3-1矩阵及其运算
3-1.初等变换化简矩阵
为零. m r O F O O mn 此标准形由m , n, r 三个数唯一确定，其中r 就是
行阶梯形矩阵中非零行 的行数.
定理 任何矩阵都可经过单纯的初等行变换
化为行最简形矩阵. 任何矩阵都可经过初等变换 化为标准形矩阵. 下面我们还是通过例子来说明该定理.
Ex1：将以下矩阵化为行最简形
1 0 2 1 2 0 3 1 1 3 0 4 3
1 3 3 2 3 1 3 2 3 3 5 3 4 4 3 4 1 2 0 2 1
0 2 3 1 2 0 3 4 3 0 4 7 1
克莱姆法则中，要求：
１．未知量的个数
方程的个数
２．系数行列式 det A 0 而线性方程组的一般形式为 a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm 如 x1 2 x2 6 x3 2 x4 3 7 x1 0.5 x2 x3 x4 1
若( A) 若( A)
i
i
k k
j
( B ), 则( B ) ( B ), 则( B )
i
i
k ( A); k
j
( A).
由于三种变换都是可逆的, 所以变换前的方程组与 变换后的方程组是同解的. 故这三种变换是同解变换. 因为在上述变换过程中, 未知量并未参与本质性 运算, 仅仅只对方程组的系数和常数进行运算.
行 最 简 形
利用矩阵的初等行变换将矩阵化为行阶梯形和 行最简形是解决矩阵问题的主要方法之一. 同学们应该熟练掌握.
3-1矩阵的初等变换
矩阵 A 与矩阵 B 等价，记作 A ~ B
A
有限次初等变换
B
矩阵之间的等价关系具有下列性质： 反身性 对称性 传递性
A~ A ；
若 A ~ B，则 B ~ A ； 若 A ~ B, B ~ C，则 A ~ C．
1 0 0 0
r1 r2
1 2 1 4 1 1 1 0 B4 0 0 1 3 0 0 0 0
① ② ③ ④
1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 1 6 9 7 3
4 2 B1 2 9
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
②
③ ④
x1 x2 2 x3 x4 4, 2 x x x x 2, 1 2 3 4 2 x1 3 x2 x3 x4 2, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
②－③
③－2×① ④－3×①
①
②
③ ④
ri krj
ri krj .
把定义中的“行”换成“列”，就得到矩阵的初等列变换的定 义． 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换．
2 x1 x2 x3 x4 2, x x 2 x x 4, 1 2 3 4 4 x1 6 x2 2 x3 2 x4 4, 3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
4, ① 0, ② 6, ③ 3. ④
1 0 0 0
1 2 1 4 1 1 1 0 B3 0 0 2 6 0 0 1 3
《线性代数》课件-第3章 矩阵
§3.1 矩阵的运算（1）第三章矩阵矩阵的加法定义1111112121121212222221122n n n n m m m m mn mn a b a b a b a b a b a b a b a b a b +++⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦A B 设有两个 矩阵 和 n m ⨯[]ij a =A [],ij b =B 那么矩阵与 的和 A B 记作 规定为,+A B 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.（可加的条件）注矩阵的加法235178190, 645, 368321-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵矩阵则A B 213758169405336281+-++⎡⎤⎢⎥=+-++⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦3413755.689⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦对应元相加例1+A B矩阵的加法;+=+A B B A ()()++=++A B C A B C ；+=+=；A OO A A 矩阵加法的运算律 [],ij a =A 设矩阵 （交换律）（结合律）（加法单位元）(1)(2) (3) (4) 规定 [],ija -=-A 称之为 的负矩阵.A ()(),+-=-+=A A A A O ().-=+-A B A B （加法逆元）规定矩阵的减法为：+=+⇒=.A B A C B C (5) 加法消去律成立，即数量乘法111212122211[].n nij m n m m mn ka ka ka kaka ka k ka ka ka ka ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 规定数 k 与矩阵 A 的数量乘积为定义2数量乘法()();k l kl =A A ()k l k l +=+A A A ；()k k k +=+.A B A B 数量乘法的运算规律(1) (2)(3)矩阵的加法和数量乘法统称为矩阵的线性运算 .设为A , B 为矩阵，k, l 为数： m n ⨯矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘）定义3设 是一个 矩阵， m n ⨯[]ij a =A 记作 C =AB.[]ij b =B 是一个 矩阵， n s ⨯规定矩阵 与 的乘积是一个 的矩阵 A Bm s ⨯[],ij c =C 其中 11221nij i j i j in nj ikkjk c a b a b a b ab ==+++=∑()1,2,;1,2,,,i m j s ==矩阵的乘法1212[,,,]j j i i in nj b b a a a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122i j i j in nj a b a b a b =+++1n ik kj ij k a b c ===∑行乘列法则可乘条件：左矩阵的列数=右矩阵的行数11211300514-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设，A 034121.311121⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦B 例20311212113031051412⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦-⎣⎦C AB .⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦5-61022-17乘积矩阵的“型” ？ A m n ⨯B n s ⨯C m s⨯=1111⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦设，A 例300,00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦AB 22,22⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦BA .BA AB ≠故1111-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，B 则矩阵的乘法（1）矩阵乘法一般不满足交换律； 若 ，则称矩阵 与是乘法可交换的. =AB BA A B 定义3=AB O ⇒;==或A O B O （2） ()≠-=若而A O A B C O，⇒=B C.注意：(),+=+A B C AB AC ();+=+B C A BA CA ()()()k k k ==AB A B A B （其中 k 为数）;n m ;m n m n m n ⨯⨯⨯==A E E A A 矩阵的乘法()();=AB C A BC 矩阵乘法的运算规律 (1) (2) (3) (4) （结合律） （左分配律）（右分配律）（乘法单位元）11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩，，，11121121222212n n m m mn n a a a x a a a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111122121122221122n n n n m m mn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦12m b b b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦=AX =β⇔=（矩阵形式）AX β ==00（齐次线性方程当时组的矩阵形式），AX β .例4cos sin ,,sin cos OP ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦设矩阵平面向量x A y cos ,sin ,x r y r θθ=⎧⎨=⎩于是x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦A cos sin sin cos x y ϕϕϕϕ-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦cos()sin()r r θϕθϕ+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦例5cos cos sin sin cos sin sin cos r r r r θϕθϕθϕθϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦,,OP r θ设的长度为幅角为则cos sin sin cos x y x y ϕϕϕϕ-⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦111x OP y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.OP ϕ这是把向量按逆（或顺）时针旋转角的旋转变换xyopp 1θϕ11cos sin ,sin cos .x x y y x y ϕϕϕϕ=-⎧⎨=+⎩（线性变换）小结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算；（2） ≠=若而A O AB AC ，⇒;=B C 且矩阵相乘一般不满足交换律；（3）只有当左矩阵的列数等于右矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘，矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同； 可交换的典型例子：同阶对角阵；数量阵与任何同阶方阵. k n E ≠=若而A O BA CA ，⇒=B C.( 4 )§3.1 矩阵的运算（2）方阵的幂·矩阵多项式·迹第三章矩阵定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.定义1注1A 设为阶方阵，为正整数n k ，A A AA∆=kk 个.A 为的次幂k 01,.A E A A ==规定n 称,AA A km k m +=m k mkA A =（），其中m , k 为非负整数.一般地， (),,.AB A B A B ⨯≠∈k k k n n注2 注3时，以下结论成立：AB BA =当 (1)();AB A B =kkk222(2)()2;A B A AB B +=++22(3)()();A B A B A B +-=-,,A B ⨯∈n n11(4)()C C .A B A AB AB B --+=+++++mmm k m kkmmm例1解 ,A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2121214=01010112.01A A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦设求其中为正整数mm ,（）32141216,010101A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦mm m 由此归纳出方阵的幂112(1)1212,010101A A A --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦k k k k ()122.01A ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦m m m 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2=m 假设 时成立， 1=-m k 所以对于任意的m 都有=m k 则时，方阵的幂解法二 利用二项式定理122()m m m mA EB EC B=+=+202,.00⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B B O 其中=且这种方法适用于主对角元全相同的三角形矩阵求幂 2,=+A E B ,E B 显然与乘法可交换由二项式定理有2E B=+m 100212.010001m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦m1110()A A A A E --=++++m m m m n f a a a a 为方阵 A 的矩阵多项式.例如 2()524,f x x x =--12,11⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A 22524A A E --1412101116524211101811--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦定义2A ⨯∈设n n ，称()A =f：注f g g fA A A A()()()()运算性质 定义3设A 是n 阶方阵，称A 的主对角线上所有元素之和为方阵的迹(trace )，记为11221tr .A ==+++=∑nnn ii i a a a a (1) tr()tr tr ;A B A B ⨯⨯⨯⨯+=+n n n n n n n n (2) tr()tr();A A ⨯⨯=n n n n k k (3) tr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m ntr()tr().A B B A ⨯⨯⨯⨯=m n n m n m m n设A , B 为 n 阶方阵， 求证.AB BA E -≠n tr()tr()tr()0,--AB BA =AB BA = 证明： tr()0,n n =≠E 故 . n -≠AB BA E 例2§3.1 矩阵的运算（3）矩阵的转置·方阵的行列式第三章矩阵例 123,458A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦T ;A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦142538叫做 的转置矩阵， m n A ⨯m n A ⨯把矩阵的行依次变为同序数的列得到的新矩阵， 定义1T A 记作. 思考 T A A 与的关系?⨯→⨯的变化型m n n m(1) : '(,)=元的变化ij ji i j a a (2) ：TA A 与的关系?矩阵的转置()()T T 1;=A A ()()T T T 2;+=+A B A B ()()T T 3;A A =k k 注 性质(2)和(4)可推广到有限个矩阵的情形()()T T T T12122;s s '+=+A A ++A A A ++A ()()T T T T 12114.s s s -'=A A A A A A ()()T T T 4.=AB B A (倒序)矩阵的转置与其它矩阵运算的关系若矩阵A 满足 A A =T ，()n ,,,j ,i a a ji ij 21==201035.157A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦例为对称阵如注：对称矩阵为方阵，元素以主对角线为对称轴 对应相等 .例1 (对称矩阵）则称 A 为对称矩阵 .注 对任意矩阵 A,和 均是对称矩阵. T A A T AA对称矩阵的数乘、和、乘积是否为对称矩阵？思考：练习1 对任意实矩阵 A, 若 则 . T A A =O ,A =O练习2 若实对称矩阵 A 满足 则 . 2A =O ,A =O 设A ，B 为同阶实对称矩阵，则AB 为实对称矩阵当且仅当AB =BA .若矩阵A 满足 A A =-T ，013105.350A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦例为反对称阵如注：反对称矩阵为方阵，且例2 (反对称矩阵）则称 A 为反对称矩阵 . 0-≠⎧=⎨=⎩ji ij a i j a i j证明任一 n 阶方阵 A 都可表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和. 证明： ()T T A A +T A A =+()T T A A -T A A =-22T T A A A A A -++=证毕.例3所以 为对称矩阵.T A A +T ,A A =+T ()A A =-- 所以 为反对称矩阵. T A A -方阵的行列式设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则()T1;A A =()3;AB A B =()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系方阵的行列式n n n n n A O E B ⨯⨯-A B =n n nO AB E B ⨯=-2(1)n n E AB =--2(1)n n AB +=-.AB =证明： 22222A O E B ⨯⨯-111221221112212200001001a a a a b b b b =--12111111122122111221220001001a a b a b a a b b b b =--111112211112122221221112212200001001a b a b a b a b a a b b b b ++=--111112211112122221112221211222221112212200001001a b a b a b a b a b a b a b a b b b b b ++++=--222O AB E B ⨯=-设 A 与 B 都是数域 上的 n 阶方阵, 则 ()T 1;A A =()3;AB A B =(可推广到有限个) 一般的， +.A B A B ≠+特别地 ,A A =mm ()2,;A A =∀∈n k k k 矩阵的运算与行列式的关系 其中m 为非负整数.24000200,00430034A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦设2.A 求k 22A A =k k2242443()(4(25))10.0234=⋅=⋅-=-k k k 解 例4证明奇数阶反对称矩阵的行列式为零.例5§3.2 初等矩阵第三章矩阵定义1elementary matrix 阶单位矩阵经过一次矩阵的初等变换所得到的矩阵称为阶即初等矩阵n n （），E B −−−−−→一次初等变换行或列为一个初等矩阵n 1,23100010010100.001001E B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦对换行为一个初等矩阵例如初等矩阵的类型及表示方法1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .0E ≠即以数乘单位矩阵的第行(或第列).n k i i i i r c 11[()]11E E ⨯⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦kn n ki k k 或i ←第行初等矩阵的类型及表示方法2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .0E ≠即将的某行元素的倍加到另一行(或列)上去.n k 11[())]11E E ++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i jj ir kr n n c kc k i j k 或←i 第行←j 第行[()]E >+n i j k i j 当时,为下三角 .初等矩阵的类型及表示方法3[,],E 初等对换矩阵n i j ） E n 即对调的某两行或某两列.11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行11[()]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n i k k i ←第行1[()],0E ≠初等倍乘矩阵n i k k ） .2[()],0E +≠初等倍加矩阵n i j k k ） .11[())]11E ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n k i j k ←i 第行←j 第行()i j <3[,],E 初等对换矩阵n i j ） 11011[,]11011E E ↔↔⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−−→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦i ji jr r n n c c i j 或i ←第行j ←第行注初等矩阵的转置矩阵仍为同类型的初等阵.Ti k i k=1)[()][()];E En nT+=+i j k j i kE E2)[()][()];n nTi j i j=3)[,][,].E En n初等矩阵的应用揭示： 初等矩阵与矩阵的初等变换的关系.11121314212223243132333411⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦a a a a a a a a k a a a a 111213142122232313233434⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦k a a a a a a a a a ka ka ka 111213142122232431323334111a a a a a a a a k a a a a ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦111214212221323343133234a a a a a a a a a ka ka a k ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()i k A i r k ⨯相当于以数乘的第行；111211212[()]E A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦n m m m m i i in n a a a i k a ka ka a a a k i ←第行[()]E A 左以矩阵乘m i k ，[()]n E i k A 右乘而以矩阵，其结果结论: 相当于以数k 乘A 的第i 列 .()i c k ⨯。
大学高等数学及线性代数课件3-1
§1 矩阵的初等变换
定理1：（只记结论）
⎛ Er O ⎞ 设 A是m × n阶矩阵，则 A ~ ⎜ ⎜ O O ⎟ ，其中0 ≤ r ≤ min(m, n), ⎟ ⎝ ⎠ m×n ⎛ Er O ⎞ ⎜ ⎜ O O ⎟ 称为A的标准形或叫等价标准形。 ⎟ 这是个什么类 ⎝ ⎠ m×n 型的矩阵呢？ 注释：所有n阶可逆方阵A的标准形都是n阶单位阵En
只能施行初等行变换
(
A
−1
)
只能用初等 列变换
⎛ A⎞ ⎛ E ⎞ ⎜ ⎟ → L → ⎜ −1 ⎟ ⎜E⎟ ⎜A ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ 1 2 3⎞ ⎟ ⎜ 例：设 A = ⎜ 2 2 1 ⎟, 求 A−1. ⎜ 3 4 3⎟ ⎠ ⎝
【1】此方法只能用初等行 变换！！ 【2】若不知A是否可逆， 仍可用上述方法做，只要 矩阵[A E]左子块出现一 行（列）的元素全为零， 则A不可逆。
这三个 矩阵既 可理解 为行变 换，又 可理解 为列变 换得到 的。
定理： 设A是n × s阶矩阵； B是m × n阶矩阵；则 [1]E (i, j ) A表示互换 A的第 i, j行； BE (i, j ) 表示互换 B的第 i, j列； [ 2]E (i ( k )) A表示 A的第 i行乘以 k ( ≠ 0); BE (i ( k )) 表示 B的第 i列乘以 k ( ≠ 0); [3]E (ij ( k )) A表示 A的第 j行的 k倍加到第 i行； BE (ij ( k )) 表示 B的第 i列的 k倍加到第 j列.
⎛1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ O ⎟ ⎛1 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ 0 L 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎜ ⎟ E(i(k)) = ⎜ ⎟ E(i, j) = ⎜ M O M ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ 1 L 0 ⎜ ⎜ ⎟ 1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎝ O ⎜ ⎟ ⎜ 1⎟ ⎝ ⎠
3-1.初等变换化简矩阵
r4 −3r2
① ② ③ ④
1 0 0 0 1 −2 1 4 1 −1 1 0 = B3 0 0 2 −6 0 0 1 −3
r3
r4
r4 − 2r3
x1 + x2 − 2x3 + x4 = 4 ① ② x2 − x3 + x4 = 0 x4 = −3 ③
0 0 −1 1 0 −1 0 1 0 0
4 3 0 − 3 0 0
c4 + c1 + c2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 4 0 3 0 − 3 0 0
c5 − 4c1 − 3c2 + 3c3
1 0 0 0
求解线性方程组
对应
增广矩阵
同解
初等行变换
行最简形矩阵
对应
阶梯形的线性方程组
回代法
原方程组的解
例2 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形. 用初等行变换把下面矩阵化为阶梯形或行最简形.
1 −1 −1 1 0 0 1 2 −4 1 A= 2 −2 −4 6 − 1 3 −3 −5 7 − 1
（2） ）
其中c 其中 为任意常数 .
小结： 小结： 1．上述解方程组的方法称为消元法． ．上述解方程组的方法称为消元法． 2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如 ．始终把方程组看作一个整体变形， 下三种变换 （1）交换方程次序； ）交换方程次序； （2）以不等于０的数乘某个方程； ）以不等于０的数乘某个方程； （3）一个方程加上另一个方程的 倍． ）一个方程加上另一个方程的k倍 3．上述三种变换都是同解变换． ．上述三种变换都是同解变换．
3-1矩阵的初等行变换
0
1/3
2 / 3
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
r1 r2
1 0 0 0 1/3 1/3
0
1
0
0
1/3
2
/
3
=
E | A1
0 0 1 1 2 / 3 1/ 3
初等行变化求逆矩阵旳基本环节
• 先写出（A|E），用经初等行变换将其中旳 A化为上三角，注意此过程中E也同步变化；
• 依次将
1 E(i，j)
0 1
1
i列
1
i行
1 0 0
1 0
E(2，3)
0
j行
0
0 1
1
0
j列
1
（2）初等倍乘矩阵
1
E(i(k))
k
i列
i行
1
1 0 0 0
E
(3(5))
0
1
0
0
0 0 5 0
0
0
0
1
（3）初等倍加矩阵
1
1
k
E(ij(k))
6
0
3 3
4 3
③+5② ④–3②
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 2x4 6
x4 3
1 1 2 1 4
r3+5r2 r4–3r2
0
0
1 0
1 0
1 2
0
6
0
0
0 1 3
③2④ ③④
x1 x2 2x3 x4 4
x2 x3 x4 0 x4 3
第三章 矩阵旳初等变换与线性方程组
内容简介
• 矩阵旳初等变换 • 矩阵旳秩 • 线性方程组旳解
3_1矩阵的概念及运算
矩阵的加法运算与数乘运算, 矩阵的加法运算与数乘运算,统称为矩阵的 线性运算. 线性运算.
例3(1)已知 已知
2 −1 4 3 −1 2 3 1 0 3 −2 1 B = 5 −3 0 1 A= 1 2 −5 0 4 0 3 2
ij m× n
矩阵A的 (m, n)元
Am×n ,
(a ), (a )
.
这m × n个数称为 A的元素 ,简称为元 . 简称为元
元素是实数的矩阵称为实矩阵 元素是实数的矩阵称为实矩阵， 实矩阵 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 元素是复数的矩阵称为复矩阵。 复矩阵
例如
1 0 3 5 是一个 2 × 4 实矩阵 实矩阵, − 9 6 4 3
A A B C D
0 1 1 0
1
B
C
D
1 1
0 0 1
0 0
0 0 1 0
这个数表反映了四城市间交通联接情况. 这个数表反映了四城市间交通联接情况
用矩阵表示
0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
二、矩阵的概念
1. 定义 由 m × n 个数 aij (i = 1,2,L, m; j = 1,2,L, n ) 排成的 m行 n 列的数表
对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 这张表的研究 （线性方程组的 增广矩阵。） 增广矩阵。） B
A
C
D
四城市间的航班图情况常用表格来表示: 四城市间的航班图情况常用表格来表示 到站 B D A C
发站
A B C D
表示有航班. 表示有航班 改成1,空白地方填上 改成 空白地方填上
其中
3--1,2,3矩阵的基本运算、逆矩阵分块矩阵
A , B b21 a23 a21 a 代入(3.1)22 即得 23 b31
b11 b12 a13 1 11 t1 12 b21 b22 Examplea 1 a 设有两个线性变换 t a23 22 y2 21 2 b31 b32 x1 b11t1 b12t2 y1 a11 x1 a12 x2 a13 x3 a11b11 a12b21 a13b31 a(3.1) a12 222 a13t132 b22tt21 (3.2) bx b21b 11b12 y2 a21 x1 a22 x2 a23 x3 x b t b t 1 223 a31 b32 t22 23 a21b11 a22b21 a23b31 a21b12 a22b 32 by b a11 a12 a13 若想求出从 t1, t2 到11 y1, 12 的线性变换，可将(3.2) 2
5
一、矩阵的基本运算
矩阵加法满足如下性质： （1） A + B = B + A ； （2）A + (B + C) = (A + B) + C （3） A+ 0= 0+ A=A ( 0为与 A 同型的零矩阵 )
（4） ( )A A A （5） ( A B) A B 显然有 A + (-A) = 0. 矩阵的减法定义为
质
A10 ( A2 )5 (9 E3 )5 95 ( E3 )5 95 E3
0 20 28 24 0 10 14 12 0 10 14 12 0 5 7 6 44
矩阵3-1
【评注】零阵在矩阵的运算中类似于数中 0.
0 1 1 0 【例 6】 设 A = , B = 0 0 , 0 0
计算 AB , BA, AA 和 BB .
【解】
0 1 1 0 0 0 AB = 0 0 = 0 0 = 0 ; 0 0
2.
数与矩阵相乘 矩阵相乘
为一个数, 【定义 2】 若 k 为一个数 A = [aij ]m×n , 则矩阵
ka11 ka12 ka ka22 21 kA = M M ka m 1 ka m 2 L ka1n L ka2 n O M K kamn
数量乘积. 称为 k 与 A的数量乘积
6 5 = 16 25
只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵行数时 【注意】 只有当左边矩阵的列数等于右边矩阵行数时, 矩阵乘法才有意义,否则 矩阵不能相乘 矩阵乘法才有意义 否则,矩阵不能相乘 否则 矩阵不能相乘.
设 【例3】 A = (2, 1, 0) ,
【解 】
1 B = −2 , 3
【评注】
(1)乘积 AB 的第 i 行第 j 列元素等于左边矩阵 A 的第 i 乘积 列对应元素的乘积之和. 行元素与右边矩阵 B 的第 j 列对应元素的乘积之和
(2)乘积 AB 的行数等于左边矩阵 A 的行数 列数等于右 乘积 的行数,列数等于右 的列数. 边矩阵 A的列数
2 −1 1 −1 2 【例 2】设 A = , B = 0 2 , 3 4 5 2 4 计算 AB . 2 −1 1 −1 2 【解】 AB = 0 2 3 4 5 2 4
矩阵的加法运算及数与矩阵的乘法运算统称为 矩阵的线性运算. 矩阵的线性运算
矩阵的运算与处理
行列式具有一些重要的性质，如交换律、结合律、分配律等。
行列式的计算方法
行列式的计算可以通过展开法、递推法、分块法等方法进行。
04
矩阵的应用
在线性方程组中的应用
线性方程组是矩阵运算的重要应用之一。通过矩阵表示线性 方程组的系数和常数项，可以方便地进行矩阵的加法、乘法 等运算，从而求解线性方程组。
例如，对于形如 (Ax = b) 的线性方程组，可以通过矩阵的乘 法运算求得 (x) 的值。
在向量空间中的应用
向量空间是矩阵运算的另一个重要应用。通过矩阵可以将向量进行线性变换，从 而在向量空间中研究向量的性质和关系。
例如，对于一个 (n) 维向量空间，可以定义一个线性变换 (T: mathbb{R}^n rightarrow mathbb{R}^m)，通过矩阵表示该线性变换，可以方便地计算变换后的 向量。
感谢您的观看
3
零矩阵
所有元素都为零的矩阵。
02
矩阵的运算
矩阵的加法
总结词
矩阵的加法是指将两个矩阵的对应元 素相加，得到一个新的矩阵。
详细描述
矩阵的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A和(A+B)+C=A+(B+C)。
矩阵的数乘
总结词
数乘是指用一个标量与一个矩阵相乘，得到一个新的矩阵。
详细描述
数乘满足结合律和分配律，即k(m*n)矩阵=(k*m)*(k*n)，其中k是标量，m*n矩阵。
06
矩阵的特征值与特征向 量
特征值与特征向量的定义与性质
特征值
对于一个给定的矩阵A，如果存在一个数λ和对应的非零向量v，使得Av=λv成立，则称 λ为矩阵A的特征值，v为矩阵A的对应于λ的特征向量。
高等数学：3-1 矩阵的初等变换
r
A B A B,
于是
1
1
A B
1
A B
初等行变换
E
例3 求 矩 阵 X , 使 AX B， 其 中 2 1 3 1 1 A 1 2 2 B 2 0 1 3 2 2 5 1 若 A 可逆，则 X A B. 解
举例证明 用3阶初等矩阵 E3 (2,3) 左乘矩阵 A34 (aij )34，得
E 3 ( 2,3) A34
1 0 0 a11 0 0 1 a 21 0 1 0 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
1 r1 3
3 0 2 1 4 9
4 A 1 1 0 3 0 0 6 4 6
6 3 4 1 A 4 2 3 9 4 6
2. 利用初等行变换求逆阵 的方法，还可用于求
矩阵A1 B .
由于
A A E,
1
A~ E B ~ A 1 B
c
为证明定理1，我们引进初等矩阵的知识．
1、初等矩阵的概念
定义2 由单位矩阵E经过一次初等变换得到的方阵 称为初等矩阵. 三种初等变换对应着三种初等方阵.
1、 交换两行 (或两列 ) 交换 E 中第 i , j 两行，得初等方阵
1 1 0 1 1 j) 1 1 0 1 1
0 0 1 cr ,r 1 crn 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
例 用初等行变换将下面矩阵化为行最简形矩阵
3-1 矩阵位移法解连续梁
y
(a)
1
e
EAI
2
x
l
1
单元编号 杆端编号 局部座标 杆端位移编号
(b)
1
v1
2
2
u2
u1
v2
2
(c)
1 M1
M2
F1x
杆端力编号
F1 y
F2 y
F2 x
六、结构的离散化
将结构分解为杆件集合，为进行分析，事先需 做下面称为离散化的工作 结点：杆件交汇点、刚度变化点、支承点。有时也取 荷载作用点。图中1、2、3、4点均为结点。
位移法与力法之不同就在于选取的基 本未知量不同，因此计算次序不同
力 法
结构结点力 杆件杆端力 杆件结点位移 结构结点位移
位移法
力 法 需要选择基本体系和多余约束。所以较多 地依赖于结构的具体情况，不宜实现计算机计算的 自动化，但其优点是计算出的结果就是力； 位移法 是先求结点位移，再换算成力，该法的计 算自动化和通用性强，目前广为采用。
$ 3 矩阵位移法的基本概念
基本要求：
• 1、掌握矩阵位移法原理；
• 2、掌握结构离散化的方法；
• 3、掌握连续梁单元刚度矩阵的形成，理解刚度矩阵中每个元 素的物理意义； • 4、掌握等效荷载的概念。熟练掌握后处理法形成连续梁结构 的总刚矩阵。
• 5、熟练运用矩阵位移法计算连续梁。
• 重点内容：
• 1）先处理法形成结构的总刚矩阵； • 2）等效荷载的形成；
6(6) n
1
④
连续梁的结构离散化
• 后处理法
6
5（13,14,15）
先处理法
6 （16,17,18）
6
3（4,5,6）
3-1 Matlab矩阵、数组和符号运算
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
>> x x= 0 0.5000 1.0000 1.5000 2.0000
% x=linspace(a,b,n) 生成有 n 个元素的行向量 x，其元素值在 a、 ， 、 b 之间线性分布。 之间线性分布。
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
c.利用 文件产生矩阵 利用M文件产生矩阵 利用
A=[1,2,3,4,5 6,7,8,9,10 11,12,13,14,15 16,17,18,19,20 21,22,23,24,25]
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
d.从外部数据文件调入矩阵 用load命令输入 用Import 菜单输入
>> Z=zeros(2,4) Z= 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
% eye 生成单位阵
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0
% rand 生成均匀分布的随机矩阵
>> R=rand(4) R= 0.9501 0.8913 0.2311 0.7621 0.6068 0.4565 0.4860 0.0185 0.8214 0.4447 0.6154 0.7919 0.9218 0.7382 0.1763 0.4057
第3章 矩阵、数组和符号运算 章 矩阵、
>> A=[1,2,3,4;5,6,7,8;9,10,11,12;13,14,15,16] A= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
利用表达式输入
>> B=[1,sqrt(25),9,13 2,6,10,7*2 3+sin(pi),7,11,15 4,abs(-8),12,16] B= 1 5 9 13 2 6 10 14 3 7 11 15 4 8 12 16
Chapter 3-1 矩阵的初等变换分析
程组与变换后的方程组是同解的, 这三种变换都是
方程组的同解变换.
在上述变换过程中, 实际上只对方程组的系数
和常数项进行运算, 未知数并未参与运算. 因此, 若
记
2 1 1 1 1 1 2 1 B ( A b) 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 , 4 9
解：
(1) ①② ③2
① ② (1)
③
④
x1 x2 2 x3 x4 4 , 2 x x x x 2 , 1 2 3 4 2 x1 3x2 x3 x4 2 , 3x1 6 x2 9 x3 7 x4 9.
①
② ③ ④ (B1)
把定义中的“行”换成“列”,即得矩阵的初等 列变换的定义. 矩阵的初等行变换与初等列变换, 统
称初等变换.
上述三种初等变换都是可逆的,且逆变换是同 注： 一类型的初等变换. 例如：
变换ri rj的逆变换就是本身；
1 变换ri k的逆变换是ri ; k
变换ri krj的逆变换是 ri (k )rj .
等价 ~ A;
(ii) 对称性
(iii) 传递性
若 A ~ B, 则 B ~ A;
若 A ~ B, B ~ C, 则 A ~ C.
数学中把具有上述三条性质的关系称为等 价, 例如两个线性方程组同解, 就称这两个线性 方程组等价.
华中科技大学研究生矩阵论Matrix3-1
方法3：求列的极大无关组及表示（行变换）：不用求逆 例题2 （P.69，eg5） 例题3（P.70，eg6） 法2
C r行 (A I) O P ，rank (C ) r rank ( A) C C 1 C PA O AP O ( B, B2 ) O BC
方阵的LU和LDV分解（P.61）~ 解方程
例题1（P.61eg1）设 求A的LU和LDV分解。
2 2 3 A 4 7 7 2 4 5
2 2 3 1 0 0 2 2 3 1 0 0 r 2 r 2 2 3 1 0 0 r 2 r 3 2 2 1 ( A I ) 4 7 7 0 1 0 0 3 1 2 1 0 0 3 1 2 1 0 r3 r1 2 4 5 0 0 1 0 0 6 5 2 1 0 6 8 1 0 1
1 0 1 0 1 1 2 1 1 2 A BC 0 1 0 2 0 2 2 0 1 1 1 1 1 1 / 2
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
Ir S A ( B, B2 ) O O ( B, BS ) B( I r , S ) BC
B ??
A ( A1 , A2 ) B A1
1 1 2 二、矩阵的满秩分解 A 0 2 2 满秩分解的求法：初等变换 1 0 1 例题1-2（P.68-69，例4-5,）法2，法3：求A的满秩分解
1-3 矩阵的运算
１－３ 矩阵的运算一、矩阵的加法，数与矩阵的乘法［Ｐ１３－１５］ １、加法：()()n m ij nm ij b a ⨯⨯+＝()nm ijij b a ⨯+相加条件 加法法则性质：对任意ｍ⨯ｎ矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ，有（１） 交换律：Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ； （２） 结合律：（Ａ＋Ｂ）＋Ｃ＝Ａ＋（Ｂ＋Ｃ）； （３） 零矩阵０：Ａ＋０＝０＋Ａ＝Ａ；（４） 称()nm ija ⨯-为()nm ija ⨯的负矩阵，显然Ａ＋（－Ａ）＝０；规定：Ａ－Ｂ＝Ａ＋（－Ｂ）；显然：Ａ＝Ｂ⇔Ａ－Ｂ＝０ 移项法则成立２、数与矩阵的乘法：任意数ｋ，任意矩阵Ａ＝（ａｉｊ）ｍ⨯ｎ，规定ｋＡ＝ｋ（ａｉｊ）ｍ⨯ｎ＝()nm ijka ⨯＝Ａｋ。
性质：对任意ｍ⨯ｎ矩阵Ａ，Ｂ，任意数ｋ，ｌ有（１） １·Ａ＝Ａ（２） 结合律：ｋ（ｌＡ）＝（ｋｌ）Ａ （３） 分配律：（ｋ＋ｌ）Ａ＝ｋＡ＋ｌＡ （４） 分配律：ｋ（Ａ＋Ｂ）＝ｋＡ＋ｋＢ例１．３［Ｐ１５］设矩阵Ａ，Ｂ，Ｃ满足等式３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ），其中Ａ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-531632，Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-531423，求矩阵Ｃ。
解：因为３（Ａ＋Ｃ）＝２（Ｂ－Ｃ），所以去括号，得３Ａ＋３Ｃ＝２Ｂ－２Ｃ，移项，合并，得 ５Ｃ＝２Ｂ－３Ａ 两端同乘51，得Ｃ＝51（２Ｂ－３Ａ）＝51⎥⎦⎤⎢⎣⎡----51551050＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡----131210。
作业：Ｐ７１ ３（常用结论，记住）二、矩阵乘法引入：某印刷厂印两种书，工人分三个班工作，当天班组经济核算统计如下：书１ 书２ 单位售价 单位利润产量矩阵Ａ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡90180150250100200班班班321，单位售价与单位利润矩阵Ｂ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡251321书书， 当天各班组总产值与总利润矩阵为：总产值 总利润ＡＢ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯2901180590318021501250515032502100120051003200班班班321 １、定义１．７［Ｐ１６］n m n S S m C B A ⨯⨯⨯=。
线代3-1
Ch3 矩阵的秩与线性方程组第一节矩阵的秩一、矩阵秩的概念二、矩阵秩的计算21 ,,m n A k k k m k n k A k A k ×≤≤定义在矩阵中任取行列（），位于这些行列交叉处的个元素不改变它们在中所处的位置次序而得的阶行列式，称为矩阵的阶子式一、矩阵秩的概念2010()()A r D r D A r A rank r A A +定义设在矩阵中（1）不等于的阶子式，（2）阶子式（如果存在）全等于， 则被称为矩阵的最高阶非零子式， 数称为矩阵的，记有一个所或有秩作。
().m n A r A A ×矩阵的秩是中非零子式的最高阶数()0.A O r A =⇔=规定，对于T A )1().()(A r A r T=显然有注意：).,min()()2(n m A r n m ≤×.)()3(k A r k A ≥阶子式不为零，则有一个若.)(1)4(k A r k A ≤+阶子式均为零，则的所有若50()(0()(A r A n A r A n ≠⇒==⇒<（）若满秩阵）若降秩阵）例1.174532321的秩求矩阵⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=A 解中，二阶子式在A ，阶子式只有一个的又A A 3∵.03221≠，且0=A .2)(=∴A r二、矩阵秩的计算3定义矩阵为称满足以下两个条件的n m ×行阶梯形矩阵：(1)每行的非零元（如果有的话）前的零元个数比其上一行这种零元个数多；(2)00如果某行全为，则下面所有行也全为110若行阶梯形矩阵的非零行的首非零元均为，且这些所在的列的其它元素都是.行最简形矩阵0注：行阶梯形矩阵的秩即为它的非行的行数例2.00000340005213023012的秩求矩阵⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=B 解行，”，其非零行有是一个“行阶梯形矩阵3B ∵.4阶子式全为零的所有B ∴,0400230312≠−−而.3)(=∴B r 取自非零行首非零元所在列说明.非零行的行数行阶梯形矩阵的秩即其1 ,m n A ×对于任何矩阵总可经过有限次初等行变换化为行定理阶梯形矩阵2、经过初等变换后，矩阵的秩是否改变?()()~, 2 A B r A r B =若则定理问题：1、任一个矩阵是否可化成行阶梯形矩阵初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.阶满秩矩阵，则必有阶、分别是矩阵，而是任一设n m Q P n m A ,×2定理的推论：1推论)()()(PAQ r AQ r PA r ==2m n A ×若已知任一矩阵的标准推论形分解为r I O A PNQ P Q O O ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦.)(的阶数）（即单位矩阵则必有r I r A r =20314335427,()15201A r A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦例、若求解：203143542715201A ⎡⎤⎢⎥=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦13r 152013542720314⎡⎤⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1213(3)(2)r r −−15201020224010112⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦2231()2(1)r r −1520101011200000⎡⎤⎢⎥−−⎢⎥⎢⎥⎣⎦1122224,3336k A k k k −−⎡⎤⎢⎥=−−⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦例、已知矩阵取何值时，问：k (1)()1;(2)()2;(3)() 3.r A r A r A ===解：~63334222211⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−=k k k k A ~)1(6)1(3)1(30)1(4)1(2)1(202112⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−−−−−−−−k k k k k k k ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211k k k k k k；时，即得，当1)(1==A r k ；时，当2)(2=−=A r k .3)(12=≠−≠A r k k 时，且当⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡−+−−−−−0)1)(2(00)1(2)1()1(0211~k k k k k k A 由Ch3 矩阵的秩与线性方程组第二节齐次线性方程组一、线性方程组有解的判定二、线性方程组的解法一、齐次线性方程组有解的判定条件的解．组的秩，讨论线性方程如何利用系数矩阵0=Ax A 问题：引例求解齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x解⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=341122121221A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221施行的初等行变换：同时记录对系数矩阵A )1()2(1312−−r r ⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−+=+++0340222022432143214321x x x x x x x x x x x x ①②③②-①2×，③-①，得⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤消元法来解此方程组，利用Gauss⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−463046301221⎪⎩⎪⎨⎧=−−−=−−−=+++046304630224324324321x x x x x x x x x x ①④⑤⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)31()1(223−−r r ⑤-④，④得)31(−×⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥说明第3个方程是多余的！说明什么问题？⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛0000342101221)2(21−r ⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−−00003421035201⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=−−03420352432431x x x x x x ①⑥得，2×−行最简形矩阵⎪⎩⎪⎨⎧=++=+++034210224324321x x x x x x x ①⑥即得与原方程组同解的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=−−,0342,0352432431x x x x x x 移项即得⎪⎩⎪⎨⎧−−=+=,342,352432431x x x x x x ).,(43x x 称自由未知量⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧−−=+=,342,352212211c c x c c x 形式，把它写成通常的参数令2413,c x c x ==.1034350122214321⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛c c x x x x 即原方程组的解为),(21可取任意实数参数c c ,01213c c x +=,10214c c x +=()0.().m n n A x r A n n r A ×=⇔<−元齐次线性方程组有非零解系数矩阵的秩且通解中含有 个参数定理1结论：求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解00()Ax r A n=⇔=仅有解逆否命题：二、线性方程组的解法例1求解齐次方程组的通解⎪⎩⎪⎨⎧=+−−=−+−=+−−032030432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵A 进行初等变换⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=321131111111A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111~.000021001011~⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−(),32<=A r 由于故方程组有非零解，且有⎩⎨⎧=+=434212x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=⇔42442342242110200111x x x x x x x x x x x x ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−210042001111为什么选为非自由未知量？31,x x 选行最简形矩阵中非零行首非零元1所在列！.12010011424321⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛x x x x x x ),(42R x x ∈得方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=+=42442342242110200111x x x x x x x x x x x x 由例2 设有齐次线性方程组1231231232203760480x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪+−=⎨⎪++=⎩?,有非零解取何值时问λ解12237648A λ−⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠122~010008λ−⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟+⎝⎠8,0λ∴=－有非解123123123402202030B x x x x x x x x x λ+−=⎧⎪−+=⎨⎪+−=⎩例、已知三阶非矩阵的每一列都是方程组的解.120B λ =（）求的值（）证明10解：（）有非解：12221311λ−∴−−12-2~0-54055λ+−12-2~0-55054λ−+12-2~0-551λ−10λ∴=当时有非解121(2)[,,]B βββ=B 0Ax =∵的每一列都是的解1230A A A βββ∴===121[,,]0A βββ∴=0AB =即0TTB A ∴=0T TA B x =即的每一列都是的解00TB x ∴=有非解B ∴=对齐次线性方程组0=Ax ()n A r =⇔;0只有零解=Ax ()n A r <⇔.0有非零解=Ax 三、小结Ch3 矩阵的秩与线性方程组第三节非齐次线性方程组一、非齐次线性方程组有解的判定二、非齐次线性方程组的解法一、非齐次线性方程组有解的判定条件()()m n A x b r A r A ×=⇔=有解定理1推论有解的充分必要条件是矩阵方程B AX =),()(B A r A r =定理1‘，元非齐次线性方程组对b x A n n m =×方程组有唯一解；⇔==n A r A r )()()1(方程组有无穷多解；⇔<=n A r A r )()()2(.)()()3(方程组无解⇔≠A r A r例1 求解非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−+−=−+−.3222,2353,132432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等变换，A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−104501045011321)1(23−r 200)2()3(1312−−r r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−=322122351311321A结论：为求解非齐次线性方程组，只需将增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注
f ( A) g ( A) = g ( A) f ( A).
T T
五、矩阵的转置与矩阵运算的关系
(1) ( A
)
= A;
T
2 ) ( A + B ) = AT + B T ; (
T
( 3) ( λ A )
= λA ;
T
倒序) 倒序 4 ) ( AB ) = B T AT . (倒序 (
T
性质(2)和 可推广到有限个矩阵的情形 注 性质 和(4)可推广到有限个矩阵的情形
(1) (λµ ) A = λ (µA); (2) (λ + µ ) A = λA + µA; (3 ) λ ( A + B ) = λA + λB .
(4) kA = O ⇒ k = 0 或 A = O
矩阵加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算. 矩阵加法与数乘运算,统称为矩阵的线性运算. 线性运算
aii b ii , (i = 1,2,L, n)
（P84 ）
小结 （1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能 ）只有当两个矩阵是同型矩阵时， 进行加法运算. 进行加法运算 （2）只有当左乘矩阵的列数等于右乘矩阵的 ） 行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘一般不 行数时，两个矩阵才能相乘 且矩阵相乘一般不 满足交换律. 满足交换律 （3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不 ） 同.
2、 矩阵加法的运算规律
(1) A + B = B + A;
( 2 ) ( A + B ) + C = A + ( B + C )；
(3) A + O = O + A = A.
(4) 加法消去律成立，即 加法消去律成立，
A + B = A + C ⇒ B = C.
−a11 −a12 −a −a22 21 令− A= L L −am1 −am1
′ ( A + A + L + A )T = A T + A T + L + A T ; ( 2) 1 2 s 1 2 s ′ ( A A L A )T = A T A T L A T . ( 4)
1 2 s s s−1 1
1 7 − 1 2 0 − 1 , B = 4 2 3 , 例1 已知 A = 1 3 2 2 0 1 T 求 ( AB ) .
矩阵 A的数量乘积） , 规定为
ka11 ka12 ka ka22 21 kA = L L kam1 kam1 L ka1n L ka2 n = [kaij ]m×n . L L L kamn
2、数量乘法的运算规律
λ 、 矩阵， 为数， 设 A、B为 m × n 矩阵， , µ 为数，则
AB = O ⇒ A = O 或 B = O
（3）矩阵乘法无消去律 ）
AB = AC ( A ≠ O ) ⇒ B = C
例如 3 1 0 0 = 2 1 0 0 4 6 1 1 5 6 1 1 4. 矩阵乘法的应用 （1）线性方程组的三种表达式 ）线性方程组的三种表达式(P61)； （2）证明命题 ： 同阶上 下）三角阵 ）证明命题3.3： 同阶上(下 的乘积仍为上(下 三角阵， 的乘积仍为上 下）三角阵，且主对角元为
T
T T T
T T T
证明 Q H = (E − 2 XX ) = E − 2( XX = E − 2 XX T = H ,
a11 + b11 a 21 + b21 A+ B = L a + b m1 m1
a12 + b12 a 22 + b22 L a m 2 + bm 2
a1n + b1 n L a 2 n + b2 n L L L a mn + bmn L
只有当两个矩阵是同型矩阵 同型矩阵时 注 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.（可加的条件） 行加法运算 （可加的条件）
(1) ( AB )C = A( BC );
( 4 ) Am×n En = Em Am×n = Am×n ;
(5) Am×nOn×p = Om×p ; Op×m Am×n = Op×n ;
3. 矩阵乘法的运算特性
（1）矩阵乘法一般不满足交换律，即： AB ≠ BA. ）矩阵乘法一般不满足交换律，
1 1 1 − 1 B= 则 例1 设 A = − 1 − 1 −1 1
例如
12 3 − 5 1 8 9 1 − 9 0 + 6 5 4 3 6 8 3 2 1
对 应 元 相 加
12 + 1 3 + 8 − 5 + 9 13 11 4 = 1 + 6 − 9 + 5 0 + 4 = 7 − 4 4 . 3+ 3 6+ 2 6 8 9 8+1
称为矩阵A 称为矩阵 的负矩阵.
L −a1n L −a2 n L L L −amn
= [− aij ],
显然, A + ( − A ) = ( − A ) + A = O, 规定 : A − B = A + ( − B ) .
二、矩阵的数量乘法（数乘） 矩阵的数量乘法（数乘） 1、定义3.3 定义3.3 数 k 与矩阵 A 的乘积记作 kA （称之为数 k 与
注1 一般 ( AB ) ≠ A B ,
k k k
A, B ∈ P
n×n 2
n×n
注2 当
AB = BA
k k k 2 2
时，以下结论成立. 以下结论成立
(1) ( AB ) = A B ,
A, B ∈ P
2
;
(2) ( A + B) = A + 2 AB + B ; ( A + B)( A − B ) = A − B ;
例2、同阶对角阵关于矩阵乘法可交换， 同阶对角阵关于矩阵乘法可交换， 且具有封闭性. 且具有封闭性.
例3、与所有同阶方阵可交换的方阵只 能是数量阵 kEn . （2）矩阵乘法有零因子； ）矩阵乘法有零因子； 定义：若A ≠ O，B ≠ O，但AB = O，则 称A，B为零因子. 如例1, 如例 从而
第3章 矩阵及其运算 章
矩阵的基本运算及关系 （加 法 、 数 乘 、 乘 法 、 幂 、 多 项 式 ） 分块运算 矩阵的逆 矩阵的秩与相抵
§3.1 矩阵的运算
一、矩阵的加法 １、定义3.2 定义
设有两个 m × n 矩阵 A = [aij ], B = [bij ], 那么矩阵 A 与 B 的和记作 A + B，规定为 A + B = [aij + bij ]
( AB ) = BT AT
T
1 4 2 2 1 0 17 = 7 2 0 0 3 = 14 13. − 1 3 1 − 1 2 − 3 10
例2
设列矩阵 X = ( x1 , x2 ,L, xn ) 满足 X T X = 1, E为n阶单位矩阵 , H = E − 2 XX T , 证明H是对称矩
1 2 例如 f ( x) = 5 x − 2 x − 4, A = , 则 −1 1
2
n×n
f ( A) = 5 A − 2 A − 4 E2
2
−1 4 1 2 1 0 −11 16 = 5 − 2 −1 1 − 4 0 1 = −8 −11 −2 −1
c ij = a i 1 b1 j + a i 2 b2 j + L + a is bsj = ∑ a ik bkj
k =1
s
(i = 1,2,L m; j = 1,2,L, n ),
C = AB .
例１
4 − 2 4 2 C = = 1 − 2 2×2 − 3 − 6 2×2
3 2
由此归纳出
1 A = 0
n
2n 1
( n ≥ 2 ).
用数学归纳法证明 显然成立. 当 k = 2 时，显然成立 时成立， 假设k = n − 1时成立，则 k = n 时，
1 2(n −1) 1 2 1 2n A = A A= 0 1 = 0 1 , 1 0
三、矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘） 矩阵的乘法（矩阵与矩阵相乘） １、定义3.4 定义
矩阵， 设 A = [aik ] 是一个 m × s 矩阵， = [bkj ]是 B 矩阵， 一个 s × n矩阵，规定矩阵 A与矩阵B 的乘积是 一个m × n 矩阵 C = [cij ] ，其中
行 乘 列 法 则
n n−1
所以对于任意的 k 都有
思 考 其 它 方 法 .
法3 …
1 2k A = . 0 1
k
法2
P66 3.7 ,
用
3. 矩阵多项式
f ( A) = am Am + am−1 Am−1 + L + a1 A + a0 En 定义 称
的矩阵多项式. 为方阵 A ∈ P 的矩阵多项式
解法1 解法
2 Q AB = 1
0 = 17
1 7 − 1 0 − 1 4 2 3 3 2 2 0 1 14 − 3 , 13 10
0 17 T ∴( AB) = 14 13. − 3 10