导数三角函数大题练习

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导数的计算练习题及答案

导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。

解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。

f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。

化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。

2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。

三角函数、数列、导数试题及详解

三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．1338+ B ．1338C ．1338± D ．124-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为A ．12B．12-C．32D．—329．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．1006(1)1e eeπππ--B．20122(1)1e eeπππ--C．10062(1)1e eeπππ--D．2012(1)1e eeπππ--10．设函数11()(),21xf x x Ax=++为坐标原点，A为函数()y f x=图象上横坐标为*()n n N∈的点，向量11,(1,0),nn k k n nka A A i a iθ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan3nkkθ=<∑的最大整数n是A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设1(sin cos)sin2,()3f fααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()nf x x n N+=∈与直线1x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为201212012220122011,log log lognx x x x+++则的值为____．13．已知22sin sin,cos cos,33x y x y-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最小r的取值是；（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间；（Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）．（I ）求△CDE 的面积；（Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2．【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质．【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力．【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。

函数、导数、三角函数、数列、极坐标与参数方程考试试卷

，若
A
、
B
都在曲线
C1
上，
求
1 12
+
1 22
的值.
17、已知函数 f x ax2 a 2 x lnx ，其中 a R .
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f x 的点 1, f 1 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，若 f x 在区间1,e 上的最小值为-2，求 a 的取值范围.
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
又 c 2a ，
∴ b2 2a2 ，故得 b 2a ．
cosB a2 c2 b2 a2 (2a )2 ( 2a )2 3
∴
2ac
2 a (2a)
4．
故选 B．【点睛】本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，并用统一的参数表示，属于基础题． 6、【答案】A
若
S99

1 50
，则
k
__________．
12、在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,
b,
c
，若
b
cos
C

2a

c

sin

B

2

，
且 b 3 ，记 h 为 AC 边上的高，则 h 的取值范围为

导数的运算练习题

导数的运算练习题在微积分学中，导数是非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一点附近的变化率。

掌握导数的运算是学习微积分的基础，本文将为大家提供一些导数的运算练习题，帮助读者巩固掌握导数的计算方法。

1. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x) - cos(x)（3）h(x) = e^x + ln(x)（4）i(x) = √(x^2 + 1)2. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = cos(x) + sin(x) + tan(x)（3）h(x) = ln(x^2) - e^(2x)（4）i(x) = √x + 1/x3. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = sin(2x) - cos(2x)（3）h(x) = e^(x^2) + ln(x^3)（4）i(x) = ln(x) + e^x4. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x)cos(x)（3）h(x) = ln(x) + e^x - x（4）i(x) = e^(2x) + ln(x^2)通过以上的练习题，读者可以熟悉导数的计算方法，掌握常用函数的导数运算规则。

在计算导数时，读者需要注意以下几点：1. 基本函数的导数规则：对于多项式函数，求导后，指数降低1，系数不变；对于三角函数，求导后，正弦变余弦，余弦变负正弦；对于指数函数，求导后，底数不变，指数变形式的导数。

2. 乘法法则：若函数为两个函数的乘积，则导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。

3. 除法法则：若函数为两个函数的商，则导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。

函数导数三角函数客观试题及答案

1、(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] A[解析] f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1.2、(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎨⎧x 0≥1lg x 0>1，∴x 0<0或x 0>10.3、函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32]B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案] D[解析] 由4＋3x －x 2>0得，函数f (x )的定义域是(－1，4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4、如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.5、(文)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ，又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1，又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0，综上a 的取值范围为(0,1]．6、(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.7、(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] 由条件知f (0)＝0，∴b ＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.8、(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π[解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎨⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎨⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.9、(理)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .10、(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则实数a＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a＝12，∴a＝－1，选C.11、(文)若关于x 的方程4x ＋(1－a )·2x ＋4＝0有实数解，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－5,5] [答案] B[解析]a－1＝2x＋42x≥22x·42x＝4等号在2x＝42x，即x＝1时成立，∴a≥5.12、(理)(2011·重庆文，6)设a＝log1312，b＝log1323，c＝log343，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a [答案] B[解析]∵a＝log1312，b＝log1323，∵log13x单调递减而12<23∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a. 13、(文)函数f(x)＝|log12x|的图象是()[答案] A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)－log 2x (0<x <1)，故选A. 14、(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．15、函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] 由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.16、设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy .由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y 2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y 2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.17、(理)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35＝－x 35＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．18、(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x12，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即4x －4y ＋1＝0.19、(2011·汕头一检)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－52)B ．(52，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－52，＋∞)[答案] B[解析] 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52，故选B.20、(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时显然不适合题意． ∵f (0)＝－1<0 f (1)＝2a －2∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.21、(理)(2010·吉林市质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．22、(文)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0；当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点，故f (x )共有3个零点．23、(2010·宁夏石嘴山一模)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.24、若a>2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有() A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案] B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a>4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝1>0，f(2)＝113－4a<0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．25、(2011·北京模拟)若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案][－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ，由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解．即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解．即a >1x2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.26、(文)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为()[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.27、(2011·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]2－x x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56. 28、(2010·德州阶段检测) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[答案] C[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2.29、(2011·武汉调研)若cos α＝35，－π2<α<0，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C.30、(文)(2010·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 [答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 31、(理)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 32．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 [答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 33、(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ，∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.34、(理)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25cos 2α的值是( )A.257B.725 C.1625 D.925 [答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 35、已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365 D ．－ 6365[答案] A[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.36、(2011·重庆理，6)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1 D.23[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4， ∴ab ＝43，选A.37、(2011·深圳二调)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°[答案] D[解析] 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.6．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32，又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.38、2011·皖南八校第二次联考)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52C.25 D ．－25 [答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.39、(2011·宁波十校联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．40、已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．120°C ．150°D ．30°或150° [答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.41、(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.42、(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14 [答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.。

导数和三角函数练习题(有答案)

复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为（）A ．1B ．0C D9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象（）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数，所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ）【解析】试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2，当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋，将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭，所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴=10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ）【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数；B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数；C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ(II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。

高三数学函数及导数应用、数列、三角函数测试题

高三数学函数及导数应用、数列、三角函数测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i ii+=++，则θ 的值为（） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 2.条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q⌝是p ⌝的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若不等式222424ax ax x x +-<+对于任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 .A (2,2)- .B (2,2]- .C (,2)[2,)-∞-+∞ .D (,2)-∞- 4．已知||3=a ，||4=b ,2=+p a b ,=-q a b 且17=-⋅p q ，则a 与b 的夹角为.A 60 .B 90 .C 30 .D5. 已知x a a a xlog 10=<<，则方程的实根个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或2个或3个6．函数f (x )= ⎩⎨⎧≥+≤-.1),1(log ,11|,)cos(|22x x x ＜x π 若2)1()(=+f m f ,则m 的所有可能值为A.1，－1 B . 1，0，－1 C ．-,2222 D. 1, -,2222 7．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =8．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是（）A ．21[-，]21B ．21[-，]1C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 9．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，则n 的最大值为（） A ．17B ．18C ．20D ．2310. 曲线y=x sin x 在点)2,2(ππ-处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为（）A.22π B. 2π Ｃ. 22π D. 2)2(21π+11．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜4π时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.（0，1）B.（∞-，0）C.（∞-，1）D.（∞-，21） 12. 如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是：（）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）ABCON Q mKMP13.22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________.14.函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 15．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是。

导数与三角函数交汇36题

导数与三角函数交汇试题1．（2019•石家庄一模）已知函数，（1）求函数f（x）的极小值（2）求证：当﹣1≤a≤1 时，f（x）＞g（x）2．（2019春•常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．3．（2019•大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a 的取值范围．4．（2019•天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1 在区间（2nπ+，2nπ+ ）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．5．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．6．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2 个零点．7．（2019•富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）关于x 的方程f（x）+2cos x＝5 能否有三个不同的实根？证明你的结论8．（2019•北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）≤kx 在x∈[0，+∞）恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）当a＝1，x≥0时，证明：（2+cos x）f′（x）≥2sin x．9．（2019•佛山二模）已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．10．（2019•武汉模拟）（1）求证：x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立；（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．11．（2019•山东模拟）已知函数（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ ）已知点P （x ，xf （x ）），点Q （﹣sin x ，cos x ），设函数时，试判断h（x）的零点个数．12．（2019•衡阳一模）已知函数f（x）＝sin x﹣．（1）若f（x）在[0，]上有唯一极大值点，求实数a 的取值范围；（2）若a＝1，g（x）＝f（x）+e x，且g（x1）+g（x2）＝2（x1≠x2），求证：x1+x2＜0．13．（2019•东城区二模）已知函数f（x）＝x+sin x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cos x 在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．14．（2019•日照模拟）已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：．15．（2019•江苏模拟）定义函数f（x）＝x sin x+k cos x，x∈（0，π）为j（K）型函数，共中K∈Z．（1）若y＝f（x）是j（1）型函数，求函数f（x）的值域；（2）若y＝f（x）是j（0）型函数，求函f（x）极值点个数；（3）若y＝f（x）是j（2）型函数，在y＝f（x）上有三点A、B、C 横坐标分別为x1、x2、x3，其中x1＜x2＜x3，试判断直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小并说明理由．16．（2019•房山区二模）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0 处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调区间；（Ⅲ）当m＞1 时，证明：g（x）在（0，π）上存在最小值．17．（2019春•东莞市期中）已知函数f（x）＝e x cos x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的值域．18．（2019•莆田二模）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0≤a≤1时，证明：xf（x）＞a（sin x+1）．19．（2019•泰安二模）已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（m≤0）．（1）若函数f（x）存在极小值点，求m 的取值范围；（2）证明：f（x+m）＜e x+cos x﹣1．20．（2019春•龙岩期中）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[﹣]．（Ⅰ）求证：f（x）≥0；（Ⅱ）若a对x∈（﹣）恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．21．（2019•昆明模拟）已知函数f（x）＝a（x﹣sin x）（a∈R且a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设，若对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0，求a 的取值范围．22．（2019•安徽模拟）已知函数f（x）＝m tan x+2sin x，x∈[0，），m∈R．（Ⅰ）若函数y＝f（x）在x∈[0，）上是单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当m＝1 时，（i）求函数y＝f（x）在点x＝0 处的切线方程；（ii）若对任意x∈[0，），不等式f（x）≥aln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围．23．（2019•昆明模拟）已知函数f（x）＝e x（x+sin x+a cos x）（a∈R）在点（0，f（0））处切线的斜率为1．（1）求a 的值；（2）设g（x）＝1﹣sin x，若对任意x≥0，都有f（x）+mg（x）≥0，求实数m 的取值范围．24．（2019•江苏一模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1 时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）＝||是单调减函数，求实数a 的取值范围．25．（2019春•龙凤区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若m═﹣e，a∈（e+，+∞），且f（x）≤ax﹣b恒成立，求的最大值（其中e 为自然对数的底数）．26．（2019•石家庄模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥1；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a 的取值范围．27．（2019春•香洲区校级月考）已知函数f（x）＝（1+x）e﹣2x，g（x）＝ax++1+2x cos x，当x∈[0，1]时，（Ⅰ）若函数g（x）在x＝0 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值；（Ⅱ）求证：1﹣x≤f（x）≤；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．28．（2018秋•盐城期末）设f（x）＝x2﹣2ax+1，g（x）＝sin x．（1）若∀x∈[0，1]都有f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若∃x1∈（0，1]，使得对∀x2∈[0，]，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a 的，：取值范围．29．（2019•武侯区校级模拟）已知函数 f （x ）＝x sin x +2cos x +ax +2，其中 a 为常数．（Ⅰ）若曲线 y ＝f （x ）在 x ＝0 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 a 之值；（Ⅱ）若对∀x ∈（0，π），都有π＜f （x ）＜π2，求 a 的取值范围．30．（2018 秋•丰台区期末）已知函数 f （x ）＝x ﹣sin x ．（Ⅰ）求曲线 y ＝f （x ）在点（，f （））处的切线方程；（Ⅱ）求证：当 x ∈（0，）时，0＜f （x ）＜ x 3．31．（2012 秋•保定月考）已知函数．（1）若 a ＝﹣4，求函数 f （x ）的单调区间；（2）设函数，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量的取值 x i （i ＝1，2，3）使得 f （x i ）﹣g （x i ）的值恰好都相等，若存在，请求出 a 的范围，若不存在，请说明理由？32．（2012 春•东湖区校级期中）已知 f （x ）是定义在集合 D 上的函数，且﹣1＜f ′（x ）＜0．（1）若，在[ ]（[ ]⊆D ）上的最大值为，试求不等式|ax +1|＜a 的解集．（2）若对于定义域中任意的 x 1，x 2，存在正数ε，使|x 1﹣1|＜且|x 2﹣1|＜，求证：|f （x 1）﹣f （x 2）|＜ε．33．（2012•井冈山市模拟）已知函数 f （x ）＝2x ﹣π，g （x ）＝cos x ．（1）设 h （x ）＝（f x ）﹣g （x ），若 x 1，x 2∈[﹣ +2k π +2k π（] k ∈Z ），求证≥h （）；（2）若 x 1∈[，π]，且 f （x n +1）＝g （x n ），求证：|x 1﹣|+|x 2﹣|+…+|x n ﹣| ＜．34．（2013•北京）已知函数 f （x ）＝x 2+x sin x +cos x ．（Ⅰ）若曲线 y ＝f （x ）在点（a ，f （a ））处与直线 y ＝b 相切，求 a 与 b 的值；（Ⅱ）若曲线 y ＝f （x ）与直线 y ＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．35．（2013•泉州二模）定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x）．若对∀x∈D，均有f （x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．（Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；（Ⅱ）已知函数g（x）＝ax+a﹣1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a的取值范围；（Ⅲ）已知函数h（x）＝sin x+ax+a﹣1（a∈R，x∈[0，π]）为其定义域上的梦想函数，求a 的最大整数值．36．（2013•枣庄二模）设f（x）＝ax+cos x（x∈R）．（1）若，试求出函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x≥0，都有x+sin2x+cos x≤f（x）成立，求实数a 的取值范围．答案解析：1.【解答】解：（1）f′（x）＝﹣＝，（x∈（0，+∞））．当a﹣1≤0时，即a≤1时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极小值；当a﹣1＞0时，即a＞1时，f′（x）＜0，解得0＜x＜a﹣1，函数f（x）在（0，a﹣1）上单调递减．f′（x）＞0，解得x＞a﹣1，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上单调递增．∴x＝a﹣1时，函数f（x）取得极小值，f（a﹣1＝1+ln（a﹣1）．综上所述，当a≤1时，f（x）无极小值；当a＞1时，f（x）极小值＝1+ln（a﹣1）．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+﹣＝，x∈（0，+∞）．当﹣1≤a≤1时，要证f（x）＞g（x），即证F（x）＞0，即xlnx﹣a sin x+1＞0，即证xlnx＞a sin x﹣1．①当0＜a≤1时，令h（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x≥0，所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x．∴ax﹣1＞a sin x﹣1，令u（x）＝xlnx﹣x+1，u′（x）＝lnx，当x∈（0，1），u′（x）＜0，u（x）在（0，1）上单调递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）在（1，+∞）上单调递增．又∵0＜a≤1，∴xlnx≥x﹣1≥ax﹣1．由上面可知：xlnx≥x﹣1≥ax﹣1＞a sin x﹣1，所以当0＜a≤1，∴xlnx＞a sin x﹣1．②当a＝0时，即证xlnx＞﹣1．令v（x）＝xlnx，v′（x）＝lnx+1，可得v（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，v（x）min＝v（）＝﹣＞﹣1，故xlnx＞﹣1．③当﹣1≤a＜0时，当x∈（0，1]时，a sin x﹣1＜﹣1，由②知v（x）＝xlnx≥﹣，而﹣＞﹣1，故xlnx＞a sin x﹣1．当x∈（1，+∞）时，a sin x﹣1≤0，由②知v（x）＝xlnx＞v（1）＝0，故xlnx＞a sin x﹣1；所以，当x∈（0，+∞）时，xlnx＞a sin x﹣1．综上①②③可知，当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x）．2.①答案:(1)函数f(x)=e x cos x−x的导数为f′(x)=e x(cos x−sin x)−1，可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0−sin0)−1=0，切点为(0,e0cos0−0),即为(0,1)，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1；(2)函数f(x)=e x cos x−x的导数为f′(x)=e x(cos x−sin x)−1，令g(x)=e x(cos x−sin x)−1，则g(x)的导数为g′(x)=e x(cos x−sin x−sin x−cos x)=−2e x⋅sin x，当x∈[0,π/2],可得g′(x)=−2e x⋅sin x⩽0，即有g(x)在[0,π/2]递减,可得g(x)⩽g(0)=0，则f(x)在[0,π/2]递减，即有函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值为f(0)=e0cos0−0=1；最小值为f(π/2)=eπ/2cosπ/2−π/2=−π/2.②分析:（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g （x）在区间[0，π/2]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f （x）的最值．（2）由f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性知：f′（x）=0的解在[0，1]上，根据零点存在定理可得一不等式，解出即可；（3）问题即为证明a＞0且x＞-1时，e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1），先利用导数证明e x≥x+1，再根据不等式的性质即可证明原不等式；【解析】（1）f′（x）=（2e x-2e）e x=0，得x=1，当x＜1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=1为唯一极小值点，也是最小值点，所以f（x）的最小值为f（1）=-e2；（2）因为f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性，则有f′（x）=0的解在[0，1]上，即2e x+a=0的解在[0，1]上．记h（x）=2e x+a，则h（0）•h（1）≤0，解得-2e≤a≤-2，所以a的取值范围为[-2e，-2]；（3）即证明a＞0且x＞-1时，e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1），现证明e x≥x+1，记g（x）=e x-（x+1），令g′（x）=e x-1=0，得x=0，当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以x=0为唯一极小值点，也即最小值点，∴g（x）≥g（0）=0，∴e x≥x+1，所以a＞0且x＞-1时，e2x≥（x+1）2，ae x≥a（x+1），∴e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1）．36.4.。

函数导数、三角函数、不等式(二)：高考数学一轮复习基础必刷题

函数导数、三角函数、不等式（二）：高考数学一轮复习基础必刷题姓名：___________��班级：___________��学号：___________一、单选题1．函数41y x =-的定义域为（）A ．[)0,1B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．[)()0,11,+∞ 2．设a >0，b >0，化简2115113366221()()()3a ab a ⋅-÷的结果是（）A ．2313a -B ．233a -C ．13a-D ．-3a 3．已知不等式240x ax ++ 的解集为,R 则a 的取值范围是（）A ．[]4,4-B ．()4,4-C ．][(),44,∞∞--⋃+D ．()(),44,-∞-+∞ 4．曲线31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为（）A ．33y x =+B ．31y x =+C ．31y x =--D ．33y x =--5．下列命题中正确的是（）A ．若0ab >，a b >，则11a b<B ．若a b <，则22ac bc <C ．若a b >，c d >，则a c b d ->-D ．若a b >，c d <，则a b c d>6．下列判断正确的是（）A ．命题“对顶角相等”的逆命题是真命题B ．命题“若1x <，则21x >”的否命题是“21x <，则1x <”C ．“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的必要不充分条件D ．“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件7．已知集合{lg(2)}A xy x ==-∣，{}2120B x x x =--<∣，则A B = （）A ．()2,4B ．()3,4-C ．()2,3D ．()4,3-8．已知函数21()23ln 2f x x x x =+-，则()f x 的单调递减区间是（）A ．(3,1)-B ．(0,1)C ．(,3)(1,)-∞-+∞ D ．(1,)+∞9．已知函数f （x ）＝sin （ωx +2φ）﹣2sinφcos （ωx +φ）（ω＞0，φ∈R ）的图象的相邻两条对称轴相距2π个单位，则ω＝（）A ．1B ．12C ．13D ．210．公元前6世纪，古希腊毕达哥拉斯学派在研究正五边形和正十边形的作图时，发现了黄金分割数12，其近似值为0.618，这是一个伟大的发现，这一数值也表示为2sin18a =，若24a b +=，则21cos 72a b=-（）A ．12B ．2CD ．411．已知不等式5132-≤-x x 的解集为A ，关于x 的不等式2220-+>ax x 的解集为B ，且⊆ A B B ，则实数a 的取值范围为（）A ．(0,)+∞B ．1,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．2,9⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭12．设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（）A ．,12⎫⎪⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．0,2⎛ ⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦二、填空题13．若1tan 3α=-，则3sin 2cos 2sin cos αααα+=-_______.14．已知关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，则b 的值为______．15．已知tan 312πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______.16．已知偶函数()f x 在(0,)+∞上是减函数，且(1)0f -=，则()0f x x<的解集__________三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.18．已知312sin ,,,cos ,5213πααπββ⎛⎫=∈=- ⎪⎝⎭是第三象限角，求（1）cos α与sin β的值；（2）cos()αβ-．19．已知函数()()21ln 12f x a x x a x =+-+.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)若f (x )≥0对定义域内的任意x 恒成立，求实数a 的取值范围.20．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)（1）若2a =，求()f x 在21,e ⎡⎤⎣⎦的最值；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.21．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足cos cos 2cos a B b A c B +=，b .（1）求B ；（2）若2a c -=，求ABC 的面积.22．设函数22()3ln 1f x a x ax x =+-+，其中0a >.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()y f x =的图象与x 轴没有公共点，求a 的取值范围.参考答案：1．D 【解析】【分析】由题意列不等式组求解【详解】由题意得2010x x ≥⎧⎨-≠⎩，解得0x ≥且1x ≠，故选：D 2．D 【解析】【分析】由分数指数幂的运算性质可得结果.【详解】因为0a >，0b >，所以2115211115113366326326221()()()333a b a b b a ba +-+-⋅-÷=-⋅=-.故选：D.3．A 【解析】【分析】利用判别式小于等于零列不等式求解即可.【详解】因为不等式240x ax ++ 的解集为,R 所以2Δ4140a =-⨯⨯ ，解得44a -，所以a 的取值范围是[]4,4-，故选：A.4．A 【解析】【分析】求出导函数，进而利用导数的几何意义得到切线的斜率，再求出a 的值，利用点斜式求出切线方程.【详解】()23f x x '=，所以()13f '-=，又当1x =-时，31110a x =+=-+=，所以31y x =+在点(1,)a -处的切线方程为：()31y x =+，即33y x =+故选：A 5．A 【解析】【分析】利用不等式的基本性质可判断A 选项，利用特殊值法可判断BCD 选项.【详解】因为0ab >，a b >，所以a b ab ab >，即11a b<，所以A 正确；若a b <，0c =，则22ac bc =，所以B 错误；取2a c ==，1b d ==，则a c b d -=-，所以C 错误；取2a =，1b =，2c =-，1d =-，则a bc d=，所以D 错误.故选：A.6．D 【解析】【分析】逐项进行判断，根据逆命题、否命题、充分条件、必要条件的定义进行判断即可.【详解】对A ，命题“对顶角相等”的逆命题为：“相等的两个角为对顶角”，假命题，故错；对B ，命题“若1x >，则21x >”的否命题是“1x ≤，则21x ≤”，故错；对C ，()22cos sin sin 2f x ax ax ax =-=，最小正周期为π，所以212a aππ=⇒=±所以“1a =”是“函数()22cos sin f x ax ax =-的最小正周期是π”的充分不必要条件，故错；对D ，函数()2f x ax bx c =++是偶函数，则函数不含有奇次项，所以0b =故“0b =”是“函数()2f x ax bx c =++是偶函数”的充要条件.7．A 【解析】【分析】求出集合,A B 可得A B .【详解】(2,)A =+∞，(3,4)B =-，故(2,4)A B ⋂=，故选：A.8．B 【解析】【分析】利用导数研究()f x 的单调递减区间.【详解】由题设，2323()2x x f x x x x+-'=-+=，又定义域为(0,)+∞，令()0f x '<，则223(3)(1)0x x x x +-=+-<，解得31x -<<，故01x <<，∴()f x 在(0,1)上递减.故选：B.9．D 【解析】【分析】分析角度的关系将sin(2)x ωϕ+展开,再合一变形求得()f x 的解析式,再根据图象的相邻两条对称轴相距2π个单位求得周期再求ω即可.【详解】()sin(2)2sin cos()sin()cos cos()sin 2sin cos ()f x x x x x x ωϕϕωϕωϕϕωϕϕϕωϕ=+-+=+++-+()sin()cos sin cos()sin sin x x x x ωϕϕϕωϕωϕϕω=+-+=+-=⎡⎤⎣⎦.即()f x =sin xω又图象的相邻两条对称轴相距2π个单位,故()f x 的周期为π.故22ππωω=⇒=.故选：D本题主要考查了三角函数的和差角公式以及周期的求法,属于基础题型.10．B 【解析】【分析】根据同角三角函数平方关系可求得24cos 18b = ，利用二倍角公式化简所求式子即可得到结果.【详解】2sin18a = ，()2222444sin 1841sin 184cos 18b a ∴=-=-=-=，22222216sin 18cos 184sin 3621cos 72112sin 362sin 36a b ===--∴+.故选：B.11．B 【解析】【分析】解出不等式5132-≤-x x 可得集合A ，由⊆ A B B 可得A B ⊆，然后可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，然后分离参数求解即可.【详解】由5132-≤-x x 得51032x x --≤-，()7023x x -≤-，解得37x <≤，因为⊆ A B B ，所以A B⊆所以可得2220-+>ax x 在(3,7]x ∈上恒成立，即222->x a x 在(3,7]x ∈上恒成立，故只需2max 22-⎛⎫> ⎪⎝⎭x a x ，222211111111,,2241673-⎛⎫⎡⎫=-+=--+∈ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭x x x x x x ，当114x =时，2max 21216-⎛⎫= ⎪⎝⎭x x ，故116a >．故选：B 12．C 【解析】【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【详解】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max 4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即02e <≤；当32b b c->-，即22b c <时，42222max b PB a b c =++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．13．35-【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，分子、分母同除以cos α即可求解.【详解】将原式分子、分母同除以cos α3sin 2cos 3tan 212322sin cos 2tan 1513αααααα++-+===-----故答案为：35-【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、齐次式，属于基础题.14．2【解析】【分析】由题意可得1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，由根与系数的关系可得321,1b b a a+=⨯=，从而可求出b 的值【详解】因为关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{1x x <或}x b >，所以1和b 是方程2320ax x -+=的两个根，所以321,1b b a a+=⨯=，解得1,2a b ==，故答案为：215．12-【解析】【分析】tan tan 6124πππαα⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后算出即可.【详解】tan tan1124tan tan 612421tan tan 124ππαπππααππα⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=-+==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭.故答案为：12-【点睛】本题考查正切函数的和差公式，找出已知角与所求角的关系是解题的关键.16．(1,0)(1,)-È+¥【解析】【分析】分0x >和0x <两种情况讨论x 的范围，根据函数的单调性可得到答案.【详解】因为()f x 是偶函数，且(1)0f -=，所以(1)(1)0f f =-=，又()f x 在(0,)+∞上是减函数，所以()f x 在(,0)-∞上是增函数，①当0x >时，由()0f x x<得()0f x <，又由于()f x 在(0,)+∞上为减函数，且(1)0f =，所以()(1)f x f <，得1x >；②当0x <时，由()0f x x<得()>0f x ，又(1)0f -=，()f x 在(,0)-∞上是增函数，所以()>(1)f x f -，所以10x -<<.综上，原不等式的解集为：(1,0)(1,)-È+¥.故答案为：(1,0)(1,)-È+¥.【点睛】方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且()() f x f x -=-.偶函数在对称区间上的单调性相反，且()()() f x f x f x =-=..17．（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49-【解析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间；（2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值.【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题.18．（1）4cos =5α-，5sin 13β=-；（2）3365【解析】【分析】（1）根据平方关系计算即可得出cos α，sin β；（2）由（1）的结果，结合两角差的余弦公式求解即可.【详解】（1）由3sin 5α=，,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得4cos 5α=-.又由12cos 13b =-，β是第三象限角，得5sin 13β===-.（2）由（1）得4123533cos()cos cos sin sin 51351365αβαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+=-⨯-+⨯-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.19．(1)答案见解析(2)12a ≤-【解析】【分析】（1）求导数，然后对a 进行分类讨论，利用导数的正负，可得函数()f x 的单调区间；（2）利用（1）中函数的单调性，求得函数在1x =处取得最小值，即可求实数的取值范围.(1)解：求导可得()(1)()(0)>'--=x a x f x x x①0a ≤时，令()0f x '<可得1x <，由于0x >知01x <<；令()0f x '>，得1x >∴函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；②01a <<时，令()0f x '<可得1<<a x ；令()0f x '>，得1x >或x a <，由于0x >知0x a <<或1x >；∴函数()f x 在(,1)a 上单调递减，在(0,),(1,)+∞a 上单调递增；③1a =时，()0f x '≥，函数()y f x =在(0,)+∞上单调递增；④1a >时，令()0f x '<可得1x a <<；令()0f x '>，得x a >或1x <，由于0x >知01x <<或x a>∴函数()f x 在(1,)a 上单调递减，在(0,1),(,)+∞a 上单调递增；(2)由（1）0a ≥时，1(1)02f a =--<，（不符合，舍去）当0a <时，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故函数在1x =处取得最小值，所以函数()0f x ≥对定义域内的任意x 恒成立时，只需要(1)0f ≥即可∴12a ≤-.综上，12a ≤-.20．（1）最小值为 2e -，最大值为2；（2）(],1ln 2-∞+.【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而得到函数的最小值，再求出区间端点的函数值，即可求出函数在区间上的最大值；（2）首先求出函数的定义域，参变分离，即可得到2ln x a x +≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，利用导数研究函数的单调性，即可求出函数的最小值，从而得解；【详解】（1）当2a =时，() ln 22=-+f x x x x ，()ln 1f x x '=-由()0f x '<得0 x e <<，由()0f x '>得x e >，所以()f x 在()0,e 上单调递减，在()e +∞，上单调递增，且() ln 2 2 2=-+=-f e e e e e ，() 1 1ln12 2 0f =-+=，()2222 ln 2 2 2-+==f e e e e 则函数()f x 在区间21,e ⎡⎤⎣⎦上的最小值为 2e -，最大值为2.（2）由题得函数的定义域为()0,∞+，若()0f x ≥恒成立，则ln 20x x ax -+≥，即2ln x a x+≥恒成立，令()2 ln =+g x x x ，则()22122 x g x x x x -'=-=，当02x <<时，()0g x '<；当2x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，则()min 21ln 2()==+g x g ，所以1ln 2a ≤+，故a 的取值范围为(],1ln 2-∞+.21．（1）3π；（2【解析】（1）利用正弦定理的边角互化以及两角和的正弦公式可得sin()2sin cos A B C B +=，再利用三角形的内角和性质以及诱导公式即可求解.（2）根据余弦定理求出3ac =，再由三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1）由正弦定理知sin cos sin cos 2sin cos A B B A C B +=，sin()2sin cos A B C B +=，因为,(0,)A B C C ππ+=-∈，所以sin 2sin cos C C B =，由sin 0C ≠，故1cos 2B =.因为(0,)B π∈，所以3B π=.（2）由余弦定理及2a c -=知2222cos b a c ac B =+-.227a c ac ∴+-=，2()7a c ac ∴-+=，47ac ∴+=，3ac ∴=.11sin 32224ABC S ac B ∴==⨯⨯= .22．（1）()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭；（2）1a e >.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，讨论其符号后可得函数的单调性.（2）根据()10f >及（1）的单调性性可得()min 0f x >，从而可求a 的取值范围.【详解】（1）函数的定义域为()0,∞+，又()23(1)()ax ax f x x+-'=，因为0,0a x >>，故230ax +>，当10x a<<时，()0f x '<；当1x a >时，()0f x '>；所以()f x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,+a ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭.（2）因为()2110f a a =++>且()y f x =的图与x 轴没有公共点，所以()y f x =的图象在x 轴的上方，由（1）中函数的单调性可得()min 1133ln 33ln f x f a a a ⎛⎫==-=+ ⎪⎝⎭，故33ln 0a +>即1a e>.【点睛】方法点睛：不等式的恒成立问题，往往可转化为函数的最值的符号来讨论，也可以参变分离后转化不含参数的函数的最值问题，转化中注意等价转化.。

高中数学三角函数与导数综合题精选

高中数学三角函数与导数综合题精选1（14，北京理，18）已知函数()cos sin ,0,2f x x x x x π⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦. （1）求证：()0f x（2）若sin x a b x <<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，求a 的最大值与的最小值.2（17，北京理，19）已知函数()cos xf x e x x =-. （1）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.3（2017山东）已知函数()22cos f x x x =+，()()cos sin 22x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e =是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())f ππ处的切线方程；（Ⅱ）令()()()h x g x af x =-()a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．4（2020福州二检）已知函数()()sin cos x f x x x x e =+-.（Ⅰ）若()'f x 为()f x 的导函数，且()()()'g x f x f x =-，求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若0x ≥，证明：()21f x x ≥-．5已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点； ()2()2f x .（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈- 1.4142≈， 3.14π≈.）6（19年全国1卷，20）已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．7 （2013福建）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的周期为π，图像的一个对称中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），在将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像． (1)求函数()f x 与()g x 的解析式； (2)是否存在0(,)64x ππ∈，使得0000(),(),()()f x g x f x g x 按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定0x 的个数；若不存在，说明理由．(3)求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2013个零点．8 (2016年全国Ⅲ) 设函数()cos 2(1)(cos 1)f x x x αα=+-+，其中0α>，记|()|f x 的最大值为A ．（Ⅰ）求()f x '；（Ⅱ）求A ；（Ⅲ）证明|()|2f x A '≤．9 设函数()sin ()f x x x x =∈R .（1）求证：(2)()2sin f x k f x k x ππ+-=，其中k 为整数；（2）设0x 为()f x 的一个极值点，求证：()42021x f x x =+ （3）设()f x 在(0,)+∞上的全部极值点按从小到大的顺序排列为12,,,,n a a a ⋯⋯，求证：1(1,2,)2n n a a n ππ+<-<=.。

2012-2019年导数与三角函数交汇真题汇编(含答案解析)

2012-2019年导数与三角函数交汇真题汇编（含答案解析） 2019全国新课标I 卷理2020．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点；（2）()f x 有且仅有2个零点．20．解：（1）设()()g x f 'x =，则1()cos 1g x x x=-+，21sin ())(1x 'x g x =-++.当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()g'x 单调递减，而(0)0,()02g'g'π><，可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点，设为α.则当(1,)x α∈-时，()0g'x >；当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g'x <. 所以()g x 在(1,)α-单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点，即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.（2）()f x 的定义域为(1,)-+∞.（i ）当(1,0]x ∈-时，由（1）知，()f 'x 在(1,0)-单调递增，而(0)0f '=，所以当(1,0)x ∈-时，()0f 'x <，故()f x 在(1,0)-单调递减，又(0)=0f ，从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.（ii ）当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知，()f 'x 在(0,)α单调递增，在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，而(0)=0f '，02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()0f 'β=，且当(0,)x β∈时，()0f 'x >；当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增，在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减. 又(0)=0f ，1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x >.从而，()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点. （iii ）当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0f 'x <，所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()0f π<，所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.（iv ）当(,)x ∈π+∞时，ln(1)1x +>，所以()f x <0，从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上，()f x 有且仅有2个零点.2019全国新课标I 卷文2020．已知函数f (x )=2sin x -x cos x -x ，f ′(x )为f (x )的导数．（1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．20．解：（1）设()()g x f x '=，则()cos sin 1,()cos g x x x x g x x x '=+-=. 当π(0,)2x ∈时，()0g x '>；当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，所以()g x 在π(0,)2单调递增，在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又π(0)0,0,(π)22g g g ⎛⎫=>=-⎪⎝⎭，故()g x 在(0,π)存在唯一零点. 所以()f x '在(0,π)存在唯一零点.（2）由题设知(π)π,(π)0f a f =…，可得a ≤0.由（1）知，()f x '在(0,π)只有一个零点，设为0x ，且当()00,x x ∈时，()0f x '>；当()0,πx x ∈时，()0f x '<，所以()f x 在()00,x 单调递增，在()0,πx 单调递减. 又(0)0,(π)0f f ==，所以，当[0,π]x ∈时，()0f x ….又当0,[0,π]a x ∈„时，ax ≤0，故()f x ax ….因此，a 的取值范围是(,0]-∞.5、（2017•山东）已知函数f （x ）=x 2+2cosx ，g （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分）（Ⅰ）求曲线y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程；（Ⅱ）令h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）（a ∈R ），讨论h （x ）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．5、【答案】解：（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．f′（x ）=2x ﹣2sinx ，∴f′（π）=2π． ∴曲线y=f （x ）在点（π，f （π））处的切线方程为：y ﹣（π2﹣2）=2π（x ﹣π）．化为：2πx ﹣y ﹣π2﹣2=0．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ） h′（x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）+e x （﹣sinx ﹣cosx+2）﹣a （2x ﹣2sinx ） =2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则u′（x ）=1﹣cosx≥0，∴函数u （x ）在R 上单调递增． ∵u （0）=0，∴x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．（i ）a≤0时，e x ﹣a ＞0，∴x ＞0时，h′（x ）＞0，函数h （x ）在（0，+∞）单调递增； x ＜0时，h′（x ）＜0，函数h （x ）在（﹣∞，0）单调递减． ∴x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．（ii ）a ＞0时，令h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）=0．解得x 1=lna ，x 2=0．①0＜a ＜1时，x ∈（﹣∞，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增； x ∈（lna ，0）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； x ∈（0，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增． ∴当x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]． ②当a=1时，lna=0，x ∈R 时，h′（x ）≥0，∴函数h （x ）在R 上单调递增．③1＜a 时，lna ＞0，x ∈（﹣∞，0）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增； x ∈（0，lna ）时，e x ﹣e lna ＜0，h′（x ）＜0，函数h （x ）单调递减； x ∈（lna ，+∞）时，e x ﹣e lna ＞0，h′（x ）＞0，函数h （x ）单调递增． ∴当x=0时，函数h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]．综上所述：a≤0时，函数h （x ）在（0，+∞）单调递增；x ＜0时，函数h （x ）在（﹣∞，0）单调递减． x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣1﹣2a ．0＜a ＜1时，函数h （x ）在x ∈（﹣∞，lna ）是单调递增；函数h （x ）在x ∈（lna ，0）上单调递减．当x=0时，函数h （x ）取得极小值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极大值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]．当a=1时，lna=0，函数h （x ）在R 上单调递增．a ＞1时，函数h （x ）在（﹣∞，0），（lna ，+∞）上单调递增；函数h （x ）在（0，lna ）上单调递减．当x=0时，函数h （x ）取得极大值，h （0）=﹣2a ﹣1．当x=lna 时，函数h （x ）取得极小值，h （lna ）=﹣a[ln 2a ﹣2lna+sin （lna ）+cos （lna ）+2]．【考点】导数的加法与减法法则，导数的乘法与除法法则，函数的单调性与导数的关系，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【分析】（Ⅰ）f （π）=π2﹣2．f′（x ）=2x ﹣2sinx ，可得f′（π）=2π即为切线的斜率，利用点斜式即可得出切线方程．（Ⅱ）h （x ）=g （x ）﹣a f （x ）=e x （cosx ﹣sinx+2x ﹣2）﹣a （x 2+2cosx ），可得h′（x ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣a ）=2（x ﹣sinx ）（e x ﹣e lna ）．令u （x ）=x ﹣sinx ，则u′（x ）=1﹣cosx≥0，可得函数u （x ）在R 上单调递增．由u （0）=0，可得x ＞0时，u （x ）＞0；x ＜0时，u （x ）＜0．对a 分类讨论：a≤0时，0＜a ＜1时，当a=1时，a ＞1时，利用导数研究函数的单调性极值即可得出．17.（2015湖南理21（1））已知0a >，函数()[)()e sin 0,axf x x x =∈+∞. 记n x 为()f x 的从小到大的第n ()*n ∈N 个极值点，证明：数列(){}nf x 是等比数列.● 17. 解析 ()e sin e cos e (sin cos )axaxaxf x a x x a x x '=+=+● e sin()ax x ϕ=+，其中a 1tan =ϕ，π02ϕ<<. ● 令 ()0f x '=，由0x …得 πx m ϕ+=，即*π,x m m ϕ=-∈N .● 对k ∈N ，若2π(21)πk x k ϕ<+<+，即2π(21)πk x k ϕϕ-<<+-，则()0f x '>；● 若(21)π(22)πk x k ϕ+<+<+，即(21)π(22)πk x k ϕϕ+-<<+-，则()0f x '<. ● 因此，在区间((1)π,π)m m ϕ--与(π,π)m m ϕ-上，)('x f 的符号总相反， ● 于是，当*π,x m m ϕ=-∈N 时，)(x f 取得极值，所以*π,n x n n ϕ=-∈N .● 此时，()1()()esin(π)(1)e a n n a n n f x n πϕπϕϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， ● 且2[(1)π]π11(π)()(1)e e ()(1)en a n a n n a n n f x f x ϕϕ++-++--==--是常数， 21.（2016全国丙理21）设函数()cos2(1)(cos +1)f x a x a x =+-，其中0a >，记()f x 的最大值为A . （1）求()f x '；（2）求A ；（3）证明2.f x A '（）„21.解析 (1)()()2sin 21sin f x a x a x '=---.（2）当1a …时，()()()()()cos21cos 121320f x a x a x a a a f =+-++-=-=≤.因此32A α=-.当01a <<时，将()f x 变形为()()22cos 1cos 1f x a x a x =+--. 令()()2211g t at a t =+--，则A 是()g t 在[]1,1-上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为. 令，解得且，所以. （i ）当时，在内无极值点，，，，所以.()1g a -=()132g a =-14at a-=()g t ()2211611488a a a a g a a a --++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭1114a a --<<13a >-15a >15a >105a <„()g t ()1,1-()1g a -=()123g a =-()()11g g -<23A a =-（ii ）当时，在同一坐标中画出函数，，在上的图像.由上图，我们得到如下结论当时，.综上，. （3）由（1）得.当时，；当时，，所以；当时，.所以；综上所述有.25.（2017山东理20）已知函数，，其中是自然对数的底数.（1）求曲线在点处的切线方程；115a <<y x =32y x =-2618x x y x ++=1,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭115a <<2618a a A a++=2123,05611,18532,1a a a a a a a a ⎧-<⎪⎪++⎪<<⎨⎪->⎪⎪⎩„()()2sin21sin 21f x a x x a a α'=---+-„105a <„()()1242232f x a a a A '+-<-=??115α<<131884a A a =++…()12f x a A '+<?1a ≥()31642f x a a A '--=??()2f x A '„()2f x A '„()22cos f x x x =+()()e cos sin 22x g x x x x =-+-e 2.71828=L ()y f x =()(),f ππ（2）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.25.解析（1）由题意，又，所以，因此曲线在点处的切线方程为，即.（2）由题意得，因为，令，则，所以在上单调递增. 因为，所以当时，；当时，. （i ）当时，.当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增，所以当时，取得极小值，极小值为；（ii ）当时，，由，得，. ① 当时，，当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增. 所以当时，取得极大值，极大值为，()()()()h x g x af x a =-∈R ()h x ()22f π=π-()22sin f x x x '=-()2f 'π=π()y f x =()(),f ππ()()222y x -π-=π-π222y x =π-π-2()e (cos sin 22)(2cos )x h x x x x a x x =-+--+()()()()e cos sin 22e sin cos 222sin x xh x x x x x x a x x '=-+-+--+--=()()2e sin 2sin x x x a x x ---()()2e sin x a x x =--()sin m x x x =-()1cos 0m x x '=-…()m x R (0)0m =0x >()0m x >0x <()0m x <0a „e x a -0>0x <()0h x '<()h x (),0-∞0x >()0h x '>()h x ()0,+∞0x =()h x ()021h a =--0a >()()()ln 2e esin x ah x x x '=--()0h x '=1ln x a =2=0x 01a <<ln 0a <(),ln x a ∈-∞()0h x '>()h x ()ln ,0x a ∈()0h x '<()h x ()0,x ∈+∞()0h x '>()h x ln x a =()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦当时，取得极小值，极小值是； ②当时，，所以当时，，函数在上单调递增，无极值点； ② 当时，，所以当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；所以当时，取得极大值，极大值为；当时，取得极小值，极小值为.综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，极小值为；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是；当时，函数在上单调递增，无极值；当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，函数有极大值，也有极小值，极大值是，极小值是.26.(2017北京理19)19.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；0x =()h x ()021h a =--1a =ln 0a =(),x ∈-∞+∞()0h x '…()h x (),-∞+∞1a >ln 0a >(),0x ∈-∞()0h x '>()h x ()0,ln x a ∈()0h x '<()h x ()ln ,x a ∈+∞()0h x '>()h x 0x =()h x ()021h a =--ln x a =()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦0a „()h x (),0-∞()0,+∞()h x ()021h a =--01a <<()h x (),ln a -∞()0,+∞()ln ,0a ()h x ()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦()021h a =--1a =()h x (),-∞+∞1a >()h x (),0-∞()ln ,a +∞()0,ln a ()h x ()021h a =--()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ⎡⎤=--+++⎣⎦()e cos xf x x x =-()y f x =()()0,0f（2）求函数在区间上的最大值和最小值.26.解析（1）因为，所以，. 又因为，所以曲线在点处的切线方程为.（2）设，则. 当时，，所以在区间上单调递减. 所以对任意，有，即. 所以函数在区间上单调递减.因此在区间上的最大值为，最小值为.10.（2014 辽宁理 21）（本小题满分12分）已知函数()()()cos 2f x x x x =-π+-()8sin 13x +，()()()23πcos 41sin ln 3x g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪π⎝⎭.证明：（1）存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使()00f x =；（1）存在唯一1,2x π⎛⎫∈π⎪⎝⎭，使()10g x =，且对（1）中的01x x +<π. 16.【2012高考真题全国卷理20】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）设函数f （x ）=ax+cosx ，x ∈[0，π].（Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）设f （x ）≤1+sinx ，求a 的取值范围. 【答案】()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()e cos x f x x x =-()e (cos sin )1x f x x x '=--(0)0f '=(0)1f =()y f x =(0,(0))f 1y =()e (cos sin )1xh x x x =--()e (cos sin sin cos )2e sin xxh x x x x x x '=---=-π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0h x '<()h x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()(0)0h x h =„()0f x '„()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦(0)1f =ππ22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2013）北京文已知函数2()sin cos f x x x x x =++（1）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值。

导数和三角函数练习题(有答案)

复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln 0.5b =，0.50.6c =．则（）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为（）A ．1B ．0 C9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x f C ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f 10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象（）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数，所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ）【解析】试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2，当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋，将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭，所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴= 10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ）【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数； B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数； C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i n 2α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫⎝⎛+=62sin 2πx 令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。

专题25 导数中的三角函数问题(解析版)

专题25导数中的三角函数问题1．已知函数()e (sin cos )x f x x x kx =++，R k ∈，()(),()().g x f x h x g x ''==(1)已知(0)(0)f h =，求k 的值；(2)是否存在k ，使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立？说明理由.【解析】(1)因为()()()e 2cos x g x f x x kx k '==++，()()()e 2cos 2sin 2xh x g x x x kx k '==-++，所以()022h k =+，而()01f =，由221k +=解得12k =-．(2)对任意R x ∈，()2()2()0h x g x f x -+=恒成立，即()()e 2cos 2sin 22e 2cos 2e (sin cos )0x x x x x kx k x kx k x x kx -++-+++++=，化简可得，0kx =，所以0k =时，可使得对任意R x ∈，恒有()2()2()0h x g x f x -+=成立．2．设函数()sin x f x e a x b =++.（1）若()f x 在0x =处的切线为10x y --=，求,a b 的值；（2）当[)1,0,a x =∈+∞时，()0f x ≥恒成立，求b 的范围.【解析】（1）由()sin x f x e a x b =++得：()cos x f x e a x =+'，且()01f b =+.由题意得：()001f e a '=+=，即0a =，又()0,1b +在切线10x y --=上.∴0110b ---=，得2b =-.（2）当1a =时，()sin x f x e x b =++，得()cos xf x e x '=+，当[)0,x ∈+∞时，[]1,cos 1,1xe x ≥∈-，当cos 1x =-时，2,x k k N ππ=+∈，此时e 1x >.∴()0f x ¢>，即()f x 在[)0,+∞上单调递増，则()()min 01f x f b ==+，要使()0f x ≥恒成立，即10b +≥，∴1b ≥-.3．设函数()2cos ,x f x e a x a =+∈R ．（1）若()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，求实数a 的取值范围；（2）证明：当[]1,2,0,2a x π⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭时，()23f x x +．【解析】（1）设()2,()cos x g x e h x a x ==，因为当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()g x 为增函数，当0a ≥时，0()h x a ≤≤，22()2g x e π<<，所以()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒大于零，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不存在零点，当0a <时，()h x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为增函数，根据增函数的和为增函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上为单调函数，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上若有零点，则仅有1个，所以(0)()02f f π<，即2(2)20a e π+⋅<，解得2a <-，所以实数a 的取值范围(,2)-∞-（2）证明：设()()232cos 23x G x f x x e a x x =--=+--，则'()2sin 2x G x e a x =--，则'0(0)2sin 020G e a =--=，所以''()2cos xG x e a x ⎡⎤=-⎣⎦，因为[1,2]a ∈，所以''()0G x ⎡⎤≥⎣⎦，所以'()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增，'()0G x >在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()G x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上递增，而(0)231G a a =+-=-，因为[1,2]a ∈，所以(0)0G ≥，所以()0G x ≥恒成立，所以当[1,2]a ∈时，()23f x x +4．已知函数()sin ,[0,],0x f x ae x x x a π=++∈<.（1）证明：当1a =-时，函数()f x 有唯一的极大值；（2）当()21f x x <-恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）证明：()e cos 1x f x a x '=++，因为[]0,x π∈，所以1cos 0x +≥，当1a =-时，()cos 1x f x e x '=-++，令()e cos 1,()e sin 0x x g x x g x x '=-++=--<，()g x 在区间[]0,π上单调递减；(0)121,()e 0g g ππ=-+==-<，存在()00,π∈x ，使得()00f x '=，所以函数()f x 递增区间是[]00,x ，递减区间是[]0,x π.所以函数()f x 存在唯一的极大值()0f x .（2）由()21f x x <-，即令()e sin 10,0,()e cos 10'=+-+<<∴=+-<x x h x a x x a h x a x ，()h x ∴在区间[]0,π上单调减函数，()(0)1≤=+h x h a ，只要10a +<即可，即1a <-.5．已知函数()cos x f x e x ax =--．（1）当a=2时，证明：()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）若对任意x≥0，()cos f x x x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：当a=2时，函数()cos 2x f x e x x =--，()sin 2x f x e x '=+-，若0x <，则1x e <，．因为sin 1x <，所以()sin 20x f x e x '=+-<，故()f x 在(),0-∞上单调递减．（2）解：当0x =时，()01f x =≥-，对a ∈R 恒成立；当x>0时，由()cos f x x x >-，整理得1xea x≤-．设()1xe g x x=-，则2(1)()x e x g x x -'=．令()0g x '>，得1x >，则()g x 在()1,+∞上单调递增令()0g x '<，得01x <<，则()g x 在(0，1)上单调递减．所以min ()(1)1g x g e ==-，1a e -≤．综上，实数a 的取值范围是(],1e -∞-．6．已知函数()()e cos xf x a x x a R =--∈(1)若2a =，求曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程；(2)若()f x 在()0,π上有两个极值点，求实数a 的取值范围.【解析】（1）当2a =时，()2e cos xf x x x =--，()2e sin 1x f x x '∴=+-，()002e sin 011f '∴=+-=，()02e cos0010f --== ，∴()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为()110y x -=⨯-，即10x y -+=；（2）()f x 在()0,π上有两个极值点等价于()e sin 10xf x a x '=+-=在()0,π上有两个不同的实数根，即1sin e x x a -=在()0,π上有两个不同的实数根，令()1sin e xxh x -=，()0,πx ∈，()π1sin cos 14ee xxx x x h x ⎛⎫-- ⎪--⎝⎭'∴==令()0h x '=，解得π2x =，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，()h x 单调递减；当π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增；又()01sin 001e h -==，π2π1sin π202e h -⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()πππ1sin π1πe 0,1e e h --===∈，∴当()π0,e a -∈时，方程1sin exx a -=在()0,π上有两个不同的实数根，∴实数a 的取值范围为()π0,e -.7．已知函数()e sin xf x x ax=+(1)若1a =，判断f （x ）在（2π-，0）的单调性；(2)()f x 在[0，2π]上有且只有2个零点，求a 的取值范围.【解析】（1）当1a =时，()e sin ,(,0)2xf x x ax x π=+∈-()e sin e cos 1sin 14x x x f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭'.当,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，所以sin 112424x x ππ⎛⎫⎛⎫-<+<-<+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又0e 1x <<，sin 14xx π⎛⎫+>- ⎪⎝⎭，从而()0f x '>，所以，f （x ）在（2π-，0）上单调递增；（2）由函数()e sin 0,2xf x x axx π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，，可知()00f =，则f （x ）在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上有且只有1个零点.()e sin e cos x x f x x x a +'=+，令()e sin e cos x x h x x x a =++，则()2e cos 0xh x x '=≥在[0.2π]上恒成立.即()f x '在[0，2π]上单调递，()201e 2f a f aππ⎛'⎫=+=⎪⎭'+ ⎝，当1a ≥-时，()()00f x f '≥'≥，f （x ）在[0.2π]上单调递增.则f （x ）在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当π2e a ≤-时，()02f x f π⎛⎫'≤'≤ ⎪⎝⎭，()f x 在[0，2π]上单调递减，则()f x 在（0，2π]上无零点，不合题意，舍去，当2e 1a π-<<-时，2(0)10,()e 02f a f a ππ'=+<'=+≥则()f x '在（0，2π）上只有1个零点，设为0x .且当0(0,)x x ∈时，()0f x <′；当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >′所以当()00x x ∈，时，()f x 在（0，0x ）上单调递减，在（0x ，2π）上单调递增，又()200e 22f f a πππ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，，因此只需2e 022f a ππ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭即可，即22e 1a ππ-≤<-综上所述：22e 1παπ-≤<-8．已知函数()sin cos f x x ax x =-，a ∈R(1)若()f x 在0x =处的切线为y x =，求实数a 的值；(2)当13a ≥，[0,)x ∈+∞时，求证：()2.f x ax ≤【解析】(1)∵()cos cos sin f x x a x ax x '=-+，∴(0)11f a '=-=，∴0a =(2)要证()2f x ax ≤，即证sin cos 2x ax x ax -≤，只需证sin (2cos )x ax x ≤+，因为2cos 0x +>，也就是要证sin 02cos x ax x -≤+，令sin ()2cos xg x ax x =-+，22cos (2cos )sin (sin )2cos 1()(2cos )(2cos )x x x x x g x a a x x +--+'=-=-++∵13a ≥，∴2222cos 11(cos 1)()0(2cos )33(2cos )x x g x x x +--'≤-=≤++∴()g x 在[0,)+∞为减函数，∴()(0)0g x g ≤=，∴sin cos 2x ax x ax -≤，得证9．已知函数()ln f x x x =.(1)求()f x 的图象在点()()1,1A f 处的切线方程，并证明()f x 的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)若函数()()()ln 1sin cos g x x x f x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，证明：()11cos e e g x ≥.（其中e 为自然对数的底数）【解析】(1)()ln f x x x = ，则()1ln f x x '=+，()()11,10f f '∴==.()f x ∴的图象在点()()1,1A f 处的切线方程为1y x =-.设()ln 1h x x x x =-+，则()ln h x x '=，令()0h x '<，得()0,1x ∈；令()0h x '>，得()1,x ∈+∞.()h x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，∴当0x >且1x ≠时，()()10h x h >=，()f x ∴的图象上除点A 以外的所有点都在这条切线的上方；(2)由题可知，()()ln 1sin ln cos g x x x x x x =+-，1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.()()sin 1ln 1cos ln cos cos ln sin ln sin ,xg x x x x x x x x x x x x x x⎛⎫'∴=++--+=+ ⎪⎝⎭1π,e 2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，sin 0x ∴>，由（1）知ln 1x x x ≥-，当且仅当1x =时，等号成立，11ln 1110x x x x x ∴+≥+-≥-=>.()0g x '∴>，函数()g x 在区间1π,e 2⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数。

第29讲带三角函数的导数题(解析版)

第二十九讲带三角函数的导数题知识与方法带有三角函数的导数题，处理方法与指数、对数、多项式函数有类似的地方，也有不同之处.在研究带三角部分的函数的零点、单调性时，除了常规的那些方法之外，还要适时运用下面的几个技巧：1.sin x 和cos x 的有界性：例如当x →+∞时，x ，x e ，ln x 这些部分都会不断增大，趋于+∞，而sin x ，cos x 则始终在[]1,1-内震荡，利用这一特征，我们可以抓住函数的各个部分之中影响函数值的主要部分，放缩掉次要部分，进而分区间进行讨论.这是三角类导数题相比其它导数题最主要的独特特征.2．取点技巧：在论证函数零点时，往往需要取点，而三角函数的取点，很多时候可以考虑取一些特殊的角，如2π、π、π-等.3．三角不等式：sin tan x x x <<02x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，熟悉这一不等式及其图形背景，解决问题时可用于适度放缩.典型例题【例1】已知函数()()12sin 0f x x x x =+->，()()sin 0g x x x x =-≥（1）求()f x 和()g x 的最小值；（2）证明：()2xf x e ->【解析】解：（1）由题意，()12cos f x x '=-，当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当,3x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故()f x 在()0,π上的最小值为133f ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又当x π≥时，()12sin 123f x x x f ππ⎛⎫=+-≥+-> ⎪⎝⎭，所以()f x的最小值为13π+-，另一方面，()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在[)0,+∞上单调递增．故()()min 00g x g ==.（2）要证()2x f x e ->，只需证212sin x x x e -+->，即证()212sin 1x x x e +->，设()()212sin x h x x x e =+-()0x >，则()()()22324sin 2cos 22sin 32sin 2cos x x h x x x x e x x x x e '=+--=-+--，由（1）知当0x >时，sin x x >，所以22sin 0x x ->，而32sin 2cos 304x x x π⎛⎫--=-+> ⎪⎝⎭，所以()0h x '>在()0,+∞上恒成立，故()h x 在()0,+∞上单调递增，结合()01h =知()1h x >，所以()212sin 1x x x e +->，故不等式()2x f x e ->成立.【例2】已知函数()ln 2sin f x x x x =-+，()f x '为()f x 的导函数.（1）证明：()f x '在()0,π上存在唯一的零点；（2）判断()f x 的零点个数，并给出证明.【解析】解法1：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x'=-+，()212sin f x x x ''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又()12cos10f '=>，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 012x π⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，111111ln 2sin ln 22sin 222222f ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为126π<，所以1sin sin 262ππ<=，故12sin12<，而1ln 212--<-，所以102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，又ln 20222f πππ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，另一方面，当3,2x ππ⎡⎤∈⎢⎣⎦时，()112cos 0f x x x '=-+<，所以()f x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎣⎦上没有零点，当32x π>时，易证ln 2x x x e ≤<,，所以()ln 2sin 2sin 2sin 22x xf x x x x x x x =-+<-+=-，而2sin 2x ≤，1132222x π>⨯>，所以()0f x <，故()f x 在3,2π⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.解法2：（1）由题意，()f x 的定义域为()0,+∞，()112cos f x x x '=-+，()212sin f x x x''=--，当()0,x π∈时，()0f x ''<，所以()f x '在()0,π上单调递减，又303f ππ⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，2102f ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()f x '在()0,π上存在唯一的零点.（2）设()f x '在()0,π上的零点为0x 032x ππ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，由（1）可得当()00,x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x x π∈时，()0f x '<，()f x单调递减，22211122sin 0f e e e ⎛⎫=--+< ⎪⎝⎭，()0ln 0333f x f πππ⎛⎫>=-+ ⎪⎝⎭，所以()f x 在021,x e ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，又()ln 0f πππ=-<，所以()f x 在()0,x π上有一个零点，当[],2x ππ∈时，()ln 2sin ln f x x x x x x =-+≤-，易证ln 1x x ≤-，所以ln 110x x x x -≤--=-<，从而()0f x <恒成立，故()f x 在[],2ππ上没有零点，当()2,x π∈+∞时，()ln 2sin ln 2f x x x x x x =-+≤-+，设()()ln 22g x x x x π=-+>，则()110g x x'=-<，所以()g x 在()2,π+∞上单调递减，结合()()2ln 2220g πππ=-+<知()0g x <，所以()0f x <，故()f x 在()2,π+∞上没有零点，综上所述，()f x 在定义域()0,+∞上有且仅有2个零点.【例3】已知函数()ln sin f x a x x x =-+，其中a 为非零常数.（1）若函数()f x 在()0,+∞上单调递增，求a 的取值范围；（2）设3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 1sin θθθ=+，证明：当2sin 0a θθ<<时，()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.【解析】（1）由题意，()cos 1af x x x'=-+，因为()f x 在()0,+∞上单调递增，所以()0f x ''≥恒成立，即cos 10ax x-+≥，所以()cos 1a x x ≥-，因为0x >，cos 10x -≤，所以()cos 10x x -≤,又当2x π=时，()cos 10x x -=，所以()cos 1x x -的最大值是0，因为()cos 1a x x ≥-，所以0a ≥，故实数a 的取值范围是[)0,+∞.（2）由（1）知()()1cos 1cos a f x x a x x x x x'=-+=-+设()cos g x a x x x =-+()02x π<<，则()cos sin 1g x x x x '=-++，()2sin cos g x x x x ''=+，当0x π<≤时，cos 10x -+>，sin 0x x ≥，所以()0g x '>；当32x ππ<<时，()0g x ''<，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()20g π'=>，331022g ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，所以()g x '在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上有一个零点，又3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且cos 1sin θθθ=+，所以()cos sin 10g θθθθ'=-++=，从而()g x '在3,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的零点就是θ，且当x πθ<<时，()0g x '>，当302x π<<时，()0g x '<；当322x ππ≤<时，易得()3cos sin 0g x x x x '''=->，所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，因为3202g π⎛⎫''=-<⎪⎝⎭，()220g ππ''=>所以()g x ''在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，记作0x ，且当032x x π≤<时，()0g x ''<；当02x x π<<时，()0g x ''>，所以()g x '在03,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在()0,2x π上单调递增，又331022g ππ⎛⎫'=-<⎪⎝⎭，()20g π'=，所以()0g x '<在3,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恒成立；综上所述，当0x θ<<时，()0g x '>；当02x π<<时，()0g x '<，所以()g x 在()0,θ上单调递增，在(),2θπ上单调递减，()()02g g a π==，()cos g a θθθθ=-+，又2sin 0a θθ<<，且cos 1sin θθθ=+，所以()00g <，()20g π<，()()2cos 1sin sin 0g a a a θθθθθθθθθθ=-+=-++=->，从而()g x 在()0,θ和(),2θπ上各有一个零点，分别记作1x 和2x ，则()()1200f x g x x x x '>⇔>⇔<<，()()1000f x g x x x '<⇔<⇔<<或22x x π<<，所以()f x 在()10,x 上单调递减，在()12,x x 上单调递增，在()2,2x π上单调递减，故()f x 在()0,2π上恰有两个极值点.强化训练1.已知函数()ln f x x x ax =-()a ∈R （1）讨论()f x 在()1,+∞上的单调性；（2）当1a =时，判断()()3cos 22F x f x x x ππ⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的零点个数，并说明理由.【解析】（1）由题意，()ln 1f x x a '=+-，且当1x >时，ln 0x >，当1a ≤时，10a -≥，所以()0f x '>，从而()f x 在()1,+∞上单调递增；当1a >时，()10a f x x e -'>⇔>，()101a f x x e -'<⇔<<，所以()f x 在()11,a e -上单调递减，在()1,a e -+∞上单调递增.（2）当1a =时，()ln f x x x x =-，()3ln cos 22F x x x x x x ππ⎛⎫=-+<< ⎪⎝⎭，所以()ln sin F x x x '=-，()1cos 0F x x x ''=->，从而()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又ln 1022F ππ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭，33ln 1022F ππ⎛⎫'=+>⎪⎝⎭，所以()F x '在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()0302F x x x π'>⇔<<，()002F x x x π'<⇔<<，故()F x 在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，在03,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，因为ln 02222F ππππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，3333ln 02222F ππππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，所以()F x 有且仅有1个零点.2．已知函数()3sin 2f x ax x =-，其中a ∈R ，且()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上的最大值为32π-.（1）求a 的值；（2）判断()f x 在()0,π上的零点个数，并给出证明.【解析】（1）()()sin cos f x a x x x '=+，显然sin cos 0x x x +≥在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以当0a >时，()0f x '≥，故()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，从而()max 332222f x f a πππ-⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，解得：1a =，符合题意，当0a <时，()0f x '≤，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，从而()()max 33022f x f π-==-≠，不合题意，当0a =时，()32f x =-，不合题意，综上所述，实数a 的值为1.（2）由（1）知()3sin 2f x x x =-，且()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，又()3002f =-<，3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，所以()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点，而()f x '在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，又102f π⎛⎫'=> ⎪⎝⎭，()0f ππ'=-<，所以()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有一个零点1x ，当1,2x x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x '>，当()1,x x π∈时，()0f x '<，故()f x 在1,2x π⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在()1,x π上单调递减，又3022f ππ-⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()302f π=-<，所以()f x 在,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上有一个零点，综上所述，()f x 在()0,π上有且仅有2个零点.3．已知函数()sin x f x e x =（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若对任意的0,2x π⎡⎤∈⎢⎣⎦，()f x ax ≥恒成立，求实数a 的取值范围.【解析】（1）由题意，()()sin cos sin 4x x f x e x x x π⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭所以()30sin 022224444f x x k x k k x k πππππππππ⎛⎫'>⇔+>⇔<+<+⇔-<<+⎪⎝⎭()370sin 022*******f x x k x k k x k ππππππππππ⎛⎫'<⇔+<⇔+<+<+⇔+<<+⎪⎝⎭，故()f x 的单调递增区间是32,244k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，单调递减区间是372,244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，其中k ∈Z .（2）()()0sin 0x f x ax f x ax e x ax ≥⇔-≥⇔-≥，设()sin 02x g x e x ax x π⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭，则()()sin cos x g x e x x a '=+-，()2cos 0x g x e x ''=≥，所以()g x '在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，且()01g a '=-，22g e aππ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭当1a ≤时，()00g '≥，所以()0g x '≥恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增，又()00g =，所以()0g x ≥恒成立，即sin 0x e x ax -≥，满足题意；当2a e π≥时，02g π⎛⎫'≤ ⎪⎝⎭，所以()0g x '≤恒成立，故()g x 在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上单调递减，又()00g =，所以当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x <，sin 0x e x ax -<，不合题意；当21a e π<<时，()00g '<，02g π⎛⎫'> ⎪⎝⎭，所以()g x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔≤<，()002g x x x π'>⇔<≤，所以()g x 在[)00,x 上单调递减，结合()00g =可得当()00,x x ∈时，()0g x <，即sin 0x e x ax -<，不合题意；综上所述，实数a 的取值范围是(],1-∞.4．已知函数()()sin 1x f x e ax x a =-+-∈R .（1）当2a =时，求()f x 的单调区间；（2）当12a ≤<时，证明：()f x 有且仅有2个零点.【解析】（1）当2a =时，()2sin 1x f x e x x =-+-，()2cos x f x e x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，1x e ≥，sin 1x ≤，所以()0f x ''≥，故()f x '在[)0,+∞上单调递增，结合()00f '=知()0f x '≥，所以()f x 在[)0,+∞上单调递增，当0x <时，1x e <，cos 1x ≤，所以()2cos 0x f x e x '=-+<，从而()f x 在(),0-∞上单调递减，综上所述，()f x 的单调递增区间为[)0,+∞，单调递减区间为(),0-∞.（2）由题意，()cos x f x e a x '=-+，()sin x f x e x ''=-，当0x ≥时，()0f x ''≥，所以()f x '在[)0,+∞上单调递增，又12a ≤<，所以()020f a '=->，故()0f x '>恒成立，从而()f x 在[)0,+∞上单调递增，结合()00f =知()f x 在[)0,+∞上有且仅有一个零点，当时0x π-≤<，0x e >，0sinx ≤，所以()0f x ''>，从而()f x '在[),0π-上单调递增，又()10f e a ππ-'-=--<，()020f a '=->，所以()f x '在(),0π-上有一个零点0x ，且当[)0,x x π∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减；当()0,0x x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增，又()10f e a πππ--=+->，()00f =，所以()f x 在(),0π-上有一个零点，当x π<-时，()sin 1sin 120x x f x e ax x e a x a ππ=-+->++->->，所以()f x 无零点，综上所述，()f x 有且仅有2个零点.5.已知函数()ln cos 02f x x ax x x x π⎛⎫=+-<≤ ⎪⎝⎭（1）当1a =-时，设()()f x g x x=，证明：()0g x <；（2）若()f x 恰有2个零点，求a 的最小整数值.【解析】（1）当1a =-时，()ln cos 02f x x x x x x π⎛⎫=--<≤ ⎪⎝⎭，()ln cos 1x g x x x =--，()21ln sin 0x g x x x -'=+>，所以()g x 在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，又2ln 1022g πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()0g x <恒成立.（2）当1a ≤时，()ln cos ln cos f x x ax x x x x x x =+-≤+-，当01x <≤时，ln 0x ≤，()cos cos 10x x x x x -=-<，所以ln cos 0x x x x +-<，从而()0f x <，当12x π<≤时，设()ln cos h x x x x x =+-12x π⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭，则()1cos sin 1h x x x x x '=+--，()212sin cos 0h x x x x x ''=---<，所以()h x '在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又()1 cos1sin10h '=-<，所以()0h x '<，从而()h x 在1,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为()1cos110h =-<，所以()0h x <，即ln cos 0x x x x +-<，故()0f x <，所以当1a ≤时，()0f x <恒成立，从而()f x 没有零点；当2a =时，()ln 2cos f x x x x x =+-，()12cos 2sin 1f x x x x x'=+--，()214sin 2cos 0f x x x x x ''=---<，所以()f x '在0,2π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，又11112cos sin 0222f ⎛⎫'=+-> ⎪⎝⎭，()12cos12sin10f '=-<，所以()f x '在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上有1个零点，记作0x ，则()000f x x x '>⇔<<，()002f x x x π'<⇔<≤，从而()f x 在()00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减，因为111111ln cos cos ln 20222222f ⎛⎫=+-=--< ⎪⎝⎭，()12cos112cos103f π=->-=，ln 0222f πππ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以()f x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,2π⎛⎫⎪⎝⎭上各有1个零点，从而()f x 共有2个零点，故a 的最小整数值为2.6.已知函数()sin x x xf x e a=-（1）若曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为2y x b =+，求a ，b 的值；（2）若03a <<，讨论()f x 在()0,π上的零点个数.（参考数据：24.8e π≈）【解析】（1）由题意，()sin x x x f x e a =-，()1cos x x x f x e a -'=-，所以()00f =，()101f a'=-，一方面，()1012f a'=-=，所以1a =-，另一方面，切点()0,0在切线2y x b =+上，所以0b =.（2）由（1）可得()()1cos 1cos xx xa x e xx x f x e a ae ---'=-=，设()()1cos x g x a x e x =--()0x π<<，则()()cos sin x g x a e x x '=---，()()()cos sin sin cos 2sin 0x x xg x e x x e x x e x ''⎡⎤=--+--=>⎣⎦，所以()g x '在()0,π上单调递增，由于03a <<，所以()010g a '=--<，()0g a e ππ'=-+>，从而()g x '在()0,π上有唯一的零点，记作0x ，且()000g x x x '<⇔<<，()00g x x x π'>⇔<<，故()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x π上单调递增，()01g a =-，()()10x g a e ππ=-+>，当01a <≤时，()00g ≤，所以()g x 在()0,π上有唯一的零点，记作1x ，且当10x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，当1x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，从而()f x 在()10,x 上单调递减，在()1,x π上单调递增，又()00f =，()0f e πππ=>，所以()f x 有且仅有1个零点，当13a <<时，()00g >，又1022g a ππ⎛⎫⎛⎫=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()g x 在()0,π上有2个零点，记作2x ，3x ()23x x <，且当20x x <<或3x x π<<时，()0g x >，所以()0f x '>，当23x x x <<时，()0g x <，所以()0f x '<，从而()f x 在()20,x 上单调递增，在()23,x x 上单调递减，在()3,x π上单调递增，又()00f =，222120222a e f a e ae ππππππ-⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭，()0f e πππ=>，所以()f x 共有2个零点.。

三角函数及导数试题

一．选择题（36分，每小题3分）1．已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为A ．120° B ．150° C ．180° D ．240°2．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC+ccosB=asinA ，则△ABC 的形状为A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定3．若函数f （x ），g （x ）满足0)()(11⎰-=dx x g x f ，则f （x ），g （x ）为区间[﹣1，1]上的一组正交函数，给出三组函数：①f （x ）=sin x ，g （x ）=cos x ；②f （x ）=x+1，g （x ）=x ﹣1；③f （x ）=x ，g （x ）=x 2，其中为区间[﹣1，1]上的正交函数的组数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．设函数f ′（x ）是奇函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，f （﹣1）=0，当x ＞0时，xf ′（x ）﹣f （x ）＜0，则使得f （x ）＞0成立的x 的取值范围是 A ．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B ．（﹣1，0）∪（1，+∞） C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0） D ．（0，1）∪（1，+∞） 5．已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f （x ）取得最小值，则下列结论正确的是A ．f （2）＜f （﹣2）＜f （0）B ．f （0）＜f （2）＜f （﹣2）C ．f （﹣2）＜f （0）＜f （2）D ．f （2）＜f （0）＜f （﹣2）6． “a ≤﹣1”是“函数f （x ）=lnx+ax+在[1，+∞）上是单调函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 7．函数y=sin （ωx+φ）（x ∈R ，ω＞0，0≤φ＜2π）的部分图象如图，则 A ．ω=，φ=B ．ω=，φ= C ．ω=，φ=D ．ω=，φ=8．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d=f （l ）的图象大致为ABCD9．函数f （x ）=sinx 在区间（0，10π）上可找到n 个不同数x 1，x 2，…，x n ，使得nn x x f x x f x x f )(......)()(2211===则n 的最大值等于A ．8B ．9C ．10D ．1110．若函数f （x ）=sin ωx （ω＞0）在区间上单调递增，在区间上单调递减，则ω= A ．B ．C ．2D ．311． “a=1”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．若542s i n ,532co s -==θθ则角θ的终边一定落在直线上．A ．7x+24y=0B ．7x ﹣24y=0C ．24x+7y=0D ．24x ﹣7y=0二．填空题（12分，每小题3分）13．设函数f （x ）在（0，+∞）内可导，且f （e x ）=x+e x，则f ′（1）= ．14．已知)3sin()(πω+=x x f （ω＞0），)3()6(ππf f =，且f （x ）在区间)3,6(ππ上有最小值，无最大值，则ω= ． 15．设f （x ），g （x ）分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且g （x ）≠0，当x ＜0时)()()()(x g x f x g x f '>'，且0)3(=-f ，则不等式0)()(<x g x f 的解集是．16．如图，y=f （x ）是可导函数，直线l 是曲线y=f （x ）在x=4处的切线，令g （x ）=，则g ′（4）= ．三．解答题（64分,17-20题每题11分，21、22每题10分） 17．设函数xx x f π+=ln )(，m ∈R ．（Ⅰ）当m=e （e 为自然对数的底数）时，求f （x ）的极小值；（Ⅱ）讨论函数3)(')(xx f x g -=零点的个数；（Ⅲ）若对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，求m 的取值范围．18．设函数)ln 2()(2x x k xe xf x +-=（k 为常数，e=2.71828…是自然对数的底数）．（Ⅰ）当k ≤0时，求函数f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点，求k 的取值范围．19．设函数x k x x f ln 2)(2-= k ＞0．（1）求f （x ）的单调区间和极值；（2）证明：若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，）上仅有一个零点．20．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足2asinA=（2b ﹣c ）sinB+（2c ﹣b ）sinC ．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若a=2，b=2，求△ABC 的面积．21．在△ABC 中，已知AB=2，AC=3，A=60°．（1）求BC 的长；（2）求sin2C 的值． 22．已知函数f （x ）=sin （2x ﹣）+2cos 2x ﹣1．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且a=1，b+c=2，f （A ）=，求△ABC 的面积．四、选做题（共8分） 23．【选修4-4 坐标系与参数方程】已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为：，曲线C 的参数方程为：（α为参数）．（I ）写出直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．必做题答案：1-6 CACAAA 7-12 CCCBAD13．2 14．15．)3,0()3,( --∞16．-17.解：（Ⅰ）当m=e 时，f （x ）=lnx+，∴f ′（x ）=；∴当x ∈（0，e ）时，f ′（x ）＜0，f （x ）在（0，e ）上是减函数；当x ∈（e ，+∞）时，f ′（x ）＞0，f （x ）在（e ，+∞）上是增函数；∴x=e 时，f （x ）取得极小值为f （e ）=lne+=2；（Ⅱ）∵函数g （x ）=f ′（x ）﹣=﹣﹣（x ＞0），令g （x ）=0，得m=﹣x 3+x （x ＞0）；设φ（x ）=﹣x 3+x （x ＞0），∴φ′（x ）=﹣x 2+1=﹣（x ﹣1）（x+1）；当x ∈（0，1）时，φ′（x ）＞0，φ（x ）在（0，1）上是增函数，当x ∈（1，+∞）时，φ′（x ）＜0，φ（x ）在（1，+∞）上是减函数；∴x=1是φ（x ）的极值点，且是极大值点，∴x=1是φ（x ）的最大值点，∴φ（x ）的最大值为φ（1）=；又φ（0）=0，结合y=φ（x ）的图象，如图；可知：①当m ＞时，函数g （x ）无零点； ②当m=时，函数g （x ）有且只有一个零点； ③当0＜m ＜时，函数g （x ）有两个零点； ④当m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点；综上，当m ＞时，函数g （x ）无零点；当m=或m ≤0时，函数g （x ）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g （x ）有两个零点；（Ⅲ）对任意b ＞a ＞0，＜1恒成立，等价于f （b ）﹣b ＜f （a ）﹣a 恒成立；设h （x ）=f （x ）﹣x=lnx+﹣x （x ＞0），则h （b ）＜h （a ）． ∴h （x ）在（0，+∞）上单调递减；∵h ′（x ）=﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m ≥﹣x 2+x=﹣+（x ＞0），∴m ≥；对于m=，h ′（x ）=0仅在x=时成立；∴m 的取值范围是[，+∞）．18. 解：（Ⅰ）f （x ）的定义域为（0，+∞），∴f ′（x ）=﹣k （﹣）=（x ＞0），当k ≤0时，kx ≤0，∴e x﹣kx ＞0，令f ′（x ）=0，则x=2，∴当0＜x ＜2时，f ′（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ＞2时，f ′（x ）＞0，f （x ）单调递增，∴f （x ）的单调递减区间为（0，2），单调递增区间为（2，+∞）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k ≤0时，函数f （x ）在（0，2）内单调递减，故f （x ）在（0，2）内不存在极值点；当k ＞0时，设函数g （x ）=e x﹣kx ，x ∈[0，+∞）．∵g ′（x ）=e x ﹣k=e x ﹣e lnk，当0＜k ≤1时，当x ∈（0，2）时，g ′（x ）=e x﹣k ＞0，y=g （x ）单调递增，故f （x ）在（0，2）内不存在两个极值点；当k ＞1时，得x ∈（0，lnk ）时，g ′（x ）＜0，函数y=g （x ）单调递减，x ∈（lnk ，+∞）时，g ′（x ）＞0，函数y=g （x ）单调递增，∴函数y=g （x ）的最小值为g （lnk ）=k （1﹣lnk ）函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点当且仅当解得：e综上所述，函数f （x ）在（0，2）内存在两个极值点时，k 的取值范围为（e ，）19. 解：（1）由f （x ）=f'（x ）=x ﹣由f'（x ）=0解得x=f （x ）与f'（x ）在区间（0，+∞）上的情况如下：X （o ，）（f'（x ） ﹣ 0f （x ）↓所以，f （x ）的单调递增区间为（），单调递减区间为（0，）； f （x ）在x=处的极小值为f （）=．（2）证明：由（1）知，f （x ）在区间（0，+∞）上的最小值为f （）=．因为f （x ）存在零点，所以，从而k ≥e当k=e 时，f （x ）在区间（1，]上单调递减，且f （）=0所以x=是f （x ）在区间（1，]上唯一零点．当k ＞e 时，f （x ）在区间（0，）上单调递减，且，所以f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点．综上所述，若f （x ）存在零点，则f （x ）在区间（1，]上仅有一个零点． 20. 解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得，整理得，所以又A ∈（0，π），故．（Ⅱ）由正弦定理可知，又a=2，，，所以．又，故或．若，则，于是；若，则，于是．21. 解：（1）由余弦定理可得：BC 2=AB 2+AC 2﹣2AB •ACcosA=4+8﹣2×2×3×=7，所以BC=．（2）由正弦定理可得：，则sinC===，∵AB ＜BC ，∴C 为锐角，则cosC===．因此sin2C=2sinCcosC=2×=．22. 解：（Ⅰ）因为===所以函数f （x ）的单调递增区间是〔〕（k ∈Z ）（Ⅱ）因为f （A ）=，所以又0＜A＜π所以从而故A=在△ABC 中，∵a=1，b+c=2，A=∴1=b 2+c 2﹣2bccosA ，即1=4﹣3bc ．故bc=1从而S △ABC =选做题答案23. 解：（1）∵直线l的极坐标方程为：，∴ρ（sin θ﹣cos θ）=，∴，∴x﹣y+1=0．（2）根据曲线C 的参数方程为：（α为参数）．得（x ﹣2）2+y 2=4，它表示一个以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线的距离为：d=，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值=．。

导数三角函数大题练习

导数、三角函数大题练习1.（本小题满分12分）已知)cos ),2cos(2(x x m π+=,))2sin(2,(cos π+=x x n ,且函数1)(+⋅=n m x f（1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求)(21x x f +的值；（2）若把函数)(x f y =的图像向左平移3π个单位,再向上平移2个单位,得函数)(x g 图像,求函数)(x g 在]2,2[ππ-上的单调增区间.解：（1）()2cos()cos cos 2sin()12sin cos 2cos cos 122sin 21cos 21)24f x x x x x x x x x x x x πππ=++++=-++=-+++=++...2分而()10f x -=，得：cos(2)4x π+=，而(0,)x π∈，得：1242x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1224x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以1233()())23424f x x f πππ+==++=..................6分（2）())24f x x π=++--左移3π--11())212f x x π=++--上移2--11())412f x x π=++，则()g x 的单调递增区间：112222122k x k πππππ-+≤+≤+，23112424k x k ππππ-+≤≤-+，........ 而[,]22x ππ∈-，得：()f x 在11[,]224x ππ∈--和[,]242x ππ∈上递增....2.（本小题满分12分）已知函数()211cos sin cos 2,22f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知()6411,,536g ππαα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.求cos 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值..3.（本小题满分12分）在△ABC中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=．（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c ．（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）．即 2C A B =+, 得3C π=，所以．23B A π+=．又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去）得5,412A B ππ==．（2）162sin 3328ABC S ac B ac ∆+===+,又sin sin a cA C =, 即 2322a c =，得22,2 3.a c ==4．（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且23sin 5a B c =，11cos 14B =．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）设BC 边的中点为D ，192AD =，求ABC ∆的面积．5. （本小题12分）已知函数1()()ln (,)f x a x b x a b R x=--∈，2()g x x =.（1）若1a =，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与y 轴垂直，求b 的值；（2）在（1）的条件下，求证：()()2ln 2g x f x >-. 解：(1) 1a =时，1()ln ,f x x b x x=-- 所以22211'()1,b x bx f x x x x-+=+-= 由题'(1)20, 2.f b b =-=∴= （6分）（2）由（1）可得1()2ln ,f x x x x =--只需证212ln 2ln 20,x x x x-+++> 设21()2ln 2ln 2,(0)F x x x x x x=-+++>，32222212212(1)(21)'()21,x x x x x F x x x x x x --++-=--+==令'()0F x =，得12x =。

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