(北师大版)初中数学《不等式的基本性质》典型例题
不等式的基本性质[下学期]--北师大版1.
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北师大版数学八年级下册2.2《不等式的基本性质》精选练习(含答案)
北师大版数学八年级下册2.2《不等式的基本性质》精选练习一、选择题1.若a.b是有理数，则下列说法正确的是（）A.若a2＞b2，则a＞bB.若a＞b，则a2＞b2C.若|a|＞b，则a2＞b2D.若|a|≠|b|，则a2≠b22.如果不等式（a﹣2）x＞a﹣2的解集是x＜1，那么a必须满足（）A.a＜0B.a＞1C.a＞2D.a＜23.贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A.18＜t＜27B.18≤t＜27C.18＜t≤27D.18≤t≤274.当1≤x≤2时，ax+2＞0，则a的取值范围是（）A.a＞﹣1B.a＞﹣2C.a＞0D.a＞﹣1且a≠05.下列说法正确的是（）A.若a2＞1，则a＞1B.若a＜0，则a2＞aC.若a＞0，则a2＞aD.若a<1，则a2<a6.如果x＞0，那么a＋x与a的大小关系是（）A.a＋x＞aB.a＋x＜aC.a＋x≥aD.不能确定7.已知5＜7,则下列结论正确的（）①5a＜7a②5+a＜7+a③5-a＜7-aA. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③8.-2a与-5a的大小关系（）A.-2a＜-5aB.2a＞5aC.-2a＝-5bD.不能确定9.2a与3a的大小关系（）A.2a＜3aB.2a＞3aC.2a＝3aD.不能确定10.如果t＞0，那么a＋t与a的大小关系是（）A.a＋t＞aB.a＋t＜aC.a＋t≥aD.不能确定11.已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是（）A.cb＞abB.ac＞abC.cb＜abD.c＋b＞a＋b12.有下列说法：（1）若a＜b，则－a＞－b；（2）若xy＜0，则x＜0，y＜0；（3）若x＜0，y＜0，则xy＜0；（4）若a＜b，则2a＜a＋b；其中正确的说法有（）A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题13.x＜y得到ax＞ay的条件应是____________.14.当x 时，代数式2x－4的值是正数.15.若m＜n，比较下列各式的大小：（1）m－3______n－3（2）－5m______－5n（4）3－m______2－n（5）0_____m－n16.用“＞”或“＜”填空：（1）如果x－2＜3，那么x______5；（4）如果－x＞1，那么x______－1.17.x＜y得到ax＞ay的条件应是____________.18.满足－2x＞－12的非负整数有________________________.三、解答题19.根据不等式性质，把下列不等式化为x＞a或x＜a的形式x＞错误!未找到引用源。
北师大版八年级数学下册第一讲 不等式的基本性质(基础讲解)(含解析)
第一讲不等式的基本性质【学习目标】1．了解不等式的意义,认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系.2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集.3. 理解不等式的三条基本性质,并会简单应用.【知识总结】一、不等式的概念一般地,用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子,叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系,它们具有方向性,不等号的开口所对的数较大．(2)五种不等号的读法及其意义：(3)有些不等式中不含未知数,如3＜4,-1＞-2；有些不等式中含有未知数,如2x＞5中,x表示未知数,对于含有未知数的不等式,当未知数取某些值时,不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系,我们说不等式成立,否则,不等式不成立．二、不等式的解及解集1.不等式的解：能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解．2.不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式,它的所有解组成这个不等式的解集．不等式的解是具体的未知数的值,不是一个范围不等式的解集是一个集合,是一个范围．其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立②能够使不等式成立的所有数值都在解集中3.不等式的解集的表示方法（1）用最简的不等式表示:一般地,一个含有未知数的不等式有无数个解,其解集是一个范围,这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8．(2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来,形象地表明不等式的无限个解．如图所示：要点诠释：借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来,在应用数轴表示不等式的解集时,要注意两个“确定”：一是确定“边界点”,二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解,则用实心圆点,若边界点不是不等式的解,则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言,x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言,x＜a或x≤a 向左画．注意：在表示a的点上画空心圆圈,表示不包括这一点．三、不等式的基本性质不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,那么a±c＞b±c．不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc(或a bc c <)．要点诠释：不等式的基本性质的掌握注意以下几点：(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据,是学习不等式的基础,它与等式的两条性质既有联系,又有区别,注意总结、比较、体会．(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时,要特别注意性质2和性质3的区别,在乘(或除以)同一个数时,必须先弄清这个数是正数还是负数,如果是负数,不等号的方向要改变． 【典型例题】【类型】一、不等式的概念例1．给出下列表达式：①()a b c ab ac +=+；②20-<；③5x ≠；④21a b >+；⑤222x xy y -+；⑥236x ->,其中属于不等式的是______．（填序号） 【答案】②③④⑥【分析】根据不等式的定义判断即可． 解：①a （b+c ）=a b+ac 是等式；②-2＜0是用不等号连接的式子,故是不等式； ③x≠5是用不等号连接的式子,故是不等式； ④2a ＞b+1是用不等号连接的式子,故是不等式； ⑤x 2-2xy+y 2是代数式；⑥2x-3＞6是用不等号连接的式子,故是不等式, 故答案为：②③④⑥．【点拨】本题考查的是不等式的定义,即用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子,叫做不等式,用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．【训练】下列式子：①－1＞2；②3x≥－1；③x －3；④s ＝vt ；⑤3x －4＜2y ；⑥3x －5＝2x ＋2；⑦a 2＋2≥0；⑧a 2＋b 2≠c 2.其中是不等式的是___________________．(只填序号) 【答案】①②⑤⑦⑧ 【解析】【分析】根据不等式的定义即可得出结论．解：根据不等式的定义：①－1＞2,②3x ≥－1,⑤3x －4＜2y ,⑦a 2＋2≥0,⑧a 2＋b 2≠c 2是不等式；③x －3,④s =vt ,⑥3x －5=2x ＋2不是不等式． 故答案为：①②⑤⑦⑧．【点拨】本题考查了不等式的概念．掌握不等式的概念是解题的基础． 【训练】下列式子属于不等式的是_______________．① 50-< ② 2x 3= ③ 3x 12-> ④4x 2y 0-≤ ⑤ 2x 3x 20-+> ⑥ x 2y - ⑦ 57x ≠ ⑧54< ⑨ x y 0+≥【答案】①③④⑤⑦⑧⑨【解析】【分析】根据不等式的概念即可解题. 解：∵不等式要求用不等号连接 ∴排除②⑥∴不等式的有①③④⑤⑦⑧⑨【点拨】本题考查了不等式的识别,属于简单题,熟悉不等式的概念是解题关键.【类型】二、不等式的解及解集例2.（2018·安徽全国·七年级单元测试）下列数值中哪些是不等式3x-1≥5的解？哪些不是？ 100, 98, 51, 12, 2, 0, -1, -3, -5.【答案】100, 98, 51, 12, 2是不等式3x-1≥5的解；0,-1,-3,-5不是不等式3x-1≥5的解. 【解析】试题分析：把上述各数分别代入不等式315x -≥的左边计算出左边的值,看是否大于或等于5即可. 试题解析：∵在不等式315x -≥中,当100x =时,左边=312995x -=>； 当98x =时,左边=312935x -=>； 当51x =时,左边=311525x -=>； 当12x =时,左边=31355x -=>； 当2x =时,左边=315x -=；当0x =时,左边=3115x -=-<； 当1x =-时,左边=3145x -=-<； 当3x =-时,左边=31105x -=-<； 当5x =-时,左边=31165x -=-<;∴上述各数中,100,98,51,12,2是不等式315x -≥的解；0,－1,－3,－5不是不等式315x -≥的解. 例3. 把下列不等式的解集在数轴上表示出来． (1)x≥－3； (2)x ＞－1； (3)x≤3；(4)x<－32. 【答案】(1)(2) (3)(4)【解析】将上述不等式的解集规范的表示在数轴上即可. 试题解析：（1）将3x ≥-表示在数轴上为：（2）将1x >-表示在数轴上为：（3）将3x ≤表示在数轴上为：（4）将32x <-表示在数轴上为：点拨：将不等式的解集表示在数轴上时,需注意两点：（1）“大于（大于或等于）向右,小于（小于或等于）向左”；（2）“x a >或（x a <）时”,数轴上表示数“a ”的点用“空心圆圈”,“x a ≥（或x a ≤）时”,数轴上表示数“a ”的点用“实心圆点”. 【训练】在数轴上表示不等式﹣3≤x ＜6的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7,并利用数轴说明x 的这些数值中,哪些满足不等式﹣3≤x ＜6,哪些不满足？ 【答案】﹣2,0,142满足不等式；﹣4,7不满足不等式 【分析】根据“大于向右,小于向左,包括端点用实心,不包括端点用空心”的原则将不等式的解集和x 的下列值：﹣4,﹣2,0,142,7在数轴上表示出来,这些值如果在解集范围内则表示满足不等式,否则就是不满足不等式．解：根据图可知：x 的下列值：﹣2,0,142满足不等式；x 的下列值：﹣4,7不满足不等式．【点拨】不等式的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（＞,≥向右画；＜,≤向左画）,数轴上的点把数轴分成若干段,如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样,那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”,“≤”要用实心圆点表示；“＜”,“＞”要用空心圆点表示．【类型】三、不等式的性质例4.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x a >或x a <的形式．（1）x 15-<． （2）4x 13-≥． （3）1x 142-+≥． （4）4x 10-<-． 【答案】（1）x 6<；（2）x 1≥；（3）x 6≤-；（4）5x 2>．【分析】（1）利用不等式的性质将两边加上1即可求解；（2）利用不等式的性质先将两边加上1,再两边同除以4即可求解； （3）利用不等式的性质先将两边减去1,再两边同除以12-即可求解； （3）利用不等式的性质将两边同除以-4即可求解； 解：（1）x 15-<,两边加上1得：x 1151-+<+, 解得：x 6<； （2）4x 13-≥,两边加上1得：4x 1131-+≥+,即4x 4≥, 两边除以4得：x 1≥； （3）1x 142-+≥, 两边减去1得：1x 11412-+-≥-,即1x 32-≥, 两边除以12-得：x 6≤-； （4）4x 10-<-, 两边除以4-得：5x 2>． 【点拨】本题考查不等式的性质,解题的关键是熟练掌握不等式的性质．【训练】根据不等式的基本性质,把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式：（1）5x>4x+8 （2）x+2<-1 （3）-23x>-1（4）10-x>0 （5）-15x<-2 （6）3x+5<0【答案】（1）x>8；（2）x<-3；（3）x<32；（4）x<10；（5）x>10；（6）x<-53．【分析】根据不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子）,不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变；依次分析各小题即可．解：（1）根据不等式性质1,不等式两边都减4x,不等号的方向不变,得5x-4x>4x+8-4x,即x>8；（2）根据不等式性质1,不等式两边都减去2,不等号的方向不变,得x+2-2<-1-2即x<-3；（3）根据不等式性质3,不等式两边同除以-23,不等号的方向改变,得-23x÷（-23）<-1÷（-23）即x<32；（4）根据不等式性质1,不等式两边同减10,不等号的方向不变,得10-x-10>0-10即-x>-10,再根据不等式性质3,不等式两边同除以-1,不等号的方向改变,得x<10；（5）根据不等式性质3,不等式两边同乘以-5,不等号的方向改变,得-15x·（-5）>-2×（-5）即x>10；（6）根据不等式性质1,不等式两边都减去5,不等号的方向不变得3x+5-5<0-5即3x<-5,再根据不等式性质2,不等式两边同除以3,不等号的方向不变,得3x÷3<-5÷3即x<-53．【点拨】本题主要考查了不等式的基本性质,本题重在考查不等式的三条基本性质,特别是性质3,两边同乘以（•或除以）同一个负数时,一定要改变不等号的方向!•这条性质是初学者最易出错也经常出错的地方．。
北师大版八年级下册数学2.2不等式的基本性质(利用不等式的基本性质解简单的不等式) 练习
利用不等式的基本性质解简单的不等式一、选择题1、已知ab=4，若﹣2≤b≤﹣1，则a的取值范围是( )A .a≥﹣4B .a≥﹣2C .﹣4≤a≤﹣1D .﹣4≤a≤﹣22、不等式2x-1＞3的解集（）A．x＞1B．x＞-2C．x＞2D．x＜2 3、若不等式ax＞b中a＜0，则不等式解集为（）A．x＞B．x＜C．x＞D．x＜4、不等式-x+2＞1的解集是（）A．x＞-2B．x＞2C．x＜-2D．x＜2 5、不等式2x+1＞7解集是（）A．x＜3B．x＜4C．x＞3D．x＞4 6、不等式2x-4≤0的解集是（）A．x≤2B．x≥2C．x≤-2D．x≥2二、填空题7、若＞0，则x的取值范围是__________．8、式子a2x＞x（a2+1）成立，则x满足的条件是__________．9、不等式的解集是 __________ ．10、不等式-2x-3＞0的解集是 __________ ．11、代数式的值不大于的值，那么a的取值范围是__________．12、当__________时，3x-2的值为正数；当__________时，不等式的值不小于7．13、如果4x＜2，那么-x__________．三、解答题14、解下列关于x的不等式：（1）；（2）k（kx+1）＜1-x．15、解不等式：．16、x取何值时，代数式的值，不小于代数式的值．17、3（y+2）-1≥8-2（y-1）18、利用不等式的性质解不等式：-5x+5＜-10．19、根据不等式的基本性质，把下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）5x＞4x+8（2）x+2＜-1（3）-x＞-1（4）10-x＞0（5）-x＜-2（6）3x+5＜0利用不等式的基本性质解简单的不等式的答案和解析一、选择题1、答案：D试题分析：根据已知条件可以求得b=，然后将b的值代入不等式-2≤b≤-1，通过解该不等式即可求得a的取值范围。
解：由ab=4，得b=，∵-2≤b≤-1，∴-2≤≤-1，∴-4≤a≤-2．故选：D．2、答案：C试题分析：移项合并同类项得到2x＞4，不等式的两边同除以2即可求出答案．试题解析：2x-1＞3，移项得：2x＞3+1，合并同类项得：2x＞4，∴不等式的解集是x＞2．故选C．3、答案：B试题分析：根据不等式的基本性质直接解不等式求出即可．试题解析：∵ax＞b，a＜0，∴x＜，故选：B．4、答案：D试题分析：由-x+2＞1，移项并合并同类项得-x＞-1，不等式的两边同除以-（注意不等号的方向改变），即可求出答案．试题解析：-x+2＞1，-x＞-1，x＜2．故选D．5、答案：C试题分析：根据不等式的性质移项、合并同类项得出2x＞6，不等式的两边都除以2即可求出答案．试题解析：2x+1＞7，∴2x＞6，∴x＞3．故选C．6、答案：A试题分析：移项得到2x≤4，不等式的两边都除以2即可求出答案．试题解析：2x-4≤0，移项得：2x≤4，不等式的两边都除以2得：x≤2．故选A．二、填空题7、答案：试题分析：根据分式的分分子分母同号为正，可得不等式，根据解不等式，可得答案．试题解析：由＞0，得．解得x，故答案为：x＞-．8、答案：试题分析：根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案．试题解析：a2＜a2+1，两边都乘以x，a2x＞x（a2+1），x＜0，故答案为：x＜0．9、答案：试题分析：去分母得到3x+2＜7x，移项合并同类项得出-4x＜-2，不等式的两边都除以-4即可求出答案．试题解析：＜x，去分母得：3x+2＜7x，移项得：-4x＜-2，不等式的两边都除以-4得：x＞．故答案为：x＞．10、答案：试题分析：移项得-2x＞3，不等式的两边同除以-2（注意不等号的方向改变），即可得到答案．试题解析：-2x-3＞0，-2x＞3，x＜-．故答案为：x＜-．11、答案：试题分析：根据题意得到不等式+1≤a，根据不等式的性质求出不等式的解即可．试题解析：根据题意得：+1≤a，移项得：-a≤-1，∴a≤-1，不等式的两边都除以得：a≤-4，故答案为：a≤-4．12、答案：试题分析：此题实质是分别解不等式3x-2＞0，≥7，根据不等式的基本性质求解即可．试题解析：（1）由题意得3x-2＞0，解得x＞，则当x＞时，3x-2的值为正数；（2）由题意得≥7，解得x≥45，则x为≥45时，不等式的值不小于7．13、答案：试题分析：看该不等式是怎样得到，用不用变号即可．试题解析：∵4x＜2，∴x＜，∴-x＞-．三、解答题14、答案：试题分析：（1）先去分母，再移项合并同类项，根据a＞b求解即可．（2）先去括号，再移项合并同类项，求解即可．试题解析：（1）原不等式去分母得：ax+2b＞bx+2ab，移项合并同类项得：（a-b）x＞2ab-2b，∵a＞b，∴a-b＞0，∴x＞．（2）原不等式去括号得：k2x+x＜1-k，移项合并同类项得：（k2+1）x＜1-k，∵k2+1＞0，∴．15、答案：试题分析：去分母、去括号得到2x≥30+5x-10，移项、合并同类项得出-3x≥20，不等式的两边都除以-3即可求出不等式的解集．试题解析：，去分母得：2x≥30+5（x-2），去括号得：2x≥30+5x-10，移项得：2x-5x≥20，合并同类项得：-3x≥20，不等式的两边都除以-3得：x≤-，∴不等式的解集是x≤-．16、答案：试题分析：根据题意得到不等式≥，根据不等式的性质求出不等式的解集即可．试题解析：根据题意得：≥，2（x+1）-3（x-1）≥x-1，2x+2-3x+3≥x-1，2x-3x-x≥-1-2-3，-2x≥-6，∴x≤3．答：当x≤3时，代数式的值，不小于代数式的值．17、答案：试题分析：去括号、移项、合并同类项得到5y≥5，不等式的两边都除以5就能得到答案．试题解析：3（y+2）-1≥8-2（y-1），去括号得：3y+6-1≥8-2y+2，移项得：3y+2y≥10-6+1，合并同类项得：5y≥5，不等式的两边都除以5得：y≥1，∴不等式的解集是y≥1．18、答案：试题分析：利用不等式的基本性质，将两边不等式同时减去5，不等号的方向不变．利用不等式的基本性质，将两边不等式同时除以-5，不等号的方向改变．试题解析：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得-5x＜-15，根据不等式的性质3，在不等式-5x＜-15的两边同时除以-5，得x＞3．19、答案：试题分析：根据不等式的基本性质对各不等式进行逐一分析解答即可．试题解析：（1）根据不等式性质1，不等式两边都减4x，不等号的方向不变，得5x-4x＞4x+8-4x，即x＞8；（2）根据不等式性质1，不等式两边都减去2，不等号的方向不变，得x+2-2＜-1-2即x＜-3；（3）根据不等式性质3，不等式两边同除以-，不等号的方向改变，得-x÷（-）＜-1÷（-）即x＜；（4）根据不等式性质1，不等式两边同减10，不等号的方向不变，得10-x-10＞0-•10即-x＞-10，再根据不等式性质3，不等式两边同除以-1，不等号的方向改变，得x＜10；（5）根据不等式性质3，不等式两边同乘以-5，不等号的方向改变，得-x?（-5）＞- 2×（-5）即x＞10；（6）根据不等式性质1，不等式两边都减去5，不等号的方向不变得3x+5-5＜0-5•即3x＜-5，再根据不等式性质2，不等式两边同除以3，不等号的方向不变，得3x÷3＜-5 ÷3，即x＜-．。
03不等式(北师大版)
3不等式3.1不等式的性质一、不等式的概念用不等号表示不等关系的式子叫做不等式。
不等号包括：＞、＜、≥、≤、≠。
二、不等式的性质性质1（传递性）如果b a >，且c b >，那么c a >。
分析要证c a >，只需证0>-c a 证明因为b a >，且c b >，所以0,0>->-c b b a 从而()(),0>-+-=-c b b a c a 即ca >性质2（可加性）如果b a >，那么.c b c a +>+分析要证明.c b c a +>+只需证()()0>+-+c b c a 证明因为b a >，所以,0>-b a 所以()(),0>-=+-+b a c b c a 即.c b c a +>+性质3（可积性）()1如果o c b a >>,，那么;bc ac >()2如果,0,<>c b a 那么bc ac <。
分析（1）要证,bc ac >只需证0>-bc ac 。
证明（1）因为b a >，所以0>-b a 又因为0>c ，所以(),0,0>->-bc ac c b a 即bc ac >。
试用（1）的方法完成（2）的证明。
性质4（同向可加性）如果d c b a >>,，那么.d b c a +>+证明因为,b a >所以.c b c a +>+又因为d c >，所以d b c b +>+.由不等式的性质1，得.d b c a +>+性质5（同向同正可乘性）()1如果,0,0>>>>d c b a 那么bdac >()2如果,0,0<<>>d c b a 那么bd ac <.证明：（1）因为,0,>>c b a 所以bcac >又因为,0,>>b d c 得bdbc >由不等式的性质1，得.bd ac >试用（1）的方法完成（2）的证明。
不等式的基本性质经典练习题
不等式的基本性质经典练习题9.1.2 不等式的基本性质练题要点感知不等式的性质有：不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如果 $a>b$，那么 $a\pmc>b\pm c$。
不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果 $a>b。
c>0$，那么 $ac>bc$（或$\frac{a}{c}>\frac{b}{c}$）。
不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果 $a>b。
c<0$，那么 $ac<bc$（或$\frac{a}{c}<\frac{b}{c}$）。
预练1-1：若 $a>b$，则 $a-b>0$，其依据是（A）不等式性质1.1-2：若$a”“<”或“=”）。
1-3：设 $a>b$，用“”填空，并说出是根据哪条不等式性质。
1) $3a>3b$，根据不等式性质2.2) $a-8<b-8$，根据不等式性质1.3) $-2a<-2b$，根据不等式性质3.4) $2a-5<2b-5$，根据不等式性质1.5) $-3.5a-1<-3.5b-1$，根据不等式性质2.知识点1：认识不等式的性质1.如果 $b>0$，那么 $a+b$ 与 $a$ 的大小关系是（C）$a+b\geq a$。
2.下列变形不正确的是（D）$-5x>-a$ 得 $x>$。
3.若 $a>b。
am<bm$，则一定有（B）$m<0$。
4.在下列不等式的变形后面填上依据：1) 如果 $a-3>-3$，那么 $a>0$；依据不等式性质1.2) 如果 $3a<6$，那么 $a<2$；依据不等式性质2.3) 如果 $-a>4$，那么 $a<-4$；依据不等式性质3.5.利用不等式的性质填“>”或“<”。
北师大版八年级数学下册不等式的基本性质同步练习题 (2)
2.3 不等式的解集1．下列数值中，是不等式x－2＞2的一个解的是()A．0 B．2C．4 D．62．不等式x－3＞1的解集是()A．x＞2 B．x＞4C．x＞－2 D．x＞－43．下列不等式中，不含有x＝－1这个解的是()A．2x＋1≤－3 B．2x－1≥－3 C．－2x＋1≥3 D．－2x－1≤3 4．不等式3x＜6的解集是；使该不等式成立的正整数解是，当时，不等式3x＞7不成立．5．根据已知条件写出相应不等式．(1)－3，－2，－1,0,1都是不等式的解；(2)不等式的负整数解只有－1，－2，－3；(3)不等式的解的最大的值是0.6．对于解不等式－2x3＞32，正确的结果是()A．x＜－94B．x＞－94C．x＞－1 D．x＜－17．若不等式(a－3)x＞1的解集为x＜1a－3，则a的取值范围是.8．根据不等式的基本性质，求出下列不等式的解集．(1)12x ＞－3； (2)3x －6≤0； (3)－12x ＋6＞0.9．在数轴上表示不等式x －1＜0的解集，正确的是( )10．如图，在数轴上所表示的是哪一个不等式的解集( )A.12x ＞－1 B.x ＋32≥－3C ．x ＋1≥－1D ．－2x ＞411．将下列不等式的解集分别表示在数轴上： (1)x ≤2; (2)x ＞－2.12．用A 、B 两种型号的钢丝各两根分别作为长方形的长与宽，焊接成周长不小于2.4m 的长方形框架，已知每根A 型钢丝的长度比每根B 型钢丝长度的2倍少3cm.(1)设每根B型钢丝长为x cm，按题意列出不等式并求出它的解集；(2)如果每根B型钢丝长度有以下四种选择：30cm,40cm,41cm,45cm，那么哪些合适？13．请阅读求绝对值不等式|x|＜3和|x|＞3的解集的过程：因为|x|＜3，从如图1所示的数轴上看：大于－3而小于3的数的绝对值是小于3的，所以|x|＜3的解集是－3＜x＜3；因为|x|＞3，从如图2所示的数轴上看：小于－3的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以|x|＞3的解集是x＜－3或x＞3.解答下面的问题：(1)不等式|x|＜a(a＞0)的解集为________；不等式|x|＞a(a＞0)的解集为________；(2)解不等式|x－5|＜3；(3)解不等式|x－3|＞5.答案：1. B2. D3. A4. x ＜2 1 x≤735. 解：(1)答案不唯一．如：x ≥－3 (2)答案不唯一．如：x ＞－4 (3)答案不唯一．如：x ≤06. A7. a ＜38. 解：(1)两边都乘以2，得x ＞－6.(2)两边都加上6，得3x ≤6.两边都除以3，得x ≤2. (3)两边都减去6，得－12x ＞－6.两边都除以－12，得x ＜12.9. C 10. C11. 解：(1)(2)12. 解：(1)2(2x －3)＋2x ≥240，∴x ≥41 (2)41cm,45cm 合适 13. 解：(1)不等式|x |＜a (a ＞0)的解集为－a ＜x ＜a ；不等式|x |＞a (a ＞0)的解集为x ＞a 或x ＜－a ；(2)|x －5|＜3，由(1)可知－3＜x －5＜3，∴2＜x ＜8； (3)|x －3|＞5，由(1)可知x －3＞5或x －3＜－5，∴x ＞8或x ＜－2.北师大版九年级数学上册期中测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1.随机掷两枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是 A.1 B.12C.13D.142. 关于方程x 2-2＝0的理解错误的是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..A.这个方程是一元二次方程B.方C.这个方程可以化成一元二次方程的一般形式D.这个方程可以用公式法求解 3.下列说法正确的个数是①菱形的对角线相等 ②对角线互相垂直的四边形是菱形;③有两个角是直角的四边形是矩形 ④正方形既是菱形又是矩形⑤矩形的对角线相等且互相垂直平分 A.1 B.2 C.3 D.4 4.方程x 2-3x+6＝0的根的情况是A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5.如图显示了用计算机模拟随机投掷一枚图钉的某次试验的结果.下面有三个推断:①某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是308，则“钉尖向上”的频率是0.616;②随着试验次数的增加，“钉尖向上”的频率总在0.618附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“钉尖向上”的概率是0.618;③若再次用计算机模拟试验，则当投掷次数为1000时，“钉尖向上＂”的频率一定是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..0.620.其中合理的是A.①②B.②③C.①③D.①②③6.将一张正方形纸片按如图所示步骤①②沿虚线对折两次，然后沿③中的虚线剪去一个角，展开铺平后的图形是7.现有三张质地大小完全相同的卡片，上面分别标有数字-2，-1，1，把卡片背面朝上洗匀，从中任意抽取一张卡片，记下数字后放回，洗匀，再任意抽取一张卡片，则第一次抽取的卡片上的数字大于第二次抽取的卡片上的数字的概率是A.23 B.12C.13D.498.如图，在菱形ABCD中，AB＝13，对角线AC＝10，若过点A作AE ⊥BC垂足为E，则AE的长为A.8B.6013 C.12013D.240139.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM ＝3，BC ＝10，则OB 的长为 A.5 B.4 C.342D.3410.如图，已知正方形ABCD 的边长为12，BE ＝EC ，将正方形的边CD 沿DE 折叠到DF ，延长EF 交AB 于G ，连接DG ，现在有如下4个结论:①△ADG ≌△FDG:②GB ＝2AG:③3∠GDE ＝45°④S △BEF ＝725,在以上4个结论中，正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11.将分别标有“柠”“檬”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀.随机摸出一球不放回，再随机摸出球，两次摸出的球上的汉字能组成“柠幪”的概率是乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..________.12.如图，菱形ABCD 中，∠ABC ＝2∠A ，若对角线BD ＝3，则菱形ABCD 的周长为________.13.桌上放有完全相同的三张卡片，卡片上分别标有数字2，1，4，随机摸出一张卡片(不放回)，其数字记为P ，再随机摸出一张卡片，其数字记为q ，则关于的方程x 2+px+q ＝0有实数根的概率是________.14.某种油菜籽在相同条件下的发芽试验结果如下: 由此可以估计油菜籽发芽的概率约为________.(精确到0.1)15.一个两位数，十位数字比个位数字大3，而这两个数字之积等于这个两位数的27，若设个位数字为x ，则列出的方程为________.乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..16.如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点E ，F 分別在AD ，DC 上，AE ＝DF ＝1，BE 与AF 相交于点G ，点为BF 的中点，连接GH ，则GH 的长为________.三、解答题(本题共7小题，共66分) 17.(8分)解方程:(1)2x 2-4x+1＝0 (2)(x+8)(x+1)＝-1218.(8分)甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A 、B 分别分成4等份、3等份，并在每一份内标上数字，如图所示.游戏规定:转动两个转盘停止后，指针必须指到某数字，否则重转(1)请用画树状图法或列表法列出所有可能的结果; (2)若指针所指的两个数字都是方程x2-5x+6＝0的解，则甲获胜若指针所指的两个数字都不是方程x2-5x+6＝0的解，则乙获乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..胜.问他们两人谁获胜的概率大?请分析说明19.(10分)某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件村衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件. (1)若商场平均每天要盈利1200元，且让顺客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元?(2)商场平均每天可能盈利1700元吗?请说明理由.20.(10分)如图，矩形ABCD 中AB ＝3，BC ＝2，过对角线BD 的中点O 的直线分別交AB 、CD 边于点E 、F. (1)求证:四边形BEDF 是平行四边形;乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..(2)当四边形BEDF 是菱形时，求EF 的长. 21.(10分)如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，另三边用竹篱笆園成，篱笆总长33米，墙对面有一个2米宽的门，国成长方形的鸡场除门之外四周不能有空隙.求: (1)若墙长为18米，要围成鸡场的面积为150平方米，则鸡场的长和宽各为多少米? (2)能围成面积为200平方米的鸡场吗? 22.(10分)某茶叶专卖店经销一种日照绿茶，每千克成本80元，据销售人员调查发现，每月的销售量(千克)与销售单价x(元/千克)之间存在如图所示的变化规律. (1)求每月销售量y 与销售单价x 之间的函数关系式; (2)若某月该茶叶专卖店销售这种绿茶获得利润1350元，乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..试求该月茶叶的销售单价x. 23.(10分)如图①，将一张矩形纸片ABCD 沿着对角线BD 向上折叠，顶点C 落到点E 处，BE 交AD 于点F. (1)求证:△BDF 是等腰三角形; (2)如图②，过点D 作DG ∥BE ，交BC 于点G ，连接FC 交BD 于点O ①判断四边形BFDC 的形状，并说明理由; ②若AB ＝6，AD ＝8，求FG 的长. 乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..。
2018年八年级数学下册 22 不等式的基本性质 新版北师大版
________________等___________
式
2.用“>”或“<”号填空：
（ 1 ） 如 果 x+2<3x+8, 那 么 x-3x<____8-2, 理 由 是 ___不___等__式___性__质2 即-2x____6, < 理由是____代___数__式__的__即化x简____-3.理由是> ______________
练习：
1、设a＞b，用＜或＞填空
?（1）a-3 b-3；（2）a÷3 b÷3 ?（3）0.1a 0.1b; (4) -4a -4b ? (5) 2a+3 2b+3; ? (6) (m2+1) a (m2+1)b (m 为常数)
答案:（1）＞、（2）＞（3）、＞ （4）、＜ （5）、＞ （6）、＞
练习：
例题：
1、已知不等式 5a－b＞0.5(a＋ 7b),试比较a,b的大小。
例题：
2、已知不等式 2a＋3b＞3a＋2b, 试比较a、b的大小。
想1一、如想果: m＜n，试比较－m＋2和－n
＋2的大小。
1
2、若0＜x＜1，试比较xx2，x， 的大小。
解： 1、由 m＜n，∴－ m＞－ n，故－ m＋2＞－n＋2。
2、判断对错： （1）如果a＞b，那么ac＞bc。 （2）如果a＞b，那么ac2＞bc2。 （3）如果ac2＞bc2,那么a＞b。
解：（1）是错的。当c是负数时，ac＜bc. （2）是错的。当c=0时，ac2=bc2. （3）是对的。
想一想:
3、如果a＞b,c＞d,那么ac＞bd.这句话正 确吗?为什么?
如果是每人各加薪200元呢？
归纳与整理
(完整word版)不等式的基本性质__习题精选(一)
不等式的基本性质 习题精选（一）★不等式的基本性质1．不等式的基本性质1:如果a 〉b ，那么 a+c____b+c ， a －c____b －c ． 不等式的基本性质2：如果a 〉b,并且c 〉0，那么ac_____bc ． 不等式的基本性质3:如果a>b ，并且c<0，那么ac_____bc ． 2．设a 〈b ，用“〈"或“>”填空．（1）a －1____b －1;(2）a+1_____b+1；(3）2a____2b ；（4）－2a_____－2b ；5）－a 2_____－b 2；（6)a 2____b 2．3．根据不等式的基本性质，用“<"或“〉"填空．（1）若a －1〉b －1，则a____b ；（2）若a+3〉b+3，则a____b ；（3）若2a>2b ，则a____b ； （4）若－2a>－2b ，则a___b ．4．若a 〉b ，m<0,n>0,用“〉”或“〈"填空．（1）a+m____b+m;（2）a+n___b+n ；（3)m －a___m －b ；（4）an____bn ；（5）a m ____b m ;（6）a n _____bn ； 5．下列说法不正确的是( ）A ．若a 〉b,则ac 2>bc 2（c 0)B ．若a 〉b ，则b 〈aC ．若a>b ，则－a 〉－b D ．若a>b ，b 〉c ，则a>c★不等式的简单变形6．根据不等式的基本性质，把下列不等式化为x 〉a 或x>a 的形式： （1）x －3>1；（2)－32x>－1;（3）3x<1+2x ；（4）2x 〉4． [学科综合］7．已知实数a 、b 、c 在数轴上对应的点如图13－2－1所示，则下列式子中正确的是（ ）A ．bc 〉abB ．ac>abC ．bc 〈abD ．c+b 〉a+b8．已知关于x的不等式(1－a）x〉2变形为x<21-a，则1－a是____数．9．已知△ABC中三边为a、b、c，且a>b，那么其周长p应满足的不等关系是（ ) A．3b〈p<3a B．a+2b〈p<2a+b C．2b<p<2（a+b） D．2a<p<2（a+b）[创新思维]（一）新型题10．若m〉n,且am<an,则a的取值应满足条件（ )A．a〉0 B．a<0 C．a=0 D．a≥0（二）课本例题变式题11．（课本p6例题变式题）下列不等式的变形正确的是( )A．由4x－1〉2，得4x>1 B．由5x〉3，得x〉35 C．由x2>0，得x〉2D．由－2x<4，得x<－2（三)易错题12．若a>b，且m为有理数，则am2____bm2．13．同桌甲和同桌乙正在对7a〉6a进行争论，甲说：“7a>6a正确"，乙说：“这不可能正确”,你认为谁的观点对?为什么?(四）难题巧解题14．若方程组2x+y=k+1x+2y=-1⎧⎨⎩的解为x,y，且3〈k<6,则x+y的取值范围是______．（五）一题多解题15．根据不等式的基本性质,把不等式2x+5<4x_1变为x>a或x<a的形式．［数学在学校、家庭、社会生活中的应用］16．如图13－2－2所示,一个已倾斜的天平两边放有重物，其质量分别为a和b，如果在天平两边的盘内分别加上相等的砝码c，看一看，盘子仍然像原来那样倾斜吗?[数学在生产、经济、科技中的应用]17．小明用的练习本可以到甲商店购买，也可到乙商店购买，已知两商店的标价都是每本1元，但甲商店的优惠条件是:购买10本以上，从第11本开始按标价的70%卖，乙商店的优惠条件是:从第1本开始就按标价的85%卖．(1）小明要买20本时，到哪个商店购买较省钱？（2）写出甲商店中收款y(元）与购买本数x（本)（x〉10）之间的关系式．（3)小明现有24元钱，最多可买多少本？［自主探究］18．命题:a,b是有理数，若a>b，则a2>b2．（1）若结论保持不变，那么怎样改变条件，命题才能正确？；(2)若条件保持不变，那么怎样改变结论,命题才能正确？[潜能开发］19．甲同学与乙同学讨论一个不等式的问题，甲说：每个苹果的大小一样时，5个苹果的重量大于4个苹果的重量，设每个苹果的重量为x则有5x〉4x．乙说：这肯定是正确的．甲接着说：设a为一个实数，那么5a一定大于4a，这对吗？乙说：这与5x〉4x不是一回事吗?当然也是正确的．请问：乙同学的回答正确吗？试说明理由．［信息处理］20．根据不等式的基本性质,把下列不等变为x〉a或x<a的形式：(1)1x2〉－3；（2）－2x〈6．解:（1）不等式的两边都乘以2，不等式的方向不变，所以1x2>-322⨯⨯，得x>－6．（2）不等式两边都除以－2，不等式方向改变,所以-2x6>-2-2，得x>－3．上面两小题中不等式的变形与方程的什么变形相类似？有什么不同的? [开放实践］21．比较a+b与a－b的大小．［经典名题，提升自我］［中考链接]22．（2004·山东淄博）如果m〈n<0，那么下列结论中错误的是（）A．m－9〈n－9 B．－m>－n C．11>n m D．mn>123．（2004·北京海淀）若a－b<0，则下列各题中一定成立的是（）A．a〉b B．ab>0 C．ab〉0 D．－a〉－b［奥赛赏析］24．要使不等式…〈753246a<a<a<a<a<a<a〈…成立，有理数a的取值范围是（）A．0〈a〈1 B．a〈－1 C．－1<a<0 D．a〉1［趣味数学]25．（1)A、B、C三人去公园玩跷跷板,如图13－2－3①中,试判断这三人的轻重．（2)P、Q、R、S四人去公园玩跷跷板，如图13－2－3②,试判断这四人的轻重．答案1．> > > <2．（1)<(2）<（3）<（4)>(5）>(6)〈3．(1）>（2）>(3）〉（4）<4．(1）>(2)〉（3)<（4）〉(5）〈(6)>5．C 点拨:a>b，不等式的两边同时乘以－1，根据不等式的基本性质3，得－a<－b，所以C选项不正确．6．解：（1）x－3>1，x－3+3〉1+3，(根据不等式的基本性质1)x>4；（2）－23x>－1，－23x·（－32)<－1·（－32），（根据不等式的基本性质3）x〈32；（3）3x<1+2x,3x－2x〈1+2x－2x，（根据不等式的基本性质1)x<1；(4）2x〉4,2x4>22，（根据不等式的基本性质2）x>2．7．A 8．负 9．D 10．B 11．B 12．错解:am2〉bm2错因分析：m2应为大于或等于0的数，忽略了m等于0的情况正解：：am2≥bm213．错解1：甲对，因为7>6，两边同乘以一个数a，由不等式的基本性质2，可得7a>6a．错解2:乙对,因为a为负数或零时，原不等式不成立．错因分析：本题没有加以分析，只片面的认为a为正数或负数，实际a为任意数,有三种情况：a为负数,a 为正数，a为0,应全面考察各种．正解：两人的观点都不对，因为a的符号没有确定：①当a>0时，由性质2得7a〉6a，②当a〈0时，由性质3得7a<6a，③当a=0时，得7a=6a=0．14．1〈x+y〈2点拨：两方程两边相加得3（x+y）=k．3<k〈6，即3<3（x+y）<6，∴1〈x+y<2．15．解法1：2x+5<4x－1，2x+5－5<4x－1－5,2x〈4x－6,2x－4x<4x－6－4x，－2x〈－6，-2x-6>-2-2，x〉3．解法2:2x+5〈4x－1，2x+5－2x〈4x－1－2x，5+1〈2x－1+1，6<2x，62x<22，3〈x，即x>3．16．解：从图中可看出a>b，存在这样一个不等式,两边都加上c，根据不等式的基本性质1，则a+c〉b+c，所以，盘子仍然像原来那样倾斜．17．解:（1）若到甲商店购买，买20本共需10+1⨯70%⨯10=17（元），到乙商店购买20本,共需1⨯0．85⨯220=17元，因为到甲、乙两个商店买20本都需花17元，故到两个商店中的任一个购买都一样．(2）甲商店中，收款y(元)与购买本数x（本）（x>10）之间的关系式为y=10+0．7（x－10)，即y=0．7x+3（其中x〉10）．（3）小明现有24元钱，若到甲商店购买，可以得到方程24=0．7x+3,解得x=30(本)．若到乙商店购买，则可买24÷（1⨯0．85）≈28（本）．30>28，故小明最多哥买30本．18．解:(1)a，b是有理数,若a〉b>0,则22a>b(2）a，b是有理数，若a>b，则a+1>b+1．19．解：乙同学的回答不正确,5a不一定大于4a．当a〉0时，5a>4a〉0；当a=0时，5a=4a=0;当a<0时，5a〈4a〈0．20．解：这里的变形与方程中的“将未知数的系数化为1"相类似，但是也有所不同；不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数,不等号的方向不变，不等式的两边都乘以（或除以)同一个负数，不等号的方向改变．21．解：a+b－（a－b）=2b,当b>0时，a+b>a－b；当b=0时,a+b=a－b；当b〈0时，a+b<a－b．22．C 23．D24．B 点拨:a的奇数次方一定小于a的偶数次方，则a是负数，且246a<a<a<0…，则这个负数一定小于－1,故应选B．25．解：（1）三人由轻到重排列顺序是B、A、C．(2）四人由轻到重排列顺序是Q、P、S、R．。
北师大版八年级数学下册2.2 不等式的基本性质
导入新知
2、等式有哪些性质？你能分别用文字语言和符号语言表示吗？
文字语言
符号语言
性质1
等式两边同时加（或减） 同一个数（或式子），结 果仍是等式.
如果a=b， 那么a+c=b+c，
a-c=b-c
性质2
等式两边同时乘同一个 数，或除以同一个不为 0的数，结果仍是等式.
如果a=b， 那么ac=bc，
Hale Waihona Puke 4 l 2＞l 2 , π
不等式的两边都除以l2，由不等式基本性质2，得
4 ＞1,
π
因为上式是恒等式，所以
l2 ＞l2
4π 16
也为恒等式.
巩固练习
变式训练
已知a＜0，用“＜”“＞”填空：
(1)a+2 _＜___2； (2)a-1 __＜___-1；
(3)3a___＜___0；
(4)
a 4
__＞____0;
即
x＞4.
（2）不等式的两边都除以－2，由不等式基本
性质3，得 x＜ 3 .
2
巩固练习
变式训练
将下列不等式化成“x＞a” “x＜a”的形式.
（1）x －7 < 8 ；
（2） 3x < 2x －3 .
解：（1） x －7 < 8，
不等式的两边都加上7，由不等式基本性质1，得
x －7+7 < 8+7，
用字母表示： 若a＞b，则a＋c ＞b＋c（或a－c ＞b－c）.
探究新知
探究二：已知2＜3，完成下面填空：
题组一： 2×5＜3×5；
2÷5 ＜3÷5；
2×1＜3× 1 ； 22
专题2.2 不等式的基本性质-重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题2.2 不等式的基本性质-重难点题型【北师大版】【题型1 利用不等式的性质判断正误】【例1】（2021•江干区三模）若a ＜b ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．a ﹣1＜b ﹣1B ．2a ＜2bC ．a 3＜b 3D ．a 2＜b 2【变式1-1】（2021春•南海区期末）下列不等式变形正确的是（ ）A ．由4x ﹣1≥0得4x ＞1B ．由5x ＞3得x ＞15C ．由﹣2x ＜4得x ＜﹣2D ．由y 2＞0得y ＞0【变式1-2】（2021春•睢宁县校级月考）若x +y ＞x ﹣y ，y ﹣x ＞y ，那么（1）x +y ＞0，（2）y ﹣x ＜0，（3）xy ≤0，（4）y x ＜0中，正确结论的序号为 ．【变式1-3】（2021•常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a b ＜c d ，给出下列四个不等式：①aa b＜cc d；②cc d＜aa b；③dc d＜ba b；④ba b＜dc d其中不等式正确的是（ ）A．①③B．①④C．②④D．②③【题型2 利用不等式性质比较大小】【例2】（2021春•朝阳区期末）阅读材料：小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数a和b比较大小，有如下规律：若a﹣b＞0，则a＞b；若a﹣b＝0，则a＝b；若a﹣b＜0，则a＜b．上面的律反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发现的规律，解决问题：（1）比较大小：3+“＜”，“＝”或“＞”）（2）已知x+2y﹣2＝0，且x≥0，若A＝5xy+y+1，B＝5xy+2y，试比较A和B的大小．【变式2-1】（2021•利州区模拟）若x＞y，比较3―25x与3―25y的大小，并说明理由．【变式2-2】（2021春•武侯区期末）已知﹣x﹣1＞﹣y+1，试比较3x﹣4与3y﹣4的大小．【变式2-3】（2021•佛山）小雨的爸爸从市场买回来四个大西瓜，爸爸为了考一考小雨，让小雨把四个大西瓜依次边上①，②，③，④号后，按质量由小到大的顺序排列出来（不准用称），小雨用一个简易天平操作，操作如下：（操作过程中，天平自身损坏忽略不计）根据实验，小雨很快就把四个编好号的大西瓜的质量由小到大排列起来了．你认为小雨的实验于结果都是真实的吗？（即通过上述实验能找出它们质量的大小吗？）请说明你的理由，并与同学交流．【题型3 利用不等式性质化简不等式】【例3】（2021春•岳麓区校级期中）根据不等式的性质把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）x+7＞9（2）6x＜5x﹣3（3）15x＜25．【变式3-1】（2021秋•郴州校级月考）把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式．（1）2x+5＞3；（2）﹣6（x﹣1）＜0．【变式3-2】（2021秋•滨江区期末）不等式（a﹣2）x＞b的解集是x＜ba2，求a的取值范围．【变式3-3】（2021春•九江期中）用“＞”或“＜”填空：（1）如果x﹣2＜3，那么x 5；（2）如果―23x＜﹣1，那么x 23；（3）如果15x＞﹣2，那么x ﹣10；（4）如果﹣x＞1，那么x ﹣1；（5）若ax＞b，ac2＜0，则x ba．【题型4 利用不等式性质证明（不）等式】【例4】（2021春•濉溪县期中）已知实数a，b，c满足：a+b+c＝0，c＞0，3a+2b+c＞0．求证：（1）a＞c；（2）﹣2＜ba＜―1．【变式4-1】（2021秋•滨江区期末）求证：如果a＞b，e＞f，c＞0，那么f﹣ac＜e﹣bc．【变式4-2】（2021•利州区模拟）（2021春•泗水县期末）请类比不等式性质：不等式的两边加（或减）同一个整式，不等号的方向不变．完成下列填空：一般地，如果a＞bc＞d，那么a+c b+d．（选用“＞”或“＜”填空）你能应用不等式的性质证明上述关系式吗？【变式4-3】（2021•余姚市校级自主招生）已知实数a，b，c满足不等式|a|≥|b+c|，|b|≥|c+a|，|c|≥|a+b|，求证：a+b+c＝0．【题型5 利用不等式性质求取值范围或最值】【例5】（2021春•海淀区校级期末）阅读下列材料：问题：已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．解：∵x﹣y＝2．∴x＝y+2，又∵x＞1，∴y +2＞1．∴y ＞﹣1．又∵y ＜0，∴﹣1＜y ＜0．①∴﹣1+2＜y +2＜0+2．即1＜x ＜2．②①+②得﹣1+1＜x +y ＜0+2．∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2．请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y ＝3，且x ＞﹣1，y ＜0，则x 的取值范围是 ；x +y 的取值范围是 ；（2）已知x ﹣y ＝a ，且x ＜﹣b ，y ＞2b ，若根据上述做法得到3x ﹣y 的取值范围是﹣5＜3x ﹣y ＜5，求a 、b 的值．【变式5-1】（2021•杭州）若a +b ＝﹣2，且a ≥2b ，则（ ）A ．b a有最小值12B ．b a 有最大值1C ．a b 有最大值2D ．a b 有最小值―89【变式5-2】（2021•利州区模拟）（2017春•十堰期末）已知a，b，c为三个非负实数，且满足a+b+c=302a+3b+4c=100，令W＝3a+2b+5c，则W的最大值为（ ）A．90B．130C．150D．180【变式5-3】（2021春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y＝2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围．【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x的取值范围，最后利用不等式性质即可获解．【解决问题】解：∵x﹣y＝2，∴x＝y+2．又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1．又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…①同理得1＜x＜2…②由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2．∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2．【尝试应用】已知x﹣y＝﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围．【题型6 不等关系的简单应用】【例6】（2021春•博野县期末）5名学生身高两两不同，把他们按从高到低排列，设前三名的平均身高为a 米，后两名的平均身高为b米．又前两名的平均身高为c米，后三名的平均身高为d米，则（ ）A．a b2＞c d2B．c d2＞a b2C．c d2=a b2D．以上都不对【变式6-1】（2021春•内乡县期中）有一个两位数，个位上的数字为a，十位上的数字为b，如果把这个两位数的个位与十位上的数字对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么a与b哪个大？【变式6-2】（2021•雨花区校级开学）江南三大名楼指的是：滕王阁、黄鹤楼、岳阳楼．其中岳阳楼位于湖南省岳阳市的西门城头、紧靠洞庭湖畔，始建于三国东吴时期．自古有“庭天下水，岳阳天下楼”之誉，因北宋范仲淹脍炙人口的《岳阳楼记》而著称于世．某兴趣小组参观过江南三大名楼的人数，同时满足以下三个条件：（1）参观过滕王阁的人数多于参观过岳阳楼的人数；（2）参观过岳阳楼的人数多于参观过黄鹤楼的人数；（3）参观过黄鹤楼的人数的2倍多于参观过滕王阁的人数．若参观过黄鹤楼的人数为4，则参观过岳阳楼的人数的最大值为（ ）A．4B．5C．6D．7【变式6-3】（2021春•自贡期末）如图，某班进行拔河比赛，一共有两个老师，一个男老师，一个女老师，六个学生，三个男学生，三个女学生．其中每个男学生的力量相同，每个女学生的力量相同．如果有三场比赛的结果是：第一场：一个男老师为一方，五个同学（两男三女）为另一方进行比赛，男老师输了；第二场：女老师为一方，五个同学（一男四女）为另一方进行比赛，女老师赢了；第三场：男老师加一个男同学为一方，女老师与三个女同学为另一方进行比赛，男老师一方赢了．问：女老师加两个男同学与男老师加上三个女同学进行比赛，结果将会怎么样？为什么？。
不等式的基本性质 北师大版
即
x >3 ;
（2）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -1，得
x ﹥ - —5 . 6
（3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以2，得 x≤6
练一练
1、将下列不等式化成“ x>a” 或“x <a”的形式：
（3）3x + 2 > 5 ;
(4) -2x ﹤1
解：
（3）根据不等式的基本性质1，两边都减去2，得 3x > 3 ，
再根据不等式基本性质3，两边都除以3，得
x >1 ;
（4）根据不等式的基本性质3，两边都除以 -2，得 x ﹤ - —1 . 2
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不等式的基本性质
什么数学知识与不 等式关系最近?
那当然是等式了!
那就让我们从等式 的基本性质入手吧!
随堂练习
1、将下列不等式化成“ x > a” 或“x < a”的形式：
（1）x – 1 > 2 ; (2) -x ﹤5 ；（3）1 x 3
6
2
解：（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上1，
得
x>2+1 ，
八年级数学下册2.2不等式的基本性质纠错必备素材北师大版
【纠错必备】不等式的基本性质例1 解一元一次不等式2－x ＞－1．病症：移项,得－x ＞－3．两边同除以－1，得x ＞3．病因：本题错在利用不等式的性质时，没有注意不等号方向的变化，根据不等式的基本性质3知不等式的两边同乘以（或除以）－1时，不等号的方向改变．药到病除：移项，得－x ＞－3．两边同除以－1,得x ＜3．治病良方 在利用不等式的性质解不等式时，如果不等式两边都乘以（或除以)同一个负数,则不等号的方向改变,如果不等式两边都乘以（或除以)同一个正数，则不等号的方向不变． 祛病良药1 解一元一次不等式：（1）－5x+15＞3x －1;（2)22x +≥312-x －2。
答案1．（1）x ＜2；(2)x ≤20尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。
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《不等式的基本性质》典型例题
例题1 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成a x >或a x <的形式：
（1）15<-x ；（2）356+<x x ；（3）74
1>x ；（4）25-<-x ． 例题2 若b a <，用“＜”或“＞”来填空：
（1）5______5--b a ；（2）b a 5______5--
例题3 用“>”或“<”号填空
若b a >且0≠c 则：
（1）3+a 3+b ； （2）5-a 5-b ；
（3）a 3 b 3； （4）a c - b c -；
（5）c a + c b +； （6）c a - c b -；
（7）2ac 2bc ； （8）c a -c b ．
例题4 判断下列各题的结论是否正确，并说明理由．
（1）如果b a >，d c =，那么bd ac >；
（2）如果22bc ac >，那么b a >；
（3）如果b a >，那么0>-b a ；
（4）如果b ax <，且0≠a ，那么a
b x <． 例题5 根据不等式的基本性质，把下列不等式化成a x >或a x <的形式．
（1）75<-x ；（2）123+<x x ；（3）423>x ；（4）.82
1<-x 例题6 当4=y 时，不等式32<-y 成立吗?当5=y 呢？当6=y 呢？ 例题7 根据不等式的基本性质，把不等式化成a x >或a x <的形式．
（1）;53<+x （2）;643
2>+x （3）.35<-x
参考答案
例题1 解答 （1）根据不等式的性质，不等式的两边都加5，不等号的方向不变，
所以5155+<+-x ，∴6<x ．
（2）根据不等式的性质，两边都减去x 5，不等号的方向不变，
所以x x x x 53556-+<-，∴3<x ．
（3）根据不等式的性质，两边都乘以4，不等号的方向不变， 所以474
14⨯>⋅x ，∴28>x ． （4）根据不等式的性质，两边都除以－5，不等号的方向改变， 所以5255-->--x ，∴5
2>x ． 例题2 分析 由于b a <，不等式两边都减去5，不等号的方向不变，不等式的两边都乘以－5，不等号的方向改变．
解答 （1）＜，（2）＞．
例题3 解答 （1）因为b a >，根据不等式的性质1，有33+>+b a ；
（2）因为b a >，根据不等式的性质1，有55->-b a ；
（3）因为b a >，根据不等式的性质2，有b a 33>；
（4）因为b a >，根据不等式的性质3，有b a -<-，再由不等式性质1，有b c a c -<-；
（5）因为b a >，由不等式的性质1，c b c a +>+；
（6）因为b a >，由不等式的性质1，c b c a ->-；
（7）因为b a >且02>c ，由不等式性质2知22bc ab >；
（8）因为b a >且0<-c ，由不等式性质3，有.c b c a -<-
说明 解这类题应先观察不等号左右两边是由原来的不等式进行了什么样的变形得来的，弄清楚了，再对照不等式的性质，决定是否要改变不等号的方向． 例题4 解答 （1）不正确．因为当0==d c 或0<=d c 时，bd ac >不成立；
（2）正确．因为22bc ac >成立，必有0≠c 且02>c ，根据不等式基本性质2，得b a >；
（3）正确．根据不等式基本性质1，由b a >，两边都加上b -，得0>-b a ；
（4）不正确．因为0≠a ，那么a 有可能大于0，也有可能小于0，当0<a 时，根据不等式基本性质3，两边同除以a 得a
b x >． 说明 ①注意22b
c ac >成立则隐含着0≠c 这个条件且02>c ； ②要注意（4）小题中的条件“0≠a ”的讨论，因为a 代表有理数，所以a 可能取正，也可能取负数．
例题5 解答 （l ）根据不等式基本性质1，不等式两边都加上5，不等号的方向不改变，所以5755+<+-x ，即.12<x
（2）根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去x 2，不等式不改变方向，所以x x x x 21223-+<-，即1<x
（3）根据不等式基本性质2，不等式两边同除以23（或乘以3
2），不等号不改变方，所以2
342323>x ，即.3
8>x （4）根据不等式基本性质3，不等式两边同乘以－2（或除以－2
1）；不等号改变方向，所以)2(8)2(2
1-⨯>-⨯-x ，即.16->x 说明 在运用不等式基本性质3时，一定不要忘记改变不等号的方向．
例题6 分析 把4=y 代入不等式的左、右两边，如果符合不等号所表示的关系，就成立，否则不成立．
解答 当4=y 时，22=-y 小于3，不等式32<-y 成立；当5=y 时，32=-y 不小于3，不等式32<-y 不成立；同理，当6=y 时，32<-y 不成立．
例题7 分析 根据题中要求，只需利用不等式的基本性质，把所给不等式一步步化成所需要的形式．
解答 （1）由不等式基本性质（1），把不等式两边都减去3，不等号方向不变．
,3533-<-+x
2<x
（2）首先根据不等式性质（1），两边都减4．
,46443
2->-+x ,23
2>x 再根据不等式基本性质（2），两边都乘以2
3． 3>∴x
（3）由不等式基本性质（3），两边除以－5，要改变不等号方向． ),5(3)5()5(-÷>-÷-x
.5
3->∴x。