导数的概念(一)曲线的切线 人教版

导数的概念(一)曲线的切线

课题：导数的概念(一)—曲线的切线教材：人教版选修Ⅱ

一、教学目标

(一)知识目标

1、理解曲线在一点处的切线的概念。

2、理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法。

3、掌握用极限的思想定义切线的方法（即用割线的极限位置定义切线）。

(二)能力目标

1、培养学生从实际问题中去发现问题的能力，以及转化的数学思想。

2、培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力。

(三)德育目标

1、培养学生主动探索，勇于发现的科学性精神。

2、通过对复杂曲线切线的定义与已有圆锥曲线切线定义的对比培养学生科学求实的精神，培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质。

二、教学重点与难点

教学重点

理解曲线在一点处的切线的定义，以及曲线在一点处的切线的斜率的定义，掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。

教学难点

理解曲线在一点处切线斜率的基础上，根据已学极限知识，会求一条具体曲线(给出曲线方程)在某一点处的切线斜率。

三、教学方法与教学手段

教学方法：发现法（通过多媒体演示，当Q点向P点靠近时，观察PQ这条直线的位置，让学生自己通过所学极限知识定义切线和切线斜率）

教学手段：多媒体辅助教学（课前做两张图片，第一张：一个圆及其一条切线、一条抛物线及其一条切线和一条复杂曲线及与之相关的两条直线（其中一条与曲线只有一个交点但不是曲线的切线，另一条与曲线有两个交点但是曲线在其中一点处的切线）；第二张：教材上的图3—1（1）、图3—1（2）。其中第二张图片的图3—1（2）能演示Q运动时，PQ 直线的位置变化，并能显示直线PQ的极限位置。）

四、教学过程

（一）课题导入

食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等，不少是圆柱形铝罐头。如果要使容积不变，什么情况下用的材料最省，实际上在生产和科研中，也经常会碰到什么条件下所用时间最少、效率最高等问题。对这些问题，我们常用函数观点将其转化成函数问题，最终归结为求函数的最大值、最小值。以前我们也学过求一些特殊函数(如直线、抛物线等)的最大值、最小值的方法。但对一些稍复杂的函数呢，例如三次、四次函数，有什么方法吗?这就是我们第三章要学习的内容——导数与微分。导数与微分的研究工作在17世纪有了重大的突破。研究工作开始主要集中在两个问题上，一个是曲线的切线问题，一个是求函数的最大值、最小值问题。下面，我们首先来学习导数概念的第一节——曲线的切线知识。

（二）学习新课

1、创设问题情景，引导学生观察，发现切线本质。

[师]我们已经学习过了圆、圆锥曲线及其切线，它

们的切线是如何定义的?

[生]与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直

线叫做曲线的切线。（学生回答时，点出第一张图片的

图1、图2）

[师]看这张图片，圆及抛物线的切线符合上述切线的定

义。但这是有局限的，请看下面的图形（点出图3），

1

l与曲

线C有一个公共点，但不在曲线C的一边，2l与曲线C有两

个公共点，也不在曲线C的一边，然而，根据经验意识我们

知

1

l不是曲线C在M点的切线．但2l却是曲线C在N点处的

切线，所以显然以前切线的定义就不再适用了。那么，到底应怎样更科学的定义曲线的切线？

(打开多媒体的第二张图片

)

2

-3图[师]看这张图片，已知曲线C 是函数)(x f y =的图象，),(00y x P 是曲线上一点，在P 的邻近取一点

Q (y y x x ∆+∆+00,)，

过P 作x MP //轴，y MQ //轴。设割线PQ 的倾斜角为β，请问割线PQ 的斜率为多少？（用x ∆、y ∆表示）。 ［板书］ y MQ x PM ∆=∆=, x

y PM MQ k PQ ∆∆===βtan [师]现在P 不动，Q 沿着曲线运动，并且

无限地向点P 靠近，请大家观察Q 点运动的情

况，并根据观察到的运动现象刻划直线PT 与

PQ 的关系。 [生]点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时，也就是说0→∆x ，这时割线PQ 无限地向直线PT 靠近，直线PT 就是曲线C 的切线。

[师]这样我们通过运动的方式形象地得到了曲线的切线，那么，能不能根据这种变化过程来定义切线呢?将直线PT 叫做割线PQ 的极限位置。

[生]当点Q 沿着曲线无限接近P 点时，割线PQ 的极限位置是直线PT ，叫做曲线在点P 处的切线。

[师]大概意思对了，下面我们一起看一下曲线切线的科学定义。（在图形的下方点出事先已制作好的切线的定义）

[投影]曲线)(:x f y C =上有两点),(00y x P ，),(00y y x x Q ∆∆++，当点Q 沿着曲线无限接近于点P ，即0→x ∆时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。

[师]这样我们就得到了曲线切线的定义，为进一步研究曲线的切线，应求出切线的斜率找到切线的方程，那么切线PT 的斜率应如何定义呢?（也可类比切线的定义用极限的思想）

[生]定义割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线斜率。

[板书]切线的斜率

设切线PT 的倾斜角为α，那么当0→x ∆时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点P 处的切线的斜率，即 x

x f x x f x y k x x PT ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim tan 0000α [师]于是我们从运动的角度得到了切线，用极限的思想定义了切线及切线的斜率。以后我们就可以用这种方法求一些复杂曲线在某一点处的切线。具体求法如下（在第二张图片切线定义的下方点出）：（1）求切线斜率

x

x f x x f k x ∆-∆+=→∆)()(lim 000，（2）点斜式写出切线方程。下面我们来看几个具体的例子。 2、例题解析

例1 曲线的方程为12+=x y ，求此曲线在点P (1,2)处的切线的斜率

以及切线的方程。

解:x

x f x x f k x ∆∆∆)()(lim 000-+=→ x f x f x ∆∆∆)1()1(lim 0-+=→x

x x ∆+-+∆+=→∆)11(1)1(lim 220 x

x x x ∆∆∆∆2)(lim 20+=→2)2(lim 0=+∆=→∆x x ∴切线的斜率为2，切线的方程为)1(22-=-x y ,即x y 2= 3、课堂练习：

（1）已知曲线22x y =上一点),1(a A ，求：（1）点A 处的切线斜率；（2）点A 处的切线方程。（教材上练习题改编）

（2）求曲线531)(23+-=

x x x f 在1=x 处的切线的倾斜角及切线方程。 例2 求曲线222+=x y 在点)2,1(P 处的切线方程。