数学八年级上册第十三章轴对称13.4课题学习最短路径问题教学课件 新人教版

∵AB=AC，BD=CD， ∴AD⊥BC. ∴PB=PC.
E
线段AB同侧的两点，在线段AB上找到一
点E使得CE+DE的值最小.
C
D
B
新课讲解
练一练 如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要
使EC+ED最小，请找点E的位置.
A
解：如图所示，作点D关于线段AB的对称 点D′，连接CD′交线段AB于点E，则点E即 为所求，也就是使得EC+ED最小的位置.
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
法是（ D ）
分析：上述题目中应用了轴对称把最短路径
∙B
问题转化为“两点之间，线段最短”来解决，
A∙
l
该过程用到了“转化思想”，“两点之间，
C
线段最短”，验证是否为最短距离时利用了
B′
三角形两边之和大于第三边.
新课讲解
练一练 两棵树的位置如图所示，树的底部分别为点A，B，有一只昆虫沿着 A至B的路径在地面爬行，小树的树顶D处有一只小鸟想飞下来抓住 小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小虫在AB之间何处被小鸟抓住 时，小鸟飞行路程最短，在图中画出该点的位置.
法是（ ） A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短
∙B A∙
l C
D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角
B′
新课讲解
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
C
E D′
D
B
新课导入
思 考 （造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座 桥MN，桥造在何处可以使得从A到B的路径AMNB最短？（假定河是平
行的直线，桥要与河垂直）
新课讲解
知识点 造桥选址问题
这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂 直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？
l2
∙Q ∙P
l1
新课讲解
知识点 两点两线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长最小. l2 Q1
作法：分别作点P，Q关于直线l1，l2的对
称点P1，Q1，连接P1Q1分别交直线l1，l2
N ∙Q ∙P
于点M，N，则点M，N即为所求.
l1 M
解析：通过轴对称把周长最小问题转化为两点间距离最短问题，
四边形PMNQ的周长的最小值为PM+MN+NQ+QP=P1Q1+PQ， P1
依据的是两点之间，线段最短.
新课讲解
练一练
某中学八（2）班举行文艺晚会，如图所示，OA，OB分别表示桌面，
其中OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小
明先拿橘子再拿糖果，然后回到C处，请你帮他设计一条行走路线，使
A∙
M
M′ a
A′
b
N′
N
∙B
新课讲解
知识点 两点一线型问题 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
l2
∙P
l1
新课讲解
知识点 两点一线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
作法：过点P分别作关于直线l1，l2的对 称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1， l2于点M，N，则点M，N即为所求.
解：如图，作点C关于AB的对称点C′，连接 DC′交AB于点E，则点E即为所求. 也可作点D关于AB的对称点D′，连接CD′同 样交AB于点E的位置，则点E即为所求.
新课讲解
练一练 如图，在等腰Rt△ABC中，D是BC边的中点，E是AB边上的一动点，要
使EC+ED最小，请找点E的位置.
A
分析：上述题目可以描述为，点C，D为
第十三章 轴对称
13.4 课题学习最短路径问题
目 录
CONTENTS
1 学习目标 3 新课讲解 5 当堂小练 7 布置作业
2 新课导入 4 课堂小结 6 拓展与延伸
学习目标
1.利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.（重点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感受由实际问题转化为 数学问题的思想.（难点）
新课导入
你能利用两点分别在直线两侧的解题思路，来解决两点在直线同一侧的问题吗？
∙B A∙
l
分析：如果我们能够把点B转移到直线l的另外一侧B′，同时使得对直线上任 意一点C，满足BC=B′C，就可以将问题转化为“两点分别在直线两侧的情况”. 那么在直线l上使得满足BC=B′C的点应该怎么找呢？
新课导入
新课讲解
练一练 如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发， 先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处 执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？
l1
∙B ∙A
l2
新课讲解
解析： （1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′； （2）作点B关于直线l2的对称点B′；
A′ C
A.900
B.1200
C.1500
D.1800
C
D
A
B
当堂小练
解：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
A′
∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°.
C
∵A′C=AC=BD，
在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE，
A
∠A′EC=∠BED，
A′C=BD，
则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE.
∴点E是CD的中点.
∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200.
ED B
当堂小练
如图，从A地到B地要经过一条小河（河的两岸平行），现要在河上建 一座桥（桥垂直于河的两岸），应如何选择桥的位置才能使从A地到B 地的路程最短？
A
B
当堂小练
解析：（1）如图，作点A作AC垂直于河
E
M
岸，且使得AC的长等于河宽；
A∙
M
A′ N
a
b
∙B
新课讲解
证明：在直线b上另外任意取一点N′，过点N′作
N′M′⊥a，垂足为M′，连接AM′，A′N′，N′B.
∵在△A′N′B中，A′B<A′N′+BN′， ∴A′N+NB<A′N′+BN′. 即A′N+NB+MN<A′N′+BN′+M′N′. ∴AM+NB+MN<AM′+BN′+M′N′. 即AM+NB+MN的值最小.
A∙
M
a
b
N
∙B
新课讲解
分析： 将AM沿着与直线a垂直的方向平移，点M移动到点N，点A移 动到点A′，则AA′=MN，AM+NB=A′N+NB.此时问题转化为，当点N 在直线b的什么位置时，A′N+NB的值最小.
A∙
M
a
A′ N
b
∙B
新课讲解
如图，连接A′，B两点的线段中，线段A′B最短.因此，线段A′B与直线b的交点 位置即为所求的位置，即在点N处造桥MN，所得路径AMNB是最短的.
P2
l2
N ∙P
l1 M
P1
新课讲解
知识点 两点一线型问题
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得△PMN的周长最小.
解析：通过轴对称的原理，把周长最小值 转化为两点间距离最短的问题.△PMN周 长的最小值为PM+MN+PN=P1P2.
P2
l2
N ∙P
l1 M
P1
新课讲解
知识点 两点两线型问题 如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M，N，使得四边形PQMN的周长 最小.
其所走的路程最短.
A
∙C
O
B
新课讲解
练一练
解析：
（1）如图所示，作点C关于OA的对称点C1；
（2）作点C关于OB的对称点C2；
（3）连接C1C2，分别交OA，OB于点D，E，连接
CD，CE.
O
所以先到点D处拿橘子，再到点E处拿糖果，最后回
到点C处，按照这样的路线所走的路程最短.
C1 A
D
∙C
E
B
a C2
新课导入
情境导入
相传古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一
天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方 饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这 个问题后来被称为“将军饮马问题”.
如图，作出点B关于直线l的对称点B′，利用轴对称的性质可知：对于直线l 上的任意一点C均满足BC=B′C.此时，问题转化为：当点C在直线l的什么位 置时，AB+B′C的值最小？
∙B
A∙
你能证明这个结论吗
∙
l
C
∙ B′
容易得出：连接AB′交直线l于点C，则点C即为所求.
新课导入
证明：在直线l上任意取一点C′（不与点C重合），连接AC′，BC′，
B′C′.
由轴对称的性质可得：BC=B′C，BC′=B′C′，
则AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′.
在△AB′C′中，AB′<AC′+B′C′，
A∙
所以AC+BC<AC′+B′C′.
C′ C
由点C′的任意性可知，AC+BC的值是
最小的，故点C的位置符合要求.
∙B
l
∙B′
A∙
解：如图，作点B关于河边a的对称点B′， 连接AB′交河边a于点P，则点P所在的位 置为所求的自来水厂的位置.
∙B
P∙
a
∙
B′
新课讲解
练一练
如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得
AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直
线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方
（2）连接BC，与河岸GH相交于点N，且
G
过点N作MN⊥EF于点M，则MN为所建 B
N
桥的位置.
A
C
F
H
拓展与延伸
如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC 于点N，且MN平分∠AMC，若AN=1，则BC的长为（ ）
A.4
B.6
C. 4 3
D.8
分析：本题考查了含有30°角的直角三角形 的性质和应用，同时考查了角平分线的性质、
A
M
N
平行线的性质、等腰三角形的判定和三角形
B
C
内角和定理，要熟练掌握学过的知识才能综
合应用解题.
拓展与延伸
如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一
个动点，则下列线段的长等于BP+EP最小值的是（ B ）
A.BC B.CE
C.AD
D.AC
A
解析：如图，连接PC.
∙B A∙
l
如果点A，B在直线l的两侧，这时该如何求解？
新课导入
如图： 点A，B分别在直线l的两侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？
A∙
l
B∙
解析：连接A，B两点，交直线l于点C，则点C 即为所求的位置，可 以使得AC+BC的值最小. 依据：两点之间，线段最短.
A∙
M
a
b
N
∙B
新课讲解
分析： 由于河宽是固定的，则MN的大小是固定的.当AM+MN+BN的值最
小时，也即AM+BN的值最小.
A∙
M
a
b
N
∙B
你能用几何语言将上述的问题重新表达吗？
新课讲解
如图： 直线a，b满足a//b，点A，点B分别在直线a，b的两侧，MN为直线a， b之间的距离，则点M，N在什么位置的时候，满足AM+MN+NB的值最小.
新课讲解
知识点1
1、直线异侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的值最小，
此时点C就是线段AB与直线l的交点.
A∙
C l
∙B
新课讲解
知识点1
2、直线同侧的两点到直线上一点距离和最短的问题.
如图，点A，B分别是直线l同侧的两个点，在直线l上找一点C使得AC+BC的
（3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C， D，连接AC，BD.
∙A
D
所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，
最后到点B处执行任务，按照这样的路线
所走的路程最短.
l1
∙B
l2 B′
课堂小结
最
短
路
径
问
题
直线同侧的两点到直线上一
点距离和最短的问题
当堂小练
如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD， 且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，则牧童从A处把牛牵到河边 饮水再回家，最短距离是（ ）
值最小，这时先作点B关于直线l的对称点的B′，连接AB′交直线l于点C（也
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C），此时点C就是所
求作的点.
∙B A∙
l C
B′
新课讲解
练一练
如图，A，B两个小镇在河的同侧，现要在笔直的河边a上修建一个自来水
厂分别向两个镇供水，如何选择自来水厂的位置，可使用的水管最短？
B A
新课导入
思 考 这是个实际问题，你能用自己理解的语言描述一下吗？ 如图所示：将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
∙B A∙
l
那你能用数学语言说明这个问题所表达的意思吗？
新课导入
如图： 点A，B分别在直线l的同侧，点C是直线l上的一个动点，当点C在什么
位置的时候，AC+BC的值最小？