导数三角函数大题练习

导数、三角函数大题练习

1.（本小题满分12分）已知)cos ),2cos(2(x x m π+

=,))2sin(2,(cos π+=x x n , 且函数1)(+⋅=n m x f

（1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求)(21x x f +的值；

（2）若把函数)(x f y =的图像向左平移

3π个单位,再向上平移2个单位,得函数)(x g 图像,求函数)(x g 在]2

,2[ππ-

上的单调增区间. 解：（1）

()2cos()cos cos 2sin()12sin cos 2cos cos 122sin 21cos 21)24

f x x x x x x x x x x x x πππ

=++++=-++=-+++=++...2分

而()10f x -=

，得：cos(2)4x π+=，而(0,)x π∈，得：1242x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1224

x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

所以1233()(

))23424

f x x f πππ+==++=..................6分 （2

）())24f x x π=++--左移3π

--11())212

f x x π=++--上移

2--11())412

f x x π=++，则()

g x 的单调递增区间： 112222122k x k πππππ-+≤+≤+，23112424

k x k ππππ-+≤≤-+，........ 而[,]22x ππ∈-，得：()f x 在11[,]224x ππ∈--和[,]242x ππ∈上递增....

2.（本小题满分12分）已知函数(

)211cos sin cos 2,22

f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦

上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知

()6411,,536g ππαα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.求cos 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭

的值..

3.（本小题满分12分）

在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B

+=+,sin()cos B A C -=． （1）求,A C ；

（2）若3ABC S ∆=+,求,a c ．

（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B

+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，

即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，

得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）．

即 2C A B =+, 得3C π

=，所以．23

B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A

C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去） 得5,412

A B ππ==． （2

）1sin 32ABC S ac B ∆===,又sin sin a c A C =, 即

=，

得a c ==

4．（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，

（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设BC 边的中点为D ，，求ABC ∆的面积．