3α，过棱C C '及A D '中点E 的截面为2α，过棱A A '，过棱B B '且与3α、2α平行的平面分别为1α、4α，这样这四个平面即为两相邻距离都相等的互相平行的四平面．又设过A B ''的中点O '与CE 垂直的直线为l ，l 与4α、3α、2α、1α的交点分别为B ''、D ''、C ''、A ''，如图21-2(b)，则4α、3α、2α、1α两相邻平面间距离为B D ''''、D C ''''、C A ''''．DGO 'B"A"C "D "B'C 'D (b)(a)D图21-2CF当A C h ''''=时，可求得A E '=，从而A B ''=．这就是我们所要求的正四面体的棱长． 例4四面体ABCD 中，若AB CD ⊥，AC BD ⊥，则AD BC ⊥．（1957年天津市、1979年上海市中学竞赛题）证明如图211-，作四面体ABCD 的外接平行六面体A DB C AD BC ''''-．由平行六面体每一侧面两对角线所夹的角（锐角）的余弦值等于这侧面两相邻棱的平方差的绝对值除以这两条侧面对角线长的乘积，即 ()22cos A D DB A BCD A B CD''-'=''⋅．由AB CD ⊥，则 ()cos cos()0ABCD A B CD ''== ，从而A D DB ''=，即侧面A DB C ''为菱形，同理，由AC BD ⊥．有侧面A CC A ''为菱形，从而侧面A DD A ''也为菱形，故AD BC ⊥．例5求证四面体的三双对棱中点连线必交于一点，且互相平分．证明如图213-，设E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是四面体ABCD 的六条棱的中点．作四面体的外接平行六面体1A C ，则E 、F 、G 、H 、M 、N 分别是其六侧面对角线的交点．图21-3G N EH OCDBAC 1A 1D 1B 1MF在11AA C C 中，连EF ，则11EF AA CC ∥∥，且过六面体对角线1A C 的中点O ，同时被O 平分．因六面体的四条对角线共点O ，于是同理可证GH 、MN 过O ，且被O 平分．例6立方体八个顶点中有四个恰是正四面体的顶点．求出立方体的表面积与四面体的表面积之比．（1980年美国中学生竞赛AHSME 第16题） 解设立方体表面积为S ，四面体表面积为0S ，由平行六面体所有三角形截面（三角形的边由六面体侧面对角线组成）面积的平方和等于所有侧面面积的平方和，有2206/4264S S ⎛⎫⎛⎫⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故0/S S【解题思维策略分析】1．善于将四面体问题转化为平行六面体问题例7若A 、B 、C 、D 表示空间四点，AB 表示A 、B 两点间的距离，AC 表示A 、C 两点间的距离，⋯．证明：222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．（第4届美国中学生竞赛题） 证明以空间四边形的边为侧面对角线构造平行六面体，由平行六面体所有侧面对角线的平方和等于所有棱的平方和的两倍及图213-，有222222222111444AC BD AD BC AB CD AD AA A B +++++=++()22242AD AB CD =++故222222AC BD AD BC AB CD ++++≥．当A 、B 、C 、D 共面时，10AD =，上式取等号．此时，可看作是压扁了的四面体．例8在四面体ABCD 中，BDC ∠是直角，由D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足H 是ABC △的垂心，证明：()()22226AB BC CA AD BD CD ++++≤．（I MO 12-试题）证明如图214-，平行六面体1111AC BD B D AC -为四面体ABCD 的外接平行六面体．由题设，D 到ABC △所在的平面的垂线的垂足是ABC △的垂心，知这个四面体的对棱互相垂直，又BDC ∠是直角，即知四面体ABCD 的三面角D ABC -是直三面角，故此平行六面体为长方体．CDBC 1A 1D 1B 1图21-4H由()2222AD BD CD ++()()()222222AD BD BD CD CD AD =+++++222AB BC AC =++．故()()22222263AD BD CD AB BC AC ++=++222222AB BC CA AB BC BC CA AB CA +++⋅+⋅+⋅≥()2AB BC CA =++．例9若a 、b 、c 是四面体共顶点的三条棱的长，α、β、γ，是这三条棱组成的面角，ω是这三个面角和的一半，则四面体的体积为：13V abc =四面体证明如图21-4，设DA a =，DB b =，DC c =，BDC α∠=，ADC β∠=，ADB γ∠=．由平行六面体的体积公式()V abc S A =⋅平行六面体，其中()S A=有16V V =四面体平行六面体1=3abc 2．善于构造平行六面体解答有关问题例10已知a 、b 、c +∈R ，且2221a b c ++=3a b c ++>．证明由2221a b c ++=3a b c ++>．参见图212- (a)，构作长方体AB '．设对角线1AB '=，AD a '=，AC b '=，AA c '=，则A B ''=B C ''，B D ''=．在A AB ''△中，A A AB B A ''''+>，即1c >．同理，1b >1a >．以上三式相加，即证．例11锐角α．β、γ满足222sin sin sin 1αβγ++=，求证：π3π24αβγ<++<． 证明构造长方体D AC B DA CB ''''-，参见图212- (a)，使其长、宽、高分别为sin D A α'=，sin AC β'=，sin C C γ'=，则1AB D C ''=，D B A α''∠=，C B A β''∠=，C D C γ''∠=，且AB BA '>．sin sin sin D A D AD B A D BA B A BA α'''''∴=∠=<=∠'， sin sin sin AC AC C B A C BA B A BAβ'''''=∠=<=∠'．从而D BA α'<∠，C BA β'<∠． 1π2D BA C BA αβ''∴+<∠+∠=．同理，π2βγ+<，π2αγ+<，即3π4αβγ++<． 设B A '与D C '相交于O ，则知2D OA α'∠=，2AOC β'∠=，2C OC γ'∠=． 由于三面角的任意两个面角的和大于第三个面角，则 22D OA AOC D OC αβ'''+=∠+∠>∠． ()2πD OC C OC αβγ''∴++=∠+∠=．故π3π24αβγ<++<． 3．注意特殊平面体的性质的运用例12正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求正方体底面ABCD 内切圆周上的点与过顶点1A 、C 和1B 的圆周上的点之间的最小距离．（第19届全苏奥林匹克题）图21-5C1A B解如图215-，考察两个圆周分别在以正方体的对称中心为球心的两个同心球面上，即与正方体各棱都）上，这两个球面上的点之间的最小距离是它们的半径之差12d =．如果两圆周上各有一点恰好在球心O 发出的同一射线上，那么d 即为最小值．考察在以O 为位似比的变换下，小球面变为大球面，而小球面上的圆周的象集为大球面上的圆周．注意到ABCD 的内切圆1O 与线段BD 的交点E 和F 在该位似变换下的象在平面1AB C 的两侧（因11145O OF BB O ∠=︒>∠，故射线OF 不与平面1AB C 相交），因此，1O 的象集（圆周）将与过顶点A ，C 和1B 的圆周相交．设一交点为N ，而N 的原象为M ，那么M ，N 之间的距离就是考察的两圆周上的点之间的距离的最小值，其值为12d =．【模拟实战】习题A1．在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是面ABCD 的中心，1O 是面11ADD A 的中心．求异面直线1D O 与1BO 所成角的余弦值．2．已知空间一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于口α，求α的值．3．能否用一个平面去截一个正方体，使得截面为五边形？进一步，截面是否为正五边形？4．设一个平面截棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -，过顶点1C ，交1A D 1中点于E ，1A A 距A 较近的一个三等分点于F ，AB 于G ，BC于H ．求截面1C EFGH 的周长．5．已知一个平面截棱长为1的正方体所得截面是—个六边形．证明：此六边形周长≥． 6．正三棱锥S ABC -的侧棱与底面边长相等，如果E ，F 分别为SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于多少？7．已知111ABC A B C -是直三棱柱，90BAC ∠=︒，点1D ，1F 分别是11A B ，11B C 的中点．若1AB CA AA ==，求1BD 与1CF 所夹角的余弦值．8．已知ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，GC ⊥面ABCD ，且2GC =．求点B 到面EFG 的距离．9．在四面体SABC 中，已知SA BC a ==，SC AB b ==，SB AC c ==，求此四面体的体积． 10．在四面体1234A A A A 中，相应对棱中点的三条连线分别为1m ，2m ，3m ，顶点i A 所对侧面的重心为i G ，其四面体体积记为V ，则 （Ⅰ）1233m m m V ⋅⋅≥；（Ⅱ）421412716i j i i i j i A A AG =-∑∑≤≤≤≥（Ⅲ）421i i i AG =∑ 11．已知α，β，γ是锐角，且222cos cos cos 1αβγ++=．求证：（Ⅰ）tan tan tan αβγ⋅⋅≥ （Ⅱ）3ππ4αβγ<++<． 12．已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=．习题B1．有一立方体，中心和边长为a b c <<的长方体的对称中心重合，诸界面与长方体各界面平行，求立方体的棱长，使得它与长方体的并的体积减去它与长方体的交的体积的差最小．（1979年捷克竞赛题） 2．证明：在棱长为a 的立方体内部可以作两个棱长为a 的正四面体，使得它们没有公共点．（1983年民主德国竞赛题）。
在平行六面体中巧解四面体问题
OA B C D E C BA SFz 四面体问题求解中的“嵌”与“补”江苏省姜堰中学 张圣官（225500）四面体（即三棱锥）是立体几何中最基本的一个几何体，而它又是与平行六面体密切相关的。
有些四面体问题，若将之放到平行六面体背景中，则往往能显现其中隐含的线面关系，从而使问题获得优解。
本文通过事例重点说明在正方体或长方体中如何巧解相关的四面体问题。
1． 将四面体“嵌入”到平行六面体中我们知道，任何一个四面体都可以“嵌入”到一个平行六面体中，而使四面体的六条棱分别是平行六面体六个面的一条面对角线。
例如，在证明“四面体顶点到对面三角形重心的四条连线交于一点”（此即为四面体重心）时，实施这种“嵌入”后，问题就转化为论证“平行六面体四条体对角线交于一点”，这就容易多了，而且易得四面体重心把四条连线都分成3：1的两部分。
下面看几例这种“嵌入”的应用。
例1（2000年全国高中数学联赛题）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是____________________。
分析：将正四面体ABCD “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图1），则球O 与正四面体的六条棱都相切等价于球O 与正方体的六个 面都相切。
易知正方体棱长为a 22，所以球半径为a 42，故 （图1）球的体积为363334a R ππ=。
例2（1990年全国高考题）正三棱锥S-ABC 的侧棱与底面边长相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） A 900 B 600 C 450 D 300分析：本题的正三棱锥S-ABC 即为正四面体，将正 四面体SABC “嵌入”到正方体中，使正四面体的六条棱分别是正方体六个面的面对角线（如图2），易知EF 在正方体的两底面中心连线上，与正方体的一条侧棱平行。
而 SA 与该侧棱所成角是450，故异面直线EF 与SA 所成的 角等于450，选（C ）。
巧用补形法研究四面体问题
数学教学通讯投稿由0 箱:**********>解広集锦巧用补形法研究四面体问题重庆市巴蜀中学400023［摘要］殳体几何问题中，有一类问题可以通过补形法，得到一个常见的几何体，使复杂的线面关系变得清晰明了.文章从一道例题出发分析解决这类问题的方法，并在竝基础上总结规律，归纳常见的一些 四面体的补形方法.［关键词］立体几何;四面体;补形教学中，遇到这样一个问题：已知 在半径为2的球面上有4,B,C,D 四点， 若4 B=CD=2侧四面体4 BCD 的体积最大 值为多少？这是某年数学全国卷的第12题，主 要考查几何体的体积的计算、球的性 质、异面直线间的距离，通过球这个载 体考查学生的空间想象能力和推理计 算能力.解答是这样的:过CD 作平面PCD,使 4B 垂直于平面PCD,KAB 于R 设点P 到 CD 的距离为/1，则有V HW =yXyX2x/t X 2=却,当直径通过AB 与CD 中点时，饥…= 2V2M j=2VT ,故卩甜乂各本小题这个解答当中，学生比较疑 惑的有两点：（1）为什么可以过CD 作平 面PCD ，使AB 垂直于平面PCD ,能这样作 的前提是AB 和CZ ）要垂直，那为什么认定 体积最大时4B 和CD 要垂直？（2）为什么 直径通过AB 与CD 中点时，距离人最大？要解释清楚这两个疑点，首先需要 补充说明一个公式.四面体体积公式:如果一个四面体 的两条相对棱的长分别是a, 6,它们的距 离为d,所成的角为0,那么它的体积为 %畴=丄岛dsin&（证明见后）.6根据这个公式,我们首先得到结论: 仙和（?。
必须垂直,即sin&=90。
时才能得 到最大的体积.其次，由于AB=CD=R （球的半径），所以连结球心0和四个顶点，则容易知道 △ 04 B 和△ OCD 都是正三角形.设AB 的中点为E,CD 的中点为F,则0E 丄 A B,0F 丄 CD.设AB 与CD 间的距离为d,有dWEFW OE+OF.（异面直线间公垂线段最短）因此,0E/洪线时,四面体的体积可 以达到最大值，因为oe =of =a /T,故 昨 3这样解决一个选择题比较花费时 间，而且在高中数学教学中，不涉及四 面体的体积公式,异面直线的距离即公 垂线段的长度在教学中也仅仅要求了解.下面我们用补形的思路来解决这个 问题因为题目当中两条线段长度一样, 所以考虑把这个四面体补形成一个长 方体：图1则四面体的外接球即是长方体的外接球，四面体的体积是长方体的体积 减去四个全等的小三棱锥的体积.设长方体的边长为a,b,c,体对角线 即为外接球的宜径,得到：d+Ppjp,&2^2=22,所以a =2VT ,80 > 2020年九冃（下旬）作者简介：曾睿（1982-）,本科学历，中学一级教师,从事高中数学教学.得教学通讯g•>解注集锦则V四面休"长方体一4V三棱锥=必-4x1,1,iVTbcx—abc=—abc=-------------.233又沪+c~22，所以j=2Vp>c wv^L（i2+c2）=£\£L33当且仅当b=c=V2时,等号成立.从等号成立的条件可以比较容易地看出是在AB和CD垂宜时，四面体的体积取到了最大值.我们会发现，使用补形，一下子把陌生的几何体变得熟悉了，原本错综复杂的线面关系也变得清晰起来.利用这一方法解决某些几何问题,思路清晰明朗，较其他方法简洁明了.比如刚才提到的四面体的体积公式也可以用补形法得到.一个四面体的两条相对棱的长分别是a,&,它们的距离为d,所成的角为0,将四面体补形成平行六面体（因为相对棱的长度不确定,相等的时候才能补成长方体）.那么该平行六面体的底面积％s= -^-absinO,平行六面体的体积为卩六同*=丄abdsinO.同样,该平行六面体由原四面2体和四个全等的三棱锥构成.三棱锥与平行六面体的高相等，底面积为平行六面体的一半,x x<^>sin0= ^absind.所以F hw=V aw-4x7=w=—absinO.6一起来看一下常见的几种四面体补形方式：一、把四面体的四个面各补上一个三棱锥，最后形成一个平行六面体.其中正四面体是最特殊的形式，可以补成正方体.而对棱相等的四面体则可以补形成一个长方体.例1:正四面体棱长为°,求外接球的半径R.正四面体补形为一个正方体,正四面体的外接球即为正方体的外接球.如图3：图3正方体的面对角线是正四面体的棱长,体对角线为外接球的直径.设正方体边长为&,则a=V2b,2R=b，所以R=-^-^—a.4例2:在三棱锥A-BCD中,AB=CD=3,AD=BC=4,AC=BD=5,求三棱锥A_BCD外接球的半径.因为有三组对棱相等，把四面体补成一个长方形，如图4：图4长方体的三个面的面对角线是三棱锥的棱长,体对角线是外接球的直径.设长方体的棱长为°,6,c,外接球的半径为R,a^+b2=32,则■fe^cM2,（2R）2=<z2+62+c2,所以t^+c^S2,R丄.2二、把四面体的一个角作为平行六面体的一个角补形成平行六面体.例3:四面体ABCD,侧棱AB,AC,40两两垂宜,AB=2,AC=3,AD=4,求四面体的外接球的半径R.因为四面体的侧棱两两垂直，所以可以把这个角看作长方体的一个角，把四面体补形成一个长方体，则四面体的外接球就是长方体的外接球图5四面体的三条侧棱就是长方体的长、宽、高,外接球的宜径就是长方体的体对角线，则（2R）2=AB2+A（?+402=29,所以R=^_.2例4:若三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上,SA丄平面ABC,SA=2VT,AB=1,A C=2,厶BA C=60°,求球0的半径R.根据已知条件可以得到AABC是宜角三角形，把四面体补成一个长方体,则四面体的外接球就是长方体的外接球,外接球的直径就是长方体的体对角线.如图6：图6则（2R）2=SA2+A CM6,所以R=2.例5:已知四面体PABC的侧面刃C与平面4BC垂直,Z j4BC=90°,BC=2VT,AB=2,且PA±PC,PA=PC,求异面直线PC与4B所成角的余弦值解答:把四面体补成如图所示平行六面体，异面直线PC与4B所成角即为PC与CD所成角的补角的余孩值.取AC中点M,PA=PC,则PMLAC,又因为平面E4C与平面ABC垂直，所以PM丄平面ABC.A A BC中，AABC=90°,AB=2,BC=2020年14冃（下旬）<81数学教学通讯投稿由0 箱:**********>解広集锦2VT ，所以乙4 CB=30° ,A C=4.APAC 中，E4 丄PC,PA=PC 9AC=4, 所以P M=2,PC=2VT.底面四边形ABDC 中i DM * 12=DC 2 +芯仏p),因Ji 匕只要证血1+血2 (f f )<1 眄-1%2仏一方2) , f2-----------In ------------, ln^-lni 2 ln^-lnf 2只要证ln£+l%<21n —戈一,1 2 ln^-lnt,只要证石<,"[(对数平均不 ln^-hi^2等式).C4^-2DC-CM-cosl20°,得到RtAPMD 中，加二 4.△PCD 中，cos 厶P CD 二 M+C 乎-PD2 二 2PC-CD V24 •所以异面直线PC 与AB 所成角的 余弦值为匹.4此题也可以用空间向量法解答，用 补形能更好地体现线面关系.三、把四面体补形成三棱柱例6：已知某几何体底面ABC 是棱 长为1的等边三角形，刃丄平面ABC, PA =3,求该几何体的外接球的半径.解答:将该四面体补形成一个三棱柱四面体的外接球就是三棱柱的外接球.先求三棱柱底面三角形外接圆半 径r=A. VT = VT.3 2 3又因为刃丄平面ABC,B4=3,所以三棱柱的外接球半径为R =四面体的问题可以通过补形变成 正方体、长方体乃至平行六面体的问题.尤其在正方体和长方体中，点线面的关系是我们所熟悉的.一些几何题的证明和求解，由原几何图形分析探究会比较 烦琐，通过补形填补成一个新的几何图形,能使原问题的本质得到充分的体现,解决起来比较容易.本文着重讨论四面 体的补形问题，希望窥一斑而知全豹, 探究立体几何中补形法这一重要的转化策略.(上接第74页)-771=0,证法4：由题意得 所以ln(x 1+m)-m%1=0,ln(%2+7?l ) -77U ；2=O.^x l +m=t l ,x 2+m=t 2,^ix l =t l -m 所以两式相减得]nt 2-m (£2-7n ) =0,1叫一1皿2,所 以?n=-----------方1-方21 ln^-ln^ / ln^-ln^鸟,所以|2=a 勾芯 ，、t r t 2ln^-lnt / 1叫 一1叫 ]叫--------XL+ ----------两式相加得lrUj+ln^- x (i !+力1一力22=0,t 2)+2'1%-1%,lnL-lni 2所以----------X (£ 1 +匚)=lni ] +lni 2+f 2I lm-liu 2 u'E 丿，~ ln/^lnL ln/^lnL所以鼻+%-2><_ =—_ («!-t x -t 2(2)-7 1要证衍+%2<0，只要证％ i +%2<—In —， m m 只要证t 1+t 2-2m<—In 丄，m mlnL-lnt, InL-liU.又？n=-----------+£2-2x ----------------=右-方2 NF ln^+lnij U1 2令卩（"）=u-21mz -----，贝U0（«）=1-----+u u丄二（弘1） >0,所以卩（訪）在"e （1,+qo ） u 2 u 2上单调递增，所以卩@）>卩（1）二0,所以21n “-丄>0,所以X1+x 2<0,所以*匕题得证.U卩形成结论极值点偏移问题中的南辕北辙现象,是由基函数极值点偏移方向不符题 意要求引起的.要避免这种现象的发生,应使基函数极值点偏移方向与题意 要求一致.82 > 2020年九冃（下旬）。
高中数学面面平行教案
高中数学面面平行教案
教学目标：
1. 了解平行线的概念；
2. 掌握平行线的性质及相关定理；
3. 能够应用平行线的性质解决相关问题。
教学内容：
1. 平行线的定义；
2. 平行线性质：同位角、内错角、同旁内角、交错内角等；
3. 平行线的判定及相关定理。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师通过举例引入平行线的概念，让学生了解平行线的定义，并引出平行线的性质。
二、讲解与示范（15分钟）
1. 讲解平行线的性质和相关定理；
2. 通过示例演示如何判定平行线及如何利用平行线性质解决问题。
三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生进行练习，巩固平行线的概念和性质；
2. 学生通过讨论和合作，解决关于平行线的实际问题。
四、作业布置（5分钟）
教师布置相关作业，让学生巩固所学的知识。
五、检查与反馈（5分钟）
下节课开始前，教师对学生的作业进行检查，给予反馈并解决学生在学习中的疑问。
教学资源准备：
1. 教案、讲义；
2. 平行线的相关图形、实物模型等；
3. 作业册及答案。
教学反思：
在教学过程中，要重点讲解平行线性质，并通过丰富的实例让学生加深对平行线的理解，激发学生的学习兴趣。
同时，要鼓励学生主动思考和实践，培养他们的解决问题能力。
高二数学最新教案-立体几何组合问题的处理方法 精品
立体几何组合问题的处理方法与立体几何有关的组合问题，以灵活、有一定难度等特点使学生不易掌握.现结合具体例子谈谈这类问题的几种处理方法.1.直接求解例1.从平面α上取6点，从平面β上取4点，这10个点最多可以确定多少个三棱锥？ “和”的思路：要想使这10个点构成的三棱锥最多，除α上6点共面，β上4点共面外，应再无四点共面及三点共线.所以可从平面α上6个点中任取一个与平面β上4个点中任取3个构成三棱锥，有3416C C 个；也可以从平面α上6个点中任取2个与平面β上4个点中任取2个构成三棱锥，有2426C C 个；还可从平面α上6个点中任取3个与平面β上4个点中任取1个构成三棱锥，有1436C C 个.根据加法原理共有143624263416C C C C C C ++=194（个）.“差”的思路：先不考虑共面的点，从10个点中任取4点，可构成C 410个三棱锥，去掉在平面α上有C 46个，在平面β上有C 44个，要想达到最多应再无四点共面及三点共线，故最多可构成C 4446410C C --=194（个）.2.结合立几概念例2.空间10个点，无三点共线，其中有六个点共面，此外设有任四个点共面，则这些点可以组成四棱锥的个数有多少个.错解一（“和”的思路）：依题意，可从共面六个点中任取1个、2个、3个、4个点与从另外4个点中任取4个、3个、2个、1个点都可构成四棱锥，所以共有1446243634264416C C C C C C C C +++=264（个）.错解二（“差”的思路）：先不考虑共面，从10个点中任取5个点，可构成C 510个，去掉六点共面有C 56个，故有C 510－C 56=246（个）.正解：由立几中四棱锥的定义知：四棱锥的底面是平面四边形.故四棱锥底面的四点，只能从共面的6个点中选取，有C 46种，顶点可从另外4个点任取一个，有C 14种，由乘法原理有C 46C 14=60（个）.3.结合立几图形例3.（1991年全国高考题）如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线有（ ）A.12对B.24对C.36对D.48对解：结合六棱锥图形知：六棱锥的6条侧棱交于一点，底面六边形的6条边共面，因而只能将侧棱与底边相搭配，从6条侧棱中任取一条有C 16种.再从底面6条边中与这条侧棱不相交的4条边中任取一条，有C 14种，由乘法原理共有C 16C 14=24对，选B. 例4.（1990年全国高考题）以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有（ ）A.70个B.64个C.58个D.52个解：先不考虑四点共面的情况，从正方体8个顶点中任取4个有C 48种取法，再结合图形去掉四点共面的情况.易知有6个表面，6个对角面，故所求四面体个数为C 48－12=58个，选C.例5.用正五棱柱的10个顶点中的5个顶点作四棱锥的5个顶点，共可得多少个四棱锥？ 此题笔者见许多资料中都给出110个，这答案是错的.现结合图形给出正解. 解：结合正五棱柱的图形，以不同类型的四棱锥的底面分类可得：（1）以棱柱底面为四棱锥底面的共有2C 1545C ； （2）以棱柱的侧面为四棱锥底面的共有1615C C ； （3）以棱柱的对角面为四棱锥底面的共有1615C C ；（4）以如图中ADC 1B 1（为等腰梯形）为四棱锥底面的共有21615C C ，所以可构成的四棱锥共有2C 1545C +1615C C +1615C C +21615C C =170（个）.4.构造几何模型例6.与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？解：由题设条件，空间不共面的四点可构成四面体，考虑四面体的四个顶点在所求平面两侧的分布，易知当所求平面位于三棱锥的顶点与底面之间时有4个；当所求平面位于三棱锥相对棱之间时有3个.故共有7个平面.例7.在正方体八个顶点的所有连线中，有多少对异面直线？解：因四面体的6条棱可构成3对异面直线，故可构造四面体，为此只需求出正方体八个顶点可构成多少个四面体即可，而这恰是例4.故可得（C 48－12）×3=174对异面直线.。
四面体的一种补形方法及其应用_张必平
=11 , |DA |=9 , 则AC BD 的取值 ( )
(A) 只有一个. (B) 有两个.
(C)有四个.
(D)有无究多个.
解 连 AC , BD 得
四面体 ABCD . 如图 5 ,
将它补成 平行六面体
AB 1 CD 1 - A1 BC1 D . 由
条件得 |A.
(收稿日期 :2006 - 06 - 01)
积V
=Sd
=
3 2
.
注意到
V =V =V B- AB1 C
B- CC1P
D - ACD 1
=VD- AA1 B
=
1 6
V
,
∴V ABCD
=V -
4
×
1 6
V
=
1 3
V
=
1 2
,
选(B).
例 2 (2005 年全国高中数学联赛题)空间
四边形 ABCD 中 , |AB |=3 , |BC|=7,|CD |
分别是 BC , AD 的 中点 , 求异面直线 AE 和
CF 所成的角.
解 如图 8 , 将四面
体 ABCD 补成 正 方体 ,
建立空间直 角坐标系 A
- xyz . 设正方体的棱长
为单位 1 , 则 AE
=(
1 2
,
1,
1 2
), F(
1 2
,0,
1 2
)
,
图8 例 4 图
C(0 , 1 , 1), FC
(C) 72π. (D) 94π.
解 长为 1 的两条棱不可能同在三棱
锥的一个面内 , 必为对棱.
如图 6 , 将三棱锥补成
平行 六面 体. 由 三组 对棱
四面体与平行六面体
四面体与平行六面体四面体与平行六面体之间存在一种特殊的关系，即四面体可以补成一个平行六面体，且各棱恰好为平行六面体各面上的一条对角线。
它们之间有如下性质：性质1.任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，并且1=3V V 四面体平行六面体；性质2.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为2a 的正方体；性质3.三组对棱分别相等且有一个面为锐角三角形的四面体可以补成一个长方体。
例1.(03全国联赛)在四面体ABCD 中，设1AB =,CD =直线AB ,CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积为例2（12年石家庄一模）设四面体ABCD中,AB CD AC BD m ====AD BC n ==，且226m n +=，则四面体ABCD 体积最大值为（10全国）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为（ ）(A)练1.已知三棱锥的三个侧面两两垂直，三条侧棱长分别为4、4、7，若此三棱锥的各个顶点在同一球面上，则球的表面积为（ ） A. 81π B.36π C.81πD. 144π练2．在四面体ABCD ，则此四面体ABCD 的外接球的半径R 为 ．例3.（04福建竞赛）四面体ABCD 中，,,AB CD A BC AD b CA BD c ======。
如果异面直线AB 与CD 所成的角为α，则cos α=练．如图，有一个内接的四棱锥P ABCD -，若PA ABCD ⊥底面，2BCD π∠=，2ABC π∠≠，4,5,3BC CD PA ===，该球的表面积为（ ）A ．100πB ．50πC ．80πD 例4.棱长为a 的正四面体ABCD 的棱CD 在平面α内， ||AB α，E ，F 在平面α上的射影，则由A ，B ，E,C,F,D 为 顶点的几何体的体积为例5.正四面体ABCD 的四个顶点在半径为R 是的球上，求AB 的长。
高考数学一轮复习 第十章 立体几何初步 第70课 面面平行教案(1)(2021年最新整理)
2017年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第70课面面平行教案(1) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第70课面面平行教案(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考数学一轮复习第十章立体几何初步第70课面面平行教案(1)的全部内容。
A BCDGEFH面面平行一、教学目标1、 使学生掌握两个平面的位置关系，两个平面平行的判定方法及性质,并利用性质证明问题；2、 注意等价转化思想在解决问题中的运用，通过问题解决、提高空间想象能力;3、 通过问题的证明，寻求事物的统一性，了解事物之间可以相互转化，通过证明问题、树立创新意识.二、基础知识回顾与梳理1、两个平面的位置关系有______________。
2。
两个平面平行的判定（1）定义：_____________________________________________；（2)判定定理：如果一个平面内 分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行 。
符号语言： 3、两个平面平行的性质定理 (1)α∥β,a ⊂α⇒（2)α∥β，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ⇒1、已知直线,m n ，平面,,αβγ。
下列条件能得到α∥β的是__________． 答案 ⑤⑥①,,m n m αα⊂⊂∥β,n ∥β；②,,m n m αβ⊂⊂∥β,n∥α；③m ∥n , ,m n αβ⊂⊂；④n ∥α，n ∥β；⑤n ⊥α， n ⊥β； ⑥γ∥α，γ∥β． 【教学建议】本题主要是帮助学生复习面面平行的判定定理,①、②、③、④主要为了帮助学生加强记忆，判定定理里的两直线必须是同一平面内的，而且必须是相交的 ；⑤主要说明证明面面平行的第二种方法，即如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行；⑥主要P QC 1D 1D C BA复习了平行的传递性,即如果两个平面和同一个平面平行，那么这两个平面平行．这也是证明面面平行的第三种方法．教学中，要利用图像使学生形成空间观念，认识到哪些情况使得命题不成立，最好有学生画图举例．2、若两条直线,a b 分别在两个平行平面内,则,a b 的关系是__________． 答案 平行或异面【教学建议】本题主要帮助学生复习两个平面平行的性质定理，若由两个平面平行来证明两条直线平行，则这两条直线必须是这两个平行平面与第三个平面的交线．教师可以继续追问，其中一平面内的直线与另一平面的位置关系．故而又得到一个结论，线面平行不仅是由线线平行得到，也可以由面面平行得到．3、“若平面α内有三点到平面β内的距离相等，那么α∥β"为真命题，则此三点必须满足的条件是__________． 答案 不共线的三点在平面β的同侧．【教学建议】本题改编自课本习题，学生较容易想到三点不共线，却会忽略必须在同一侧．要通过具体图形，举出反例．4、如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱1111,,,CC C D D D CD 的中点，N 是中点． 点M 在四边形EFGH 上及其内部运动,则点M 满足条件___________时,有MN ∥平面11B BDD ． 答案 M FH ∈．【教学建议】本题考察学生读图识图能力，灵活运用直线与平面平行的判定定理和性质定理的能力．教学中，根据学生基础情况，适当进行引导,先找到特殊点，再找到特殊的线，再发现特殊的面,抓住NH ∥平面11B BDD ,FH ∥平面11B BDD 来分析． 三、 诊断练习1、教学处理:课前由学生自主完成4道小题,并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏．课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误．教学中,通过师生讨论交流，发现学生理解运用线面平行判定定理和性质定理过程中存在的不足，纠正学生普遍存在的图形理解认识的不足．2、诊断练习点评题1、 如图，1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，,M N 分别是下底面的棱A 1B 1C 1D 1 ABCD NHEGF aAP =1111,A B B C 的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点， ，过,,P M N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ = __ _．答案：【分析与点评】注意等价转化思想在解决问题中的运用，利用面面平行的性质，得到线线平行，从而求 得线段的长度．要求学生画出辅助线，找对面．教学 中可以从两个问题展开．问题１：直线,PQ MN 有什么关系？为什么？ 师生交流，抓住面面平行的性质定理．问题２：如何确定点Q 的位置，作出PQ ?先由学生讨论,然后交流．由正方体的性质及平行线的传递性可知，在平面ABCD 内作PQ 平行于AC 交CD 于Q ． 题2、平面l αβ=,a ∥α,a ∥β，则a 与l 的关系为___________． 答案 平行【分析与点评】此处可以联系生活中的实例让学生自己去理解，增强学生的空间想象力．也可以由学生自己画出符合条件的图形帮助理解，还可以根据学生情况,要求学生证明这个命题． 题3、已知α∥β，a ⊂α,B β∈，则在β内，过点B 的所有直线中与a 平行的直线有__ __条．答案 一条．【分析与点评】1、先提问a 与β的位置关系,复习面面平行的性质．2、 再问a 与β内的直线的位置关系，异面和平行,追问：β内与直线a 平行的直线有多少条？3、 提问由面面平行如何得到线线平行，那条线该怎样去找,有几条?讨论交流，回顾平面几何，在一个平面内过定点作已知直线的平行线只能作一条．题4、已知m 、n 是两条不同直线，α,β是两个不同平面，下列命题中的真命题是________．①如果m ⊂α，n ⊂β，m∥n,那么α∥β ②如果m ⊂α，n ⊂β，α∥β，那么m∥n③如果m ⊂α，n ⊂β,α∥β且m ，n 共面，那么m∥n ④如果m∥n，m⊥α，n⊥β,那么α⊥β 答案为:③【分析与点评】m ⊂α，n ⊂β，α∥β⇒m ，n 没有公共点．又m,n 共面， 所以m∥n。
高二数学最新教案-如何把四面体补成平行六面体 精品
如何把四面体补成平行六面体任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上的一条对角线，并且下列重要性质：1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上的一条对角线，且V 四面体=31V 平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体.3.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为a 22的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用.例1如图1，四面体S —ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为25、13、22，求四面体的体积. 图1分析：由于底面△ABC 的三条边长都不相等，三条侧棱长SA 、SB 、SC 也都不相等，所以如果按常规方法：V =hS 31去求体积，△ABC 面积的计算或者顶点S 到底面ABC 的距离h 都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB =AC =25，SC =AB =13，SA =BC =22，则四个面是全等的三角形，在△SBC 中，SB 最大，所以∠SCB 最大，而cos SCB =26412213220813=⋅⋅-+>0，所以△SCB 为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则有 x 2+y 2=13，y 2+z 2=20， z 2+x 2=8，解得 x =.230,225,22==z y 所以 V 长方体=,4305 V 四面体=31V 长方体=.12305 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长_______.分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为3V 正四面体=3·72=216，则正方体的棱长为3216=6， 而 EF =31BD ，BD 为正方体的对角线，所以 BD =62，EF =22. 图2例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为α，则cos α=________.分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为α，这样的点可设想为正四面体的中心O ，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设∠AOB =α，正方体的棱长为1，则图3 图4OA =OB =23，AB =.2 所以 cos α=312323224343-=⋅⋅-+. 例4.如图5，四面体ABCD 的各棱长为1，P 为棱AB 的中点，Q 为CD 的中点，求线段PQ 的长.图5 图6分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ 实质上是正方体两个对面之间的距离，即为正方体的棱长，所以PQ =.22 例5．如图7，设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ ）图7 A ． arcsin 36 B ．33arccos 2+π C ．2π－arctan 2 D.22arccot-π 分析 如果把正四面体补成正方体，则AB 、BC 、CD 都是面对角线，中点E 、F 、G 即是各面的中心，则平面EFG 是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD 是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的∠COF ，而 tan COE =,22/21==OE CE所以 cot COE =,22 故 ∠COF =π－arccot,22选D. 图8例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，求这个球的体积.分析：由棱长为a 的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为a 22的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的21，即 R =a 42，所以 V 球=.242)42(3433a a ππ=。
四面体和平行六面体体积关系
四面体和平行六面体体积关系嘿，朋友们！今天咱们来聊聊四面体和平行六面体这俩有趣的立体图形，特别是它们体积之间那奇妙的关系。
你看啊，平行六面体就像是一个方方正正的大盒子，规规矩矩的。
可以想象成一个装满宝藏的魔法宝箱，每个边啊角啊都整整齐齐的。
而四面体呢，就像是从这个大盒子上切下来的一个小角角，是个瘦瘦尖尖的小家伙。
平行六面体的体积计算就像数宝藏一样，长乘以宽乘以高，简单直接，就好像是按照一个固定的配方在计算宝藏的总量。
可四面体就不一样啦，它的体积计算像是一种神秘的魔法。
其实啊，四面体的体积是平行六面体体积的六分之一呢！这就好比平行六面体是一个大蛋糕，四面体只能分到一小块，而且是超级小的那一块，只有大蛋糕的六分之一。
要是把平行六面体比作一个超级大的城堡，那四面体就像是城堡里一个小小的尖顶阁楼。
城堡里能装好多好多东西，而阁楼就只能装一点点。
你要是想在阁楼上藏点小秘密，那空间可有限得很，因为它只是城堡体积的六分之一嘛。
再夸张点说，如果平行六面体是一片广阔的天空，那四面体就只是天空中的一颗小星星。
天空能容纳无数的东西，星星虽然也很闪耀，但是和天空比起来，那体积可就小太多太多了。
有时候我就想啊，四面体是不是平行六面体的一个小跟班呢？总是跟着大的，但是自己又那么弱小。
不过呢，虽然四面体体积小，可它也有自己独特的魅力。
就像小个头的精灵，虽然力量没有巨人那么大，但是也能在自己的小世界里闪闪发光。
而且啊，这种体积关系就像是一种大自然的小玩笑。
为什么四面体偏偏是平行六面体体积的六分之一呢？这就像是一个神秘的数学魔法咒语，我们只能乖乖遵守这个规律。
不管怎么说，四面体和平行六面体的体积关系就是这么独特又有趣。
它们就像数学世界里的一对奇妙组合，一个庞大稳重，一个小巧灵动，共同构成了我们丰富多彩的几何世界。
下次看到它们的时候，可别忘了这个有趣的六分之一的关系哦，就像记住一个超级有趣的小秘密一样。
四面体与平行六面体之间的一种割补关系及其应用
四面体与平行六面体之间的一种割补关系及其应用
单文海
【期刊名称】《中等数学》
【年(卷),期】1995(000)005
【摘要】四面体与平行六面体之间存在着一种特殊的关系,即四面体可以补成一个平行六面体,且各棱恰为平行六面体各面上的一条对角线,它们之间具有以下一些性质: 性质1 任何一个四面体都可以补成一
【总页数】2页(P11-12)
【作者】单文海
【作者单位】浙江绍兴县平水中学 312050
【正文语种】中文
【中图分类】G634.605
【相关文献】
1.借助平行六面体模型解决四面体问题 [J], 周益勇
2.垂心四面体的垂心的一个向量形式——兼谈四面体的垂心与欧拉球心之间的关系[J], 曾建国
3.利用平行六面体解四面体的对棱问题 [J], 赵纪向
4.四面体的外接平行六面体 [J], 林磊[1];蒋宝童[2,3]
5.怎样的四面体能够补成长方体?—–谈补形法求解四面体外接球问题 [J], 高用因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
平行六面体-湘教版必修3教案
平行六面体-湘教版必修3教案1. 教学目标•了解平行六面体的定义和性质；•掌握平行六面体的体积公式；•能够应用平行六面体求解实际问题；•培养学生的空间想象能力和解决实际问题的能力。
2. 教学重点•平行六面体的定义和性质；•平行六面体的体积公式。
3. 教学难点•应用平行六面体求解实际问题。
4. 教学方法•讲授法；•课堂练习法；•课堂互动法；•研究性学习法。
5. 教学步骤第一步：引入1.导入性质：请同学们想一想，这个东西长成什么样子？有什么特点？第二步：概念解释1.给学生讲解平行六面体的定义，要求学生掌握定义的语言和符号；2.强调平行六面体的特点（六个面全部都是平行的）。
第三步：性质分析1.讲解平行六面体的性质，如六个面两两平行，每对共面的平行四边形面积相同等；2.通过具体例子解释性质。
第四步：体积公式1.提供例子，引导学生感性理解；2.带领学生推导体积公式；3.强调公式的应用。
第五步：应用举例1.提供实例，让学生感受问题；2.提供解题思路，让学生自行思考并解决问题；3.强调解题的方法和技巧。
第六步：课堂练习1.提供引导学生自主练习；2.讲解解题思路。
第七步：拓展延伸1.提供相关拓展教学。
第八步：小结1.总结全课；2.强调重点难点。
6. 教学评估•课堂互动；•课堂练习；•作业评价；7. 教学资源•《湘教版必修3》课本及配套习题8. 教学反思本堂课教学效果不错，学生们积极参与讨论，课堂气氛活跃，但还需我在细节上进行完善和优化，下节课我将更加注意引导学生进行研究性学习，强化他们的学习效果，促进空间思维的发展。
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如何把四面体补成平行六面体
任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上
的一条对角线，并且下列重要性质：
1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上
的一条对角线，且V 四面体=3
1V 平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相
对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体.
3.棱长为a 的正四面体可以补成一个棱长为a 2
2的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用.
例1如图1，四面体S —ABC 中，三组对棱分别相等，且依次为25、13、22，求四面体的体积. 图1
分析：由于底面△ABC 的三条边长都不相等，三条侧棱长SA 、SB 、SC 也都不相等，
所以如果按常规方法：V =hS 31去求体积，△ABC 面积的计算或者顶点S 到底面ABC 的
距离h 都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB =AC =25，
SC =AB =13，SA =BC =22，则四个面是全等的三角形，在△SBC 中，SB 最大，所以
∠SCB 最大，而
cos SCB =2641
2213220
813=⋅⋅-+>0，
所以△SCB 为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别
为x 、y 、z ，
则有 x 2+y 2=13，y 2+z 2=20， z 2+x 2=8，
解得 x =.2
30,225,22==z y 所以 V 长方体=
,4305 V 四面体=31V 长方体=.12
305 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E 、F ，则线段EF 的长
_______.
分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为
3V 正四面体=3·72=216，
则正方体的棱长为
3216=6， 而 EF =3
1BD ，BD 为正方体的对角线，所以 BD =62，EF =22. 图2
例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为α，则cos α=________.
分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为α，这样的点可设想为正四面体的中心O ，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设∠AOB =α，正方体的棱长为1，则
图3 图4
OA =OB =2
3，AB =.2 所以 cos α=312
323224343-=⋅⋅-+. 例4.如图5，四面体ABCD 的各棱长为1，P 为棱AB 的中点，Q 为CD 的中点，求线段PQ 的长
.
图5 图6
分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ 实质上是正方体两个对面之间的距离，即为正方体的棱长，所以
PQ =.2
2 例5．如图7，设E 、F 、G 分别是正四面体ABCD 的棱AB 、BC 、CD 的中点，则二面角C —FG —E 的大小是（ ）
图7 A ． arcsin 3
6 B ．
33arccos 2+π C ．2
π－arctan 2 D.22arccot
-π 分析 如果把正四面体补成正方体，则AB 、BC 、CD 都是面对角线，中点E 、F 、G 即是各面的中心，则平面EFG 是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD 是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的∠COF ，
而 tan COE =,22/21==OE CE
所以 cot COE =,2
2 故 ∠COF =π－arccot
,22选D. 图8
例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，求这个球的体积.
分析：由棱长为a 的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为a 2
2的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的2
1，即 R =a 42，所以 V 球=.24
2)42(3433a a ππ=。