《相似三角形的性质》练习题

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相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题(有答案)1.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.2.如图,AD=2,AC=4,BC=6,∠B=36°,∠D=107°,△ABC∽△DAC(1)求AB的长;(2)求CD的长;(3)求∠BAD的大小.3.如图,△ABC与△A′B′C′相似,AD,BE是△ABC的高,A′D′,B′E′是△A′B′C′的高,求证:=.4.如图所示,已知∠ACB=∠CBD=90°,AC=b,CB=a,BD=k,若△ACB∽△CBD,写出a、b、k之间满足的关系式.5.如图,AD、BE是△ABC的两条高,A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高,△ABD∽△A′B′D′,∠C=∠C′,求证:=.6.已知,如图,△AOB∽△DOC,BD⊥AC,∠AOB是直角.求证:AD2+BC2=AB2+CD2.7.已知如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B,C点重合),∠ADE=45°,△ABD∽△DCE.当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.8.如图,△ABC与△ADB相似,AD=4,CD=6,求这两个三角形的相似比.9.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长度.10.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?11.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC上的一点,AE交BD于O,△AOB∽△EOD,若DE=AB,AB=9,AO=6,求DE和AE的长.12.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB.(1)求∠APB的大小.(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系.13.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE△∽△DEF,AB=6,AE=8,DE=2,求EF的长.14.如图,△ABC∽△DAB,AB=8,BC=12,求AD的长.15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从C 出发以1cm/s的速度向点A移动,如果动点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间是多少秒?16.如图,△ABC∽△FED,若∠A=50°,∠C=30°,求∠E的度数.17.如图,已知△ABC∽△AED,且∠B=∠AED,点D、E分别是边AB、AC上的点,如果AD=3,AE=6,CE=3.根据以上条件你能求出边AB的长吗?请说明理由.18.如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动,点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动.如果P、Q分别从B、A同时出发,经过几秒钟△APQ与△ABC 相似?试说明理由.19.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°;点P是射线AD上的一个动点(与点A不重合),BP与AC相交于点E,设AP=x.(1)求AC的长;(2)如果△ABP和△BCE相似,请求出x的值;(3)当△ABE是等腰三角形时,求x的值.20.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm(1)已知他们的周长相差60cm,求这两个三角形的周长.(2)已知它们的面积相差588cm2,求这两个三角形的面积.21.如图,已知△ACE∽△BDE,∠A=117°,∠C=37°,AC=6,BD=3,AB=12,CD=18,(1)求∠B和∠D的度数;(2)求AE和DE的长.22.一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米,现在再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有多少种?写出你的设计方案,并说明理由.23.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两边长分别可以为多少?24.如图,已知等边△ABC的边长为8,点D、P、E分别在边AB、BC、AC上,BD=3,E为AC中点,当△BPD 与△PCE相似时,求BP的值.25.如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,求证:.26.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm,且BC=5cm,DF=4cm,求EF和AC的长.27.如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点M从点A出发,以1cm∕秒的速度向点B运动,动点N从点C 出发,以2cm∕秒的速度向点A运动,若两点同时运动,是否存在某一时刻t,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.28.Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm,P、Q分别为AC,AB上的两动点,P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动,Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动,当一点到达终点时,P、Q两点就同时停止运动.设运动时间为ts.(1)用t的代数式分别表示AQ和AP的长;(2)设△APQ的面积为S,①求△APQ的面积S与t的关系式;②当t=2s时,△APQ的面积S是多少?(3)当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?29.如图所示,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发,过多少秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似?30.如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c=a1,求证:a=kc;(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?请说明理由.相似三角形专项练习30题参考答案:1.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,∵AB=6,AE=9,∴BE===,∵△ABE∽△DEF,∴=,即=,解得EF=.2.解:(1)∵△ABC∽△DAC,∴,∴,解得:AB=3;(2)∵△ABC∽△DAC,∴,∴,解得:CD=;(3)∵△ABC∽△DAC,∴∠BAC=∠D=107°,∠CAD=∠B=36°,∵∠B=36°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3.证明:∵△ABC与∽A′B′C′,∴∠ABD=∠A′B′D′,∵AD和A′D′是高,∴∠ADB=∠A′D′B′,∴△ABD∽△A′B′D,∴=,同理可得=,∴=.4.解:∵△ACB∽△CBD,∴=,∵AC=b,CB=a,BD=k,∴=,即a2=bk.5.证明:∵△ABD∽△A′B′D′,∴∠ABC=∠A′B′C′,∠BAC=∠B′A′C′,∵AD是△ABC的高,A′D′是△A′B′C′的,∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,∴△ABD∽△A′B′D′,∴=,同理可求△ABE∽△A′B′E′,∴=,∴=.6.解:∵BD⊥AC,∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°,∴在Rt△AED中,AD2=AE2+DE2,在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,在Rt△BEC中,BC2=BE2+CE2,在Rt△CED中,CD2=CE2+DE2,∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,∴AD2+BC2=AB2+CD2.7.解:分三种情况:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意;②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,于是AB=AC=1,BC=,AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣(﹣1)=2﹣;③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,如图所示,易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=AC=.综上所述,当△ADE是等腰三角形时,AE的长为2﹣或.8.解:∵△ABC与△ADB相似,∴△ABC∽△ADB,∴=,∴AB2=AC•AD=10×4=40,∴△ABC与△ADB的相似比为==.9.解:设BF=x,则CF=4﹣x,由翻折的性质得B′F=BF=x,当△B′FC∽△ABC,∴=,即=, 解得x=,即BF=.当△FB ′C ∽△ABC ,∴AB FB /'=ACFC 即,解得:x=2. ∴BF 的长度为:2或.10.解:设运动了ts ,根据题意得:AP=2tcm ,CQ=3tcm , 则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t (cm ), 当△APQ ∽△ABC 时,,即,解得:t=;当△APQ ∽△ACB 时,,即,解得:t=4;故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动时间是:s 或4s11.解:∵△AOB ∽△EOD , ∴DE :AB=OA :OE , ∵DE=AB ,AB=9,AO=6, ∴DE=×9=6,OE=OA=4, ∴AE=OA+OE=6+4=10. 12.解:(1)∵△PCD 是等边三角形, ∴∠PCD=60°, ∴∠ACP=120°, ∵△ACP ∽△PDB , ∴∠APC=∠B , ∵∠A=∠A , ∴∠ACP ∽∠APB , ∴∠APB=∠ACP=120°;(2)∵△ACP∽△PDB,∴AC:PD=PC:BD,∴PD•PC=AC•BD,∵△PCD是等边三角形,∴PC=PD=CD,∴CD2=AC•BD.13.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,∵AB=6,AE=8,∴BE===10,∵△ABE∽△DEF,∴=,即=,解得EF=.14.解:∵△ABC∽△DAB,∴,∵AB=8,BC=12,∴,∴AD=.15.解:设经过t秒后两三角形相似,则可分下列两种情况进行求解,①若Rt△ABC∽Rt△QPC则,即解之得t=1.2;②若Rt△ABC∽Rt△PQC则,解之得t=;由P点在BC边上的运动速度为2cm/s,Q点在AC边上的速度为1cm/s,可求出t的取值范围应该为0<t<2,验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件.所以可知要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间为1.2或秒.16.解:∵△ABC中,∠A=50°,∠C=30°,∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°,∵△ABC∽△FED,∴∠E=∠B=100°.17.解:∵△ABC∽△AED,且∠B=∠AED,∴.又AD=3,AE=6,CE=3,∴AB==18.18.解:设经过t秒两三角形相似,则AP=AB﹣BP=8﹣2t,AQ=4t,①AP与AB是对应边时,∵△APQ与△ABC相似,∴=,即=,解得t=2,②AP与AC是对应边时,∵△APQ与△ABC相似,∴=,即=,解得t=,综上所述,经过或2秒钟,△APQ与△ABC相似19.解:(1)过点A作AF⊥BC于F(1分)在Rt△AFB中,∠AFB=90°,∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=,BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中,∠AFC=90°∴(1分)(2)过点P作PG⊥BC于G,在Rt△BPG中,∠PGB=90°,∴(1分)如果△ABP和△BCE相似,∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD>∠ECB(1分)∴∠ABP=∠ECB∴即解得(不合题意,舍去)∴x=8(1分)(3)①当AE=AB=4时∵AP∥BC,∴即,解得,②当BE=AB=4时∵AP∥BC,∴,即,解得(不合题意,舍去)③在Rt△AFC中,∠AFC=90°∵,在线段FC上截取FH=AF,∴∠FAE>∠FAH=45°∴∠BAE>45°+30°>60°=∠ABC>∠ABE∴AE≠BE.综上所述,当△ABE是等腰三角形时,或20.解:(1)∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为:5:2∴这两个三角形的周长比为:5:2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm,较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm,2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm,较小的三角形的周长为40cm(2)∵这两个三角形的相似比为:5:2∴这两个三角形的面积比为:25:4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2,较小的三角形的面积为4xcm2∴(25﹣4)x=588,∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2,4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2,较小的三角形的面积为112cm2 21.解:(1)∵△ACE∽△BDE,∠A=117°,∠C=37°,∴∠B=∠A=117°,∠C=∠D=37°;(2)∵△ACE∽△BDE,AC=6,BD=3,AB=12,CD=18,∴设AE=x,DE=y,则BE=12﹣x,CE=18﹣y,∴==,即==,解得x=8,y=6,∴AE=8,DE=622.解:①当把30厘米的钢筋作为最长边,把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截,则有;②当30厘米的钢筋作为中长边,把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分,则有.③当30cm作为最短边:则另两边都会超过50cm,此时不合题意,∴一共有两种截法.23.解:题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应,所以应分别讨论:(1)若边长为2的边与边长为4的边相对应,则另两边为和3;(2)若边长为2的边与边长为5的边相对应,则另两边为和;(3)若边长为2的边与边长为6的边相对应,则另两边为和.故三角形框架的两边长可以是:和3或和或和.24.解:设BP=x,∵等边△ABC的边长为8,∴CP=8﹣x,∵E为AC中点,∴CE=AC=×8=4,①BD和PC是对应边时,△BDP∽△CPE,∴=,即=,整理得,x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6,即BP的长为2或6,②BD和CE是对应边时,△BDP∽△CEP,∴=,即=,解得x=,即BP=,综上所述,BP的值是2或6或.25.证明:∵△ABC∽△A′B′C′,∴===K.又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,∴==.∴,∵∠B=∠B′,∴△ABD∽△A′B′D′.∴.26.解:∵相似三角形周长的比等于相似比,∴,∴,同理,∴.答:EF的长是cm,AC的长是cm.27.解:存在t=3秒或4.8秒,使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似(无此过程不扣分)设经过t秒时,△AMN与△ABC相似,此时,AM=t,CN=2t,AN=12﹣2t(0≤t≤6),(1)当MN∥BC时,△AMN∽△ABC,(1分)则,即,(3分)解得t=3;(5分)(2)当∠AMN=∠C时,△ANM∽△ABC,(6分)则,即,(8分)解得t=4.8;(10分)故所求t的值为3秒或4.8秒.(11分)28.解:(1)用t的代数式分别表示AQ=2t,AP=6﹣t;(2分)(2)设△APQ的面积为S,①△APQ的面积S与t的关系式为:S=AQ•AP=×2t×(6﹣t)=6t﹣t2,即S=6t﹣t2,②当t=2s时,△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×(6﹣2)]=8(cm2);(6分)(3)当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,①当=时=,∴t=2.4(s);②当=时=,∴t=(s);综上所述,当t为2.4秒或时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.29.解:∵∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,∴设AC=3xcm,AB=5xcm,则BC==4x(cm),即4x=8,解得:x=2,∴AC=6cm,AB=10cm,∴BC=8cm,设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,则BP=2tcm,CP=BC﹣BP=8﹣2t(cm),CQ=tcm,∵∠C是公共角,∴①当,即时,△CPQ∽△CBA,解得:t=2.4,②当,即时,△CPQ∽△CAB,解得:t=,∴过2.4或秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.30.(1)证明:∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k(k>1),∴=k,a=ka1;又∵c=a1,∴a=kc;(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2;此时=2,∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1;(3)解:不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1;又∵b=a1,c=b1,∴a=2a1=2b=4b1=4c;∴b=2c;∴b+c=2c+c<4c,4c=a,b+c<a,而应该是b+c>a;故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.。

相似三角形的性质及应用练习题1

相似三角形的性质及应用练习题1

相似三角形的性质及应用练习卷一、填空题1.已知两个相似三角形的相似比为3, 则它们的周长比为;2.若△ABC∽△A′B′C′, 且, △ABC的周长为12cm, 则△A′B′C′的周长为;3、如图1, 在△ABC中, 中线BE、CD相交于点G, 则= ;S△GED: S△GBC= ;4.如图2, 在△ABC中, ∠B=∠AED, AB=5, AD=3, CE=6, 则AE= ;5.如图3, △ABC中, M是AB的中点, N在BC上, BC=2AB, ∠BMN=∠C, 则△∽△ ,相似比为 , = ;6、如图4, 在梯形ABCD中, AD∥BC, S△ADE: S△BCE=4: 9, 则S△ABD: S△ABC= ;7、如图5, 在△ABC中, BC=12cm, 点D、F是AB的三等分点, 点E、G是AC的三等分点, 则DE+FG+BC= ;8、两个相似三角形的周长分别为5cm和16cm, 则它们的对应角的平分线的比为;9、两个三角形的面积之比为2: 3, 则它们对应角平分线的比为 , 对应边的高的比为;对应边的中线的比周长的比10、已知有两个三角形相似, 一个边长分别为2、3、4, 另一个三角形最长边长为12, 则x、y的值为;二、选择题11.下列多边形一定相似的为()A.两个矩形B.两个菱形C.两个正方形D.两个平行四边形12、在△ABC中, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, 另一个和它相似的三角形的最短边是5cm, 则最长边是()A.18cmB.21cmC.24cmD.19.5cm13、如图, 在△ABC中, 高BD.CE交于点O, 下列结论错误的是()A.CO·CE=CD·CA B、OE·OC=OD·OBC.AD·AC=AE·AB D、CO·DO=BO·EO14.已知, 在△ABC 中, ∠ACB=900, CD ⊥AB 于D, 若BC=5, CD=3, 则AD 的长为( )A.2.25B.2.5C.2.75D.315.如图, 正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A.D 在PQ 、PR 上, 则PA :PQ 等于( )A.1:B.1: 2C.1: 3D.2: 316.如图, D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, = =3,且∠AED=∠B, 则△AED 与△ABC 的面积比是( )A 、1: 2B 、1: 3C 、1: 4D 、4: 9三、解答题17、如图, 已知在△ABC 中, CD=CE, ∠A=∠ECB, 试说明CD2=AD ·BE 。

相似三角形的性质(小练习)

相似三角形的性质(小练习)

相似三角形的性质(小练习)1、⑴已知ABC ∆∽'''C B A ∆的相似比为32:,则它们对应中线的比为_______;⑵已知两个相似三角形对应高的比是14:,则它们的对应角平分线的比是_______; ⑶已知ABC ∆∽'''C B A ∆,AD 、''D A 分别是ABC ∆和'''C B A ∆的角平分线,且23=''D A AD ,9=AB ,则_______''=B A⑷ ABC ∆∽DEF ∆且3=BC ,6=EF ,DE 边上的中线为10 ,求AB 边上的中线为2、已知△ABC ∽△A ’B ’C ’,对应边的中线之比为32,△A ’B ’C ’的周长为24cm ,面积为18c ㎡,则''ABA B =_____,△ABC 的周长等于____cm ,△ABC 的面积为_____c ㎡. 3、△ABC ∽△A ’B ’C ’,相似比为3:4,且两个三角形的面积之差为28cm 2,则△ABC 的面积为______cm 2, △A ’B ’C ’的面积为_____cm 2.4、如图,梯形ABCD 中,AD//BC,AC/BD 交于点O ,S △AOD =4,S △BOC =9,则ADBC=_______, S △AOB =_____,S 梯形ABCD =________.5、如图,△ABC 中,DE//BC,且AD:BD=4:3,则DE:BC=_______,AEDBCEDS S ∆=______.6、已知点D 和E 在△ABC 的边AB 和AC 上,DE//BC,DE:BC=1:3,四边形DBCE 的面积为16,则△ABC 的面积为7、.已知DE // BC , CD 与 BE 相交于点 O ,并且S △DOE :S △COB =4:9则 AE : AC =( ).COEDCBAC( A ) 4:9 ( B ) 16: 81 ( C ) 2: 3 (D) l : 28、竿高1.5米,影长1米,同一时刻,某塔影长20米,则塔高是_________米.10,16,12,,ABC AB ACBC P D BC AC BP APD B CD ∆====∠=∠例题1 在中,点和分别在和上,求的长.10、已知,如图,在△ABC 中,AB=AC ,点E 、F 在边BC 上,∠EAF=∠B, 求证:BF ·CE=AB 211.如图,△ABC 中,AD ⊥BC 于D ,FGHI 为矩形,95=GH FG ,BC=36cm ,AD=12cm , 求矩形FGHI 的周长.PDCBA9、12.如图△ABC中,DE//FG//BC,且AD=DF=BF.求S△ADE:S四边形DFGE:S四边形FBCG。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中,点D在边BC上,且∠BAC=∠DAG,∠XXX∠BAD。

证明:=。

当GC⊥BC时,证明:∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中,∠ACB=90°,点D在边BC上,CE⊥AB,CF⊥AD,E、F分别是垂足。

证明:AC^2=AF•AD。

联结EF,证明:AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中,PC平分∠ACB,PB=PC。

证明:△APC∽△ACB。

若AP=2,PC=6,求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中,过B作BE⊥CD,垂足为点E,连接AE,F为AE上一点,且∠XXX∠C。

证明:△ABF∽△EAD。

若AB=4,∠BAE=30°,求AE的长。

5.在三角形ABC中,∠ABC=2∠C,BD平分∠ABC。

证明:AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中,AC=BC,点E、F在AB上,∠ECF=45°,设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中,边长为6,在AC,BC边上各取一点E,F,连接AF,BE相交于点P。

若AE=CF,证明:AF=BE,并求∠APB的度数。

若AE=2,试求AP•AF的值。

若AF=BE,当点E从点A运动到点C时,试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中,AD,BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中,AB=AC,DE∥BC,点F在边AC 上,DF与BE相交于点G,且∠XXX∠ABE。

证明:(1)△DEF∽△BDE;(2)DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中,点D为AB的中点,E在BC上运动,DF和EF分别交AC于G、H两点,BC=2.问E在何处时CH的长度最大?11.在AB和CD交于点O的图形中,当∠A=∠C时,证明:OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中,以AC为对角线做正方形ABCD(点B在△AEC内,点D在△AEC外)。

三角形相似性质练习题

三角形相似性质练习题

三角形相似性质练习题一、选择题1. 若两个三角形的两边之比相等,且夹角相等,那么这两个三角形()。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似2. 在ΔABC中,若AB=6cm,AC=8cm,且∠A=30°,在ΔDEF中,若DE=12cm,DF=16cm,且∠D=30°,则ΔABC与ΔDEF()。

A. 全等B. 相似C. 不一定全等D. 不一定相似3. 下列关于相似三角形的性质,错误的是()。

A. 对应角相等B. 对应边成比例C. 周长成比例D. 面积相等二、填空题1. 若两个三角形的三个角分别相等,则这两个三角形()。

2. 在ΔABC中,若AB=5cm,AC=7cm,且ΔABC∽ΔDEF,若DE=10cm,则DF的长度为()cm。

3. 若两个相似三角形的面积比为9:16,则它们的边长比为()。

三、解答题1. 在ΔABC中,AB=6cm,AC=8cm,∠A=45°,在ΔDEF中,DE=12cm,DF=16cm,求∠D的度数,并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

2. 已知ΔABC与ΔDEF相似,且AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm,DE=3cm,求DF的长度。

3. 在ΔABC中,∠A=60°,∠B=70°,AB=5cm,AC=8cm,求ΔABC的面积。

4. 证明:若两个三角形的两边成比例,且这两边的夹角相等,则这两个三角形相似。

5. 在ΔABC中,AB=5cm,AC=7cm,∠A=45°,在ΔDEF中,DE=10cm,DF=14cm,求∠D的度数,并判断ΔABC与ΔDEF是否相似。

四、判断题1. 如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等,那么这两个三角形一定相似。

()2. 两个相似三角形的面积比等于它们对应边长比的平方。

()3. 任意两个等腰三角形都是相似的。

()4. 如果两个三角形的周长比是2:3,那么它们的面积比也是2:3。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如果△ABC ∽△DEF ,A 、B 分别对应D 、E ,且AB :DE =1:2,那么下列等式一定成立的是 A .BC :DE =1:2B .△ABC 的面积:△DEF 的面积=1:2 C .∠A 的度数:∠D 的度数=1:2D .△ABC 的周长:△DEF 的周长=1:2 【答案】D2.如图,AB 、CD 、EF 都与BD 垂直,且AB =1,CD =3,那么EF 的长是A .13B .23 C .34D .45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直,∴AB ∥CD ∥EF , ∴△DEF ∽△DAB ,△BEF ∽△BCD ,∴EF DF AB DB =,EF BF CD BD =,∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1. ∵AB =1,CD =3,∴13EF EF +=1,∴EF =34.故选C .3.已知:如图,在ABCD中,AE:EB=1:2,则FE:FC=A.1:2 B.2:3 C.3:4 D.3:2 【答案】B【解析】在ABCD中,AB=CD,AB∥CD,∵BE=2AE,∴BE=23AB=23CD,∵AB∥CD,∴EFFC=BEDC=23,故选B.4.已知:如图,E是ABCD的边AD上的一点,且32AEDE=,CE交BD于点F,BF=15cm,则DF的长为A.10cm B.5cmC.6cm D.9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形,点E在边AD上,∴DE∥BC,且AD=BC,∴∠DEF=∠BCF;∠EDF=∠CBF,∴△EDF∽△CBF,∴BC BF ED DF=,∵32AEDE=,∴设AE=3k,DE=2k,则AD=BC=5k,52BC BFED DF==,∵BF=15cm,∴DF=25BF═6cm.故选C.5.已知△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,则△DEF与△ABC的面积之比为A.9:1 B.1:9C.3:1 D.1:3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF,△ABC的周长为3,△DEF的周长为1,∴△ABC与△DEF的相似比为3,∴△DEF与△ABC的相似比为1:3,∴△DEF与△ABC的面积之比为1:9,故选B.6.如图,△ABC∽△AB'C',∠A=35°,∠B=72°,则∠AC'B'的度数为A.63°B.72°C.73°D.83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°,∠A=35°,∠B=72°,∴∠C=180°–35°–72°=73°,∵△ABC∽△AB'C',∴∠AC′B′=∠C=73°,故选C.7.如图,△ABC中,E为AB中点,AB=6,AC=4.5,∠ADE=∠B,则CD=A.32B.1C.12D.23【答案】C【解析】∵E为AB中点,∴AE=12AB,∵∠ADE=∠B,∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC,∴AE ADAC AB,∴12AB2=AD•AC,∴AD=4,∴CD=AC–AD=0.5,故选C.二、填空题:请将答案填在题中横线上.8.两个三角形相似,相似比是12,如果小三角形的面积是9,那么大三角形的面积是__________.【答案】36【解析】∵两个三角形相似,相似比是12,∴两个三角形的面积比是14,∵小三角形的面积是9,∴大三角形的面积是36,故答案为:36.9.矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为__________.【答案】65或310.如图,在△ABC纸板中,AC=4,BC=2,AB=5,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长的取值范围是__________.【答案】3≤AP<4【解析】如图所示,过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E,则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB,此时0<AP<4;如图所示,过P作∠APF=∠B交AB于F,则△APF∽△ABC,此时0<AP≤4;如图所示,过P作∠CPG=∠CBA交BC于G,则△CPG∽△CBA,此时,△CPG∽△CBA,当点G与点B重合时,CB2=CP×CA,即22=CP×4,∴CP=1,AP=3,∴此时,3≤AP<4;综上所述,AP长的取值范围是3≤AP<4.故答案为:3≤AP<4.11.如图,点A、B、C、D的坐标分别是(1,7)、(1,1)、(4,1)、(6,1),且△CDE与△ABC相似,则点E的坐标是__________.【答案】(6,0),(6,5),(6,2),(4,2)、(4,5)、(4,0).【解析】在△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=3,AB:BC=2.①当点E的坐标为(6,0)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC;②当点E的坐标为(6,5)时,∠CDE=90°,CD=2,DE=4,则AB:BC=DE:CD,△EDC∽△ABC;③当点E的坐标为(6,2)时,∠ECD=90°,CD=2,DE=1,则AB:BC=CD:DE,△CDE∽△ABC;同理,当点E的坐标为(4,2)、(4,5)、(4,0),故答案为:(6,0),(6,5),(6,2),(4,2)、(4,5)、(4,0).三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.12.求证:相似三角形面积的比等于相似比的平方.(请根据题意画出图形,写出已知,求证并证明)【解析】已知:如图,已知△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应,△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k .求证:111ABC A B C S S △△=k 2;证明:作AD ⊥BC 于D ,A 1D 1⊥B 1C 1于D 1,∵△ABC ∽△A 1B 1C 1,顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应, ∴∠B =∠B 1,∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ,△A 1B 1C 1的高线, ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1,∴△ABD ∽△A 1B 1D 1,∴11AD A D =11ABA B =k , ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2.13.如图所示,Rt △ABC ∽Rt △DFE ,CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线,已知AC =9cm ,CB =12cm ,DE =3cm .(1)求CM 和EN 的长; (2)你发现CMEN的值与相似比有什么关系?得到什么结论?【解析】(1)在Rt △ABC 中,AB =22AC CB +=22912+=15,∵CM 是斜边AB 的中线, ∴CM =12AB=7.5, ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE , ∴DE DF AC AB =,即319315DF==, ∴DF =5,∵EN 为斜边DF 上的中线,∴EN =12DF =2.5; (2)∵7.532.51CM EN ==,相似比为9331AC DE ==,∴相似三角形对应中线的比等于相似比.14.如图,点C 、D 在线段AB 上,△PCD 是等边三角形,且△ACP ∽△PDB .(1)求∠APB 的大小.(2)说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系.15.从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交,顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形,如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形,另一个与原三角形相似,我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.(1)如图1,在△ABC 中,∠A =48°,CD 是△ABC 的完美分割线,且AD =CD ,则∠ACB =__________°. (2)如图2,在△ABC 中,AC =2,BC 2,CD 是△ABC 的完美分割线,且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形,求完美分割线CD的长.【解析】(1)当AD=CD时,如图,∠ACD=∠A=48°,∵△BDC∽△BCA,∴∠BCD=∠A=48°,∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°.(2)由已知得AC=AD=2,∵△BCD∽△BAC,∴BCBA=BDBC,设BD=x2)2=x(x+2),∵x>0,∴x3–1,∵△BCD∽△BAC,∴CD BDAC BC=32,∴CD 312-×62.故答案为:96.。

(05)相似三角形性质专项练习30题(有答案)

(05)相似三角形性质专项练习30题(有答案)

相似三角形性质专项练习30题(有答案)1.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.2.如图,AD=2,AC=4,BC=6,∠B=36°,∠D=107°,△ABC∽△DAC(1)求AB的长;(2)求CD的长;(3)求∠BAD的大小.3.如图,△ABC与△A′B′C′相似,AD,BE是△ABC的高,A′D′,B′E′是△A′B′C′的高,求证:=.4.如图所示,已知∠ACB=∠CBD=90°,AC=b,CB=a,BD=k,若△ACB∽△CBD,写出a、b、k之间满足的关系式.5.如图,AD、BE是△ABC的两条高,A′D′、B′E′是△A′B′C′的两条高,△ABD∽△A′B′D′,∠C=∠C′,求证:=.6.已知,如图,△AOB∽△DOC,BD⊥AC,∠AOB是直角.求证:AD2+BC2=AB2+CD2.7.已知如图△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B,C点重合),∠ADE=45°,△ABD∽△DCE.当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.8.如图,△ABC与△ADB相似,AD=4,CD=6,求这两个三角形的相似比.9.将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′、F、C为顶点的三角形与△ABC相似,求BF的长度.10.如图,△ABC中,AB=8厘米,AC=16厘米,点P从A出发,以每秒2厘米的速度向B运动,点Q从C同时出发,以每秒3厘米的速度向A运动,其中一个动点到端点时,另一个动点也相应停止运动,那么,当以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时,运动时间是多少?11.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC上的一点,AE交BD于O,△AOB∽△EOD,若DE=AB,AB=9,AO=6,求DE和AE的长.12.如图,点C、D在线段AB上,△PCD是等边三角形,且△ACP∽△PDB.(1)求∠APB的大小.(2)说明线段AC、CD、BD之间的数量关系.13.如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE△∽△DEF,AB=6,AE=8,DE=2,求EF的长.14.如图,△ABC∽△DAB,AB=8,BC=12,求AD的长.15.如图,△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动,动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动,如果动点P、Q同时出发,要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间是多少秒?16.如图,△ABC∽△FED,若∠A=50°,∠C=30°,求∠E的度数.17.如图,已知△ABC∽△AED,且∠B=∠AED,点D、E分别是边AB、AC上的点,如果AD=3,AE=6,CE=3.根据以上条件你能求出边AB的长吗?请说明理由.18.如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动,点Q从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动.如果P、Q分别从B、A同时出发,经过几秒钟△APQ与△ABC 相似?试说明理由.19.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=6,∠ABC=60°;点P是射线AD上的一个动点(与点A不重合),BP与AC相交于点E,设AP=x.(1)求AC的长;(2)如果△ABP和△BCE相似,请求出x的值;(3)当△ABE是等腰三角形时,求x的值.20.已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm和14cm(1)已知他们的周长相差60cm,求这两个三角形的周长.(2)已知它们的面积相差588cm2,求这两个三角形的面积.21.如图,已知△ACE∽△BDE,∠A=117°,∠C=37°,AC=6,BD=3,AB=12,CD=18,(1)求∠B和∠D的度数;(2)求AE和DE的长.22.一个钢筋三角架三边长分别是20厘米、50厘米、60厘米,现在再做一个与其相似的钢筋三角架,而只有长为30厘米和50厘米的两根钢筋,要求以其中一根为一边,从另一根上截下两段(允许有余料)作为两边,则不同的截法有多少种?写出你的设计方案,并说明理由.23.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一边长为2,它的另外两边长分别可以为多少?24.如图,已知等边△ABC的边长为8,点D、P、E分别在边AB、BC、AC上,BD=3,E为AC中点,当△BPD 与△PCE相似时,求BP的值.25.如图,△ABC∽△A′B′C′,相似比为k,AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,求证:.26.已知△ABC∽△DEF,△ABC和△DEF的周长分别为20cm和25cm,且BC=5cm,DF=4cm,求EF和AC的长.27.如图,在△ABC中,AB=6cm,AC=12cm,动点M从点A出发,以1cm∕秒的速度向点B运动,动点N从点C 出发,以2cm∕秒的速度向点A运动,若两点同时运动,是否存在某一时刻t,使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.28.Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8cm,AC=6cm,P、Q分别为AC,AB上的两动点,P从点C开始以1cm/s的速度向点A运动,Q从点A开始以2cm/s的速度向点B运动,当一点到达终点时,P、Q两点就同时停止运动.设运动时间为ts.(1)用t的代数式分别表示AQ和AP的长;(2)设△APQ的面积为S,①求△APQ的面积S与t的关系式;②当t=2s时,△APQ的面积S是多少?(3)当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似?29.如图所示,∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发,沿BC向点C以2cm/s的速度移动,点Q 从点C出发沿CA向点A以1cm/s的速度移动,如果P、Q分别从B、C同时出发,过多少秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似?30.如图,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比为k(k>1),且△ABC的三边长分别为a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1.(1)若c=a1,求证:a=kc;(2)若c=a1,试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整数,并加以说明;(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1使得k=2?请说明理由.相似三角形专项练习30题参考答案: 1.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,∵AB=6,AE=9,∴BE===,∵△ABE∽△DEF,∴=,即=,解得EF=.2.解:(1)∵△ABC∽△DAC,∴,∴,解得:AB=3;(2)∵△ABC∽△DAC,∴,∴,解得:CD=;(3)∵△ABC∽△DAC,∴∠BAC=∠D=107°,∠CAD=∠B=36°,∵∠B=36°,∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=107°+36°=143°3.证明:∵△ABC与∽A′B′C′,∴∠ABD=∠A′B′D′,∵AD和A′D′是高,∴∠ADB=∠A′D′B′,∴△ABD∽△A′B′D,∴=,同理可得=,∴=.4.解:∵△ACB∽△CBD,∴=,∵AC=b,CB=a,BD=k,∴=,即a2=bk.5.证明:∵△ABD∽△A′B′D′,∴∠ABC=∠A′B′C′,∠BAC=∠B′A′C′,∵AD是△ABC的高,A′D′是△A′B′C′的,∴∠ADB=∠A′D′B′=90°,∴△ABD∽△A′B′D′,∴=,同理可求△ABE∽△A′B′E′,∴=,∴=.6.解:∵BD⊥AC,∴∠AED=∠AEB=∠BEC=∠DEC=90°,∴在Rt△AED中,AD2=AE2+DE2,在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,在Rt△BEC中,BC2=BE2+CE2,在Rt△CED中,CD2=CE2+DE2,∴AD2+BC2=AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2=AE2+BE2+CE2+DE2,∴AD2+BC2=AB2+CD2.7.解:分三种情况:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意;②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,于是AB=AC=1,BC=,AE=AC﹣EC=1﹣BD=1﹣(﹣1)=2﹣;③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,如图所示,易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=AC=.综上所述,当△ADE是等腰三角形时,AE的长为2﹣或.8.解:∵△ABC与△ADB相似,∴△ABC∽△ADB,∴=,∴AB2=AC•AD=10×4=40,∴△ABC与△ADB的相似比为==.9.解:设BF=x,则CF=4﹣x,由翻折的性质得B′F=BF=x,当△B′FC∽△ABC,∴=, 即=,解得x=,即BF=.当△FB ′C ∽△ABC , ∴AB FB /'=AC FC即,解得:x=2.∴BF 的长度为:2或.10.解:设运动了ts ,根据题意得:AP=2tcm ,CQ=3tcm ,则AQ=AC ﹣CQ=16﹣3t (cm ),当△APQ ∽△ABC 时,,即,解得:t=;当△APQ ∽△ACB 时,,即,解得:t=4; 故当以A 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似时,运动时间是:s 或4s11.解:∵△AOB ∽△EOD , ∴DE :AB=OA :OE ,∵DE=AB ,AB=9,AO=6,∴DE=×9=6,OE=OA=4,∴AE=OA+OE=6+4=10.12.解:(1)∵△PCD 是等边三角形,∴∠PCD=60°,∴∠ACP=120°,∵△ACP ∽△PDB ,∴∠APC=∠B ,∵∠A=∠A ,∴∠ACP∽∠APB,∴∠APB=∠ACP=120°;(2)∵△ACP∽△PDB,∴AC:PD=PC:BD,∴PD•PC=AC•BD,∵△PCD是等边三角形,∴PC=PD=CD,∴CD2=AC•BD.13.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAE=90°,∵AB=6,AE=8,∴BE===10,∵△ABE∽△DEF,∴=,即=,解得EF=.14.解:∵△ABC∽△DAB,∴,∵AB=8,BC=12,∴,∴AD=.15.解:设经过t秒后两三角形相似,则可分下列两种情况进行求解,①若Rt△ABC∽Rt△QPC则,即解之得t=1.2;②若Rt△ABC∽Rt△PQC则,解之得t=;由P点在BC边上的运动速度为2cm/s,Q点在AC边上的速度为1cm/s,可求出t的取值范围应该为0<t<2,验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件.所以可知要使△CPQ与△CBA相似,所需要的时间为1.2或秒.16.解:∵△ABC中,∠A=50°,∠C=30°,∴∠B=180°﹣50°﹣30°=100°,∵△ABC∽△FED,∴∠E=∠B=100°.17.解:∵△ABC∽△AED,且∠B=∠AED,∴.又AD=3,AE=6,CE=3,∴AB==18.18.解:设经过t秒两三角形相似,则AP=AB﹣BP=8﹣2t,AQ=4t,①AP与AB是对应边时,∵△APQ与△ABC相似,∴=,即=,解得t=2,②AP与AC是对应边时,∵△APQ与△ABC相似,∴=,即=,解得t=,综上所述,经过或2秒钟,△APQ与△ABC相似19.解:(1)过点A作AF⊥BC于F(1分)在Rt△AFB中,∠AFB=90°,∠ABF=60°∴AF=ABsin∠ABF=4sin60°=4×=,BF=ABcos∠ABF=4cos60°=4×在Rt△AFC中,∠AFC=90°∴(1分)(2)过点P作PG⊥BC于G,在Rt△BPG中,∠PGB=90°,∴(1分)如果△ABP和△BCE相似,∵∠APB=∠EBC又∵∠BAP=∠BCD>∠ECB(1分)∴∠ABP=∠ECB∴即解得(不合题意,舍去)∴x=8(1分)(3)①当AE=AB=4时∵AP∥BC,∴即,解得,②当BE=AB=4时∵AP∥BC,∴,即,解得(不合题意,舍去)③在Rt△AFC中,∠AFC=90°∵,在线段FC上截取FH=AF,∴∠FAE>∠FAH=45°∴∠BAE>45°+30°>60°=∠ABC>∠ABE∴AE≠BE.综上所述,当△ABE是等腰三角形时,或20.解:(1)∵相似三角形的对应边长分别是35cm和14cm∴这两个三角形的相似比为:5:2∴这两个三角形的周长比为:5:2∵他们的周长相差60cm∴设较大的三角形的周长为5xcm,较小的三角形的周长为2xcm ∴3x=60∴x=20cm∴5x=5×20=100cm,2x=2×20=40cm∴较大的三角形的周长为100cm,较小的三角形的周长为40cm(2)∵这两个三角形的相似比为:5:2∴这两个三角形的面积比为:25:4∵他们的面积相差588cm2∴设较大的三角形的面积为25xcm2,较小的三角形的面积为4xcm2∴(25﹣4)x=588,∴x=28cm2∴25x=25×28=700cm2,4x=4×28=112cm2∴较大的三角形的面积为700cm2,较小的三角形的面积为112cm2 21.解:(1)∵△ACE∽△BDE,∠A=117°,∠C=37°,∴∠B=∠A=117°,∠C=∠D=37°;(2)∵△ACE∽△BDE,AC=6,BD=3,AB=12,CD=18,∴设AE=x,DE=y,则BE=12﹣x,CE=18﹣y,∴==,即==,解得x=8,y=6,∴AE=8,DE=622.解:①当把30厘米的钢筋作为最长边,把50厘米的钢筋按10厘米与25厘米两部分截,则有;②当30厘米的钢筋作为中长边,把50厘米分截出12厘米和36厘米两部分,则有.③当30cm作为最短边:则另两边都会超过50cm,此时不合题意,∴一共有两种截法.23.解:题中没有指明边长为2的边与原三角形的哪条边对应,所以应分别讨论:(1)若边长为2的边与边长为4的边相对应,则另两边为和3;(2)若边长为2的边与边长为5的边相对应,则另两边为和;(3)若边长为2的边与边长为6的边相对应,则另两边为和.故三角形框架的两边长可以是:和3或和或和.24.解:设BP=x,∵等边△ABC的边长为8,∴CP=8﹣x,∵E为AC中点,∴CE=AC=×8=4,①BD和PC是对应边时,△BDP∽△CPE,∴=,即=,整理得,x2﹣8x+12=0,解得x1=2,x2=6,即BP的长为2或6,②BD和CE是对应边时,△BDP∽△CEP,∴=,即=,解得x=,即BP=,综上所述,BP的值是2或6或.25.证明:∵△ABC∽△A′B′C′,∴===K.又∵AD、A′D′分别是边BC、B′C′上的中线,∴==.∴,∵∠B=∠B′,∴△ABD∽△A′B′D′.∴.26.解:∵相似三角形周长的比等于相似比,∴,∴,同理,∴.答:EF的长是cm,AC的长是cm.27.解:存在t=3秒或4.8秒,使以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似(无此过程不扣分)设经过t秒时,△AMN与△ABC相似,此时,AM=t,CN=2t,AN=12﹣2t(0≤t≤6),(1)当MN∥BC时,△AMN∽△ABC,(1分)则,即,(3分)解得t=3;(5分)(2)当∠AMN=∠C时,△ANM∽△ABC,(6分)则,即,(8分)解得t=4.8;(10分)故所求t的值为3秒或4.8秒.(11分)28.解:(1)用t的代数式分别表示AQ=2t,AP=6﹣t;(2分)(2)设△APQ的面积为S,①△APQ的面积S与t的关系式为:S=AQ•AP=×2t×(6﹣t)=6t﹣t2,即S=6t﹣t2,②当t=2s时,△APQ的面积S=×AQ•AP=×[2×2×(6﹣2)]=8(cm2);(6分)(3)当t为多少秒时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似,①当=时=,∴t=2.4(s);②当=时=,∴t=(s);综上所述,当t为2.4秒或时,以点A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似.29.解:∵∠C=90°,BC=8cm,AC:AB=3:5,∴设AC=3xcm,AB=5xcm,则BC==4x(cm),即4x=8,解得:x=2,∴AC=6cm,AB=10cm,∴BC=8cm,设过t秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似,则BP=2tcm,CP=BC﹣BP=8﹣2t(cm),CQ=tcm,∵∠C是公共角,∴①当,即时,△CPQ∽△CBA,解得:t=2.4,②当,即时,△CPQ∽△CAB,解得:t=,∴过2.4或秒时,以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似.30.(1)证明:∵△ABC∽△A1B1C1,且相似比为k(k>1),∴=k,a=ka1;又∵c=a1,∴a=kc;(2)解:取a=8,b=6,c=4,同时取a1=4,b1=3,c1=2;此时=2,∴△ABC∽△A1B1C1且c=a1;(3)解:不存在这样的△ABC和△A1B1C1,理由如下:若k=2,则a=2a1,b=2b1,c=2c1;又∵b=a1,c=b1,∴a=2a1=2b=4b1=4c;∴b=2c;∴b+c=2c+c<4c,4c=a,b+c<a,而应该是b+c>a;故不存在这样的△ABC和△A1B1C1,使得k=2.。

相似三角形的性质经典题

相似三角形的性质经典题

相似三角形的性质典型题1、△ABC 中,DE ∥FG ∥BC (1)若AD=DF=FB ,求S 1:S 2:S 3 (2)若S 1:S 2:S 3=1:8:27,求AD:DF:FB 的值。

2、梯形ABCD ,AD:BC=1:3,EF ∥AD 且EF 平分梯形ABCD 的面积。

求AE:BE 的值。

DABCE F拓展:梯形ABCD ,AD=a ,BC=b ,EF ∥AD 且EF 平分梯形ABCD 的面积。

求EF 的长。

DABCE F3、如图,O 是△ABC 的内心,OD ∥AB ,OE ∥AC ,求证:BC 2=DE (AB+BC+AC )ABCODE4、△ABC 中,AB=6,AC=9,D 在AC 上,且AD=4,E 、F 分别是BD 、BC 的中点,AE=3,求AF 的长。

ABCDEF5.已知一个梯形被一条对角线分成两个相似三角形,如果两腰的比为41,那么两底的比为______S3S1S2A BCD E FG6.如图,直角梯形ABCD 中,∠A =90°,AC ⊥BD ,已知kADBC =,求BDAC 的值。

OCBA D7、梯形ABCD ,AC 、BD 交于点O. 求证:(1)231S S S )(梯形+= (2)探究S 1+S 3与S 2+S 4的大小关系。

S1S2S3S4ODABC8、梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ABO =256S 梯形ABCD ,,求△AOD 与△BOC 的周长比。

OADCB9、将三角形纸片(△ABC )按如图所示的方式折叠,使点B 落在边AC 上,记为点B ′,折痕为EF .已知AB =AC =3,BC =4,若以点B ′,F ,C 为顶点的三角形与△ABC 相似,求BF 的长度。

10、(2009年安徽)如图,M 为线段AB 的中点,AE 与BD 交于点C ,∠DME =∠A =∠B =α,且DM 交AC 于F ,ME 交BC 于G . (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对;(2)连结FG ,如果α=45°,AB =42,AF =3,求FG 的长.11、如图,点A 1、A 2、A 3、A 4在射线OA 上,点B 1、B 2、B 3在射线OB 上,且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3,.若△A 2B 1 B 2△A 3B 2 B 3,的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为 .12、如图,在R t △ABC 中,∠A=90°,AB=6㎝,AC=8㎝,以斜边BC 上距离B 点6㎝的点P 为中心,把这个三角形按逆时针方向旋转90°至△DEF ,求旋转前后两个三角形重叠部分的面积.13、将正方形ABCD 折叠,使顶点A 与CD 边上的点M 重合,折痕交AD 于E ,交BC 于F ,边AB 折叠后与BC 边交于点G (1)如果M 为CD 边的中点,求证:DE ∶DM ∶EM=3∶4∶5;(2)如果M 为CD 边上的任意一点,设AB=2a ,问△CMG 的周长是否与点M 的位置有关?若有关,请把△CMG 的周长用含DM 的长x 的代数式表示;若无关,请说明理由.O A 1 A 2 A3A 4 AB B 1 B 2 B 3 1 4 A BCDEFMG HGABCDFEP14.如图,在△ABC 中,BA=BC=20cm ,AC=30cm ,点P 从A 点出发,沿AB 以每秒4㎝的速度向点B 运动;同时点Q 从C 点出发,沿CA 以每秒3㎝的速度向A 点运动,设运动的时间为x . (1)当x 为何值时,PQ ∥BC? (2)当31=∆∆ABCBCQ S S 时,求ABCBPQ S S ∆∆的值;(3)△APQ 能否与△CQB 相似?若能,求出AP 的长;若不能,请说明理由.B A CQ P15.(2009恩施市)如图,在△ABC 中,∠A=90°,BC=10,△ABC 的面积为25,点D 为AB 边上的任意一点(D 不与A 、B 重合),过点D 作DE ∥BC ,交AC 于点E .设DE=x ,以DE 为折线将△ADE 翻折(使△ADE 落在四边形DBCE 所在的平面内),所得的△A ′DE 与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y .(1)用x 表示△ADE 的面积;(2)求出0<X ≤5时y 与x 的函数关系式; (3)求出0<X<10时y 与x 的函数关系式;(4)当x 取何值时,y 的值最大?最大值是多少?EA 'DBCA B CA16、(09太原)如图(1),将正方形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C 、D 重合),压平后得到折痕MN .当21CDCE =时,求BNAM 的值.类比归纳在图(1)中,若31CDCE =则BNAM 的值等于 ;若n1CDCE =则BNAM 的值等于 .(用含n 的式子表示) 联系拓广如图(2),将矩形纸片ABCD 折叠,使点B 落在CD 边上一点E (不与点C 、D 重合),压平后得到折痕MN .设)1(1BCAB >=m m当21CDCE =时,求BNAM 的值.(用含m ,n 的式子表示)BDACFNEM17、△ABC 和△PQM 是全等的等边三角形,重叠部分是六边形EFGHIJ ,六条边长分别为a 、b 、c 、d 、e 、f ,求证:a 2+c 2+e 2=b 2+d 2+f 2bdf ceaJ I H G F EM CABP Q图(2)NABC D EFM19.如图,四边形OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点A 在x 轴上,点C 在Y 轴上,将边BC 折叠,使点B 落在边OA 的点D 处.已知折叠CE=55,且tan ∠EDA=43.20.(1)判断△OCD 与△ADE 是否相似?请说明理由;(2)求直线CE 与x 轴交点P 的坐标;(3)是否存在过点D 的直线L ,使直线L 、直线CE 与x 轴所围成的三角形和直线L 、直线CE 与Y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果不存在,请说明理由.三角形内接多边形问题20、△ABC 作一正方形DEFG,已知BC=12,△ABC 面积为48,求EF 的长。

九年级数学上1.3相似三角形的性质练习题含答案

九年级数学上1.3相似三角形的性质练习题含答案

九年级数学上册第1章图形的相似1.3相似三角形的性质练习题(含答案)一.选择题(共10小题)1.已知△ABC∽△A′B′C′且,则S△ABC:S△A'B'C′为()A.1:2 B.2:1 C.1:4 D.4:12.如果两个相似三角形对应边的比为2:3,那么这两个相似三角形面积的比是()A.2:3 B.:C.4:9 D.8:273.如果两个相似三角形的面积比是1:6,则它们的相似比()A.1:36 B.1:6 C.1:3 D.1:4.两个相似三角形对应中线的比2:3,周长的和是20,则两个三角形的周长分别为()A.8和12 B.9和11 C.7和13 D.6和145.△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是()A.27 B.12 C.18 D.206.两个相似三角形的相似比为2:3,它们的面积之差为25cm2,则较大三角形的面积是()A.75cm2B.65cm2C.50cm2D.45cm27.已知△ABC与△DEF相似,相似比为2:3,△ABC的周长是10cm,△DEF的周长是()A.10cm B.15cm C.20cm D.30c m8.如图,△ABC中,点D在线段AB上,且△ABC∽△ACD,则下列结论一定正确的是()A.AC2=AB•AD B.A C2=BC•AD C.A C•CD=AB•AD D.A C•CD=CD•BD(8题图)(9题图)(10题图)(11题图)9.如图,△ACD∽△ABC,则下列式子:①CD2=AD•DB;②AC2=AD•AB;③=.其中一定成立的有()A.3个B.1个C.2个D.0个10.如图,在正方形网格上有相似三角形△A1B1C1和△A2B2C2,则△A1B1C1和△A2B2C2的面积比为()A.2 B.C.4D.二.填空题(共6小题)11.(2015•曲靖)若△ADE∽△ACB,且=,DE=10,则BC=.12.若两个相似三角形的周长比为2:3,则它们的面积比是.13.两个相似三角形的面积比1:4,则它们的周长之比为.14.若△ABC∽△DEF,且相似比,当S△ABC=6cm2时,则S△DEF=cm2.15.要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一条短边长为2,则另外一个三角形的周长为.16.若△ABC∽△DEF,S△ABC:S△DEF=3:4,则△ABC与△DEF的相似比为.三.解答题(共4小题)17.如图所示,在矩形ABCD中,AB=10cm,AD=20cm,两只小虫P和Q同时分别从A,B出发沿AB,BC向终点B,C方向前进,小虫P每秒走1cm,小虫Q每秒走2cm,请问它们同时出发多少秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似?18.如图,在平行四边形ABCD中,E为DC上的一点,AE交BD于O,△AOB∽△EOD,若DE=AB,AB=9,AO=6,求DE和AE的长.19.如图,△ABC与△ADB中,∠ABC=∠ADB=90°,AC=5cm,AB=4cm,如果图中的两个直角三角形相似,求AD的长.20.如图所示,已知:△ABC∽△DAC,AD=2,AC=4,BC=6,∠B=36°,∠D=117°(1)求AB的长;(2)求CD的长;(3)求∠BAD的大小.青岛版九年级数学上册第1章图形的相似1.3相似三角形的性质练习题参考答案一.选择题(共10小题)1.C.2.C.3.D.4.A.5.C.6.D.7.B.8.A.9.B.10.C.二.填空题(共6小题)11.15.12.4:9.13.1:2.14.24.15.7.5.16.:2.三.解答题(共4小题)17.解:①设经x秒后,△PBQ∽△CDA,由于∠PBQ=∠ADC=90°,当=时,即=,解得x=5;②设经x秒后,△QBP∽△CDA,由于∠PBQ=∠ADC=90°,当=时,即=,解得x=2.故经过5秒或2秒时,以P、B、Q为顶点的三角形与以A、C、D为顶点的三角形相似.18.解:∵△AOB∽△EOD,∴DE:AB=OA:OE,∵DE=AB,AB=9,AO=6,∴DE=×9=6,OE=OA=4,∴AE=OA+OE=6+4=10.19.解:∵∠ABC=∠ADB=90°,AC=5cm,AB=4cm,∴BC==3cm,若△ABC∽△ADB,则,即,解得:AD=cm;若△ABC∽△BDA,则,即,解得:AD=cm;AD的长为:cm或cm.20.解:(1)∵△ABC∽△DAC,∴,∵AD=2,AC=4,BC=6,∴解得:AB=3;(2)∵△ABC∽△DAC,∴,即,解得:DC=;(3)∵△ABC∽△DAC,∠B=36°,∠D=117°,∴∠BAC=∠D=117°,∠DAC=∠B=36°,∴∠BAD=∠BAC+∠DAC=117°+36°=153°.。

相似三角形的性质_练习题有答案

相似三角形的性质_练习题有答案

---.18.6 相似三角形的性质同步课堂检测学120 分考试时间:120 考试总分:分钟考号:__________ 班级:姓名:学校:一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.王华晚上由路灯下的处走到处时,测得影子的长为,继续往前走到达处时,的高度,那么路灯测得影子的长为,他的身高是D.A.B.C.的面积等于,则的面2.如图,在中,若,,若)积等于(D.C. A. B.)的值为(,那么如图,3. 中,,如果,D. A.B. C.,则, 4.如图,在中,,是边上的高,D. A.B. C.)的长为(,则,上的高,斜边是如图,5.D.A. B. C.,则这两个三角形的周长比为(6.两个相似三角形的面积之比为)D.A.B.C.,一个三角形的三边分别为7. ,另一个与它相似的三角形中有一条边长为,,则这个------.------)三角形的周长不可能是(D.C.B. A.的两条线段三等分,如8.一个,则这两条果的面积被平行于它的一边)线段中较长的一条是(D.B. C.A.如9.平于图,交于点中,,为分点,交,.下列结论;,的中点,交①的延长线于点,,其中结论正确的个数有)(③②;;④D.个C.个A.个B.个,则的上的点,、如图,分别是边、,若10.)值为(D.B. C. A.分)3二、填空题(共10小题,每小题分,共30相似三角形的判定方法11. )和.型(图))则型(图若(射影定理:若斜边上的高(双直角图形)图为则,且.,,,则图中线段的长12.如图,,,已知,.,,且若13. ,的周长为,则的------2------.________ .周长为.,若,则如图,已知14. ,,交于点,则,,在15. 中,、分别在、上,,.,过点的直线截,使截得的三角形与中,在16. 是上的动点异于、,(为自然数).相似,我们不妨称这种直线为过点的的相似线,简记为,,当时,、(1)如图①,都是过点),的,的相似线(其中此外还有条.时,如图②,,,当截得面积的.的三角形面积为在底边上,且,点为腰中点,点中,17.如图,在,的长为.,则.已知:如图,在18. ,,求中,,,垂足是.19,那么这两个三角形面积的比 ..是如果两个相似三角形的相似比是20的面积 .,,且为若,,的面积为则________ .三、解答题(共6小题,每小题10分,共60分)------.------,,,21.如图,已知,分别是的,上的一点,的长.,求平分,求证:延长线于的中垂线,交,是中,22.已知在.23.如图所示,在中,点是上一点,连接,且,与的相似比..求,连接,试判断与、,垂足分别为,中,如图,在24. 是否相似,并说明理由?,延25.如图,在于点长边上的点,为,点中,交.于点4------.证明:;,;并说明理由.若答案1.C.------2.D3.C4.C5.D6.C7.C8.D9.C10.D11.12.13.14.15. 16. .或17.18.19.20.,、∵、分别是边上的点,的21.解:,∴,∵∴,.∴22.证明:连接,的中垂线,∵是,∴,∴且,,∴,且,∴,∴,∴,∴.------6------.23.解:∵,∴,,,∵∴,,则的相似比为:与.故24.解:相似.理由如下:∵在中,,分别是,边上的高,,∴,∵,∴∴,即,∵是公共角,.∴25..线段线段26..------专业资料可修改可编辑范文范例可行性研究报告指导范文---。

相似三角形的性质与判定练习题 含答案

相似三角形的性质与判定练习题 含答案


相似.
,点 p 在 BD 上移动,
【答案】 或 12cm 或 2cm
【解析】解:由




,则








变形得:
,即

因式分解得:

解得:


所以
或 12cm 时,








,解得:


综上,
或 12cm 或 时,


故答案为: 或 12cm 或 2cm.
设出
,由
表示出 PD 的长,若

综上所述,当
或 时,

相似.
故答案为 或 .
19. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 为边 BC 上一点,AC
与 DE 相交于点 F,若

,则
等于_____.
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质,解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件,然后利用其性质即可求解 由于四边形 ABCD 是平行四边形,所以得到
根据对称性可知:


,根据相似的性质可得出:
,又 ,
,所以 ,在
中,由勾股定理可求得 AC 的值,

【解答】
解:设 BE 的长为 x,则


中,
,将这些值代入该式求出 BE 的值.


两对对应角相等的两三角形相似
, 故选:C.

苏科版九年级数学下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习题-附带参考答案

苏科版九年级数学下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习题-附带参考答案

苏科版九年级数学下册《6.5 相似三角形的性质》同步练习题-附带参考答案学校:___________班级:___________姓名:___________考号:___________一、单选题1.若两个相似三角形的面积比是9:16,则它们的相似比是()A.9:16 B.16:9 C.81:256 D.3:42.两个相似三角形的相似比为2:3,它们的面积之差为25cm2,则较大三角形的面积是()A.75cm2B.65cm2C.50cm2D.45cm23.如图,在△ABC中,DE∥BC分别交AB,AC于点D,E,若=,则下列说法不正确的是()A.ADAB =AEACB.AEEC=23C.DEBC =23D.S△ADES△四边形DBCE=4214.如图,有一锐角为30°的三角尺,它的内外两个三角形是相似的.三角尺的斜边长为12cm,其内部三角形的最短边长为3cm,则这个三角尺内外两个三角形的面积比为()A.1:√3B.1:2C.1:3D.1:45.如图所示是利用图形的位似绘制的一幅“小鱼”图案,其中O为位似中心,且OA=2OD,若图案中鱼身(△ABC)的面积为S,则鱼尾(△DEF)的面积为()A.√S B.√2S C.14S D.12S6.如图,AD∥BC,∠D=90°,AD=2,BC=6,DC=8,若在边DC上有点P,使△PAD与△PBC相似,则这样的点P有()个.A.1 B.2 C.3 D.47.如图,平行四边形ABCD中,AB=2,AD=4,对角线AC,BD相交于点O,且E,F,G,H分别是AO,BO,CO,DO的中点,则下列说法正确的是()A.EH=HGB.四边形EFGH是平行四边形C.AC⊥BDD.ΔABO的面积是的面积的2倍8.如图所示,在矩形ABCD中,点F是 BC的中点,DF的延长线与AB的延长线相交于点E,DE与AC相交于点O,若,则()A.4 B.6 C.8 D.10二、填空题9.已知△ABC与ΔA'B'C'相似,并且点A与点A'、点B与点B'、点C与点C'是对应顶点,其中∠A=80°,∠B'=60°,则∠C=度.10.如图,平分且,则当BD=时,.11.如图,已知在△ABC 中,BC=120,高AD=60,正方形EFGH 一边在BC 上,点E,F 分别在AB,AC 上,AD 交EF 于点N,则AN 的长为.12.如图,在直角坐标系中,有两个点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(点C与点A不重合),当点C坐标为时,使得由B、O、C三点组成的三角形和△AOB相似.13.如图,直角三角形BCF中,在线段上取一点,作交于点,现将沿折叠,使点落在线段上,对应点记为;的中点的对应点记为.若,则AD=.三、解答题14.如图,已知△ABC中,AB=8,BC=7,AC=6,点D、E分别在AB、AC上,如果以A、D、E为顶点的三角形和△ABC相似,且相似比为,试求AD、AE的长.15.如图,D、E分别是AC、AB上的点△ADE∼△ABC,DE=8,BC=24,AD=6,∠B=70°求AB的长和∠ADE的度数.16.如图,在△ABC中,AB=8cm,AC=16cm,点P从点B开始沿BA边向点A以每秒2cm的速度移动,点Q 从点A开始沿AC边向点C以每秒4cm的速度移动.如果P、Q分别从B、A同时出发,经过几秒钟△APQ与△ABC相似?试说明理由.17.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,AC=6√3,BD=3.(1)求∠A的度数;(2)求BC的长及△ABC的面积.18.如图,已知矩形OABC中,OA=2,AB=4,双曲线(k>0)与矩形两边AB、BC分别交于E、F.(1)若E是AB的中点,求F点的坐标;(2)若将△BEF沿直线EF对折,B点落在x轴上的D点,作EG⊥OC,垂足为G,证明△EGD∽△DCF,并求k的值.答案1.D2.D3.C4.D5.C6.B7.B8.C9.4010.√611.2012.(-1,0)或者(1,0)或者(-4,0)13.3.214.解答:当△ABC ∽△ADE 时,相似比为 , = = ,即: = = 解得:AD=2,AE=1.5;当△ABC ∽△AED 时,= = ,即: = = ,解得:AD=1.5,AE=2.15.解:∵△ADE ∽△ABC∴AD AB =DE BC∵AD =6,DE =8,BC =24∴6AB =824∴AB =18∴AB =18,∠ADE =70°. 16.解:设经过t 秒两三角形相似,则AP=AB ﹣BP=8﹣2t ,AQ=4t ,①AP 与AB 是对应边时,∵△APQ 与△ABC 相似,∴AP AB =AQ AC 即8−2t 8=4t 16解得t=2,②AP 与AC 是对应边时,∵△APQ 与△ABC 相似∴AP AC =AQ AB 即8−2t 16=4t 8解得t=45,综上所述,经过45或2秒钟,△APQ 与△ABC 相似.17.解:(1)∵∠ACB=90°,CD ⊥AB 于点D∴AC 2=AD •AB ,即(6√3)2=AD •(AD+3)整理得AD 2+3AD ﹣108=0,解得AD=9或AD=﹣12(舍去) 在Rt △ACD 中,∵cosA=AD AC =6√3=√32∴∠A=30°;(2)∵AB=AD+BD=9+3=12而∠A=30°∴BC=12AB=6∴S △ABC =12•AC •BC=12•6√3•6=18√3.18.(1)解:∵点E 是AB 的中点,OA=2,AB=4∴点E 的坐标为(2,2)将点E 的坐标代入y=,可得k=4即反比例函数解析式为:y=∵点F 的横坐标为4∴点F 的纵坐标==1故点F 的坐标为(4,1)(2)解:由折叠的性质可得:BE=DE ,BF=DF ,∠B=∠EDF=90° ∵∠CDF+∠EDG=90°,∠GED+∠EDG=90°∴∠CDF=∠GED又∵∠EGD=∠DCF=90°∴△EGD ∽△DCF结合图形可设点E 坐标为(,2),点F 坐标为(4,) 则CF=,BF=DF=2﹣,ED=BE=AB ﹣AE=4﹣在Rt △CDF 中,CD===∵CD GE =DF ED ,即= ∴√4−k =1解得:k=3。

《相似三角形的性质》典型例题

《相似三角形的性质》典型例题

AD E MC FA D C BB 《相似三角形的性质》典型例题例1:(2002江苏南通)已知:AD:AB=1:3 DE ∥ BC 则S △ADE :S △AB =______ 分析:本题是考查相似三角形的性质,由于相似三角形面积的比等于相似比的平方,所以只要能得到△ADE ∽△ABC,那么S △ADE: S △ABC 的植即可求出,故S △ADE: : S△ABC=AD 2:AB 2=1:9例2:已知如图,在△ABC 中,D 是AB 上一点,43==BC BD AB BC ,△BCD 的周长是24cm ,求⑴△ABC 的周长⑵S △BCD:S △ ACD = ⑶若CD =12cm,求AC解:⑴∵,43==BC BD AB BC 公共,∴△BCD ∽△BAC ∴34==BC AB BCD ABC 的周长的周长▲▲ 已知△BCD 的周长为24cm,∴△ABC 之周长=24×34=32(cm) ⑵∵9163422▲▲=⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=BC AB S S BCD ABC 而S △ACD =S △ABC -S △BCD∴979916▲▲▲▲▲=-==-BCD BCD ABC BCD ACD S S S S S ∴79▲▲=ACD BCD S S (3)∵△BAC ∽△BCD ∴BDBCCD AC = ∵CD=12cm ∴AC=CD ×BD BC =12×34=16(cm )例3:在△ABC 中,D 为AB 之中点,DE 的延长线交BC 延长线于F , 求证:AE ·CF=BF ·EC分析:要证AE ·CE=BF·CF,就要证CFBFCE AE =,可是题目中既没有平行线,而四条线段AE、CE 、 BF 、CF 又不同在两个三角形中,因此设法作辅助线,寻找中间比,实现比的过渡,以达到解题目的。

故过点C 作AB 的平行线。

解:过C 作CM ∥AB 交 EF 于M ,易得△ADE ∽△CME ,△CFM ∽△BFD ,∴CM ADCE AE =,∴CM BD CF BF =,又BD=AD ∴CF BF CE AE =小结:本题通过作平行线,得到两对相似三角形,两个比例式, 实现比的过渡,B P CED同学们要掌握这一技巧。

相似三角形判定与性质-练习题(带答案)

相似三角形判定与性质-练习题(带答案)

【答案】 D
【解析】 ∵






∵Hale Waihona Puke ,∴,即甲与乙与丙均相似.
【标注】【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
D. 甲与乙与丙
3
6. 给定条件能判断
A.
B.

C.

D.
和 ,
, , ,
相似的是( ). ,









【答案】 D
【解析】 .不相似:∵


∴不相似;
.不相似:∵
, ,


∴ 不是边 , ∴不相似;
, 交 于 ,则

A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵



又∵平行四边形
中,







【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
14. 要测量一棵树的高度,发现同一时刻一根 米长的竹竿在地面上的影长为 米,此刻树的影子不全 落在地上,有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上,测得台阶水平面上的影长为 米,一级 台阶的垂直高度为 米,若,此时落在地面上的影长为 米,则树高( ).




【标注】【知识点】相似反A字型
1
3. 已知:如图,
,求证:

【答案】 证明见解析.
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴
, ,
, .
【标注】【知识点】相似反8字型
4. 如图,在
中,点 、 分别在边 、 上,如果

初中数学几何练习(18)相似三角形的性质

初中数学几何练习(18)相似三角形的性质

初中数学几何练习十八:相似三角形的性质相似三角形的性质1、相似三角形的对应角相等,对应边成比例2、相似三角形对应高的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比3、相似三角形的周长比等于相似比4、相似三角形的面积比等于相似比的平方一、选择题1、若ABC ∆∽'''C B A ∆,则相似比k 等于( )A 、''B A :AB B 、A ∠:'A ∠C 、ABC S ∆:'''C B A S ∆D 、ABC C ∆:'''C B A C ∆ 2、如果两个等腰直角三角形斜边比是1:2,那么它们的面积比是( )A 、1:1B 、1:2C 、1:2D 、1:43、如图,在ABC ∆中,D 为AC 边上一点,A DBC ∠=∠,BC=6,AC=3,则CD 的长为( )A 、1B 、23 C 、2 D 、25 4、如图,O 是ABC ∆内任意一点,CO CF BO BE AO AD 31,31,31===,则ABC ∆与DEF ∆的周长比是( )A 、1:3B 、3:2C 、3:1D 、2:35、如图,DE//FG//BC ,且DE 、FG 把ABC ∆的面积三等分,若BC=12,则FG 的长是( )A 、8B 、6C 、64D 、346、如图,正方形ABCD 的边BC 在等腰直角三角形PQR 的底边QR 上,其余两个顶点A 、D 在PQ 、PR 上,则PA :AQ 等于( )A 、1:2B 、1:2C 、1:3D 、2:37、如图,矩形ABCD ,AB=8厘米,AD=6厘米,EF 是对角线BD 的垂直平分线,则EF 的长为( )A 、415 厘米B 、315厘米C 、215厘米D 、8厘米 8、如图,ABC ∆中,DE//BC ,面积DBCE ABC S S 梯形=∆,则DE :BC 为( )A 、21B 、22 C 、41 D 、32 二、填空题9、两个相似三角形的面积之比为4:9,则这两个三角形的周长之比为________10、两个相似三角形的相似比为1:3,则它们对应高比为______11、已知ABC ∆∽'''C B A ∆,且BC : ''C B =3:2, ABC ∆的周长为24,则'''C B A ∆的周长为_________12、一个三角形周长为a,三边中点连线所组成的三角形的周长是__________13、已知ABC ∆的三边之比为3:4:6,且ABC ∆∽'''C B A ∆,若'''C B A ∆中最长边为10厘米,则它的最短边为_________厘米14、如果两个相似三角形的对应边的比是4:5,周长的和为18厘米,那么这两个三角形的周长分别是_______________15、ABC ∆中,BC=54厘米,CA=45厘米,AB=63厘米,另一个与它相似的三角形的最短边为15,则周长为____________16、已知,如图,D 是ABC ∆的边AB 上的一点,过D 作DE//BC 交AC 于E,AD:BD=3:2,则_______________:=∆BCED AD E S S 四边形三、简答题17、已知正方形ABCD,过C 的直线分别交AD 、AB 的延长线于E 、F ,且AE=15,AF=10 求(1)正方形ABCD 的边长;(2)若BE 交CD 于G ,则CG 的长为多少?18、已知矩形ABCD 中,AB=4,BC=12,点F 在AD 边上,AF :FD=1:3,BF CE ⊥于点E ,交AD 于点G ,求BCE ∆的周长19、如图,在ABC ∆中,,900=∠C D 是AC 上一点,AB DE ⊥于E ,若AB=10,BC=6,DE=2,求四边形DEBC 的面积。

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图4-34在△R t ABC中,∠C=90°,AC=30cm,AB=50cm,依次裁下宽为1cm的矩形纸条1、2、3…若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm,则每张直角三角形彩纸能裁成的矩形纸
【课时训练】22.3相似三角形的性质
一、选择题
1.如图4-33,在△ABC中,AB=AC,AD是高,EF∥△B C,则图中与ADC相似的三角形共有()
A.1个B.2个C.3个D.多于3个
2.某班在布置新年联欢晚会会场时,需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条,如
a
a a
条的总数是()
A.24B.25C.26D.27
图4-33图4-34
二、填空题
3.如图4-35,△AED∽△ABC,其中∠1=∠B,则AD∶________=________∶BC=________∶AB.
图4-35图4-36
4.如图4-36,D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点,则图中与△ABC相似的三角形共有________个,它们是_______________.
5.阳光通过窗口照到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区,已知亮区到窗下的墙脚最远距离
是8.7m,窗口高1.8m,那么窗口底边离地面的高等于________.
三、解答题
交AC于E,交CF于F.求证:BP2=PE PF.
6.如图4-37,在△ABC中,AB=AC,AD是中线,P是AD上一点,过C作CF∥AB,延长BP

7.已知:如图4-38,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,AE是△ABC的外角平分线,BF 是∠ABC的平分线,BF的延长线交AE于E.求证:(1)AF=BF=BC;(2)EF∶BF=BC∶FC.
图4-37图4-38
8.四边形ABCD是平行四边形,点E在边BA的延长线上,CE交AD于F,∠ECA=∠D.求证:AC·BE=AD·CE.
参考答案
1.C2.C
3.AC,ED,AE4.4,△ADF、△DBE、△FEC、△EFD 5.4m
P C,再证明PCF∽△PEC,∴PC∶PE=PF∶PC.∴6.连结△P C,先证明ABP≌△ACP,∴PB=△
PC2=PE⋅PF,∴PB2=PE⋅PF
7.(1)由已知可求得∠ABF=∠BAC=36°,∠C=∠BFC=72°,∴BC=BF=AF
(2)∵△EAF、△BCF都是底角为△72°的等腰三角形,∴EAF∽△BCF,∴EF∶BF=AF∶CF,又AF=BC,∴EF∶BF=BC∶FC
8.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠D=∠B,∵∠ECA=∠D,∴∠ECA=∠B,又∵∠E=∠△E,∴ECA∽△EBC,∴AC∶BC=CE∶BE,∴AC∶AD=CE∶BE,∴AC·B E =AD·C E。

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