导数的概念(一)曲线的切线 人教版
函数的导数与曲线的切线与法线

函数的导数与曲线的切线与法线函数的导数是微积分中的核心概念之一,它与曲线的切线和法线密切相关。
本文将介绍导数的定义、计算方法以及如何利用导数求曲线的切线和法线。
一、导数的定义与计算方法导数表示函数在某一点上的变化率,可以理解为函数曲线在该点处的斜率。
定义如下:设函数f(x)在点x处有定义,则f(x)在该点处的导数为:f'(x) = lim [f(x + h) - f(x)] / h ,其中 h -> 0导数的计算方法有很多种,常见的包括利用基本导数公式、几何意义和导数的性质等。
以下将介绍几种常见的计算方法:1. 基本导数公式:常数的导数为零,幂函数的导数为幂次减一乘以系数,指数函数的导数为自身乘以自然对数的底数等。
2. 和、差、积、商法则:利用导数的性质,将函数分解后进行求导。
3. 高阶导数:指函数的导数再求导,可以重复多次。
4. 链式法则:用于求复合函数的导数,将复合函数分解为一层一层的函数,再利用导数的性质进行计算。
二、曲线的切线与法线曲线的切线是指曲线上某一点处与曲线最为接近的直线,而法线则是与切线垂直的直线。
在图像上,切线与曲线之间只有一个交点,而法线与曲线只有一个公共点。
曲线的切线方程可以通过导数求得。
对于函数f(x),若点(x0, f(x0))处的导数存在,则切线的斜率为f'(x0),通过点斜式或斜截式可以求得切线的方程。
曲线的法线方程可以通过切线方程和导数求得。
由于法线与切线垂直,故切线的斜率与法线的斜率的乘积为-1。
因此,法线的斜率为-1/f'(x0),通过点斜式或斜截式可以求得法线的方程。
三、利用导数求曲线的切线与法线利用导数求曲线的切线与法线的过程一般如下:1. 给定函数f(x)和点(x0, f(x0))。
2. 求导数f'(x)。
3. 计算f'(x0)的值,得到切线的斜率。
4. 利用切线的斜率和给定点(x0, f(x0)),使用点斜式或斜截式得到切线方程。
高中数学-3.1导数的概念

斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k切线
tan
lim
x0
y x
lim
x0
f
( x0
x) x
f (x0)
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一
种方法;②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
要注意,曲线在某点处的切线:1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解.如有极限, 则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点 处无切线;3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点, 可以有多个,甚至可以无穷多个.
x
x
y lim 1;
x0 x
y
1 1
x0 .
x0
4.导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲 线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y= f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ( x0 ).
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:
s OA1 OA0 s(t0 t) s(t0 )
在时间段( t0+t)- t0 = t 内,物体的平均速度为:
__
v
s(t0
t)
s(t0 )
s
(t0 t) t0 t
平均速度反映了物体运动时的快慢程度程度,但要 精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻 运动的快慢程度,也既需要通过瞬时速度来反映.
(2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2),即12x-3y-16=0.
5.例题选讲
例1:判断下列各命题的真假: (1)已知函数y=f(x)的图象上的点列P1,P2,P3,…Pn…, 当n 时, Pn P0, 则过P0与Pn两点的直线的 斜率就是函数在点P0处的导数. 答:由函数在点P0处的导数的几何意义知:函数在点 P0处的导数是过P0点曲线(即函数y=f(x)的图象) 的切线的斜率,而不是割线P0Pn的斜率,故它是一 个假命题. (2)若物体的运动规律是S=f(t),则物体在时刻t0的瞬 时速度V等于 f (t ) |tt0 . 答:由于它完全符合瞬时速度的定义,故它是一个真 命题. (3)若函数y=f(x)的定义域为A,则对任一 x0 A,只要 函数在x0处连续,则 f ( x0 )就必存在.
曲线的切线

课 题: 导数的概念(一)—曲线的切线教学目标:1知识与技能:了解曲线的切线的概念,掌握用割线的极限位置上的直线来定义切线的方法,会求过曲线上一点的切线斜率与切线方程.掌握用极限给瞬时速度下的精确的定义. 会运用瞬时速度的定义,求物体在某一时刻的瞬时速度。
.理解导数的概念,学会求函数在一点处的导数的方法. 理解掌握开区间内的导数概念,会求一个函数的导数. 理解函数在一点处可导,则函数在这点连续.2过程与方法:掌握用极限思想研究问题的方法。
3情感态度价值观:通过探究曲线的切线斜率这一过程,培养学生主动探索,发现问题,并积极尝试解决问题的精神,帮助学生养成探索学习的良好习惯。
教学重点:导数的定义与求导数的方法.教学难点:导数概念的理解,通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念,从导数的定义归纳出求导数的方法.授课类型:新授课课时安排:1课时教 具:多媒体、实物投影仪内容分析:导数是解决函数的最大值、最小值问题的有力工具.导数的知识形成一门学科,就是我们通常所说的微积分.微积分除了解决最大值、最小值问题,还能解决一些复杂曲线的切线问题。
教学过程: 一、复习引入:圆与圆锥曲线的切线定义:与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫切线二、讲解新课: (一)1.曲线的切线 如图,设曲线c 是函数()y f x =的图象,点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q沿着曲线c 无限地趋近于点P ,割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ,叫做曲线c 在点P 处的切线y=f(x)β∆x ∆yQM Px O y2.确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法:因为曲线c 是给定的,根据解析几何中直线的点斜是方程的知识,只要求出切线的斜率切线x O y就够了设割线PQ 的倾斜角为β,切线PT 的倾斜角为α,既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线,所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x∆我们可以从运动的角度来得到切线,所以可以用极限来定义切线,以及切线的斜率.那么以后如果我们碰到一些复杂的曲线,也可以求出它在某一点处的切线了.3.瞬时速度定义:运动物体经过某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 4. 确定物体在某一点A 处的瞬时速度的方法:要确定物体在某一点A 处的瞬时速度,从A点起取一小段位移AA 1,求出物体在这段位移上的平均速度,这个平均速度可以近似地表示物体经过A 点的瞬时速度.当位移足够小时,物体在这段时间内运动可认为是匀速的,所得的平均速度就等于物体经过A 点的瞬时速度了.我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识,现在已经知道物体做直线运动时,它的运动规律用函数表示为s =s (t ),也叫做物体的运动方程或位移公式,现在有两个时刻t 0,t 0+Δt ,现在问从t 0到t 0+Δt 这段时间内,物体的位移、平均速度各是:位移为Δs =s (t 0+Δt )-s (t 0)(Δt 称时间增量)平均速度tt s t t s t s v ∆-∆+=∆∆=)()(00 根据对瞬时速度的直观描述,当位移足够小,现在位移由时间t 来表示,也就是说时间足够短时,平均速度就等于瞬时速度.现在是从t 0到t 0+Δt ,这段时间是Δt . 时间Δt 足够短,就是Δt 无限趋近于0. 当Δt →0时,平均速度就越接近于瞬时速度,用极限表示瞬时速度瞬时速度tt s t t s v v t t ∆-∆+==→∆→∆)()(lim lim 0000 所以当Δt →0时,平均速度的极限就是瞬时速度(二)导数的定义1定义:设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义,当自变量在0x x =处有增量x ∆时,则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆,如果0→∆x 时,y ∆与x ∆的比x y ∆∆(也叫函数的平均变化率)有极限即xy ∆∆无限趋近于某个常数,我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数,记作0/x x y =,即 xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/注意:(1)函数应在点0x 的附近有定义,否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中,x ∆趋近于0可正、可负、但不为0,而y ∆可能为0 (3)xy ∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率,它的几何意义是过曲线)(x f y =上点()(,00x f x )及点)(,(00x x f x x ∆+∆+)的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率,它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度它的几何意义是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此,如果)(x f y =在点0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=- (5)导数是一个局部概念,它只与函数)(x f y =在0x 及其附近的函数值有关,与x ∆无关(6)在定义式中,设x x x ∆+=0,则0x x x -=∆,当x ∆趋近于0时,x 趋近于0x ,因此,导数的定义式可写成00000/lim )()(lim )(0x x x x f x x f x f x x o x -=∆-∆+=→→∆ (7)若极限xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000不存在,则称函数)(x f y =在点0x 处不可导(8)若)(x f 在0x 可导,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )有切线存在反之不然,若曲线)(x f y =在点()(,00x f x )有切线,函数)(x f y =在0x 不一定可导,并且,若函数)(x f y =在0x 不可导,曲线在点()(,00x f x )也可能有切线2. 导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/x f ,从而构成了一个新的函数)(/x f , 称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作/y ,即)(/x f =/y =xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim 00 函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数)(/x f 在0x 处的函数值,即0/x x y ==)(0/x f 所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作(0/x f 注意:导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求一个函数在给定点的导数,就是求导函数值它们之间的关系是函数)(x f y =在点0x 处的导数就是导函数)(/x f 在点0x 的函数值 3.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数,则称函数)(x f y =在开区间),(b a 内可导4. 可导与连续的关系:如果函数y =f (x )在点x 0处可导,那么函数y =f (x )在点x 0处连续,反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件,而不是充分条件.从f (x )在x 0处可导的定义可以知道,f (x )在x 0处有定义,考察 f (x )在x 0处是否有极限,并且是否等于f (x 0).已知f ′(x 0)=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 令x =x 0+Δx ,当Δx →0时,x →x 0∴0lim →∆x f (x )=0lim →∆x f (x 0+Δx )=0lim →∆x [f (x 0+Δx )-f (x 0)+f (x 0)] =0lim →∆x [xx f x x f ∆-∆+)()(00·Δx +f (x 0)] =0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00·0lim →∆x Δx +0lim →∆x f (x 0)=f ′(x 0)·0+f (x 0)=f (x 0) ∴f (x )在x 0处连续.连续未必可导可通过反例说明,如y =|x |=⎩⎨⎧<-≥00 x x x x 在x 0=0处 ∵-→0lim x y =-→0lim x (-x )=0,+→0lim x y =+→0lim x x =0,∴0lim →x y =0 ∴y =|x |在x =0处连续.0lim →∆x x y ∆∆==∆∆=∆-∆→∆→∆x x x x x x ||lim |0|||lim 00⎩⎨⎧<∆->∆010 1x x ∴y =|x |在x 0=0处不可导.5. 求函数)(x f y =的导数的一般方法:(1)求函数的改变量()(x f x x f y -∆+=∆(2)求平均变化率xx y ∆=∆∆ (3)取极限,得导数/y =()f x '=x y x ∆∆→∆0lim 三、讲解范例:例1求y =x 2在点x =1处的导数.分析:根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤,先求Δy ,再求x y ∆∆,最后求0lim →∆x xy ∆∆. 解:Δy =(1+Δx )2-12=2Δx +(Δx )2,xx x x y ∆∆+∆=∆∆2)(2=2+Δx ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2+Δx )=2. ∴y ′|x =1=2. 注意:(Δx )2括号别忘了写.例2已知y =x ,求y ′.分析:求函数在一点的导数,与求函数在一个区间上的导数,方法是一样的,也是三个步骤,只是把x 0换成x .解:Δy =x x x -∆+,xx x x x y ∆-∆+=∆∆ ∴)(lim lim lim 000x x x x x x x x x x x x y x x x +∆+∆-∆+=∆-∆+=∆∆→∆→∆→∆ =x x x x x 211lim 0=+∆+→∆. 点评:求函数的导数也主要是求极限的值,所以极限是求函数的导数的基础,求极限的一些基本方法不能忘掉.例3 已知y =x 3-2x +1,求y ′,y ′|x =2.解:Δy =(x +Δx )3-2(x +Δx )+1-(x 3-2x +1)=x 3+3x 2Δx +3x (Δx )2+(Δx )3-2x -2Δx +1-x 3+2x -1=(Δx )3+3x (Δx )2+(3x 2-2)Δxxy ∆∆=(Δx )2+3x Δx +3x 2-2 ∴y ′=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x [(Δx )2+3x Δx +3x 2-2]=3x 2-2.方法一:∵y ′=3x 2-2,∴y ′|x =2=3×22-2=10.方法二:Δy =(2+Δx )3-2(2+Δx )+1-(23-2·2+1)=(Δx )3+6(Δx )2+10Δx xy ∆∆=(Δx )2+6Δx +10 ∴y ′|x =2=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x [(Δx )2+6Δx +10]=10. 点评:如果题目中要求y ′,那么求y ′|x =2时用方法一简便如果只要求y ′|x =2,用方法二比较简便四、课堂练习:1.求y =2x 2+4x 在点x =3处的导数.解:Δy =2(3+Δx )2+4(3+Δx )-(2×32+4×3)=2(Δx )2+16Δx ,x y ∆∆=2Δx +16 ∴0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x (2Δx +16)=16,即y ′|x =3=16 2.已知y =4+x ,求y ′解:Δy =44+-+∆+x x x ,xx x x x y ∆+-+∆+=∆∆44 ∴0lim →∆x x y ∆∆=44(lim 44lim 00+++∆+∆∆=∆+-+∆+→∆→∆x x x x x x x x x x x =421441lim 0+=+++∆+→∆x x x x x ,∴y ′=421+x 五、小结 :这节课主要学习了导数的定义,以及求导数方法的三个步骤.f ′(x 0)=y ′|0x x = =0lim →∆x xy ∆∆=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000 f ′(x )=y ′=0lim →∆x x y ∆∆=xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 00 三个步骤:①求函数的增量Δy ,②求平均变化率x y ∆∆,③取极限f ′(x 0)= 0lim →∆x x y ∆∆,以及函数的连续性是函数的可导性的必要条件而不是充分条件题目:导数的概念学校:黑龙江省实验中学姓名:赵春梅教龄:3年。
人教版高中数学选修1-1《3.1.3导数的几何意义-函数的切线方程》

2
类型二:已知斜率,求曲线的切线方程
二、典例分析
例 1.平行于直线 2 x y 4 0 且与抛物线 y x 2 相切于 P( x0 , y0 ) 的切线方程是 .
解:设 P( x0,y0 ) 为切点,则切点的斜率为 y|x x0 2 x0 2 .
∴ x0 1 .
1) . 0 由此得到切点 P(1, 故切线方程为 y 1 2( x 1) , 即 2 x y 1
8
当x0 1时,k 3, 切线方程为y 8 3 x 2 y 3x 2 综上所述:切线方程为 y 12 x 16 或 y 3x 2
类型四:过曲线外一点,求切线方程
二、典例分析
1 0) 且与曲线 y 相切的直线方程为 例 4.过点 (2, x
切点未定,从而先设再求,设切点 x0 , y0 ,切线斜率为 k , 切线方程可设为 y k ( x 2) ① y0 f x0 ,② k f
3 2 消去 k , y0 可得:而 x0 8 x0 2 x0 2 x0 4
解:设切点 P x0 , y0 切线斜率为 k ,为则切线方程为 y 8 k x 2 , 3 切点未定,从而先设再求,设切点 x0 , y0 ,切线斜率为 k , y0 x0
( x0 1)2 3 5
3 5 5
5
类型二:已知斜率,求曲线的切线方程
二、典例分析
例 2.已知直线 y 2 x 1 与曲线 y x ax b 在 x 1 处相切,
3
则 b 的值为_________.
解析:将 x 1 代入 y 2 x 1 可得: y 3 ,又 f ' x 3x2 a ,
导数与曲线的切线与法线

导数与曲线的切线与法线在微积分中,导数是研究曲线斜率变化的重要概念。
导数不仅能够描述曲线在某一点的切线斜率,还可以帮助我们求取曲线在该点的切线和法线方程。
本文将介绍导数的概念和性质,并探讨导数与曲线的切线与法线之间的关系。
1. 导数的定义导数可以理解为函数在某一点处的变化率。
对于函数y = f(x),如果该函数在点x处的导数存在,则导数可以通过以下的极限定义求得:f '(x) = lim┬(Δx→0)〖(f(x+Δx)-f(x))/Δx〗其中f '(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 导数的几何意义导数在几何上对应着曲线在某一点处的切线的斜率。
例如,对于函数y = f(x),若f '(x)存在,则曲线在该点处的切线斜率即为f '(x)。
通过导数,我们可以推断出曲线在不同点处的形态。
3. 导数的性质导数具有一些重要的性质,其中包括:(1) 一次函数的导数为常数:对于y = ax + b(a、b为常数),其导数为f '(x) = a。
(2) 常数函数的导数为零:对于y = c(c为常数),其导数为f '(x) = 0。
(3) 导数与函数的乘法规则:对于函数y = u(x) * v(x),其导数为f'(x) = u'(x) * v(x) + u(x) * v'(x)。
(4) 导数与函数的除法规则:对于函数y = u(x) / v(x),其导数为f '(x) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / v^2(x),当v(x)不等于零时。
4. 曲线的切线与法线根据导数的几何意义,我们可以求取曲线在某一点处的切线和法线方程。
设函数y = f(x)在点x0处的导数存在,则曲线在该点的切线方程可以表示为:y - f(x0) = f '(x0)(x - x0) (1)该方程是切线方程的一般形式,其中f '(x0)为曲线在点x0处的斜率。
高一数学导数与曲线的切线与法线

高一数学导数与曲线的切线与法线导数是微积分中的一个重要概念,它反映了函数在某一点的变化率。
在数学中,导数的应用领域非常广泛,其中之一就是用导数来求曲线的切线与法线。
本文将介绍高一数学导数与曲线的切线与法线的概念及计算方法。
一、导数的概念导数是函数在某一点的变化率,用极限表示。
若函数f(x)在点x=a处可导,则f'(a)表示函数f(x)在点x=a处的导数。
导数可以理解为函数图像上某一点处的切线斜率。
二、切线的概念在曲线上取一点P,过点P且与曲线仅有一个公共点的直线,称为切线。
切线的斜率等于曲线在该点的导数。
三、法线的概念在曲线上取一点P,过点P且与切线垂直的直线,称为法线。
法线的斜率等于切线的斜率的相反数。
四、求曲线的切线与法线的步骤1. 确定曲线上一点的坐标,记为(a,f(a))。
2. 求出函数f(x)在点x=a处的导数,记为f'(a)。
3. 利用导数f'(a)求出切线的斜率k。
4. 根据切线的斜率k和已知点(a,f(a))求出切线的方程。
5. 切线的方程即为所求。
五、示例假设有函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1,我们来求曲线y = f(x)在点x = 2处的切线和法线。
解:1. 确定曲线上一点的坐标,此处是x = 2,代入函数f(x)得到y = f(2) = 2(2)^2 + 3(2) + 1 = 15。
2. 求导数f'(x) = 4x + 3,将x = 2代入得到f'(2) = 4(2) + 3 = 11。
3. 切线的斜率k = f'(2) = 11。
4. 根据切线的斜率k和已知点(2,15)求出切线的方程。
切线方程为y - 15 = 11(x - 2)。
5. 同理,法线的斜率为切线斜率的相反数,即-1/11。
过点(2,15)的法线方程为y - 15 = (-1/11)(x - 2)。
六、结论通过求导数,我们可以求出曲线上任意一点处的切线与法线。
导数的概念课件曲线的切线和瞬时速度

2
常见函数的导及其几何意义
通过计算常见函数的导数,展示导数与函数图形之间的关系,深入理解函数的属 性。
总结
导数的概念及其应用
导数是描述函数变化率的重要工具,在科学和数学领域具有广泛应用。
切线与瞬时速度的几何意义
切线能够直观地表现曲线的局部变化,瞬时速度揭示了物体位置变化的快慢。
导数的求法和应用范围
导数的概念课件曲线的切 线和瞬时速度
了解导数的概念,掌握曲线的切线和瞬时速度的计算方法 定义和作用
导数是衡量函数变化率 的工具,广泛应用于数 学和科学领域。
2 计算方法
导数的计算可以通过极 限、函数表达式和图形 等方法进行。
3 几何意义
导数代表了曲线在某一 点处的切线斜率,能够 揭示曲线的变化趋势。
1 什么是瞬时速度
瞬时速度是在某一时刻的瞬时变化速度,通常用导数来表示。
2 计算方法
通过求导数,可以得到函数在某一点处的瞬时速度。
3 几何意义
瞬时速度反映了物体位置变化的快慢,能够帮助我们了解运动的状态和趋势。
实例演示
1
曲线的切线和瞬时速度的实例演示
通过实际案例,演示如何求解曲线的切线方程和瞬时速度,并解释其几何意义。
切线的定义与性质
1 定义与导数关系
切线是曲线在某一点处 的线性逼近,其斜率等 于该点处的导数。
2 性质与几何意义
切线能够直观地展示曲 线局部的变化情况,帮 助我们理解曲线的形状 和趋势。
3 如何求曲线的切线
通过计算导数和选取曲 线上的点,可以确定切 线的斜率和截距,从而 求得切线方程。
瞬时速度的计算
通过计算导数和解释其几何意义,我们能够更好地理解函数的特性和曲线的变化。
高中数学选修2-2导数的概念-曲线上一点处的切线

导数的概念-曲线上一点处的切线一、教学目标(一)知识目标1、理解曲线在一点处的切线的概念。
2、理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法。
3、掌握用极限的思想定义切线的方法(即用割线的极限位置定义切线)。
(二)能力目标1、培养学生从实际问题中去发现问题的能力,以及转化的数学思想。
2、培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力。
(三)德育目标1、培养学生主动探索,勇于发现的科学性精神。
2、通过对复杂曲线切线的定义与已有圆锥曲线切线定义的对比培养学生科学求实的精神,培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质。
二、教学重点与难点教学重点理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义,掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。
教学难点理解曲线在一点处切线斜率的基础上,根据已学极限知识,会求一条具体曲线(给出曲线方程)在某一点处的切线斜率。
三、教学方法与教学手段教学方法:发现法教学手段:多媒体辅助教学四、教学过程(一)课题导入食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等,不少是圆柱形铝罐头。
如果要使容积不变,什么情况下用的材料最省,实际上在生产和科研中,也经常会碰到什么条件下所用时间最少、效率最高等问题。
对这些问题,我们常用函数观点将其转化成函数问题,最终归结为求函数的最大值、最小值。
以前我们也学过求一些特殊函数(如直线、抛物线等)的最大值、最小值的方法。
但对一些稍复杂的函数呢,例如三次、四次函数,有什么方法吗?这就是我们第三章要学习的内容——导数与微分。
导数与微分的研究工作在17世纪有了重大的突破。
研究工作开始主要集中在两个问题上,一个是曲线的切线问题,一个是求函数的最大值、最小值问题。
下面,我们首先来学习导数概念的第一节——曲线的切线知识。
(二)学习新课1、创设问题情景,引导学生观察,发现切线本质。
[问1]:我们已经学习过了圆、圆锥曲线及其切线,它们的切线是如何定义的?[问2]:看这张图片,圆及抛物线的切线符合上述切线的定义。
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导数的概念(一)曲线的切线课题:导数的概念(一)—曲线的切线教材:人教版选修Ⅱ一、教学目标(一)知识目标1、理解曲线在一点处的切线的概念。
2、理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的概念、求法及切线方程的求法。
3、掌握用极限的思想定义切线的方法(即用割线的极限位置定义切线)。
(二)能力目标1、培养学生从实际问题中去发现问题的能力,以及转化的数学思想。
2、培养学生用运动变化的眼光去认识问题的能力。
(三)德育目标1、培养学生主动探索,勇于发现的科学性精神。
2、通过对复杂曲线切线的定义与已有圆锥曲线切线定义的对比培养学生科学求实的精神,培养学生用批判与发展的观点认识客观事物的思维品质。
二、教学重点与难点教学重点理解曲线在一点处的切线的定义,以及曲线在一点处的切线的斜率的定义,掌握曲线在一点处切线斜率及切线方程的求法。
教学难点理解曲线在一点处切线斜率的基础上,根据已学极限知识,会求一条具体曲线(给出曲线方程)在某一点处的切线斜率。
三、教学方法与教学手段教学方法:发现法(通过多媒体演示,当Q点向P点靠近时,观察PQ这条直线的位置,让学生自己通过所学极限知识定义切线和切线斜率)教学手段:多媒体辅助教学(课前做两张图片,第一张:一个圆及其一条切线、一条抛物线及其一条切线和一条复杂曲线及与之相关的两条直线(其中一条与曲线只有一个交点但不是曲线的切线,另一条与曲线有两个交点但是曲线在其中一点处的切线);第二张:教材上的图3—1(1)、图3—1(2)。
其中第二张图片的图3—1(2)能演示Q运动时,PQ 直线的位置变化,并能显示直线PQ的极限位置。
)四、教学过程(一)课题导入食品店里的罐装汽水、可乐、啤酒等,不少是圆柱形铝罐头。
如果要使容积不变,什么情况下用的材料最省,实际上在生产和科研中,也经常会碰到什么条件下所用时间最少、效率最高等问题。
对这些问题,我们常用函数观点将其转化成函数问题,最终归结为求函数的最大值、最小值。
以前我们也学过求一些特殊函数(如直线、抛物线等)的最大值、最小值的方法。
但对一些稍复杂的函数呢,例如三次、四次函数,有什么方法吗?这就是我们第三章要学习的内容——导数与微分。
导数与微分的研究工作在17世纪有了重大的突破。
研究工作开始主要集中在两个问题上,一个是曲线的切线问题,一个是求函数的最大值、最小值问题。
下面,我们首先来学习导数概念的第一节——曲线的切线知识。
(二)学习新课1、创设问题情景,引导学生观察,发现切线本质。
[师]我们已经学习过了圆、圆锥曲线及其切线,它们的切线是如何定义的?[生]与曲线只有一个公共点并且位于曲线一边的直线叫做曲线的切线。
(学生回答时,点出第一张图片的图1、图2)[师]看这张图片,圆及抛物线的切线符合上述切线的定义。
但这是有局限的,请看下面的图形(点出图3),1l与曲线C有一个公共点,但不在曲线C的一边,2l与曲线C有两个公共点,也不在曲线C的一边,然而,根据经验意识我们知1l不是曲线C在M点的切线.但2l却是曲线C在N点处的切线,所以显然以前切线的定义就不再适用了。
那么,到底应怎样更科学的定义曲线的切线?(打开多媒体的第二张图片)2-3图[师]看这张图片,已知曲线C 是函数)(x f y =的图象,),(00y x P 是曲线上一点,在P 的邻近取一点Q (y y x x ∆+∆+00,),过P 作x MP //轴,y MQ //轴。
设割线PQ 的倾斜角为β,请问割线PQ 的斜率为多少?(用x ∆、y ∆表示)。
[板书] y MQ x PM ∆=∆=, xy PM MQ k PQ ∆∆===βtan [师]现在P 不动,Q 沿着曲线运动,并且无限地向点P 靠近,请大家观察Q 点运动的情况,并根据观察到的运动现象刻划直线PT 与PQ 的关系。
[生]点Q 沿着曲线向点P 无限靠近时,也就是说0→∆x ,这时割线PQ 无限地向直线PT 靠近,直线PT 就是曲线C 的切线。
[师]这样我们通过运动的方式形象地得到了曲线的切线,那么,能不能根据这种变化过程来定义切线呢?将直线PT 叫做割线PQ 的极限位置。
[生]当点Q 沿着曲线无限接近P 点时,割线PQ 的极限位置是直线PT ,叫做曲线在点P 处的切线。
[师]大概意思对了,下面我们一起看一下曲线切线的科学定义。
(在图形的下方点出事先已制作好的切线的定义)[投影]曲线)(:x f y C =上有两点),(00y x P ,),(00y y x x Q ∆∆++,当点Q 沿着曲线无限接近于点P ,即0→x ∆时,如果割线PQ 有一个极限位置PT ,那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
[师]这样我们就得到了曲线切线的定义,为进一步研究曲线的切线,应求出切线的斜率找到切线的方程,那么切线PT 的斜率应如何定义呢?(也可类比切线的定义用极限的思想)[生]定义割线PQ 的斜率的极限,就是曲线在点P 处的切线斜率。
[板书]切线的斜率设切线PT 的倾斜角为α,那么当0→x ∆时,割线PQ 的斜率的极限,就是曲线在点P 处的切线的斜率,即 xx f x x f x y k x x PT ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim lim tan 0000α [师]于是我们从运动的角度得到了切线,用极限的思想定义了切线及切线的斜率。
以后我们就可以用这种方法求一些复杂曲线在某一点处的切线。
具体求法如下(在第二张图片切线定义的下方点出):(1)求切线斜率xx f x x f k x ∆-∆+=→∆)()(lim 000,(2)点斜式写出切线方程。
下面我们来看几个具体的例子。
2、例题解析例1 曲线的方程为12+=x y ,求此曲线在点P (1,2)处的切线的斜率以及切线的方程。
解:xx f x x f k x ∆∆∆)()(lim 000-+=→ x f x f x ∆∆∆)1()1(lim 0-+=→xx x ∆+-+∆+=→∆)11(1)1(lim 220 xx x x ∆∆∆∆2)(lim 20+=→2)2(lim 0=+∆=→∆x x ∴切线的斜率为2,切线的方程为)1(22-=-x y ,即x y 2= 3、课堂练习:(1)已知曲线22x y =上一点),1(a A ,求:(1)点A 处的切线斜率;(2)点A 处的切线方程。
(教材上练习题改编)(2)求曲线531)(23+-=x x x f 在1=x 处的切线的倾斜角及切线方程。
例2 求曲线222+=x y 在点)2,1(P 处的切线方程。
解: 斜率=k xy x ∆∆∆0lim→ x x x ∆∆∆22)1(2lim 20-++=→)22)1(2(42)1(2lim 220+++-++=→x x x x ∆∆∆∆ )22)1(2(24lim 220++∆+∆∆+∆=→∆x x x x x14422)1(224lim 2==++∆+∆+=→∆x x x 故切线方程为:)1(2-=-x y 即1+=x y(三)研究性问题已知曲线方程为2x y =(1)若曲线在点A 处的切线斜率为3,求点A 的坐标;(2)求过点)5,3(B 的曲线的切线方程。
解:(1)设点A 的坐标为),(11y x A ,则点A 处的切线斜率为 xx x x x y k x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆212100)(lim lim =1102102)2(lim 2lim x x x xx x x x x =∆+=∆∆+∆→∆→∆ 由题意23,3211==x x 故点A 的坐标为)49,23(A (2)点B 不在曲线上,于是设切点坐标为),(22y x P ,则所求切线斜率为 22222002)(lim lim x xx x x x y k x x PB =∆-∆+=∆∆=→∆→∆ 又3522--=x y k PB , 222235x x y =--∴ 联立⎪⎩⎪⎨⎧=--=222222235x x y x y 解得⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==255112222y x y x 或即切点坐标为),或(255)1,1(①当切点为)1,1(时,切线斜率为2切线方程为)1(21-=-x y ,即12-=x y②当切点为)25,5(时,切线斜率为10切线方程为)5(1025-=-x y ,即2510-=x y 结论:曲线在某点处的切线定义为过该点的割线的极限位置,切线斜率=∆∆=→∆x y k x 0lim xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000与切点坐标紧密相关。
因此,研究曲线的切线问题时中心是围绕切点展开,若没有给出切点坐标,应先设出切点坐标,建立切点坐标的方程,求出切点坐标。
(四)课时小结这节课主要学习了曲线在一点处的切线以及切线斜率的概念,学习了用极限思想研究曲线切线的方法,学会了切线方程的求法。
利用求极限的方法建立了切线斜率的数学模型,这种建模的方法在数学中乃至其它学科领域也都有广泛的应用。
例如,函数的导数以及运动学中作变速直线运动的物体在某一时刻的瞬时速度的求法也都将用同样的建模方法来研究,关于这些问题的研究,下节课继续吧。
(五)课后作业1、课本116P 习题1.3 6、7、8、92、本节课我们学习了曲线的切线及切线斜率的极限数学模型,课后请大家根据你对运动学中平均速度和瞬时速度的理解,结合本节课切线斜率数学模型的建立方法自学、研究运动物体瞬时速度的求法。
五、板书设计3、1 1导数的概念(一)——曲线的切线1.切线:曲线)(:x f y C =上有两点),(),,(0000y y x x Q y x P ∆+∆+,当点Q 沿着曲线无限接近于点P ,即0→x ∆时,如果割线PQ 有一个极限位置PT ,那么直线PT 叫做曲线在点P 处的切线。
(事先制作好,在第二张图片的图形下面投影出来,需要时才点出来)2.切线的斜率:设切线PT 的倾斜角为α,那么当0→x ∆时,割线PQ 的斜率的极限,就是曲线在点P 处的切线斜率: xx f x x f x y k x x PT ∆-∆+=∆∆==→∆→∆)()(lim limtan 0000α(板书) 例题解析 例1 曲线的方程为12+=x y ,求此曲线在点P (1,2)处切线的斜率以及切线的方程。
(投影)课堂练习:学生先练习,接着用实物展台展示几个同学的解答,然后点评。
(包括好的和有问题的)例2 求曲线222+=x y 在点)2,1(P 处的切线方程。
(结合练习中出现的问题板书解题过程进行说明)研究性问题(解题过程事先制作好,待学生分析思考演练后投影出来点评。
)课时小结(事先制作好,需要时投影出来)六、教案设计的说明(一)关于本节课教学的指导思想本节课是一节概念型操作课,应在加深学生对曲线的切线、切线斜率概念理解的基础上,进一步加强对切线斜率的极限数学模型的理解和操作应用,为后续学习运动物体的瞬时速度、函数的导数等知识奠定坚实的基础。