用导数求切线方程的四种类型

用导数求切线方程的四种类型

求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．

下面例析四种常见的类型及解法．

类型一：已知切点，求曲线的切线方程

此类题较为简单，只须求出曲线的导数，并代入点斜式方程即可．例1　曲线在点处的切线方程为（ ）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

解：由则在点处斜率，故所求的切线方程为，即，因而选Ｂ．

类型二：已知斜率，求曲线的切线方程

此类题可利用斜率求出切点，再用点斜式方程加以解决．

例2　与直线的平行的抛物线的切线方程是（ ）

Ａ．Ｂ．

Ｃ．Ｄ．

解：设为切点，则切点的斜率为．

．

由此得到切点．故切线方程为，即，故选Ｄ．

评注：此题所给的曲线是抛物线，故也可利用法加以解决，即设切线方程为，代入，得，又因为，得，故选Ｄ．

类型三：已知过曲线上一点，求切线方程

过曲线上一点的切线，该点未必是切点，故应先设切点，再求切点，即用待定切点法．

例3 求过曲线上的点的切线方程．

解：设想为切点，则切线的斜率为．

切线方程为．

．

又知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，或．

故所求切线方程为，或，即，或．

评注：可以发现直线并不以为切点，实际上是经过了点且以为切点的直线．这说明过曲线上一点的切线，该点未必是切点，解决此类问题可用待定切点法．

类型四：已知过曲线外一点，求切线方程

此类题可先设切点，再求切点，即用待定切点法来求解．

例4　求过点且与曲线相切的直线方程．

解：设为切点，则切线的斜率为．

切线方程为，即．

又已知切线过点，把它代入上述方程，得．

解得，即．

评注：点实际上是曲线外的一点，但在解答过程中却无需判断它的确切位置，充分反映出待定切点法的高效性．

例5　已知函数，过点作曲线的切线，求此切线方程．

解：曲线方程为，点不在曲线上．

设切点为，

则点的坐标满足．

因，

故切线的方程为．

点在切线上，则有．

化简得，解得．

所以，切点为，切线方程为．

评注：此类题的解题思路是，先判断点A是否在曲线上，若点A在曲线上，化为类型一或类型三；若点A不在曲线上，应先设出切点并求出切点．