第3讲-主应力及主切应力

l1l2 m1m2 n1n2 0
l2l3 m2m3 n2n3 0
l3l1 m3m1 n3n1 0
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Lesson 5
三个主应力均为实根 主应力具有极值性质
三个主应力中的最大值赋给1，最小值赋给 3，并按大小顺序排列1≥2≥3，则过该 点任意微分斜面上的正应力中，1为最大值， 3为最小值。
金属塑性变形理论
Theory of metal plastic deformation
第五讲 Lesson Five
张贵杰
Zhang Guijie
Tel：0315-2592155 E-Mail： zhguijie@vip.sina.com
河北理工大学金属材料与加工工程系 Department of Metal Material and Process Engineering Hebei Polytechnic University, Tangshan 063009
2 n
1
2 2 l 2m2
2
3 2 m2n2
3
1 2 n2l 2
上式中消去n，得到n与l、m的函数关系
2 n
12
2 3
l2
2 2
2 3
m2
2 3
1 3
l2 2 3
m2 3
2
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Lesson 5
当微分面转动时，切应力随之变化。我们所求 的是，当l、m、n为何值时，微分面上的切应 力取极值。由二元函数f(x,y)求极值的方法可求 得微分面上的切应力的极值。
I2 x y y z z x
2 xy
2 yz
2 zx
1 2 2 3 3 1
I3
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
1 2 3
对同一点应力状态，三个主应力的数值是一定的，而
与过该点的坐标系的选择无关，不管应力分量怎样随坐 标系改变。那么I1、I2、I3 是不随坐标系改变的，分别称 为一次、二次和三次应力常量，或称为应力张量不变量。
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3
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Lesson 5
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主应力的求解
如果取微分面ABC为主 微分面，即该微分面上 只有主应力而没有切应 力。这时，作用在此面 上的全应力就是主应力。
用 表示主应力，则它
在各坐标轴上的投影为
Snx l Sny m Snz n
1 0 0 T 0 2 0
0 0 3
为主应力张量
正应力 n 1l 2 2m2 3n2
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Lesson 5
10.4.2 主切应力和最大切应力
主切应力
任意微分斜面上的切应力也有极大值和最大值。 极值切应力又称为主切应力。
在主坐标系下，任意微分斜面上的切应力
f
(l,
m)
2 n
2 1
2 3
l2
2 2
（*） （**）
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Lesson 5
由上面四个方程可求出主应力及其方向余
弦l、m、n。显然，前三个方程构成一个齐 次方程组，显然不能有l = m = n = 0这样的
解。如要方程组有其他解时，必须取该方程 组的系数行列式为零，即
x
xy xz
yx
y
yz
zx
zy 0
z
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展开此行列式，得
Lesson 5
3 ( x y z ) 2
x
y
y z
z x
(
2 xy
2 yz
zx2 )
x y z
2 xy yz zx
x yz2
y zx2
z
2 xy
0
令
I1 ( x y z )
I2
x
y
y z
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Lesson 5
主应力的特点
三个主应力所作用的主微分面是相互垂直的
将主应力1代入（*）式中的任何两个方程， 并与（**）式联立，可以求解出主应力1的
方向余弦l1、m1、n1，同理，可以求解出主
应力2及3的方向余弦l2、m2、n2及l3、m3、
n3 。 每两个主应力的方向余弦之间满足以下关系
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Lesson 5
主坐标系
因为三个主应力两两相互垂直，若取坐标轴 与主应力方向一致，则构成主坐标系，其坐 标轴称为主轴。
3(z)
3
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1
1(x)
2
2(y)
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Lesson 5
在主坐标系下斜面上的应力为
Sn1 1l 0 m 0 n 1l Sn2 0 l 2m 0 n 2m Sn3 0 l 0 m 3n 3n 或 Sn1 1 0 0 l Sn2 0 2 0 m Sn3 0 0 3 n
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Lesson 5
代入到斜面应力方程中有
Snx Sny
l m
xxyllyxymmzxzynn
Snz
n
xzl
yzm
Βιβλιοθήκη Baidu
z
n
整理后可得
x
xyl
l
y
y
xm m
zx zy
n n
0 0
xzl yzm z n 0
又有
l2 m2 n2 1
第十章 应力状态分析
主要内容
Main Content
应力状态基本概念 斜面上任一点应力状态分析 求和约定和应力张量 主应力及主切应力 球应力及偏差应力
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10.4 主应力及主切应力
Lesson 5
10.4.1 主应力的概念
通过坐标变换可以找到只有正应力的 坐标面，此坐标轴称为主轴，此应力 称为主应力，该坐标面为主平面。
z x
(
2 xy
2 yz
zx2 )
I3
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y zx2
z
2 xy
则有
3 I1 2 I2 I3 0
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Lesson 5
三次方程式称为应力状态特征方程。此方程 的三个根就是三个主应力，而这三个主应力 均为实根。由因式分解可知
展开后得
1 2 3 0
3 1 2 3 2 1 2 2 3 31 1 2 3 0
由代数学可知，具有相同的根的方程是全等方 程，因此该式与应力状态特征方程全等。有
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应力张量不变量
Lesson 5
I1 x y z 1 2 3