矩阵及其运算自测题答案 (1)
考研数学三(矩阵及其运算)-试卷1
考研数学三（矩阵及其运算）-试卷1(总分：54.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：4，分数：8.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是（分数：2.00）A.B.C.D. √解析：解析：由于CC * =｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，B可逆，那么3.设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有（分数：2.00）A.CBA=E．B.BCA=E．√C.BAC=E．D.ACB=E．解析：解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．4.设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B-C=（分数：2.00）A.E．√B.-E．C.A．D.-A．解析：解析：由B-C=(E-A) -1 -A(E-A) -1 =(E-A)(E-A) -1 =E(或B-C=B-AB=E)．故选(A)．二、填空题(总题数：7，分数：14.00)5.已知n阶行列式｜A｜A｜的第k行代数余子式的和A k1 +A k2+…+A kn = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A *有密切的联系，而A *与A -1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A -1．由于又因A * =｜A｜A -1，那么6.已知(A * ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AA * =｜A｜E，有7.已知 A -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：A= =5B -1，求B -1可用公式(2．8.设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A-2B，(A+2E) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由AB=A-2B有AB+2B=A+2E-2E，得知(A+2E)(E-B)=2E，即(A+2E). (E-B)=E．故(A+2E)-1(E-B)．9.设B=(E+A) -1 (E-A)，则(E+B) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由于B+E=(E+A) -1 (E-A)+E=(E+A) -1 (E-A)+(E+A) -1 (E+A) =(E+A) -1 [(E-A)+(E+A)]=2(E+A)-1，故 (B+E) -1(E+A)．10.如A 3 =0，则(E+A+A 2 ) -1 = 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：E-A）解析：解析：注意(E-A)(E+A+A 2 )=E-A 3 =E．11.设3阶方阵A，B满足A -1 BA=6A+BA．且B= 1．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：由题设知，A可逆．然后在题设关系式两端右乘A -1有：A -1 B=6E+B，在该式两端左乘A，得B=6A+AB．移项得(E-A)B=6A，则B=6(E-A) -1 A．于是由三、解答题(总题数：16，分数：32.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
矩阵习题及答案
矩阵习题一、选择题1、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×4、，下列运算( )有意义.(A). ABC (B). AB-C (C). A+B(D).BC-A.2、设有矩阵A3×2、B2×3、C3×3、D3×3、，下列运算( )无意义.(A). |AB|(B). |BA|(C). |AB|=|A|⋅|B|(D). |CD|=|C|⋅|D| .3、设|A|≠0，下列结论( )无意义.(A). |A*|≠0 (B). |A－1|=|A|－1(C). A对称⇔ A－1对称(D). A－1=1/A.4、若同阶方阵A、B满足(A+B)(A－B)=A2－B2，则( ).(A). A=B (B).A=E (C). AB=BA (D).B=E.5、设A,B为同阶方阵，满足AB=O，则( )有意义.(A). |A|=0或| B|=0 (B).A+B=O (C). A=O或B=O (D). |A|+| B|=0.6、若A*为A的伴随矩阵，则|A*|=( ).(A). |A|n-1(B). |A|n-2(C)|A|n (D). |A| .7、设A,B为同阶对称阵，则AB对称的充要条件为( ).(A).A可逆(B). B可逆(C). |A B|≠0 (D). AB=BA.8、若A、B为n阶方阵，则( ).(A). |A+ B|=|A|+| B| (B). |A B|=| B A |(C). AB=BA (D). (A+B)－1 =A－1+B－1.9、若A、B、A+B为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1 = ( ).(A). A－1+B－1(B). A+ B (C). B (A+B)－1 A (D). (A+B)－110、若A*为A的伴随矩阵，则(A*)*=( ).(A). |A|n-1 A (B). |A|n+1 A (C).|A|n-2 A. (D). |A|n+2 A .11、若A、B为n阶可逆阵，则 ( )(A). (AB)T=A T B T(B). (A+B)T=A T+ B T(C). (AB)－1 =A－1B－1(D). (A+B)－1 =A－1+B－1.12、设A、B为n阶矩阵，满足(AB) 2=E，则等式( )不成立.(A). A= B－1(B). ABA= B－1(C). BAB =A－1(D). (BA) 2=E .13、设A、B都可逆，且AB=BA，则等式( )不成立。
《线性代数》第二章矩阵及其运算精选习题及解答
第二章 矩阵及其运算2.1 目的要求1．理解矩阵的概念；2．了解单位矩阵, 对角矩阵, 三角矩阵, 对称矩阵以及它们的基本性质； 3．掌握矩阵的线性运算, 乘法, 转置及其运算规则；4．理解逆矩阵的概念; 掌握可逆矩阵的性质; 会用伴随矩阵求矩阵的逆； 5．了解分块矩阵的概念, 了解分块矩阵的运算法则．2.2重要公式和结论1．对于任意方阵A , 总有 E A =A A =AA **，如果0≠A , 即A 为可逆矩阵, 则有 *1A AA1=−或1*A A A −=； 2．数乘以方阵的关系 , TTk k A A =)(111)(−−=A A kk , A A n k k =, A A 11=−；3．矩阵乘法的关系T T T A B (AB)=, , 111A B (AB)−−−=BA AB =；，()22T TA)(A =()2112A )(A−−=，22A A =；4．若A 、均为可逆矩阵, 则; ； B 10B A 0−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−0AB 011⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−111B 00A B 00A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B 0CB A A B 0C A ；； ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−11111B CA B 0A BC 0A 5．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)2(≥n 1n *AA −=；6．已知A 为一个阶矩阵，则n A A nk k =，1−=n nk k A A *，()1)1(*−−=n n n kk AA ；7．已知A 为一个n 阶可逆矩阵, 则有)3(≥n A AA 2**)(−=n ．2.3典型例题例2.1计算:(1) (2) .⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(()n n b b a a L M 11⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛解 (1) =;⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n b b a a M L 11)(∑==+n k k k n n b a b a b a 111L (2) . ()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b a a L M M M L L L M 21222121211111例2.2 设 为三阶矩阵, 且已知)(j i a =A a =A , *A 为A 的伴随矩阵又⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211na na na ma ma ma la la la B , 求 *BA 解 由于 CA B =⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=333231232221131211333231232221131211000000a a a a a a a a a n m l na na na ma ma ma la la la 其中, ，故⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n m l 000000C ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛====an am al a 000000C E A C CAA BA **．例2.3 设, , 求的关系, 使⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3421A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x 21B y x 与A 与是可交换的． B 解 要使A , 可交换, 即B BA AB =又⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y x y x y x 3464214213421AB ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y y x x y x 3442324342121BA 故的充要条件是 ， 得到 BA AB =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=++=++=+yy y x x y x x 343442643221441−=y x .例2.4 设n ×=1)21,0,,0,21(L C , , ,计算C C E A T −=C 2C E B T +=AB ．解: C)C C)(E C (E AB TT +−=C CC 2C C C C 2C E T T T T −−+= )C (CC 2C C C E TTT−+=C C 212C C E T T ××−+=E = 故 E AB =．例2.5 设. , 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5423A 1−A解 由于075423≠==A , 故A 是可逆的，又， 故⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=342522122111*A A A A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==−3425711*1A A A ． 例2.6 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 是常数, 试证 k ()*A A 1*−=n k k ． 证明 把看作一个整体, 根据A k E A AA *=, 有 ()E A A A )()(*k k k =，由于A 是可逆的,则也是可逆的，故)(A k ()*11111*1)()(A A A A A A A A −−−−−==×==n n n k k kk k k k ． 证毕例2.7 设, ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2111021100210001A *A 为A 的伴随矩阵, 求． **)(A 解 由于 082111021100210001≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆；根据E A AA *=, 有 E A )(A A ****=，方程左右两边同时左乘以A ，得 E A A )(A AA ****=， 即 A A A)(A ***1=， 又 1n *A A −=, A 是4阶矩阵，故 10001200()6411201112−⎛⎞⎜⎟⎜⎟===⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠n 22**A AA AA ． 例2.8 设A , 是n 阶方阵, 若B AB E −可逆, 试证 BA E −也可逆 ．证明 由于A AB)AB)(E B(E E BA E 1−−−−=−A AB)BAB)(E (B E 1−−−−=A AB)BA)B(E (E E 1−−−−=移项得到E A AB)BA)B(E (E BA)(E 1=−−+−−即E A)AB)B(E BA)(E (E 1=−−−−根据可逆矩阵的定义, BA E −可逆, 并且．证毕A AB)B(E E BA)(E 11−−−+=−例2.9 设, 求．⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=00010000200010L L MM M MLL n n n A 1−nA 解 对矩阵分块, , 其中 n A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0CB 0A n )(n =C ， ， ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=100020001n L M M M L L B 故1(1n=−C , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−)1(10002100011n L M M M LLB， 根据分块矩阵的逆矩阵公式⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−−0B C 00C B 0A 1111n⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=0)1(100021000011000n n LM M M M L L L ． 例2.10 设阶方阵 , , 求, 使n ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100001010A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=021102341B X B AX =． 解 由于01100001010≠−==A , 故A 是可逆的; 并且 ；⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000010101A 方程左右两边同时左乘以1−A 得到⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−021341102021102341100001010B A X 1．例2.11 设,求, 使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=134030201A X X A E AX 2+=+．解 对方程移项得 E A X AX 2−=−， 根据矩阵乘法分配律得E A E)X (A 2−=−由于 016034020200≠−==−E A , 故E A −可逆．方程左右两边同时左乘以, 得(1−−E A )()()E)(A E A E)(A E A E)(A X 121+−−=−−=−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=234040202E)(A例2.12 设, 求. 其中E BA)B X(E TT1=−−X , ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000110001100011A ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=2000120031204312B 解 根据乘法转置公式得 TTT(AB)A B =T T 1T T1A)(B A)]B [B(E BA)B (E −=−=−−−又 011234012300120001)(≠==−TA B , 故可逆， 对方程 右乘以[， 得到 ． T )(A B −E A)X(B T=−]1)(−−T A B []⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−12100121001200011T A)(B X例2.13 设A 的伴随矩阵, 求, 使． ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=8030010100100001*A B 3E BA ABA 11+=−−解 根据, 得到 3E BA ABA 11+=−−()3E BA E A 1=−−故 皆是可逆的, 并且A E,A −()()()1111A E A A E AB −−−−−=−=33[]1111)A (E E))(A (A −−−−−=−=33又由1n *AA −=, 8*=A , , 故 4=n 2=A ，1*1*11)A E ()A (E )A (E B −−−−⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=−=−=22132133 11*1*60300101001000016)2(6)2(213−−−⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−=−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=A E A E B . ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=1030060600600006例2.14 设阶矩阵n A 的伴随矩阵为*A , 试证(1) 若0=A , 则0*=A ； (2) 1*−=n AA ； (3) 1)1(*)(−−=n n n kk AA ．证明 (1 ) 根据0=A 得到0A =与0A ≠两种情况，① 当0A =时, 则, 显然0A *=0*=A ；② 当0A ≠时, 利用反证法, 不妨反设0*≠A ，则可逆, 即存在*A 1*−A , 又由于E A AA *=,0=A ，得到0)(A 0)(A A A 1*1*=⋅==−−, 这与矛盾.假设0A ≠0*≠A 不成立．故综合①②得到若0=A , 则0*=A .(2 ) 分0=A 和0≠A 两种情况，① 当0=A 时, 由(1)得到0*=A , 显然有1*−=n AA ．② 当0≠A 时, 则A 可逆, 由E A AA *=引入行列式得到n*A A A =, 从而1n *AA −=．(3 ) 根据(2 )中1n *AA −=得到1)1(11*)()()(−−−−===n n n n n n k k k k AA A A ．例2.15 设A , 均为阶方阵, B n 2=A , 3−=B , 求1*B)(A −2．解1*n1*1*1*B A B A B)(A B)(A −−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛===212122， 又根据E BB1=−, 得到1=−1B B , 即BB 11=−, 以及1−=n A A *，所以6131)2(212121−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−××⎟⎠⎞⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−−−n n1*n1*B A B)(A例2.16 设5阶矩阵A , 且2=A , 求A A −． 解 由于2=A , ()()6423225−=×−=−=−=−A A AA A 5．例2.17 设A , 均为3阶矩阵, B 2=A , 21=B , 求()*AB ． 解()()122122=⎟⎠⎞⎜⎝⎛====−−1313*****ABA B A B AB ． 例2.18 设阶矩阵n A , 有E A m=, 若A 中每个元素用其对应的代数余子式代替, 得到矩阵, 求．ij a ij A B mB 解 依题意, 得 , (其中T *)(A B =*A 为A 的伴随矩阵)，由E A m=, 得到1=m A ,即A 是可逆的，故 1ΤΤ1Τ1Τ*)(ΑΑ)(ΑΑ)ΑΑ()(ΑΒ−−−====，又由, 得111A B (AB)−−−=T T T A B (AB)=()()222112)(,)(T T A A A A ==−−，所以 ()()11)()(−−=T m mTA A , 故()()E A A AB===−−11)()(Tm T m mm．例2.19 设⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=21232321A , 且E A 6=, 求11A 解 由 E A 6=, 得E A12=, 即E AA 11=, 故⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=−212323211A A 11. 例2.20 设, )5,4,3,2,1(=A ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=51,41,31,21,1B , 又B A X T =, 求n X 解 由X XX XnL =B)(A B)B)(A(A T TTL =()()()B BA BA BA A T T T T L =又因为，故 5=T BA ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛==−−514131211543215511n n n B A X T ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=−145352555413424534312335242321251413121151n ． 例2.21 设, 满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=100000001B ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=112012001P PB AP =,求A , 9A ．解．由于01112012001≠−=−=P , 故是可逆的,且，P ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=−1140120011P 由题意, ， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−==−1140120011000000011120120011PBPA ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001又 A PBP P PB PBP PBPA 119119====−−−−L ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=116002001．例2.22 设, 求⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λA nA ． 解 由于 ，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==1021101101λλλAA A 2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==10311011021λλλA A A 23不妨假设结论,下用归纳法证明. 当⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA 2=k 时,显然成立， 不妨设时也成立, 即, 则当1−=n k ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−10)1(11λn n An k =时⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−10110110)1(1λλλn n A A A 1n n ，故结论成立, 即． ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=101λn nA2.4 独立作业2.4.1 基础练习1．设阶矩阵, 且n )(ij a =A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=n λλO 1D )(j i j i ≠≠λλ则=AD （A ）()ij i a λ ； （B ）()j ij a λ； （C ）()ij i a 1+λ ； （D ）以上都不对． 2．设A 、均为阶矩阵，下列命题正确的是 B n（A ）0B 0A 0AB ==⇒=或； （B ）0B 0A 0AB ≠≠⇔≠且； （C ）00==⇒=B A 0AB 或； （D ）00≠≠⇔≠B A 0AB 且． 3．设阶矩阵满足， 则有 n E ABC =（A ） （B ）E ACB =E CBA = （C ）E BAC = （D ）E BCA =4．设，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=120001430A =A k（A ） （B ） （C ）311k −311k k 11− （D ） k 115．下列命题正确的是 （A ）若A 是阶方阵，且n 0A ≠，则A 可逆； （B ）若A 、是阶可逆方阵，则B n B A +也可逆； （C ）若A 是不可逆方阵，则必有0A =； （D ）若A 是阶方阵，则n A 可逆⇔TA 可逆．6．已知，，则⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=210413121A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=121312410B ()T AB 7．设，，则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=0111,300121A A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=21A 00A A =−1A8．已知，则 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=300041003A =−−1)(2E A9．设矩阵满足，其中B 9E 3B A AB 2−=−E 为三阶单位矩阵，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=400020101A , 则 =B10．已知，满足⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=200012021B A B AB =−，则=A 11．设，，求矩阵，使⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=311201A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=041012B X B X A =+23成立．12．设，计算⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=141021001A ()()()2181644A A E A E A E +−−−−T ．13．设，,求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=1000210032101321B ⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=1000210002101021C A , 使成立．T T 1C B)A C(2E =−−14．设矩阵，，，⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=3152P ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=1001B ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=2153Q PBQ A =， 试计算QP 和nA ．15．设（k 为正整数），（1）试证 ；0A k =1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）求． 1)4(−−E)(A 2.4.2提高练习1．设A 为阶矩阵,且有n A A 2=,则结论正确的是________________ (A)(B) 0A =E A = (C) 若A 不可逆,则0A = (D) 若A 可逆,则E A 2=2．已知，，且⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=22211211a a a a A ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=y a x a 2111B 1,1==B A ，则=+B A (A) 2； (B) 3; (C) 4; (D) 5．3．设 ，是两个阶方阵，则)(ij a =A )(ij b =B n AB 的第行是 i （A ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （B ） A 的各行的线性组合，组合系数是的第行各元素； B i （C ） 的各列的线性组合，组合系数是B A 的第行各元素； i （D ） 的各行的线性组合，组合系数是B A 的第列各元素． i 4．设A 、、C 为可逆矩阵，则B ()=−1T ACB（A ） ； （B ） ；()1−−−C A B11T 11T A C B −−（C ） ( D ) ()1T 11B CA −−−()11T1A C B−−−．5．设A 为阶矩阵，为其伴随矩阵，则n *A =*A k （A ） A n k （B） nk A （C）1−n n k A（D）nn kA1−6．设三阶矩阵A 的行列式3=A ，则=−−*123A A7．设阶矩阵n A 的行列式5=A ，则()=−1*5A8．已知 则⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=θθθθcos sin sin cos A =−1A 9．设阶矩阵n A 、、C ，且B E CA BC AB ===，则 =++222C B A10．设A 、是四阶矩阵，且B 2=A ，21=B ，则()=*AB11．设三阶矩阵A 、Β满足关系式,BA 6A BA A 1+=−⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=710004100031A ，求 B 12．设 B A B A AX AXB 22+−+=，求．其中，X⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=100110111A ，⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=200020102B 13．设A 、均为阶方阵，若B n AB B A =+，求()1−−E A ．14．设, ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=211021001A *A 为A 的伴随矩阵, 求．1*)(−A第二章 参考答案与提示2.4.1 基础练习1．( B ) 提示 AD 表示A 的第i 行与D 的第列j 相乘得到()j ij a λ． 2．（C ）提示 0000==⇒=⇒=⇒=B A B A A 0AB 或B ． 3．（D ）提示 A 、、C 可逆，等式左乘以B 1−A ，右乘以A ． 4．（A ）提示 3311k k k −==A A ．5．（D ）提示 由于A 可逆⇔00≠⇔≠T A A ⇔TA 可逆．6．， ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=15419102935121312410210413121AB ()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=1541910293511995103425TAB ． 7．⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=−−−110100000310000112111A 00A A．8．，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−1000210012E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000212100121E A ． 9． ， ，E B A AB 293−=−E A B AB 293−=−)333E E)(A (A E)B (A +−=−由于021*********≠=−−=−E A ，故E)A 3(−是可逆的，．⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=+=7000501043E)(A B 10．A B AB =− ， ，B E)A(B =−04100002020≠=−=−E B ，E B −是可逆的,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−=−200012102111000021021020********E)B(B A ．11．()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=−=91461121321A B X ．12．()()()21T A A E A E A E +−−−−81644()()()A E A)E (A E A E 1T−−−−=−4444()()A E A E T−−=44()24A E −=324182==．13．左乘以C ，，由于 E B)A C (T=−20110002100321043212≠==−B C ，故 是可逆的，(． B C −2()()⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−=−=−−−1210012100120001222C 1T T1B)C (B)C (B)A 14．，即、互为逆矩阵， ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=100131522153QP P Q ()()()()BQ QP QP B QP PB PBQ A nn L ==Q PB n =，由于，故．）（－L ,2,1,122===k k kBB E B⎪⎩⎪⎨⎧⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−==为奇数为偶数n n 1162011A E A n 15．（1）由于()1k AA E A)(E −+++−L )A A (A )AA (E n 21k +++−+++=−L LE A E n =−=， 故 ，1k 1A A E A)(E −−+++=−L （2）()111A)(E A))(E (E))(A (−−−−−=−−=−4144()1k A A E −+++−=L 41． 2.4.2提高练习 1．（D ）提示：，若0E)A(A A A2=−⇔=A 可逆，则E A =，E A 2=．2．（C ）提示：,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++=+y a ax a a 2221121122B A 422221112221121122211211=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=++=+y a x a a a a a y a a x a a B A ． 3．（A ）提示：乘积AB 的第行是i A 的第行与的列的乘积． i B n ,,1L 4．（D ）提示：()()()()()()1−−−−−−−===A C B AC B B AC ACB1T 111T 1T 1T ．5．（C ）提示：1**−==n nn k k k AA A ．6．()()()9313133232333111*1−=×−=−=−=−=−−−−−AA A A A A A ．7．()n n n n211*1*1*5151151)(515−−−−==⎟⎠⎞⎜⎝⎛==A AA A． 8．⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−θθθθcos sin sin cos 1*1A A A ． 9．由于E CA BC AB ===，故 ，2A A(BC)A ABCA E ===2B B(CA)B BCAB E ===，，2C C(AB)C CABC E ===所以 ．E CB A 2223=++10．()()11=====−3341*)B A (AB ABABAB AB AB ．11．由于，，右乘以得BA A BA A 1+=−6A E)BA (A 16=−−1−A E E)B (A16=−−又可逆．故A)(E −16−−−=E)(A B1⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛=6100031000216． 12．方程整理得B E)A)(B A(X =−−由于0≠A ，0≠−E B ，故A 、E B −是可逆的，且⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=−1001102111A ，()⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−−1000101011E B 所以11E)B(B A A X −−−=− ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=200220522100010101200020102100110211故 ． ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=300330613X 13．由于AB B A =+B AB A −=⇒()B E A A −=⇒（但是B 不一定可逆，不能同时右乘以1−B）()()B E A E E A −=+−⇒()()E E B E A =−−⇒，故 ()E)(B E A 1−=−−．14．由于0421102101≠==A , 故A 是可逆的, *A 是可逆的； 根据E A AA *=, 有 E )(A A **=−1方程左右两边同时左乘以A 得，AE )(A AA **=−1即 A A )(A *11=−， 故 ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛==−2110210014111A A )(A *．。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案一、选择题1. 矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换，以下哪个矩阵不是A的转置？A. [a11 a12; a21 a22]B. [a21 a22; a11 a12]C. [a12 a22; a11 a21]D. [a22 a12; a21 a11]2. 矩阵的加法是元素对应相加，以下哪个矩阵不能与矩阵B相加？矩阵A = [1 2; 3 4]矩阵B = [5 6; 7 8]A. [4 3; 2 1]B. [6 7; 8 9]C. [1 2; 3 4]D. [5 6; 3 4]3. 矩阵的数乘是指用一个数乘以矩阵的每个元素，以下哪个矩阵是矩阵A的2倍？矩阵A = [1 2; 3 4]A. [2 4; 6 8]B. [1 0; 3 4]C. [0 2; 3 4]D. [1 2; 6 8]4. 矩阵的乘法满足结合律，以下哪个等式是错误的？A. (A * B) * C = A * (B * C)B. A * (B + C) = A * B + A * CC. (A + B) * C = A * C + B * CD. A * (B - C) ≠ A * B - A * C5. 矩阵的逆是满足AA^-1 = I的矩阵，以下哪个矩阵没有逆矩阵？A. [1 0; 0 1]B. [2 0; 0 2]C. [0 1; 1 0]D. [1 2; 3 4]二、填空题6. 给定矩阵A = [1 2; 3 4]，矩阵B = [5 6; 7 8]，矩阵A和B的乘积AB的元素a31是________。
7. 矩阵的行列式是一个标量，可以表示矩阵的某些性质。
对于矩阵C = [2 1; 1 2]，其行列式det(C)是________。
8. 矩阵的特征值是指满足Av = λv的非零向量v和标量λ。
对于矩阵D = [4 1; 0 3]，其特征值是________。
9. 矩阵的迹是主对角线上元素的和。
对于矩阵E = [1 0; 0 -1]，其迹tr(E)是________。
矩阵练习题及答案
矩阵练习题及答案矩阵练习题及答案矩阵是线性代数中的重要概念，也是许多数学问题的基础。
通过练习矩阵题目，我们可以加深对矩阵的理解，提高解决问题的能力。
下面，我将为大家提供一些矩阵练习题及其答案，希望对大家的学习有所帮助。
一、基础练习题1. 计算以下矩阵的和：A = [2 4][1 3]B = [3 1][2 2]答案：A + B = [5 5][3 5]2. 计算以下矩阵的乘积：A = [2 3][4 1]B = [1 2][3 2]答案：A * B = [11 10][7 10]3. 计算以下矩阵的转置：A = [1 2 3][4 5 6]答案：A^T = [1 4][2 5][3 6]二、进阶练习题1. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的逆矩阵。
答案：A 的逆矩阵为 A^-1 = [4/5 -1/5] [-3/5 2/5]2. 已知矩阵 A = [1 2][3 4]求矩阵 A 的特征值和特征向量。
答案：A 的特征值为λ1 = 5，λ2 = -1对应的特征向量为 v1 = [1][1]v2 = [-2][1]3. 已知矩阵 A = [2 1][3 4]求矩阵 A 的奇异值分解。
答案：A 的奇异值分解为A = U * Σ * V^T其中，U = [-0.576 -0.817][-0.817 0.576]Σ = [5.464 0][0 0.365]V^T = [-0.404 -0.914][0.914 -0.404]三、实际应用题1. 一家工厂生产 A、B、C 三种产品，其销售量分别为 x1、x2、x3。
已知每天销售的总量为 100 个，且销售收入满足以下关系：2x1 + 3x2 + 4x3 = 3003x1 + 2x2 + 5x3 = 3204x1 + 3x2 + 6x3 = 380求解方程组，得到每种产品的销售量。
答案：解方程组得到 x1 = 30，x2 = 20，x3 = 50。
矩阵习题带答案
矩阵习题带答案矩阵习题带答案矩阵是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域。
掌握矩阵的运算和性质对于学习线性代数和解决实际问题都具有重要意义。
在这篇文章中，我们将提供一些矩阵习题，并附上详细的解答，帮助读者更好地理解和掌握矩阵的相关知识。
1. 习题一已知矩阵A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵AT。
解答：矩阵A的转置矩阵AT即将A的行变为列，列变为行。
因此，矩阵A的转置矩阵为：AT = [1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]2. 习题二已知矩阵B = [2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵B-1。
解答：对于一个二阶矩阵B，如果其行列式不为零，即|B| ≠ 0，那么矩阵B存在逆矩阵B-1，且B-1 = (1/|B|) * [d -b; -c a]，其中a、b、c、d分别为矩阵B的元素。
计算矩阵B的行列式：|B| = ad - bc = (2*3) - (4*1) = 6 - 4 = 2因此，矩阵B的逆矩阵为：B-1 = (1/2) * [3 -4; -1 2]3. 习题三已知矩阵C = [1 2 3; 4 5 6]，求矩阵C的秩rank(C)。
解答：矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大个数，也可以理解为矩阵的行向量或列向量的最大线性无关组的向量个数。
对于矩阵C，我们可以通过高斯消元法将其化为行简化阶梯形矩阵：[1 2 3; 0 -3 -6]可以看出，矩阵C中非零行的最大个数为1，因此矩阵C的秩为1。
4. 习题四已知矩阵D = [2 1; -1 3]，求矩阵D的特征值和特征向量。
解答：对于一个n阶矩阵D，如果存在一个非零向量X，使得D*X = λ*X，其中λ为常数，则称λ为矩阵D的特征值，X为对应的特征向量。
首先，我们需要求解矩阵D的特征值，即求解方程|D - λI| = 0，其中I为n阶单位矩阵。
计算矩阵D - λI：[D - λI] = [2-λ 1; -1 3-λ]设置行列式等于零，得到特征值的方程式：(2-λ)(3-λ) - (1)(-1) = 0λ^2 - 5λ + 7 = 0解特征值的方程，得到两个特征值：λ1 = (5 + √(-11))/2λ2 = (5 - √(-11))/2由于特征值的计算涉及到虚数，这里不再继续计算特征向量。
线性代数第二章矩阵(答案)
线性代数第二章矩阵(答案)本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第一节 矩阵及其运算一．选择题1．有矩阵23⨯A ，32⨯B ，33⨯C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC2．设)21,0,0,21(=C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ]（A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）03．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题：1．⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-12125614321028244612．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=432112122121A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=101012121234B ，则=+B A 32⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--561252527813143．=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛496354．=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---6520876三、计算题：设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A ，4⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B ，求A AB 23-及B A T;2294201722213222222222209265085031111111112150421321111111111323⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-A AB .092650850150421321111111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--===AB B A A A A TT ，则对称，由线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第二节 逆 矩 阵一．选择题1．设*A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1-*=A A A （B ）1-*=n AA （C ）**=A A n λλ)( （D ）0)(=**A2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B |3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ）A A λλ= （B ）A A λλ= （C ）A A n λλ= （D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]（A ）E C A B A T T T T = （B ）E C A B A =2222 （C ）E C BA =2 （D ）E B CA =2 二、填空题：1．已知A B AB =-，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1221B ，则⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=121211A 2．设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ，则X = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-40132 3．设A ，B 均是n 阶矩阵，2=A ，3-=B ，则6421nBA -=-*4．设矩阵A 满足042=-+E A A ，则)2(21)(1E A E A +=--三、计算与证明题： 1．设方阵A 满足022=--E A A ，证明A 及E A 2+都可逆，并求1-A 和12-+)(E A;2)2(2)(0212E A A A E E A A E E A A E A A -=⇒=-⇒=-⇒=---可逆，且 .43)2(2)2)(43(4)2)(3(04)2(3)2(023)2(0212EA E A E A EE A E A EE A E A E E A E A A E A E A A E A A --=++⇒=+--⇒-=+-⇒=++-+⇒=--+⇒=---可逆，且2．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ，求A 的逆矩阵1-A解：设3)(ij a A ，则,24321)1(,12311)1(,02412)1(,144521)1(,61511)1(,21412)1(,324543)1(,131523)1(,414243333233231313223222221213113211211-=-=-=---==---==--==--==---=-=--=-=--=-=--=++++++++A A A A A A A A A从而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=214321613024*A .又由261412614512300121452431211312=--=--+----=c c c c A则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----==-1716213213012*1A A A3．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A 且满足B A AB 2+=，求 B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⇒=-⇒+=321011330121011332)2(2B AB E A BA AB⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0111003210103300010111003210100110113011100352310011011)21(02220035231001101133011035231001101123211213303320110113211210110113303322132323131221r r r r r r r r r r r r r则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-=-011321330)2(1A E A B线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号第三节（一） 矩阵的初等变换一、把下列矩阵化为行最简形矩阵：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------÷-÷-÷⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------22100221002210034311534101050066300884003431132312433023221453334311432141312r r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----0000000000221003201130********02210034311212423r r r r r r二、把下列矩阵化为标准形：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--------⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------76750129880111104202132347310382373132420213473103823420217313214131221r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----410002120011110420212120041000111104202158432423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+--410002020020010400212141000202003011040021232414243r r r r r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---+010*******000100000142410001010020010000012141000202002001000001243253221c c c c r r r r 三、用矩阵的初等变换，求矩阵的逆矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=1210232112201023A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----100012100001102300101220010023211000121001002321001012200001102331r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----↔⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----00101220030159401001210010023211000121003015940001012200100232134213r r r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------10612100043011100100012100100232122010120043011100100012100100232124342423r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----------+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------------+1061210006311010010********11021231061210006311010011612021020112432123231434241r r r r r r r r r r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-------+10612100063110100101000104211001221r r⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=∴-106126311101042111A 四、已知111101022110110014X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，求X3132233131111011111011111010221100221100221101100140211130030232110123111101211022110020123322001010010133r r r r r r r r r ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎛⎫ ⎪-- ⎪⨯-- ⎪+ ⎪ ⎪⎝⎭21221511012100332611111010101012262622001010010133r r r ⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故15326111262013X ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦线性代数练习题 第二章 矩 阵系 专业 班 姓名 学号 第三节（二） 矩 阵 的 秩一．选择题1．设A ，B 都是n 阶非零矩阵，且AB = 0，则A 和B 的秩 [ D ] （A ）必有一个等于零 （B ）都等于n （C ）一个小于n ，一个等于n （D ）都不等于n2．设n m ⨯矩阵A 的秩为s ，则 [ C ]（A ）A 的所有s －1阶子式不为零 （B ）A 的所有s 阶子式不为零（C ）A 的所有s +1阶子式为零 （D ）对A 施行初等行变换变成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000sE3．欲使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12554621231211t s 的秩为2，则s ，t 满足 [ C ]（A ）s = 3或t = 4 （B ）s = 2或t = 4 （C ）s = 3且t = 4 （D ）s = 2且t = 4 4．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m n ⨯矩阵，则 [ B ]（A ）当n m >时，必有行列式0≠||AB （B ）当n m >时，必有行列式0=||AB （C ）当m n >时，必有行列式0≠||AB （D ）当m n >时，必有行列式0=||AB5．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=133312321131131211232221a a a a a a a a a a a a B ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000010101P ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1010100012P ，则必有=B [ C ]（A ）21P AP （B ）12P AP （C ）A P P 21 （D ）A P P 12 二．填空题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=443112112013A ，则=)(A R 22．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=12221232121a a a A 的秩为2，则a 应满足 a =-1或3三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=02301085235703273812A ，求)(A R 。
(完整版)第二章矩阵及其运算作业及答案
第二部分 矩阵及其运算作业（一）选择题(15分)１．设A ，B 均为n 阶矩阵，且22()()A B A B A B +-=-，则必有（ ） (A) A B = (B) A E = (C) AB BA = (D) B E =２．设A ，B 均为n 阶矩阵，且AB O =，则A 和B （ ）(A)至多一个等于零 (B)都不等于零(C) 只有一个等于零 (D) 都等于零３．设A ，B 均为n 阶对称矩阵，AB 仍为对称矩阵的充分必要条件是（） (A) A 可逆 (B)B 可逆 (C) 0AB ≠ (D) AB BA=４．设A 为n 阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，则A *＝（ ） (A) 1n A - (B) 2n A - (C) n A (D) A５．设A ，B 均为n 阶可逆矩阵，则下列公式成立的是（ ）(A) ()T T T AB A B = (B) ()T T T A B A B +=+(C) 111()AB A B ---= (D) 111()A B A B ---+=+（二）填空题(15分)１．设A ，B 均为3阶矩阵，且1,32A B ==，则2T B A = 。
2．设矩阵1123A -⎛⎫= ⎪⎝⎭，232B A A E =-+，则1B -＝ 。
３．设A 为４阶矩阵，A *是A 的伴随矩阵，若2A =-，则A *＝ 。
４．设A ，B 均为n 阶矩阵，2,3A B ==-，则12A B *-＝ 。
５．设101020101A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2n ≥为整数，则12n n A A --＝ 。
（三）计算题(５０分)1． 设010111101A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,112053B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且X AX B =+，求矩阵X 。
２．设101110012A 骣÷ç÷ç÷ç÷=-ç÷ç÷ç÷÷ç桫，301110014B 骣÷ç÷ç÷ç÷=ç÷ç÷ç÷÷ç桫，X 为未知矩阵，且满足：AX B =， 求逆矩阵1A -；并解矩阵方程AX B =。
行列式、矩阵自测题及答案
行列式与矩阵自测题班级________ 姓名________ 学号 ________ 一、选择题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．1．在矩阵a b0 1对应的变换下，将直线6x－5y＝1变成2x＋y＝1.则a2＋b2等于( )A．3 B．6C．9 D．18答案：D2．直线x－y＝1在矩阵1 －11 －1变换下变成的图形是( ) A．直线 B．线段C．点 D．射线答案：C3．设32 －1212 32n＝1 00 1.n∈N*，则n的最小值为( ) A．3 B．6C．9 D．12答案：D4．设矩阵A＝－1 32 －5.B＝2 31 －1.CA＝B.则矩阵C等于( )A.16 9－3 2B.16 －93 2C.－16 93 2D.16 93 2答案：D5．设矩阵A＝x 32 x＋1，若A－1存在，则x的取值范围是( ) A．x≠2且x≠－3 B．x≠2或x≠－3C．x≠6且x≠－1 D．x≠6或x≠－1答案：A6．两个数列{an}，{bn}满足an＋1＝an＋bnbn＋1＝4an＋bn.其中a1＝2，b1＝0，则a10等于( )A．310＋1 B．210＋1C．39－1 D．29－1答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．7．(2011•上海)行列式a bc d(a，b，c，d∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．解析：a bc d＝ad－bc，则a＝d＝2，bc＝－2时，取最大值为6. 答案：68．若直线x－y＝4在矩阵M＝a 1－1 b对应的变换作用下，把直线变为本身直线，则a，b的值分别为________．答案：0 29．设A是一个二阶矩阵，满足A10＝310，且A13＝613.则A＝________.答案：3 10 6【解】(1)125062312101232562r r D+---=--;A B B A= 解 ABBA≠。
因为⎪⎭⎫⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA(2)222()2A B A A B B+=++吗?解 222()2A B A AB B+≠++ 因为⎪⎭⎫⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610,。
考研数学一(矩阵及其运算)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（矩阵及其运算）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．下列命题中不正确的是A．如A是n阶矩阵，则(A—E)(A+E)=(A+E)(A—E)．B．如A，B均是n×1矩阵，则ATB=BTA．C．如A，B均是n阶矩阵，且AB=0，则(A+B)2=A2+B2．D．如A是n阶矩阵，则AmAk=AkAm．正确答案：C解析：(A)中，由乘法有分配律，两个乘积均是A2一E，而(D)是因乘法有结合律，两乘积都是Am+k，故(A)，(D)都正确．关于(B)，由于ATB，BTA都是1×1矩阵，而1阶矩阵的转置仍是其自身，故ATB=(ATB)T=BTA亦正确．唯(C)中，从AB=0还不能保证必有BA=0，例如A=，则AB=，因此，(C)不正确．选(C)．知识模块：矩阵及其运算2．已知3阶矩阵A可逆，将A的第2列与第3列交换得B，再把B的第1列的一2倍加至第3列得C，则满足PA－1=C－1的矩阵P为A．B．C．D．正确答案：B解析：对矩阵A作一次初等列变换相当于用同类的初等矩阵右乘A，故应选(B)．知识模块：矩阵及其运算3．设A，P均为3阶矩阵，PT为P的转置矩阵，且PTAP=．若P=(α1，α2，α3)，Q=(α1+α2，α2，α3)，则QTAQ=A．B．C．D．正确答案：A解析：对矩阵P作一次初等列变换：把第2列加至第1列，便可得到矩阵Q．若记E12(1)=，则Q=PE12(1)．那么QTAQ=[PE12(1)]TA[PE12(1)]=(1)(PTAP)E12(1)所以应选(A)．知识模块：矩阵及其运算4．设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=A．kA*．B．kn－1A*．C．knA*．D．k－1A*．正确答案：B解析：由于kA=(kaij)，故行列式｜kA｜的代数余子式按定义为再根据伴随矩阵的定义知应选(B)．知识模块：矩阵及其运算5．设A，B是n阶矩阵，则C=的伴随矩阵是A．B．C．D．正确答案：D解析：由于CC*=｜C｜E=｜A｜｜B｜E，因此应选(D)．另外，作为选择题不妨附加条件A，b可逆，那么知识模块：矩阵及其运算6．设A，B，C是n阶矩阵，且ABC=E，则必有A．CBA=E．B．BCA=E．C．BAC=E．D．ACB=E．正确答案：B解析：由ABC=E知A(BC)=(BC)A=E，或(AB)C=C(AB)=E，可见(B)正确．由于乘法不一定能交换，故其余不恒成立．知识模块：矩阵及其运算7．设A，B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+AB，C=A+CA，则B—C=A．E．B．一E．C．A．正确答案：A解析：由B=E+AB(E一A)B=EB=(E—A)－1；C=A+CAC(E—A)=AC=A(E—A)－1(或C=AB)．那么B—C=(E一A)－1－A(E—A)－1=(E—A)(E 一A)－1=E(或B—C=B—AB=E)．故选(A)．知识模块：矩阵及其运算填空题8．设A，B均是n阶对称矩阵，则AB是对称矩阵的充要条件是__________．正确答案：AB=BA解析：两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵．例如而AB对称AB=BTAT=BA．所以应填：AB=BA．知识模块：矩阵及其运算9．设α，β均为3维列向量，βT是β的转置矩阵，如果则αTβ=___________．正确答案：5解析：设α=(a1，a2，a3)T，β=(b1，b2，b3)T，则而αTβ=(a1，a2，a3)=a1b1+a2b2+a3b3，注意到αTβ正是矩阵αβT的主对角线元素之和，所以αTβ=1+6+(－2)=5．知识模块：矩阵及其运算10．设α=(1，2，3)T，β=(1，，0)T，A=αβT，则A3=_________．正确答案：解析：由于A=αβT==2．所以A3=(αβT)(αβT)(αβT)=α(βTα)(βT α)βT=4αβT=4A= 知识模块：矩阵及其运算11．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：由于A=λE+J，其中J=，而进而知J4=J5=…=0．于是知识模块：矩阵及其运算12．已知A=，则An=__________．正确答案：解析：对A分块为则B=3E+J，由于J3=J4=…=0，于是Bn=(3E+J)n=3nE+3n －2J2．而C=(3，－1)，C2=6C，…，Cn=6n－1C，所以知识模块：矩阵及其运算13．设A=，则A2013一2A2012=___________．解析：由于A2013一2A2012=(A一2E)A2012，而A一2E=试乘易见(A 一2E)A=0，从而A2013一2A2012=0．知识模块：矩阵及其运算14．已知PA=BP，其中P=，则A2012=__________．正确答案：E解析：因为矩阵P可逆，由PA=BP得A=P－1BP．那么A2=(P－1BP)(P－1BP)=P－1B(PP－1)BP=P－1B2P．归纳地A2012=P－1B2012P．因为，易见B2012=E．所以A2012=P－1EP=E．知识模块：矩阵及其运算15．已知2CA一2AB=C—B，其中A=，则C3=____________．正确答案：解析：由2CA一2AB=C－B得2CA一C=2AB—B．故有C(2A—E)=(2A—E)B．因为2A—E=可逆，所以C=(2A—E)B(2A—E)－1．那么C3=(2A—E)B3(2A—E)－1 知识模块：矩阵及其运算16．已知A=，则An=___________．正确答案：解析：先求A的特征值与特征向量．由对λ=0，由(0E—A)x=0，解出α1=；对λ=6，由(6E—A)x=0，解出α2=令P=．而A=PAP－1，于是知识模块：矩阵及其运算17．=___________．正确答案：解析：E12=是初等矩阵，左乘A=所得E12A是A作初等行变换(1，2两行对换)，而E122011A表示A作了奇数次的1，2两行对换，相当于矩阵A作了一次1，2两行对换，故而右乘E13是作1，3两列对换，由于是偶数次对换，因而结果不变，即为所求．知识模块：矩阵及其运算18．设A=，(A－1)*是A－1的伴随矩阵，则(A－1)*=__________．正确答案：解析：因为A－1.(A－1)*=｜A－1｜E，有(A－1)*=｜A－1｜A=A．本题｜A｜=6，所以(A－1)*= 知识模块：矩阵及其运算19．已知n阶行列式｜A｜=，则｜A｜的第k行代数余子式的和Ak1+Ak2+…+Akn=___________．正确答案：解析：若依次求每个代数余子式再求和，这很麻烦．我们知道，代数余子式与伴随矩阵A*有密切的联系，而A*与A－1又密不可分．对于A用分块技巧，很容易求出A－1．由于又因A*=｜A｜A－1，那么可见Ak1+Ak2+…+Akn= 知识模块：矩阵及其运算20．(Ⅰ)已知A=，则(A*)－1=____________．(Ⅱ)已知A=，则A－1=____________．(Ⅲ)设A，B均为三阶矩阵，E是三阶单位矩阵，已知AB=A 一2B，B=，则(A+2E)－1=____________．(Ⅳ)设A=，B=(E+A)－1(E—A)，则(E+B)－1=____________．(Ⅴ)如A3=0，则(E+A+A2)－1=____________．正确答案：解析：(Ⅰ)由AA*=｜A｜E，有(Ⅱ)A=(Ⅲ)由AB=A一2B有AB+2B=A+2E 一2E，得知(A+2E)(E－B)=2E，即(A+2E)(E一B)．(Ⅳ)由于B+E=(E+A)－1(E 一A)+E=(E+A)－1(E—A)+(E+A)－1(E+A) =(E+A)－1[(E—A)+(E+A)]=2(E+A)－1，故(B+E)－1=(E+A)．(Ⅴ)注意(E—A)(E+A+A2)=E—A3=E．知识模块：矩阵及其运算解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
大学数学第二册详细答案汇总
第一章 矩阵与行列式习题解答练习1.1 矩阵及其运算1. 已知线性变换x y y y x y y y x y y y 1123212331232235323=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪①②③， 求从变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换。
解：由3x (1)–2×(2)得：4y 2–7y 3=3x 1–2x 2 ④ (3)–(2)得：y 2–2y 3=x 3–x 2 ⑤ (4)–4×(5)得：y 3=3x 1+2x 2–4x 3类似运算可得：y 1=–7x 1–4x 2+9x 3， y 2=6x 1+3x 2–7x 3 故由变量x 1，x 2，x 3到变量y 1，y 2，y 3的线性变换为y x x x y x x x y x x x112321233123749637324=--+=+-=+-⎧⎨⎪⎩⎪ 2. 已知两个线性变换x y y x y y y x y y y11321233123223245=+=-++=++⎧⎨⎪⎩⎪ y z z y z z y z z112213323323=-+=+=-+⎧⎨⎪⎩⎪ 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换。
解：将变换2代入变换1可得：x z z z x z z z x z z z1123212331236312491016=-++=-+=--+⎧⎨⎪⎩⎪3. 设A =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，B =123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求3AB –2A 及A T B 解：3AB –2A =3111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ =3058056290-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪–2111111111--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪21322217204292 A T B =111111111--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪123124051--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=058056290-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪ 4. 解：(1) (35, 6, 49)T ， (2) (10) (3) ---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪241236 (4) 6782056---⎛⎝ ⎫⎭⎪ (5) a x a x a x a x x a x x a x x 111222223332121213132323222+++++5. 设A =1213⎛⎝⎫⎭⎪，B =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪，问 (1) AB =BA 吗？ (2) (A +B )2=A 2+2AB +B 2吗？ (3) (A +B )(A –B )=A 2–B 2吗？ 解：AB =1213⎛⎝⎫⎭⎪1012⎛⎝ ⎫⎭⎪=3446⎛⎝ ⎫⎭⎪， BA =1012⎛⎝ ⎫⎭⎪1213⎛⎝ ⎫⎭⎪=1238⎛⎝ ⎫⎭⎪故 AB ≠BA 。
2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案
2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案【2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案】在数学学科中，矩阵与行列式是重要的内容之一。
它们不仅在线性代数中有着广泛的应用，而且在其他数学分支以及工程学科中也有着重要地位。
为了帮助广大同学更好地掌握矩阵与行列式的知识，我将为大家提供一些2023年人教版数学矩阵与行列式练习题及答案，在学习中希望能有所帮助。
练习题1：已知矩阵A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]，求矩阵A的转置矩阵，记为A^T，并计算A^T的行列式。
解答1：矩阵A的转置矩阵为A^T=[1 4 7; 2 5 8; 3 6 9]，将A^T的行列式记为|A^T|，可以通过展开式计算得到：|A^T|=1*(5*9-6*8)-4*(2*9-3*8)+7*(2*6-3*5)=1*(45-48)-4*(18-24)+7*(12-15)=(45-48)-4*(-6)+7*(-3)=(-3)-(-24)+(-21)=0练习题2：已知矩阵B=[2 4; 1 3]，求矩阵B的逆矩阵，并计算逆矩阵B^-1的行列式。
解答2：矩阵B的逆矩阵为B^-1=[3 -4; -1 2]，将B^-1的行列式记为|B^-1|，可以计算得到：|B^-1|=3*2-(-4)*(-1)=6+4=10练习题3：已知矩阵C=[2 1; 3 4]，求矩阵C的特征值和特征向量。
解答3：设矩阵C的特征值为λ，特征向量为x=[x1; x2]。
根据特征值和特征向量的定义，可以得到以下方程：2x1+x2=λx13x1+4x2=λx2化简方程，得到：(2-λ)x1+x2=03x1+(4-λ)x2=0解方程组得到特征值和特征向量：当λ=2时，方程组有一个解x1=-1，x2=2，因此特征向量为[-1; 2]；当λ=4时，方程组有一个解x1=-2，x2=3，因此特征向量为[-2; 3]。
练习题4：已知矩阵D=[2 1 3; -1 2 4; 3 0 1]，求矩阵D的秩。
线性代数习题册(第二章矩阵及其运算参考答案)
⇔ αTα = 1
单元 6 逆矩阵、分块矩阵
一、判断题（正确的打√，错误的打×）
1. 可逆矩阵一定是方阵.
（√）
2. 若 A 、 B 为同阶可逆方阵，则 AB 可逆.
（√）
3. 设 A, B 均为可逆矩阵，则 AB 也可逆且 ( AB)−1 = A−1B−1 .
（X）
4. 若 A 可逆，则 AT 也可逆.
分析： |
r1 A|
↔
r2
− | B |，所以
A
+
B
= 0 。
20.
设
A
=
a11 a21
a12 a22
a13 a23
，
B
=
a21 a11
a22 a12
a23 a13
0 1 0
，
P1
=
1
0
0
a31 a32 a33
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
0 0 1
( A) kA∗
(B) k n−1 A∗
(C ) k n A∗
( D) k −1 A∗
分析：题中对可逆矩阵也要成立，所以不妨设 A 可逆时进行分析。
( ) = (kA)∗ | kA | (= kA)−1 k n | A | ⋅ 1 A−1 = k n−1 | A | A−1 = k n−1 A* k
a31 + a11 a32 + a12 a33 + a13
r1
↔
r2
a21 a11
a31 + a11
a22 a12 a32 + a12
a23
a13
矩阵的测试题及答案
矩阵的测试题及答案一、选择题1. 矩阵A和矩阵B相乘，结果为矩阵C，若矩阵A是3x2矩阵，矩阵B是2x4矩阵，矩阵C的维度是：A. 3x2B. 3x4C. 2x4D. 4x3答案：B2. 下列矩阵中，哪一个是可逆矩阵？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [2 0; 0 2]D. [0 1; 1 0]答案：C3. 矩阵的转置操作会改变矩阵的：A. 行数B. 列数C. 行列式D. 秩答案：B二、填空题4. 若矩阵A的行列式为3，矩阵B是A的伴随矩阵，则矩阵B的行列式为______。
答案：95. 对于任意矩阵A，其逆矩阵A^-1与A的乘积结果是______。
答案：单位矩阵I三、简答题6. 解释什么是矩阵的特征值和特征向量，并给出一个3x3矩阵的特征值和特征向量的计算方法。
答案：矩阵的特征值是指能使得线性方程组(A - λI)v = 0有非零解的标量λ，其中A是给定的矩阵，I是单位矩阵，v是非零向量，称为对应于特征值λ的特征向量。
对于一个3x3矩阵A，计算其特征值通常需要求解特征多项式det(A - λI) = 0，得到特征值λ后，将λ代入(A - λI)v = 0，求解线性方程组得到特征向量v。
四、计算题7. 给定两个矩阵A和B，其中A = [1 2; 3 4]，B = [5 6; 7 8]，计算矩阵A和B的和以及A和B的乘积。
答案：矩阵A和B的和为 [6 8; 10 12]，矩阵A和B的乘积为[19 22; 43 50]。
8. 若矩阵C = [1 0; 0 1]，求矩阵C的100次幂。
答案：矩阵C的100次幂仍然是 [1 0; 0 1]，因为C是单位矩阵，其任何次幂都是其自身。
五、论述题9. 讨论矩阵的秩在解决线性方程组中的应用，并举例说明。
答案：矩阵的秩是指矩阵中线性独立行或列的最大数目。
在线性方程组中，系数矩阵的秩可以用来判断方程组的解的情况。
如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩且等于未知数的数量，则方程组有唯一解；如果系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，则方程组无解；如果系数矩阵的秩大于增广矩阵的秩，则方程组有无穷多解。
关于矩阵考试题及答案
关于矩阵考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 矩阵的行列式为0，说明该矩阵是：A. 可逆的B. 不可逆的C. 正交的D. 对称的答案：B2. 矩阵A与矩阵B相乘的结果为零矩阵，那么矩阵A和矩阵B：A. 至少有一个是零矩阵B. 都是零矩阵C. 都是单位矩阵D. 至少有一个不可逆答案：D3. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零元素的数量B. 矩阵中线性无关的行或列的最大数量C. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 矩阵的特征值是：A. 矩阵的对角线元素B. 矩阵的非对角线元素C. 满足特征方程的λ值D. 矩阵的转置答案：C5. 矩阵的迹是指：A. 矩阵的行列式B. 矩阵的秩C. 矩阵对角线元素的和D. 矩阵的逆矩阵答案：C二、填空题（每题3分，共15分）1. 如果矩阵A的行列式为-5，则矩阵A的逆矩阵的行列式为______。
答案：-1/52. 矩阵A和矩阵B相乘得到单位矩阵，那么矩阵A和矩阵B互为______。
答案：逆矩阵3. 对于一个3x3的矩阵，其秩最大为______。
答案：34. 如果一个矩阵的所有行（或列）都线性相关，则该矩阵的秩为______。
答案：05. 矩阵的特征值可以通过求解特征方程______得到。
答案：det(A-λI)=0三、计算题（每题10分，共20分）1. 给定矩阵A=[1 2; 3 4]，求矩阵A的行列式。
答案：det(A) = 1*4 - 2*3 = -22. 给定矩阵B=[2 0; 0 3]，求矩阵B的逆矩阵。
答案：B^(-1) = [1/2 0; 0 1/3]四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果矩阵A和矩阵B可交换，即AB=BA，那么它们的特征值可以同时对角化。
答案：略2. 证明：对于任意的方阵A，有tr(A) = tr(A^T)。
答案：略。
矩阵理论历年试题汇总及答案
矩阵理论历年试题汇总及答案矩阵理论是线性代数中的一个重要分支，它涉及到矩阵的运算、性质以及矩阵在不同领域中的应用。
历年来的矩阵理论试题通常包括矩阵的基本运算、矩阵的特征值和特征向量、矩阵的分解等重要概念。
以下是对矩阵理论历年试题的汇总及答案解析。
矩阵的基本运算试题1：给定两个矩阵 \( A \) 和 \( B \)，其中 \( A =\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，\( B =\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} \)，求 \( A + B \) 和 \( AB \)。
答案：首先计算矩阵的加法 \( A + B \)，根据矩阵加法的定义，对应元素相加，得到 \( A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} \)。
接着计算矩阵乘法 \( AB \)，根据矩阵乘法的定义，得到 \( AB = \begin{bmatrix} 1\cdot5 + 2\cdot7 & 1\cdot6 + 2\cdot8 \\ 3\cdot5 + 4\cdot7 & 3\cdot6 + 4\cdot8\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix} \)。
特征值和特征向量试题2：已知矩阵 \( C = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 1 & -1\end{bmatrix} \)，求 \( C \) 的特征值和对应的特征向量。
答案：首先求特征值，我们需要解方程 \( \det(C - \lambda I) = 0 \)，其中 \( I \) 是单位矩阵。
计算得到 \( \det(\begin{bmatrix}4-\lambda & -2 \\ 1 & -1-\lambda \end{bmatrix}) = (4-\lambda)(-1-\lambda) - (-2)(1) = \lambda^2 - 3\lambda - 2 \)。
数学课程矩阵运算练习题及答案
数学课程矩阵运算练习题及答案矩阵运算是数学中的一个重要概念，涉及到矩阵的相加、相减、相乘等操作。
通过练习题的方式，可以巩固和提升对矩阵运算的理解与应用能力。
以下是一些常见的矩阵运算练习题以及它们的答案，供大家参考。
1. 矩阵相加已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9) 和矩阵B = (9 8 7; 6 5 4; 3 2 1)，求A + B。
解答：将同一位置上的元素相加，得到：A +B = (1+9 2+8 3+7; 4+6 5+5 6+4; 7+3 8+2 9+1) = (10 10 10; 10 10 10; 10 10 10)2. 矩阵相减已知矩阵A = (1 2; 3 4) 和矩阵B = (5 6; 7 8)，求A - B。
解答：将同一位置上的元素相减，得到：A -B = (1-5 2-6; 3-7 4-8) = (-4 -4; -4 -4)3. 矩阵相乘已知矩阵A = (2 1 -3; 0 -2 1) 和矩阵B = (4 -1; 3 2; -2 1)，求A × B。
解答：矩阵A的行数与矩阵B的列数相等，因此可以进行矩阵相乘。
按照矩阵相乘的规则，计算得到：A ×B = (2×4+1×3-3×-2 2×-1+1×2-3×1; 0×4-2×3+1×-2 0×-1-2×2+1×1) = (15 -2; -7 -1)4. 矩阵数量乘法已知矩阵A = (2 4; 6 8)，求2A。
解答：将矩阵A中的每个元素乘以2，得到：2A = (2×2 2×4; 2×6 2×8) = (4 8; 12 16)5. 矩阵的转置已知矩阵A = (1 2 3; 4 5 6; 7 8 9)，求A的转置矩阵AT。
解答：将矩阵A的行与列互换得到其转置矩阵：AT = (1 4 7; 2 5 8; 3 6 9)6. 矩阵的逆已知矩阵A = (1 2; 3 4)，求A的逆矩阵A-1。
线性代数练习3(答案)
习题3 矩阵及其运算（答案）一、单项选择题1. A 、B 为n 阶方阵，则下列各式中成立的是( a )。
(a)22A A =(b)))((22B A B A B A +-=- (c)AB A A B A -=-2)( (d)T T T B A AB =)(2.若A 为n 阶方阵，k 为非零常数，则=kA ( c )。
(a) A k (b) A k (c) A k n (d) A k n3. 设A ，B 为n 阶方矩阵,22B A =,则下列各式成立的是( d )。
(a) B A = (b) B A -= (c) B A = (d) 22B A =4. 设A ，B 均为n 阶方矩阵,则必有( c )。
(a) B A B A +=+ (b) BA AB = (c) BA AB = (d) 22B A =二、填空题1.设A 为n 阶方阵,I 为n 阶单位阵,且I A =2,则行列式=A 1或-12.行列式=---000c b c a b a 03.设⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=21232321A ，则行列式=11A _1______4.若)(ij a A =为15阶矩阵，则A A T的第4行第8列的元素是15481i i i a a =⋅∑ 三、计算题1. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T. 2. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10). (3))21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x 322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.3. 设⎪⎭⎫⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫⎝⎛=101λk A k . 4. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.5. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA .证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .。
矩阵计算习题及答案
36 ，贝U a(:,end)是指 _C 9B. a 数组成2行2列C. a 数组成3行2列D. a 数组没有元素36，则运行命令mean(a)是B 9A.计算a 的平均值B.C.计算a 每行的平均值D.a 9)已知x 是一个向量，计算 ln(x) A. l n(x) B. log(x) C. L n(x)10) 当a=2.4时，使用取整函数得到A.fix11) 已知A. a+b已知计算a 每列的平均值 数组增加一列平均值 的命令是 B 。
D. lg10(x)3,则该函数名是_o变量a 、b 可以进行加减乘除运算 变量b 可以用eval 计算A.按日期字符串格式提取当前时间 C.提取当前时间的日期D.B.提取当前时间按日期字符串格式提取当前日期1、选择题 1) 下列变量中 A. Char_1,i,j2) 下列_9 A. 3e10 B. 1e500 3) x=uint8(1.2e10) A. 1 A ___________ 是合法的。
B.x*y,a.1 C. X\y, a1234 D. end, 1bcd 是合法的常量。
C. -1.85e-56 D. 10-2 B. 2 4) 已知 x=0: 10, A. 9 5) 产生对角线元素全为 A. On es(2,3) B. 10 ，则x 所占的字节是 D 个。
C. 4 D. 8 则x 有_B _______ 个元素。
C.11 D.12 1其余为0的2X 3矩阵的命令是 _C B. On es(3,2) C. Eye(2,3) D. Eye(3,2)A.所有元素B.第一行元素C.第三列元素 D.第三行元素1 7) a= 4，则运行a(:,1)=[] 命令后 C 。
16) a= 4A.a 变成行向量18) a= 4B. rou ndC. ceilD. floora=0: 4, b=1: 5,下面的运算表达式出错的是B. a./bC. a'*bD. a*b a=4, b= ‘4 '下面说法错误的是B.D.12)A. C.13) A. 12 B. 9 C. 7 D. 18 14) 运行字符串函数strncmp('s1','s2',2) A. 1 B. 0 C. true D. fales 变量a 比变量b 占用的空间大变量a 、b 数据类型相同已知s='显示“ hello ”' B. 9 C. 7 ，则s 元素的个数是 A 。