利用导数求切线的方程
求切线方程的三种方法
求切线方程的三种方法宝子们，今天咱们来唠唠求切线方程的那些事儿。
这切线方程啊，就像是给曲线找到一个最亲密接触的直线小伙伴，可有意思啦。
一、利用导数求切线方程。
咱先说说这个用导数的方法。
导数这玩意儿啊，其实就是曲线在某一点的斜率。
比如说有个函数y = f(x)，咱们先求出它的导数f'(x)。
那在某一点x = a处的切线斜率k呢，就等于f'(a)。
这时候啊，我们已经知道了斜率，再知道这个点(a, f(a))在切线上，就可以用点斜式y - y₁ = k(x - x₁)来求出切线方程啦。
就像你知道一个朋友的走路速度（斜率），又知道他从哪个地方（点）出发，就能算出他走的路线（切线方程）啦。
二、设切点法。
再来说说设切点法。
有时候啊，题目没有直接告诉你切点是啥。
这时候咱就可以聪明点，设切点为(x₀, y₀)。
那这个点既在曲线上又在切线上哦。
如果曲线方程是y = f(x)，那y₀ = f(x₀)。
然后呢，求出函数在x₀处的导数f'(x₀)，这就是切线的斜率啦。
再根据点斜式写出切线方程y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)。
这就像是在玩一个猜谜游戏，我们先假设一个神秘的点（切点），然后通过各种线索（曲线方程和导数）来找出这个切线方程这个宝藏呢。
三、利用已知切线方程的形式来求。
还有一种方法呢，就是利用已知切线方程的形式。
比如说对于圆的方程(x - a)²+(y - b)² = r²，在点(x₁, y₁)处的切线方程是(x₁ - a)(x - a)+(y₁ - b)(y - b)= r²。
对于椭圆、双曲线等一些特殊的曲线也有类似的固定形式的切线方程哦。
这就像是有个小秘籍一样，直接套用这个形式就能求出切线方程啦。
就好比你有一把万能钥匙，遇到特定的锁（特殊曲线在某点的切线），直接一插就能打开（求出切线方程）啦。
宝子们，这三种求切线方程的方法是不是很有趣呀？只要多练练，你就能在求切线方程这个小天地里畅游无阻啦。
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型
利用导数求三角函数切线方程的三种问题类型导数是微积分中的重要概念，可以用来求解三角函数的切线方程。
在这份文档中，我们将介绍三种利用导数求三角函数切线方程的问题类型。
问题类型一：给定函数和点，求切线方程在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其定义域上一点的坐标，需要求解该函数在该点处的切线方程。
解决这类问题的关键是求解该点处的导数。
对于三角函数而言，我们可以利用基本导数公式来求解。
例如，对于sin(x)函数，其导数是cos(x)；对于cos(x)函数，其导数是-sin(x)。
一旦我们求得了函数在给定点处的导数，我们可以使用切线方程的一般形式y = f'(x0)(x - x0) + f(x0)来求解。
其中，f'(x0)表示函数在x0处的导数值，f(x0)表示函数在x0处的函数值。
问题类型二：给定函数和切线斜率，求切点坐标在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的斜率，需要求解切线与该函数的交点坐标。
解决这类问题的关键是找到切点的x坐标。
我们可以使用导数和斜率的关系来求解。
具体而言，由于导数就是切线的斜率，我们可以将斜率与导数相等来列方程。
然后，通过求解方程，我们可以得到切点的x坐标。
一旦我们获得了切点的x坐标，我们可以将该坐标代入三角函数的方程中，得到切点的y坐标。
问题类型三：给定函数和切点，求切线斜率在这种类型的问题中，我们已知一个三角函数及其切线的切点坐标，需要求解切线的斜率。
解决这类问题的关键是求解切点的导数。
我们可以使用导数的定义来求解。
具体而言，我们可以将切点的坐标代入三角函数的导数公式中，然后求导得到切点的导数。
一旦我们求得了切点的导数，即可得到切线的斜率。
通过掌握这三种问题类型的解决方法，我们可以有效地利用导数来求解三角函数的切线方程。
这有助于我们更好地理解三角函数的性质和导数的应用。
导数求切线方程的步骤
导数求切线方程的步骤求切线方程的步骤如下：第一步：求导数首先，我们需要求出给定函数的导数。
导数表示了函数在给定点上的斜率，也就是该点函数曲线的切线斜率。
求导数的过程根据函数的不同而有所差异，下面将以几种不同类型的函数为例进行解释。
1.1.常数函数:常数函数的导数为零，因为它的斜率在任何点都是零。
例如，函数f(x)=3的导数为f'(x)=0。
1.2.幂函数:幂函数的导数可以使用幂函数规则求导得到。
幂函数的一般形式是f(x)=x^n，其中n是一个实数。
根据幂函数的规则，导数f'(x)=n*x^(n-1)。
例如，对于函数f(x)=x^2，它的导数为f'(x)=2*x^(2-1)=2x。
1.3.指数函数:指数函数的导数可以使用指数函数规则求导得到。
指数函数的一般形式是f(x) = a^x，其中a是一个正实数且a≠1、根据指数函数的规则，导数f'(x) = ln(a)*a^x。
例如，对于函数f(x) = e^x，它的导数为f'(x) = ln(e)*e^x = e^x。
1.4.对数函数:对数函数的导数可以使用对数函数规则求导得到。
对数函数的一般形式是f(x) = loga(x)，其中a是一个正实数且a≠1、根据对数函数的规则，导数f'(x) = 1/(x*ln(a))。
例如，对于函数f(x) = log3(x)，它的导数为f'(x) = 1/(x*ln(3))。
第二步：确定切点切线是曲线上其中一点上的切线，因此我们需要确定曲线上的切点。
根据题目给出的条件，我们可以确定切点的横纵坐标。
第三步：计算斜率在给定点上，切线的斜率等于该点的导数值。
所以我们将给定点的横坐标代入到导数函数中，得到该点的导数值。
第四步：确定切线方程切线方程的一般形式是y = mx + b，其中m为切线的斜率，b为切线在横轴上的截距。
在给定点上，我们已经确定了斜率m，并且通过给定点的坐标，可以将x和y代入切线方程。
用导数求切线方程的四种类型知识讲解
用导数求切线方程的四种类型用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可． 例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ） Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ） Ａ．230x y -+=Ｂ．230x y --=Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x x y x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法． 例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x x y x ='=-|．∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--． 解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解． 例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程． 解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x x y x ='=-|． ∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得020011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=． 评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上． 设切点为00()M x y ，，则点M 的坐标满足30003y x x =-． 因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--． 化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
求曲线在某点的切线方程方法
求曲线在某点的切线方程方法引言在数学和物理学中，研究曲线的切线是很常见的问题。
切线可以帮助我们了解曲线的局部特征和性质，它在微积分、力学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍一些常见的方法来求解曲线在某点的切线方程。
切线的定义在数学中，曲线上某点的切线可以被定义为通过该点并且与曲线在该点附近重合的直线。
切线的斜率即为曲线在该点的导数。
方法一：求导法一种常见的方法是使用导数来求解曲线在某点的切线方程。
设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.首先求曲线的导数f'(x)。
2.将点(x0,y0)带入导数函数，求出导数的值f'(x0)。
3.使用切线方程的一般形式y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法二：斜率和点法另一种常用的方法是使用斜率和已知点来求解切线方程。
同样假设曲线的方程为y=f(x)，我们要求解曲线在点(x0,y0)处的切线方程。
1.计算曲线在点(x0,y0)处的斜率，即f'(x0)。
2.使用点斜式切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0)，将(x0,y0)和f'(x0)代入，得到切线方程。
方法三：曲线近似法第三种方法是使用曲线的近似来求解切线方程。
此方法适用于那些难以计算导数的曲线。
1.在点(x0,y0)处取曲线的一个非常小的线段，该线段基本上与切线重合。
2.使用线性函数来拟合这个线段，得到近似切线方程。
方法四：参数法对于参数方程表示的曲线，我们可以使用参数法来求解切线方程。
假设曲线的参数方程为x=f(t)，y=g(t)，我们要求解曲线在参数值t0处的切线方程。
1.计算参数值t0对应的点的坐标(x0,y0)。
2.求解参数方程的导数dx/d t和dy/dt。
3.使用点斜式切线方程y-y0=(dy/d t)/(dx/d t)(x-x0)，将(x0,y0)、dx/d t和d y/dt代入，得到切线方程。
利用导数求切线方程
3
题型二：求曲线过一点的切线方程 例：已知曲线C：f (x) x3 x 2 ，求经
过点 P(1, 2) 的曲线C的切线方程。
思考（1）判断P点 所处的位置？ （2）从图像探究， 过该点有几条切线， 如何印证你的探究
答案：2x-y=0或x+4y-9=0
点P是曲线 y x2 ln x上任意一点，则点P 到直线 y x 2 的最小距离是多少?
T 切线
P
o
x
3.基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=c(c为常数) f(x)=xα(α∈Q*)
f(x)=sinx f(x)=cosx
导函数 f′(x)=__0
f′(x)=___α_x_α_-1
f′(x)=_c_o__s_x f′(x)=__-s_i_n_x_
原函数
导函数
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f(x)=ex
答案：
求曲线上的点到直线的最小距离。
• 练习：
1.求y xex 2x 1在(0，0)处的切线
3x y 1 0
2.曲线y x2 ax b在(0，b)处的切线方程是
x y 1 0，求a,b
a 1,b 1
已知切线方程为y ex,曲线为f (x) ex ,
求切点坐意义
函数 y f (x) 在x x0 处的导数就是函数
y f (x) 的图像在点 (x0 , f (x0 )) 处的切线的 斜率，即
k f (x0 )
一.曲线的切线
请看当点Q沿着曲线逐渐向点P接近时，割线PQ
绕着点P逐渐转动的情况.
y
y=f(x)
割
线 Q
解：f ' (x) 6x2 3 k f '(1) 3 y 1 3(x 1)3x y 4 0
用导数求切线方程教案
用导数求切线方程教案一、教学目标1. 理解导数的几何意义，掌握导数表示曲线在某一点的切线斜率的方法。
2. 学会利用导数求出曲线在某一点的切线方程。
3. 能够运用切线方程解决实际问题，提高数学应用能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法。
2. 教学难点：（1）导数表示曲线在某一点的切线斜率；（2）求解切线方程过程中的计算问题。
三、教学方法与手段1. 教学方法：（1）采用讲练结合的方法，让学生在实践中掌握导数与切线方程的关系；（2）通过例题分析，引导学生运用切线方程解决实际问题。
2. 教学手段：（1）利用多媒体课件，展示曲线的图形，增强学生直观感受；（2）借助数学软件，进行实时演示，提高教学效果。
四、教学内容与课时安排1. 教学内容：（1）导数的几何意义；（2）利用导数求切线方程的方法；（3）运用切线方程解决实际问题。
2. 课时安排：（1）第一课时：导数的几何意义，切线斜率的求法；（2）第二课时：利用导数求切线方程的方法；（3）第三课时：运用切线方程解决实际问题。
五、教学过程1. 导入新课：（1）复习导数的定义，引导学生回忆导数的意义；（2）提问：曲线在某一点的切线斜率如何表示？2. 知识讲解：（1）讲解导数的几何意义，引导学生理解导数与切线斜率的关系；（2）介绍利用导数求切线方程的方法。
3. 例题讲解：（1）展示例题，引导学生分析问题，明确解题思路；（2）讲解解题过程，强调关键步骤；（3）总结解题方法，提醒注意事项。
4. 课堂练习：（1）布置练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论，共同解决问题。
5. 课堂小结：（1）回顾本节课所学内容，总结切线方程的求法；（2）强调导数在实际问题中的应用价值。
6. 课后作业：（1）巩固所学知识，提高解题能力；（2）培养学生的实际应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解评价：观察学生对导数几何意义和切线方程求法的理解程度，以及他们在例题讲解和课堂练习中的表现。
利用导数求圆切线方程的三种问题类型
利用导数求圆切线方程的三种问题类型概述在解决数学问题时，利用导数求圆的切线方程是一种常见的方法。
本文将介绍三种常见的问题类型，并详细解释如何使用导数来求解。
问题类型一：求圆上某点处的切线方程对于给定的圆，我们需要求解圆上某点处的切线方程。
解决这类问题的关键是确定点的坐标和圆的方程。
假设圆的方程为x²+y²=r²，其中r为半径。
设切线与圆的交点为(x₁, y₁)，则切线的斜率可由导数求得。
假设切线的斜率为k，则切线方程可表示为y-y₁=k(x-x₁)。
通过将圆方程和切线方程联立，可以求解出点(x₁, y₁)，进而获得切线方程的具体表达式。
问题类型二：确定圆和直线的切点坐标在此问题类型中，已知一条直线与圆相切，需要确定切点的坐标。
首先，需要确定直线的方程和圆的方程。
假设直线的方程为y=mx+b，其中m为斜率，b为截距。
圆的方程仍为x²+y²=r²。
确定直线与圆相切的条件为直线方程和圆方程联立，得到二次方程形式的解。
求解该二次方程可得到切点的横坐标x₁，代入直线方程中即可求得切点的纵坐标y₁。
问题类型三：求圆的切线方程和切点坐标此问题类型中，需同时求解切线方程和切点坐标。
解决方法是通过已知条件，构建适当的方程组，然后求解其中的未知变量。
例如，已知圆心坐标和切点在圆上的坐标，可以利用圆方程和切线方程联立求解。
总结利用导数求圆切线方程的三种问题类型包括求圆上某点处的切线方程、确定圆和直线的切点坐标，以及求圆的切线方程和切点坐标。
对于每种问题类型，我们需要确定已知条件，建立适当的方程，然后通过导数运算和联立方程求解未知变量。
这些问题可以通过简单的策略和避免法律复杂性来解决，以确保准确性和可靠性。
备注：本文仅提供数学问题解决方法的讨论，不涉及确切的案例或法律内容。
在实际应用中，请确保依据具体情况做出独立决策并遵循法律法规。
导数法求双曲线切线方程的三种题型
导数法求双曲线切线方程的三种题型双曲线是数学中的一种曲线，它的方程可以通过导数法求解切线方程。
在求解双曲线切线方程时，我们可以遇到三种不同的题型，分别是直角双曲线、平方差双曲线和标准双曲线。
下面将逐一介绍这三种题型的求解方法。
1. 直角双曲线的切线方程对于直角双曲线的切线方程的求解，步骤如下：1. 先将直角双曲线的方程表示为标准方程，即$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
2. 平方差双曲线的切线方程平方差双曲线的切线方程的求解过程如下：1. 先将平方差双曲线的方程表示为标准方程，即$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = \pm 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
3. 标准双曲线的切线方程标准双曲线的切线方程的求解过程如下：1. 标准双曲线的方程为 $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
2. 求出曲线上任意一点 $(x_0, y_0)$ 的导数 $y'$。
3. 代入切点 $(x_0, y_0)$ 的坐标，求出导数的值 $y'(x_0)$。
4. 利用点斜式或一般式，得到切线方程。
这三种题型的求解方法都是利用导数法来求解切线方程，但具体求解步骤可能会有所不同。
以上就是求解双曲线切线方程的三种题型的基本方法。
对于更复杂的情况，可能需要借助其他数学知识和技巧来进行求解。
希望这份文档能对你有所帮助！。
导数法求对数函数切线方程的三种题型
导数法求对数函数切线方程的三种题型
引言
本文将介绍三种常见的题型，通过导数法求解对数函数的切线方程。
对数函数是数学中常见的一类函数，求解其切线方程是数学研究中的重要内容之一。
问题1：已知对数函数的函数式求切线方程
当已知对数函数的函数式，求对应点上的切线方程时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 求对数函数的导数；
2. 计算给定点的横坐标和纵坐标；
3. 代入导数公式，求得切线方程的斜率；
4. 使用切线方程的一般式，将斜率和给定点代入，得到切线方程。
问题2：已知对数函数的切点求切线方程
当已知对数函数的切点，求对应切点上的切线方程时，可以按照以下步骤来进行求解：
1. 求切点处的导数值；
2. 使用切线方程的一般式，将切点的斜率和坐标代入，得到切线方程。
问题3：已知对数函数的切线方程求函数式
当已知对数函数的切线方程，求对应对数函数的函数式时，可以通过以下步骤来进行求解：
1. 对给定的切线方程，提取出切线的斜率和截距；
2. 求解对数函数的导数，得到导数公式；
3. 将切线的斜率代入导数公式，得到方程的解；
4. 根据解得到的方程，确定对数函数的函数式。
结论
通过导数法求解对数函数的切线方程是一种常见且实用的方法。
掌握了三种题型的求解步骤，可以更好地解决相关问题。
但需要注
意的是，在使用导数法求解切线方程时，要注意计算的准确性和步
骤的合理性。
参考资料：
- 曹智勇，高等数学，北京：高等教育出版社，2006年。
- 杨学凤，高等数学，北京：高等教育出版社，2007年。
用导数求切线方程
用导数求切线方程
“用导数求切线方程”是指利用导数的性质，通过求函数某一点处的导数，来求得该点处函数的切线方程。
首先，我们回顾下梯形法则：函数f(x)在某一点处的导数f'(x)就是函数在该点上的切线斜率。
可以看出，如果能够求出函数某一点处的导数，就已经可以知道这个点处函数的切线。
其次，我们来看看如何用导数求切线方程。
假设函数f(x)在点A(x0,y0)处有定义，要求点A处函数的切线方程，只需要依据梯形法则，先计算出函数f(x)在点A处的导数f'(x0)，然后根据梯形法则，可以知道点A处函数的切线斜率为f'(x0)。
接下来，根据直线的斜截式：y=kx+b，我们可以知道点A处函数的切线方程为：y-y0=f'(x0)(x-x0)，其中，
k=f'(x0)，b=y0-f'(x0)x0。
最后，由于我们已经知道点A处函数的切线斜率
f'(x0)以及点A的横纵坐标，所以我们就可以得到点A处函数的切线方程：y-y0=f'(x0)(x-x0)。
综上所述，用导数求切线方程的步骤是：首先，使用梯形法则求出函数在某一点处的导数；然后，根据直线的斜截式，得到函数在该点处的切线方程；最后，根据函数
在该点处的导数及横纵坐标，求得该点处函数的切线方程。
导数法求切线方程的三种题型
题目：导数法求切线方程的三种题型求曲线的切线方程是导数的重要应用之一。
用导数求切线方程的关键在于清楚导数的几何意义：切线的斜率确实是函数y=f(x)在切点处的导数。
下面举出长建的题型及解法：题型一：已知切点，求曲线的切线方程。
例1：求函数y=f(x)=2x3在x=1处的切线方程。
解：先求y’=f’(x)=6x2f’(1)=6×1=6=k当x=1时y=2∴切点为(1,2)y-2=6(x-1)y=6x-4题型二：已知曲线外一点，求曲线的切线方程。
例2：已知函数f(x)=x3-3x，过点A(0,16)做曲线y=f(x)的切线，求切线方程。
解：带入可知点A不在曲线上。
设切点M(x0,y0)，且点M位于曲线上，知足y0=x03-3x0①f’(x)=3x2-3f’(x0)=3x02-3=k ②又有k=(Y0-16)/(x0-0) ③①带入③，且②=③，取得3x02-3=(x03-3x0)/x0解得x0=-2 ∴y0=-2∴M坐标为（-2，-2）K=3×(-2)2-3=9∴y+2=9(x+2)Y=9x+16题型三：弄清“过某点的切线”与“在某点的切线”例3：(1)求曲线y=x3-2x在点A(1,-1)处的切线方程。
(2)求过曲线y=x3-2x上的点A(1,-1)处的切线方程。
解：(1)做法仿照例1可得切线方程为x-y-2=0(2)设切点为(x0,y0),那么有y0=x03-3x0f’(x0)=3x02-23x02-2=k=(y0+1)/(X0-1)3x02-2= (x03-3x0+1)/ (X0-1)解得x0=1或x0=-1/2当x0=1时y0=-1 切点为(1,-1)现在切线方程为x-y-2=0当x0=-1/2时y0=7/8 切点为(-1/2,7/8) 对结果进行分析可知：“在点A处”实际是指A点确实是切点，而“过点A”包括了A点是切点和A点不是切点两种情形。
以上确实是要紧的三种题型，咱们发觉求切线方程最关键的确实是求出切点，利用切线的斜率等于切点处函数的导数，但假设函数在(x0,y0)处的导数不存在时，该切线方程为y= y0。
求函数过某一点的切线方程
求函数过某一点的切线方程
函数的切线方程是指在函数图像上某一点处的切线所对应的方程。
我们可以通过求该点处的导数来求出切线方程，因为导数可以代表函数在该点处的斜率。
假设函数为f(x)，某一点的横坐标为x0，纵坐标为y0，则在该点处的切线方程为：
y - y0 = f'(x0) (x - x0)
其中，f'(x0)为函数f(x)在点x0处的导数，也就是函数在该点处曲线的切线的斜率。
切线方程的求解过程其实就是求导的过程，我们需要对函数f(x)进行求导，得到导数f'(x)，然后将x0代入导数中求得斜率，最后根据切线的点斜式求解出切线方程。
例如，设f(x) = x^2 + 3x - 1，求出函数在点x = 2处的切线方程。
首先求导，得到f'(x) = 2x + 3。
然后代入x = 2，求得切线在该点的斜率为f'(2) = 2*2 + 3 = 7。
接着，将x0 = 2、y0 = f(2) = 9代入点斜式的公式中，得到切线方程为：
y - 9 = 7 (x - 2)
化简可得：
y = 7x - 5
至此，我们成功地求出了函数在点x = 2处的切线方程。
总之，我们可以通过求导和点斜式两个步骤来求解函数图像上某一点处的切线方程，而函数的切线方程则可以帮助我们更深入地理解和研究函数的性质及特点。
用导数求切线方程的四种类型[精选.]
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用导数求切线方程的四种类型浙江 曾安雄求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00()P x y ，及斜率，其求法为：设00()P x y ，是曲线()y f x =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：000()()y y f x x x '-=-．若曲线()y f x =在点00(())P x f x ，的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．下面例析四种常见的类型及解法． 类型一：已知切点，求曲线的切线方程此类题较为简单，只须求出曲线的导数()f x '，并代入点斜式方程即可．例1 曲线3231y x x =-+在点(11)-，处的切线方程为（ ）Ａ．34y x =- Ｂ．32y x =-+ Ｃ．43y x =-+Ｄ．45y x =-解：由2()36f x x x '=-则在点(11)-，处斜率(1)3k f '==-，故所求的切线方程为(1)3(1)y x --=--，即32y x =-+，因而选Ｂ．类型二：已知斜率，求曲线的切线方程此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决． 例2 与直线240x y -+=的平行的抛物线2y x =的切线方程是（ ）Ａ．230x y -+= Ｂ．230x y --= Ｃ．210x y -+=Ｄ．210x y --=解：设00()P x y ，为切点，则切点的斜率为0022x xy x ='==|．01x =∴．由此得到切点(11)，．故切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=，故选Ｄ．评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用∆法加以解决，即设切线方程为2y x b =+，代入2y x =，得220x x b --=，又因为0∆=，得1b =-，故选Ｄ．类型三：已知过曲线上一点，求切线方程过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．例3求过曲线32y x x =-上的点(11)-，的切线方程． 解：设想00()P x y ，为切点，则切线的斜率为02032x xy x ='=-|． ∴切线方程为2000(32)()y y x x x -=--．320000(2)(32)()y x x x x x --=--．又知切线过点(11)-，，把它代入上述方程，得3200001(2)(32)(1)x x x x ---=--．解得01x =，或012x =-．故所求切线方程为(12)(32)(1)y x --=--，或13112842y x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即20x y --=，或5410x y +-=．评注：可以发现直线5410x y +-=并不以(11)-，为切点，实际上是经过了点(11)-，且以1728⎛⎫- ⎪⎝⎭，为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．类型四：已知过曲线外一点，求切线方程此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．例4 求过点(20)，且与曲线1y x=相切的直线方程．解：设00()P x y ，为切点，则切线的斜率为0201x xy x ='=-|．∴切线方程为00201()y y x x x -=--，即020011()y x x x x -=--． 又已知切线过点(20)，，把它代入上述方程，得02011(2)x x x -=--． 解得000111x y x ===，，即20x y +-=．评注：点(20)，实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．例5 已知函数33y x x =-，过点(016)A ，作曲线()y f x =的切线，求此切线方程．解：曲线方程为33y x x =-，点(016)A ，不在曲线上．设切点为00()M x y ，， 则点M 的坐标满足30003y x x =-．因200()3(1)f x x '=-，故切线的方程为20003(1)()y y x x x -=--．点(016)A ，在切线上，则有32000016(3)3(1)(0)x x x x --=--．化简得308x =-，解得02x =-．所以，切点为(22)M --，，切线方程为9160x y -+=．评注：此类题的解题思路是，先判断点A 是否在曲线上，若点A 在曲线上，化为类型一或类型三；若点A 不在曲线上，应先设出切点并求出切点．在初中数学中，曲线的切线没有一般的定义。
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利用导数求切线的方程
第I 卷（选择题）
一、选择题
1．已知曲线21y x =-在0x x =处的切线与曲线31y x =-在0x x =处的切线互相平行，则0x 的值为（ ）
A ．0
B
C ．0
D 2．若幂函数a mx x f =)(的图像经过点A 处的切线方程是（ ） A.02=-y x B.02=+y x
C.0144=+-y x
D.0144=++y x
3．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
A B 、22e C 、2e D 4．函数x e x f x ln )(=在点))1(,1(f 处的切线方程是（ ）
A.)1(2-=x e y
B.1-=ex y
C.)1(-=x e y
D.e x y -=
5．若点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点，则点P 到直线2y x =-距离的最小值为（）
A ．1
B
C
D 6处的切线与直线1y x =+平行，则实数a 的值为（ ）
A D 7处的切线平行于x 轴, 则()0f x =（ ）
A C D ．2e 8上一动点00(,())P x f x 处的切线斜率的最小值为（ ）
A B ．3 C D ．6
第II 卷（非选择题）
二、填空题
9在点()1,1处的切线与曲线x y e =在点P 处的切线垂直，则点P 的坐标为 __________.
10．曲线cos y x x =-在点___________． 11．已知直线01=+-y x 与曲线的值为 ． 12．若曲线ln (0)y x x =>的一条切线是直线，则实数b 的值为 ．
13．若直线y x b =+是曲线
14．已知函数()tan f x x =，则__________. 15在点()()1,1f 处的切线方程是 . 16．设曲线3()2f x ax a =-在点()1,a 处的切线与直线210x y -+=平行，则实数a 的值为______．
17．已知曲线()cos f x a x =与曲线()21g x x bx =++在交点()0,m 处有公切线，则实数a b +的值为____________．
18．函数()x e x f x cos =的图像在点()()0,0f 处的切线的倾斜角为________．
19__________．
三、解答题
20．求曲线3
=y=f(x)(2x-2)在点（2,8）处的切线方程（一般式）
参考答案
1．C
【解析】
故选C. 考点：导数的几何意义.
2．C
【解析】
试题分析：由a mx x f =)(为幂函数，故1=m 幂函数)(x f 上，代入可得则
)(x f 根据直线的点斜式方程可知切线方程为：，化简可得：0144=+-y x .故选C. 考点：导数的概念及几何意义.
3．D
【解析】
故选D.
考点：1、导数的几何意义；2、三角形的面积. 4．C.
【解析】
试题分析：由题意可知，切线方程的斜率为e ，则可求出在点))1(,1(f 处的切线方程，故选C.
考点：1.导数的几何意义；2.切线方程. 5．B
【解析】
试题分析：当直线平行于直线2y x =-且与曲线2ln y x x =-相切时，切点到直线2y x =-的距离最小，求导，得，可求得切点坐标为)1,1(，故点)1,1(到直线2y x =-的距离为考点：导数几何意义．
【方法点睛】求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点),(00y x P 及斜率，其求法为：设),(00y x P 是曲线)(x f y =上的一点，则以P 的切点的切线方程为：))(('000x x x f y y -=-．若曲线)(x f y =在点))(,(00x f x P 的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为0x x =．
6．A
【解析】
试题分析：因为()cos 16y ax x f x =+=，所以()'cos sin f x a x ax x =-，又因为曲线cos 16y ax x =+在
处的切线与直线1y x =+平行，所以 A. 考点：1、两直线平行的性质；2、利用导数求曲线切线的斜率.
7．B
【解析】
B ． 考点：导数的几何意义．
8．C
【解析】
斜
考点：1、切线的斜率；2、求导运算；3、基本不等式．
9．(0,1)
【解析】
()1,1处的切线的斜率为1k =-，所以曲线x y e =在点00(,)P x y 处的切线的斜率为1，由x y e =得x y e '=，所以01,x e =即000,1x y ==，即点(0,1)P .
考点：导数的几何意义.
10．2
【解析】
试题分析：'1sin y x =+，
2． 考点：导数的几何意义．
11．2-
【解析】 1),
,y x '=∴考点：导数几何意义
【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点
P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化
.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解. 12．1ln 2b =-+
【解析】
试题分析：设
即切线斜代入可得1ln 2b =-+
考点：函数的切线
【解析】
试题分析：设切点11(,)x y ，则111ln 1
ln 11101 1.y x x x y b b '
=+⇒+=⇒=⇒==+⇒=-
考点：导数几何意义
【思路点睛】
(1)求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P
也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点.
(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.
14
【解析】
试题分析：()x x f 2sec ='，把
考点：利用导数研究曲线上某点处的切线方程.
15【解析】
()()1,1f 处的切线斜率为0=k ，切点为考点：利用导数研究曲线上某点处的切线.
16【解析】 试题分析：直线210x y -+=斜率为2，所以考点：导数与切线.
【思路点晴】求函数()f x 图象上点00(,())P x f x 处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率k ，由导数的几何意义知0'()k f x =，故当0'()f x 存在时，切线方程为000()'()()y f x f x x x -=-.要深入体会切线定义中的运动变化思想：①两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合(切点)；②割线→切线.切线与某条直线平行，斜率相等.
17．1
【解析】
试题分析：因为两个函数的交点为2(0,),cos0,001,1,1,
(),()m m a m b m a f x g x ∴==+⨯+∴==在),0(m 处有
公切线，''(0)(0),sin 020,0,1f g b b a b ∴=∴-=⨯+∴=∴+=.
考点：导数的几何意义.
【易错点睛】本题主要考查了导数的几何意义.求函数的切线方程的注意事项（1）首先应判断所给点是不是切点，如果不是，要先设出切点．（2）切点既在原函数的图象上也在切线上，可将切点代入两者的函数解析式建立方程组．(3)在切点处的导数值就是切线的斜率，这是求切线方程最重要的条件．曲线的切线方程是导数的几何意义的应用.
18【解析】 试题分析：由题意有，)sin (cos )('x x e x f x -=，则1)0('==f k ，则切线的倾斜角为
考点：1.导数的几何意义；2.斜率的几何意义.
19．410x y -+=
【解析】
考点：导数的几何意义．
20．04024=--y x
【解析】 试题分析：由题意可得，求出曲线)(x f 的导函数)('x f ，即切线方程的斜率，从而可利用点斜式求出切线的方程. 试题解析：：
'2'()24(1),(2)24,824(2),24400f x x k f y x x y =-==-=---= 【考点】1导数的求导法则；2.导数的几何意义.。