导数三角函数大题练习
导数的计算练习题及答案
导数的计算练习题及答案1. 计算函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)。
解答：根据函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2，使用导数的定义来计算导数f'(x)。
f'(x) = lim(delta x -> 0) (f(x + delta x) - f(x)) / delta x代入函数f(x)的表达式：f'(x) = lim(delta x -> 0) [(3(x + delta x)^2 - 4(x + delta x) + 2) -(3x^2 - 4x + 2)] / delta x化简并展开：f'(x) = lim(delta x -> 0) [3(x^2 + 2x * delta x + (delta x)^2) - 4x - 4 * delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [3x^2 + 6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4x - 4* delta x + 2 - 3x^2 + 4x - 2] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x * delta x + 3(delta x)^2 - 4 * delta x] / delta xf'(x) = lim(delta x -> 0) [6x + 3 * delta x - 4]由于求导数时delta x趋近于0，所以delta x也可以看作一个无穷小量，其平方项可以忽略不计，即delta x^2 = 0。
化简结果：f'(x) = 6x - 4所以函数f(x) = 3x^2 - 4x + 2的导数f'(x)为6x - 4。
2. 计算函数g(x) = 2sin(x) + 3cos(x)的导数g'(x)。
三角函数、数列、导数试题及详解
三角函数、数列导数测试题及详解一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知点A （-1，1），点B （2，y ），向量a=（l ，2），若//AB a ，则实数y 的值为 A ．5B ．6C ．7D ．82．已知等比数列123456{},40,20,n a a a a a a a ++=++=中则前9项之和等于 A ．50B ．70C ．80D ．903．2(sin cos )1y x x =+-是A ．最小正周期为2π的偶函数B ．最小正周期为2π的奇函数C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π的奇函数 4．在右图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x+y+z 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量*1(,),(,1),n n n n c a a b n n n N +==+∈，下列命题中真命题是A ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等差数列 B ．若*,//n n n N c b ∀∈总有成立，则数列{}n a 是等比数列 C ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等差数列 D ．若*,n n n N c b ∀∈⊥总有成立，则数列{}n a 是等比数列6．若sin2x 、sinx 分别是sin θ与cos θ的等差中项和等比中项，则cos2x 的值为 A ．1338+ B ．1338C ．1338± D ．124-7．如图是函数sin()y x ωϕ=+的图象的一部分，A ，B 是图象上的一个最高点和一个最低点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值为 A ．12π B ．2119π+C ．2119π-D ．2113π-8．已知函数()cos ((0,2))f x x x π=∈有两个不同的零点x 1，x 2，且方程()f x m =有两个不同的实根x3，x4．若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m的值为A ．12B．12-C．32D．—329．设函数f（x）=e x（sinx—cosx），若0≤x≤2012π，则函数f（x）的各极大值之和为A．1006(1)1e eeπππ--B．20122(1)1e eeπππ--C．10062(1)1e eeπππ--D．2012(1)1e eeπππ--10．设函数11()(),21xf x x Ax=++为坐标原点，A为函数()y f x=图象上横坐标为*()n n N∈的点，向量11,(1,0),nn k k n nka A A i a iθ-===∑向量设为向量与向量的夹角，满足15tan3nkkθ=<∑的最大整数n是A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，题两空的题，其答案按先后次序填写，填错位置，书写不清，模棱两可均不得分．11．设1(sin cos)sin2,()3f fααα+=则的值为．12．已知曲线1*()()nf x x n N+=∈与直线1x=交于点P，若设曲线y=f（x）在点P处的切线与x轴交点的横坐标为201212012220122011,log log lognx x x x+++则的值为____．13．已知22sin sin,cos cos,33x y x y-=--=且x，y为锐角，则tan（x -y）= ．14．如图放置的正方形ABCD，AB =1．A，D分别在x轴、y轴的正半轴（含原点）上滑动，则OC OB⋅的最大值是____．15．由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项，按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到n可得到“n边形数列”，记它的第r项为P（n，r），则（1）使得P（3，r）>36的最小r的取值是；（2）试推导P（n，r）关于，n、r的解析式是____．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）已知2(2sin ,),(1,23sin cos 1)OA a x a OB x x ==-+，O 为坐标原点，0,a ≠设(),.f x OA OB b b a =⋅+>（I ）若0a >，写出函数()y f x =的单调速增区间； （Ⅱ）若函数y=f （x ）的定义域为[,2ππ]，值域为[2，5]，求实数a 与b 的值，17．（本小题满分12分）如图，某测量人员，为了测量西江北岸不能到达的两点A ，B 之间的距离，她在西江南岸找到一个点C ，从C 点可以观察到点A ，B ；找到一个点D,从D 点可以观察到点A ，C ；到一个点E ，从E 点可以观察到点B ，C ；并测量得到数据：∠ACD=90°,∠ADC= 60°,∠ACB =15°，∠BCE =105°，∠CEB =45°，DC=CE =1（百米）． （I ）求△CDE 的面积； （Ⅱ）求A ，B 之间的距离．18．（本小题满分12分）国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6000元．某大学2010届毕业生李顺在本科期间共申请了24000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内（按36个月计）全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1500元，第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4000元．李顺同学计划前12个月每个月还款额为500元，第13个月开始，每月还款额比前一月多x 元．（I ）若李顺恰好在第36个月（即毕业后三年）还清贷款，求x 的值；（II ）当x=50时，李顺同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他还清贷款的那一个月的工资余额是多少？（参考数据：1.0518 =2.406,1.0519=2.526，1.0520 =2.653，1.0521=2.786） 19．（本小题满分12分）已知函数()sin .f x x x =+ （I ）当[0,],()x f x π∈时求的值域；（II ）设2()()1,()1[0,)g x f x g x ax '=-≥++∞若在恒成立，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知211()(1),()10(1),{}2,()()()0,n n n n n f x x g x x a a a a g a f a +=-=-=-+=数列满足9(2)(1).10n n b n a =+- （I ）求证：数列{a n ，-1）是等比数列；（Ⅱ）当n 取何值时，b n 取最大值，并求出最大值；（Ⅲ）若1*1m m m m t t m N b b ++<∈对任意恒成立，求实数t 的取值范围．21．（本小题满分14分）设曲线C ：()ln ( 2.71828),()()f x x ex e f x f x '=-=表示导函数．（I ）求函数f （x ）的极值；（Ⅱ）数列{a n }满足111,2(3)n na e a f e a +'==+．求证：数列{a n }中不存在成等差数列的三项；（Ⅲ）对于曲线C 上的不同两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1<x 2，求证：存在唯一的012(,)x x x ∈，使直线AB 的斜率等于0().f x '参考答案一、选择题： 1．【考点分析】本题主要考查平面向量的运算和向量平行充要条件的基本运用．【参考答案】 C 【解题思路】AB →＝（3，y －1），∵AB →∥a ，∴31＝y －12，∴y ＝7．2． 【考点分析】本题主要考查等比数列的基本运算性质． 【参考答案】 B ．【解题思路】3321654)(q a a a a a a ++=++，∴213=q ，3654987)(q a a a a a a ++=++=10，即9s =70．3．【考点分析】本题考查三角函数的性质和同角三角函数的基本关系式的运用，考查基本运算能力． 【参考答案】D【解题思路】2(sin cos )12sin cos sin 2y x x x x x =+-==，所以函数2(sin cos )1y x x =+-是最小正周期为π的奇函数。
函数、导数、三角函数、数列、极坐标与参数方程考试试卷
，若
A
、
B
都在曲线
C1
上，
求
1 12
+
1 22
的值.
17、已知函数 f x ax2 a 2 x lnx ，其中 a R .
（Ⅰ）当 a 1时，求曲线 y f x 的点 1, f 1 处的切线方程；
（Ⅱ）当 a 0 时，若 f x 在区间1,e 上的最小值为-2，求 a 的取值范围.
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
又 c 2a ，
∴ b2 2a2 ，故得 b 2a ．
cosB a2 c2 b2 a2 (2a )2 ( 2a )2 3
∴
2ac
2 a (2a)
4．
故选 B． 【点睛】 本题考查余弦定理的应用，解题的关键是根据题意得到三角形中三边间的关系，并用统 一的参数表示，属于基础题． 6、【答案】A
若
S99
1 50
，则
k
__________．
12、在
ABC
中，角
A,B,C
的对边分别为
a,
b,
c
，若
b
cos
C
2a
c
sin
B
2
，
且 b 3 ，记 h 为 AC 边上的高，则 h 的取值范围为
导数的运算练习题
导数的运算练习题在微积分学中，导数是非常重要的概念之一，它用于描述函数在某一点附近的变化率。
掌握导数的运算是学习微积分的基础，本文将为大家提供一些导数的运算练习题，帮助读者巩固掌握导数的计算方法。
1. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x) - cos(x)（3）h(x) = e^x + ln(x)（4）i(x) = √(x^2 + 1)2. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = cos(x) + sin(x) + tan(x)（3）h(x) = ln(x^2) - e^(2x)（4）i(x) = √x + 1/x3. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^4 + 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1（2）g(x) = sin(2x) - cos(2x)（3）h(x) = e^(x^2) + ln(x^3)（4）i(x) = ln(x) + e^x4. 计算下列函数的导数：（1）f(x) = x^5 + 2x^4 - 3x^3 + 4x^2 - 5x + 1（2）g(x) = sin(x)cos(x)（3）h(x) = ln(x) + e^x - x（4）i(x) = e^(2x) + ln(x^2)通过以上的练习题，读者可以熟悉导数的计算方法，掌握常用函数的导数运算规则。
在计算导数时，读者需要注意以下几点：1. 基本函数的导数规则：对于多项式函数，求导后，指数降低1，系数不变；对于三角函数，求导后，正弦变余弦，余弦变负正弦；对于指数函数，求导后，底数不变，指数变形式的导数。
2. 乘法法则：若函数为两个函数的乘积，则导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
3. 除法法则：若函数为两个函数的商，则导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
函数导数三角函数客观试题及答案
1、(理)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≤0，f (x －3)，x >0，则f (2012)等于( )A ．－1B ．1C ．－3D ．3[答案] A[解析] f (2012)＝f (2009)＝f (2006)＝……＝f (2)＝f (－1)＝2×(－1)＋1＝－1.2、(文)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x －1 (x <1)lg x (x ≥1)，若f (x 0)>1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(10，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(－1,10)D ．(0,10) [答案] A[解析] 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x 0<121－x 0－1>1或⎩⎨⎧x 0≥1lg x 0>1，∴x 0<0或x 0>10.3、函数f (x )＝ln(4＋3x －x 2)的单调递减区间是( ) A ．(－∞，32]B ．[32，＋∞)C ．(－1，32]D ．[32，4)[答案] D[解析] 由4＋3x －x 2>0得，函数f (x )的定义域是(－1，4)，u (x )＝－x 2＋3x ＋4＝－(x －32)2＋254的减区间为[32，4)，∵e >1，∴函数f (x )的单调减区间为[32，4)．4、如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．[答案] [－14，0][解析] (1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；(2)当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为直线x ＝－1a ，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增，所以a <0，且－1a ≥4，解得－14≤a <0.综上所述－14≤a ≤0.5、(文)若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．[答案] (0,1][解析] 由f (x )＝－x 2＋2ax 得函数对称轴为x ＝a ， 又在区间[1,2]上是减函数，所以a ≤1， 又g (x )＝ax ＋1在[1,2]上减函数，所以a >0， 综上a 的取值范围为(0,1]．6、(理)下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是( )A ．f (x )＝sin xB ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝12(a x＋a －x )D ．f (x )＝ln 2－x2＋x[答案] D[解析] y ＝sin x 与y ＝ln 2－x 2＋x 为奇函数，而y ＝12(a x ＋a －x)为偶函数，y ＝－|x ＋1|是非奇非偶函数．y ＝sin x 在[－1,1]上为增函数．故选D.7、(2010·山东)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( )A ．3B ．1C ．－1D ．－3[答案] D[解析] 由条件知f (0)＝0，∴b ＝－1， ∴f (－1)＝－f (1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.8、(2010·深圳中学)已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π[解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎨⎧ f (x )<0g (x )>0，或⎩⎨⎧f (x )>0g (x )<0，观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.9、(理)(2010·北京崇文区)设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.5，b ＝0.30.5，c ＝log 0.30.2，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．a <b <cC ．b <a <cD ．a <c <b[答案] C[解析] y ＝x 0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>12>0.3，∴1>a >b ，又y ＝log 0.3x 在(0，＋∞)上为减函数， ∴log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1，∴b <a <c .10、(文)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x >0)2x (x ≤0)，若f (a )＝12，则实数a＝( )A ．－1 B. 2 C ．－1或 2 D ．1或－ 2[答案] C[解析] 当a >0时，log 2a ＝12，∴a ＝2；当a <0时，2a＝12，∴a＝－1，选C.11、(文)若关于x 的方程4x ＋(1－a )·2x ＋4＝0有实数解，则实数a 的取值范围是( )A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[4，＋∞) D．(－5,5] [答案] B[解析]a－1＝2x＋42x≥22x·42x＝4等号在2x＝42x，即x＝1时成立，∴a≥5.12、(理)(2011·重庆文，6)设a＝log1312，b＝log1323，c＝log343，则a、b、c的大小关系是()A．a<b<c B．c<b<a C．b<a<c D．b<c<a [答案] B[解析]∵a＝log1312，b＝log1323，∵log13x单调递减而12<23∴a>b且a>0，b>0，又c<0.故c<b<a. 13、(文)函数f(x)＝|log12x|的图象是()[答案] A[解析]f(x)＝|log12x|＝|log2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x (x ≥1)－log 2x (0<x <1)，故选A. 14、(2011·四川文，4)函数y ＝(12)x ＋1的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是( )[答案] A [解析]解法一：作y ＝(12)x 的图象，然后向上平移1个单位，得y ＝(12)x＋1的图象，再把图象关于y ＝x 对称即可．15、函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间为( )A ．(52，＋∞)B ．(3，＋∞)C ．(－∞，52)D ．(－∞，2)[答案] D[解析] 由x 2－5x ＋6>0得x >3或x <2，由s ＝x 2－5x ＋6＝(x －52)2－14知s ＝x 2－5x ＋6在区间(3，＋∞)上是增函数，在区间(－∞，2)上是减函数，因此函数y ＝log 12(x 2－5x ＋6)的单调增区间是(－∞，2)，选D.16、设正数x 、y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的取值范围是( )A ．(0,6]B ．[6，＋∞)C ．[1＋7，＋∞)D ．(0,1＋7][答案] B[解析] ∵log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ＝log 2(xy )， ∴x ＋y ＋3＝xy .由x 、y ∈R ＋知xy ≤(x ＋y 2)2，∴x ＋y ＋3≤(x ＋y 2)2.令x ＋y ＝A ，∴A ＋3≤A 24，∴A ≥6或A ≤－2(舍去)，故选B.17、(理)函数y ＝x 35在[－1,1]上是( ) A ．增函数且是奇函数 B ．增函数且是偶函数 C ．减函数且是奇函数 D ．减函数且是偶函数[答案] A[解析] ∵35的分子分母都是奇数，∴f (－x )＝(－x ) 35＝－x 35＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，又35>0，∴f (x )在第一象限内是增函数，又f (x )为奇函数，∴f (x )在[－1,1]上是增函数．18、(理)若幂函数f (x )的图象经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12，则它在A 点处的切线方程为________．[答案] 4x －4y ＋1＝0[解析] 设f (x )＝x α，∵f (x )图象过点A ，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫14α＝12，∴α＝12.∴f (x )＝x12，∴f ′(x )＝12x，∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1，故切线方程为y －12＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14， 即4x －4y ＋1＝0.19、(2011·汕头一检)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于1，一根小于1，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－52)B ．(52，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－52，＋∞)[答案] B[解析] 设f (x )＝x 2－2mx ＋4，则题设条件等价于f (1)<0，即1－2m ＋4<0⇒m >52，故选B.20、(理)若方程2ax 2－x －1＝0在(0,1)内恰有一解，则a 的取值范围为( )A ．a <－1B ．a >1C ．－1<a <1D ．0≤a <1[答案] B[解析] 令f (x )＝2ax 2－x －1，当a ＝0时显然不适合题意． ∵f (0)＝－1<0 f (1)＝2a －2∴由f (1)>0得a >1，又当f (1)＝0，即a ＝1时，2x 2－x －1＝0两根x 1＝1，x 2＝－12不合题意，故选B.21、(理)(2010·吉林市质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －sin x 在区间[0,2π]上的零点个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[答案] B[解析] 在同一坐标系中作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与y ＝sin x 的图象，易知两函数图象在[0,2π]内有两个交点．22、(文)(2011·舟山月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6 (x >0)－x (x ＋1) (x ≤0)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 令－x (x ＋1)＝0得x ＝0或－1，满足x ≤0； 当x >0时，∵ln x 与2x －6都是增函数， ∴f (x )＝ln x ＋2x －6(x >0)为增函数， ∵f (1)＝－4<0，f (3)＝ln3>0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有一个零点， 故f (x )共有3个零点．23、(2010·宁夏石嘴山一模)函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值，最小值分别是()A．5，－15 B．5，－4C．－4，－15 D．5，－16[答案] A[解析]∵y′＝6x2－6x－12＝0，得x＝－1(舍去)或x＝2，故函数y＝f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最值可能是x取0,2,3时的函数值，而f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4，故最大值为5，最小值为－15，故选A.24、若a>2，则函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有() A．0个零点B．1个零点C．2个零点D．3个零点[答案] B[解析]f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)＝0⇒x1＝0，x2＝2a>4.易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0)＝1>0，f(2)＝113－4a<0，由零点判定定理知，函数f(x)＝13x3－ax2＋1在区间(0,2)上恰好有一个零点．25、(2011·北京模拟)若函数f(x)＝ln x－12ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围是________．[答案][－1，＋∞)[分析]函数f(x)存在单调减区间，就是不等式f′(x)<0有实数解，考虑到函数的定义域为(0，＋∞)，所以本题就是求f′(x)<0在(0，＋∞)上有实数解时a的取值范围．[解析]解法1：f′(x)＝1x－ax－2＝1－ax2－2xx，由题意知f ′(x )<0有实数解，∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有实数解．当a ≥0时，显然满足；当a <0时，只要Δ＝4＋4a >0，∴－1<a <0，综上知a >－1.解法2：f ′(x )＝1x －ax －2＝1－ax 2－2x x ， 由题意可知f ′(x )<0在(0，＋∞)内有实数解． 即1－ax 2－2x <0在(0，＋∞)内有实数解． 即a >1x2－2x 在(0，＋∞)内有实数解．∵x ∈(0，＋∞)时，1x 2－2x ＝(1x －1)2－1≥－1，∴a >－1.26、(文)如图，过函数y ＝x sin x ＋cos x 图象上点(x ，y )的切线的斜率为k ，若k ＝g (x )，则函数k ＝g (x )的图象大致为()[答案] A[解析] ∵y ′＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x ， ∴k ＝g (x )＝x cos x ，易知其图象为A.27、(2011·汕头模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 x ∈[0，1]2－x x ∈(1，2]，则⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在[答案] C[解析] ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x )d x＝13x 3|10＋⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 221＝56. 28、(2010·德州阶段检测) ⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x 的值是( )A ．0 B.π4 C ．2 D ．4[答案] C[解析]⎠⎜⎜⎛－π2π2 (sin x ＋cos x )d x ＝(－cos x ＋sin x )|⎪⎪⎪⎪π2－π2＝2.29、(2011·武汉调研)若cos α＝35，－π2<α<0，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－43 D ．－34 [答案] C[解析] 依题意得，sin α＝－45，tan α＝sin αcos α＝－43，选C.30、(文)(2010·四川文)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20 [答案] C[解析] ∵向右平移π10个单位，∴用x －π10代替y ＝sin x 中的x ；∵各点横坐标伸长到原来的2倍，∴用12x 代替y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10中的x ，∴得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10. 31、(理)(2011·吉林一中月考)函数y ＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( )A ．ω＝π2，φ＝π4B ．ω＝π3，φ＝π6C ．ω＝π4，φ＝π4D ．ω＝π4，φ＝5π4[答案] C[解析] ∵T4＝3－1＝2，∴T ＝8，∴ω＝2πT ＝π4.令π4×1＋φ＝π2，得φ＝π4，∴选C. 32．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665B.5665C.1665或5665 D ．－1665 [答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 33、(文)(2010·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ，∴tan A ＝－3，∴A ＝120°.34、(理)已知tan α＝－2，则14sin 2α＋25cos 2α的值是( )A.257B.725 C.1625 D.925 [答案] B[解析] 14sin 2α＋25cos 2α＝14sin 2α＋25cos 2αsin 2α＋cos 2α＝14tan 2α＋25tan 2α＋1＝725. 35、已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则sin α＝( )A.3365B.6365 C ．－3365 D ．－ 6365[答案] A[解析]∵⎩⎪⎨⎪⎧0<α<π2－π2<β<0，∴0<α－β<π，又cos(α－β)＝35，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝45；∵－π2<β<0，且sin β＝－513，∴cos β＝1213.从而sin α＝sin[(α－β)＋β]＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β＝3365.36、(2011·重庆理，6)若△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足(a ＋b )2－c 2＝4，且C ＝60°，则ab 的值为( )A.43B ．8－4 3C ．1 D.23[答案] A[解析] 在△ABC 中，C ＝60°， ∴a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝ab ，∴(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ＝3ab ＝4， ∴ab ＝43，选A.37、(2011·深圳二调)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，且a ＝4，b ＝43，∠A ＝30°，则∠B 等于( )A ．30°B ．30°或150°C ．60°D ．60°或120°[答案] D[解析] 由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，所以4sin30°＝43sin B ，sin B ＝32.又0°<B <180°，因此有B ＝60°或B ＝120°，选D.6．(文)(2010·天津理)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[答案] A[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A.38、2011·皖南八校第二次联考)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( )A.52 B ．－52C.25 D ．－25 [答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.39、(2011·宁波十校联考)已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( )A ．(－2，－4)B ．(－3，－6)C ．(－4，－8)D ．(－5，－10) [答案] C[解析] 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2×(1,2)＋3×(－2，－4)＝(－4，－8)．40、已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( )A ．30°B ．120°C ．150°D ．30°或150° [答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.41、(2011·唐山联考)已知c 、d 为非零向量，且c ＝a ＋b ，d ＝a －b ，则|a |＝|b |是c ⊥d 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] C[解析] 因为c ，d 为非零向量，所以c ⊥d ⇔c ·d ＝0⇔a 2－b 2＝0⇔|a |2－|b |2＝0⇔|a |＝|b |.因此，|a |＝|b |是c ⊥d 的充要条件，选C.42、(2011·河南质量调研)直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝9相交于两点M 、N ，若c 2＝a 2＋b 2，则OM →·ON →(O 为坐标原点)等于( )A ．－7B ．－14C ．7D ．14 [答案] A[解析] 记OM →、ON →的夹角为2θ.依题意得，圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离等于|c |a 2＋b 2＝1，∴cos θ＝13，∴cos2θ＝2cos 2θ－1＝2×(13)2－1＝－79，∴OM →·ON →＝3×3cos2θ＝－7，选A.。
导数和三角函数练习题(有答案)
复习题1．已知集合{230}A x x =∈-≥R ，集合2{320}B x x x =∈-+<R ，则A B =( )（A ）32x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭ （B ）322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭ （C ）{}12x x << （D ）322x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭2．已知2log 3a =，12log 3b =，123c -=，则A.c b a >> B ．c a b >> C.a b c >> D.a c b >> 3．[2014·太原模拟]函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是( ) A.(－∞，4) B.(0，＋∞) C.(0,4] D.[4，＋∞)4．已知0.6log 0.5a =，ln0.5b =，0.50.6c =．则（ ）（A ）>>a b c （B ）>>a c b （C ）>>c a b （D ）>>c b a5．函数y=x 2﹣2x ﹣1在闭区间[0，3]上的最大值与最小值的和是（ ） A ．﹣1 B ．0 C ．1 D ．26．[2014·郑州质检]要得到函数y ＝cos2x 的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴( )A.向右平移4π个单位 B.向左平移4π个单位 C.向右平移8π个单位 D.向左平移8π个单位7．（5分）（2011•湖北）已知函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，x ∈R ，若f （x ）≥1，则x的取值范围为（ ） A.{x|k π+≤x≤k π+π，k ∈Z} B.{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z} C.{x|k π+≤x≤k π+，k ∈Z} D.{x|2k π+≤x≤2k π+，k ∈Z}8．函数()si ()n f x A x ωϕ＝＋（000A ωϕπ>><<，，)的图象如图所示，则(0)f 的值为 （ ）A ．1B ．0C D9．已知函数)sin()(ϕω+=x A x f ),0,0(πϕπω<<->>A 的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)4321sin(2)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)4321sin(2)(π-=x x f10．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f ，其导函数)(x f '的部分图象如图所示，则函数)(x f 的解析式为( )A ．)421sin(2)(π+=x x fB ．)421sin(4)(π+=x x fC ．)421sin(2)(π-=x x fD ．)421sin(4)(π-=x x f11．函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象如图所示．为了得到g(x)＝－Acosωx(A ＞0，ω＞0)的图象，可以将f(x)的图象( )A ．向右平移12π个单位长度B ．向右平移512π个单位长度 C ．向左平移12π个单位长度 D ．向左平移512π个单位长度12．若1tan()47πα+=，则tan α=（ ）（A ）34 （B ）43 （C ）34- （D ）43-13．已知函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，为了得到函数()=x g)4sin(πω+x 的图象，只要将()x f y =的图象（ ）A ．向左平移8π个单位长度 B ．向右平移8π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度14．函数y ＝cos 2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.-4,4ππ⎤⎡⎥⎢⎣⎦， B.344ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D.[,]2ππ15．为了得到sin 2y x =的图象，只需将sin(2)3y x π=+的图象 （ ）A ．向右平移3π个长度单位B ．向右平移6π个长度单位C ．向左平移6π个长度单位 D ．向左平移3π个长度单位16．已知1sin(),(0,)22ππαα+=-∈，则cos α的值为 .17．设角α是第三象限角，且sin2α＝－sin2α，则角2α是第________象限角． 18．若 tan α＝3，则 sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝______. 19．若sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝35，则cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝________.20．已知0<x<π，sinx ＋cosx ＝15. (1)求sinx －cosx 的值；(2)求tanx 的值．21．已知函数().1cos 2cos sin 322-+=x x x x f(I)求函数()x f 的单调增区间; (II)当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时,求函数()x f 的最大值及相应的x 值.参考答案1．B 【解析】试题分析：3{230}[,).2A x x =∈-≥=+∞R 2{320}(1,2).B x x x =∈-+<=R 所以A B =322x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭．考点：集合运算 2．D 【解析】试题分析：由对数函数的性质知1a >，0b <，由幂函数的性质知01c <<，故有a c b >>. 考点：对数、幂的比较大小 3．C【解析】设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t. 因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t为关于t 的减函数， 所以0＜y ＝(12)t ≤(12)－2＝4， 故所求函数的值域为(0,4]．4．（B ） 【解析】 试题分析：由0.60.6log 0.5>log 0.6=1,1a >.ln 0.5ln10,0b <=<.0.5000.60.61,01c <<=∴<<.可得a c b >>.故选（B ）考点：1.对数函数的性质.2.指数函数的性质.3.数的大小比较. 5．B【解析】∵y=x 2﹣2x ﹣1=（x ﹣1）2﹣2 ∴当x=1时，函数取最小值﹣2， 当x=3时，函数取最大值2 ∴最大值与最小值的和为0 故选B 6．B【解析】∵y ＝cos2x ＝sin(2x ＋2π)，∴只需将函数y ＝sin2x 的图象沿x 轴向4π个单位，即得y ＝sin2(x ＋4π)＝cos2x 的图象，故选B. 7．B 【解析】试题分析：利用两角差的正弦函数化简函数f （x ）=sinx ﹣cosx ，为一个角的一个三角函数的形式，根据f （x ）≥1，求出x 的范围即可．解：函数f （x ）=sinx ﹣cosx=2sin （x ﹣），因为f （x ）≥1，所以2sin （x ﹣）≥1，所以，所以f （x ）≥1，则x 的取值范围为：{x|2k π+≤x≤2k π+π，k ∈Z}故选B点评：本题是基础题考查三角函数的化简，三角函数不等式的解法，考查计算能力，常考题型． 8．A 【解析】试题分析：由已知，4112,(),2,3126A T πππω==⨯-==，所以()2sin 2()f x x ϕ＝＋， 将(),26π代人得，()2,s 2si in(6)1n 23ππϕϕ==⨯＋＋，所以，,326πππϕϕ==＋， ()2sin 2(0)2sin 2(),(01662s n 6)i f x x f πππ⨯==＝＋＝＋，故选A ．考点：正弦型函数，三角函数求值．9．B 【解析】试题分析：由图象可知函数的最大值为2，最小值为-2，所以2A =; 由图象可知函数的周期324,22T πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以221=42T ππωπ== 所以，13-+==2224πππϕϕ⎛⎫⨯∴ ⎪⎝⎭， 所以函数的解析式为：)4321sin(2)(π+=x x f 故答案选B.考点：三角函数的图象与性质. 10．B 【解析】试题分析：因为()()sin f x A x ωϕ=+,所以 ()()cos f x A x ωωϕ'=+由()f x ' 图象知32,4222T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭,22142T ππωπ=== 2A ω=，4A ∴=10224ππϕϕ⎛⎫⨯-+=⇒= ⎪⎝⎭ ()14sin 24f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭故选B.考点：1、导数的求法；2、三角函数的图象与性质. 11．B【解析】由图象知，f(x)＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭，g(x)＝－cos 2x ，代入B 选项得sin 52123x ππ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－sin 22x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 2x ． 12．（C ） 【解析】试题分析：由1tan()47πα+=所以tan 113,tan 1tan 74ααα+=∴=--.故选（C ）. 考点：1.角的和差公式.2.解方程的思想.13．B 【解析】试题分析：由于函数x x f ωcos )(=)0,(>∈ωR x 的最小正周期为π，所以2ω=.所以函数()cos 2f x x = sin(2)2x π=+.所以将函数()x f y =向右平移8π即可得到()sin(2)4g x x π=+.故选B.考点：1.函数的平移.2.函数的诱导公式. 14．C 【解析】试题分析：A ：当[,]44x ππ∈-时，2[,]22x ππ∈-，不是减函数；B ：当3[,]44x ππ∈时，32[,]22x ππ∈，不是减函数；C ：当[0,]2x π∈时，2[0,]x π∈，是减函数；D ：当[,]2x ππ∈时，2[,2]x ππ∈，不是减函数，故选C.考点：三角函数单调性判断.15．B 【解析】试题分析：sin(2)3y x π=+sin 2()6x π=+，所以向右平移6π个长度单位即可. 考点：三角函数的平移变换. 16．23 【解析】试题分析：1s i n ()s i n 2παα+=-=-,即1sin 2α=，又(0,)2πα∈，故c o s i α==.考点：诱导公式，同角三角函数的基本关系式. 17．四【解析】由α是第三象限角，知2k π＋π<α<2k π＋32π (k ∈Z)，k π＋2π<2α<k π＋34π(k ∈Z)，知2α是第二或第四象限角，再由sin 2α＝－sin 2α知sin 2α<0，所以2α只能是第四象限角． 18．35【解析】sin 2α－2 sin αcos α＋3 cos 2α＝2222sin 2sin cos 3cos sin cos αααααα-++ ＝22tan 2tan 3tan 1ααα-++＝12610-＝35. 19．－35【解析】cos 6πα⎛⎫+⎪⎝⎭＝cos 32ππα⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－sin 3πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－35. 20．（1）75（2）-43【解析】(1)∵sinx ＋cosx ＝15，∴1＋2sinxcosx ＝125， ∴2sinxcosx ＝－2425，又∵0<x<π，∴sinx>0，2sinxcosx ＝－2425<0，∴cosx<0，∴sinx －cosx>0，∴sinx －cosx 75＝.(2)111717sinx cosx tanx sinx cosx tanx ＋＋＝，＝－－，tanx ＝－43.21．(I) ()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ(II)6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.【解析】试题分析：(I)()1cos 2cos sin 322-+=x x x x f x x 2cos 2sin 3+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin 2πx令()Z k k x k ∈+≤+≤-226222πππππ得()Z k k x k ∈+≤≤-63ππππ∴()x f 的单调递增区间为()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6.3ππππ (II)由⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 可得67626πππ≤+≤x 所以当,262ππ=+x 即6π=x 时. ()x f 取最大值,最大值为2.考点：本题主要考查三角函数的和差倍半公式，三角函数的图象和性质。
高三数学 函数及导数应用、数列、三角函数测试题
高三数学 函数及导数应用、数列、三角函数测试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．）1．设0＜θ＜π，θθsin cos 331i ii+=++，则θ 的值为（ ） A ．32π B ．2π C ．3π D ．6π 2.条件:11p x +>，条件131:>-xq ，则q⌝是p ⌝的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若不等式222424ax ax x x +-<+对于任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 .A (2,2)- .B (2,2]- .C (,2)[2,)-∞-+∞ .D (,2)-∞- 4．已知||3=a ，||4=b ,2=+p a b ,=-q a b 且17=-⋅p q ，则a 与b 的夹角为.A 60 .B 90 .C 30 .D5. 已知x a a a xlog 10=<<，则方程的实根个数是A 、1个B 、2个C 、3个D 、1个或2个或3个6．函数f (x )= ⎩⎨⎧≥+≤-.1),1(log ,11|,)cos(|22x x x ＜x π 若2)1()(=+f m f ,则m 的所有可能值为A.1，－1 B . 1，0，－1 C ．-,2222 D. 1, -,2222 7．已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =8．如果2πlog |3π|log 2121≥-x ，那么x sin 的取值范围是 （ ）A ．21[-，]21B ．21[-，]1C ．21[-，21()21 ，]1 D ．21[-，23()23 ，]1 9．在等差数列}{n a 中，,0,01312><a a 且1213a a >，若}{n a 的前n 项和0<n S ，则n 的最大值为（ ） A ．17B ．18C ．20D ．2310. 曲线y=x sin x 在点)2,2(ππ-处的切线与x 轴、直线x =π所围成的三角形的面积为（ ）A.22π B. 2π Ｃ. 22π D. 2)2(21π+11．设函数θ≤=0,)(3若x x f ＜4π时，)1()tan (m f m f -+⋅θ ＞0恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.（0，1）B.（∞-，0）C.（∞-，1）D.（∞-，21） 12. 如图，半径为2的⊙O 切直线MN 于点P ，射线PK 从PN 出发，绕P 点逆时针旋转到PM ，旋转过程中PK 交⊙O 于点Q ，若∠POQ 为x ，弓形PmQ 的面积为S=f(x)，那么f(x)的图象大致是：（ ）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）ABCON Q mKMP13.22132lim 1x x x x →-++-的值等于__________________.14.函数π()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，如下结论中正确的是______（写出所有正确结论的编号．．）． ①图象C 关于直线11π12x =对称； ②图象C 关于点2π03⎛⎫⎪⎝⎭，对称； ③函数()f x 在区间π5π1212⎛⎫-⎪⎝⎭，内是增函数； ④由3sin 2y x =的图角向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 15．设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是 。
导数与三角函数交汇36题
导数与三角函数交汇试题1．（2019•石家庄一模）已知函数，（1）求函数f（x）的极小值（2）求证：当﹣1≤a≤1 时，f（x）＞g（x）2．（2019春•常熟市期中）已知函数f（x）＝e2x（sin x﹣3cos x）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值．3．（2019•大连模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x+1其中a∈R，e为自然对数的底数．（1）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥2；（2）若函数f（x）在[0，π]上存在两个不同的零点，求实数a 的取值范围．4．（2019•天津）设函数f（x）＝e x cos x，g（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）当x∈[，]时，证明f（x）+g（x）（﹣x）≥0；（Ⅲ）设x n为函数u（x）＝f（x）﹣1 在区间（2nπ+，2nπ+ ）内的零点，其中n∈N，证明2nπ+﹣x n＜．5．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝2sin x﹣x cos x﹣x，f′（x）为f（x）的导数．（1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a 的取值范围．6．（2019•新课标Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x﹣ln（1+x），f′（x）为f（x）的导数．证明：（1）f′（x）在区间（﹣1，）存在唯一极大值点；（2）f（x）有且仅有2 个零点．7．（2019•富阳区模拟）设函数f（x）＝2x2+alnx，（a∈R）（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝2x+m，求实数a，m的值（Ⅱ）若f（2x﹣1）+2＞2f（x）对任意x∈[2，+∞）恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）关于x 的方程f（x）+2cos x＝5 能否有三个不同的实根？证明你的结论8．（2019•北辰区模拟）已知函数f（x）＝e x﹣ax，（a∈R），g（x）＝．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若g（x）≤kx 在x∈[0，+∞）恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）当a＝1，x≥0时，证明：（2+cos x）f′（x）≥2sin x．9．（2019•佛山二模）已知函数f（x）＝，0＜x＜π．（Ⅰ）若x＝x0时，f（x）取得极小值f（x0），求实数a及f（x0）的取值范围；（Ⅱ）当a＝π，0＜m＜π时，证明：f（x）+mlnx＞0．10．（2019•武汉模拟）（1）求证：x≥0时，cos x≥1﹣x2恒成立；（2）当a≥1时，∀x∈[0，+∞），证明不等式xe ax+x cos x+1≥（1+sin x）2恒成立．11．（2019•山东模拟）已知函数（Ⅰ）当x＞0时，证明f（x）＞g（x）；（Ⅱ ）已知点P （x ，xf （x ）），点Q （﹣sin x ，cos x ），设函数时，试判断h（x）的零点个数．12．（2019•衡阳一模）已知函数f（x）＝sin x﹣．（1）若f（x）在[0，]上有唯一极大值点，求实数a 的取值范围；（2）若a＝1，g（x）＝f（x）+e x，且g（x1）+g（x2）＝2（x1≠x2），求证：x1+x2＜0．13．（2019•东城区二模）已知函数f（x）＝x+sin x．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax cos x 在区间上恒成立，求实数a 的取值范围．14．（2019•日照模拟）已知函数（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的值域；（2）若不等式f（x）≥k（x﹣1）（1﹣sin x）对任意恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：．15．（2019•江苏模拟）定义函数f（x）＝x sin x+k cos x，x∈（0，π）为j（K）型函数，共中K∈Z．（1）若y＝f（x）是j（1）型函数，求函数f（x）的值域；（2）若y＝f（x）是j（0）型函数，求函f（x）极值点个数；（3）若y＝f（x）是j（2）型函数，在y＝f（x）上有三点A、B、C 横坐标分別为x1、x2、x3，其中x1＜x2＜x3，试判断直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小并说明理由．16．（2019•房山区二模）已知函数．（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0 处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）在（0，π）上的单调区间；（Ⅲ）当m＞1 时，证明：g（x）在（0，π）上存在最小值．17．（2019春•东莞市期中）已知函数f（x）＝e x cos x．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间上的值域．18．（2019•莆田二模）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当0≤a≤1时，证明：xf（x）＞a（sin x+1）．19．（2019•泰安二模）已知函数f（x）＝（x﹣m）lnx（m≤0）．（1）若函数f（x）存在极小值点，求m 的取值范围；（2）证明：f（x+m）＜e x+cos x﹣1．20．（2019春•龙岩期中）已知函数f（x）＝x cos x﹣sin x，x∈[﹣]．（Ⅰ）求证：f（x）≥0；（Ⅱ）若a对x∈（﹣）恒成立，求a 的最大值与b 的最小值．21．（2019•昆明模拟）已知函数f（x）＝a（x﹣sin x）（a∈R且a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设，若对任意x≥0，都有f（x）+g（x）≥0，求a 的取值范围．22．（2019•安徽模拟）已知函数f（x）＝m tan x+2sin x，x∈[0，），m∈R．（Ⅰ）若函数y＝f（x）在x∈[0，）上是单调函数，求实数m 的取值范围；（Ⅱ）当m＝1 时，（i）求函数y＝f（x）在点x＝0 处的切线方程；（ii）若对任意x∈[0，），不等式f（x）≥aln（x+1）恒成立，求实数a的取值范围．23．（2019•昆明模拟）已知函数f（x）＝e x（x+sin x+a cos x）（a∈R）在点（0，f（0））处切线的斜率为1．（1）求a 的值；（2）设g（x）＝1﹣sin x，若对任意x≥0，都有f（x）+mg（x）≥0，求实数m 的取值范围．24．（2019•江苏一模）已知函数f（x）＝（x+1）lnx+ax（a∈R）．（1）若函数y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b＝0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）＝，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a＝﹣1 时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）＝||是单调减函数，求实数a 的取值范围．25．（2019春•龙凤区校级月考）已知函数f（x）＝lnx﹣mx（m∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）若m═﹣e，a∈（e+，+∞），且f（x）≤ax﹣b恒成立，求的最大值（其中e 为自然对数的底数）．26．（2019•石家庄模拟）已知函数f（x）＝ae x﹣sin x，其中a∈R，e为自然对数的底数．（Ⅰ）当a＝1时，证明：对∀x∈[0，+∞），f（x）≥1；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，）上存在极值，求实数a 的取值范围．27．（2019春•香洲区校级月考）已知函数f（x）＝（1+x）e﹣2x，g（x）＝ax++1+2x cos x，当x∈[0，1]时，（Ⅰ）若函数g（x）在x＝0 处的切线与x 轴平行，求实数a 的值；（Ⅱ）求证：1﹣x≤f（x）≤；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a 的取值范围．28．（2018秋•盐城期末）设f（x）＝x2﹣2ax+1，g（x）＝sin x．（1）若∀x∈[0，1]都有f（x）≥0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（2）若∃x1∈（0，1]，使得对∀x2∈[0，]，都有f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数a 的， ： 取值范围．29．（2019•武侯区校级模拟）已知函数 f （x ）＝x sin x +2cos x +ax +2，其中 a 为常数．（Ⅰ）若曲线 y ＝f （x ）在 x ＝0 处的切线在两坐标轴上的截距相等，求 a 之值；（Ⅱ）若对∀x ∈（0，π），都有π＜f （x ）＜π2，求 a 的取值范围．30．（2018 秋•丰台区期末）已知函数 f （x ）＝x ﹣sin x ．（Ⅰ）求曲线 y ＝f （x ）在点（，f （））处的切线方程； （Ⅱ）求证：当 x ∈（0，）时，0＜f （x ）＜ x 3．31．（2012 秋•保定月考）已知函数． （1） 若 a ＝﹣4，求函数 f （x ）的单调区间；（2） 设函数 ，试问：在定义域内是否存在三个不同的自变量的取值 x i （i ＝1，2，3）使得 f （x i ）﹣g （x i ）的值恰好都相等，若存在，请求出 a 的范围，若不存在，请说明理由？32．（2012 春•东湖区校级期中）已知 f （x ）是定义在集合 D 上的函数，且﹣1＜f ′（x ）＜0．（1） 若 ，在[ ]（[ ]⊆D ）上的最大值为 ，试求不等式|ax +1|＜a 的解集．（2）若对于定义域中任意的 x 1，x 2，存在正数ε，使|x 1﹣1|＜且|x 2﹣1|＜ ，求证：|f （x 1）﹣f （x 2）|＜ε．33．（2012•井冈山市模拟）已知函数 f （x ）＝2x ﹣π，g （x ）＝cos x ．（1）设 h （x ）＝（f x ）﹣g （x ），若 x 1，x 2∈[﹣ +2k π +2k π（] k ∈Z ），求证≥h （）；（2）若 x 1∈[，π]，且 f （x n +1）＝g （x n ），求证：|x 1﹣|+|x 2﹣|+…+|x n ﹣| ＜ ．34．（2013•北京）已知函数 f （x ）＝x 2+x sin x +cos x ．（Ⅰ）若曲线 y ＝f （x ）在点（a ，f （a ））处与直线 y ＝b 相切，求 a 与 b 的值；（Ⅱ）若曲线 y ＝f （x ）与直线 y ＝b 有两个不同交点，求 b 的取值范围．35．（2013•泉州二模）定义域为D的函数f（x），其导函数为f′（x）．若对∀x∈D，均有f （x）＜f′（x），则称函数f（x）为D上的梦想函数．（Ⅰ）已知函数f（x）＝sin x，试判断f（x）是否为其定义域上的梦想函数，并说明理由；（Ⅱ）已知函数g（x）＝ax+a﹣1（a∈R，x∈（0，π））为其定义域上的梦想函数，求a的取值范围；（Ⅲ）已知函数h（x）＝sin x+ax+a﹣1（a∈R，x∈[0，π]）为其定义域上的梦想函数，求a 的最大整数值．36．（2013•枣庄二模）设f（x）＝ax+cos x（x∈R）．（1）若，试求出函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x≥0，都有x+sin2x+cos x≤f（x）成立，求实数a 的取值范围．答案解析：1.【解答】解：（1）f′（x）＝﹣＝，（x∈（0，+∞））．当a﹣1≤0时，即a≤1时，f′（x）＞0，函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，无极小值；当a﹣1＞0时，即a＞1时，f′（x）＜0，解得0＜x＜a﹣1，函数f（x）在（0，a﹣1）上单调递减．f′（x）＞0，解得x＞a﹣1，函数f（x）在（a﹣1，+∞）上单调递增．∴x＝a﹣1时，函数f（x）取得极小值，f（a﹣1＝1+ln（a﹣1）．综上所述，当a≤1时，f（x）无极小值；当a＞1时，f（x）极小值＝1+ln（a﹣1）．（2）令F（x）＝f（x）﹣g（x）＝lnx+﹣＝，x∈（0，+∞）．当﹣1≤a≤1时，要证f（x）＞g（x），即证F（x）＞0，即xlnx﹣a sin x+1＞0，即证xlnx＞a sin x﹣1．①当0＜a≤1时，令h（x）＝x﹣sin x，h′（x）＝1﹣cos x≥0，所以h（x）在x∈（0，+∞）上单调递增，故h（x）＞h（0）＝0，即x＞sin x．∴ax﹣1＞a sin x﹣1，令u（x）＝xlnx﹣x+1，u′（x）＝lnx，当x∈（0，1），u′（x）＜0，u（x）在（0，1）上单调递减；x∈（1，+∞），u′（x）＞0，u（x）在（1，+∞）上单调递增．又∵0＜a≤1，∴xlnx≥x﹣1≥ax﹣1．由上面可知：xlnx≥x﹣1≥ax﹣1＞a sin x﹣1，所以当0＜a≤1，∴xlnx＞a sin x﹣1．②当a＝0时，即证xlnx＞﹣1．令v（x）＝xlnx，v′（x）＝lnx+1，可得v（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，v（x）min＝v（）＝﹣＞﹣1，故xlnx＞﹣1．③当﹣1≤a＜0时，当x∈（0，1]时，a sin x﹣1＜﹣1，由②知v（x）＝xlnx≥﹣，而﹣＞﹣1，故xlnx＞a sin x﹣1．当x∈（1，+∞）时，a sin x﹣1≤0，由②知v（x）＝xlnx＞v（1）＝0，故xlnx＞a sin x﹣1；所以，当x∈（0，+∞）时，xlnx＞a sin x﹣1．综上①②③可知，当﹣1≤a≤1时，f（x）＞g（x）．2.①答案:(1)函数f(x)=e x cos x−x的导数为f′(x)=e x(cos x−sin x)−1，可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0−sin0)−1=0，切点为(0,e0cos0−0),即为(0,1)，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1；(2)函数f(x)=e x cos x−x的导数为f′(x)=e x(cos x−sin x)−1，令g(x)=e x(cos x−sin x)−1，则g(x)的导数为g′(x)=e x(cos x−sin x−sin x−cos x)=−2e x⋅sin x，当x∈[0,π/2],可得g′(x)=−2e x⋅sin x⩽0，即有g(x)在[0,π/2]递减,可得g(x)⩽g(0)=0，则f(x)在[0,π/2]递减，即有函数f(x)在区间[0,π/2]上的最大值为f(0)=e0cos0−0=1；最小值为f(π/2)=eπ/2cosπ/2−π/2=−π/2.②分析:（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g （x）在区间[0，π/2]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f （x）的最值．（2）由f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性知：f′（x）=0的解在[0，1]上，根据零点存在定理可得一不等式，解出即可；（3）问题即为证明a＞0且x＞-1时，e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1），先利用导数证明e x≥x+1，再根据不等式的性质即可证明原不等式；【解析】（1）f′（x）=（2e x-2e）e x=0，得x=1，当x＜1时f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以x=1为唯一极小值点，也是最小值点，所以f（x）的最小值为f（1）=-e2；（2）因为f（x）在（-∞，0）和（1+∞）上具有相反的单调性，则有f′（x）=0的解在[0，1]上，即2e x+a=0的解在[0，1]上．记h（x）=2e x+a，则h（0）•h（1）≤0，解得-2e≤a≤-2，所以a的取值范围为[-2e，-2]；（3）即证明a＞0且x＞-1时，e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1），现证明e x≥x+1，记g（x）=e x-（x+1），令g′（x）=e x-1=0，得x=0，当-1＜x＜0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；当x＞0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，所以x=0为唯一极小值点，也即最小值点，∴g（x）≥g（0）=0，∴e x≥x+1，所以a＞0且x＞-1时，e2x≥（x+1）2，ae x≥a（x+1），∴e2x+ae x≥（x+1）2+a（x+1）．36.4.。
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导数、三角函数大题练习
1.（本小题满分12分）已知)cos ),2cos(2(x x m π+
=,))2sin(2,(cos π+=x x n , 且函数1)(+⋅=n m x f
（1）设方程01)(=-x f 在),0(π内有两个零点21x x ，，求)(21x x f +的值；
（2）若把函数)(x f y =的图像向左平移
3π个单位,再向上平移2个单位,得函数)(x g 图像,求函数)(x g 在]2
,2[ππ-
上的单调增区间. 解：（1）
()2cos()cos cos 2sin()12sin cos 2cos cos 122sin 21cos 21)24
f x x x x x x x x x x x x πππ
=++++=-++=-+++=++...2分
而()10f x -=
，得：cos(2)4x π+=，而(0,)x π∈，得：1242x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1224
x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
所以1233()(
))23424
f x x f πππ+==++=..................6分 （2
）())24f x x π=++--左移3π
--11())212
f x x π=++--上移
2--11())412
f x x π=++，则()
g x 的单调递增区间： 112222122k x k πππππ-+≤+≤+，23112424
k x k ππππ-+≤≤-+，........ 而[,]22x ππ∈-，得：()f x 在11[,]224x ππ∈--和[,]242x ππ∈上递增....
2.（本小题满分12分）已知函数(
)211cos sin cos 2,22
f x x x x x x R =-++∈（Ⅰ）求函数()f x 在,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最值；（Ⅱ）若将函数()f x 的图象向右平移4π个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到()g x 的图像.已知
()6411,,536g ππαα⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭.求cos 26απ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的值..
3.（本小题满分12分）
在△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A B C A B
+=+,sin()cos B A C -=． （1）求,A C ；
（2）若3ABC S ∆=+,求,a c ．
（1）因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，
即sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，
得sin()sin()C A B C -=-．所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--（不成立）．
即 2C A B =+, 得3C π
=，所以．23
B A π+=． 又因为1sin()cos 2B A
C -==，则6B A π-=，或56B A π-=,（舍去） 得5,412
A B ππ==． （2
）1sin 32ABC S ac B ∆===,又sin sin a c A C =, 即
=，
得a c ==
4．（12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，
（Ⅰ）求角A 的大小； （Ⅱ）设BC 边的中点为D ，，求ABC ∆的面积．。